Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны

Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2009
1. Verfasser: Мосенцова, Л.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2009
Schriftenreihe:Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/26515
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны / Л.В. Мосенцова // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2009. — Вип. 52. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-26515
record_format dspace
spelling irk-123456789-265152011-09-03T12:05:53Z Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны Мосенцова, Л.В. 2009 Article Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны / Л.В. Мосенцова // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2009. — Вип. 52. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0067 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/26515 519.6 ru Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
format Article
author Мосенцова, Л.В.
spellingShingle Мосенцова, Л.В.
Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны
Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України
author_facet Мосенцова, Л.В.
author_sort Мосенцова, Л.В.
title Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны
title_short Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны
title_full Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны
title_fullStr Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны
title_full_unstemmed Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны
title_sort применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны
publisher Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate 2009
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/26515
citation_txt Применение методов вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки для решения задачи повышения разрешающей способности антенны / Л.В. Мосенцова // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2009. — Вип. 52. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України
work_keys_str_mv AT mosencovalv primeneniemetodovvyčislitelʹnyhéksperimentoviobobŝennogoprincipanevâzkidlârešeniâzadačipovyšeniârazrešaûŝejsposobnostiantenny
first_indexed 2025-07-02T22:17:43Z
last_indexed 2025-07-02T22:17:43Z
_version_ 1836575268765958144
fulltext УДК 519.6 Л.В. Мосенцова ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И ОБОБЩЕННОГО ПРИНЦИПА НЕВЯЗКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПОВЫШЕНИЯ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ АНТЕННЫ Актуальность Актуальной проблемой при создании современных систем наблюдения является разработка программных систем, предназначенных для решения задач восстановления сигналов, подвергнувшихся искажениям. Во многих случаях эти задачи формулируются в виде интегральных уравнений первого рода. Для их решения могут быть использованы специальные регуляризирующие методы, в том числе метод Тихонова [1]. Введение. В данной работе предлагается рассмотреть методы нахождения параметра регуляризации для метода Тихонова: метод вычислительных экспериментов [2] и обобщенный принцип невязки [1]. Для метода Тихонова применительно к интегральному уравнению Фредгольма I рода. ( , ) ( ) ( ), b a Ay K x s y s ds f x c x d    (1) предполагается, что 1),( LsxK  , 2)( Lxf  , Csy )( , а вместо точных )(xf и ),( sxK известны их приближенные значения )( ~ xf и ),( ~ sxK такие, что ,||)()(|| 2 ~  Lxfxf (2) где  - верхняя оценка значения погрешности правой части.  ||),(),(|| ~ sxKsxK , (3) где  - верхняя оценка значения погрешности ядра. Привлекается сглаживающий функционал   ,][)(~~]~,[ 2   d c ydxxfyAfy где стабилизирующий функционал    b a qdssyqsyy ,0,)]([)(][ 2'2 причем   b a dxcdssysxKyA ,)(),(~~ . Из условия минимума  следует уравнение Тихонова   btatFdssystRtyqty b a    ),()(),()()( , где  d c dxsxKtxKtsRstR ),(~),(~),(),( ,  d c dxxftxKtF )(~),(~)( , 0)()(   byay . Метод вычислительных экспериментов. Покажем, как можно определить параметр регуляризации  , используя метод вычислительных экспериментов. Суть метода заключается в том, что значение параметра регуляризации решаемой задачи выбирается, основываясь на решении модельных примеров. Метод состоит в следующем. 1. Пусть задано уравнение (оригинал P ) вида (1) своей правой частью  xf p ~ и набором ),(,,...,,,,...,, ~ 2121 sxKsssxxx pnl . (4) 2. Составляется модельный пример Q , в котором точное решение задается с учетом априорной информации об искомом решении. 3. Определяется )(xfQ из dxcxfdssysxK b a  ),()(),( , при    sxKsxK Q ,,  таком, что отнP Q PQ K KK ~ ~ |||| ||||   . 4. Численно решается (при различных б 0) уравнение              btadxxfx,tKdssydxx,sKtqytyб d c ~~ б b a d c ~" бб             , , (5) относительно   Qsy в режиме (4) с ядром      sxKsxKsxK pQ ,,, ~~~  и правой частью )()( ~~ xfxf Q , такой, что отнP Q QQ f ff ~ ~ |||| ||||   . 5. Определяется оптQ — то  , при котором 0 min |||| ||||     Q Q y yy Q . 6. Используется найденное значение Qоптб для решения исходного уравнения P . Описанному методу соответствует следующий численный алгоритм. Описание алгоритма 1. Пусть заданы ядро ),( ~ jip sxK и правая часть  ip xf ~ исходного примера P на сетках dxxxc l  ,...,, 21 , bsssa n  ,...,, 21 . 2. Ядро ),( jiQ sxK и точное решение )( jQ sy модельного примера Q определены на сетках dxxxc l  ,...,, 21 , bsssa n  ,...,, 21 . 3. Определяется constgsxKgsxK jiQjiQ  ),,(),( ~ . 4. Вычисляется правая часть модельного примера )(),()()( 1 ~ jQ n j jiQjiQiQ sysxKrxfxf    , )( 1xfQ =0, 2 12 1 ssr   , 2 11    jj j ss r , 2 1  nn n ssr . 5. Находится QQQ fxfxf  )()( ~ , такое, что 10, |)(|max ||max   iQ i xf f . 6. Для 10,1  ii , решается (5) методом конечных сумм и разностей при    jiQji sxKsxK ,, ~~  , )()( ~~ iQi xfxf  . 7. Определяется опт такое, при котором функция |)(|max |)()(|max jQ j jQjQj sy sysy i  принимает минимальное значение. 8. Находится )( jp sy − решение оригинала из (5) при опт ,    jipji sxKsxK ,, ~~  , )()( ~~ ipi xfxf  . Обобщенный принцип невязки. Рассмотрим способ нахождения параметра регуляризации обобщенным принципом невязки. Задано: FfYyfAy  ,, , (6)        ,|||| ,|||| ~ ~ AA ff F (7) FfYyfyA  ~~~ ,, , (8) где  - верхняя оценка значения погрешности правой части,  - верхняя оценка значения погрешности оператора. Для уравнения (6), полагаем, что вместо точных f и A известны f ~ и A~ с оценками (7), т. е. в действительности решается уравнение (8). Полагаем также, что решается задача минимизации функционала (9) в виде 22 |||||| ~~||] ~ ,[ YF yfyAfy  , (10) причем y – его экстремаль (т. е. решение задачи (9)). Используются следующие функции: 2|| ~~||)( FfyA  , (11) 2||||)( Yy , (12) а также величина ~ , равная   2|| ~~||inf~ FYy fyA , (13) где  – ее верхняя оценка. Величина ~ характеризирует вырождение оператора A~ (если замыкание ~ AY совпадает с F , то  =0) или меру несовместимости уравнения (8) и связана с псевдорешением. Обобщенная невязка имеет вид )()()(  , (14) где  2))(()( . (15) Известно [3], что при 0 функции )( и )( являются монотонно неубывающими и непрерывными, а )( – монотонно невозрастающей и непрерывной. При этом                   2 2 0 2 0 )(lim )(lim ||||)(lim )(lim Ff (16) следовательно, 2 0 )(lim   , )(|| ~ ||)(lim 22   Ff . Если  22||~|| Ff (17) то существует и является единственным в интервале (0,  ) такое значение d (значок d означает discrepancy – невязка), при котором 0)(  . (18) При этом в качестве начального приближения  при решении уравнения (15) можно воспользоваться следующим значением:                               1 )1( || ~ || ||~|| |||| 2 22 2 2 2 C C f A Aнач , где ].,0(,1/|| ~ || 0 constCCf Если же условие (17) не выполнено, то в качестве решения нужно брать 0y . Применительно к интегральному уравнению Фредгольма І рода обобщенный принцип невязки сводится к решению уравнения 0)()()(  , (19) dxxfdssysxK d c b a 2 )( ~ )(),()(             , (20)  2))(()( , (21)   b a dssy )()( 2 . (22) Численный эксперимент Сравнительный анализ методов проведем путем решения модельной задачи повышения разрешающей способности антенны в среде Matlab. Зададим исходную задачу:                                .4,4,0 ,4,4,)2,2(exp190 8,0 3,2exp160 )( 2 2 sпри sприss sy p      гдеqsxr sx N N sxqsxK p ,3),( )sinsin(sin sinsinsin),( 1                             ,|sinsin| ,|sinsin|1 ),( 2 sxприq sxпри sxr 9/1,0,9,0,2,38,25 321  qqqN . Модельный пример имеет вид:                                              .4,4,0 ,4,4, 98,0 14,2exp93 84,0 38,2exp72 )( 22 sпри sприss syQ      гдеqsxr sx N N sxqsxK Q ,3),( )sinsin(sin sinsinsin),( 1                             ,|sinsin| ,|sinsin|1 ),( 2 sxприq sxпри sxr 895,0/105,0,03675,0,895,0,82,37,25 321  qqqN . Для представления результатов введем обозначения: s – аргумент; y – точные значения функции; * my - значения функции, полученные методом вычислительных экспериментов; * ny - значения функции, полученные обобщенным принципом невязки. Таблица 1 Результат работы алгоритмов s y * my * ny -4,00 1,75 -0,19 2,76 -3,67 6,89 9,51 15,03 -3,33 19,86 24,99 29,01 -3,00 41,76 42,94 42,70 -2,67 64,08 56,07 51,17 -2,33 71,78 59,74 53,81 -2,00 58,68 51,78 48,95 -1,67 35,01 35,52 34,94 -1,33 15,24 18,60 19,26 -1,00 4,85 7,92 7,96 -0,67 1,15 4,55 6,65 -0,33 0,35 5,25 7,80 0,00 0,81 6,83 9,74 0,33 3,11 9,24 12,45 0,67 9,70 12,42 15,84 1,00 24,03 23,37 25,35 1,33 47,23 43,85 44,07 1,67 73,65 66,26 62,97 2,00 91,12 80,17 75,80 2,33 89,45 80,82 76,34 2,67 69,67 67,70 65,46 3,00 43,06 47,03 48,47 3,33 21,11 27,09 29,72 3,67 8,21 12,91 15,96 4,00 2,54 3,87 6,89 Максимальные относительные погрешности вида |)(|max |)(€)(|max sy sysy bsa bsa    для полученных результатов для метода вычислительных экспериментов и обобщенного принципа невязки равны 0,13 и 0,197 соответственно. Таким образом, в данном случае метод вычислительных экспериментов дает более точный результат. Рис. 1. Графики решений: точного (1), полученного методом вычислительных экспериментов (2) и обобщенным принципом невязки (3) Заключение. Численные результаты, полученные при решении ряда практических примеров, свидетельствуют о том, что рассмотренные регуляризирующие методы являются работоспособными, а предложенные программы достаточно эффективными, гибкими и удобными для использования. Они могут быть применены вместе с другими пакетами прикладных программ, которые входят в программный комплекс Matlab. 1. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. – К.: Наукова думка, 1986. – 544 с. 2. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. О способе модельных примеров при реализации методов решения неккоректных задач // Электронное моделирование. – 1979. – № 1. – С. 86–89. 3. Гончаровский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки. – Журнал вычислительной математики и мат. физики. – 1973. – 13, № 2. – С. 294–302.

Ähnliche Einträge