Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту
У статті аналізується одна з моделей регульованої монополії - модель розподілу витрат на виробництво колективного продукту. Розглядається чіткий варіант постановки задачі та підходи до її вирішення ("ігровий" підхід, зведення до класичної моделі розподілу витрат). Пропонуються її узагал...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут філософії ім. Г.С. Сковороди НАН України
2010
|
| Назва видання: | Схід |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22429 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту / В. Лавер // Схід. — 2010. — № 7 (107). — С. 60-63. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-22429 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-224292011-06-22T12:06:07Z Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту Лавер, В. Економіка У статті аналізується одна з моделей регульованої монополії - модель розподілу витрат на виробництво колективного продукту. Розглядається чіткий варіант постановки задачі та підходи до її вирішення ("ігровий" підхід, зведення до класичної моделі розподілу витрат). Пропонуються її узагальнення на випадок нечіткості вхідної інформації (зокрема величини колективного продукту та часток витрат агентів). Розглядається алгоритм знаходження оптимальних часток витрат агентів та величини колективного продукту. Як ілюстрація роботи алгоритму наведено числовий приклад. After the global economic crisis issues of state regulation of economy became topical again. This article analyzes one of the models of regulated monopoly, namely the cost sharing at the collective product production. Crisp model of this problem is being observed. Different ways of solution are offered ("gaming" approach, reducing to classical cost sharing problem). Fuzzy generalization is offered (including the fuzziness of the collective product value and the fuzziness of agents' cost shares). Algorithm of finding the optimal cost share and optimal level of collective product production is proposed. A numerical example as illustration of the algorithm is given. 2010 Article Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту / В. Лавер // Схід. — 2010. — № 7 (107). — С. 60-63. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1728-9343 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22429 519.816 (075.8) uk Схід Інститут філософії ім. Г.С. Сковороди НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Економіка Економіка |
| spellingShingle |
Економіка Економіка Лавер, В. Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту Схід |
| description |
У статті аналізується одна з моделей регульованої монополії - модель розподілу витрат
на виробництво колективного продукту. Розглядається чіткий варіант постановки задачі та
підходи до її вирішення ("ігровий" підхід, зведення до класичної моделі розподілу витрат).
Пропонуються її узагальнення на випадок нечіткості вхідної інформації (зокрема величини
колективного продукту та часток витрат агентів). Розглядається алгоритм знаходження оптимальних часток витрат агентів та величини колективного продукту. Як ілюстрація роботи
алгоритму наведено числовий приклад. |
| format |
Article |
| author |
Лавер, В. |
| author_facet |
Лавер, В. |
| author_sort |
Лавер, В. |
| title |
Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту |
| title_short |
Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту |
| title_full |
Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту |
| title_fullStr |
Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту |
| title_full_unstemmed |
Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту |
| title_sort |
нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту |
| publisher |
Інститут філософії ім. Г.С. Сковороди НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Економіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/22429 |
| citation_txt |
Нечіткі моделі розподілу витрат на виробництво колективного продукту / В. Лавер // Схід. — 2010. — № 7 (107). — С. 60-63. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Схід |
| work_keys_str_mv |
AT laverv nečítkímodelírozpodíluvitratnavirobnictvokolektivnogoproduktu |
| first_indexed |
2025-07-02T22:09:23Z |
| last_indexed |
2025-07-02T22:09:23Z |
| _version_ |
1836574744045944832 |
| fulltext |
60
№ 7 (107) листопад-грудень 2010 р.
ЕКОНОМІКА
УДК 519.816 (075.8)
ÍÅײÒʲ ÌÎÄÅ˲ ÐÎÇÏÎIJËÓ ÂÈÒÐÀÒ
ÍÀ ÂÈÐÎÁÍÈÖÒÂÎ ÊÎËÅÊÒÈÂÍÎÃÎ ÏÐÎÄÓÊÒÓ
ВАСИЛЬ ЛАВЕР,
аспірант кафедри кібернетики і прикладної математики
Ужгородського національного університету
У статті аналізується одна з моделей регульованої монополії - модель розподілу витрат
на виробництво колективного продукту. Розглядається чіткий варіант постановки задачі та
підходи до її вирішення ("ігровий" підхід, зведення до класичної моделі розподілу витрат).
Пропонуються її узагальнення на випадок нечіткості вхідної інформації (зокрема величини
колективного продукту та часток витрат агентів). Розглядається алгоритм знаходження оп-
тимальних часток витрат агентів та величини колективного продукту. Як ілюстрація роботи
алгоритму наведено числовий приклад.
Ключові слова: регульована монополія, розподіл витрат, нечіткі моделі, прийняття рішень,
нечіткість, математичні моделі, математична економіка, оптимізація, оптимальні розподі-
ли, колективний продукт.
Постановка проблеми. На основі критики існую-
чих підходів до визначення місця природних монополій
у системі економічних відносин у розвинутих капіталіс-
тичних країнах, перш за все в США та Великобританії,
були прийняті закони та нормативні акти, спрямовані
на організацію конкурентного сектора в області, що
раніше розглядалась як складова частина природних
монополій, і виділення мереж, портів аеропортів, тер-
міналів та ін. як природно-монопольного сектора. Нові
теоретичні підходи на практиці вилились у заходи з
дезінтеграції і приватизації природних монополій. Але
подібні реформи не завжди дозволяють досягти ба-
жаної ефективності й загалом не є позбавленими не-
доліків. Це можна простежити, наприклад, на досвіді
реформування галузі електроенергетики у Великобри-
танії [7]. З огляду на це не втрачають актуальності існу-
ючі моделі регулювання природних монополій.
Аналіз досліджень і публікацій. Теоретичним
підґрунтям при дослідженні регульованих монополій
можуть слугувати праці вчених світової економічної
науки, зокрема У. Баумоля, Г. Демшеця, Дж. Панзара,
Р. Позера, Р. Уілліга, Р. Масгрейва, А. Пікока. Матема-
тичні моделі регульованої монополії та застосуваня
теорії ігор до вирішення окреслених проблем можна
знайти в працях французького математика Е. Мулена
[5] та інших учених, зокрема Ш. Вебера, В. Петерса,
М. Ямади та ін.
Разом із тим, незважаючи на значний науковий до-
робок, дослідженнями не охоплено повною мірою пи-
тання нечітких узагальнень моделей регульованої еко-
номіки, що власне й стало предметом статті.
При написанні статті використовувались економі-
ко-математичні методи та методи нечіткого аналізу.
Ураховуючи актуальність проблеми, у процесі дос-
лідження ставиться мета - дослідити модель вироб-
ництва колективного продукту й побудувати її узагаль-
нення на випадок нечіткої інформації.
Виклад основного матеріалу. Логіка викладу ви-
магає розділення матеріалу статті на дві частини. У
першій наводиться модель виробництва колективно-
го продукту. Друга частина присвячена побудові не-
чітких узагальнень досліджуваної моделі. Також наво-
диться алгоритм пошуку оптимальних розподілів та
ілюстративний приклад.
МОДЕЛЬ ВИРОБНИЦТВА
КОЛЕКТИВНОГО ПРОДУКТУ
Розглядається модель регульованої монополії, а точ-
ніше - задача виробництва колективного продукту [5]:
{ }
),(
,2,,1max,),(
1
ycx
nnNiyxMu
n
i
i
iii
=
≥=∈→−
∑
=
(1)
де iM - початковий запас грошей у і-го агента,
ix - його внесок у виробництво y одиниць колектив-
ного продукту вартістю )y(c , iu - його функція ко-
рисності. Нехай кооперація ефективна, тобто
∑
=
≤
n
1i
iM)y(c . На функції c і iu накладаються ха-
рактерні для моделей мікроекономіки обмеження [6]:
0)0(с = , c не спадає й ввігнута; iu зростають по
кожній змінній iii xMm −= та y і квазіввігнуті за
їх сукупністю для всіх і; функції c та iu диференційо-
вані.
Розглянемо адитивний згусток критеріїв ∑
=
=
n
1i
iuu
(що відповідає утилітарній функції корисності [3]). Оп-
тимальні за Парето розподіли в припущеннях задачі
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
http://www.pdffactory.com
№ 7 (107) листопад-грудень 2010 р.
ЕКОНОМІКА 61
(1) визначаються із такої необхідної та достатньої умо-
ви оптимальності (рівняння Самуельсона [5]):
)y(cuu
n
1i
imiy i
′=∑
=
, (2)
де iyu (
iimu ) - похідні функцій корисності агентів
за колективним продуктом (вільними грошима), )y(c′
- похідна виробничої функції за колективним продук-
том.
Нехай переваги агентів адитивно сепарабельні за
об'ємом колективного продукту й лінійні за витрата-
ми: )xM()y(b)y,xM(u iiiiii −+=− , де )y(bi
- грошовий еквівалент y одиниць колективного про-
дукту.
Тоді рівняння Самуельсона (2) спрощується:
∑
=
′=′n
1i
i )y(c)y(b , (3)
тобто сума маргінальних прибутків дорівнює маргі-
нальним витратам на виробництво колективного про-
дукту. Зауважимо, що рівні витрат ix у цій формулі зни-
кають. Рівняння (3) може бути розв'язане відомими
методами. Це дає нам змогу знайти оптимальний
рівень випуску колективного продукту *y .
Один із підходів до розв'язання задачі (1) полягає
у зведенні її до кооперативної гри з трансферабельни-
ми корисностями [5]: для всіх { }n,...,1S ⊆ :
−+= ∑∑
∈∈
≥
0),y(c)y(bMmax)S(v
Si
i
Si
i0y (відобра-
ження v ставить у відповідність кожній коаліції її при-
буток). Допустимий розподіл )y,x,...,x,x( n21 нале-
жить ядру гри тоді й тільки тоді, коли
( ) )S(v)xM)y(b(
Si
iii ≥−+∑
∈
для всіх коаліцій.
Зазначимо, що ця нерівність при NS = означає
ефективність рівня виробництва колективного продук-
ту (оскільки він максимізує загальний прибуток).
Автором пропонується інший підхід до вирішення
цієї задачі: зведення до класичної моделі розподілу
витрат. Так, знайшовши з рівняння (3) оптимальний
рівень розподілу колективного продукту, для визначен-
ня часток витрат агентів можемо застосувати відомі
механізми розподілу витрат, у тому числі й нечіткі [2].
НЕЧІТКІ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧІ
Розглянемо випадок, коли точний розв'язок рівнян-
ня (3) знайти важко, але, базуючись на певних мірку-
ваннях, y можна представити у формі нечіткого чис-
ла трикутного вигляду:
≤≤
−
−
≤≤
−
−
=
.,0
;,
;,
)(*
випадкахіншихв
yyy
yy
yy
yyy
yy
yy
y
y
)
)
)
)
µ (4)
Функція належності витрат )y(c теж буде нечітким
числом, вигляд якого визначатиметься функцією )y(c .
У результаті отримуємо задачу розподілу витрат,
де значення розподілюваних витрат є нечітким числом.
При інших чітких даних пропонується вибрати yy )= і
застосувати відомі механізми розподілу.
Розглянемо випадок, коли ix - нечіткі числа з фун-
кціями належності iu ( ix ) ( n,1i = ).
Для всіх і функція належності агента і визначаєть-
ся за такою формулою, а графік функції має усічено-
трапецеїдальний вигляд:
)(
ii
xµ
iβ
iα iα
ix
)( ii xµ
<
≤<
−
−
≤
=
,,0
;,
;,1
)(
ii
iii
ii
ii
ii
ii
x
xx
x
x
β
βα
αβ
β
α
µ
Такий вигляд функцій належності часток витрат
агентів можна інтерпретувати так: агент і готовий ви-
ділити до iα грошових одиниць на виробництво y оди-
ниць суспільного продукту; менш бажаним є випадок,
у якому потрібно виділити більше iα ; варіанти, коли
необхідно виділити більше iβ грошових одиниць, є ка-
тегорично неприйнятними.
Нехай агенти поділені на три групи, залежно від
рівня ib - на "бідних" ( 1n,1i = ), "середніх"
( 21 n,1ni += ) та "багатих" ( n,1ni 2 += ), де
nnn1 21 ≤≤≤ .
Тоді
+=
+=
=
=
nnib
nnib
nib
i
i
i
i
,1,
,1,
,1,
23
212
11
γ
γ
γ
α
,
+=
+=
=
=
nnib
nnib
nib
i
i
i
i
,1,
,1,
,1,
23
212
11
δ
δ
δ
β
,
де )3,1i(10 i =≤≤ γ , 321 γγγ ≤≤ ,
)3,1j(10 j =≤≤ δ , 321 δδδ ≤≤ - деякі коефіцієнти.
Уведемо функцію
≠
=
=
∑
∑
=
=
).(,0
);(,1
),,...,,(
1
1
21
ycx
ycx
yxxx n
i
i
n
i
i
nν
Функція належності до обмежень шуканого векто-
ра (x1, x2,…, xn, у) матиме вигляд
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
http://www.pdffactory.com
62
№ 7 (107) листопад-грудень 2010 р.
ЕКОНОМІКА
.
Розв'язком цієї задачі будемо вважати вектор, що
максимізує ),,...,,( 21 yxxx ncµ . Тобто для знаходжен-
ня (x1, x2,…, xn, у) потрібно розв'язати таку оптиміза-
ційну задачу:
max→λ
λµ ≥),,...,,( 21 yxxx nc . (5)
Ураховуючи вигляд ),,...,,( 21 yxxx ncµ , маємо:
.)(
,,1,)(
),(
max
)(
1
λµ
λµ
λ
≥
=∀≥
=
→
∑
=
y
nix
ycx
yc
ii
n
i
i
Задачу пропонується розв'язувати в декілька
етапів:
1) розглядаємо всі можливі комбінації проміжків
змін )(, ycxi ;
2) на кожному такому наборі за допомогою відо-
мих методів [1] розв'язуємо задачу лінійного програ-
мування
(5΄)
Функція належності y задається формулою:
)( yc розглядаємо як незалежну змінну, щоо
змінюється у відповідних межах ( )()()( ycycyc )≤≤
або )()()( ycycyc ≤≤)
);
3) підставляємо знайдені значення в нерівність:
λµ ≥)()( yyc (7)
Якщо знайдені значення )( yc та λ задовольня-
ють (7), то зупиняємось. Якщо ні - ставимо λ таким,
щоб нерівність (7) виконувалась;
4) порівнюємо всі знайдені набори на всіх про-
міжках. Оптимальним розподілом вважаємо той набір,
для якого λ є максимальним.
Аналогічним чином будуються нечіткі узагальнен-
ня для заданих принципів розподілу й нечіткого рівнян-
ня балансу )(
1
ycx
n
i
i =∑
=
[2].
Розглянемо числовий приклад.
Нехай є два агенти (n = 2). Функція витрат має виг-
ляд yyc =)( . Функції належності витрат агентів за-
даються в такий спосіб:
.,1,)(
),(
max
1
nix
ycx
ii
n
i
i
=∀≥
=
→
∑
=
λµ
λ
(6)
{ }),,...,,(),(),(),...,(),(min),,...,,( 21)(221121 yxxxyxxxyxxx nycnnnc νµµµµµ =
>
≤<+−
≤
=
.5,0
;54,5
;4,1
)(
1
11
1
11
x
xx
x
xµ
x1 5 4
µ1(x1)
1
5 x2 7
1
µ2(x2)
>
≤<
+−
≤
=
.7,0
;75,
2
7
;5,1
)(
2
2
2
2
22
x
xx
x
xµ
≤<+−
≤≤−
=
.,0
;121100,
21
121
21
;10081,
19
81
19
)(
випадкахіншихв
yy
yy
yyµ
Знайдемо функцію належності yyc =)( . Для
цього скористаємось методом, запропонованим у [4].
Для довільного α -перерізу знайдемо нижню й вер-
хню межу - α
1a та α
2a .
19
81
19
1 −=
α
α
a ,
21
121
21
2 +−=
α
α
a .
Звідси 81191 += ααa , 121212 +−= ααa .
Тоді для квадратного кореня межі будуть
81192
1
1 += ααa , 121212
1
1 +−= ααa .
Знайдемо тепер рівняння для лівобічної (ЛБ) та
правобічної (ПБ) функції:
8119)( += αyc ; 12121)( +−= αyc .
Отже, ЛБ має вигляд ( )
19
81)( 2 −
=
yc
α , а ПБ відпо-
відно ( )
21
121)( 2 +−
=
yc
α .
Залишилось знайти межі змін ЛБ і ПБ. Для цього
прирівняємо відповідні функції до нуля та одиниці й
розв'яжемо отримані рівняння.
ЛБ: ПБ:
( ) .1
19
81)( 2
=−yc
( ) 0
19
81)( 2
=−yc ( ) ,0
21
121)( 2
=
+− yc
( ) .1
21
121)( 2
=
+− yc
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
http://www.pdffactory.com
№ 7 (107) листопад-грудень 2010 р.
ЕКОНОМІКА 63
Маємо для ЛБ ]10,9[∈y , для ПБ відповідно ]11,10[∈y .
Отже, функція належності для yyc =)( матиме вигляд:
( )
( )
≤<+−
≤≤−
=
.,0
;11)(10,
21
121
21
)(
;10)(9,
19
81
19
)(
))((
2
2
)(
випадкахіншихв
ycyc
ycyc
ycycµ
c(y) 11 10 9
µс(y)(c(y))
Підставляємо отримані вирази в (5΄). Ураховуючи
інтервали значень змінних, отримаємо п'ять задач. Од-
нією з них буде така:
.10,10)y(c9,7x5,4x
,
19
81
19
))y(c(
,
2
7
2
x
),y(cxx
max
21
2
2
21
≤≤≤≤≤≤≤
≥−
≥+−
=+
→
λ
λ
λ
λ
(8)
Інші задачі матимуть вигляд аналогічний (8), але
залежно від проміжків змін )y(c,x,x 21 будуть
змінюватись обмеження.
Знаходимо розв'язки лінійних частин наведених
задач (з виключенням умови по )( yc ). Маємо такі зна-
чення наборів )),(,,( 21 λycxx : (4;5;9;1), (4;6;10; 2
1 ),
(4;5;9;1); (4;5;9;1) та ( 3
13 ; 3
17 ;10; 3
2 ) відповідно. Перший,
третій та четвертий набір не задовольняють нелінійної
частини, а відповідні значення )(,, 21 ycxx задоволь-
няють її тільки при λ = 0. Тому залишаються тільки
набори, отримані з (7.2) та (7.5). А оскільки на остан-
ньому досягається найбільше значення 3
2=λ , то він
і буде розв'язком. Отже, оптимальним розподілом із
достовірністю 3
2=λ уважаємо розподіл 3
13
1 =x ,
3
17
2 =x , а оптимальною кількістю суспільного про-
дукту з такою самою достовірністю вважатимемо
y = 100. Вартість виробництва такої кількості сусп-
ільного продукту буде )( yc = 10.
Висновки
Нечіткі розширення моделі розподілу витрат на
виробництво колективного продукту дозволяють ура-
хувати нечіткість даних, властиву реальним процесам.
Недоліком нечітких моделей розподілу витрат можна
вважати те, що у випадку великих відмінностей постає
необхідність розв'язувати паралельно велику кількість
задач. Є потреба в оптимізації алгоритму пошуку оп-
тимальних розподілів витрат при нечітких даних для
того, щоб уникнути повного перебору варіантів.
ЛІТЕРАТУРА:
1. Банди Б. Методы оптимизации / Б. Банди. - М. : Радио и
связь, 1988. - 128 с.
2. Волошин А. Ф. Нечеткие обобщения модели распределе-
ния затрат / А. Ф. Волошин, В. О. Лавер // Information Models of
Knowledge, ITHEA Sofia-Kiev. - 2010. - № 19. - 215 с.
3. Волошин О. Ф. Теорія прийняття рішень / О. Ф. Волошин,
С. О. Мащенко. - К. : ВТЦ "Київський університет", 2006. - 304 с.
4. Згуровский М. З. Интегрированные системы оптимально-
го управления и проектирования / М. З. Згуровский. - К. : Вища
школа, 1990. - 350 с.
5. Мулен Э. Кооперативное принятие решений / Э. Мулен. -
М. : Мир, 1991. - 464 с.
6. Пономаренко О. І. Мікроекономіка / О. І. Пономаренко,
М. О. Перестюк, В. М. Бурим. - К. : Вища школа, 2004. - 262 с.
7. Сапожникова Н. Т. Естественная монополия: опыт рефор-
мирования электроэнергетики Великобритании / Н. Т. Сапожни-
кова, С. И. Сауткин // Менеджмент в России и за рубежом. -
2001. - № 6.
V. Laver
FUZZY MODELS OF COST SHARING AT PRODUCTION COLLECTIVE PRODUCT
After the global economic crisis issues of state regulation of economy became topical again. This article analyzes one of the
models of regulated monopoly, namely the cost sharing at the collective product production. Crisp model of this problem is
being observed. Different ways of solution are offered ("gaming" approach, reducing to classical cost sharing problem). Fuzzy
generalization is offered (including the fuzziness of the collective product value and the fuzziness of agents' cost shares).
Algorithm of finding the optimal cost share and optimal level of collective product production is proposed. A numerical example
as illustration of the algorithm is given.
Key words: regulated monopoly, cost sharing, fuzzy models.
© В. Лавер
Надійшла до редакції 12.11.2010
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
http://www.pdffactory.com
|