Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами

На основі нових математичних моделей (нових класів задач з розривними розв'язками) опису різноманітних процесів, що характерні для багатокомпонентних грунтових середовищ з включеннями, високоточних чисельних методів їх розв'язання з великими об'ємами повнопов'язаних даних розробл...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
Hauptverfasser:	Сергієнко, І.В., Дейнека, В.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2005
Schlagworte:	Науково-технічні інноваційні проекти Національної академії наук України
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/2669
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами / І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека // Наука та інновації. — 2005. — Т. 1, № 3. — С. 34-50. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-2669
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-26692017-02-18T21:14:27Z Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами Сергієнко, І.В. Дейнека, В.С. Науково-технічні інноваційні проекти Національної академії наук України На основі нових математичних моделей (нових класів задач з розривними розв'язками) опису різноманітних процесів, що характерні для багатокомпонентних грунтових середовищ з включеннями, високоточних чисельних методів їх розв'язання з великими об'ємами повнопов'язаних даних розроблена інформаційна технологія дослідження складних явищ в зазначених об'єктах. Технологія зорієнтована на використання суперкомп'ютерів сімейства СКІТ. Досліджені питання оптимального керування станами згаданих об'єктів. Ключові слова: інформаційна технологія, суперкомп'ютери сімейства СКІТ, багатокомпонентні ґрунтові середовища, високоточні чисельні методи, великі об'єми повнопов'язаних даних, оптимальне керування станами багатокомпонентних розподілених систем. На основании новых математических моделей (новых классов задач с разрывными решениями) описания разнообразных процессов, которые характерны для многокомпонентных грунтовых сред с включениями, высокоточных численных методов их решения с большими объемами полносвязаных данных разработана информационная технология исследования сложных явлений в указанных объектах. Технология сориентирована на использование суперкомпьютеров семейства СКИТ. Исследованы вопросы оптимального управления состояниями упомянутых объектов. Ключевые слова: информационная технология, суперкомпьютеры семейства СКИТ, многокомпонентные грунтовые среды, высокоточные численные методы, большие объемы полносвязаных данных, оптимальное управление состояниями многокомпонентных распределенных систем. The paper considers an IT used for investigation of complicated effects in multicomponent ground media with inclusions. An IT is based on new mathematical models (new classes of problems with discontinuous solutions) of description of different processes in multicomponent ground media with inclusions and on higher-order accuracy numerical methods of their solution under a large volume of completely-connected data. The technology is used for an intelligent SCIT cluster family. The problems of optimal control of the above-mentioned states are investigated. Keywords: IT, intelligent SCIT cluster family, multicomponent ground media, higher-order accuracy numerical methods, large volume of completely-connected data, optimal control of the states of distributed systems. 2005 Article Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами / І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека // Наука та інновації. — 2005. — Т. 1, № 3. — С. 34-50. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1815-2066 DOI: doi.org/10.15407/scin1.03.034 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/2669 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Науково-технічні інноваційні проекти Національної академії наук України Науково-технічні інноваційні проекти Національної академії наук України
spellingShingle	Науково-технічні інноваційні проекти Національної академії наук України Науково-технічні інноваційні проекти Національної академії наук України Сергієнко, І.В. Дейнека, В.С. Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами
description	На основі нових математичних моделей (нових класів задач з розривними розв'язками) опису різноманітних процесів, що характерні для багатокомпонентних грунтових середовищ з включеннями, високоточних чисельних методів їх розв'язання з великими об'ємами повнопов'язаних даних розроблена інформаційна технологія дослідження складних явищ в зазначених об'єктах. Технологія зорієнтована на використання суперкомп'ютерів сімейства СКІТ. Досліджені питання оптимального керування станами згаданих об'єктів. Ключові слова: інформаційна технологія, суперкомп'ютери сімейства СКІТ, багатокомпонентні ґрунтові середовища, високоточні чисельні методи, великі об'єми повнопов'язаних даних, оптимальне керування станами багатокомпонентних розподілених систем.
format	Article
author	Сергієнко, І.В. Дейнека, В.С.
author_facet	Сергієнко, І.В. Дейнека, В.С.
author_sort	Сергієнко, І.В.
title	Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами
title_short	Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами
title_full	Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами
title_fullStr	Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами
title_full_unstemmed	Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами
title_sort	інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Науково-технічні інноваційні проекти Національної академії наук України
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/2669
citation_txt	Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами / І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека // Наука та інновації. — 2005. — Т. 1, № 3. — С. 34-50. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT sergíênkoív ínformacíjnatehnologíâdoslídžennâprocesívvbagatokomponentnihgruntovihseredoviŝahtaoptimalʹnekeruvannâíhstanami AT dejnekavs ínformacíjnatehnologíâdoslídžennâprocesívvbagatokomponentnihgruntovihseredoviŝahtaoptimalʹnekeruvannâíhstanami
first_indexed	2025-07-02T05:51:32Z
last_indexed	2025-07-02T05:51:32Z
_version_	1836513222892453888
fulltext	34 Інноваційні проекти Національної академії наук України © НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. 2005 Наука та інновації.2005.Т 1.№ 3.С. 34–50. ІНФОРМАЦІЙНА ТЕХНОЛОГІЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСІВ В БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ ГРУНТОВИХ СЕРЕДОВИЩАХ ТА ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ЇХ СТАНАМИ І. В. Сергієнко, В. С. Дейнека Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, Київ Надійшла до редакції 29.03.05 Резюме: На основі нових математичних моделей (нових класів задач з розривними розв'язками) опи� су різноманітних процесів, що характерні для багатокомпонентних грунтових середовищ з включен� нями, високоточних чисельних методів їх розв'язання з великими об'ємами повнопов'язаних даних розроблена інформаційна технологія дослідження складних явищ в зазначених об'єктах. Технологія зорієнтована на використання суперкомп'ютерів сімейства СКІТ. Досліджені питання оптимального керування станами згаданих об'єктів. Ключові слова: інформаційна технологія, суперкомп'ютери сімейства СКІТ, багатокомпонентні грунтові середовища, високоточні чисельні методи, великі об'єми повнопов'язаних даних, оптималь� не керування станами багатокомпонентних розподілених систем. И. В. Сергиенко, В. С. Дейнека. ИНФОРМАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ В МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ГРУНТОВЫХ СРЕДАХ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИХ СОСТОЯНИЯМИ. Резюме: На основании новых математических моделей (новых классов задач с разрывными решени� ями) описания разнообразных процессов, которые характерны для многокомпонентных грунтовых сред с включениями, высокоточных численных методов их решения с большими объемами полносвя� заных данных разработана информационная технология исследования сложных явлений в указан� ных объектах. Технология сориентирована на использование суперкомпьютеров семейства СКИТ. Исследованы вопросы оптимального управления состояниями упомянутых объектов. Ключевые слова: информационная технология, суперкомпьютеры семейства СКИТ, многокомпо� нентные грунтовые среды, высокоточные численные методы, большие объемы полносвязаных дан� ных, оптимальное управление состояниями многокомпонентных распределенных систем. 35НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Інноваційні проекти Національної академії наук України Землі нашої держави багаті на різноманітні корисні копалини. Неконтрольоване приро� докористування та нераціональне ведення господарської діяльності призвели до збі� днення родовищ, рослинного світу, орних зе� мель та до погіршення загального стану до� вкілля. Досить небезпечними також є різнома� нітні приповерхневі дії (забудова, зокрема, висотними будинками не тільки грунтових схилів, а й рівнинних територій; створення підземних споруд різноманітного призначен� ня; бездумна вирубка лісів тощо), які призво� дять до порушення природно збалансованих режимів руху грунтових вод. Велика загроза нависла над Херсонщи� ною. Постійно збільшується площа її терито� рії, що затоплена водою від Каневського мо� ря за умов поливу сільськогосподарських угідь, заілення малих річок, руйнації дренаж� них систем. Збільшується мінералізація під� земних вод артезіанських колодязів та ін. Природно, що доцільність тієї чи іншої видобувної діяльності, створення підземних комунікацій, ведення наземного будівництва та різноманітна господарська діяльність має бути всебічно досліджена – промодельована і це можливо сьогодні за допомогою сучасних комп'ютерних засобів, на яких реалізавані сучасні нові інформаційні технології. 1. МОДЕЛІ ТА ВИСОКОТОЧНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСІВ В БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ ГРУНТОВИХ СЕРЕДОВИЩАХ Розвиток основних процесів в однорідних складових реальних грунтових середовищ (руху рідини, формування температурного стану, міграції хімічних елементів, переходу солей з твердого стану в розчин і навпаки, ме� ханічного деформування) досить повно опи� сується відповідними диференціальними рівняннями в частинних похідних, отрима� ними на основі основних законів збереження та припущення суцільності середовища. Ра� зом з цим для конкретних багатокомпонент� них об'єктів (зокрема грунтових), природно� го чи штучного походжень, розвиток згада� них процесів суттєво залежить від неоднорід� ності досліджуваного тіла. Про це яскраво свідчать численні дані натурних спостере� жень, що проведені після Чорнобильської ка� тастрофи, повені в Закарпатті, в зонах во� дойм�відстійників Качанівського нафтовидо� бувного вузла, в сильно�неоднорідних водо� носних товщах Південно�східного району Та� тарстану, а також останні підтоплення Хер� сонської та Запоріжської областей, дані моні� торингу свердловин добування прісних вод та ін. Окрім цього, необхідно зауважити, що I. V. Sergienko, V. S. Deineka. INFORMATION TECHNOLOGY FOR INVESTIGATION OF PROCESSES IN MULTICOMPONENT GROUND MEDIA AND OPTIMAL CONTROL OF THEIR STATES. Abstract: The paper considers an IT used for investigation of complicated effects in multicomponent ground media with inclusions. An IT is based on new mathematical models (new classes of problems with discontinuous solutions) of description of different processes in multicomponent ground media with inclu� sions and on higher�order accuracy numerical methods of their solution under a large volume of complete� ly�connected data. The technology is used for an intelligent SCIT cluster family. The problems of optimal control of the above�mentioned states are investigated. Keywords: IT, intelligent SCIT cluster family, multicomponent ground media, higher�order accuracy numerical methods, large volume of completely�connected data, optimal control of the states of distributed systems. 36 Інноваційні проекти Національної академії наук України НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 наявні тонкі включення (слабкопроникливі, слабкотривкі) породжують істотні відмінно� сті відповідних характеристик (порових тис� ків, п'єзометричних напорів, дотичних змі� щень тощо) на різних сторонах таких вклю� чень та тріщин. На цю обставину звернули увагу ще в 40�х роках минулого століття відомі вчені М. К. Гиринський та Г. М. Ка� менський, які врахували взаємодію водонос� них горизонтів через слабкопроникливе включення шляхом введення певної умови, що в літературі отримала назву умови переті� кання. За допомогою такого типу умови до� слідники температурних процесів в тілах з включеннями враховували перетік тепла че� рез слабкопроникливе включення. Більш ретельне вивчення та врахування впливу наявних природних чи штучних тон� ких включень на досліджувані процеси (фільтрації рідини, фільтрації�вологоперено� су, теплопровідності), проведене в Інституті кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН Украї� ни, дозволило уточнити згадану умову пере� тікання на випадок довільно розташованого в просторі тонкого слабкопроникливого вклю� чення γ, а потім і на більш загальний випадок – довільно розташоване в просторі тонке тришарове включення⎯γ =⎯γ1 ∪⎯γ2 ∪⎯γ3 , де ⎯γ1,⎯γ3 – слабкопроникливі складові,⎯γ2 – розташована між⎯γ1,⎯γ3 сильнопрониклива складова. Доведено, що вплив такого вклю� чення на рух рідини та температурний режим досить повно описується певними дифе� ренціальними виразами (умовами спряжен� ня) Ll(u) = 0 , x ∈ γ , (1) де γ – серединна поверхня ⎯γ, u = u(x, t) – п'єзомеричний напір, чи температура тіла в точці x = (x1, x2, x3) декартової системи коор� динат x1x2x3 в зазначений час t. З метою зменшення термоопорів R1, R3 слабкопроникливих складових⎯γ1,⎯γ3 (для вирівнювання температури по багатокомпо� нентному тілу) на практиці часто виконують� ся певні запобіжні заходи (зменшення за� зорів між складовими тіла, влаштування фольгових прошарків та ін.). При R1 = R3 = 0 природна складова систе� ми (1) переходить в головну [1] [u] = –δ , x ∈ γ , (2) тобто на тонкому включенні заданий стрибок шуканого розв'язку u відповідної крайової чи початково�крайової задачі, δ – деяка відома функція. В Інституті кібернетики ім. В. М. Глуш� кова НАН України досліджені [1�10] задачі з умовами спряження: власного джерела; коли зміна температурного поля на γ описується диференціальним рівнянням в частинних похідних; різноманітні умови, що відобража� ють вплив тонких слабкотривких включень чи тріщин на напружено�деформований стан складених тіл; умови спряження зосередже� них теплоємностей, зосереджених мас (запо� чаткованих А. М. Тихоновим, О. А. Самарсь� ким); різноманітні умови спряження на власні функції в спектральних диференці� альних задачах та ін. Ретельний аналіз різноманітних умов спряження (співвідношень, що враховують вплив тонких включень на досліджувані про� цеси) показав, що доцільно їх класифікувати як природні та головні [1], аналогічно як це зроблено з крайовими умовами в задачах ма� тематичної фізики відомим вченим С. Г. Мі� хліним. В результаті проведених теоретичних досліджень для крайових задач, що опису� ються еліптичними рівняннями другого по� рядку з різноманітними типами умов спря� ження та змішаними крайовими умовами (в тому числі за наявних неоднорідних голо� вних умов спряження та крайових умов), по� будовані відповідні класичні узагальнені за� дачі (задачі в слабких постановках), що поля� 37НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Інноваційні проекти Національної академії наук України гають в пошуку функції u = u(x) ∈ H = = {v(x) ∈⎯H : L2(v) = ϕ}, яка ∀ w ∈ H0 = = {v(x) ∈⎯H : L2(v) = 0} задовольняє тотож� ність a(u, w) = l(w) , (3) де a(⋅, ⋅) :⎯H X⎯H → R1 та l(⋅) :⎯H → R1 відпо� відно, деякі білінійна форма та лінійний функціонал, R1 – множина дійсних чисел, W2 1(Ωi) – прос� тір функцій Соболєва, що визначені на об� ласті Ωi, L2(v) – оператор, що задає головні крайові умови та головні умови спряження. Отримані достатні умови існування непо� рожніх множин Н [1]. Доведені теореми існування та єдиності розривних розв'язків u ∈ H відповідних задач (3) [1, 7, 8]. Показано, що за умови достатньої гладкості на Ωi, i = 1, 2, узагальнений розв'я� зок u = u(x) є класичним розв'язком вихідної диференціальної (крайової) задачі, де при� родні умови (крайові та спряження) викону� ються автоматично. Доведено, що єдині розв'язки u ∈ H задач вигляду (3) доставляють найменше значення на Н функціоналу енергії Ф(v) = a(v, v) – 2l(v) , (4) де білінійна форма a(⋅, ⋅) та лінійний функці� онал l(⋅) визначені задачею (3). Розроблено методику побудови класів розривних функцій методу скінчен� них елементів (МСЕ), де наближені розв'яз� ки розглядуваних диференціаль� них задач є розв'язками наступних задач: a) знайти функцію uk N ∈ Hk N таку, що має місце тотожність ; (5) б) знайти функцію uk N ∈ Hk N таку, що . (6) Доведено еквівалентність задач (5), (6). Встановлено існування та єдиність їх спіль� ного розв'язку uk N ∈ Hk N. Отримано оцінки похибок наближених розв'язків , (7) де – енергетична норма, що по� роджена оператором вихідної задачі, u – кла� сичний розв'язок, c = const, h – найбільший з діаметрів всіх скінченних елементів, k – сте� пінь поліномів МСЕ, N – кількість скінчен� них елементів, на які розбита область⎯Ω з розрізом γ. Доведено, що у випадку Hk N ⊄ H , (8) а при Hk N ⊂ H , (9) , (10) де с1, с2 = const,⎯h – найбільший з діаметрів скінченних елементів розбиття частини Г1 границі області⎯Ω та розрізу γ, на яких задані неоднорідні головні умови. Для чисел обумовленості матриць А сис� тем алгебраїчних рівнянь МСЕ Ax = B , (11) отриманих на основі еквівалентних задач (5), (6), має місце оцінка , (12) де h – довжина найменшої з сторін прямокут� ної дискретної сітки розбиття складеної об� ласті⎯Ω. Отримані також еквівалентні узагальне� ні задачі вигляду (3), (4) для еліптичних за� дач, що визначені в циліндричних та поляр� них системах координат з розривними роз� в'язками. Для них побудовані відповідні кла� си функцій МСЕ. Для наближених N k N k HH 0 , N k N k Hu ∈ { },2,1),(:)( 1 2 =Ω∈= Ω iWvxvH ii 00 HHv N k N k ⊂∈∀ ( ) ( )NkN k N k vvua l=, ( ) ( ) ( )( )N k N k N k Hv N k Hv N k vvvavu N k N k N k N k l2,min)(min −=Φ=Φ ∈∈ k L N k chuu ≤− ( )⋅⋅=⋅ ,21aL ( ) ( ) ( )12 10, ++≤Φ−Φ≤≤− kkN k k L N k hhcuuchuu ( ) ( ) kN k hcuu 2 10 ≤Φ−Φ≤ k W N k hcuu 21 2 ≤− ( ) 2−≤ chAcond N k N k HH 0 , 38 Інноваційні проекти Національної академії наук України НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 розв'язків uk N ∈ Hk N отримані оцінки вигляду (7)–(10), а для чисел обумовленості мат� риць А систем алгебраїчних рівнянь МСЕ ви� гляду (11) – оцінку вигляду (12). Зазначимо, що отримані оцінки (7)–(10) для розривних наближених розв'язків МСЕ за порядком кроку розбиття області⎯Ω не гір� ші аналогічних, відомих для відповідних кла� сів задач з гладкими розв'язками. Цю власти� вість має і оцінка (12). Для всіх розглянутих класів задач роз� роблена методика заміни неоднорідних голо� вних умов спряження та неоднорідних голо� вних крайових умов природніми з викорис� танням малого параметру ε > 0. Встановлена оцінка похибки збурення розв'язку [1–3] , (13) де u та uε – розв'язки, відповідно, вихідної та збуреної задач. Розв'язуючи за допомогою МСЕ збурену задачу, маємо наближений розв'язок ви� хідної задачі. Отримана оцінка похибки [1–3] . (14) Побудовані крайові задачі для квазілі� нійних еліптичних рівнянь з різноманітними типами умов спряження (в тому числі і з го� ловними неоднорідними) [1, 11]. Розглянуті класичні чотири типи нелінійності операто� ра, що зустрічаються в роботах Варги Р., Марчука Г. І., Самарського О. А. та ін. На основі розробленої в Інституті кібер� нетики ім. В. М. Глушкова НАН України ме� тодики отримані класичні узагальнені задачі в слабких постановках, що визначені на кла� сах розривних функцій. Доведено теореми про існування та єди� ність розривних узагальнених розв'язків ква� зілінійних задач з неоднорідними природ� німи та головними умовами [11]. Для визначення наближених узагальне� них розв'язків побудовані обчислювальні схеми підвищеного порядку точності дискре� тизації отриманих узагальнених задач. Дове� дено теореми про існування та єдиність роз� ривних наближених узагальнених розв'язків цих задач. Для наближених узагальнених розв'язків отримані оцінки вигляду (10). Для всіх розглянутих класів квазіліній� них задач розроблена методика побудови ре� гуляризатора B ітераційного методу , (15) розв'язування проміжної нелінійної системи алгебраїчних рівнянь A(y) = 0 , (16) де τ > 0 – параметр. Оператор B будується так, що забезпечу� ється збіжність геометричної прогресії іте� раційного процесу (15) [1], тобто , (17) де 0 < ρ0 < 1, y – розв'язок системи (16). Для цих задач розглянута та теоретично обгрунтована методика використання мало� го параметру ε > 0 при заміні неоднорідних головних умов природними. Для збуреного розв'язку uε та наближеного узагальненого розв'язку отримано, відповідно, оцінки вигляду (13) та (14) [1]. Досліджені питання побудови обчислю� вальних схем підвищеного порядку точності розрахунку нелінійних температурних полів складених тіл обертання в циліндричній сис� темі координат та циліндричного складеного тіла в полярній системі координат за різно� манітних умов на межах контакту складових тіл [1]. Отримані класичні узагальнені задачі в слабких постановках, що визначені на кла� сах розривних функцій. Для різноманітних типів нелінійностей та різноманітних типів умов спряження розроблені обчислювальні схеми підвищеного порядку точності дискре� тизації відповідних задач в слабких поста� εε cuu W ≤− 1 2 N ku ε ( )ε ε +≤− k W N k hcuu 1 2 ( ) n k kk EykyAyyB ∈∀==+−+ 0 1 ,,...2,1,0 ,0 τ B k Bk yyyy −≤− 00ρ N ku ε 39НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Інноваційні проекти Національної академії наук України новках. Доведено теореми про існування та єдиність наближених розривних узагальне� них розв'язків uk N ∈ Hk N МСЕ. Для наближе� них узагальнених розв'язків uk N(x) отримані оцінки похибки вигляду (10). Для всіх розглянутих класів квазіліній� них задач в циліндричній та полярній систе� мах координат з різноманітними типами умов спряження розроблена методика побу� дови регуляризатора B ітераційного методу (15) розв'язування відповідних проміжних нелінійних систем (16) алгебраїчних рівнянь МСЕ, що забезпечує збіжність геометричної прогресії (17) цього ітераційного процесу [1]. Розглянута та теоретично обгрунтована методика використання малого параметру ε > 0 при заміні неоднорідних головних умов природними [1]. Побудовані нові диференційні матема� тичні моделі пружного деформування бага� токомпонентних тіл, що вміщують довільно зорієнтовані в просторі тонкі тріщини, що за� повнені рідиною за умов розклинювального тиску та заданим нормальним розходженням берегів продовгуватої тріщини [1]. Подібні диференційні математичні моделі побудовані для складених ізотропних та ортотропних циліндричних тіл обертання. Розроблена методика побудови відповід� них класичних узагальнених задач в слабких (3) та варіаційних (4) постановках. Для ос� танніх доведено їх еквівалентність та уста� новлено існування їх єдиного розривного розв'язку (в кожному з зазначених випадків). На основі використання класів розрив� них функцій методу скінченних елементів розроблені обчислювальні схеми підвищено� го порядку точності дискретизації побудова� них нових узагальнених задач. Для наближе� них узагальнених векторних розв'язків uk N(x) МСЕ отримані оцінки вигляду (7)–(10), що засвідчують те, що такі обчислювальні алго� ритми за точністю не гірші аналогічних відо� мих для відповідних класів задач з гладкими розв'язками. Показано, що для чисел обумов� леності матриць МСЕ розроблених обчислю� вальних алгоритмів, як і для еліптичних за� дач з розривними розв'язками, має місце оцінка O(1/h2) [1]. Побудовані нові диференціальні матема� тичні моделі динамічного пружного дефор� мування багатокомпонентних тіл з розкли� нювальним тиском на довільно зорієнтова� ній у просторі продовгуватій тріщині та за умов наявності зосереджених мас на берегах тріщини [9]. Початково�крайові задачі для динамічної пружної рівноваги з розривними зміщеннями отримані для декартової та ци� ліндричної (осесиметричний випадок) сис� тем координат. Розроблена методика (шляхом викорис� тання відповідних класів розривних функ� цій) побудови відповідних класичних уза� гальнених задач. На основі використання класів розривних вектор�функцій методу скінченних елементів побудовані обчислю� вальні схеми підвищеного порядку точності дискретизації отриманих нових узагальне� них задач динамічної пружної рівноваги ба� гатокомпонентних тіл. Для наближеного роз� ривного розв'язку uk N(x, t) МСЕ має місце оцінка , (18) а для дискретного за часом наближення , отриманого за допомогою МСЕ та різницевої схеми Кранка�Ніколсона, маємо оцінку , (19) де c, c1 = const, u = u(x, t) – класичний розв'я� зок відповідної початково�крайової задачі, – крок дис� кретизації по часовій змінній, . k LL N k chuu ≤− ∞×2 jU ( )2 1 ,0 2 max τ+≤− = k L jj mj hæuU ( ) ( ) ττ , ,, jttxuxuu jj jj === = ∞×LL2 ϕ ( ) 21 2 ,0 22 ,sup ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ == ∫ Ω∈ dxLL �t ϕϕϕ 40 Інноваційні проекти Національної академії наук України НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Отримані оцінки (18), (19) засвідчують, що за порядками кроків дискретизації h, τ розроблені обчислювальні алгоритми для за� дач динамічної рівноваги тіл з включеннями не гірші аналогічних відомих для відповід� них класів задач з гладкими розв'язками. Дослідження процесів напірної фільтра� ції рідини в багатокомпонентних тілах з різ� номанітними включеннями, а також дослі� дження формування усталених температур� них полів в таких тілах при заданих на їх гра� ниці потоках рідини чи тепла (при заданих крайових умовах Неймана) зводяться до роз� в'язування крайових задач Неймана для еліптичних рівнянь другого порядку з умова� ми спряження та неєдиними розривними розв'язками (з неєдиними розривними п'єзо� метричними напорами в задачах фільтрації рідини чи неєдиними розривними полями температур) [1–3, 7, 8]. Для різноманітних типів умов спряжен� ня отримані умови сумісності – необхідні умови існування класичних розривних роз� в'язків таких задач, що пов'язують внутрішні джерела / витоки тіла Ω ∪ γ, значення по� токів g на границі Г досліджуваного багато� компонентного тіла Ω та джерела / витоки ω на поверхнях тріщин γ, у вигляді . (20) Побудовані відповідні задачі в слабкій постановці пошуку функції u ∈HQ такої, що задовольняє тотожність вигляду (3), де , Q – довільне фіксоване дійсне число, . Для цього випадку доведено твердження. Теорема 1. Задача вигляду (3) має єди� ний розв'язок u = u(x) ∈HQ, який доставляє на HQ найменше значення функціоналу ви� гляду (4). Якщо і виконана умова (20), то u = u(x) – єдиний класичний розв'язок вихідної крайової задачі Неймана, що задовольняє умову . (21) Зауваження 1. Для існування єдиного розв'язку еквівалентних узагальнених задач вигляду (3), (4) виконання умови узгодже� ності (20) вихідних даних не вимагається. Зауваження 2. Умова узгодженості ви� хідних даних (20) отримана для випадку умов спряження тришарового включення з природними та головними умовами спря� ження. Для інших типів умов спряження во� на може мати інший вигляд. Зауваження 3. Множини HQ, H0 визначе� ні для випадку природних умов спряження (1) з довільно розміщеним у просторі триша� ровим тонким включенням γ. Для випадку наявності неоднорідної головної умови спря� ження (2) ці множини визначаються таким чином: Розроблено методику [1–3, 7, 8] заміни розглядуваних задач Неймана з єдиними розв'язками u = u(x) в відповідній замкнутій опуклій множині HQ еквівалентними, що виз� начені на множинах без обмеження (21). До� ведено еквівалентність такої заміни при ви� конанні умови узгодженості (20). Нова зада� ча в слабкій постановці полягає в пошуку функції u ∈H, що задовольняє то� тожність , (22) де для випадку природних умов спряження (1) H =⎯H, H0 = H, а для умов спряження (2) ∫ ∫ ∫ Ω =+ ˆ dgdˆfdx γ γω 0Hw∈∀ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =∈= ∫ Ω Qvdx˝ıvHQ :)( ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =∈= ∫ Ω 0:)(0 vdx˝ıvH ( ) ( ) ∞<=ΩΩ∈ ΩΩ ll lI ll uDCCu 221 ,2,1 , ∫ Ω =Qudx ( ) , , ][: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =−=∈= ∫ Ω Qvdxv˝xvHQ δγ ( ) .0,0 ][:0 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ==∈= ∫ Ω vdxv˝xvH γ 0Hw∈∀ ( ) ( )vvua 11 , l= 41НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Інноваційні проекти Національної академії наук України ; , . Доведено існування та єдиність розв'яз� ку задачі (22), що доставляє найменше зна� чення функціоналу Ф(z) = a1(z, z) – 2l1(z) (23) на множині Н. Показана справедливість твердження. Теорема 2. Нехай класичний розв'язок диференціальної задачі Неймана . Тоді для наближеного розв'язку uk N(x) ∈ Hk N ⊂ H методу скінченних елементів еквівалентних задач (22), (23) має місце оцінка вигляду (10). Слід зауважити, що розроблена методика дозволяє досить легко будувати обчислю� вальні схеми підвищеного порядку точності для чисельного розв'язання складних задач Неймана з різноманітними типами умов спряження та з неєдиними розв'язками. Зауваження 4. Факти існування та єди� ності розривних розв'язків u ∈ HQ та u ∈ H еквівалентних задач вигляду (3), (4) та (22), (23) показані на основі доведеної для класів розривних функцій v ∈⎯H узагальненої не� рівності Пуанкаре , де c = const. Аналогічні результати отримані стосовно задач Неймана для еліптичних рівнянь дру� гого порядку в ортогональних криволінійних (циліндричній та полярній) системах коор� динат з різноманітними тонкими включення� ми [1], а також для рівнянь 4�го порядку про прогини складеної стрижневої системи [12] та складеної тонкої пластини [13]. Зауваження 5. Деякі з умов спряження, наприклад, умови власного зосередженого джерела [u] = 0, x ∈ γ, [qu] = β, x ∈ γ, де β = const > 0 (стрибок потоку пропорційний шуканому розв'язку) визначають єдиність розв'язку задачі Неймана для еліптичних рівнянь 2�го порядку як в декартовій, так і в ортогональних криволінійних системах ко� ординат. В цьому випадку приходимо до по� шуку функції , що задовольняє тотожність вигля� ду (3), або доставляє найменше значення на Н функціоналу вигляду (4). Доведена еквіва� лентність цих задач та існування їх єдиного розв'язку u ∈ H. За допомогою МСЕ будуємо наближе� ний розв'язок uk N(x) ∈ Hk N ⊂ Η, для якого має місце оцінка вигляду (10). Зауваження 6. Типи крайових умов, умов спряження визначають як єдині розв'язки, так і неєдині, а для рівнянь 4�го порядку – не� єдиність розв'язків з одним та двома ступе� нями свободи. Нусталені процеси руху рідини у стисли� вих багатокомпонентних грунтових середо� вищах з включеннями та неусталені процеси формування температурних полів в таких ті� лах описуються лінійними та нелінійними початково�крайовими задачами для парабо� лічних рівнянь з умовами спряження неіде� ального контакту [4]. Побудовані відповідні класичні узагальнені задачі, що визначені на класах розривних функцій, для лінійних та нелінійних параболічних рівнянь з умовами спряження. На основі використання відпо� відних класів розривних функцій МСЕ побу� довані обчислювальні алгоритми підвищено� го порядку точності знаходження наближе� них узагальнених розв'язків вихідних почат� ково�крайових задач. Аналогічні питання досліджені для сис� теми нелінійних параболічних та еліптико� параболічних рівнянь (опису руху рідини в стисливо�нестисливих грунтах) [14], псевдо� параболічного рівняння (опису руху рідини в тріщинуватих тілах) [15] з умовами спря� ження неідеального контакту. { } { } 0][ :)(, ][ :)( 0 =∈=−=∈= γγ δ v˝xvHv˝xvH ( ) ( ) ∫∫ ΩΩ += vdxudxvuavua ,,1 ( ) ( ) ∫ Ω += vdxQvv ll1 ( ) 2,1 , , 11 =∞<Ω∈ Ω ++ Ω iuDCu ii k i k ∫ ∫ ∫∫ Ω Ω Ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∇∇≤ γ γdvvdxvdxvcdxv 2 2 2 ][ ( ) [ ]{ }0 : =∈=∈ γv˝xvHu HHw =∈∀ 0 42 Інноваційні проекти Національної академії наук України НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Дослідження нестаціонарних полів та процесів вільних коливань, стійкість складе� них тіл породжують різноманітні диференці� альні спектральні задачі з умовами спряжен� ня неідеального контакту для власних функ� цій розглядуваних задач [1, 10, 16]. Такі спектральні задачі отримані для еліптичних операторів другого порядку в де� картовій, циліндричній та полярній системах координат [1], для операторів теорії пружно� сті в декартових та циліндричних системах координат [1], для еліптичних операторів 4� го порядку [16]. Слід зазначити, що розгляд нестаціонар� них задач з умовами спряження зосередженої теплоємності та динамічних задач з умовами спряження зосереджених мас призводить до розгляду диференціальних спектральних за� дач з власними значеннями не тільки в опе� раторі стану, а й в умовах спряження та кра� йових умовах [1–3, 10]. Для всіх зазначених диференціальних спектральних задач отримані відповідні кла� сичні спектральні задачі в слабких постанов� ках. Отримані класичні функціонали Релея. Для всіх зазначених різноманітних спект� ральних задач з умовами спряження розроб� лена методика побудови обчислювальних ал� горитмів підвищеного порядку точності їх дискретизації. Запропоновані алгоритми за точністю не гірші аналогічних, що відомі для відповідних класів спектральних задач з гладкими власними функціями. Аналогічні питання розглянуті для псев� догіперболічних рівнянь з умовами спряжен� ня [17]. 2. ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ПРОЦЕСАМИ В БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ ГРУНТОВИХ СЕРЕДОВИЩАХ З метою збереження грунтових пластів в при� родному чи близькому до нього стані досить актуальним є проведення попереднього ана� лізу доцільності застосування певних техно� логій та їх наслідків при добуванні корисних копалин, забудові схилів, вирубуванні лісів, забудові рівнинних територій висотними бу� динками, створенні різноманітних підземних комунікацій та ін., від чого суттєво залежить життя сьогоднішнього та майбутніх поколінь населення. За допомогою певних заходів (дренуван� ня, тепловідводу та ін.) можна покращити стан багатокомпонентних грунтів. Питанням оп� тимального керування основними процеса� ми, що характерні для багатокомпонентних тіл з різноманітними довільно розташовани� ми в просторі тонкими включеннями, при� свячені монографії [7, 8]. Як зазначено вище, основними процеса� ми, що є характерними для грунтових маси� вів природного чи штучного походжень є: рух рідини за різноманітних режимів, форму� вання температурних станів, механічне де� формування. Врахування впливу тонких включень на досліджувані процеси породжує принципово нові класи математичних задач, а саме задач з розривними розв'язками, що виступають математичними задачами станів відповідних багатокомпонентних розподіле� них систем. Вибір оптимальних режимів функціону� вання запобіжних засобів в таких системах в математичному плані зводиться до визначен� ня оптимальних збурень крайових умов, умов спряження та ін., щоб забезпечити мінімальне відхилення стану (по всьому тілу, на окремих його ділянках) від бажаного. В значній мірі питання оптимального керуван� ня однорідними розподіленими системами досліджені в відомій монографії французько� го вченого Ж.–Л. Ліонса "Оптимальное уп� равление системами, описываемыми уравне� ниями с частными производными" (М.: Мир, 1972. – 414 с.). В монографіях [7, 8] фунда� ментальні результати Ж.–Л. Ліонса отрима� 43НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Інноваційні проекти Національної академії наук України ли подальше узагальнення та розвиток на нові важливі класи неоднорідних розподіле� них систем, стани яких описуються крайови� ми задачами для еліптичних рівнянь (в тому числі умовно коректними – з неєдиними роз� ривними станами), крайовими, початково� крайовими задачами для рівнянь пружної рівноваги багатокомпонентних тіл з умовами спряження та початково�крайовими задача� ми для параболічних, еліптико�параболіч� них, гіперболічних, псевдогіперболічних сис� тем з різноманітними типами умов спряжен� ня. Оптимальне керування процесами напір� ної фільтрації рідини в багатокомпонентних грунтових середовищах та формування уста� лених температурних полів в таких тілах зво� диться до розгляду задач оптимального керу� вання станами, що описуються еліптичними рівняннями з крайовими умовами та умова� ми спряження. В роботах [7, 8] розглянуті різноманітні можливості оптимального керу� вання такими системами (внутрішніми дже� релами, в крайових умовах, в умовах спря� ження, комплексним керуванням – одночас� но на різних складових багатокомпонентних тіл) з різноманітними спостереженнями за станами системи (по всьому багатокомпо� нентному тілу, на частині та всій його гра� ниці, на тонкому включенні, за значеннями стану та потоками, одночасно на різних скла� дових тіла та ін.). В цих розглянутих випад� ках доведено теореми про існування опти� мальних керувань з квадратичними функція� ми вартості. Розглянуті також випадки коли крайові задачі опису стану вміщують головні неоднорідні крайові умови та неоднорідні го� ловні умови спряження. У випадку, коли множина допустимих керувань Uд співпадає з відповідним повним гільбертовим простором U керувань, показа� на можливість побудови на основі викорис� тання розривних функцій методу скінченних елементів обчислювальних схем підвищено� го порядку точності визначення оптималь� них керувань. Дослідження питань оптимального керу� вання усталеними процесами дифузії при за� даних потоках на границі багатокомпонент� ного тіла зводиться до вивчення питання не� перервної залежності розривного стану сис� теми (яке може бути неєдиним) від різнома� нітних збурень (керувань). Показано, що при визначенні стану системи y = y(x, u) = y(u) серед функцій множини , де x ∈⎯Ω1 ∪⎯Ω2, Ω1, Ω2 – складові двохкомпонен� тного тіла⎯Ω з включенням γ = дΩ1 ∩ дΩ2 ≠ 0, Q – довільне фіксоване дійсне число, – керуван� ня, Uд – допустима множина керувань, стан y(u) та його сліди на певних складових ті� ла⎯Ω неперервно залежать від різноманіт� них керувань, що перераховувались раніше для еліптичних систем з єдиними станами. Це дало змогу довести існування єдиних оп� тимальних керувань таких умовно�корект� них еліптичних систем з розривними стана� ми. Для того, щоб зняти складне для враху� вання в обчислювальних алгоритмах пошуку оптимальних керувань обмеження , розроблена методика заміни еліптичних за� дач з різноманітними збуреннями (керуван� нями) та таким обмеженням еквівалентними крайовими задачами для еліптичних рівнянь з умовами спряження, де єдиний стан y = y(u) визначається в відповідному класі розривних функцій без цього обмеження. Показана можливість побудови обчислювальних схем підвищеного порядку точності для чисельно� го визначення наближення єдиного опти� мального керування u ∈ Uд = U. Окрім зазначених в роботах [7, 8] дослі� джені питання оптимального керування ста� нами стрижневої системи з проміжним шар� ніром з жорсткістю α > 0. Розглянуті на� ступні оптимізаційні задачі: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =∈= ∫ Ω QvdxHvVQ : ( ) ∂Ω ∈=Ω∈= UuiWvvH ii ,}2,1,:{ 1 2 ∫ Ω =Qydx 44 Інноваційні проекти Національної академії наук України НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 ♦ керування розподіленим навантаженням зі спостереженням за прогинами складе� ного стрижня; ♦ керування жорсткістю підпори шарніру зі спостереженням за прогинами складе� ного стрижня; ♦ граничне керування величиною прикла� деного моменту зі спостереженням за прогинами системи; ♦ граничне керування величиною прикла� деного моменту зі спостереженням за прогинами системи при пружному за� кріпленні протилежного кінця складено� го стрижня; ♦ управління жорсткістю пружної внутрі� шньої опори зі спостереженням за її про� гином; ♦ управління жорсткістю внутрішнього шарніру зі спостереженням за прогином складеного стрижня при наявних неод� норідних головних крайових умовах. В усіх зазначених випадках доведено існування єдиного оптимального керування конкретної системи. Показана можливість побудови обчислювальних схем підвищеного порядку точності чисельного визначення на� ближення оптимального керування u ∈ Uд = U. Досліджені питання оптимального керу� вання станами складеної тонкої пластини. Розглянуті наступні оптимізаційні задачі: ♦ керування розподіленим навантаженням складеної пластини зі спостереженням за її прогинами; ♦ керування жорсткістю пружної підпори і пружного шарніру, за допомогою якого з'єднані дві тонкі пластини, зі спостере� женням за прогинами складеної пластини; ♦ керування жорсткістю пружної підпори пружного шарніру, за допомогою якого з'єднані дві тонкі пластини, зі спостере� женням за його прогинами; ♦ керування жорсткістю пружної підпори пружного шарніру зі спостереженням за прогинами краю складеної пластини; ♦ керування величиною перерізуючої сили на частині границі складеної пластини зі спостереженням за прогинами шарніру з'єднання її складових; ♦ керування величинами зкручуючого мо� менту на частині границі складеної плас� тини зі спостереженнями за прогинами шарніру з'єднання її складових; ♦ керування величинами зкручуючого мо� менту на частині границі складеної плас� тини зі спостереженнями за її прогинами; ♦ керування розподіленим навантаженням складеної пластини при заданих зміщен� нях її краю зі спостереженням за проги� нами всієї пластини. В усіх зазначених випадках доведено існування єдиного оптимального керування конкретної системи. Показана можливість побудови обчислювальних схем підвищеного порядку точності чисельного визначення на� ближення оптимального керування u ∈ Uд = U конкретної системи. Оптимальне керування неусталеними процесами фільтрації рідини у стисливих ба� гатокомпонентних грунтових середовищах та формування неусталених температурних полів в таких тілах зводиться до розгляду за� дач оптимального керування станами багато� компонентних тіл з довільно розташованими у просторі тонкими включеннями, що опису� ються параболічними рівняннями з крайови� ми, початковими умовами та умовами спря� ження неідеального контакту. В роботах [7, 8] розглянуті різноманітні можливості опти� мального керування такими системами (вну� трішніми джерелами, величинами джерел / витоків на тонких складених включеннях, в крайовій умові) за умов різноманітних спо� стережень (за формуванням п'єзометричних напорів (температур) по всьому багатоком� понентному тілу, на його границі, на тонкому включенні, в фінальний час функціонування системи). Оптимальне керування неусталеними процесами фільтрації рідини у стисливих ба� 45НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Інноваційні проекти Національної академії наук України гатокомпонентних грунтових середовищах та формування неусталених температурних полів в таких тілах за умов відкачування рідини та наявних тонких включень з зосере� дженими теплоємностями породжує прин� ципово інші задачі стану багатокомпонент� них тіл – принципово інші початково�край� ові задачі для параболічних рівнянь з умова� ми спряження зосереджених теплоємностей. Досліджені питання різноманітного опти� мального керування станами таких систем за умов різноманітних спостережень. Оптимальне керування неусталеними процесами фільтрації рідини в багатокомпо� нентних грунтових тілах зі щільними стисли� вими та нестисливими складовими зводить� ся до вивчення питань оптимального керу� вання станами багатокомпонентних тіл з довільно розташованими у просторі тонкими включеннями, що описуються початково� крайовими задачами для еліптико�пара� болічних рівнянь з крайовими, початковими умовами та умовами спряження неідеального контакту. За допомогою використання мало� го параметру встановлено існування та єди� ність стану (розв'язку відповідних початко� во�крайових задач) багатокомпонентної сис� теми за різноманітних умов збурень вихідних даних (правої частини еліптико�параболіч� ного рівняння, умов спряження, крайових умов, початкової умови) та неперервність стану системи і його слідів на певних поверх� нях від відповідних збурень. Це дало змогу дослідити оптимальну керованість (правими частинами еліптико�параболічного рівняння, умовами спряження, крайовими та початко� вими умовами) багатокомпонентних неодно� рідних розподілених систем з різноманітни� ми спостереженнями (по всьому багатоком� понентному тілу, на його границі, на тонкому включенні, за фінальним станом системи). Оптимальне керування неусталеними процесами фільтрації рідини у тріщинуватих багатокомпонентних тілах зводиться до роз� гляду задач оптимального керування систе� мами, стан яких описується початково�край� овими задачами для псевдопараболічних рівнянь з умовами спряження неідеального контакту. Досліджені різноманітні можливо� сті оптимального керування такими система� ми (внутрішніми джерелами, в умовах спря� ження, крайових умовах) за умов різноманіт� них спостережень (за формуванням п'єзоме� тричного напору по всьому багатокомпонен� тному тілу, на його границі, на тонкому вклю� ченні, за фінальним станом системи). В усіх розглянутих задачах доведено існування єди� ного оптимального керування. Різноманітні коливні процеси описують� ся початково�крайовими задачами для рів� няння та систем диференціальних рівнянь в частинних похідних гіперболічного типу. В роботах [6, 7] досліджені питання оптималь� ного керування системами, стан яких опису� ється початково�крайовими задачами для рівнянь в частинних похідних гіперболічного типу з умовами спряження неідеального кон� такту. Розглянуті різноманітні можливості оптимального керування зазначеними систе� мами (рівномірно розподіленими внутрішні� ми джерелами, в умовах спряження, в крайо� вих умовах) за умов різноманітних спостере� жень за станом системи (по всій багатоком� понентній області, на її границі, з фінальним спостереженням за станом системи та за швидкістю його зміни). Питання оптимального керування дина� мічними процесами багатокомпонентних си� стем за умов в'язкості в роботах [7, 8] до� сліджені стосовно систем, стани яких опису� ються початково�крайовими задачами для псевдогіперболічних рівнянь з умовами спряження неідеального контакту. Розгляну� ті різноманітні можливості оптимального ке� рування такими системами (внутрішніми джерелами, в умовах спряження, в крайових умовах) за умов різноманітних спостережень (за станом по всьому багатокомпонентному 46 Інноваційні проекти Національної академії наук України НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 тілу, на його границі, на тонкому включенні, за станом системи в фінальний момент спос� тережень). В усіх зазначених випадках дове� дено теореми про існування єдиних опти� мальних керувань. В роботах [7, 8] досліджені питання оп� тимального керування деформованим ста� ном пружного багатокомпонентного тіла з тонкими слабкотривкими включеннями / тріщинами. Досліджені питання оптималь� ного керування (масовими силами, напруга� ми на частині границі заданого тіла) зі спос� тереженнями за зміщеннями по всьому бага� токомпонентному тілу, на тонкому включен� ні за стрибком дотичних зміщень, за нор� мальною складовою зміщень на тонкому слабкотривкому включенні, за зміщеннями на частині границі тіла. В усіх розглянутих випадках доведено теореми про існування єдиного оптимального керування. При спів� паданні множини Uд допустимих керувань з відповідним повним гільбертовим простором U показана можливість побудови шляхом ви� користання відповідних класів розривних функцій методу скінченних елементів обчи� слювальних схем підвищеного порядку точ� ності визначення наближення uk N оптималь� ного керування u. В роботах [7, 8] стосовно деяких задач екології розглянуті питання комплексних ке� рувань (на різноманітних складових багато� компонентного тіла) з комплексними спосте� реженнями. Доведені теореми про існування єдиних оптимальних керувань такими систе� мами. В разі співпадання множин допустимих керувань з відповідними повними гільберто� вими просторами побудовані відповідні кра� йові чи початково�крайові задачі, що визна� чають єдині оптимальні керування всіх вище перерахованих складних систем. Досліджені питання оптимального керу� вання термонапруженим станом [18], квазі� статичним напружено�деформованим станом [19], динамічним напружено�деформованим станом багатокомпонентних тіл, а також сис� тем, що описуються гіперболічними, псевдо� гіперболічними рівняннями з зосереджени� ми масами; конвективно�дифузійними про� цесами та ін. 3. НОВА ІНФОРМАЦІЙНА ТЕХНОЛОГІЯ ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ПРОБЛЕМ ЕКОЛОГІЇ ТА РАЦІОНАЛЬНОГО ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ Як зазначено вище реальні природні чи штуч� ні грунтові об'єкти багатокомпонентні, скла� дові яких відрізняються між собою фізични� ми характеристиками: пористістю, коефіці� єнтами теплопровідності, міцнісними влас� тивостями та ін. Крім цього, вони часто вмі� щують в собі різноманітні тонкі включення (природного чи штучного походжень): про� шарки глин, мергелів, протифільтраційні мембрани та завіси, технологічні прошарки, продовгуваті тріщини та ін. Незважаючи на те, що товщини зазначених прошарків значно менші характерних розмірів інших складо� вих багатокомпонентних тіл, такі прошарки значно впливають на розвиток вищезгаданих процесів: по різні сторони слабкопроникли� вих включень різні тиски рідини, по слабкот� ривким включенням відбуваються зрушення масивів грунту – дотичні зміщення мають розриви та ін. Властивість слабкопроникли� вості часто використовують як позитивний фактор – створюються тонкі протифільтра� ційні елементи з метою запобігання суфозії, обводнення слабкотривких складових, тобто з метою запобігання руйнацій різноманітних об'єктів. В силу того, що вище зазначена неод� норідність є визначальною в розвитку основ� них процесів, що характерні для багатоком� понентних грунтових масивів природного чи штучного походжень, нехтуванням цією осо� 47НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Інноваційні проекти Національної академії наук України бливістю є недоцільним. Оскільки традицій� ні математичні моделі опису згаданих проце� сів (що базуються на різноманітних засадах заміни багатокомпонентних тіл з включення� ми відповідними однорідними тілами) є не� прийнятними, в роботах [1–19] побудовані нові математичні моделі – як принципово нові класи математичних задач з розривними розв'язками, де вплив різноманітних довіль� но зорієнтованих в просторі тонких вклю� чень / тріщин враховується певними обме� женнями – умовами спряження неідеального контакту. Останні отримані на основі певних законів збереження. Розроблена в роботах методика використання відповідних класів розривних функцій дозволила для отрима� них нових математичних моделей опису різноманітних процесів в багатокомпонент� них грунтових тілах з різноманітними тонки� ми включеннями / тріщинами будувати від� повідні класичні узагальнені задачі в слабких постановках та мінімізації функціоналів енергії на відповідних класах розривних функцій (в тому числі і задач з єдиними роз� в'язками на опуклих підмножинах повних гільбертових просторів) та узагальнених за� дач на власні значення з розривними власни� ми функціями. Розроблена методика побудо� ви обчислювальних алгоритмів підвищеного порядку визначення наближених розривних розв'язків всіх отриманих авторами нових класів задач, шляхом використання відповід� них множин розривних функцій методу скін� ченних елементів. Зазначимо, що точність розроблених алгоритмів за порядками кроків дискретизації просторових об'єктів та часо� вих проміжків не гірша аналогічних, відомих для відповідних класів задач з гладкими розв'язками. Побудовані нові класи математичних (диференціальних) моделей з умовами спря� ження, що описують основні процеси в бага� токомпонентних грунтових середовищах з довільно зорієнтованими в просторі тонкими включеннями / тріщинами природного чи штучного походжень; отримані нові класичні узагальнені задачі, що визначені на відповід� них класах розривних функцій; розроблена методика визначення відповідних класів до� пустимих розривних функцій МСЕ; побудо� ва дискретних моделей та обчислювальних алгоритмів складають нову теоретичну платформу нової інформаційної технології дослідження основних процесів, характерQ них для багатокомпонентних грунтових об'єктів з різноманітними включеннями. Зазначена теоретична платформа про� грамно реалізована в автоматизованих систе� мах НАДРА, НАДРА�2П, НАДРА�3Д – від� повідно розрахунку двовимірних�профіль� них / площинних процесів усталеного та не� усталеного руху рідини в багатокомпонент� них тілах з довільно розташованими у про� сторі тонкими включеннями різноманітного походження, формування температурних полів в таких об'єктах та їх механічного де� формування [20, 21]; розрахунку планово� просторової фільтрації в тришаровому тілі з прошарками, що характерне для 30�ти кіло� метрової зони ЧАЕС – розрахункова область 27 км х 25 км; розрахунку тривимірних про� цесів в довільних тривимірних багатокомпо� нентних тілах з довільно розташованими у просторі тонкими включеннями чи тріщина� ми [22]. Всі автоматизовані системи осна� щені потужними підсистемами: опису та ко� регування складних геометричних двох� та тривимірних об'єктів з довільними розріза� ми; скінченно�елементного розбиття склад� них тіл з розрізами; опису та корегування фізичних характеристик складових тіл – ма� кроелементів; опису та корегування умов взаємодії виділених тіл з оточуючим просто� ром та їх параметрів; опису та корегування властивостей впливу тонких включень на досліджувані процеси – умов спряження неідеального контакту та їх параметрів; ре� алізації проблемно�орієнтованих обчислю� 48 Інноваційні проекти Національної академії наук України НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 вальних алгоритмів за відповідними класами фізичних процесів – математичних задач; об� робки результатів автоматизованого комп'ю� терного дослідження процесів. Системи неодноразово демонструвались на міжнородних виставках Екологія– 2000–2004 рр., Сеbit (2001–2005, м. Ганно� вер, ФРН) і отримали позитивну оцінку фа� хівців. Слід зазначити, що для отримання прий� нятного шуканого комп'ютерного розв'язку конкретної задачі зі значними геометрични� ми розмірами необхідно використовувати скінченно�елементне розбиття розрахунко� вих областей зі значною кількістю скінчен� них елементів. Виникає потреба формувати та розв'язувати проміжні системи лінійних та нелінійних алгебраїчних рівнянь великих розмірів – понад 5⋅105 невідомих. За таких умов вище зазначені процеси не можуть бути досліджені навіть на сучасних потужних ПЕОМ сім'ї PENTIUM. В зв'язку з цим ство� рені модифікації систем НАДРА та НАДРА�2П – автоматизованого дослідження процесів, характерних для багатокомпонентних грун� тових середовищ, та планово�просторового руху рідини в тришарових тілах при викори� станні необхідної значної кількості скінчен� них елементів. Зазначені модернізовані ком� плекси функціонують на обчислювальних комплексах ПЕОМ�СКІТ, де СКІТ (СКІТ�2, СКІТ�3) виступає як потужний суперком� п'ютер для розв'язування проміжних систем алгебраїчних рівнянь з порядками понад 5⋅105 і до 1,3⋅106 невідомих. На кластерному суперкомп'ютері СКІТ�2, створеному в Ін� ституті кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, розв'язуються системи алгебраїч� них рівнянь з числами обумовленості менше ніж 1014, а при більших числах обумовленості відповідні системи алгебраїчних рівнянь роз� в'язуються на кластерному суперкомп'ютері СКІТ�3, створеному також в Інституті кібер� нетики ім. В. М. Глушкова НАН України. На комплексі ПЕОМ�СКІТ�2 розв'язана задача аналізу впливу створених порожнин на напружено�деформований стан шарувато� го грунтового схилу з характерними просто� ровими розмірами активної зони 700 X 300 м. В цьому випадку проміжні системи алгебра� їчних рівнянь з симетричними додатно озна� ченими матрицями стрічкової структури міс� тять 532 тисячі невідомих з півшириною 898 елементів стрічки ненульових елементів мат� риці. Така задача розв'язана за 5 хв 15 с і ви� користано оптимальне число 15 процесорів СКІТ�2. Зазначимо, що максимально допустимий порядок системи алгебраїчних рівнянь для використання всієї доступної оперативної пам'яті 32 процесорів комплексу СКІТ�2 складає 1 322 544 невідомих з півшириною стрічки матриці 1264. Така система алгебра� їчних рівнянь, що отримана при розв'язуван� ні задачі теорії пружності в багатозв'язній об� ласті, на суперкомп'ютері СКІТ�2 розв'язана за 23 хв. За допомогою модернізованої системи НАДРА�2П на комплексі ПЕОМ�СКІТ�2 розв'язана задача планово�просторової філь� трації рідини в 30�ти кілометровій зоні Чор� нобиля – розрахункова область з розподіле� ною мережею поверхневих водойм складає 27 км X 25 км. Крок розрахункової сітки ста� новить 62,5 м, число невідомих систем алгеб� раїчних рівнянь – 230 тисяч. На суперком� п'ютері СКІТ�2 ця задача розв'язана за 70 с і використано 10 процесорів. Така задача на ПЕОМ (PENTIUM�2.4) розв'язується за 5 год. Слід зазначити, що розглядувані задачі відносяться до класів задач, які потребують обробки в паралельному режимі повнопо� в'язаних даних значних об'ємів. Організація ефективної паралельної обробки (організації обчислень) таких даних є надзвичайно складною проблемою та потребує розробки принципово нових відмінних від підходів, що 49НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Інноваційні проекти Національної академії наук України розвивалися при створенні програмно�алго� ритмічних засобів, реалізація яких орієнто� вана на однопроцесорні обчислювальні ком� плекси. Розроблена інформаційна технологія до� слідження процесів в багатокомпонентних тілах з включеннями має загальний характер – в тому числі і для споруд різноманітного призначення, об'єктів машинобудування та ін. Зокрема, під науковим керівництвом од� ного з авторів даної роботи в Тернопільсько� му державному технічному університеті ім. Івана Пулюя вона розповсюджена на за� дачі трібології – задачі про тертя складових багатокомпонентних тіл. Вона реалізована у вигляді автоматизованого програмно�алго� ритмічного комплексу DIFUS дослідження процесів дифузії в складених тілах з вклю� ченнями та тріщинами в декартовій, цилін� дричній та полярній системах координат. За допомогою цього комплексу розв'язані деякі задачі трібології [23]. ЛІТЕРАТУРА 1. Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Модели и мето� ды решения задач в неоднородных средах.–Киев: Наук. думка, 2001.–606 с. 2. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Задачи с услови� ями сопряжения и вычислительные схемы повы� шенного порядка точности их дискретизации // Праці Українського математичного конгресу 2001. –Київ: Ін�т математики НАНУ.–2002.–С. 106–120. 3. Сергiєнко I. B., Дейнека В. С. Задачі трансмісії з неоднорідними головними умовами спряження та високоточні чисельні алгоритми їх дискретизації // Укр. матем. журн.–2002.–54.–№ 2.–С. 258–275. 4. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Численное мо� делирование нелинейных нестационарных процес� сов с разрывными характеристиками полей // Ки� бернетика и систем. анализ.–1999.–№ 3.–С. 3–13. 5. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Задачи с услови� ями сопряжения и высокоточные вычислитель� ные алгоритмы их дискретизации // Кибернетика и систем. анализ.–1999.–№ 6.–С. 100–124. 6. Сергиенко И. В., Дейнека В. С. Модели с усло� виями сопряжения и высокоточные методы их дискретизации // Кибернетика и систем. анализ.– 2000.–№ 1.–С. 110–131. 7. Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Оптимальное управление неоднородными распределенными си� стемами.–Киев: Наук. думка, 2003.–506 с. 8. Sergienko Ivan V., Deineka Vasyl S. Optimal Control of Distributed Systems with Conjugation Conditions.–New York: Kluwer Akademic Publi� shers.–2005.–400 p. 9. Сергиенко И. В., Дейнека В. С. О численном ре� шении задачи динамической теории упругости для тел со средоточенными массами // Прикл. ме� ханика.–2004.–т. 40.–№ 12.–С. 65–75. 10. Сергiєнко I. B., Дейнека В. С. Високоточні алго� ритми розв'язання спектральних задач з власними значеннями в умовах спряження та в крайових умо� вах // Доп. НАН України.–2001.–№ 2.–С. 74–80. 11. Сергиенко И. В., Дейнека В. С. О существова� нии единственного обобщенного решения квази� линейного эллиптического уравнения с условия� ми сопряжения // Доп. НАН України.–2002.–№ 4. –С. 72–82. 12. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Вычислитель� ные алгоритмы для условно корректной задачи прогибов составной балки // Доп. НАН України.– 2002.–№ 4/–С. 77–82. 13. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. О численном ис� следовании прогибов составной тонкой пластины // Доп. НАН України.–2003.–№ 6.–С. 52–58. 14. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Моделирование процессов, описываемых эллиптико�параболичес� кими системами с условиями сопряжения // Пробл. управления и информатики.–2000.–№ 3.– С. 57–75. 15. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Високоточные вычислительные алгоритмы исследования псевдо� параболических распределенных систем с услови� ями сопряжения // Доп. НАН України.–2003.– № 7.–С. 73–81. 16. Сергиенко И. В., Дейнека В. С. О численном ре� шении спектральной задачи исследования устой� чивости и собственых колебаний составных стержней // Прикл. механика.–2002.–т. 38.–№ 11. –С. 124–132. 17. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Численное моде� лирование динамических процессов, описывае� мых псевдогиперболическим уравнением с усло� виями сопряжения // Пробл. управления и ин� форматики.–2004.–№ 1.–С. 61–70. 18. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Комплексное оп� тимальное управление термонапряженным состо� янием составного тела // Кибернетика и систем. анализ.–2004.–№ 3.–С. 43–61. 19. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Оптимальное управление квазистатическим напряженно�де� формированным состоянием составного тела // 50 Інноваційні проекти Національної академії наук України НАУКА ТА ІННОВАЦІЇ. № 3, 2005 Пробл. управления и информатики.–2004.–№4.– С. 58–79. 20. Сергиенко И. B., Дейнека В. С., Калынюк Н. А. и др. Автоматизированная диалоговая система НАДРА�Д и исследования процессов в многоком� понентных средах // Пробл. программирования.– 2004.–№ 2–3.–С. 520–533. 21. Сергиенко И. B., Дейнека В. С., Калынюк Н. А. и др. Автоматизированный комплекс НАДРА для исследования процессов в многокомпонентных средах: В 2 ч.–Киев, 2002.–(Препринт / НАНУ. Ин�т кибернетики).– ч. 1.–36 с. (...; 2002–3); ч. 2.–36 с. (...; 2002–4). 22. Дейнека В. С., Вєщунов В. В. Система автома� тизованого розрахунку процесів у тривимірних багатокомпонентних середовищах NADRA 3D // Матеріали конференції "Динаміка, міцність і на� дійність сільськогосподарських машин", 4–7 жов� тня 2004 р., Тернопіль: Тернопільський державний технічний університет ім. Івана Пулюя.– 2004.– С. 138–144. 23. Дейнека В. С., Баран І. О. Автоматизована сис� тема DIFUS для розрахунку процесів дифузії в не� однорідних середовищах // Вимірювальна та об� числювальна техніка в технологічних процесах.– 2002.–№ 2.–С. 111–115.

Інформаційна технологія дослідження процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах та оптимальне керування їх станами

Institution

Ähnliche Einträge