Две задачи Леонарда Эйлера
Задачи Л. Эйлера ограниченная задача трех тел и задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки относятся к классу обратимых механических систем. Статья состоит из трех частей. В первой части излагаются вопросы теории обратимых механических систем, допускающих первые интегралы. Дае...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27936 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Две задачи Леонарда Эйлера / В.Н. Тхай // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 15-41. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27936 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279362011-10-25T12:17:24Z Две задачи Леонарда Эйлера Тхай, В.Н. Задачи Л. Эйлера ограниченная задача трех тел и задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки относятся к классу обратимых механических систем. Статья состоит из трех частей. В первой части излагаются вопросы теории обратимых механических систем, допускающих первые интегралы. Дается определение обратимой ме¬ханической системы, вводятся основные понятия, выделяется типичная ситуация для сим¬метричных периодических движений, обсуждается проблема первых интегралов. Во второй части анализируется обратимая консервативная механическая система с двумя степенями свободы и симметричным потенциалом, допускающая интеграл Якоби. В част¬ном случае получаются выводы для ограниченной задачи трех тел. Наконец, в третьей части исследуется задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. В задачах Л. Эйлера, в частности, продемонстрировано положение: параметрическое пространство задачи разбивается на множество полной меры, где дополнительный гладкий интеграл отсутствует, и на его дополнение (нулевой меры), где выполнены необходимые условия существования такого интеграла. В статье излагается содержание лекции, прочитанной на конференции "Классическиез адачи динамики твердоготела", посвященной 300-летию Л. Эйлера. 2007 Article Две задачи Леонарда Эйлера / В.Н. Тхай // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 15-41. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27936 531.36; 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Задачи Л. Эйлера ограниченная задача трех тел и задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки относятся к классу обратимых механических систем. Статья состоит из трех частей. В первой части излагаются вопросы теории обратимых механических систем, допускающих первые интегралы. Дается определение обратимой ме¬ханической системы, вводятся основные понятия, выделяется типичная ситуация для сим¬метричных периодических движений, обсуждается проблема первых интегралов. Во второй части анализируется обратимая консервативная механическая система с двумя степенями свободы и симметричным потенциалом, допускающая интеграл Якоби. В част¬ном случае получаются выводы для ограниченной задачи трех тел. Наконец, в третьей части исследуется задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. В задачах Л. Эйлера, в частности, продемонстрировано положение: параметрическое пространство задачи разбивается на множество полной меры, где дополнительный гладкий интеграл отсутствует, и на его дополнение (нулевой меры), где выполнены необходимые условия существования такого интеграла. |
| format |
Article |
| author |
Тхай, В.Н. |
| spellingShingle |
Тхай, В.Н. Две задачи Леонарда Эйлера Механика твердого тела |
| author_facet |
Тхай, В.Н. |
| author_sort |
Тхай, В.Н. |
| title |
Две задачи Леонарда Эйлера |
| title_short |
Две задачи Леонарда Эйлера |
| title_full |
Две задачи Леонарда Эйлера |
| title_fullStr |
Две задачи Леонарда Эйлера |
| title_full_unstemmed |
Две задачи Леонарда Эйлера |
| title_sort |
две задачи леонарда эйлера |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27936 |
| citation_txt |
Две задачи Леонарда Эйлера / В.Н. Тхай // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 15-41. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT thajvn dvezadačileonardaéjlera |
| first_indexed |
2025-07-03T07:45:44Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:45:44Z |
| _version_ |
1836611615588352000 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2007. Âûï. 37
 äíè ïðîâåäåíèÿ ýéëåðîâñêîé êîíôåðåíöèè â Ìåëåêèíî èç Ìîñêâû ïðè-
øëî ïå÷àëüíîå èçâåñòèå î êîí÷èíå Âàëåíòèíà Âèòàëüåâè÷à Ðóìÿíöåâà.
Àêàäåìèê Â.Â. Ðóìÿíöåâ íà ïðîòÿæåíèè áîëåå ÷åì 15 ëåò ïîîùðÿë è
âñåìåðíî ïîääåðæèâàë èññëåäîâàíèÿ àâòîðà ïî òåìàòèêå � îáðàòèìûå
ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû.
Ñâåòëîé ïàìÿòè Ó÷èòåëÿ ïîñâÿùàþ ðàáîòó.
ÓÄÊ 531.36; 531.38
c©2007. Â.Í. Òõàé
ÄÂÅ ÇÀÄÀ×È ËÅÎÍÀÐÄÀ ÝÉËÅÐÀ1
Çàäà÷è Ë. Ýéëåðà � îãðàíè÷åííàÿ çàäà÷à òðåõ òåë è çàäà÷à î âðàùåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî
òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè � îòíîñÿòñÿ ê êëàññó îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì.
Ñòàòüÿ ñîñòîèò èç òðåõ ÷àñòåé.  ïåðâîé ÷àñòè èçëàãàþòñÿ âîïðîñû òåîðèè îáðàòèìûõ
ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì, äîïóñêàþùèõ ïåðâûå èíòåãðàëû. Äàåòñÿ îïðåäåëåíèå îáðàòèìîé ìå-
õàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ââîäÿòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, âûäåëÿåòñÿ òèïè÷íàÿ ñèòóàöèÿ äëÿ ñèì-
ìåòðè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé, îáñóæäàåòñÿ ïðîáëåìà ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.
Âî âòîðîé ÷àñòè àíàëèçèðóåòñÿ îáðàòèìàÿ êîíñåðâàòèâíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ äâóìÿ
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è ñèììåòðè÷íûì ïîòåíöèàëîì, äîïóñêàþùàÿ èíòåãðàë ßêîáè.  ÷àñò-
íîì ñëó÷àå ïîëó÷àþòñÿ âûâîäû äëÿ îãðàíè÷åííîé çàäà÷è òðåõ òåë. Íàêîíåö, â òðåòüåé
÷àñòè èññëåäóåòñÿ çàäà÷à î âðàùåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè.
 çàäà÷àõ Ë. Ýéëåðà, â ÷àñòíîñòè, ïðîäåìîíñòðèðèðîâàíî ïîëîæåíèå: ïàðàìåòðè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî çàäà÷è ðàçáèâàåòñÿ íà ìíîæåñòâî ïîëíîé ìåðû, ãäå äîïîëíèòåëüíûé ãëàäêèé
èíòåãðàë îòñóòñòâóåò, è íà åãî äîïîëíåíèå (íóëåâîé ìåðû), ãäå âûïîëíåíû íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî èíòåãðàëà.
Ââåäåíèå.  1764 ã. Ýéëåð çàêàí÷èâàåò ðàáîòó �Ðàçìûøëåíèÿ î äâèæå-
íèè íåáåñíûõ òåë� (îïóáëèêîâàíà â 1766 ã. [1]) è ââîäèò â íåáåñíóþ ìåõàíèêó
îãðàíè÷åííóþ çàäà÷ó òðåõ òåë. Âïîñëåäñòâèå ýòà çàäà÷à ñòàëà îñíîâíîé çà-
äà÷åé íåáåñíîé ìåõàíèêè (ñì. [2]).
Ë. Ýéëåð ñòðîèë îäíèì èç ïåðâûõ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïðèðîäû, ïî-
ëàãàÿ, ÷òî �...âñåìóäðåéøèé Òâîðåö ó÷èòûâàë ñëàáîñòü íàøèõ ñèë, êîãäà íè
îäíî íåáåñíîå òåëî íå ðàñïîëîæèë òàê, ÷òîáû åãî íåëüçÿ áûëî îòíåñòè èëè
ê ïëàíåòàì, èëè ñïóòíèêàì� (ñì. [3]). Ñëîâà Ýéëåðà îòíîñÿòñÿ ê äâèæåíèÿì
íåáåñíûõ òåë. Ýòè ñëîâà ñ ïîëíûì ïðàâîì îòíîñÿòñÿ è ê çàäà÷å î âðàùåíèè
òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè. Çàäà÷à âõîäèò ñîñòàâíîé
÷àñòüþ âî âñå êóðñû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè è ÿâëÿåòñÿ ýòàëîííîé ìîäåëüþ
â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà.
Çàäà÷è Ýéëåðà � çàìå÷àòåëüíûå ïðèìåðû ñèñòåì, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì
ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñèììåòðèè (ñì. [4]). Òî÷íåå, ñèñòåì, èíâàðèàíò-
íûõ îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ïðè îä-
íîâðåìåííîì èçìåíåíèè çíàêà âðåìåíè. Òàêèå ñèñòåìû íàçâàíû [5] îáðàòè-
ìûìè ìåõàíè÷åñêèìè ñèñòåìàìè. Ê ýòîìó êëàññó ñèñòåì îòíîñÿòñÿ óðàâíåíèÿ
1 ñòàòüå èçëàãàåòñÿ ñîäåðæàíèå ëåêöèè, ïðî÷èòàííîé íà êîíôåðåíöèè �Êëàññè÷åñêèå
çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà�, ïîñâÿùåííîé 300-ëåòèþ Ë. Ýéëåðà.
15
Â.Í. Òõàé
Ëàãðàíæà, óðàâíåíèÿ â êâàçèêîîðäèíàòàõ, óðàâíåíèÿ Àïïåëÿ è äð. Òåîðèÿ
îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì îïèñûâàåò ñ åäèíûõ ïîçèöèé êàê ãîëîíîì-
íûå, òàê è íåãîëîíîìíûå ñèñòåìû.
Òðè îáñòîÿòåëüñòâà äåëàþò ðàáîòó Ýéëåðà [1] îñîáåííî çàìå÷àòåëüíîé
(ñì. [6]). Âî-ïåðâûõ, çäåñü ââîäèòñÿ â ðàññìîòðåíèå îãðàíè÷åííàÿ çàäà÷à
òðåõ òåë. Âî-âòîðûõ, âïåðâûå áûëè îòêðûòû äâà êîëëèíåàðíûõ ðåøåíèÿ.
Â-òðåòüèõ, íàéäåíû âïåðâûå ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ â îêðåñòíîñòè îäíî-
ãî èç êîëëèíåàðíûõ ðåøåíèé. Ðåøåíèÿ Ýéëåðà, êàê îêàçàëîñü óæå â êîíöå
20-ãî âåêà (ñì. [7]), ïðèíàäëåæàò ê ëÿïóíîâñêîìó ñåìåéñòâó ñèììåòðè÷íûõ
ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
Òåîðèÿ îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ïîçâîëÿåò ïðîäâèíóòüñÿ â çà-
äà÷àõ Ýéëåðà.  ïåðâóþ î÷åðåäü, ýòî îòíîñèòñÿ ê ðåçóëüòàòàì ïî ñèììåò-
ðè÷íûì ïåðèîäè÷åñêèì äâèæåíèÿì (ÑÏÄ) òèïà êîëåáàíèé è âðàùåíèé. Âî-
âòîðûõ, ïî íîâîìó ñòàâèòñÿ ïðîáëåìà íåèíòåãðèðóåìîñòè è âûâîäèòñÿ åå ðå-
øåíèå: ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî P çàäà÷è ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà ïîëíîé
ìåðû P ∗, ãäå äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë îòñóòñòâóåò, è åãî äîïîëíå-
íèÿ P ∗∗ íóëåâîé ìåðû, ãäå âûïîëíÿþòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
òàêîãî èíòåãðàëà.
Çàäà÷à òðåõ òåë ñòàëà ýòàëîíîì äëÿ òåîðèè îáðàòèìîé êîíñåðâàòèâíîé
ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è ñèììåòðè÷íûì ïîòåíöèàëîì. Íèæå
äîêàçûâàåòñÿ íåèíòåãðèðóåìîñòü òàêîé ñèñòåìû â òèïè÷íîé ñèòóàöèè. Àíà-
ëèçóþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ. Ñ ýòîé öåëüþ ââîäèòñÿ óãîë ϕ ìåæäó êà-
ñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè è îñüþ îðäèíàò è ïîëó÷àåòñÿ îáðàòèìàÿ ñèñòåìà 3-ãî
ïîðÿäêà. Óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ïî÷òè íà âñåõ îãðàíè÷åííûõ ðåøåíèÿõ óãîë ϕ
ïðîáåãàåò îòðåçîê [0, 2π], è óêàçàííûå ðåøåíèÿ âïîëíå çàäàþòñÿ îòîáðàæåíè-
åì ϕ : 0 → 2π ïëîñêîñòè (x, y) íà ñåáÿ. Ðåøåíèÿ ñ ìîíîòîííûì èçìåíåíèåì ϕ
îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé âòîðîãî ïîðÿäêà. Äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå îäíî-
ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ñèììåòðè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé, ñîõ-
ðàíåíèå åãî â âîçìóùåííîé àâòîíîìíîé ñèñòåìå, à òàêæå � ðîæäåíèå (ïîä
äåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêèõ âîçìóùåíèé) èçîëèðîâàííîãî ÑÏÄ èç ñåìåéñòâà
ÑÏÄ ïîðîæäàþùåé çàäà÷è. Ïðåäëàãàåòñÿ ìåòîä ïîñòðîåíèÿ âñåõ ïåðèîäè-
÷åñêèõ äâèæåíèé è èññëåäîâàíèÿ èõ óñòîé÷èâîñòè.  ÷àñòíîñòè, âûâîäÿòñÿ
ðåçóëüòàòû äëÿ çàäà÷è òðåõ òåë.
 çàäà÷å î âðàùåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè
èñïîëüçóþòñÿ óðàâíåíèÿ Ýéëåðà�Ïóàññîíà. Äàíà êëàññèôèêàöèÿ êëàññè÷å-
ñêèõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â îáùåì ñëó÷àå çàäà÷è: èíòåãðàëû ýíåðãèè è ãåîìåò-
ðè÷åñêèé ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè, â òî âðåìÿ êàê èíòåãðàë êèíåòè÷åñêîãî
ìîìåíòà îêàçûâàåòñÿ àñèììåòðè÷íûì.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå çàäà÷è, êîãäà öåíòð òÿæåñòè òåëà ðàñïîëîæåí â ãëàâíîé
ïëîñêîñòè ýëëèïñîäà èíåðöèè, âñå òðè êëàññè÷åñêèõ èíòåãðàëà ñòàíîâÿòñÿ
ñèììåòðè÷íûìè. Çäåñü èìååì ñèñòåìó ñ äâóìÿ íåïîäâèæíûìè ìíîæåñòâàìè.
Âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî ëþáîå ÑÏÄ òåëà ñîäåðæèò ÷åòûðå íóëåâûõ õàðàêòåðèñòè-
÷åñêèõ ïîêàçàòåëÿ (ÕÏ), èç êîòîðûõ äâà � ïðîñòûå, à äâà äðóãèõ îáðàçóþò
æîðäàíîâó êëåòêó.  òèïè÷íîé ñèòóàöèè îñòàâøèåñÿ äâà ÕÏ íå ðàâíû íóëþ.
Îòñþäà ñëåäóåò ïðèíàäëåæíîñòü ëþáîãî ÑÏÄ ê äâóõïàðàìåòðè÷åñêîìó ñå-
16
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
ìåéñòâó.  ÷àñòíîñòè, òàêîé âûâîä ñïðàâåäëèâ äëÿ ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé
Ìëîäçååâñêîãî, èíèöèèðóþùèõ ïñåâäîìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ, è ïðåöåññèé
Ãðèîëè, ïðèâîäÿùèõ ê ïñåâäîïðåöåññèÿì.
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äîêàçàíî îòñóòñòâèå äîïîëíèòåëüíîãî ïåðâîãî
èíòåãðàëà â çàäà÷å. Ïðîàíàëèçèðîâàíû êëàññè÷åñêèå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè.
Ïðåäëîæåí ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ âñåõ ÑÏÄ â çàäà÷å Í. Êîâàëåâñêîãî.
Óñòàíîâëåíî, ÷òî òåëî ñîâåðøàåò ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ è â ñëó÷àå, êî-
ãäà öåíòð òÿæåñòè íàõîäèòñÿ áëèç ãëàâíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè, à
òàêæå â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå òåëà.  ýòîì îáùåì ñëó÷àå òàêæå äîêàçàíî îò-
ñóòñòâèå äîïîëíèòåëüíîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà ïî÷òè âî âñåì ïàðàìåòðè÷åñêîì
ïðîñòðàíñòâå çàäà÷è.
1. Îáðàòèìàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïåðâûå èíòåãðàëû.Ìàòåìà-
òè÷åñêèé ìàÿòíèê
ϕ̈ + sinϕ = 0
äàåò ïðèìåð ïðîñòåéøåé îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé çàäà÷è.  ñàìîì äåëå, ôà-
çîâûé ïîðòðåò ìàÿòíèêà ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ, à íàïðàâëå-
íèÿ äâèæåíèé ïî ñèììåòðè÷íûì äðóã äðóãó òðàåêòîðèÿì â âåðõíåé è íèæ-
íåé ïîëóïëîñêîñòÿõ âçàèìíî ïðîòèâîïîëîæíûå. Â çàïèñè óðàâíåíèÿ îáðàòè-
ìîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ êàê èíâàðèàíòíîñòü åãî îòíîñèòåëüíî çàìåíû: (t, ϕ, ϕ̇) →
→ (−t, ϕ,−ϕ̇).
Äðóãèå, áîëåå ñëîæíûå ïðèìåðû, ïðåäîñòàâëÿþò: çàäà÷à òðåõ òåë, òÿæå-
ëîå òâåðäîå òåëî ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé, òâåðäîå òåëî â íüþòîíîâñêîì
ïîëå ñèë, òÿæåëîå òâåðäîå òåëî íà àáñîëþòíî øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè (ïðè-
ìåð íåãîëîíîìíîé îáðàòèìîé ñèñòåìû), ñïóòíèê íà ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå
(íåàâòîíîìíàÿ îáðàòèìàÿ ñèñòåìà) è äð.
Ïîíÿòèå îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îòðàæàåò ñâîéñòâî ïðîñòðàí-
ñòâåííî-âðåìåííîé ñèììåòðèè, ïðèñóùåå ìîäåëÿì àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè.
Îïðåäåëåíèå. Îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìîé íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà âè-
äà
u̇ = U(u, v), v̇ = V (u, v),
U(u,−v) = −U(u, v), V (u,−v) = V (u, v); u ∈ Rl, v ∈ Rn (l ≥ n). (1)
Çàìå÷àíèå. Çäåñü âàæíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü âåêòîðà u íå ìåíüøå ðàçìåðíî-
ñòè âåêòîðà v.  ìîäåëÿõ àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè ïåðåìåííàÿ u èìååò ñìûñë
êîîðäèíàòû, à v � ñêîðîñòè (êâàçèñêîðîñòè).
Îïðåäåëåíèå. 1. Ìíîæåñòâî M = {u, v : v = 0} íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíûì
ìíîæåñòâîì îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû (1).
2. Äâèæåíèå u(u0, t), v(u0, t) ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé (u0, 0) ∈ M íàçûâàåòñÿ
ñèììåòðè÷íûì (îòíîñèòåëüíî M) äâèæåíèåì ñèñòåìû (1) (ñì. ðèñ. 1).
3. Ïîñòîÿííîå ðåøåíèå, ïðèíàäëåæàùåå íåïîäâèæíîìó ìíîæåñòâó M , íà-
çûâàåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (1).
4. Ñèììåòðè÷íîå äâèæåíèå, ïî êðàéíåé ìåðå, äâàæäû ïåðåñåêàþùåå íåïî-
äâèæíîå ìíîæåñòâî, íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì ïåðèîäè÷åñêèì äâèæåíèåì.
17
Â.Í. Òõàé
Ýòè òèïû äâèæåíèé ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1.
( )a ( )b (с)
u
v
Ðèñ. 1. a � ïàðà ñèììåòðè÷íûõ äðóã äðóãó äâèæåíèé, b � ñèììåòðè÷íîå äâèæåíèå,
c � ñèììåòðè÷íîå ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå.
Óñëîâèå V (u0, 0) 6= 0 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ ïðîõîæ-
äåíèÿ ÷åðåç òî÷êó (u0, 0) ∈ M ñèììåòðè÷íîãî ðåøåíèÿ, îòëè÷íîãî îò ïîñòî-
ÿííîãî.
Óñëîâèÿ [7]
vs(u0
1, . . . , u
0
l , T ) = 0, s = 1, . . . , n (2)
ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ÑÏÄ ïåðèîäà
2T . ÑÏÄ îáðàçóþò q-ñåìåéñòâà, ïðè÷åì îæèäàåòñÿ q = l−n+1 [7]. Ïàðàìåò-
ðàìè ýòîãî ñåìåéñòâà ìîãóò ñëóæèòü l − n âåëè÷èí èç íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé
u0
1, . . . , u
0
l ïëþñ ïîëóïåðèîä T .
Îïðåäåëåíèå. Ïåðâûé èíòåãðàë W (u, v) = h (const) ñèñòåìû (1) íàçû-
âàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè W (u,−v) = W (u, v), è àñèììåòðè÷íûì, åñëè
W (u,−v) = −W (u, v).
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ [8].
Òåîðåìà 1. Åñëè ñèñòåìà (1) äîïóñêàåò ïåðâûé èíòåãðàë îáùåãî âèäà, òî
ýòîò èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé ñèììåòðè÷íîãî è àñèììåòðè÷íîãî
ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.
Òåîðåìà 2. Íà ñèììåòðè÷íûõ äâèæåíèÿõ ïîñòîÿííûå àñèììåòðè÷íûõ
èíòåãðàëîâ ðàâíû íóëþ.
Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà l = n = 1, à íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî M1
òàêîå: M1 = {ϕ, ϕ̇ : ϕ̇ = 0}. Ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðèíàäëåæàò íåïîäâèæ-
íîìó ìíîæåñòâó M1, ñåïàðàòðèñû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïàðó ñèììåòðè÷íûõ
äðóã äðóãó ðåøåíèé, à êîëåáàíèÿ îáðàçóþò ñåìåéñòâî ÑÏÄ, ïàðàìåòðèçîâàí-
íîå ïîñòîÿííîé èíòåãðàëà ýíåðãèè h.
Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê � ïðèìåð ñèñòåìû ñ äâóìÿ íåïîäâèæíûìè ìíî-
æåñòâàìè, î ÷åì ñâèäåòåëüñòóåò ñèììåòðè÷íîñòü ôàçîâîãî ïîðòðåòà îòíîñè-
òåëüíî îñè îðäèíàò: óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî çàìåíû (t, ϕ, ϕ̇) →
→ (−t,−ϕ, ϕ̇), à ñîîòâåòñòâóþùåå âòîðîå íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî: M2 =
= {ϕ, ϕ̇ : ϕ = 0}. Âðàùåíèÿ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî M2 è òàêæå îáðà-
çóþò ñåìåéñòâî ÑÏÄ ïî h.
18
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
Ìíîæåñòâà M1, M2 ïåðåñåêàþòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò è ïðèâîäÿò ê ðàâíî-
âåñèþ. Íà ôàçîâîì ïîðòðåòå èìååòñÿ ñ÷åòíîå ÷èñëî ðàâíîâåñèé � öåíòðîâ è
ñåäåë. Ýòî è íåóäèâèòåëüíî, òàê êàê óãîë ϕ âõîäèò â óðàâíåíèå ïîä çíàêîì
ñèíóñà. Ó÷åò ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè âìåñòî ìíîæå-
ñòâà M1 ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî M∗
1 = {ϕ, ϕ̇ : sinϕ = 0}. Òîãäà ïîëó÷èì
âñå �èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ� â âèäå ðàâíîâåñèé.
Èíòåãðàë ýíåðãèè îòíîñèòñÿ ê òèïó ñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ.
2. Çàâèñèìîñòü ïåðèîäà ÑÏÄ îò ïîñòîÿííûõ èíòåãðàëîâ. Ðàñ-
ñìîòðèì q-ñåìåéñòâî ÑÏÄ ïî ïàðàìåòðó h
u = ϕ(h, t), v = ψ(h, t),
ãäå çíà÷åíèÿì h∗1, ..., h
∗
q îòâå÷àåò äâèæåíèå ñ ïîëóïåðèîäîì T (h∗) = π.
Ôóíêöèè ϕ(h, (T/π)t), ψ(h, (T/π)t) èìåþò íå çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà h
ïåðèîä, ðàâíûé 2π. Òàêèìè æå áóäóò èõ ïðîèçâîäíûå ïî hj . Âû÷èñëèì ýòè
ïðîèçâîäíûå, ïîìå÷àÿ íèæíåé çâåçäî÷êîé ïîäñòàíîâêó çíà÷åíèÿ h = h∗,
pj(t) = (
∂ϕ
∂hj
)∗ +
t
π
(
∂T
∂hj
)∗(
∂ϕ
∂t
)∗, gj(t) = (
∂ψ
∂hj
)∗ +
t
π
(
∂T
∂hj
)∗(
∂ψ
∂t
)∗. (3)
Ôóíêöèè (∂ϕ/∂hj)∗, (∂ψ/∂hj)∗ ñîñòàâëÿþò ñèñòåìó q íåçàâèñèìûõ ðåøå-
íèé ñèñòåìû óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ. Èç ðàâåíñòâ (3) âèäíî, ÷òî ïðè
(∂T/∂hj)∗ = 0 ïîëó÷àåì ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå è íàîáîðîò: äëÿ ïåðèîäè-
÷åñêîãî ðåøåíèÿ èìååì (∂T/∂hj)∗ = 0.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé íàëè÷èÿ â ñèñòåìå (1) k àñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ
Gj [8].
Òåîðåìà 3. Åñëè îáðàòèìàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1) èìååò k àñèì-
ìåòðè÷íûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðèîäà ÑÏÄ ïî
l − n + k ïàðàìåòðàì hj ñåìåéñòâà ðàâíû íóëþ.
Çàìå÷àíèå. Åñëè â ñèñòåìå (1) q = l − n + k + 1, òî â òî÷êå h∗ èìååì
dT = adhq, a = const,
ò.å. â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïåðèîä ÑÏÄ çàâèñèò òîëüêî îò îäíîãî ïàðàìåòðà.
3. Òèïè÷íàÿ ñèòóàöèÿ äëÿ ÑÏÄ îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñ-
òåìû. Åñòåñòâåííîå óñëîâèå rank (dG1, ...,dGk) = k îçíà÷àåò íåâûðîæäåí-
íîñòü ñèñòåìû àñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ â òî÷êå (u∗, 0) ∈ M , ÷åðåç êîòîðóþ
ïðîõîäèò ÑÏÄ ïåðèîäà 2π.
×èñëî r ïàðàìåòðîâ ñåìåéñòâà ÑÏÄ ôèêñèðîâàííîãî ïåðèîäà íå ìåíüøå
l − n + k. Ïóñòü âåêòîðíûé ïàðàìåòð h = (h∗, h∗∗) ñåìåéñòâà ÑÏÄ ñîäåð-
æèò äâå êîìïîíåíòû, ïðè÷åì ∂T/∂h∗ = 0, ∂T/∂h∗∗ 6= 0. Ñîãëàñíî òåîðåìå 3,
ðàçìåðíîñòü dimh∗ ≥ l−n+k. Ïðè ýòîì ñòðîãîå íåðàâåíñòâî âîçíèêàåò â âû-
ðîæäåííîì ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç íå ðàâíûõ íóëþ ïðîèçâîäíûõ îáðàùàåòñÿ
â íóëü.
19
Â.Í. Òõàé
Ïóñòü ïàðàìåòðû îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ôèêñèðîâàíû. Òîãäà
âûðîæäåíèå îáíàðóæèâàåòñÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, êîãäà íàáëþäàòåëü
ïåðåìåùàåòñÿ â íåì âäîëü ñåìåéñòâà ÑÏÄ. Äðóãàÿ ïðè÷èíà âîçíèêíîâåíèÿ
íåòèïè÷íîé äëÿ ÑÏÄ ñèòóàöèè � èçìåíåíèå ïàðàìåðîâ ñèñòåìû.
Ëèíåàðèçóåì àñèììåòðè÷íûå èíòåãðàëû íà ÑÏÄ. Òîãäà ìîæåò ñëó÷èòüñÿ,
÷òî ÷èñëî k∗ èíòåãðàëîâ ëèíåéíîé ñèñòåìû âèäà, êîòîðûé äàåò ëèíåàðèçà-
öèÿ àñèììåòðè÷íîãî èíòåãðàëà, áîëüøå k. Òàêóþ ñèòóàöèþ òàêæå ñëåäóåò
ïðèçíàòü íåòèïè÷íîé äëÿ ÑÏÄ.
Îïðåäåëåíèå. Ñèòóàöèþ, â êîòîðîé ÷èñëî k àñèììåòðè÷íûõ ïåðâûõ èí-
òåãðàëîâ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì k∗ è dimh∗ = l − n + k, íàçîâåì òèïè÷íîé äëÿ
ÑÏÄ.
Çàìå÷àíèå. Òèïè÷íàÿ ñèòóàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ èíäèâèäóàëüíîãî ÑÏÄ.
Ñôîðìóëèðóåì âûâîäû [8], êîòîðûå ïîêà íå ñâÿçàíû ÿâíî ñ íàëè÷èåì
ñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ.
Òåîðåìà 4.
 òèïè÷íîé ñèòóàöèè èìååì
Ra1
def= rank ‖∂vs(u0
1, ..., u
0
l ,T)
∂u0
j
‖∗ = n− k
(çâåçäî÷êà îçíà÷àåò ïîäñòàíîâêó çíà÷åíèé u0 = u∗, T = T ∗ = π).
Òåîðåìà 5. Åñëè ñèñòåìà ñîäåðæèò ÑÏÄ â òèïè÷íîé ñèòóàöèè, òî
ðàçìåðíîñòü q ñåìåéñòâà ÑÏÄ ðàâíà l−n+k+1 è îíî îáÿçàòåëüíî âêëþ÷àåò
(l − n + k)-ïîäñåìåéñòâî äâèæåíèé ôèêñèðîâàííîãî ïåðèîäà.
Ñëåäñòâèå.  òèïè÷íîé ñèòóàöèè dimh∗∗ = 1.
Çàìå÷àíèå. Óêàæåì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ÑÏÄ â òèïè÷íîé ñèòóàöèè ÿâ-
ëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ëîêàëüíîãî âàðèàíòà òåî-
ðåìû (â îêðåñòíîñòè ÑÏÄ). Îäíàêî, òàê êàê ðàçìåðíîñòü ñåìåéñòâà ÑÏÄ
îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ðàçìåðíîñòüþ âåêòîðîâ l è n è ÷èñëîì k àñèììåòðè÷-
íûõ èíòåãðàëîâ, òî ýòî äàåò ãëîáàëüíûé âàðèàíò òåîðåìû. Òàêæå çàìåòèì,
÷òî ñåìåéñòâî ÑÏÄ ìîæåò ñîäåðæàòü è ÑÏÄ íå â òèïè÷íîé ñèòóàöèè.
Íàéäåì ãðóáûå ñëó÷àè òåîðèè ïðîäîëæåíèÿ ÑÏÄ ïî ïàðàìåòðó äëÿ îá-
ðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
Òåîðåìà 6.  òèïè÷íîé ñèòóàöèè, íåçàâèñèìî îò âèäà êîíêðåòíûõ
âîçìóùåíèé, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå: a) â âîçìóùåííîé àâòîíîìíîé ñèñòå-
ìå ñåìåéñòâî ÑÏÄ ïðîäîëæàåòñÿ ïî ïàðàìåòðó â ñëó÷àÿõ k = 0, k = 1,
á) ïðè äåéñòâèè ïåðèîäè÷åñêèõ âîçìóùåíèé â ñëó÷àå k = 0 ðîæäàåòñÿ (l−n)-
ñåìåéñòâî ÑÏÄ.
Âûøå, â òåîðåìàõ 4�6, íàëè÷èå ñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ ñïåöèàëüíî íå
îãîâàðèâàëîñü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà (1) äîïóñêàåò m ñèììåòðè÷íûõ
èíòåãðàëîâ. Òîãäà çà ïàðàìåòðû ñåìåéñòâà ÑÏÄ ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëü-
íûå ïîñòîÿííûå ýòèõ èíòåãðàëîâ.
Òåîðåìà 7.  òèïè÷íîé ñèòóàöèè ÑÏÄ ñîäåðæèò l − n + 2k ïðîñòûõ
íóëåâûõ ÕÏ è max{1,m − (l − n + k)} æîðäàíîâûõ êëåòîê, îòâå÷àþùèõ
20
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
íóëåâûì ÕÏ. Åñëè m > l−n+ k è ÑÏÄ ñîäåðæèò 2m− (l−n) íóëåâûõ ÕÏ,
òî ïîëó÷èì òèïè÷íóþ ñèòóàöèþ.
Çàìå÷àíèå. Èç òåîðåìû 7 ñëåäóåò, ÷òî ïðè m = l − n + k + 1 ñðåäè âñåõ
ñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ âûäåëÿåòñÿ òîëüêî îäèí èíòåãðàë.  ïðèìåðàõ:
ýòî � èíòåãðàë ýíåðãèè.
4. Ïðîáëåìà äîïîëíèòåëüíûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â îáðàòèìîé
ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ñâÿçàíî ñ íåñóùåñòâîâà-
íèåì â îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå äîïîëíèòåëüíûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.
Âïåðâûå çàäà÷ó î ñóùåñòâîâàíèè äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà â ãàìèëü-
òîíîâûõ ñèñòåìàõ, îòëè÷íîãî îò èíòåãðàëà ýíåðãèè, ïîñòàâèë Ïóàíêàðå [9].
Îòðèöàòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ñâÿçàí ñ ðîæäåíèåì èçîëèðîâàííûõ
êîëåáàíèé íà ôèêñèðîâàííîì óðîâíå ýíåðãèè [10].
Ðàçëè÷àþò ãëîáàëüíûå è ëîêàëüíûå ïåðâûå èíòåãðàëû [11]. Ãëîáàëüíûé
èíòåãðàë ñóùåñòâóåò âî âñåì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, â òî âðåìÿ êàê ëîêàëü-
íûé èíòåãðàë � òîëüêî â ÷àñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà.  ïîñòàíîâêå Ïóàí-
êàðå ðàññìàòðèâàåòñÿ ãëîáàëüíûé èíòåãðàë.
Ãëîáàëüíûå ïåðâûå èíòåãðàëû ðàññìàòðèâàþòñÿ è â ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðî-
ñòðàíñòâå P . Èíòåãðèðóåìîñòü èëè íåèíòåãðèðóåìîñòü â ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà
P íå äàåò ïîäîáíîãî âûâîäà äëÿ âñåãî ïðîñòðàíñòâà. Îáû÷íî â êîíêðåòíûõ
çàäà÷àõ èíòåðåñåí âîïðîñ î ìíîæåñòâå èíòåãðèðóåìîñòè â ïðîñòðàíñòâå P è
âûâîä î íåèíòåãðèðóåìîñòè ïî÷òè âåçäå â P [12].
 îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå ôàêò íåñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëü-
íîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà ñëåäóåò èç íàëè÷èÿ òèïè÷íîãî ñåìåéñòâà ÑÏÄ (â âèäå
êîëåáàíèé è/èëè âðàùåíèé).
Òåîðåìà 8. Åñëè èçâåñòíî, ÷òî îáðàòèìàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà èìååò
m ñèììåòðè÷íûõ è k àñèììåòðè÷íûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, ïðè÷åì m > l −
n + k, è äîïóñêàåò ÑÏÄ (êàêîå-íèáóäü), ñîäåðæàùåå 2m − (l − n) íóëåâûõ
ÕÏ, òî â ñèñòåìå íåò äîïîëíèòåëüíîãî ê èçâåñòíûì ïåðâûì èíòåãðàëàì
ïåðâîãî èíòåãðàëà.
Äîê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî òåîðåìå 7 ñèñòåìà äîïóñêàåò ÑÏÄ â òèïè÷íîé
ñèòóàöèè. Âûäåëèì åãî çâåçäî÷êîé. Âñå íóëåâûå ÕÏ äëÿ ÑÏÄ* äàþòñÿ òåî-
ðåìîé 7 è ÷èñëî èõ ðàâíî 2m− (l−n). Ñàìî ÑÏÄ* ïðèíàäëåæèò l−n+ k +1
ñåìåéñòâó (òåîðåìà 5), êîòîðîå îòâå÷àåò èçâåñòíûì ïåðâûì èíòåãðàëàì.
Ïóñòü ñèñòåìà èìååò äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë. Åñëè ýòîò èíòå-
ãðàë � àñèììåòðè÷íûé, òî ðàçìåðíîñòü ñåìåéñòâà ÑÏÄ ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé
l− n + k + 2.  ñëó÷àå äîïîëíèòåëüíîãî ñèììåòðè÷íîãî èíòåãðàëà ÷èñëî íó-
ëåâûõ ÕÏ ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì 2(m + 1) − (l − n). Îáà ñëó÷àÿ íåâîçìîæíû,
ïîýòîìó â îêðåñòíîñòè ÑÏÄ* äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë îòñóòñòâóåò.
Åñëè äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë íå ñóùåñòâóåò â îêðåñòíîñòè ÑÏÄ*,
òî ýòîò èíòåãðàë, áóäó÷è ãëîáàëüíûì, íå ñóùåñòâóåò âî âñåì ôàçîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå. ¤
Çàìå÷àíèå. 1. Óêàæåì, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû íåÿâíî ïðåäïîëàãà-
åòñÿ ñóùåñòâîâàíèå â ñèñòåìå òîëüêî îäíîãî íåïîäâèæíîãî ìíîæåñòâà.
21
Â.Í. Òõàé
2. Ôàêòè÷åñêè èçâåñòíûì ïåðâûì èíòåãðàëàì ñèñòåìû ñòàâèòñÿ â ñîîòâåò-
ñòâèå âïîëíå îïðåäåëåííîå ñåìåéñòâî ÑÏÄ. Ïðè íàëè÷èè äîïîëíèòåëüíîãî
ïåðâîãî èíòåãðàëà ñèñòåìà îáëàäàåò óæå äðóãèì ñåìåéñòâîì ÑÏÄ.
3. Óñëîâèå, íàëîæåííîå íà ÕÏ, ïîçâîëÿåò êîíñòðóêòèâíî ïðèìåíÿòü òåî-
ðåìó ê êîíêðåòíûì çàäà÷àì.
4. Èíòåãðàëû ðàçëè÷àåì ïî ëèíåðèçîâàííîé íà ÑÏÄ ÷àñòè.
5. Äëÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû óòâåðæäåíèå èçâåñòíî. Ìåòîä Ïóàíêàðå
çäåñü äàåò îòâåò äëÿ ñèñòåì, áëèçêèõ ê èíòåãðèðóåìûì [10].
5. Âîçìîæíûé ñöåíàðèé ðîæäåíèÿ íîâûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â
îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå. Óñëîâèå m > l − n + k ÿâëÿåòñÿ åñòå-
ñòâåííûì è âûïîëíÿåòñÿ, íàïðèìåð, â çàäà÷å òðåõ òåë (l = n = 2, m = 1,
k = 0), äëÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé è ò.ä.
Ïðåäëîæåíèå 1 [12]. Ïóñòü îáðàòèìàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîäåðæèò
ïàðàìåòð p ∈ P è â êàæäîé òî÷êå p ∈ P èìååò m ñèììåòðè÷íûõ è k
àñèììåòðè÷íûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, m > l − n + k, à íà ìíîæåñòâå P1 ∈
∈ P äîïóñêàåò ÑÏÄ. Åñëè ïî÷òè âñþäó íà P1 äëÿ ýòîãî ÑÏÄ ðåàëèçóåòñÿ
òèïè÷íàÿ ñèòóàöèÿ, òî âîçìîæåí òîëüêî îäèí ñöåíàðèé ðîæäåíèÿ íîâûõ
àñèììåòðè÷íûõ (è âìåñòå ñ íèìè ñèììåòðè÷íûõ) ïåðâûõ èíòåãðàëîâ: íà
ìíîæåñòâå P ∗ ∈ P1 íåíóëåâûå ïàðû ÕÏ ïðîõîäÿò ÷åðåç íóëü.
6. Îáðàòèìàÿ êîíñåðâàòèâíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ äâóìÿ ñòå-
ïåíÿìè ñâîáîäû. Íåèíòåãðèðóåìîñòü.  ñëó÷àå çàäà÷è òðåõ òåë
l = n = 2, à ñàìà ñèñòåìà äîïóñêàåò îäèí ñèììåòðè÷íûé èíòåãðàë. Ïîýòîìó
òåîðèÿ äëÿ îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì, äîïóñêàþùèõ ïåðâûå èíòåãðàëû
[8], ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîäû êàê äëÿ çàäà÷è òðåõ òåë, òàê è äëÿ îáðàòèìîé
êîíñåðâàòèâíîé ìåõàíè÷åñêîé cèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Íèæå óñòàíîâëåíà íåèíòåãðèðóåìîñòü çàäà÷è, óñòîé÷èâîñòü â ñìûñëå ñî-
õðàíåíèÿ ïî÷òè âñåõ ÑÏÄ â âîçìóùåííîé àâòîíîìíîé ìîäåëè, à òàêæå �
ðîæäåíèå ïðè äåéñòâèè ïåðèîäè÷åñêèõ âîçìóùåíèé èçîëèðîâàííîãî ÑÏÄ èç
ñåìåéñòâà ÑÏÄ ïîðîæäàþùåé çàäà÷è. Ïîëó÷åí ðÿä âûâîäîâ äëÿ îãðàíè÷åí-
íûõ ðåøåíèé. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëåíî çàäà÷å òðåõ òåë.
Ðàññìîòðèì êîíñåðâàòèâíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó
ẍ− 2ẏ = ∂Ω/∂x, ÿ + 2ẋ = ∂Ω/∂y,
Ω(x,−y) = Ω(x, y)
(4)
ñ ñèììåòðè÷íûì ïîòåíöèàëîì Ω(x, y). Ñâîéñòâî ñèììåòðèè (÷åòíîñòü ïî ïå-
ðåìåííîé y) ôóíêöèè Ω(x, y) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñèñòåìà (4) ïðèíàäëåæèò
ê êëàññó îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì (1). Ýòî ñâîéñòâî øèðîêî èñïîëü-
çóåòñÿ, íàïðèìåð, â èññëåäîâàíèÿõ ïî çàäà÷å òðåõ òåë [2].
Çàïèøåì ñèñòåìó (4) â âèäå (1). Òîãäà l = n = 2, u = {x, ẏ}T , v = {y, ẋ}T
(T � òðàíñïîíèðîâàíèå), à íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî òàêîå: Mx = {x, y, ẋ, ẏ :
y = 0, ẋ = 0}.
Ñèñòåìà (4) äîïóñêàåò ñèììåòðè÷íûé ïåðâûé èíòåãðàë (ßêîáè)
H = h, H ≡ 1
2
(ẋ2 + ẏ2)− Ω(x, y). (5)
22
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
Èíòåðåñåí âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèè åùå îäíîãî èíòåãðàëà � âî-
ïðîñ, ñâÿçàííûé ñ èíòåãðèðóåìîñòüþ (íåèíòåãðèðóåìîñòüþ) ñèñòåìû.
Ïóñòü ñèñòåìà (4) äîïóñêàåò ÑÏÄ. Òîãäà, âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ ñèììåòðè÷-
íîãî èíòåãðàëà (5), èìååòñÿ ñåìåéñòâî Σ(h) ÑÏÄ, ïàðàìåòðèçîâàííîå ïîñòî-
ÿííîé h èíòåãðàëà ßêîáè. Íà Σ(h) ïåðèîä T (h) ÑÏÄ çàâèñèò îò ïîñòîÿííîé
h.  îáùåì ñëó÷àå Σ(h) ñîäåðæèò êàê îáûêíîâåííûå òî÷êè, ãäå dT 6= 0, òàê è
êðèòè÷åñêèå òî÷êè (dT (h) = 0) [8].  íåëèíåéíîé ñèñòåìå êðèòè÷åñêèå òî÷êè
ÿâëÿþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíûìè.
Âû÷èñëèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè (ÕÏ) äëÿ ÑÏÄ ïåðèîäà 2π.
Ïðè ýòîì èìååì â âèäó, ÷òî ÕÏ äëÿ 2π-ïåðèîäè÷åñêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû
îïðåäåëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ±νi, ν ∈ N .
Îïðåäåëåíèå. Ñèòóàöèÿ äëÿ ÑÏÄ ñèñòåìû (3) íàçûâàåòñÿ òèïè÷íîé, åñ-
ëè ÑÏÄ ñîäåðæèò îäíó æîðäàíîâó êëåòêó èç íóëåâûõ ÕÏ ïëþñ ïàðó ±κ
íåíóëåâûõ ÕÏ.
Îòìåòèì âîçìîæíûå âûðîæäåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ÕÏ. Ïî òåîðåìå Ïóàíêàðå
[9] ïåðèîäè÷åñêîìó äâèæåíèþ ñèñòåìû (4) îáÿçàòåëüíî îòâå÷àåò îäèí íóëåâîé
ÕÏ. Äëÿ ÑÏÄ îáðàòèìîé ñèñòåìû òàêèõ ïîêàçàòåëåé � äâà. Â îáûêíîâåííîé
òî÷êå ñåìåéñòâà Π èìååì æîðäàíîâó êëåòêó.  êðèòè÷åñêîé òî÷êå ïðîèñõîäèò
ðàñïàäåíèå æîðäàíîâîé êëåòêè è ïîëó÷èì ïåðâîå èç âîçìîæíûõ âûðîæäåíèé.
Âòîðîå âûðîæäåíèå ñâÿçàíî ñ ïåðåõîäîì ÷èñëà κ ÷åðåç íóëåâîå çíà÷åíèå.
Òàêèì îáðàçîì, â òèïè÷íîé ñèòóàöèè äëÿ ÑÏÄ íåò íè îäíîãî èç âîçìîæ-
íûõ âûðîæäåíèé.
Ïðèìåð 1.  ñëó÷àå Ω(x, y) = −3(x2 + y2)/2 èìååòñÿ ñåìåéñòâî ÑÏÄ:
x = a cos 3t, y = a sin 3t, a = const. Îäíàêî ïåðèîä T íå çàâèñèò îò h; âñå
òî÷êè ñåìåéñòâà � êðèòè÷åñêèå. Òàê âñåãäà ïðîèñõîäèò â ëèíåéíîé ñèñòåìå.
Íèæå ðàçëè÷àåì ÑÏÄ è òî÷êè ðàâíîâåñèÿ îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñè-
ñòåìû.
Òåîðåìà 9. Åñëè îáðàòèìàÿ êîíñåðâàòèâíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ
äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (4) äîïóñêàåò ñåìåéñòâî ÑÏÄ ïî ïàðàìåòðó h,
ñîäåðæàùåå îáûêíîâåííóþ òî÷êó, òî ýòà ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííûé
ãëàäêèé ïåðâûé èíòåãðàë � èíòåãðàë ßêîáè.
Çàìå÷àíèå. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâîâàíèå òîëüêî ñåìåéñòâà ÑÏÄ Σ(h)
ãàðàíòèðóåò åäèíñòâåííîñòü èçâåñòíîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà � èíòåãðàëà ßêî-
áè.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òåîðåìà 9 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû 8, ïðèìå-
íåííîé ê (4).
Äàäèì íåçàâèñèìîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Íà ÑÏÄ ñèñòåìû (4) èìååì:
x = x∗(t), y = y∗(t); x∗(−t) = x∗(t), y∗(−t) = −y∗(t).
Ïóñòü ïåðèîä ÑÏÄ ðàâåí 2π. Ëèíåàðèçóåì èíòåãðàë (5) íà ÑÏÄ. Ïîëó÷èì
ëèíåéíûé 2π�ïåðèîäè÷åñêèé ïî t èíòåãðàë
F ≡ ẋ∗(t)δẋ + ẏ∗(t)δẏ −
(
∂Ω
∂x
)
∗
δx−
(
∂Ω
∂y
)
∗
δy
23
Â.Í. Òõàé
(δx, δy, δẋ, δẏ � âàðèàöèè, à âû÷èñëåíèå íà ÑÏÄ ïîìå÷åíî çâåçäî÷êîé) ñèñòå-
ìû óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ äëÿ ÑÏÄ.  îáûêíîâåííîé òî÷êå èìååì íóëåâóþ
æîðäàíîâó êëåòêó, îòâå÷àþùóþ èíòåãðàëó H. Êëåòêà äàåò âòîðîé ëèíåéíûé
èíòåãðàë
tF + G; G(δx,−δy,−δẋ, δẏ,−t) = G(δx, δy, δẋ, δẏ, t)
ýòîé ñèñòåìû.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà (4) äîïóñêàåò äîïîëíèòåëüíûé (ñèììåòðè÷-
íûé èëè àñèììåòðè÷íûé) ïåðâûé èíòåãðàë W = const. Ëèíåàðèçóåì èíòå-
ãðàë W íà ÑÏÄ. Òîãäà ïðèõîäèì ê ëèíåéíîìó ïåðâîìó èíòåãðàëó f (ñ 2π-
ïåðèîäè÷åñêèìè ïî t êîýôôèöèåíòàìè) äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ.
 ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîãî èíòåãðàëà W ïîëó÷èì èëè æîðäàíîâó êëåòêó èç
íóëåâûõ ÕÏ, èëè äâà ïðîñòûõ íóëåâûõ ÕÏ.  ñëó÷àå àñèììåòðè÷íîãî èíòå-
ãðàëà W àñèììåòðè÷íûé èíòåãðàë f òàêæå ïðèâîäèò ê äâóì íóëåâûì ÕÏ. Â
ëþáîì ñëó÷àå èìååì κ = 0, ÷òî íåâîçìîæíî äëÿ îáûêíîâåííîé òî÷êè.
Îòñóòñòâèå ãëîáàëüíîãî èíòåãðàëà W â îáëàñòè, ñîäåðæàùåé îáûêíîâåí-
íóþ òî÷êó, äîêàçûâàåò íåñóùåñòâîâàíèå W . ¤
Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ àñèììåòðè÷íîãî èíòåãðàëà W èíòå-
ãðàë f áóäåò äîïîëíèòåëüíûì ê èíòåãðàëó F .  ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîãî èíòå-
ãðàëà W èíòåãðàëû f è F íå ðàçëè÷àþòñÿ íà äàííîì ñåìåéñòâå ÑÏÄ.
Cèñòåìà (4), âìåñòå ñ ÑÏÄ â òèïè÷íîé ñèòóàöèè, äîïóñêàåò òîëüêî îäíî-
ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ÑÏÄ Σ(h). Äðóãîå ïîäîáíîå ñåìåéñòâî, êàçàëîñü
áû, èíèöèèðîâàííîå ñèììåòðè÷íûì èíòåãðàëîì W , ïðîñòî íå ñóùåñòâóåò.
Çíà÷èò, ïî êðàéíåé ìåðå, â ÷àñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ñîäåðæàùåé Σ(h),
äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë W îòñóòñòâóåò.
Èíòåðåñíî ñâÿçàòü òèï âûðîæäåíèÿ äëÿ ÑÏÄ ñ âîçìîæíîñòüþ íàëè÷èÿ
äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà. Ïðè ïåðâîì òèïå âûðîæäåíèÿ òî÷êà â ôàçîâîì
ïðîñòðàíñòâå çàäà÷è ôèêñèðîâàíà. Ñàìî âûðîæäåíèå ñâÿçàíî ñ ïîïàäàíèåì
íà êðèòè÷åñêóþ òî÷êó ïðè ïåðåìåùåíèè âäîëü Π(h) â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Íî êðèòè÷åñêèå òî÷êè � èñêëþ÷åíèå; èç ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ òî÷åê â íåëè-
íåéíîé ñèñòåìå åùå íå ñëåäóåò íàëè÷èå äîïîëíèòåëüíîãî ãëîáàëüíîãî ïåðâîãî
èíòåãðàëà.
×òî êàñàåòñÿ âòîðîãî òèïà âûðîæäåíèÿ, òî ïåðåõîä κ ÷åðåç íóëåâîå çíà-
÷åíèå ïðîèñõîäèò, êàê ïðàâèëî, ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû.  òî÷êå
κ = 0 âîçìîæíî ïîÿâëåíèå äîïîëíèòåëüíîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà.
Ïðèìåð 2. Ñèñòåìà â ïðèìåðå 1 íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà. Çäåñü ðåàëèçóþò-
ñÿ îáà òèïà âûðîæäåíèÿ. Äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé (ñèììåòðè÷íûé) èíòåãðàë
ẏx− ẋy + x2 + y2 = const ñóùåñòâóåò.
Ïðèâåäåì ïðîñòûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íåñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëü-
íîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà. ×àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ∂Ω/∂y � ôóíêöèÿ, íå÷åòíàÿ
ïî y. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå
∂Ω(x, 0)
∂x
= 0 (6)
24
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
äàåò âñå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû (4).  ñëó-
÷àå, êîãäà óðàâíåíèå (6) íå èìååò êîðíåé, âñå òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ ñèììåò-
ðè÷íûìè è ïåðåñåêàþò íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî M .
Ïóñòü óðàâíåíèå (6) èìååò êîðíè. Òîãäà, êàê è â çàäà÷å òðåõ òåë, ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íàçîâåì êîëëèíåàðíûìè òî÷êàìè ëèáðàöèè
L. Âû÷èñëèì â L âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ω:
cxx = −∂2Ω
∂x2
, cyy = −∂2Ω
∂y2
. (7)
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
cxxcyy < 0, (8)
òî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (ÕÓ) èìååò îäíó ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé
(äðóãèå äâà êîðíÿ áóäóò äåéñòâèòåëüíûìè). Åñëè æå çíàê íåðàâåíñòâà â (8)
ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé, íî
∆ ≡ (cxx + cyy + 4)2 − 4cxxcyy > 0,
òî èìååì äâå ïàðû ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé. Íàêîíåö, êîãäà ∆ < 0, ìíèìûå
êîðíè îòñóòñòâóþò.
×èñòî ìíèìûå êîðíè èíèöèèðóþò ëÿïóíîâñêîå ñåìåéñòâî (ñåìåéñòâî ÑÏÄ
[13]). Ýòî ëîêàëüíîå ñåìåéñòâî âñåãäà ñîäåðæèò [14] ïàðó íóëåâûõ ÕÏ â æîð-
äàíîâîé êëåòêå (òóäà ïåðåøëà ïàðà ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé ÕÓ). Äðóãàÿ ïàðà
ÕÏ ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà � àìïëèòóäû êîëåáàíèé íà ÑÏÄ, ñîâ-
ïàäàåò ñ îñòàâøåéñÿ ïàðîé êîðíåé ÕÓ. Ïîýòîìó âûïèñàííûå óñëîâèÿ ãàðàí-
òèðóþò íåèíòåãðèðóåìîñòü ñèñòåìû (4).
Îòìåòèì, ÷òî çäåñü íåèíòåãðèðóåìîñòü ñâÿçàíà íå ñòîëüêî ñ ÷èñòî ìíè-
ìûìè êîðíÿìè ÕÓ, ñêîëüêî ñ ëÿïóíîâñêèì ñåìåéñòâîì (ñåìåéñòâî ÑÏÄ), êî-
òîðîå ýòè êîðíè ïîðîæäàåò.
Ïðèìåð 3.  ñëó÷àå Ω(x, y) = −3(x2 + y2)/2 ëÿïóíîâñêèå ñåìåéñòâà îò-
ñóòñòâóþò.
 çàêëþ÷åíèè ðàçäåëà óêàæåì, ÷òî òåîðåìà 9 îõâàòûâàåò òàêæå âûâîä îá
íåèíòåãðèðóåìîñòè, îñíîâàííûé íà îðáèòàõ Ïóàíêàðå â çàäà÷å òðåõ òåë [9].
7. Îãðàíè÷åííûå íà (x, y) îðáèòû. ÑÏÄ â âîçìóùåííîé ñèñòåìå.
Äîêàçàòåëüñòâîì íåñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà íå èñ÷åðïû-
âàåòñÿ èíòåðåñ ê âàæíîìó êëàññó ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì (4). Íèæå ïðåäëîæåí
ïîäõîä ê îïèñàíèþ âñåõ îãðàíè÷åííûõ íà (x, y) äâèæåíèé (èëè îðáèò). Âûâî-
äû, îñíîâàííûå çäåñü íà ñâîéñòâå îáðàòèìîñòè, â îïðåäåëåííîé ìåðå äîïîë-
íÿþò ìåòîä Õèëëà [15].  êîíöå ðàçäåëà ïîëó÷åíû òàêæå âûâîäû ïî ÑÏÄ â
âîçìóùåííîé çàäà÷å.
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ
ϕ = arctg
dx
dy
(9)
� óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè è îñüþ y (ðèñ. 2).
25
Â.Í. Òõàé
x
y
Ðèñ. 2. Ââåäåíèå óãëà, ñîõðàíÿþùåãî ñâîéñòâî îáðàòèìîñòè ñèñòåìû.
Ïîäîáíóþ ïåðåìåííóþ � óãîë ñ îñüþ x âïåðâûå èñïîëüçîâàë Áèðêãîô [16].
Ââåäåííûé ïî ôîðìóëå (9) óãîë [17] ïîçâîëÿåò ñîõðàíèòü ñâîéñòâî îáðàòè-
ìîñòè ñèñòåìû (4) ïðè ïåðåõîäå ê ñèñòåìå òðåòüåãî ïîðÿäêà
ẋ = X(x, y, ϕ) ≡ [2(Ω + h)]1/2 sinϕ,
ẏ = Y (x, y, ϕ) ≡ [2(Ω + h)]1/2 cosϕ,
ϕ̇ = Φ(x, y, ϕ) ≡ 2 +
Ωx cosϕ− Ωy sinϕ
[2(Ω + h)]1/2
.
(10)
 ñàìîì äåëå, âèäíî, ÷òî ñèñòåìà (10) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî çàìåíû
(t, x, y, ϕ) → (−t, x,−y,−ϕ).
Ñäåëàåì ðÿä âûâîäîâ ïî îãðàíè÷åííûì íà ïëîñêîñòè (x, y) îðáèòàì.
Ïóñòü íà ðåøåíèè ñèñòåìû (3.2) â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 óãîë ϕ(0) = 0,
à ïðè t > 0 âñå âðåìÿ èìååì sinϕ 6= 0, ñêàæåì, sinϕ > 0. Òîãäà â îãðà-
íè÷åííîé ïî x îáëàcòè èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.2) ïîëó÷èì: |x| <
< const, ẋ > 0, x → x0(const). Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðè t →∞ íåîá-
õîäèìî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Åñëè Ω + h → 0, òî èç èíòåãðàëà ßêîáè ïîëó÷èì
àñèìïòîòè÷åñêîå ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ ðåøåíèå. Åñëè æå sinϕ → 0, òî èç
óðàâíåíèÿ äëÿ y èìååì cosϕ → ±1, ïîýòîìó äëÿ îãðàíè÷åííûõ ïî y ðåøåíèé
òàêæå íåîáõîäèìî Ω + h → 0.
Âûâîä 1. Ðåøåíèÿ, íà êîòîðûõ sinϕ ñîõðàíÿåò çíàê, ÿâëÿþòñÿ àñèìï-
òîòè÷åñêèìè ê ïîëîæåíèÿì îòíîñèòåëüíîãî ðàâíîâåñèÿ.
Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê ðåøåíèÿì, íà êîòîðûõ óãîë ϕ ìåíÿåòñÿ îò 0 äî π.
Ïóñòü G+ � ìíîæåñòâî òî÷åê A+ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, íà êîòîðîì íà-
÷èíàþòñÿ ýòè ðåøåíèÿ, ïðè÷åì ϕ(0) = 0.
 íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ òàêîå æå ìíîæåñòâî G−, ñîñòîÿùåå
èç òî÷åê A−. Åñëè â òî÷êå A− íà÷èíàåòñÿ ðåøåíèå, íà êîòîðîì óãîë ϕ íå
äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ π, òî, ñîãëàñíî âûâîäó 1, òî÷êà A− ëåæèò íà àñèìïòîòè-
÷åñêîì ê îòíîñèòåëüíîìó ðàâíîâåñèþ ðåøåíèè. Ìåðà òàêèõ òî÷åê ðàâíà 0. Â
ñëó÷àå, êîãäà íà ðåøåíèè, èñõîäÿùåìó èç A−, óãîë ϕ äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ π;
òîãäà íà ðåøåíèè, ïðîõîäÿùåì ÷åðåç òî÷êó A+, óãîë ϕ ìåíÿåòñÿ íà îòðåçêå
[−π, π] (ðèñ. 3).
26
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
Âûâîä 2. Ïî÷òè äëÿ âñåõ òî÷åê ìíîæåñòâà G±, ãäå íà÷èíàþòñÿ îãðà-
íè÷åííûå ðåøåíèÿ, óãîë ϕ ïðîáåãàåò âñå çíà÷åíèÿ èç (−∞,+∞).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç G(0) ìíîæå-
A
j=p
A
-
+
x
y
Ðèñ. 3. Ìîíîòîííîå èçìåíåíèå óãëà ϕ íà îãðàíè-
÷åííûõ òðàåêòîðèÿõ.
ñòâî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ ïðè
ϕ(0) = 0 îãðàíè÷åííûì ðåøåíè-
ÿì. Èñïîëüçóåì ñèñòåìó (10) è ïî-
ñòðîèì îòîáðàæåíèå F : 0 → 2π,
â êîòîðîì óãîë ϕ èçìåíÿåòñÿ íà
2π, à G(0) ïåðåõîäèò â ìíîæåñòâî
G(2π). Èç ðàññóæäåíèé, èñïîëü-
çîâàííûõ ïðè ïîëó÷åíèè âûâîäà
2, ñëåäóåò: ìíîæåñòâà ñîâïàäàþò
äî òî÷åê íóëåâîé ìåðû. Ñèñòåìà
(10) ñîõðàíÿåò ìåðó. Ïîýòîìó ïî-
÷òè âñå òî÷êè G(0) óñòîé÷èâû ïî
Ïóàññîíó.
Îáîçíà÷èì
Φ∗(x, y) ≡ Φ(x, y, 0) = Φ(x, y, 2π).
Ôóíêöèÿ Φ∗(x, y) ìåíÿåò çíàê íà ìíîæåñòâå G(0). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Φ∗(x, y)
çàäàåò çíàê ïðîèçâîäíîé dϕ/dt. Íàêîíåö, â ðåçóëüòàòå îòîáðàæåíèÿ ϕ : 0 → π
ìíîæåñòâà G(0) ïîëó÷èì ðàâíîå åìó ïî ìåðå ìíîæåñòâî.
Âûâîä 3. Ìíîæåñòâà G+ = {x, y : (x, y) ∈ G(0),Φ(x, y) > 0} è {x, y :
(x, y) ∈ G(2π), Φ(x, y) > 0} ñîâïàäàþò äî òî÷åê íóëåâîé ìåðû. Ìåðû ìíî-
æåñòâ G+ è {x, y : (x, y) ∈ G(0), Φ(x, y) < 0} ðàâíû.
Âûâîäû îáîñíîâûâàþò èçó÷åíèå îãðàíè÷åííûõ îðáèò íà îñíîâå ñèñòåìû
(10).
Ïåðåéäåì ê ÷àñòíîìó êëàññó îãðàíè÷åííûõ îðáèò � ÑÏÄ. Èäåÿ ìåòîäà
ïîñòðîåíèÿ âñåõ ÑÏÄ-îðáèò ñèñòåìû (10) âèäíà èç ðèñ. 4.
Èñïîëüçóåì ñèñòåìó (10). Â ìîìåíò
x
y
Ðèñ. 4. Èäåÿ ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ âñåõ
ÑÏÄ-îðáèò.
t = 0 âûïóñêàåì òðàåêòîðèè èç òî÷åê
îñè x, ïðè÷åì ϕ(0) = 0. Ïðè ϕ = π ïî-
ëó÷èì êðèâóþ, òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êîòî-
ðîé ñ îñüþ x ïðèíàäëåæàò ÑÏÄ â ìî-
ìåíò ϕ = π. Òðàåêòîðèè ÑÏÄ (äâå) íà
ðèñ. 4 èçîáðàæåíû øðèõîâûìè ëèíèÿìè.
Îòìåòèì, ÷òî íåñìîòðÿ íà ÷èñëåííîå ïî-
ñòðîåíèå, ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ÑÏÄ óñ-
òàíàâëèâàåòñÿ òî÷íî. Ìåòîä ðåàëèçîâàí,
ýôôåêòèâíîñòü ïðîäåìîíñòðèðîâàíà íà
çàäà÷å Õèëëà [17], çàäà÷å òðåõ òåë
(ñì. ðàçäåë 4), ôîòîãðàâèòàöèîííîé çàäà÷å òðåõ òåë [18]. Äðóãîé ìåòîä ïðè-
ìåíÿëñÿ ðàíåå [19, 20] â çàäà÷å òðåõ òåë.
Íà ðåøåíèÿõ ñèñòåìû (10) ñ ìîíîòîííî èçìåíÿþùèìñÿ óãëîì ϕ èñïîëü-
27
Â.Í. Òõàé
çóåì íîâóþ íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ � óãîë ϕ. Òîãäà âìåñòî ñèñòåìû (10)
òðåòüåãî ïîðÿäêà ïîëó÷èì ñèñòåìó âòîðîãî ïîðÿäêà
dx
dϕ
=
X(x, y, ϕ)
Φ(x, y, ϕ)
,
dy
dϕ
=
Y (x, y, ϕ)
Φ(x, y, ϕ)
, (11)
êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü ìåòîä [21] ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèÿ íà óñòîé-
÷èâîñòü âñåõ ÑÏÄ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûâîä 2 ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü äëÿ
ïîñòðîåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé è èññëåäîâàíèÿ èõ óñòîé÷èâîñòè îòîá-
ðàæåíèå F ïëîñêîñòè (x, y) íà ñåáÿ. Ïðè ýòîì èçó÷àþòñÿ ïðîèçâîëüíûå ïå-
ðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ, âêëþ÷àÿ ÑÏÄ.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèÿ íà óñòîé÷èâîñòü âñåõ
(ïðîèçâîëüíûõ) ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ñèñòåìû (4) èñïîëüçóåòñÿ ñèñòåìà
(10), ñòðîèòñÿ îòîáðàæåíèå ϕ : 0 → 2π, íàõîäÿòñÿ åãî íåïîäâèæíûå òî÷êè
è ýòè òî÷êè èññëåäóþòñÿ íà óñòîé÷èâîñòü.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, äëÿ èçó÷åíèÿ
ÑÏÄ â (10) ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ïîñòðîåíèÿ âñåõ ÑÏÄ. Íàêîíåö, äëÿ äâèæå-
íèé, íà êîòîðûõ óãîë ϕ ìåíÿåòñÿ ìîíîòîííî, èñïîëüçóåì ñèñòåìó (11) è ðàíåå
ïðåäëîæåííûé ìåòîä [21].
Êîíñòðóêòèâíîå ðåøåíèå çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ÑÏÄ â ñèñòåìå (10) ïîçâîëÿ-
åò óñòàíîâèòü ñóùåñòâîâàíèå ÑÏÄ â âîçìóùåííîé çàäà÷å. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî
âîçìóùåíèÿ ñîõðàíÿþò ñâîéñòâî îáðàòèìîñòè ñèñòåìû. Ïðè ýòîì ñèñòåìó (4)
íàçîâåì ïîðîæäàþùåé ñèñòåìîé.
Íèæå ïðèìåì, ÷òî äëÿ ÑÏÄ ïàðà ÕÏ (±κ) îòëè÷íà îò íóëÿ.
Ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ.
Óòâåðæäåíèå 1. Åñëè âîçìóùåíèÿ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, òî ïî÷òè âñå
ÑÏÄ ïîðîæäàþùåé ñèñòåìû, íåñêîëüêî äåôîðìèðóÿñü, ñîõðàíÿþòñÿ â âîç-
ìóùåííîé ñèñòåìå. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ÑÏÄ òîëüêî â êðèòè÷åñêèõ
òî÷êàõ ñåìåéñòâà.
Çàìå÷àíèå. Âûâîä íå çàâèñèò îò òîãî, îñòàåòñÿ èëè íåò ñèñòåìà êîíñåð-
âàòèâíîé. Âàæíî, ÷òîáû ñèñòåìà ñîõðàíÿëà ñâîéñòâî îáðàòèìîñòè.
Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè íà ïîðîæäàþùóþ ñèñòåìó äåéñòâóþò ïåðèîäè÷åñ-
êèå âîçìóùåíèÿ ïåðèîäà 2π, òî èç êàæäîé îáûêíîâåííîé òî÷êè ñåìåéñòâà,
ãäå T = 2π/m,m ∈ N , ðîæäàþòñÿ èçîëèðîâàííûå 2π-ïåðèîäè÷åñêèå ÑÏÄ.
Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèé áàçèðóåòñÿ íà òåîðåìå 6.
8. Çàäà÷à òðåõ òåë. Äëÿ îãðàíè÷åííîé ïëîñêîé êðóãîâîé çàäà÷è òðåõ
òåë (ñì. ðèñ. 5) ôóíêöèÿ Ω(x, y) èìååò âèä
Ω(x, y) =
1
2
(x2 + y2) + (1− µ)/r1 + µ/r2,
r2
1 = (x + µ)2 + y2, r2
2 = (x + µ− 1)2 + y2,
(12)
ãäå µ � ìàññîâûé ïàðàìåòð, r1, r2 � ðàññòîÿíèå îò îñíîâíûõ òåë S, J äî ÷à-
ñòèöû P .
28
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
S J x
y
P
0
Ðèñ. 5. Çàäà÷à òðåõ òåë.
Ïîñòîÿííûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4), (12) íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñ-
êèõ óðàâíåíèé
∂Ω
∂x
≡ x(1− a) + µ(1− µ)
(
1
r3
2
− 1
r3
1
)
= 0,
∂Ω
∂x
≡ y(1− a) = 0,
a =
(1− µ)
r3
1
+
µ
r3
2
.
(13)
 ñëó÷àå, êîãäà y 6= 0, íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû (13)
áóäåò ðàâåíñòâî a = 1. Ïðè âûïîëíåíèè åãî èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà íàõîäèì
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, â êîòîðîì r1 = r2 (òðåóãîëüíûå òî÷êè ëèáðàöèè). Äëÿ
îñòàëüíûõ ðåøåíèé èìååì y = 0, è îíè � ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îáðàòèìîé
ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû (4), (12).
Êîëëèíåàðíûå òî÷êè ëèáðàöèè îòêðûòû Ë. Ýéëåðîì [1]. Ïîäðîáíûé àíà-
ëèç ýòèõ òî÷åê èìååòñÿ (ñì., íàïðèìåð, [2]). Äëÿ íèõ ïðè µ > 0 õàðàêòåðèñòè-
÷åñêîå óðàâíåíèå âñåãäà èìååò äâà äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ ïðîòèâîïîëîæíîãî
çíàêà è äâà ÷èñòî ìíèìûõ êîðíÿ. Íåèíòåãðóåìîñòü çàäà÷è ïðè âñåõ µ ∈ (0, 1)
âûâîäèòñÿ èç ñóùåñòâîâàíèÿ ëÿïóíîâñêîãî ñåìåéñòâà, ïðèìûêàþùåãî ê êîë-
ëèíåàðíîé òî÷êå ëèáðàöèè. Ýòî ñåìåéñòâî ÑÏÄ â îêðåñòíîñòè òî÷êè ëèáðà-
öèè ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì, ïîýòîìó âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 9.
Òåîðåìà 10.  çàäà÷å òðåõ òåë íåò äîïîëíèòåëüíîãî ãëàäêîãî ïåðâîãî
èíòåãðàëà ïðè ëþáûõ µ ∈ (0, 1/2)
⋃
(1/2, 1).
Çàìå÷àíèå. 1. Áðóíñ [22] äîêàçàë îòñóòñòâèå äîïîëíèòåëüíîãî àëãåáðà-
è÷åñêîãî èíòåãðàëà â îáùåé (íåîãðàíè÷åííîé) çàäà÷å òðåõ òåë. Äëÿ îãðàíè-
÷åííîé çàäà÷è òðåõ òåë òàêîé ðåçóëüòàò ïîçäíåå ïîëó÷èë Çèãåëü [23]. Íåñó-
ùåñòâîâàíèå àíàëèòè÷åñêîãî èíòåãðàëà â íåîãðàíè÷åííîé çàäà÷å òðåõ òåë â
ñëó÷àå, êîãäà ìàññû äâóõ òî÷åê ìàëû, äîêàçàë Ïóàíêàðå [9]. Äëÿ îãðàíè÷åí-
íîé çàäà÷è ïîäîáíûé ðåçóëüòàò ïîëó÷åí òîëüêî â 1960 ã. [24].
2.  ñëó÷àå µ = 1/2 çàäà÷à (12) äîïóñêàåò âòîðîå íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî
My = {x, y, ẋ, ẏ : x = 0, ẏ = 0}.
Êðèòè÷åñêèå òî÷êè ñåìåéñòâà ÑÏÄ � èñêëþ÷åíèå. Ýòî íàãëÿäíî ïîêàçàíî
íà ðèñ. 6, ãäå â ñëó÷àå µ = 1/2 äàíà çàâèñèìîñòü T (h) äëÿ ñåìåéñòâà ÑÏÄ
(ÑÏÄ-1), ñèììåòðè÷íîãî îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî ìíîæåñòâà Mx è ïðè-
ìûêàþùåãî ê âíóòðåííåé òî÷êå ëèáðàöèè (L2) (êðàéíÿÿ ëåâàÿ êðèâàÿ äî
òî÷êè íååäèíñòâåííîñòè).
29
Â.Í. Òõàé
Çäåñü dT 6= 0. Ïðè äàëüíåéøåé ýâîëþöèè ÑÏÄ-1 òàêæå ïî÷òè âåçäå èìååì
dT 6= 0.
Êàê è âûøå â ðàçäåëå 7, ïîëàãàåì,
0-1-2-3-4h
10
20
T(h)
Ðèñ. 6. Ñåìåéñòâà ÑÏÄ-îðáèò, ïðèìûêà-
þùèå ê âíóòðåííåé êîëëèíåàðíîé òî÷êå
ëèáðàöèè.
÷òî îðáèòà ñîäåðæèò ïàðó íåíóëåâûõ ÕÏ
(±κ). Óêàæåì, ÷òî κ = 0 òîëüêî â îò-
äåëüíûõ òî÷êàõ ñåìåéñòâà ÑÏÄ. Íà îñ-
íîâå óòâåðæäåíèé 1, 2 çàêëþ÷àåì:
Óòâåðæäåíèå 3.  çàäà÷å, áëèçêîé ê
çàäà÷å òðåõ òåë, ñîõðàíÿþòñÿ ïî÷òè
âñå ñèììåòðè÷íûå ïåðèîäè÷åñêèå îðáè-
òû. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò îðáèòû â
êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ ñåìåéñòâà ïîðîæ-
äàþùåé çàäà÷è.
Çàìå÷àíèå. Ðåçóëüòàò èíòåðåñíî èñïîëüçîâàòü â çàäà÷å N òåë, âûáèðàÿ
â êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ îðáèò îðáèòû çàäà÷è òðåõ òåë.
Óòâåðæäåíèå 4. Ïðè ïåðåõîäå îò êðóãîâîé ê ñëàáîýëëèïòè÷åñêîé çàäà÷å
òðåõ òåë èç êàæäîé îáûêíîâåííîé òî÷êè ñåìåéñòâà σ ñ T = 2π/m, (m ∈
∈ N), ðîæäàþòñÿ èçîëèðîâàííûå 2π-ïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû.
Òàêèì îáðàçîì, âîçìóùåíèå â âèäå ìàëîãî ýêñöåíòðèñèòåòà îðáèòû îñíîâ-
íûõ òåë, êàê ïðàâèëî, ïðèâîäèò ê ðîæäåíèþ èçîëèðîâàííûõ ïåðèîäè÷åñêèõ
îðáèò.
9. Òÿæåëîå òâåðäîå òåëî ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Äâèæåíèå
òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíè-
ÿìè Ýéëåðà�Ïóàññîíà
Aṗ = (B − C)qr + P (z0γ2 − y0γ3), γ̇1 = γ2r − γ3q,
Bq̇ = (C −A)rp + P (x0γ3 − z0γ1), γ̇2 = γ3p− γ1r,
Cṙ = (A−B)pq + P (y0γ1 − x0γ2), γ̇3 = γ1q − γ2p.
(14)
Çäåñü A,B, C � ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òåëà, P � âåñ òåëà, x0, y0, z0 �
êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè, ωωω = (p, q, r) � óãëîâàÿ ñêîðîñòü, γγγ = (γ1, γ2, γ3)
� åäèíè÷íûé âåêòîð âåðòèêàëè, íàïðàâëåííûé ââåðõ.
Ñèñòåìà (14) äîïóñêàåò êëàññè÷åñêèå èíòåãðàëû
W1 = Ap2 + Bq2 + Cr2 + 2P (x0γ1 + y0γ2 + z0γ3) = 2h(const),
W2 = Apγ1 + Bqγ2 + Crγ3 = σ(const),
W3 = γ2
1 + γ2
2 + γ2
3 = 1.
(15)
Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñèñòåìà (14) íå ìåíÿåò ñâîé âèä ïðè çàìåíå R :
(ωωω, γγγ, t) → (−ωωω, γγγ,−t). Çíà÷èò, ñèñòåìà (14) ïðèíàäëåæèò [4] ê êëàññó îáðà-
òèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì (1). Çäåñü l = n = 3, à íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî
ñèñòåìû (14) òàêîå:
M = {γ1, γ2, γ3, p, q, r : p = 0, q = 0, r = 0}.
30
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
Ñëåäîâàòåëüíî, íà ñèììåòðè÷íûõ äâèæåíèÿõ â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè óã-
ëîâàÿ ñêîðîñòü ωωω îáðàùàåòñÿ â íóëü. Åñëè îáðàùåíèå â íóëü óãëîâîé ñêîðîñòè
ïðîèñõîäèò è âòîðîé ðàç, òî ïîëó÷èì ÑÏÄ. Ìíîæåñòâó M ïðèíàäëåæàò ðàâ-
íîâåñèÿ îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû (14).  ñëó÷àå x0 6= 0, y0 6= 0, z0 6= 0
äëÿ ýòèõ ðåøåíèé ïîëó÷èì
γ1
x0
=
γ2
y0
=
γ3
z0
= χ, χ = ±1/l (16)
(l � ðàññòîÿíèå îò íåïîäâèæíîé òî÷êè äî öåíòðà òÿæåñòè), îòêóäà ñëåäó-
åò ñóùåñòâîâàíèå òîëüêî äâóõ ðàâíîâåñèé � âåðõíåãî è íèæíåãî ïîëîæåíèé
ðàâíîâåñèÿ. Íà ñôåðå Ïóàññîíà ýòè òî÷êè íàõîäÿòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûõ
êîíöàõ äèàìåòðà.
Îáðàòèìñÿ ê èíòåãðàëàì (15). Èíòåãðàëû ýíåðãèè è ãåîìåòðè÷åñêèé ñèì-
ìåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî M , ò.å.
W1,3(−p,−q,−r, γ1, γ2, γ3) = W1,3(p, q, r, γ1, γ2, γ3),
â òî âðåìÿ, êàê èíòåãðàë êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îêàçûâàåòñÿ àñèììåòðè÷-
íûì
W2(−p,−q,−r, γ1, γ2, γ3) = −W2(p, q, r, γ1, γ2, γ3).
Ïîýòîìó ïîñòîÿííàÿ σ = 0 (òåîðåìà 2), ÷òî, âïðî÷åì, õîðîøî âèäíî èç âèäà
èíòåãðàëà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.
10. Ñëó÷àé ðàñïîëîæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè â ãëàâíîé ïëîñêîñòè
ýëëèïñîèäà èíåðöèè (y0 = 0).  äàííîì ñëó÷àå ñèñòåìà (14) èíâàðèàíòíà
òàêæå îòíîñèòåëüíî çàìåíû
Ry : (p, q, r, γ1, γ2, γ3, t) → (p,−q, r, γ1,−γ2, γ3,−t),
ò.å. äîïóñêàåò âòîðîå íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî
My = {p, q, r, γ1, γ2, γ3 : q = 0, γ2 = 0}.
 ýòîì ñëó÷àå âñå êëàññè÷åñêèå èíòåãðàëû ñòàíîâÿòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíî-
ñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî ìíîæåñòâà My, ò.å.
Wj(p,−q, r, γ1,−γ2, γ3) = Wj(p, q, r, γ1, γ2, γ3).
Ñëó÷àþ y0 = 0 ïðèíàäëåæàò [25] ïî÷òè âñå èçâåñòíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ çà-
äà÷è Ýéëåðà, êðîìå ïåðìàíåíòíûõ âðàùåíèé. Ê ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî
ìíîæåñòâà My îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ Ìëîäçååâñêîãî
[26], ðåãóëÿðíûå ïðåöåññèè Ãðèîëè [27] è äð. Îêàçûâàåòñÿ [27, 28], ðåøåíèÿ
Ãðèîëè ïðèíàäëåæàò ê äâóõïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó ÑÏÄ.
 ñëó÷àå y0 = 0 óðàâíåíèÿ Ýéëåðà�Ïóàññîíà (14) çàïèøåì â âèäå îáðàòè-
ìîé ñèñòåìû (1) ñ l = 4, n = 2 è âåêòîðàìè u = (p, q, γ1, γ3)T , v = (q, γ2)T .
31
Â.Í. Òõàé
Ðåãóëÿðíûå ïðåöåññèè Ãðèîëè. Ãðèîëè [29] îáíàðóæèë ðåãóëÿðíûå ïðå-
öåññèè ó òåëà, çàêðåïëåííîãî â òàêîé òî÷êå, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ
x2
0(B − C) = z2
0(A−B), A > B > C (y0 = 0). (17)
Ïðåöåññèè Ãðèîëè èìåþò äâå çàìå÷àòåëüíûå îñîáåííîñòè: à) îíè âîçíèêà-
þò ïðè äâèæåíèè äèíàìè÷åñêè íåñèììåòðè÷íîãî òåëà, ïîä÷èíåííîãî òîëüêî
óñëîâèÿì (17); á ) òåëî ïðåöåññèðóåò âîêðóã íå âåðòèêàëüíîé, à íàêëîííîé
ê âåðòèêàëè ïîä íåêîòîðûì óãëîì β îñè.
Èç ÿâíûõ ôîðìóë äëÿ ðåøåíèé Ãðèîëè [30] âèäíî, ÷òî ïðè óñëîâèÿõ çà-
êðåïëåíèÿ (17) èìååì ìåõàíè÷åñêè åäèíñòâåííîå âîçìîæíîå äâèæåíèå â âèäå
ïðåöåññèè. Ýòè ôîðìóëû ìîæíî çàïèñàòü â òàêîì âèäå [27]
p =
n
l
(x0 − z0 cos τ), q = n sin τ, r =
n
l
(z0 + x0 cos τ);
γ1 = − n2
Pl2
(Cz0 cos τ + (B − C)x0 sin2 τ),
γ2 =
n2
Pl3
((Ax2
0 + Cz2
0)− (A− C)x0z0 cos τ) sin τ,
γ3 =
n2
Pl2
(Ax0 cos τ + (A−B)z0 sin2 τ), τ = nt− ε + π/2,
ε = nt0, n2 = P 2l2/((A−B)(B − C) + (A−B + C)2).
(18)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî p, r, γ1, γ3 çàäàþòñÿ ÷åòíûìè ôóíêöèÿìè íåçàâèñèìîé
ïåðåìåííîé τ , à q, γ2 � íå÷åòíûìè ôóíêöèÿìè τ . Ïîýòîìó ðåøåíèå Ãðèîëè
ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà My, ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÑÏÄ [27,
28, 31].
Ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ Ìëîäçååâñêîãî [26]. Ýòè äâèæåíèÿ ðåàëèçóþòñÿ
â çàäà÷å ïðè y0 = 0 áåç íàëîæåíèÿ êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷å-
íèé íà ìîìåíòû èíåðöèè è îïèñûâàþòñÿ îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìîé
òðåòüåãî ïîðÿäêà
Bq̇ = P (x0γ3 − z0γ1), γ̇1 = −qγ3, γ̇3 = qγ1 (19)
(p = r = 0, γ2 = 0), äîïóñêàþùåé èíòåãðàë ýíåðãèè è ãåîìåòðè÷åñêèé èí-
òåãðàë (γ2
1 + γ2
3 = 1). Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè γ1 = sin θ, γ3 = cos θ ñâåäåì
(19) ê óðàâíåíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ïîýòîìó äâèæåíèÿ Ìëîäçååâ-
ñêîãî ñîäåðæàò ÑÏÄ êàê â âèäå êîëåáàíèé, òàê è âðàùåíèé. Ñåìåéñòâî ÑÏÄ
ïàðàìåòðèçîâàíî åñòåñòâåííûì ïàðàìåòðîì � ïîñòîÿííîé èíòåãðàëà ýíåðãèè
h.
11. Ïðîäîëæåíèå ÑÏÄ â ôàçîâîì è ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàí-
ñòâàõ. Óòâåðæäåíèå 5. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðàõ
A,B, C, x0, z0 è y0 = 0 â òèïè÷íîé ñèòóàöèè ÑÏÄ ñèñòåìû (4) îáðàçóþò
äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå îò h è σ ñåìåéñòâî, ñîäåðæàùåå ïîäñåìåéñòâî ôèê-
ñèðîâàííîãî ïåðèîäà îò ïàðàìåòðà h, è ýòî ñåìåéñòâî ïðîäîëæàåòñÿ (ïðè
y0 = 0) ïî ïàðàìåòðàì çàäà÷è.
32
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òåîðåì 5, 6, íàëè÷èÿ òðåõ ñèììåòðè÷íûõ ïåð-
âûõ èíòåãðàëîâ è ó÷åòà ôèêñèðîâàííîé ïîñòîÿííîé â ãåîìåòðè÷åñêîì èíòå-
ãðàëå. Äàëåå, äâà ïðîñòûõ íóëåâûõ ÕÏ ñâÿçàíû ñ èíòåãðàëîì êèíåòè÷åñêîãî
ìîìåíòà è ãåîìåòðè÷åñêèì èíòåãðàëîì; èíòåãðàëû äàþò ïàðàìåòð σ. Äðó-
ãîé ïàðàìåòð h äîñòàâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ýíåðãèè è ñâÿçàííîé ñ íèì ïàðîé
íóëåâûõ ÕÏ ñ æîðäàíîâîé êëåòêîé. Óòâåðæäåíèå 5 àíîíñèðîâàëîñü [31�33].
Óêàæåì, ÷òî äëÿ òåëà ñ öåíòðîì òÿæåñòè â ãëàâíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà
ýíåðöèè (y0 = 0) â òèïè÷íîé ñèòóàöèè ÑÏÄ ñèñòåìû (14) ñîäåðæèò äâà ïðî-
ñòûõ íóëåâûõ ÕÏ, îäíó ïàðó íóëåâûõ ÕÏ, îáðàçóþùèõ æîðäàíîâó êëåòêó, à
îñòàâøèåñÿ äâà ÕÏ âû÷èñëÿþòñÿ ïîñòðîåíèåì òîëüêî îäíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è
Êîøè [31].  òèïè÷íîé ñèòóàöèè äâà ÕÏ íå ðàâíû íóëþ.
Îòìåòèì, ÷òî ÕÏ äëÿ ïðåöåññèé Ãðèîëè è ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé Ìëîä-
çååâñêîãî è äðóãèõ ðåøåíèé âû÷èñëÿëèñü [27, 28, 31�41]; ðåàëèçóåòñÿ òèïè÷-
íûé ñëó÷àé.
Èç óòâåðæäåíèÿ 5 ñëåäóåò, ÷òî ïðåöåññèè Ãðèîëè: à) ïðèíàäëåæèò äâóõ-
ïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó ÑÏÄ îò h è σ; á ) ýòî ñåìåéñòâî ïðîäîëæà-
åòñÿ íà òîò ñëó÷àé, êîãäà óñëîâèÿ (17) âûïîëíÿþòñÿ ïðèáëèæåííî. Èíûìè
ñëîâàìè, â íåñèììåòðè÷íîì òÿæåëîì òåëå ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé, â êîòîðîì
óñëîâèå (17) âûïîëíÿþòñÿ òî÷íî èëè ïðèáëèæåííî, âñåãäà ñóùåñòâóåò äâóõ-
ïðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïñåâäîïðåöåññèé Ãðèîëè, âêëþ÷àþùåå ïðåöåññèè
Ãðèîëè.
Òàêîé æå âûâîä ñïðàâåäëèâ äëÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà Ìëîä-
çååâñêîãî, êîòîðîå ïðèíàäëåæèò ê äâóõïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó ÑÏÄ,
ñîäåðæàùåìó íå òîëüêî ïëîñêèå, íî è áëèçêèå ê ïëîñêèì äâèæåíèÿ.
12. Íåñóùåñòâîâàíèå ÷åòâåðòîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà (ñëó÷àé y0 = 0).
Óòâåðæäåíèå 6. Çàäà÷à (14) ïðè y0 = 0, x 6= 0, z 6= 0 íå èìååò äîïîëíè-
òåëüíûé ê êëàññè÷åñêèì ãëàäêèé ïåðâûé èíòåãðàë ïî÷òè âåçäå â ïàðàìåò-
ðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (A,B,C, x0, z0). Èñëþ÷åíèåì ìîæåò áûòü òîëüêî
ìíîæåñòâî ïàðàìåòðîâ íóëåâîé ìåðû, ãäå ÕÏ ±κ äëÿ ÑÏÄ ïðîõîäÿò ÷åðåç
íóëü.
Äîê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè y0 = 0 òåëî ñîâåðøàåò ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ,
êîòîðûå âêëþ÷àþò ñàìûå îáùèå ÑÏÄ, ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî ìíîæå-
ñòâà My. Ýòè ÑÏÄ ñîñòîÿò èç êîëåáàíèé è âðàùåíèé, ïðè÷åì êîëåáàíèÿ ÿâ-
ëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè òàêæå îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M .  ôîðìóëèðîâêå
òåîðåìû 8 íåÿâíî ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå â ñèñòåìå òîëüêî îäíîãî
íåïîäâèæíîãî ìíîæåñòâà. Ïðè ýòîì èçâåñòíûì ïåðâûì èíòåãðàëàì ñòàâèòñÿ
â ñîîòâåòñòâèå âïîëíå îïðåäåëåííîå ñåìåéñòâî ÑÏÄ. Çäåñü òàêîå ñåìåéñòâî
ñîäåðæèò êîëåáàíèÿ è âðàùåíèÿ, è ñèììåòðè÷íîñòü êîëåáàíèé îòíîñèòåëü-
íî äâóõ íåïîäâèæíûõ ìíîæåñòâ íå ìåøàåò èñïîëüçîâàòü âûâîäû òåîðåìû
8. Ïîýòîìó óòâåðæäåíèå 6 íåïîñðåäñòâåííûì îáðàçîì ñëåäóåò èç òåîðåìû 8,
ïðèìåíåííîé ê ñèòóàöèè y0 = 0. ¤
Çàìå÷àíèÿ. 1.  ñëó÷àå x = 0 èëè z = 0 èìååì äâà ðàçëè÷íûõ ñåìåéñòâà
ìàÿòíèêîâûõ âðàùåíèé � ðåçóëüòàò ðàñùåïëåíèÿ îäíîãî ñåìåéñòâà ÑÏÄ-
êîëåáàíèé, ñèììåòðè÷íûõ îäíîâðåìåííî îòíîñèòåëüíî òðåõ íåïîäâèæíûõ ìíî-
33
Â.Í. Òõàé
æåñòâ.
2. Ïîëó÷åííûé âûâîä íå çàâèñèò îò òîãî, êàêîå ÑÏÄ áåðåòñÿ äëÿ äîêàçà-
òåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ.
3.  òèïè÷íîé ñèòóàöèè ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ ñîäåðæàò, êàê è â ñëó-
÷àå y0 = 0, äâà ïðîñòûõ íóëåâûõ ÕÏ ïëþñ äâà íóëåâûõ ÕÏ, îáðàçóþùèõ
æîðäàíîâó êëåòêó, è äâà (±κ) íåíóëåâûõ ÕÏ ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêà [8,
31].
4. Äëÿ ñëó÷àåâ, áëèçêèõ ê èíòåãðèðóåìûì, óòâåðæäåíèå èçâåñòíî [42] (ñì.
òàêæå [10, 43�46]).
5. Óòâåðæäåíèå 6 ïîëó÷åíî â ðàáîòàõ [8, 12, 33].
Òàêèì îáðàçîì, ïî÷òè âåçäå â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ x0, z0, A, B,C äî-
ïîëíèòåëüíûé ãëàäêèé èíòåãðàë îòñóòñòâóåò. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ìíîæå-
ñòâî P ∗∗, ãäå κ îáðàùàåòñÿ â íóëü è âûïîëíÿþòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñó-
ùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà. Ìíîæåñòâî P ∗∗ ìîæíî âû÷èñëèòü
÷èñëåííî.
Ïåðåéäåì ê óðàâíåíèÿì â âàðèàöèÿõ äëÿ ÑÏÄÌëîäçååâñêîãî, íà êîòîðûõ
ïðèìåì
p = 0, q = q∗(t), r = 0, γ1 = γ∗1(t), γ2 = 0, γ3 = γ∗3(t). (20)
Ââåäåì âàðèàöèè
δp = p, δq = q−q∗(t), δr = r, δγ1 = γ1−γ∗1(t), δγ2 = γ2, δγ3 = γ3−γ∗3(t).
Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ïîäñèñòåìû:
Bδ̇q = P (x0δγ3 − z0δγ1), δ̇γ1 = −γ∗3δq − q∗δγ3, δ̇γ3 = γ∗1δq + q∗δγ1; (21)
Aδ̇p = (B − C)q∗δr + Pz0δγ2, Cδ̇r = (A−B)q∗δp− Px0δγ2,
δ̇γ2 = γ∗3δp− γ∗1δr.
(22)
Ñèñòåìà (21) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ äëÿ ìà-
ÿòíèêîâûõ äâèæåíèé, îòâå÷àþùèõ ìíîæåñòâó My. Îíà íàñëåäóåò èíòåãðàëû,
ïîëó÷àåìûå èç èíòåãðàëîâ ýíåðãèè è ãåîìåòðè÷åñêîãî. Ïîýòîìó, âî-ïåðâûõ,
âñå ÕÏ ðàâíû íóëþ, âî-âòîðûõ, èìååòñÿ îäíà æîðäàíîâà êëåòêà.
Îáðàòèìñÿ ê ñèñòåìå (22). Îò èíòåãðàëà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ñèñòåìà
(22) íàñëåäóåò ëèíåéíûé èíòåãðàë
Ap∗δγ1 + Bγ∗2δq + Cr∗γ∗3δr = δσ. (23)
Íî äàæå íå çíàÿ ýòîãî, ìîæíî ñðàçó ãîâîðèòü îá îäíîì íóëåâîì ÕÏ, òàê
êàê èìååì îáðàòèìóþ ñèñòåìó òðåòüåãî ïîðÿäêà ñ âåêòîðàìè (δq, δr) è δγ2.
Áîëåå òîãî, äëÿ íàõîæäåíèÿ íåíóëåâûõ ÕÏ äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü òîëüêî îäíî
ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (ñì. íàïð. [27]).
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ ÕÏ äëÿ ÑÏÄ Ìëîäçååâñêîãî ñâåëàñü
ê ïîñòðîåíèþ îäíîãî ðåøåíèÿ Êîøè íà ïåðèîäå ÑÏÄ ñ èçâåñòíîé íà÷àëüíîé
34
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
òî÷êîé δq(0) = 0, δr(0) = 0, δγ2(0) = 1. Òàêîé ïîäõîä èñïîëüçîâàëñÿ â [34, 40,
41].
Çàìå÷àíèå 2 ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà öåíòð òÿæåñòè ëå-
æèò íà ãëàâíîé îñè èíåðöèè, çàäà÷à, ïîìèìî M, My, äîïóñêàåò äðóãèå íåïî-
äâèæíûå ìíîæåñòâà. Òàê ïðè x0 = 0, z0 6= 0 èìååì íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî
Mx = {p, q, r, γ1, γ2, γ3 : p = 0, γ1 = 0},
à ïðè x0 6= 0, z0 = 0 � íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî
Mz = {p, q, r, γ1, γ2, γ3 : r = 0, γ3 = 0}.
 ñëó÷àå, êîãäà öåíòð òÿæåñòè ëåæèò íà ãëàâíîé îñè, èìååì x0 = 0 èëè
z0 = 0. Ïðè îäíîâðåìåííîì îáðàùåíèè â íóëü x0, z0 èìååì èíòåãðèðóåìûé
ñëó÷àé Ýéëåðà. Çäåñü ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé â çàäà÷å íåò.
 ñëó÷àå Ëàãðàíæà (x0 = 0, A = B) äâèæåíèå òåëà (20) ðåàëèçóåòñÿ,
îäíàêî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (22) äàåò åùå îäèí ïåðâûé èíòåãðàë δr =
= const. Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå âñå ÕÏ îáðàòèìîé ñèñòåìû (22) ðàâíû íóëþ.
 ñëó÷àå Ñ. Êîâàëåâñêîé (x0 6= 0, y0 = 0, z0 = 0, A = B = 2C) ñóùåñòâóåò
äâà ñåìåéñòâà ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé. Íà îäíîì èç íèõ èìååì
p = r = 0, γ2 = 0 (a),
íà âòîðîì �
p = q = 0, γ3 = 0 (b).
Èíòåãðàë Êîâàëåâñêîé
(p2 − q2 − nγ1)2 + (2pq − nγ2)2 = const, n = Px0/C (24)
íà äâèæåíèè (a) ñîâïàäàåò ñ èíòåãðàëîì ýíåðãèè, à íà äâèæåíèè (b) � ñ ãåî-
ìåòðè÷åñêèì èíòåãðàëîì. Ïîýòîìó ïîäñ÷åò ÕÏ íà ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèÿõ
íå ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîìó ðåçóëüòàòó.
Òðóäíîñòü ðàçëè÷åíèÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ïî ëèíåàðèçîâàííîé íà ÑÏÄ
÷àñòè îò÷åòëèâî ïðîÿâèëàñü â ñëó÷àå Ñ. Êîâàëåâñêîé.  ñëó÷àå ïðèíàäëåæ-
íîñòè öåíòðà òÿæåñòè ãëàâíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè âñå êëàññè÷å-
ñêèå èíòåãðàëû ñòàíîâÿòñÿ ñèììåòðè÷íûìè, à íà ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèÿõ
Ìëîäçååâñêîãî ïîñòîÿííàÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ïðèíèìàåò íóëåâîå çíà-
÷åíèå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàêèõ ïðîáëåì íåò ïðè èçó÷åíèè îáùåãî ñëó÷àÿ
(ñì. ðàçä. 14), òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ñåìåéñòâî ÑÏÄ ñîäåðæèò òîëüêî îäèí
ïàðàìåòð h.
Ñëó÷àé Ñ. Êîâàëåâñêîé ñòàë ïîêàçàòåëüíûì äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû 8.
Òî, ÷òî çäåñü íå âñå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè íà ìàÿòíèêîâûõ âðàùå-
íèÿõ îáðàùàþòñÿ â íóëè, ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì â çàäà÷å åùå îäíîãî íåïîäâèæ-
íîãî ìíîæåñòâà Mz = {p, q, r, γ1, γ2, γ3 : r = 0, γ3 = 0}.
Íàêîíåö, óêàæåì, ÷òî íåèíòåãðèðóåìîñòü çàäà÷è â ñëó÷àÿõ, áëèçêèõ ê
ñëó÷àÿì Ýéëåðà, Ëàãðàíæà è Êîâàëåâñêîé, ñëåäóåò èç íàëè÷èÿ ïàðû ìàëûõ
íåíóëåâûõ ÕÏ ñèñòåìû (22).
35
Â.Í. Òõàé
13. Ñâåäåíèå ê îáðàòèìîé ñèñòåìå 3-ãî ïîðÿäêà â ñëó÷àå
x0 6= 0, y0 = z0 = 0. Çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ âñåõ ÑÏÄ. Âûïîëíèì çà-
ìåíó
γ1 = cos θ cosϕ, γ2 = cos θ sinϕ, γ3 = sin θ. (25)
Òîãäà ïîëó÷èì
θ̇ = −p sinϕ + q cosϕ, ϕ̇ = −r + (p cosϕ + q sinϕ) tan θ. (26)
Óêàæåì, ÷òî çàìåíà (25) àâòîìàòè÷åñêè èñïîëüçóåò ãåîìåòðè÷åñêèé èí-
òåãðàë, ïîýòîìó ïîíèæàåò ðàçìåðíîñòü ñèñòåìû (14) íà åäèíèöó.
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà ïðèìóò âèä
Aṗ = (B − C)qr, Bq̇ = (C −A)rp + Px0γ3, Cṙ = (A−B)pq − Px0γ2 (27)
è âìåñòå ñ óðàâíåíèÿìè (26) ñîñòàâëÿþò ñèñòåìó, èíâàðèàíòíóþ îòíîñèòåëüíî
äâóõ ïðåîáðàçîâàíèé: 1) θ → −θ, ϕ → ϕ, (p, q) → (p, q), r → −r,
2) θ → θ, ϕ → −ϕ, (p, q) → (p,−q), r → r. Ñèñòåìà (26), (27) äîïóñ-
êàåò äâà ñåìåéñòâà ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé:
θ = 0, p = 0, q = 0, Cṙ = −Px0 sinϕ (ϕ̇ = −r), (28)
ϕ = 0, p = 0, r = 0, Bq̇ = Px0 sin θ (θ̇ = q). (29)
Äëÿ èçó÷åíèÿ äâèæåíèé, íà êîòîðûõ ϕ̇ 6= 0, èñïîëüçóåì îáðàòèìóþ ñèñòå-
ìó òðåòüåãî ïîðÿäêà
A
dp
dϕ
= (B − C)qr/ϕ̇,
B
dq
dϕ
= [(C −A)rp + Px0 sin θ]/ϕ̇,
dθ
dϕ
= −p sinϕ + q cosϕ/ϕ̇.
(30)
Ñèñòåìà (30) � 2π-ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî ϕ, èìååò íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî
{p, q, θ : θ = 0 (modπ)} è íóëåâîå ðåøåíèå � ÑÏÄ (28). Âñå äðóãèå ÑÏÄ
ñòðîÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì íà÷àëüíîå çíà÷åíèå p0 äëÿ óãëîâîé
ñêîðîñòè p. Òåïåðü ðàçîáüåì îòðåçîê [a, b] îñè q (θ = 0) òî÷êàìè a = q0
0 <
< q0
1 < . . . < q0
l = b è ïðè ϕ = 0 âûïóñòèì èç ýòèõ òî÷åê ðåøåíèÿ. Êîíöû
ïîñòðîåííûõ ðåøåíèé Γj ïðè ϕ = π ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîé Γ. Ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñîñåäíèõ òî÷êàõ Γj è Γj+1 äëÿ çíà÷åíèé θ ïîëó÷èì
θj ∗ θj+1 < 0. Òîãäà ìåæäó òî÷êàìè q0
j è q0
j+1 îáÿçàòåëüíî íàõîäèòñÿ òî÷êà
A, ãäå íà÷èíàåòñÿ ÑÏÄ. Ïîíÿòíî, ÷òî òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ A çàâèñèò îò
âûáðàííîãî ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ è àëãîðèòìà äåëåíèÿ îòðåçêà [a, b]. Íî
â ëþáîì ñëó÷àå ñàì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷êè A îáíàðóæèâàåòñÿ òî÷íî, à
êîìïüþòåð ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ÑÏÄ ñ íóæíîé òî÷íîñòüþ.
36
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
Äàëåå, ìåíÿåì òî÷êè p0 è ïîëó÷èì ñåìåéñòâî ÑÏÄ îò ïàðàìåòðà p0. Ýòî
îòëè÷àåò çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ÑÏÄ äëÿ ñèñòåìû òðåòüåãî ïîðÿäêà îò òàêîé æå
çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû âòîðîãî ïîðÿäêà [21].
Àíàëîãè÷íî, äëÿ èññëåäîâàíèÿ äâèæåíèé, íà êîòîðûõ θ̇ 6= 0, ìîæíî èñ-
ïîëüçîâàòü îáðàòèìóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ñèñòåìó òðåòüåãî ïîðÿäêà, êîòîðàÿ ñî-
äåðæèòñÿ â (26), (27). Íàêîíåö, äëÿ äâèæåíèé, íà êîòîðûõ çíàêè ïðîèçâîäíûõ
ϕ̇, θ̇ ìåíÿþòñÿ, ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ îáðàòèìûì îòîáðàæåíèåì â òðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå.
14. Îáùèé ñëó÷àé (x0 6= 0, y0 6= 0, z0 6= 0). Ìàÿòíèêîâûå êîëå-
áàíèÿ. Íåèíòåãðèðóåìîñòü. ÑÏÄ Ìëîäçååâñêîãî ñèììåòðè÷íû îòíîñè-
òåëüíî íåïîäâèæíîãî ìíîæåñòâà My, ïðè÷åì íà êîëåáàíèÿõ óãëîâàÿ ñêîðîñòü
îáðàùàåòñÿ â íóëü. Çíà÷èò, êîëåáàíèÿ ñèììåòðè÷íû òàêæå îòíîñèòåëüíî íå-
ïîäâèæíîãî ìíîæåñòâà M . Ñèììåòðè÷íîñòü êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî M
ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü òåîðåìó 6 ê îáùåìó ñëó÷àþ (y0 6= 0) çàäà÷è (14) è
ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 11.  çàäà÷å (14) ñ öåíòðîì òÿæåñòè, ðàñïîëîæåííûì áëèç
ãëàâíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè, âñåãäà ñóùåñòâóåò îäíîïàðàìåòðè-
÷åñêîå îò h ñåìåéñòâî ÑÏÄ êîëåáàíèé, áëèçêèõ ê ïëîñêèì.
Äîê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.  ñëó÷àå y0 6= 0 â îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå
(14) èìååì l = n = 3,m = 2, k = 1. Ïî òåîðåìå 6 â òèïè÷íîé ñèòóàöèè
èìååì îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ÑÏÄ (ïîñòîÿííàÿ â ãåîìåòðè÷åñêîì
èíòåãðàëå ôèêñèðîâàíà). ¤
Îïðåäåëåíèå. Ìàÿòíèêîâûìè êîëåáàíèÿìè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îä-
íîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé íàçûâàåòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå îò ïîñòîÿííîé ýíåð-
ãèè h ñåìåéñòâî ñèììåòðè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé, ñâÿçûâàþùåå âåðõ-
íåå è íèæíåå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Èç òåîðåìû 11 ñëåäóåò, ÷òî ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ � ñàìûå îáùèå ÑÏÄ
çàäà÷è; ýòè äâèæåíèÿ ðåàëèçóþòñÿ êàê â ñëó÷àå y0 = 0 (êîëåáàíèÿ Ìëîäçååâ-
ñêîãî), òàê è â îáùåì ñëó÷àå. Îòìåòèì, ýòè ÑÏÄ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî
ìíîæåñòâà M .
 çàäà÷å (14) l = n = 3,m = 2, k = 1. Ïî òåîðåìå 5 ðàçìåðíîñòü ñåìåéñòâà
ÑÏÄ ðàâíà l− n + k + 1 = 2. Ïàðàìåòðàìè ýòîãî ñåìåéñòâà ñëóæàò ïîñòîÿí-
íûå ñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ � ýíåðãèè è ãåîìåòðè÷åñêîãî. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ïîñòîÿííàÿ â ãåîìåòðè÷åñêîì èíòåãðàëå ôèêñèðîâàíà è ðàâíà 1, ïîëó÷èì îä-
íîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ÑÏÄ.
Óòâåðæäåíèå 7. Òÿæåëîå òâåðäîå òåëî ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïðè
ëþáîì íàáîðå ïàðàìåòðîâ (A,B, C, x0, y0, z0), ãäå x2
0 + y2
0 + z2
0 > 0, äîïóñêàåò
ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ.
Ñåìåéñòâî ìàÿòíèêîâûõ êîëåáàíèé â òèïè÷íîé ñèòóàöèè ñîäåðæèò, êàê è
â ñëó÷àå y0 = 0, äâà ïðîñòûõ íóëåâûõ ÕÏ ïëþñ äâà íóëåâûõ ÕÏ, îáðàçóþùèõ
æîðäàíîâó êëåòêó, è äâà ÕÏ (±κ) ïðîòèâîëîæíîãî çíàêà.
 ðàññìàòðèâàåìîì îáùåì ñëó÷àå òåëî èìååò òîëüêî äâà ïîëîæåíèÿ ðàâ-
íîâåñèÿ, íà êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (16). Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíå-
37
Â.Í. Òõàé
íèå äëÿ ýòèõ ðåøåíèé ñîäåðæèò äâà íóëåâûõ êîðíÿ. Îñòàëüíûå êîðíè îïðå-
äåëÿþòñÿ èç áèêâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
λ4 − Pbχλ2 + P 2cχ2 = 0,
b =
x2
0 + y2
0
C
+
x2
0 + z2
0
B
+
y2
0 + z2
0
A
, c =
x2
0
BC
+
y2
0
AC
+
z2
0
AB
.
(31)
Âû÷èñëèì ∆ = b2 − 4c ≡ (x2
0 + y2
0)
2
/
C2+
+
(x2
0 + z2
0)
2
B2
+
(y2
0 + z2
0)
2
A2
+ 2
x2
0y
2
0 − z2
0l
2
AB
+ 2
x2
0z
2
0 − y2
0l
2
AC
+ 2
y2
0z
2
0 − x2
0l
2
BC
.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ∆ > 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè χ < 0 (íèæíåå ïîëîæå-
íèå ðàâíîâåñèÿ) óðàâíåíèå (31) èìååò òîëüêî ÷èñòî ìíèìûå êîðíè, ïðè χ > 0
(âåðõíåå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ) � äâå ïàðû äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé ïðîòè-
âîïîëîæíîãî çíàêà. Íèæíåå (âåðõíåå) ïîëîæåíèå � óñòîé÷èâî (íåóñòîé÷èâî).
Âûâîä îá óñòîé÷èâîñòè íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íåòðóäíî ñäåëàòü,
èñïîëüçóÿ â åãî îêðåñòíîñòè çíàêîîïðåäåëåííóþ ñâÿçêó èíòåãðàëîâ. Îáîçíà-
÷èì îòêëîíåíèÿ âåëè÷èí îò èõ çíà÷åíèé â ïîëîæåíèÿõ ðàâíîâåñèÿ ÷åðåç ∆ è
ðàçëîæèì ïðàâûå ÷àñòè èíòåãðàëîâ â îêðåñòíîñòè ðàâíîâåñèÿ. Ïîëó÷èì
∆W1 = 2P (x0∆γ1 + y0∆γ2 + z0∆γ3) + Ap2 + Bq2 + Cr2,
∆W2 = χ(Ap + Bq + Cr) + Ap∆γ1 + Br∆γ2 + Cr∆γ3,
∆W3 = 2χ(x0∆γ1 + y0∆γ2 + z0∆γ3) + ∆γ2
1 + ∆γ2
2 + ∆γ2
3 .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ W2,W3 â îêðåñòíîñòè ðàâíî-
âåñèÿ ïîðÿäîê ñèñòåìû ìîæíî ñíèçèòü íà äâå åäèíèöû è ïîëó÷èòü ñèñòå-
ìó ñî çíàêîîïðåäåëåííûì îêîëî íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èíòåãðàëîì
W ∗ ≡ ∆W1/P − ∆W3/χ. Îòñþäà ñëåäóåò óñòîé÷èâîñòü íèæíåãî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ è ïðèìûêàíèå ê íåìó äâóõ ëÿïóíîâñêèõ ñåìåéñòâ. Äâèæåíèÿ ñå-
ìåéñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÑÏÄ [13]. Ïîýòîìó èõ èñïîëüçóåì äëÿ äîêàçà-
òåëüñòâà îòñóòñòâèÿ ÷åòâåðòîãî èíòåãðàëà.
Óòâåðæäåíèå 8.  ñëó÷àå x0 6= 0, y0 6= 0, z0 6= 0 çàäà÷à î äâèæåíèè òÿæåëî-
ãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè íå èìååò äîïîëíèòåëüíîãî ãëàä-
êîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà âñþäó â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ A,B,C, x0, y0, z0,
ãäå A > 0, B > 0, C > 0.
Çàìå÷àíèå. Êàê è â çàäà÷å òðåõ òåë, îòñóòñòâèå äîïîëíèòåëüíîãî ïåðâîãî
èíòåãðàëà â îáùåì ñëó÷àå çàäà÷è ñâÿçàíî ñ ñóùåñòâîâàíèåì ñåìåéñòâà ÑÏÄ
òîëüêî ïî ïàðàìåòðó h.
Òåïåðü âåðíåìñÿ ê âîïðîñó î ìàÿòíèêîâûõ êîëåáàíèÿõ. Ëÿïóíîâñêèå ñå-
ìåéñòâà ïðèìûêàþò ê óñòîé÷èâîìó ðàâíîâåñèþ, êàê è ìàÿòíèêîâûå êîëåáà-
íèÿ. Äðóãèõ ÑÏÄ òàêîãî òèïà íåò. Ïîýòîìó ëÿïóíîâñêèå ñåìåéñòâà ñîäåð-
æàòñÿ â ìàÿòíèêîâûõ êîëåáàíèÿõ.
 çàäà÷å èìååì äâà ëÿïóíîâñêèõ ñåìåéñòâà. Çíà÷èò, ìàÿòíèêîâûõ äâèæå-
íèé òîæå äâà. Òàê è äîëæíî áûòü, òàê êàê òåîðåìà 11 ãîâîðèò î âîçìîæíîñòè
38
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
ïðîäîëæåíèÿ ÑÏÄ ïðè íåíóëåâîì ïàðàìåòðå, èìåÿ â âèäó, ïîëîæèòåëüíûé è
îòðèöàòåëüíûé ïàðàìåòðû.
Òàêèì îáðàçîì, äîïîëüíèòåëüíûé, ê èçâåñòíûì êëàññè÷åñêèì ïåðâûì èí-
òåãðàëàì, ãëàäêèé ïåðâûé èíòåãðàë ìîæåò áûòü íàéäåí òîëüêî â ñëó÷àå, êî-
ãäà öåíòð òÿæåñòè ðàñïîëîæåí â ãëàâíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè äëÿ
íåïîäâèæíîé òî÷êè (y0 = 0), èëè â âûðîæäåííîì ñëó÷àå òåëà, êîãäà îäèí èç
ìîìåíòîâ èíåðöèè îáðàùàåòñÿ â íóëü.
Îòìåòèì, ÷òî ÷àñòü ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 13 àíîíñèðîâàíà [12].
15. Áëèçêèå çàäà÷è. Çàäà÷à òðåõ òåë ÿâëÿåòñÿ ýòàëîííîé äëÿ çàäà÷ ñ
ñèììåòðè÷íîé ñèëîâîé ôóíêöèåé Ω(x,−y) = Ω(x, y). Çäåñü, êðîìå ÷àñòíûõ
ñëó÷àåâ çàäà÷è òðåõ òåë (çàäà÷à Õèëëà è äð.) è åå îáîáùåíèé (îáîáùåííàÿ
çàäà÷à òðåõ òåë, ôîòîãðàâèòàöèîííàÿ çàäà÷à òðåõ òåë ñ îäíèì èëè äâóìÿ èç-
ëó÷àþùèìè îñíîâíûìè òåëàìè), èíòåðåñíû ïðèêëàäíûå çàäà÷è (ïðóæèííûé
ìàÿòíèê íà ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå, îðáèòàëüíàÿ ñâÿçêà òåë è äð.). Äðóãîé
êëàññ çàäà÷ ñâÿçàí ñ òÿæåëûì òâåðäûì òåëîì ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé
(òâåðäîå òåëî â öåíòðàëüíîì íüþòîíîâñêîì ïîëå ñèë, òÿæåëîå òâåðäîå òåëî
íà àáñîëþòíî øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè, ãèðîñòàòû è äð.).
Àâòîð áëàãîäàðèò îðãàíèçàòîðîâ êîíôåðåíöèè �Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è äè-
íàìèêè äâåðäîãî òåëà� çà ïðåäîñòàâëåííóþ âîçìîæíîñòü èçëîæèòü âûøåïðè-
âåäåííûé ìàòåðèàë â ëåêöèè.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäà-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (06�01�00068), ïðîãðàììû �Ãîñóäàðñòâåííàÿ ïîä-
äåðæêà âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë� (ÍØ � 6667. 2006.1) è ïðîãðàììû Ïðåçè-
äèóìà ÐÀÍ.
1. Eulero L. Considerations de matu corporum coelestrium // Novi Comm. Acad. Sci. Petrop.
� 1766. � T. 10. � 544 p.
2. Ñåáåõåé Â. Òåîðèÿ îðáèò. � Ì.: Íàóêà, 1982. � 656 ñ.
3. Ýéëåð Ë. Íîâàÿ òåîðèÿ äâèæåíèÿ Ëóíû. / Ïåð. ñ ëàò. À.Í. Êðûëîâà. � Ë.: Èçä-âî ÀÍ
ÑÑÑÐ, 1934. � 208 c.
4. Òõàé Â.Í. Îáðàòèìîñòü ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì// Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. �
1991. � 55, âûï.4. � Ñ. 578�586.
5. Òõàé Â.Í.Îáðàòèìûå ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû // Íåëèíåéíàÿ ìåõàíèêà. � Ì.:Ôèçìàòëèò,
2001. � Ñ. 131-146.
6. Ãåðàñèìîâ È. À., Ìóøàèëîâ Á. Ð. Ìåòîäû Ïóàíêàðå è Ëÿïóíîâà â íåáåñíîé ìåõàíèêå.
� Ì.: Èçä�âî ÌÃÓ, 1993. � 117 ñ.
7. Òõàé Â.Í. Î ïðîäîëæåíèè ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé îáðàòèìîé ñèñòåìû â íåãðóáûõ
ñëó÷àÿõ. Ïðèëîæåíèå ê N -ïëàíåòíîé çàäà÷å // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1998.
� 62, âûï.1. � Ñ. 56�72.
8. Òõàé Â.Í. Ïåðâûå èíòåãðàëû è ñåìåéñòâà ñèììåòðè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé
îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû // Òàì æå. � 2006. � 70, âûï. 6. � Ñ. 977�989.
9. Poincare H. Sur le probleme des trois corps et les equations de la Dynamique // Acta Math.
� 1890. � 13. � P. 1�270.
10. Àðíîëüä Â.È., Êîçëîâ Â.Â., Íåéøòàäò À.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå àñïåêòû êëàññè÷åñêîé
è íåáåñíîé ìåõàíèêè. � Ì.: ÓÐÑÑ, 2002. � 414 ñ.
11. Bruno A.D., Edneral V.F. Normal forms and integrability of ODE systems // Proc. of
CASC 2005 (V.G. Ganzha, E.W. Mayr and E.V. Vorozhtsov Eds.). LNCS 3718. � Berlin;
Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. � P. 65�74.
39
Â.Í. Òõàé
12. Òõàé Â.Í. Íåèíòåãðèðóåìîñòü è èíòåãðèðóåìîñòü â çàäà÷àõ ìåõàíèêè // Äîêë. ÐÀÍ.
� 2006. � 408, � 6. � Ñ. 621�624.
13. Òõàé Â.Í. Ëÿïóíîâñêèå ñåìåéñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé â îáðàòèìîé ñèñòåìå //
Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2000. � 64, âûï. 1. � Ñ. 46�58.
14. Ìàëêèí È.Ã. Íåêîòîðûå çàäà÷è òåîðèè íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé. � M.: ÃÒÒË, 1956. �
492 c.
15. Äóáîøèí Ã.Í. Íåáåñíàÿ ìåõàíèêà. Àíàëèòè÷åñêèå è êà÷åñòâåííûå ìåòîäû. � Ì.: Íàó-
êà, 1964. � 560 ñ.
16. Birkho� G.D. The resticted problem of three bodies // Rend. Circ. mat. Palermo. � 1915.
� 43. � P. 1�115.
17. Åôèìîâ È.Ë., Òõàé Â.Í. Óñòîé÷èâîñòü ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò â çàäà÷å Õèëëà // Çàäà÷è
èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ / Ïîä ðåä. Â.Â. Ðóìÿíöåâà. �
Ì: ÂÖ ÐÀÍ, 1999. � Ñ. 45�60.
18. Òèòîâà Í.Í.,Òõàé Â.Í. Ñåìåéñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ôîòîãðàâèòàöèîííîé çàäà÷è
òðåõ òåë, ïðèìûêàþùèå ê êîëëèíåàðíûì òî÷êàì ëèáðàöèè. Âàðèàíò äâîéíîé çâåçäû
// Òàì æå. � 2001. � ×. 1. � Ñ. 113�137.
19. Óèòòåêåð Ý. Àíàëèòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. � Èæåâñê: Èçä. äîì �Óäìóðòñêèé óí-ò�, 1999.
� 588 ñ.
20. Schanzle A.F. Horseshoe-Shaped Orbits in the Jupiter - Sun Restricted Problem // Astron.J.
� 1967. � 72, � 2. � P. 149�157.
21. Òõàé Â.Í. Ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû âòîðîãî ïîðÿä-
êà. Ïðèëîæåíèå ê çàäà÷å Ñèòíèêîâà // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2007. � 70,
âûï. 5. � Ñ. 813�834.
22. Bruns H. Uber die Integrale des Vielkorper-problems // Acta Math. � 1887. � 11. � P. 25�96.
23. Siegel C.L. Uber die algebraischen Integrale des restrigierten Dreikorperproblems // Trans.
Amer. Math. Soc. � 1936. � 39, N 2. � P. 225�233.
24. Llibre J., Simo C. Oscillatory solutions in the planar restricted three-body problem //
Math. Ann. � 1960. � 248, N 2. � P. 153�184.
25. Ãîðð Ã.Â., Êóäðÿøîâà Ë.À., Ñòåïàíîâà Ë.À. Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî
òåëà. Ðàçâèòèå è ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1978. � 296 ñ.
26. Ìëîäçååâñêèé Á.Ê. Î ïåðìàíåíòíûõ îñÿõ â äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà îêîëî
íåïîäâèæíîé òî÷êè // Òð. îòä. ôèç. íàóê î-âà ëþáèò. åñòåñòâ., àíòðîïîë. è ýòíîãðàô.
� 1894. � 7, âûï.1. � Ñ. 46�48.
27. Òõàé Â.Í. Îá óñòîé÷èâîñòè ðåãóëÿðíûõ ïðåöåññèé Ãðèîëè // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è
ìåõàíèêà. � 2000. � 64, âûï. 5. � Ñ. 848�857.
28. Òõàé Â.Í. Ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷-
êîé, áëèçêèå ê ðåãóëÿðíûì ïðåöåññèÿì Ãðèîëè // Çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè
è ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ. � Ì.: ÂÖ ÐÀÍ, 2000. � ×. 1. � Ñ. 60�67.
29. Grioli G. Esistensa e determinazione della precessioni regolari dinamicamente possibili per
un solido pesante assimetrico // Ann. mat. pura ed appl. � 1947. � Ser. 4. � 26, Facs. 3�4.�
P. 271�281.
30. Ãóëÿåâ Ì.Ï. Îá îäíîì íîâîì ÷àñòíîì ðåøåíèè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäî-
ãî òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó // Âåñòí. ÌÃÓ. Ñåð. Ôèç.-ìàò. è åñòåñòâ. íàóê.
� 1955. � � 3. � Ñ. 15�21.
31. Òõàé Â.Í. Î õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëÿõ ñèììåòðè÷íîãî ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæå-
íèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. �
2004. � Âûï. 34. � Ñ. 3�8.
32. Òõàé Â.Í. Ñåìåéñòâà ñèììåòðè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé â çàäà÷å Ýéëåðà //
Äîêë. ÐÀÍ. � 2005. � 401, N 4. � Ñ. 483�485.
33. Òõàé Â.Í. Îáðàòèìûå ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû ñ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè // ×åòâåðòûå
ïîëÿõîâñêèå ÷òåíèÿ. Èçáð. òð. � ÑÏá: Èçä-âî ÂÂÌ, 2006. � Ñ. 197�206.
34. Òõàé Â.Í., Øâûãèí À.Ë. Îá óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèé âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè òÿ-
æåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé // Òàì æå. � ×. 2. � Ñ. 149�160.
35. Ìàðêååâ À.Ï. Î ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè íåñèììåòðè÷íîãî ãèðîñêîïà (ñëó÷àé Ãðèîëè)//
Äîêë. ÐÀÍ, 2002. � 387, � 3. � Ñ. 338�342.
40
Äâå çàäà÷è Ëåîíàðäà Ýéëåðà
36. Ìàðêååâ À.Ï. Àëãîðèòì íîðìàëèçàöèè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû â çàäà÷å îá îðáèòàëü-
íîé óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2002.
� 66, âûï. 6. � Ñ. 929�938.
37. Ìàðêååâ À.Ï. Îá óñòîé÷èâîñòè ïðåöåññèé Ãðèîëè // Òàì æå. � 2003. � 67, âûï. 4. �
Ñ. 557�572.
38. Ãàøåíåíêî È.Í., Êó÷åð Å.Þ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé
óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2002. � Âûï. 32. � Ñ. 50�59.
39. Êó÷åð Å.Þ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé Ñòåêëîâà è ×à-
ïëûãèíà // Òàì æå. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 33�39.
40. Øâûãèí À.Ë. Îá óñòîé÷èâîñòè êîëåáàíèé òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæ-
íîé òî÷êîé // Òàì æå. � 2005. � Âûï. 35. � Ñ. 103�108.
41. Øâûãèí À.Ë. Îá óñòîé÷èâîñòè êîëåáàíèé è âðàùåíèé òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé
íåïîäâèæíîé òî÷êîé // ×åòâåðòûå ïîëÿõîâñêèå ÷òåíèÿ. Èçáð. òð. � ÑÏá: Èçä-âî ÂÂÌ,
2006. � Ñ. 207�215.
42. Êîçëîâ Â.Â. Ìåòîäû êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà. � Ì.: Èçä-âî
ÌÃÓ, 1980. � 230 ñ.
43. Êîçëîâ Â.Â. Íåñóùåñâîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî àíàëèòè÷åñêîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å î
äâèæåíèè íåñèììåòðè÷íîãî òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè //
Âåñòí. ÌÃÓ. Ñåð.1. Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà. � 1975. � � 1. � Ñ. 105�110.
44. Çèãëèí Ñ.Ë. Âåòâëåíèå ðåøåíèé è íåñóùåñòâîâàíèå ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â ãàìèëüòîíî-
âîé ìåõàíèêå I.II // Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. � 1982. � 16, âûï. 3.
� Ñ. 30�41; � 1983. � 17, âûï. 1. � Ñ. 8�23.
45. Êîçëîâ Â.Â., Òðåùåâ Ä.Â. Íåèíòåãðèðóåìîñòü îáùåé çàäà÷è î âðàùåíèè äèíàìè÷åñêè
ñèììåòðè÷íîãî òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. I. II // Âåñòí. ÌÃÓ.
Ñåð.1. Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà. � 1985. � N 6. � Ñ. 73�81; � 1986. � � 1. � Ñ. 39�44.
46. Äîâáûø Ñ.À. Ðàñùåïëåíèå ñåïàðàòðèñ íåóñòîé÷èâûõ ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé è íåèí-
òåãðèðóåìîñòü âîçìóùåííîé çàäà÷è Ëàãðàíæà // Òàì æå. � 1990. � N 3. � C. 70�77.
Èí-ò ïðîáëåì óïðàâëåíèÿ ÐÀÍ, Ìîñêâà, Ðîññèÿ
tkhai@ipu.rssi.ru
Ïîëó÷åíî 16.11.07
41
|