Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів

Запропоновано новий наближений метод розрахунку частот вільних коливань стрижневих систем із рухомими вузлами та дискретно-неперервним розподілом параметрів. В основу методу покладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Розроблено алгоритм розв’язку...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Тацій, Р., Ушак, Т.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Schriftenreihe:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22401
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів / Р. Тацій, Т. Ушак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 179-188. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-22401
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-224012011-06-22T12:05:51Z Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів Тацій, Р. Ушак, Т. Запропоновано новий наближений метод розрахунку частот вільних коливань стрижневих систем із рухомими вузлами та дискретно-неперервним розподілом параметрів. В основу методу покладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Розроблено алгоритм розв’язку таких систем на базі методу граничних елементів. Застосовано теорію узагальнених квазідиференціальних рівнянь для розрахунку стрижневих систем. Виконано числову реалізацію алгоритму на мові програмування Pascal. A new approximate method of calculation of the calculation of the of the frequency of bar systems free vibration with mobile units and discretely — persistent characteristics distribution is proposed. The method is based on the approximation of coefficients of the corresponding differential equations with generalized functions. The algorithm of such a system solution is developed on the base of boundary elements. The theory of generalized quasi — differential equations for the calculation of bar systems is used. Numeric realization of the algorithm is carried out with the programming language Pascal. Предложен новый приближенный метод расчета частот свободных колебаний стержневых систем с подвижными узлами и дискретно-непрерывным распределением параметров. В основе метода лежит аппроксимация коэффициентов соответствующих дифференциальных уравнений обобщенными функциями. Разработан алгоритм решения таких систем на базе метода граничных элементов. Для расчета стержневых систем используется теория обобщенных квазидифференциальных уравнений. Выполнена численная реализация алгоритма на языке программирования Pascal. 2010 Article Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів / Р. Тацій, Т. Ушак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 179-188. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22401 624.075:539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Запропоновано новий наближений метод розрахунку частот вільних коливань стрижневих систем із рухомими вузлами та дискретно-неперервним розподілом параметрів. В основу методу покладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Розроблено алгоритм розв’язку таких систем на базі методу граничних елементів. Застосовано теорію узагальнених квазідиференціальних рівнянь для розрахунку стрижневих систем. Виконано числову реалізацію алгоритму на мові програмування Pascal.
format	Article
author	Тацій, Р. Ушак, Т.
spellingShingle	Тацій, Р. Ушак, Т. Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Тацій, Р. Ушак, Т.
author_sort	Тацій, Р.
title	Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів
title_short	Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів
title_full	Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів
title_fullStr	Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів
title_full_unstemmed	Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів
title_sort	вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22401
citation_txt	Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів / Р. Тацій, Т. Ушак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 179-188. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT tacíjr vílʹníkolivannâstrižnevihsistemízdiskretnoneperervnimrozpodílomparametrív AT ušakt vílʹníkolivannâstrižnevihsistemízdiskretnoneperervnimrozpodílomparametrív
first_indexed	2025-07-03T00:09:30Z
last_indexed	2025-07-03T00:09:30Z
_version_	1836582304593477632
fulltext	179 Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів Роман Тацій1, Тарас Ушак2 1 д. ф.-м. н., професор, «Політехніка Любельська», Люблін, Польща ² конструкторське бюро ТзОВ «Ю. Ді. Сі. Холдинг», вул. Героїв УПА, 72, Львів, e-mail: tushak@vashdim.com.ua Запропоновано новий наближений метод розрахунку частот вільних коливань стрижневих систем із рухомими вузлами та дискретно-неперервним розподілом параметрів. В основу методу покладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагаль- неними функціями. Розроблено алгоритм розв’язку таких систем на базі методу граничних елементів. Застосовано теорію узагальнених квазідиференціальних рівнянь для розрахунку стрижневих систем. Виконано числову реалізацію алгоритму на мові програмування Pascal. Ключові слова: метод дискретизації, узагальнене квазідиференціальне рівняння 4-го порядку, вільні коливання, стрижнева система з дискретно- неперервним розподілом параметрів. Вступ. У реальних інженерних розрахунках для визначення частот вільних коли- вань конструкцій використовують різні математичні моделі. Їхня складність за- лежить від співвідношення динамічних характеристик конструкції, динамічної дії та характеру шуканих результатів. Для загального підходу до формування матриці жорсткості, наприклад, у методі скінченних елементів (МСЕ) [5, 6], задається форма деформування скінченного елемента. Для цієї цілі часто використовують варіаційний підхід. Однак, розрахункові схеми, які ґрунтуються на варіаційних методах, не застосовні до стрижневих систем, що описуються диференціальними рівняннями з узагальненими функціями в коефіцієнтах (системи з дискретно-не- перервним розподілом параметрів). У статті для дослідження вільних коливань стрижневих систем застосовано теорію узагальнених квазідиференціальних рів- нянь (КДР) із мірами [7]. Такий підхід природним чином вписується в алгоритм, запропонований у роботі [1]. Ефективність такого підходу проілюстровано в ро- ботах [2, 3, 8, 9] під час дослідження динамічної стійкості стрижнів із дискретно- неперервним розподілом параметрів за дії неконсервативних сил. У цій роботі застосовано метод апроксимації коефіцієнтів КДР узагальне- ними функціями (метод дискретизації) [4, 12] для розв’язування задачі про вільні коливання рамної системи змінного перерізу з урахуванням дискретних параметрів. 1. Постановка задачі про знаходження частот вільних поперечних коливань стрижневої системи змінної жорсткості з дискретно розподіленими масами Розглянемо власні коливання рами, зображеної на рис. 1а. Дослідження вільних коливань такої рами з стрижнями сталої жорсткості виконані в роботі [1]. УДК 624.075:539.3 Роман Тацій, Тарас Ушак Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів 180 Вузли рами під час вільних коливань мають лінійні та кутові переміщення, тобто конструкція належить до класу вільних систем, динамічний розрахунок яких складний. Під час її руху виникають сили інерції лінійно-рухомих стрижнів 0–1 та 1–2 як приєднаних мас. Ці сили інерції можна врахувати в коефіцієнтах узагальнених КДР, що описують коливання стрижнів 1–3 та 2–4. Приймаємо, що елементами рами є стрижні складеного та змінного по ви- соті перерізу довжиною l. Кожний стрижень складається з чотирьох прямоліній- них віток (рис. 1б), відстань між вітками h(x) дорівнює 2h h x b . Для кожної по- ловини стрижня момент інерції змінюється за квадратичним законом [15] 2 2 xI I b       , (1) координата x відраховується від точки, яка знаходиться від середини стрижня на відстані b, а момент інерції складеного перерізу, коли відстань між вітками ста- новить h2, дорівнює  2 2 24 2I F h . Також на стрижнях рами розташовані зосе- реджені інерційні маси. 2. Апроксимація коефіцієнтів та елементи лінійної теорії узагальнених квазідиференціальних рівнянь 4-го порядку Для окремого стрижня рівняння поперечних вільних коливань має вигляд [13] 2 2 2 * * 2 2( ) 0d d y d dyEI x m y dx dxdx dx                 , (2) де    * ( ) ; ( )i i i im m x M x x x I x x           — погонні маса та момент інерції, причому m(x) i μ(x) — звичайні функції, а Mi, Ii — маса та момент інерції вантажів, зосереджених у перерізах x = xi;  ixx  — дельта-функція Дірака з носієм у точці x = xi. Для розв’язування рівняння (2) використаємо методи теорії квазідиферен- ціальних рівнянь [7]. Позначимо через Рис. 1 h(x) h(x) а L / 2 L / 2 L L 3 4 L L / 4 L / 4 1 0 2 б ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 179-188 181 def [0]( ) ( )y x y x , [1]( ) ( )y x y x , [2]( ) ( ) ( )y x EI x y x ,  [3] 2 ( ) ( ) ( ) ( )y x y x EI x y x      (3) квазіпохідні, які є відповідно прогином, кутом повороту, моментом і перерізую- чою силою в перерізі x. Введемо також позначення  2 0 1 2 1 ( ), ( ) , t j j j a EI x a I x x x a                 2 1 ( ) s i i i m x x x M              , де 1 0 ( )a x — локально обмежена та вимірна на I функція; I — відкритий інтервал дійсної осі; 1 1 2 2 0 1( ) ( ), ( ) ( ); ( ), ( )a x b x a x b x b x b x   ; b2(x) — функції локально обмеженої на I варіації (клас ( )locBV I [7]); 1 2( ), ( )b x b x  — узагальнені похідні (міри на I) [7]. Вихідне КДР (2) зведемо до системи рівнянь першого порядку ( ) ( ) ( )x x x Y C Y , (4) де [1] [2] [3] ( ) y y x y y              Y , 1 0 1 2 0 1 0 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 1 ( ) 0 0 0 a x x a x a x                C . (5) Система (4) коректна [7], оскільки виконується необхідна та достатня умова коректності  2( ) 0,x x I   C , (6) де       1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 x x x b x b x                 C C C (7) — матриця стрибків цієї системи. Нехай B(x, s) — фундаментальна матриця системи (4), структуру якої доб- ре вивчено в [7, 11], із такими властивостями: 1.  ,s s B E , де E — одинична матриця; 2.       , 0,x s x x s    B E C B ; 3.      1 2 3 3 2 2 1 3 1, , , , ,x x x I x x x x x x   B B B . (8) Роман Тацій, Тарас Ушак Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів 182 За допомогою цієї матриці для довільного початкового вектора Y0 = Y(x0), x0I, розв’язок системи (8) записуємо у вигляді    0 0,x x xY B Y . (9) Апроксимуємо змінні коефіцієнти рівняння (2) так. Розіб’ємо стрижень довжиною l на n рівних ділянок. Нехай початкова точка x0 = 0, кінцева xn = l, крок розбиття 1k kh x x  , де 0,k n . Апроксимуємо коефіцієнт a0(x) таким чином (l-апроксимація [10]). На кож- ному з проміжків [xk; xk + 1) величина a0(x) є стала:  0 1 0 0 1 ( ) ( )( ) , ,k k k k k b x b xa x a x x x h       , 0 0 0 ( ) ( ) . x b x a t dt  (10) Апроксимуємо відповідним чином [14] коефіцієнти 2 2( ) ( )a x b x та а1(x) = 1( )b x (d-апроксимація) на проміжку  1;k kx x        def 1 1( ) k k k ka x b x x x c x x       ,       def 2 2( ) k k k ka x b x x x d x x       . (11) Після апроксимації КДР (2) буде мати вигляд     1 1 0 0 1 n n s k k n k k i i n k k i a y d x x M x x y                                  1 0 1 0 n t k k j j n k j c x x I x x y                         , (12) що є частковим (конкретизованим) випадком КДР (2), де θk — характеристична функція проміжку  1;k kx x  : 1 1 1, [ , [ , 0, [ , [. k k k k k x x x x x x        Відомо [10] що, для n усі розв’язки рівняння (12) разом зі своїми ква- зіпохідними y [1], y [2] і y [3] рівномірно прямують до відповідних розв’язків і квазі- похідних рівняння (2)    [ ][ ]lim 0, 0,3ii nn y x y x i     . Тоді матриця стрибків (7) для x = xk є така ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 179-188 183   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k x c d               C . (13) За такого визначення коефіцієнтів a0, a1, a2 фундаментальна матриця B(xk +1, xk) квазідиференціального рівняння  0 0a y   на проміжку  1;k kx x  має вигляд [11]   2 3 2 1 1 2! 3! , 0 1 2! 0 0 1 0 0 0 1 k k k k k k h hh a a h hx x a a h                      B . (14) Фундаментальну матрицю диференціальної системи (4), враховуючи влас- тивості (8), можна знайти за формулою [11]          1 0 1 0 , ,0 , n n k k k k x x l x x x       B B E C B . (15) Матрицю B(l, 0) можна побудувати й іншим шляхом [10]. 3. Алгоритм методу граничних елементів у задачах про вільні коливання стрижневої системи з дискретно-неперервним розподілом параметрів Для поширення результатів розрахунку стрижнів із дискретно-неперервним роз- поділом параметрів за допомогою методу дискретизації на стрижневі системи використаємо алгоритм методу граничних елементів (МГЕ), розроблений авто- рами [1]. Якщо декілька стрижнів з’єднані в єдину конструкцію, то для системи стрижнів можна скласти таке матричне рівняння 0 Y A Y . (16) Матриця А зводиться до квазідіагонального вигляду, де діагональні блоки — фундаментальні матриці квазідиференціального рівняння (2), які описують стан стрижнів. Вектори Y та Y0 будуть містити параметри напружено-деформованого стану всіх стрижнів у поточній і початковій точках. Така схема формування матричного рівняння потребує дискретизації стриж- невої системи в вузлах, оскільки вузли є точками розриву кінематичних і статичних параметрів стрижнів, а рівняння (16) справедливе в точках неперервності пара- метрів напружено-деформованого стану. Роман Тацій, Тарас Ушак Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів 184 Будь-яку стрижневу систему можна описати рівнянням (16), яке є матема- тичною моделлю деформівної лінійної системи [1]. Для розв’язування задачі знаходження частот вільних коливань стрижневої системи згідно алгоритму МГЕ [1] сформуємо одне рівняння на взірець (16) для граничного значення змінної x = l кожного стрижня. У цьому випадку можна виконати перетворення матриць рівняння (16) за схемою * * 0 0( ) ( ,0) (0) ( ,0) (0) ( ) 0 ( ,0) ( ,0) 0l l l l l l     Y A Y A Y Y A Y , (17) де вектори Y, Y0 містять параметри стрижнів у граничних точках x = l, x = 0. Матриця А містить діагональні блоки Bi(l, 0) і має квазідіагональну структуру. Bi(l, 0) — фундаментальні матриці КДР (2) на проміжку [0, li] для кожного стриж- ня стрижневої системи відповідно. Суть схеми перетворення матриць полягає в перенесенні кінцевих параметрів вектора Y(l) на місце нульових параметрів век- тора Y0(0). При цьому, вектор Y(l) стає нульовим і виключається з розгляду. Матрицю A(l, 0) занулюємо в окремих стовпчиках і в неї вводимо елементи, компенсуючи перенесення параметрів. Вектор Y(l, 0) містить вже початкові та кінцеві граничні параметри всіх стрижнів системи, як це є в МГЕ [1]. Таким чином, розв’язок задачі про вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперерв- ним розподілом параметрів за допомогою методу дискретизації зводиться до роз- в’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих початко- вих і кінцевих параметрів стрижнів. 4. Приклад реалізації методу дискретизації для розв’язування задач про вільні коливання стрижневих систем із нерухомими вузлами Здійснимо розрахунок частот вільних коливань рами, зображеної на рис. 1а. Знайдемо п’ять перших частот рами, стрижні якої мають змінну жорсткість (рис. 1б). Ви- хідні дані задачі: вітки стрижнів приймаємо з кутника L75х6 з площею перерізу F = 8,78 см 2; густина сталі ρ = 7850 кг / м 3; l =10 м; h1 = 2,0 м; h2 = 1 м; b = 10 м. На кожному стрижні рами розміщені квадратні плити розміру h1×h1 (див. рис. 1); маси 500кгs j iM M   та моменту інерції відносно осі x 2 1 6s j iI I mh   . Матричне рівняння (16) системи в нашому випадку буде мати вигляд      0,0 0l lY A Y , де   0 1 1 2 2 4 1 3 , 0l                    B B A B B — квазідіагональна матриця. Діагональні блоки B i – j(l, 0) — фундаментальні матриці квазідиференціаль- них рівнянь (2), які описують стан стрижнів, а вектори Y(l), Y0(0) містять пара- метри деформованого стану всіх стрижнів у кінцевій і початковій точках. Здійс- нимо перетворення матричного рівняння за схемою (17). ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 179-188 185 Записуємо алгоритм розв’язування задачі. Формуємо матрицю А. Матриці Y(l, 0), Y(l) з урахуванням рівнянь рівно- ваги, сумісності переміщень вузлів 1 i 2, за нульових граничних умов будуть ма- ти вигляд 1 EI(x)V 0–1(0) = 0, M 2–4(l) 1 EI(x)V 0–1(0) = 0 2 EI(x)φ 0–1(0) 2 EI(x)φ 0–1(0) = EI(x)φ 1–3(0) 3 M 0–1(0) = 0, Q 2–4(l) 3 M 0–1(l) = M 1–2(0) + M 1–3(0) 4 Q 0–1(0) 4 Q 0–1(l) = Q 1–2(0) + N 1–3(0) 5 N 0–1(0) = 0, N 2–4(l) 5 N 0–1(l) = N 1–2(0) – Q 1–3(0) 6 EI(x)V 1–2(0) = 0, M 1–3(l) 6 EI(x)V 1–2(l) = 0 7 EI(x)φ 1–2(0) = EI(x)φ 1–3(0), Q 1–3(l) 7 EI(x)φ 1–2(l) = EI(x)φ 2–4(0) 8 M 1–2(0) 8 M 1–2(l) = M 2–4(0) 9 Q 1–2(0) 9 Q 1–2(l) = N 2–4(0) Y(l, 0) = 10 N 1–2(0) ;Y(l ) = 10 N 1–2(l) = – Q 2–4(0) 11 EI(x)V 2–4(0) = EI(x)V 1–3(0), N 1–3(l) 11 EI(x)V 2–4(l) = 0 12 EI(x)φ 2–4(0) 12 EI(x)φ 2–4(l) = 0 13 M 2–4(0) 13 M 2–4(l) 14 Q 2–4(0) 14 Q 2–4(l) 15 N 2–4(0) 15 N 2–4(l) 16 EI(x)V 1–3(0) 16 EI(x)V 1–3(l) = 0 17 EI(x)φ 1–3(0) 17 EI(x)φ 1–3(l) = 0 18 M 1–3(0) 18 M 1–3(l) 19 Q 1–3(0) 19 Q 1–3(l) 20 N 1–3(0) 20 N 1–3(l) Враховуючи вигляд першої, третьої, п’ятої, шостої, сьомої та одинадцятої компонент вектора Y(l, 0), в матриці A(0, l) потрібно занулити 1, 3, 5, 6, 7 і 11 стовпчики. Занулюємо стовпчики та накладаємо компенсуючі елементи [1]. Ви- користаємо фундаментальні матриці КДР (2) з додаванням динамічних нормаль- них сил. У цьому прикладі не враховуємо повздовжніх переміщень стрижнів і приймаємо, що EA . Для обчислення визначника матриці A використаємо метод виключення Гауса. Задаючи значення ω 2 з визначеним кроком, будуємо графік залежності ви- значника  * 2A . Роман Тацій, Тарас Ушак Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів 186 A * ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 179-188 187 У таблиці в колонці 3 подані перші п’ять частот коливань для стрижневої системи сталої жорсткості, обчислених МГЕ і методом дискретизації при оди- ничних значеннях параметрів стрижневої системи. У колонці 4 подані частоти для стрижневої системи сталої жорсткості (рис. 1б) для h = h2 = const. У колонці 5 обчислені перші п’ять частот коливань стрижневої системи (див. рис. 1) змінної жорсткості з розміщеними на ній інерційними масами (системи з дискретно- неперервним розподілом параметрів) методом дискретизації. Таблиця Метод ωі E = 1, m = 1, I = 1 E = 2,1·10 10 кг / м 2, m = 27,56 кг / м, I = I2 = F 2 2h E = 2,1·10 10 кг / м 2, m = 27,56 кг / м, I = I2  2x b ω1 2,946045 24,096651 – ω2 9,431095 77,139963 – ω3 13,959385 114,178305 – ω4 15,259475 124,812160 – Метод граничних елементів [1] ω5 19,489495 159,410855 – ω1 2,576285 21,078852 15,347834 ω2 11,514513 94,182153 36,127413 ω3 15,524497 126,990157 45,125913 ω4 21,095023 172,793981 67,693220 Авторський метод ω5 22,371857 182,998279 107,735403 Висновки. Запропоновано метод обчислення частот вільних коливань стрижневих систем із рухомими вузлами та дискретно-неперервним розподілом параметрів, в основу якого закладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Алгоритм методу розроблено на базі МГЕ. Він характеризується простотою, універсальністю та швидкістю збіжності, а також дозволяє знаходити та зображати графічно форми коливань стрижневої системи. Отримані при цьому числові результати для відповідних значень параметрів співпадають із відомими. Література [1] Строительная механика. Специальный курс. Применение метода граничных элементов / В. А. Ба- женов, А. Ф. Дащенко, Л. В. Коломиец, В. Ф. Оробей. — Одеса: «Астропринт», 2001. — 240 с. [2] Давидчак, О. Р. Розв’язок задач динаміки дискретно-неперервних стрижневих систем мето- дом граничних елементів з апроксимацією коефіцієнтів диференціальних рівнянь / О. Р. Да- видчак, Р. М. Тацій, Т. І. Ушак // Вісник НУ «Львівська політехніка». Теорія та практика бу- дівництва. — 2004. — № 495. — С. 62-64. [3] Давидчак, О. Р. Розв’язок задач динаміки і стійкості стержневих систем з дискретно-неперервним розподілом параметрів / О. Р. Давидчак, Р. М. Тацій // ZESZYTY NAUKOWE Politechniki Rzeshowskiej. Budownictwo i inzynieria srodowiska. — Rzezow, 2004. — Z. 37. — C. 57-60. [4] Тацій, Р. Метод дискретизації в задачах про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами / Р. Тацій, Т. Ушак // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні техно- логії. — 2009. — Вип. 9. — C. 107-117. [5] Масленников, А. М. Расчет строительных конструкций численными методами / А. М. Мас- ленников. — Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. — 225 с. Роман Тацій, Тарас Ушак Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів 188 [6] Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений; под ред. А. Ф. Смирнова. — Москва: Стройиздат, 1984. — 415 с. [7] Тацій, Р. М. Узагальнені квазідиференціальні рівняння / Р. М. Тацій. — Науково-учбовий Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача АН України, Львів, 1994. — 54 с. [8] Тацій, Р. М. Розрахунок дискретно-неперервних стрижневих систем / Р. М. Тацій, О. Р. Да- видчак // Вісник НУ «Львівська політехніка». Теорія та практика будівництва. — 2002. — № 462. — С. 145-149. [9] Тацій, Р. М. До дослідження стійкості стрижнів під дією неконсервативних сил / Р. М. Тацій, О. Р. Давидчак // Вісник НУ «Львівська політехніка». Теорія та практика будівництва. — 2000. — № 409. — С. 164-167. [10] Тацій, Р. М. Про апроксимацію розв’язків диференціальних рівнянь з мірами / Р. М. Тацій, В. В. Іщук, В. В. Кісілевич // Вісн. Київ. ун-ту. Математика і механіка. — Київ: Либідь, 1990. — № 32. — С. 128-131. [11] Тацій, Р. М. Про структуру фундаментальної матриці квазідиференціального рівняння / Р. М. Тацій, Б. Б. Пахолок // Доп. АН УРСР. Сер. А. — 1989. — № 4. — С. 27-30. [12] Тацій, Р. М. Метод дискретизації в задачах стійкості стрижневих систем змінної жорсткості / Р. М. Тацій, Т. І. Ушак // Вісник НУ «Львівська політехніка». Фізико-математичні науки. — 2009. — № 643. — C. 57-63. [13] Образцов, И. Ф. Строительная механика скошенных систем / И. Ф. Образцов, Г. Г. Онанов. — Москва: Машиностроения, 1973. — 654 с. [14] Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи; пер. с англ. / Ф. Аткинсон. — Москва, 1968. — 749 c. [15] Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем; из-д. 2-е / А. С. Вольмир. — Москва, Наука, 1967. — 984 с. Bar system free vibration with discretely-persistent parameters distribution Roman Tatsii, Тaras Ushak A new approximate method of calculation of the calculation of the of the frequency of bar systems free vibration with mobile units and discretely — persistent characteristics distribution is propo- sed. The method is based on the approximation of coefficients of the corresponding differential equations with generalized functions. The algorithm of such a system solution is developed on the base of boundary elements. The theory of generalized quasi — differential equations for the calcu- lation of bar systems is used. Numeric realization of the algorithm is carried out with the prog- ramming language Pascal. Свободные колебания стержневых систем с дискретно-непрерывным распределением параметров Роман Таций, Тарас Ушак Предложен новый приближенный метод расчета частот свободных колебаний стержне- вых систем с подвижными узлами и дискретно-непрерывным распределением параметров. В основе метода лежит аппроксимация коэффициентов соответствующих дифференци- альных уравнений обобщенными функциями. Разработан алгоритм решения таких систем на базе метода граничных элементов. Для расчета стержневых систем используется тео- рия обобщенных квазидифференциальных уравнений. Выполнена численная реализация алго- ритма на языке программирования Pascal. Представлено професором М. Сухорольським Отримано 15.02.10

Вільні коливання стрижневих систем із дискретно-неперервним розподілом параметрів

Institution

Ähnliche Einträge