Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона
Устанавливается, что общим решением уравнений Эйлера-Пуассона является пространство экспонент от L-функций эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Данный результат является следствием конструируемой канонической геометрической модели исходных уравнений. Полученное общее решение демонстрир...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27937 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона / Д.Л. Абраров // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 42-68. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27937 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279372011-10-25T12:17:55Z Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона Абраров, Д.Л. Устанавливается, что общим решением уравнений Эйлера-Пуассона является пространство экспонент от L-функций эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Данный результат является следствием конструируемой канонической геометрической модели исходных уравнений. Полученное общее решение демонстрируется на примерах известных интегрируемых волчков. 2007 Article Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона / Д.Л. Абраров // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 42-68. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27937 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Устанавливается, что общим решением уравнений Эйлера-Пуассона является пространство экспонент от L-функций эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Данный результат является следствием конструируемой канонической геометрической модели исходных уравнений. Полученное общее решение демонстрируется на примерах известных интегрируемых волчков. |
| format |
Article |
| author |
Абраров, Д.Л. |
| spellingShingle |
Абраров, Д.Л. Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона Механика твердого тела |
| author_facet |
Абраров, Д.Л. |
| author_sort |
Абраров, Д.Л. |
| title |
Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона |
| title_short |
Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона |
| title_full |
Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона |
| title_fullStr |
Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона |
| title_full_unstemmed |
Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона |
| title_sort |
точная разрешимость и каноническая модель уравнений эйлера–пуассона |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27937 |
| citation_txt |
Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона / Д.Л. Абраров // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 42-68. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT abrarovdl točnaârazrešimostʹikanoničeskaâmodelʹuravnenijéjlerapuassona |
| first_indexed |
2025-07-03T07:45:51Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:45:51Z |
| _version_ |
1836611619911630848 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2007. Âûï. 37
ÎÒ ÐÅÄÊÎËËÅÃÈÈ. Â ïðåäëàãàåìîé íèæå ñòàòüå ïðåäïðèíÿòà ïîïûò-
êà ïðîèíòåãðèðîâàòü íåêëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíå-
íèÿ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû áûëè äîëîæåíû
Ä.Ë. Àáðàðîâûì íà êîíôåðåíöèè �Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî
òåëà�, ïîñâÿùåííîé 300-ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ Ëåîíàðäà Ýéëåðà, è âûçâà-
ëè èíòåðåñ è äèñêóññèþ ó ñëóøàòåëåé. Ê ìîìåíòó ñäà÷è ñáîðíèêà â ïå÷àòü
ðåöåíçèÿ íà ñòàòüþ íå áûëà ïîëó÷åíà, îäíàêî ðåäêîëëåãèÿ ïðèíÿëà ðåøåíèå
âêëþ÷èòü ñòàòüþ â ñáîðíèê. Ïðèãëàøàåì ÷èòàòåëåé, êîòîðûì áëèçêà òåìà
ðàáîòû, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â åå îáñóæäåíèè íà ñòðàíèöàõ æóðíàëà �Ìåõàíèêà
òâåðäîãî òåëà�.
ÓÄÊ 531.38
c©2007. Ä.Ë. Àáðàðîâ
ÒÎ×ÍÀß ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÜ È ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ
ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÝÉËÅÐÀ�ÏÓÀÑÑÎÍÀ
Óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî îáùèì ðåøåíèåì óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî
ýêñïîíåíò îò L-ôóíêöèé ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ íàä ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Äàííûé
ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì êîíñòðóèðóåìîé êàíîíè÷åñêîé ãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè èñ-
õîäíûõ óðàâíåíèé. Ïîëó÷åííîå îáùåå ðåøåíèå äåìîíñòðèðóåòñÿ íà ïðèìåðàõ èçâåñòíûõ
èíòåãðèðóåìûõ âîë÷êîâ.
Ââåäåíèå. Îäíîé èç îñíîâíûõ ìîäåëüíûõ çàäà÷ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíè-
êè ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè â
êëàññè÷åñêîì ïîëå òÿæåñòè. Äàííàÿ çàäà÷à èìååò øåñòü ñóùåñòâåííûõ âåùå-
ñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ: òðè ïàðàìåòðà, îïèñûâàþùèå îòíîñèòåëüíîå ðàñïîëî-
æåíèå òî÷êè çàêðåïëåíèÿ òåëà è òî÷êè öåíòðà ìàññ (îòíîñèòåëüíûå êîîðäè-
íàòû öåíòðà ìàññ), è òðè ïàðàìåòðà, îïèñûâàþùèå ãåîìåòðèþ ìàññ òÿæåëîãî
âîë÷êà (ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òåëà).
Êîãäà íà äàííûå ïàðàìåòðû àïðèîðè íèêàêèõ ñïåöèàëüíûõ îãðàíè÷åíèé
íå íàêëàäûâàåòñÿ, òî äèíàìèêà òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà îïèñûâàåòñÿ óðàâ-
íåíèÿìè Ýéëåðà�Ïóàññîíà (èëè � îáùèìè óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà�Ïóàññîíà).
Ïðèâåäåì ýòè óðàâíåíèÿ:
dM
dt
= [M , ω] + [γ, c] , (1)
dγ
dt
= [γ, ω] . (2)
Óðàâíåíèÿ (1) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà, èëè äèíàìè÷åñêèìè óðàâ-
íåíèÿìè, à óðàâíåíèÿ (2) � óðàâíåíèÿìè Ïóàññîíà, èëè êèíåìàòè÷åñêèìè
óðàâíåíèÿìè � îíè �çàìûêàþò� äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ (ñì. [1]). Çäåñü M
42
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
� âåêòîð êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà òâåðäîãî òåëà, ω � âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè
òåëà, [·, ·] � îïåðàòîð âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå
E3, c � âåêòîð ñìåùåíèÿ òî÷êè çàêðåïëåíèÿ òåëà îò öåíòðà ìàññ òåëà, γ �
âåêòîð, êîìïîíåíòû êîòîðîãî � ïðîåêöèè åäèíè÷íîãî âåêòîðà âåðòèêàëüíîé
îñè íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ åâêëèäîâûì ïðîñòðàí-
ñòâîì, íà îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òåëîì. Ïðè
ýòîì M = I · ω; îïåðàòîð I ïðåäñòàâëåí äèàãîíàëüíûìè ìàòðèöàìè ðàçìå-
ðà 3× 3 ñ ïîëîæèòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè
íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà.
Ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå ïðîáëåìû. Äàâíî èçâåñòíû ñëó÷àè òî÷íîé ðàç-
ðåøèìîñòè óðàâíåíèé (1), (2) (òàê íàçûâàåìûå ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè ïî
Ëèóâèëëþ�Àðíîëüäó èëè ñëó÷àè �îáùåé èíòåãðèðóåìîñòè�), ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ñïåöèàëüíûì çíà÷åíèÿì c è I. Ýòî ñëó÷àè Ýéëåðà, Ëàãðàíæà, Êîâàëåâ-
ñêîé. Êðîìå òîãî, èìååòñÿ áîëåå äåñÿòêà ñëó÷àåâ òàê íàçûâàåìîé ÷àñòíîé
èíòåãðèðóåìîñòè (ñì., íàïðèìåð, [2]). Íîâûå àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû ïîëó-
÷åíèÿ ðåøåíèé ðàçâèâàþòñÿ â ðàáîòàõ À.Ä. Áðþíî (ñì., íàïðèìåð, [3]).
Ìíîãî÷èñëåííûå ïîïûòêè íàéòè íîâûå ñëó÷àè îáùåé èíòåãðèðóåìîñòè,
îòëè÷íûå îò óêàçàííûõ êëàññè÷åñêèõ, ïðèâåëè ê ãèïîòåçå îá èõ îòñóòñòâèè
â íàèáîëåå îáùåé (àíàëèòè÷åñêîé) ñèòóàöèè (ñì. [4]). Âìåñòå ñ òåì, èìåþòñÿ
ìíîãî÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû êàê î ñëîæíîé ñòðóêòóðå ôàçîâîãî ïðîñòðàí-
ñòâà âîçìóùåííîãî âîë÷êà Ýéëåðà, òàê è îáùèå âûâîäû ÊÀÌ�òåîðèè äëÿ
èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì î õàîòèçàöèè ñòðóêòóðû èõ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ ïðè
íàëàãàåìûõ íà íèõ âîçìóùåíèÿõ (ñì. [5�7]).
Èñòîðè÷åñêèé êîììåíòàðèé â êîíòåêñòå ïîòåíöèàëüíîé ðàçðåøèìîñòè îá-
ùåé çàäà÷è î òÿæåëîì âîë÷êå.  äàííîé ðàáîòå, â ïðîäîëæåíèå ðàáîò [8]
è [9], ðàçâèâàåòñÿ ïîäõîä, ñâÿçàííûé ñ èäååé ìàêñèìàëüíî êîíñòðóêòèâíîãî
èññëåäîâàíèÿ îáùåé çàäà÷è î òÿæåëîì âîë÷êå, êîððåëèðóþùèé ñ ïîäõîäàìè
Ê. Âåéåðøòðàññà è Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé (ñì. [1, ñ. 280�283] è [10]).
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî êîíñòðóêòèâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìî-
äåëèðîâàíèå óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà â êîíòåêñòå èäåè èõ ðàçðåøèìîñòè
àêòèâíî ðàçâèâàåòñÿ Äîíåöêîé øêîëîé ìåõàíèêè (ñì. [11]).
Ïðåäëàãàåìîå ïðîäâèæåíèå: êàíîíè÷åñêàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü îáùèõ
óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà.  èòîãå, íåñìîòðÿ íà ïðåïÿòñòâèÿ, ñâÿçàííûå ñ
òåîðèåé âîçìóùåíèé, îáùèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà�Ïóàññîíà îêàçûâàþòñÿ òî÷íî
ðàçðåøèìûìè. Ïðè ýòîì ïàðàäîêñ ñîñòîèò â òîì, ÷òî òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü
ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ýêâèâàðèàíòíîãî ïðîäîëæåíèÿ âîçìóùåííîé õàîòè÷å-
ñêîé äèíàìèêè, ôîðìàëüíî îïðåäåëåííîé íàä âåùåñòâåííûì âðåìåíåì, óæå
íà ïðîìåæóòîê âðåìåíè, âêëþ÷àþùèé áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó. Òàêîå
ïðîäîëæåíèå ðàçðåøàåò âñå ìíîæåñòâî îñîáåííîñòåé, ñâÿçàííîå ñ ìàëûìè
çíàìåíàòåëÿìè è, ñ ìåõàíè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, �âêëþ÷àåò� ñêðûòóþ ãèðî-
ñêîïè÷åñêóþ ñòàáèëèçàöèþ òÿæåëîãî âîë÷êà, ñîîòâåòñòâóþùóþ ó÷åòó ãðàâè-
òàöèè.
1. Ôîðìóëèðîâêà ðåçóëüòàòà î òî÷íîé ðàçðåøèìîñòè. Ñôîðìóëè-
ðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò, óñòàíàâëèâàþùèé ñòðóêòóðó îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâ-
43
Ä.Ë. Àáðàðîâ
íåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà.
Îñíîâíàÿ òåîðåìà. Óíèâåðñàëüíîå ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé îáùèõ óðàâíå-
íèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó âåêòîðà M(s), s ∈ C êèíå-
òè÷åñêîãî ìîìåíòà òåëà, ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ôóíêöèÿìè:
M(s) = exp(L(s, {EQ})),
ãäå {EQ} � ìíîæåñòâî ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ EQ íàä ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ
÷èñåë Q, ôóíêöèè L(s,EQ) ÿâëÿþòñÿ L-ôóíêöèÿìè ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ
EQ.
Çàìå÷àíèå. 1. Ôóíêöèè L(s,EQ) äîïóñêàþò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå â
âèäå ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ Äèðèõëå:
L(s,EQ) =
∞∑
n=1
a(n)
ns
, s ∈ C, Re s > 3/2,
ãäå êîýôôèöèåíòû a(n) îïðåäåëÿþòñÿ êàíîíè÷åñêèì îáðàçîì ïî êðèâîé EQ.
2. Ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ EQ íàä ïîëåì Q çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì â àôôèí-
íîé ôîðìå (îáîáùåííîé ôîðìå Âåéåðøòðàññà):
y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x
2 + a4x + a6, ãäå a1, a2, a3, a4, a6 ∈ Q.
3. Ïîäðîáíûå îïðåäåëåíèÿ è íåîáõîäèìàÿ èíôîðìàöèÿ î êðèâûõ EQ è
L(s,EQ)-ôóíêöèÿõ ñîäåðæèòñÿ, íàïðèìåð, â [12].
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ îòâåòà.Ôóíêöèè exp(L(s, {EQ})) ïðåäñòàâ-
ëÿþò êàíîíè÷åñêóþ (ìíîãîçíà÷íóþ) êîîðäèíàòèçàöèþ óíèâåðñàëüíîãî êà÷å-
íèÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ñòàíäàðòíîé ñôåðû S3 ïî òðåõìåðíîìó åâêëèäî-
âîìó ïðîñòðàíñòâó E3. Óíèâåðñàëüíîñòü êà÷åíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî îòîá-
ðàæåíèå êà÷åíèÿ èíäóöèðóåò òðàíçèòèâíóþ ìîíîäðîìèþ ãèïåðäîäåêàýäðà �
�ìàêñèìàëüíîãî� ïðàâèëüíîãî ÷åòûðåõìåðíîãî ìíîãîãðàííèêà, âïèñàííîãî â
ñòàíäàðòíóþ òðåõìåðíóþ ñôåðó S3 (ñì. [8]).
Äàííàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì èçâåñòíîé èíòåðïðåòàöèè Ïó-
àíñî äâèæåíèÿ âîë÷êà Ýéëåðà äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ.
Ñâÿçü ñ èíòåãðèðóåìîñòüþ âîë÷êîâ ïî Ëèóâèëëþ�Àðíîëüäó. Óíèâåðñàëü-
íîå ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà, èíòåãðèðóåìûõ ïî
Ëèóâèëëþ�Àðíîëüäó, ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé
exp(L(s, {EQ})) è ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì äçåòà�ôóíêöèé êðèâûõ EQ
(ñì. [8, 9] è ïðèìåðû â êîíöå äàííîé ðàáîòû).
Ñóòü òî÷íîé ðàçðåøèìîñòè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü
îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî êàíîíè÷åñêèì ñâîé-
ñòâîì ýòèõ óðàâíåíèé è àíàëèòè÷åñêè âûðàæàåò ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ êàíî-
íè÷åñêîé ãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè äàííûõ óðàâíåíèé. Èìåííî ýòà âçàèìîñâÿçü
àëãåáðû, ãåîìåòðèè è àíàëèçà äëÿ îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà, ïðè-
âîäÿùàÿ ê ôåíîìåíó èõ òî÷íîé ðàçðåøèìîñòè, ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå è íà-
çâàíèå íàñòîÿùåé ðàáîòû.
44
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
Ñõåìà ïîëó÷åíèÿ òî÷íîé ðàçðåøèìîñòè îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàñ-
ñîíà. Ñõåìà äåéñòâèé àáñîëþòíî ïàðàëëåëüíà ñõåìå êëàññè÷åñêîé òåîðèè âîç-
ìóùåíèé, ïðèâîäÿùåé, íàïðèìåð, ê íåèíòåãðèðóåìîñòè ïî Ëèóâèëëþ�Àðíîëü-
äó ñëàáî âîçìóùåííîãî âîë÷êà Ýéëåðà (ñì. [5]).
Ïóñòü H0 � ãàìèëüòîíèàí âîë÷êà Ýéëåðà (íåâîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí).
Òîãäà ìíîæåñòâî òðàåêòîðíûõ èíâàðèàíòîâ (÷àñòíûõ èíòåãðàëîâ) åãî àíàëè-
òè÷åñêîãî âîçìóùåíèÿ H0+εH1 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ìíîãîçíà÷íîé ñèì-
ìåòðèåé � îäíîìåðíîé ãðóïïîé êîãîìîëîãèé H1(gs(H0 + εH1), gs(H0)(x(t))),
ãäå gs(H0+εH1) � îòîáðàæåíèå ôàçîâîãî ïîòîêà, ñîîòâåòñòâóþùåå âîçìóùåí-
íîìó ãàìèëüòîíèàíó H0 + εH1, à x(t) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó ôàçîâûõ
òðàåêòîðèé âîë÷êà Ýéëåðà.
Ó÷åò ñâîéñòâà îáðàòèìîñòè ïî âðåìåíè óðàâíåíèé âîë÷êà Ýéëåðà ïîçâî-
ëÿåò çàìåòèòü, ÷òî åäèíñòâåííîé ñâÿçíîé èíâàðèàíòíîé îðáèòîé èíâîëþöèè
îáðàòèìîñòè â åãî ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå îêàçûâàåòñÿ ñåïàðàòðèñà. Îòñþ-
äà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå ýêâèâàðèàíòíîå àíàëèòè÷åñêîå âîçìóùåíèå H0 + εH1,
êîòîðîå òàêæå îáðàòèìî ïî âðåìåíè (â ñèëó îáðàòèìîñòè îáùèõ óðàâíåíèé
Ýéëåðà�Ïóàññîíà), èíäóöèðóåò ñîáñòâåííóþ ñèììåòðèþ ñåïàðàòðèñû. Èìåí-
íî ýòà ñèììåòðèÿ, ïî ñóòè, è îïðåäåëÿåò âñþ ñòðóêòóðó âîçìóùåííîé ôàçîâîé
äèíàìèêè.
 èòîãå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýêâèâàðèàíòíûå âåùåñòâåííûå ñèììåòðèè ñå-
ïàðàòðèñû (åå ýêâèâàðèàíòíûå ýíäîìîðôèçìû íàä R) êàíîíè÷åñêè êîîðäè-
íàòèçèðóþòñÿ äçåòà�ôóíêöèÿìè ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ íàä Q, à åå ýêâèâà-
ðèàíòíûå êîìïëåêñíûå ñèììåòðèè (ýêâèâàðèàíòíûå àâòîìîðôèçìû, ïðè÷åì,
òîæå, â èòîãå, îïðåäåëåííûå íàä R) � óæå L-ôóíêöèÿìè òàêèõ êðèâûõ.
Êîîðäèíàòèçàöèÿ óêàçàííîé ôàçîâîé êàðòèíû äëÿ âîçìóùåííîãî âîë÷-
êà Ýéëåðà êîíñòðóêòèâíî ðåàëèçóåòñÿ ïîñðåäñòâîì ïîñòðîåíèÿ êàíîíè÷åñêîé
ãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè äèíàìèêè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå îáùèõ óðàâíåíèé
Ýéëåðà�Ïóàññîíà è ïîñëåäóþùåãî ââåäåíèÿ íà íåé êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò.
Ññûëêè íà èñïîëüçóåìûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ. Èíôîðìàöèÿ î ïëîñ-
êîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, ðåøåòêàõ, êîíå÷íûõ è ÷èñëîâûõ ïîëÿõ, àáñòðàêòíûõ
ãðóïïàõ, ãðóïïàõ è àëãåáðàõ Ëè, ãðóïïàõ ãîìîëîãèé, êîãîìîëîãèé, òîïîëî-
ãè÷åñêèõ êîìïëåêñàõ, ìîäóëÿõ, òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèÿõ è ðåçîëüâåíòàõ ìî-
äóëåé ñîäåðæèòñÿ â [13, 14]. Èíôîðìàöèÿ îá ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ íàä Q,
ñâîéñòâå èõ ìîäóëÿðíîñòè, à òàêæå èõ L è äçåòà-ôóíêöèÿõ ñîäåðæèòñÿ â [12,
15].
2. Êàíîíè÷åñêàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ êîíôîðìíàÿ ìîäåëü óíèâåð-
ñàëüíîãî ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàñ-
ñîíà. Êàíîíè÷åñêàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ êîíôîðìíàÿ ìîäåëü ôàçîâîãî ïðîñòðàí-
ñòâà îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ôàçîâîå ïðîñòðàí-
ñòâî R6[γ, ω] ⊗R Zn→∞
2 [t → −t]), ãäå Z2[t → −t] � ñèììåòðèÿ îáðàòèìîñòè
ïî âðåìåíè èñõîäíûõ óðàâíåíèé, ñòðîèòñÿ â âèäå ñïåöèàëüíîãî êîìïëåêñà,
ýêâèâàðèàíòíî ìîäèôèöèðóþùåãî èçîìåòðèè ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, ïðå-
âðàùàÿ èõ â ýêâèâàðèàíòíûé áèêîìïëåêñ.
Ïîñòðîåíèå óêàçàííîãî áèêîìïëåêñà ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ óíè-
45
Ä.Ë. Àáðàðîâ
âåðñàëüíîé ìîäóëÿðíîé ïàðû �óíèâåðñàëüíàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ íàä ïî-
ëåì Q � óíèâåðñàëüíî ïàðàìåòðèçóþùàÿ åå êðèâàÿ�.
Äàííûé áèêîìïëåêñ îïðåäåëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêè è èìååò ñìûñë îðáèòû
óíèâåðñàëüíîé êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè èñõîäíûõ óðàâíåíèé, ò.å. äåéñòâè-
òåëüíî ïðåäñòàâëÿåò êàíîíè÷åñêóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ìîäåëü ôàçîâîãî ïðî-
ñòðàíñòâà èñõîäíûõ óðàâíåíèé.
Åãî ïîñòðîåíèå ðåàëèçóåòñÿ íèæåñëåäóþùèìè ëåììàìè 1�3. Äëÿ öåëîñò-
íîñòè âîñïðèÿòèÿ ñíà÷àëà ïðèâîäÿòñÿ èõ ôîðìóëèðîâêè, ââîäÿùèå ïðèíöè-
ïèàëüíûå äëÿ äàëüíåéøåãî ãåîìåòðè÷åñêèå è àëãåáðàè÷åñêèå êîíñòðóêöèè.
Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà ëåìì ïðèâîäèòñÿ ïîñëå ýòèõ ôîðìóëèðîâîê.
Âñå âîçíèêàþùèå â ýòèõ ëåììàõ ãåîìåòðè÷åñêèå ìîäåëè áóäóò êàíîíè÷å-
ñêèìè, ò.å. íåïðèâîäèìûìè ìîäåëÿìè ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðîñòîòû ñîîòâåòñòâó-
þùèõ èì ñèììåòðèé. Áóäåì äåéñòâîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíî è íà÷íåì ìîäåëè-
ðîâàíèå ñ êèíåìàòèêè âîë÷êà Ýéëåðà â ëîêàëüíî-òðèâèàëüíûõ êîìïîíåíòàõ
åãî ëèóâèëëåâîãî ñëîåíèÿ.
Ëåììà 1. Êèíåìàòèêà âîë÷êà Ýéëåðà (ôîðìàëüíîå ïðîñòðàíñòâî ïåðå-
ìåííûõ γ,ω), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëþáîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòå ðàññëîåíèÿ ôà-
çîâîãî ïðîñòðàíñòâà íà ëèóâèëëåâû òîðû, ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì â
ìíîãîîáðàçèè Euniv
C ⊗R[t] E
univ,∗
C , ãäå R[t] � ôîðìàëüíîå âåùåñòâåííîå âðåìÿ.
Ìíîãîîáðàçèÿ (óíèâåðñàëüíûå êðèâûå) Euniv
C , Euniv,∗
C îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäó-
þùèì îáðàçîì.
1. Îðáèòà ñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿ èçîìåòðèé ìîäåëè Êëåéíà ïëîñêîñòè
Ëîáà÷åâñêîãî è àíàëèòè÷åñêèõ èçîìåòðèé åå àääèòèâíîãî àáñîëþòà (òî-
ïîëîãè÷åñêîé îêðóæíîñòè íàä R ñî ñòðóêòóðîé àääèòèâíîé ãðóïïû), ðå-
àëèçîâàííîãî ñèììåòðèåé PSL2(Q), ïðåäñòàâëÿåò óíèâåðñàëüíóþ ýëëèï-
òè÷åñêóþ êðèâóþ íàä C (îáîçíà÷èì åå Euniv
C ). Äðóãèìè ñëîâàìè, Euniv
C
∼=∼= Isom(Λ)⊗PSL2(Q) Isom(A(R+)), ãäå Isom(A(R+)) � àíàëèòè÷åñêèå èçîìåò-
ðèè àääèòèâíîãî àáñîëþòà A(R+).
2. Ïåðâûé êàíîíè÷åñêèé öèêë êðèâîé Euniv
C ðåàëèçóåòñÿ ýêçåìïëÿðîì ðà-
öèîíàëüíîãî àáñîëþòà, îñíàùåííûì àääèòèâíîé ãðóïïîâîé ñòðóêòóðîé, âòî-
ðîé êàíîíè÷åñêèé öèêë ðåàëèçóåòñÿ ðàöèîíàëüíûì àáñîëþòîì ñ ìóëüòèïëè-
êàòèâíîé ñòðóêòóðîé.
3. Êàíîíè÷åñêè îïðåäåëÿåìûé ãðóïïîâîé çàêîí íà óïîðÿäî÷åííîé äèàãî-
íàëè ïðîèçâåäåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî öèêëà êðèâîé Euniv
C èçîìîðôåí ãðóïïî-
âîìó çàêîíó íà Euniv
C .
4. Êðèâàÿ, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè 1�3 ïî îòíîøåíèþ ê çàìåíå àääè-
òèâíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà íà ìóëüòèïëèêàòèâíûé çàêîí, ÿâëÿåòñÿ êðèâîé,
óíèâåðñàëüíî ïàðàìåòðèçóþùåé êðèâóþ Euniv
C (îáîçíà÷èì åå Euniv,∗
C ).
Ñëåäóþùèé ýòàï äåéñòâèé åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîñòîèò â ìîäåëèðîâà-
íèè êèíåìàòèêè âîë÷êà Ýéëåðà, ïðîäîëæåííîé ïîñðåäñòâîì äåéñòâèÿ îòîá-
ðàæåíèÿ èíâîëþöèè îáðàòèìîñòè Zn→∞
2 [t → −t] íà áåñêîíå÷íûé ïðîìåæó-
òîê âåùåñòâåííîãî âðåìåíè. Ýòî ïðîäîëæåíèå ïðèâîäèò óæå ê áèãðóïïîâîé
ñòðóêòóðå íà ðàöèîíàëüíîì âåùåñòâåííîì àáñîëþòå ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî.
Ëåììà 2. Êèíåìàòèêà âîë÷êà Ýéëåðà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëþáîé ñâÿçíîé
46
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
êîìïîíåíòå ñëîåíèÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà íà ëèóâèëëåâû òîðû, ïðîäîë-
æåííîãî â tR = ∞, ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì â ìíîãîîáðàçèè Euniv
R (Q)⊗R[t]
Euniv,∗
R (Q).
Ìíîãîîáðàçèÿ (óíèâåðñàëüíûå êðèâûå) Euniv
R (Q), Euniv,∗
R (Q) îïðåäåëÿþòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì.
1. Îðáèòà îòîáðàæåíèÿ ñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿ, ïðåäñòàâëåííîãî ñèììåò-
ðèåé PSL2(Q), èçîìåòðèé Isom(Λ) ìîäåëè Êëåéíà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî
Λ è àíàëèòè÷åñêèõ èçîìåòðèé Isom(A(R)) åå àáñîëþòà A, ïðåäñòàâëÿåò
ñïåöèàëüíóþ ýëëèïòè÷åñêóþ êðèâóþ (îáîçíà÷èì åå Euniv
R (Q)), îïðåäåëÿåìóþ
êàê áèêîìïëåêñ Euniv
R (Q) ∼= Isom(Λ)⊗PSL2(Q) Isom(A(R)).
2. Ïåðâûé êàíîíè÷åñêèé öèêë êðèâîé Euniv
R (Q) ðåàëèçóåòñÿ ýêçåìïëÿðîì
ðàöèîíàëüíîãî àáñîëþòà, îñíàùåííûì àääèòèâíî-ìóëüòèïëèêàòèâíîé áè-
ãðóïïîâîé ñòðóêòóðîé, à âòîðîé � ýêçåìïëÿðîì ðàöèîíàëüíîãî àáñîëþòà ñ
ìóëüòèïëèêàòèâíî-àääèòèâíîé ãðóïïîâîé ñòðóêòóðîé. Ïðè ýòîì ãðóïïî-
âûå àääèòèâíàÿ è ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ñòðóêòóðû, ðàññìàòðèâàåìûå êàê
ãðóïïîâûå ñòðóêòóðû íà àáñîëþòå, êîìïîíèðóþòñÿ èìåííî â óêàçàííîì ïî-
ðÿäêå.
3. Êàíîíè÷åñêè îïðåäåëÿåìûé ãðóïïîâîé çàêîí íà óïîðÿäî÷åííîé äèàãîíà-
ëè ïðîèçâåäåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî öèêëà êðèâîé Euniv
R (Q) èçîìîðôåí (ìíî-
ãîçíà÷íîìó) ãðóïïîâîìó çàêîíó íà Euniv
R (Q).
4. Êðèâàÿ, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè 1�3 ïî îòíîøåíèþ ê çàìåíå àääè-
òèâíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà íà ìóëüòèïëèêàòèâíûé çàêîí, ÿâëÿåòñÿ êðèâîé,
óíèâåðñàëüíî ïàðàìåòðèçóþùåé êðèâóþ Euniv
R (Q) (îáîçíà÷èì åå Euniv,∗
R (Q)).
Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïåöèàëüíàÿ êðèâàÿ Euniv
R (Q) ÿâëÿåòñÿ
óíèâåðñàëüíîé ïîëóñòàáèëüíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé íàä Q (ñì. ñîîòâåò-
ñòâóþùåå îïðåäåëåíèå â [15]).
Î÷åðåäíîé ýòàï ñîñòîèò â ìîäåëèðîâàíèè êèíåìàòèêè âîë÷êà Ýéëåðà,
ïðîäîëæåííîé ïîñðåäñòâîì äåéñòâèÿ îòîáðàæåíèÿ èíâîëþöèè îáðàòèìîñòè
ïî âðåìåíè èñõîäíûõ óðàâíåíèé, íà áåñêîíå÷íûé ïðîìåæóòîê êîìïëåêñíîãî
âðåìåíè. Çàìå÷àíèå ê ëåììå 5 ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííàÿ ìîäåëü ïðåäñòàâëÿåò
êèíåìàòèêó îáùåãî àíàëèòè÷åñêîãî âîçìóùåíèÿ âîë÷êà Ýéëåðà.
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ôîðìóëèðóåòñÿ ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî ëåììå 2.
Ïîýòîìó ïðèâåäåì åãî ñîêðàùåííóþ ôîðìóëèðîâêó (ýòî íå êàñàåòñÿ ï. 3).
Ëåììà 3. Êèíåìàòèêà âîë÷êà Ýéëåðà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëþáîé ñâÿçíîé
êîìïîíåíòå ñëîåíèÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà íà ëèóâèëëåâû òîðû, ïðîäîë-
æåííîãî â tC = ∞, ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì â ìíîãîîáðàçèè Euniv
C/R (Q)⊗R[t]
Euniv,∗
C/R (Q).
Ìíîãîîáðàçèÿ (óíèâåðñàëüíûå êðèâûå) Euniv
C/R (Q), Euniv,∗
C/R (Q) îïðåäåëÿþòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì.
1. Îðáèòà ñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿ èçîìåòðèé ìîäåëè Êëåéíà ïëîñêîñòè
Ëîáà÷åâñêîãî è èçîìåòðèé åå êîìïëåêñèôèöèðîâàííîãî àáñîëþòà (òîïîëî-
ãè÷åñêîé îêðóæíîñòè íàä C), ðåàëèçîâàííîå ñèììåòðèåé PSL2(Q), ïðåä-
47
Ä.Ë. Àáðàðîâ
ñòàâëÿåò ñïåöèàëüíóþ ýëëèïòè÷åñêóþ êðèâóþ íàä Q, îïðåäåëÿåìóþ êàê áè-
êîìïëåêñ Euniv
C/R (Q) ∼= Isom(Λ) ⊗PSL2(Q) Isom(A(C)), ãäå Isom(A(C)) � àíàëè-
òè÷åñêèå èçîìåòðèè àáñîëþòà A(C) ∼= A(R)⊗R C.
Ïðè ýòîì êðèâàÿ Euniv
C/R (Q) ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðè-
âîé íàä Q. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ ëþáîé êðèâîé EQ èìååòñÿ òî÷íûé ãîìî-
ìîðôèçì EQ → Euniv
C/R (Q).
2. Êðèâàÿ, îáëàäàþùàÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñâîéñòâàìè ïî îòíîøåíèþ
ê çàìåíå àääèòèâíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà íà ìóëüòèïëèêàòèâíûé çàêîí, ÿâ-
ëÿåòñÿ êðèâîé, óíèâåðñàëüíî ïàðàìåòðèçóþùåé êðèâóþ Euniv
C/R (Q) (îáîçíà-
÷èì åå Euniv,∗
C/R (Q)).
3. Êðèâûå Euniv
C/R (Q), Euniv,∗
C/R (Q) ÿâëÿþòñÿ óíèâåðñàëüíûìè ýëëèïòè÷åñêè-
ìè êðèâûìè äëÿ êðèâûõ EQ è X0(N) ñîîòâåòñòâåííî.
Òåïåðü ïðèâåäåì ñõåìó äîêàçàòåëüñòâà ëåìì 1�3. Êîíñòðóêöèè ýòîãî äî-
êàçàòåëüñòâà, â îñíîâíîì, ââåäåíû â [8] è [9].
.Cõåìa äîêàçàòåëüñòâà ëåìì 1 − 3 . Äîêàçàòåëüñòâî ñâîäèòñÿ ê
êàíîíè÷åñêîé êîîðäèíàòèçàöèè ýêâèâàðèàíòíîé êîìïàêòèôèêàöèè ñ ïîìî-
ùüþ èíâîëþöèè îáðàòèìîñòè Z2[t → −t] ñâîáîäíîãî äâîÿêî-àñèìïòîòè÷åñêîãî
äâèæåíèÿ íà ñåïàðàòðèñå ñëó÷àÿ Ýéëåðà, ðåàëèçîâàííîãî ýêâèâàðèàíòíûì
êîìïëåêñîì:
0 → {àñèìïòîòè÷åñêîå äâèæåíèå} ∂→
∂→ {äâîÿêî-àñèìïòîòè÷åñêîå äâèæåíèå} → 0.
Îòîáðàæåíèåì äèôôåðåíöèàëà ∂ â äàííîì êîìïëåêñå ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð êè-
íåìàòè÷åñêîé ãðóïïû èñõîäíûõ ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé îáùåãî âîë÷êà �
îïåðàòîð óðàâíåíèé Ïóàññîíà.
Îïðåäåëåíèå ýêâèâàðèàíòíîé êîìïàêòèôèêàöèè äâîÿêî-àñèìïòîòè÷åñêîãî
äâèæåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî íàä ïîëÿìè R (ëåììà 2) è C (ëåììà 3) ïîñðåä-
ñòâîì îòîáðàæåíèÿ îáðàòèìîñòè ïî âðåìåíè óðàâíåíèé âîë÷êà Ýéëåðà ïðèâî-
äèò ê îïðåäåëåíèþ ìîäóëÿðíîé ïàðû �óíèâåðñàëüíàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ
êðèâàÿ Euniv
Q � óíèâåðñàëüíî ïàðàìåòðèçóþùàÿ åå êðèâàÿ Euniv,∗
Q �.
Ýòî òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî êîíñòðóêòèâíî ñòðîèòñÿ ïî êðèâûì
Euniv
Q , Euniv,∗
Q è èçîìîðôíî Euniv
Q ⊗R Euniv,∗
Q . Äàííîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ
îðáèòîé ñïåöèàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ èçîìåòðèé ïëîñêîñòè Ëî-
áà÷åâñêîãî, è ñîîòâåòñòâåííî, ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ðàñøèðåíèåì èçîìåò-
ðèè, îðáèòîé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ïàðà Euniv
C ⊗R Euniv,∗
C èç ëåììû 1 (òåíçîðíîå
ïðîèçâåäåíèå áåðåòñÿ íàä ïîëåì R ïî åñòåñòâåííîé ïðè÷èíå � ýòî îáëàñòü
îïðåäåëåíèÿ èíâîëþöèè Z2[t → −t], îðáèòàìè êîòîðîé è ÿâëÿþòñÿ òåíçîðíî
ïåðåìíîæàåìûå îáúåêòû).
Çàòåì ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî êèíåìàòèêà àíàëèòè÷åñêè âîçìóùåííîãî âîë÷êà
Ýéëåðà èçîìîðôíà êàê ðàç ïðîñòðàíñòâó Euniv
Q ⊗R Euniv,∗
Q , ïðèîáðåòàþùå-
ìó ñìûñë óíèâåðñàëüíîãî ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�
Ïóàññîíà, èçîìîðôíîãî ïðîñòðàíñòâó R6[γ, ω]⊗R Zn→∞
2 [t → −t].
48
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
Âçàèìîñâÿçü ëåìì 1�3 ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Euniv
Q ⊗R Euniv,∗
Q
èìååò êàíîíè÷åñêóþ ñòðóêòóðó áèêîìïëåêñà (CW � áèêîìïëåêñà):
0 → Euniv
C ⊗R Euniv,∗
C → Euniv
R (Q)⊗R Euniv,∗
R (Q) →
→ Euniv
C/R (Q)⊗R Euniv,∗
C/R (Q) ∼= Euniv
Q ⊗R Euniv,∗
Q → 0.
Ìîäóëÿðíûå ïàðû èç äàííîé òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñòðîÿòñÿ íà îñíî-
âå êàíîíè÷åñêîãî ðàñùåïëåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ èçîìåòðèé ïëîñêîñòè Λ äëÿ
ìîäåëèðîâàíèÿ èìè äâîÿêî-àñèìïòîòè÷åñêèõ äâèæåíèé âîë÷êà Ýéëåðà è èõ
àíàëèòè÷åñêèõ âîçìóùåíèé.
Ñâÿçü äàííîãî áèêîìïëåêñà ñ ýëëèïòè÷åñêèìè êðèâûìè EQ íàä ïîëåì Q
îòðàæàåò óíèâåðñàëüíîñòü êðèâûõ Euniv
Q è Euniv,∗
Q . Ýòà ñâÿçü ÿâëÿåòñÿ êàíî-
íè÷åñêîé è ðåàëèçóåòñÿ êîíñòðóêòèâíî ñòðîÿùèìèñÿ òî÷íûìè ýêâèâàðèàíò-
íûìè îòîáðàæåíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñïåöèàëèçàöèé èíâîëþöèè îáðàòè-
ìîñòè Zn→∞
2 [t → −t]:
EQ
Zn→∞
2 [t→−t]−→ Euniv
Q , X0(N)
Zn→∞
2 [t→−t]−→ Euniv,∗
Q ,
ãäå X0(N) � êðèâàÿ, ïàðàìåòðèçóþùàÿ êðèâóþ EQ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîé-
ñòâîì ìîäóëÿðíîñòè äëÿ êðèâûõ EQ (ñì. [12]).
Äðóãèìè ñëîâàìè, ñâîéñòâî ìîäóëÿðíîñòè êðèâûõ EQ ýêâèâàðèàíòíî è êà-
íîíè÷åñêè ðåàëèçóåòñÿ ñòðóêòóðîé ïðîñòðàíñòâà Euniv
Q ⊗R Euniv,∗
Q êàê áèêîì-
ïëåêñà: êàæäàÿ ïàðà (EQ, X0(N)) ðåàëèçóåòñÿ â íåì êàê ñîáñòâåííîå ïîäïðî-
ñòðàíñòâî (ïîäáèêîìïëåêñ). Òàêèì îáðàçîì, âàæíûì îêàçûâàþòñÿ íå êðèâûå
EQ ñàìè ïî ñåáå, à ñâîéñòâî èõ ìîäóëÿðíîñòè.
Êîíñòðóêöèÿ ìîäóëÿðíîé ïàðû Euniv
R (Q) ⊗R Euniv,∗
R (Q) ñîñòîèò â ñëåäó-
þùåì êàíîíè÷åñêîì ðàñùåïëåíèè îòíîñèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ èçîìåòðèé
ïëîñêîñòè Λ (çäåñü è äàëåå � â ìîäåëè Êëåéíà) íà äâîéñòâåííûå ýêâèâàðè-
àíòíûå CW�êîìïëåêñû ñîîòâåòñòâåííî:
Euniv
R (Q) ∼= (PSL2(R)/PSL2(Q))CW ,
Euniv,∗
R (Q) ∼= (PSL2(Q) \ PSL2(R))CW ,
èìåþùèå ñìûñë ýêâèâàðèàíòíûõ ðåøåòîê è ïðåäñòàâëÿþùèå ôàêòîðû ìíî-
ãîîáðàçèÿ PSL2(R) ïî ëåâîìó è ïðàâîìó äåéñòâèþ ãðóïïû PSL2(Q) ñîîòâåò-
ñòâåííî.
Êëþ÷åâûì ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ äàííûõ êîì-
ïëåêñîâ.
Ìîäóëÿðíàÿ ïàðà Euniv
R (Q) ⊗R Euniv,∗
R (Q) ïðåäñòàâëÿåò êîððåêòíî îïðå-
äåëåííûé òåíçîðíûé êâàäðàò ýêâèâàðèàíòíîé êîìïàêòèôèêàöèè ñâîáîäíîãî
äâîÿêî-àñèìïòîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ xuniv(tR) ∼= xuniv(t ⊗R Zn→∞
2 [t 7→ −t])
âîë÷êà Ýéëåðà â âèäå áèêîìïëåêñà:
xuniv(tR)⊗2 ∼= Euniv
R (Q)⊗R Euniv,∗
R (Q) ∼=
49
Ä.Ë. Àáðàðîâ
∼= (PSL2(R)/PSL2(Q))CW ⊗R (PSL2(Q) \ PSL2(R))CW .
Äàííûé áèêîìïëåêñ êàíîíè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåò ïðîäîëæåííîå â tR = ∞
ëèóâèëëåâî ñëîåíèå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà âîë÷êà Ýéëåðà.
Êîíñòðóêöèÿ ìîäóëÿðíîé ïàðû Euniv
C/R (Q) ⊗R Euniv,∗
C/R (Q) ñîñòîèò â êîì-
ïëåêñèôèêàöèè êàíîíè÷åñêîãî ðàñùåïëåíèÿ êîìïëåêñèôèöèðîâàííûõ îòíî-
ñèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ èçîìåòðèé ïëîñêîñòè Λ íà äâîéñòâåííûå ýêâèâàðè-
àíòíûå CW�êîìïëåêñû
Euniv
C/R (Q) ∼= (PSL2(C/R)/PSL2(Q))CW ,
Euniv,∗
C/R (Q) ∼= (PSL2(Q) \ PSL2(C/R))CW ,
ïðåäñòàâëÿþùèå ôàêòîðû ïî ëåâîìó è ïðàâîìó äåéñòâèþ ãðóïïû PSL2(Q).
Ìîäóëÿðíàÿ ïàðà Euniv
C/R (Q)⊗R Euniv,∗
C/R (Q) êàíîíè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåò òåí-
çîðíûé êâàäðàò êîìïëåêñèôèêàöèè xuniv(tC) êîìïàêòèôèöèðîâàííîãî ñâî-
áîäíîãî äâîÿêî-àñèìïòîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ xuniv(tR) âîë÷êà Ýéëåðà â âèäå
áèêîìïëåêñà:
xuniv(tC)⊗2 ∼= Euniv
C/R (Q)⊗R Euniv,∗
C/R (Q) ∼=
∼= (PSL2(C/R)/PSL2(Q))CW ⊗R (PSL2(Q) \ PSL2(C/R))CW .
Äàííûé áèêîìïëåêñ êàíîíè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåò êîìïëåêñèôèêàöèþ ïðî-
äîëæåííîãî â tC = ∞ ëèóâèëëåâîãî ñëîåíèÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà âîë÷êà
Ýéëåðà, ïðåäñòàâëåííîãî â âèäå óêàçàííîãî âûøå áèêîìïëåêñà. ¤
3. Êàíîíè÷åñêàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ êîíôîðìíàÿ ìîäåëü äèíàìè-
êè îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà. Êàíîíè÷åñêàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ
ìîäåëü äèíàìèêè â óíèâåðñàëüíîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå îáùèõ óðàâíåíèé
Ýéëåðà�Ïóàññîíà ñõåìàòè÷íî ñòðîèòñÿ â âèäå êîìïëåêñà � ïðîèçâîäíîãî êîì-
ïëåêñà îò êîìïëåêñà, ïðåäñòàâëÿþùåãî óíèâåðñàëüíîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî
èñõîäíûõ óðàâíåíèé, ñëåäóþùèì îáðàçîì:
0 → {àñèìïòîòè÷åñêîå äâèæåíèå} ∂1→ {äâîÿêî-àñèìïòîòè÷åñêîå äâèæåíèå} ∂2→
∂2→ {àíàëèòè÷åñêîå âîçìóùåíèå äâîÿêî-àñèìïòîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ} → 0.
Îòîáðàæåíèåì äèôôåðåíöèàëà ∂1 â äàííîì êîìïëåêñå ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð êè-
íåìàòè÷åñêîé ãðóïïû èñõîäíûõ ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé � îïåðàòîð óðàâ-
íåíèé Ïóàññîíà.
Îòîáðàæåíèåì äèôôåðåíöèàëà ∂2 â äàííîì êîìïëåêñå ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð
äèíàìè÷åñêîé ãðóïïû èñõîäíûõ ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé îáùåãî âîë÷êà �
îïåðàòîð óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà.
Ýêâèâàðèàíòíàÿ êîìïàêòèôèêàöèÿ óêàçàííîãî êîìïëåêñà îòîáðàæåíèé
ïîñðåäñòâîì èíâîëþöèè Z2[t → −t] ðåàëèçóåò ýêâèâàðèàíòíîå ãëàäêîå (êëàñ-
ñà C1) ïðîäîëæåíèå ïîòîêà íà ôàçîâûõ òðàåêòîðèÿõ âîë÷êà Ýéëåðà, ôîð-
ìàëüíî îïðåäåëåííîãî íàä âåùåñòâåííûì âðåìåíåì R, óæå íà áåñêîíå÷íûé
50
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
èíòåðâàë âðåìåíè è, â èòîãå, ïðèâîäèò ê ãðóïïîâûì çàêîíàì íà ýëëèïòè÷å-
ñêèõ êðèâûõ íàä ïîëåì Q, ïðåäñòàâëåííûì ôóíêöèÿìè exp(L(s,EQ), èìåí-
íî êàê ê óíèâåðñàëüíîìó ïðîñòðàíñòâó ðåøåíèé îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�
Ïóàññîíà.
Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðåàëèçóþò êîíñòðóêöèþ óêàçàííîé ìîäåëè.
Ëåììà 4. 1. Ïðîäîëæåííûé â tR = ∞ ôàçîâûé ïîòîê èçîýíåðãåòè÷åñêîãî
âîë÷êà Ýéëåðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñèììåòðèåé Ad(PSL2(R)/PSL2(Q)).
2. Ïðîäîëæåííûé â tR = ∞ ôàçîâûé ïîòîê íåèçîýíåðãåòè÷åñêîãî âîë÷-
êà Ýéëåðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñèììåòðèåé Ad(PGL2(R)/PSL2(Q)), ÿâëÿþùåé-
ñÿ ýêâèâàðèàíòíûì öåíòðàëüíûì ðàñøèðåíèåì ïðèñîåäèíåííîé ñèììåòðèè
Ad(PSL2(R)/PSL2(Q)).
Ëåììà 5. 1. Ïðîäîëæåííûé â tC = ∞ ôàçîâûé ïîòîê èçîýíåðãåòè÷åñêîãî
âîë÷êà Ýéëåðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñèììåòðèåé Ad(PSL2(C)/PSL2(Q)). Äàí-
íàÿ ñèììåòðèÿ ïðåäñòàâëÿåò ìíîãîçíà÷íûé ãðóïïîâîé çàêîí gs(Euniv
Q ) íà
óíèâåðñàëüíîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé Euniv
Q .
2. Ïðîäîëæåííûé â tC = ∞ ôàçîâûé ïîòîê íåèçîýíåðãåòè÷åñêîãî âîë÷-
êà Ýéëåðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñèììåòðèåé Ad(PGL2(C)/PSL2(Q)), ÿâëÿþùåé-
ñÿ ýêâèâàðèàíòíûì öåíòðàëüíûì ðàñøèðåíèåì ïðèñîåäèíåííîé ñèììåòðèè
Ad(PSL2(C)/PSL2(Q)).
Çàìå÷àíèå. Òîò ôàêò, ÷òî ôàçîâàÿ äèíàìèêà âîë÷êà Ýéëåðà, ïðîäîëæåí-
íàÿ íà áåñêîíå÷íûé ïðîìåæóòîê êîìïëåêñíîãî âðåìåíè, îêàçûâàåòñÿ äèíà-
ìèêîé îáùåãî àíàëèòè÷åñêîãî âîçìóùåíèÿ âîë÷êà Ýéëåðà, ïîêàçûâàåòñÿ â
ëåììå 10. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êèíåìàòè÷åñêèå ñèììåòðèè, îïèñàííûå â ëåì-
ìå 3, ïðåäñòàâëÿþò êèíåìàòè÷åñêèå ñèììåòðèè òàêæå îáùåãî àíàëèòè÷åñêîãî
âîçìóùåíèÿ âîë÷êà Ýéëåðà.
Ïðèâåäåì ñõåìó äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 5. Îïóñêàåìîå äîêàçàòåëüñòâî ëåì-
ìû 4 ïîëó÷àåòñÿ îâåùåñòâëåíèåì êîíñòðóêöèé äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 5.
.Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 5 . 1. Ïóíêò 1 ôîðìóëèðîâêè ñëå-
äóåò èç òîãî, ÷òî èìåþòñÿ òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýêâèâàðèàíòíûõ îòîá-
ðàæåíèé, âêëþ÷àþùèå ôàçîâûé ïîòîê íà ïðîäîëæåíèè T 2 â tC = ∞ ïðîèç-
âîëüíîãî ëèóâèëëåâîãî òîðà T 2 â ñèììåòðèþ Ad(PSL2(C/R)/PSL2(Q)):
T 2
rat
J(mod Zm+)−→ Li
J→ PSL2(C/R)/PSL2(Q)
Ad(J)−→
Ad(J)−→ Ad(PSL2(C/R)/PSL2(Q)) ∼= gs(Euniv
Q )
äëÿ ïðîäîëæåíèé â tC = ∞ ðàöèîíàëüíûõ òîðîâ T 2
rat è ëèóâèëëåâûõ áëîêîâ
Li; ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïðîäîëæåíèé èððàöèîíàëüíûõ òîðîâ T 2
irr:
T 2
irr
J(mod Zm× )−→ Li
J−1→ PSL2(C/R)/PSL2(Q)
Ad(J−1)−→
Ad(J−1)−→ Ad(PSL2(C/R)/PSL2(Q)) ∼= gs(Euniv,∗
Q ),
51
Ä.Ë. Àáðàðîâ
ãäå J � îòîáðàæåíèå èçîìîðôèçìà J ∼= {Euniv
C/R (Q) ∼= E∗,univ
C/R (Q)}, Ad(J)
� ïðèñîåäèíåííîå ê J îòîáðàæåíèå, J−1 � êîððåêòíî îïðåäåëåííîå îáðàò-
íîå îòîáðàæåíèå ê J ; îòîáðàæåíèÿ J(modZm+), J(modZm×) � ëîêàëèçàöèè
èçîìîðôèçìà J â àääèòèâíóþ è ìóëüòèïëèêàòèâíóþ ãðóïïó êîíå÷íîãî m-
ýëåìåíòíîãî êîëüöà Zm ñîîòâåòñòâåííî.
2. Óòâåðæäåíèå ïóíêòà 2 ñëåäóåò èç ñâîéñòâ èçîìîðôèçìà J , èãðàþùåãî
êëþ÷åâóþ ðîëü.
Ñèììåòðèÿ PGL2(C/R)/PSL2(Q) ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàðèàíòíûì öåíòðàëü-
íûì ðàñøèðåíèåì ñèììåòðèè PSL2(C/R)/PSL2(Q). Ýêâèâàðèàíòíîñòü äàí-
íîãî ðàñøèðåíèÿ âûðàæàåòñÿ â åãî J-èíâàðèàíòíîñòè. ¤
4. Êàíîíè÷åñêàÿ êîîðäèíàòèçàöèÿ êîíôîðìíîé ãåîìåòðè÷åñêîé
ìîäåëè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà.
Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ êîîðäèíàòèçèðóþò óíèâåðñàëüíîå ôàçîâîå ïðîñòðàí-
ñòâî îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà.
Ëåììà 6. Ýêâèâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî (ýêâèâàðèàíòíûé ìî-
äóëü) H1(Euniv
R (Q), C) îáëàäàåò êàíîíè÷åñêîé ðåçîëüâåíòîé, ïðåäñòàâëÿå-
ìîé áåñêîíå÷íîé òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ îòîáðàæåíèé ìîäóëåé:
... → H1(Euniv
R (Q), [p−s]) → ... → H1(Euniv
R (Q), [2−s]) → H1(Euniv
R (Q), [1−s]) →
→ H1(Euniv
R (Q), C) → 0,
ãäå Euniv
R (Q) � óíèâåðñàëüíàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ, îïðåäåëåííàÿ â ëåììå
2, ÷èñëîâîé ïàðàìåòð p ïðîáåãàåò âñå ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë.
Ýòî òî÷íûé êîìïëåêñ ýêâèâàðèàíòíûõ ìîäóëåé, èìåþùèõ ñòðóêòóðó àáå-
ëåâûõ áèãðóïï, è ïðåäñòàâëÿþùèé ïîëíóþ ñèñòåìó ãåíåðàòîðîâ íåïðåðûâ-
íîãî îòîáðàæåíèÿ èíâîëþöèè îáðàòèìîñòè ïî ôîðìàëüíîìó âåùåñòâåííîìó
âðåìåíè äëÿ óðàâíåíèé âîë÷êà Ýéëåðà.
Çàìå÷àíèå. Êàæäûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîððåêòíî îïðåäåëåí, ïî-
ñêîëüêó äëÿ êàæäîãî p îòîáðàæåíèå C[s] → C[p−s] èíäóöèðóåò àíàëèòè÷å-
ñêèé àâòîìîðôèçì ïîëÿ C. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè
çðåíèÿ äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ìîíîäðîìíîå ïî êîîðäèíà-
òàì è ïî ñêîðîñòÿì (ëèíåéíîé, óãëîâîé) àíàëèòè÷åñêîå äâèæåíèå òåòðàýäðà
â ïðîñòðàíñòâå E3(R).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. Èäåÿ âû÷èñëåíèÿ. Îñíîâíàÿ èäåÿ âû÷èñëåíèÿ ñî-
ñòîèò â ðåäóêöèè âû÷èñëåíèÿ êîîðäèíàò íà êàíîíè÷åñêîé êîíôîðìíîé ãåî-
ìåòðè÷åñêîé ìîäåëè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà âîë÷êà Ýéëåðà íàä âåùåñòâåí-
íûì âðåìåíåì, ïîïîëíåííûì òî÷êîé tR = ∞ (ëåììà 2), ê âû÷èñëåíèþ êîîð-
äèíàò íà îòîáðàæåíèè èíâîëþöèè îáðàòèìîñòè ïî âðåìåíè, ãåíåðèðóþùèì
óíèâåðñàëüíóþ òðàíçèòèâíóþ ñèììåòðèþ äàííîé ìîäåëè.
Ïðè ýòîì, â ñèëó ñâîéñòâ ãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè, ñòðóêòóðà óêàçàííîãî
îòîáðàæåíèÿ èíâîëþöèè îêàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé ñèììåòðèçàöèåé åå àääè-
òèâíîé è ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîìïîíåíò:
H1(Euniv
R (Q), C) ∼= H1(Euniv
R (Q), C ∪J(R) ∞) ∼=
52
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
∼= lim
n→∞H1(S1/Zn
2 [t → −t]⊗R Zn
2 [t → t−1], S1/Zn
2 [t → t−1]⊗R Zn
2 [t → −t]) ∼=
∼= lim
n→∞H1(S1/in+,×, S1/in×,+),
ãäå îòîáðàæåíèå C → C ∪J(R) ∞ ðåàëèçóåò ýêâèâàðèàíòíîå ïîïîëíåíèå ïîëÿ
C ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèÿ J(R) ∼= {Euniv
C/R (Q) ∼= E∗,univ
C/R (Q)}, îïðåäåëåííîãî
(â èòîãå) íàä R.
Óêàçàííîå îòîáðàæåíèå èòåðèðîâàííîé îòíîñèòåëüíîé èíâîëþöèè (èëè
áèèíâîëþöèè) ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèçàöèåé êîìïîíåíòû îòîáðàæåíèÿ èñõîäíîé
ôóíäàìåíòàëüíîé èíâîëþöèè (óñëîâíî îáîçíà÷àåìîé Z2[t → −t]) ñ íåïîäâèæ-
íîé òî÷êîé â tR = 0 (ýòî îòîáðàæåíèå in+,×) è åå êîìïîíåíòû ñ íåïîäâèæíîé
òî÷êîé â tR = ∞ (ýòî îòîáðàæåíèå in×,+).
Êîîðäèíàòû íà äàííîì ñèììåòðèçóþùåì ðàñùåïëåíèè èñõîäíîé èíâîëþ-
öèè óäàåòñÿ ÿâíî âû÷èñëèòü, ïîñêîëüêó óäàåòñÿ íàéòè êîîðäèíàòû íà êàæäîì
èç îòîáðàæåíèé èíâîëþöèé ïî îòäåëüíîñòè è êîíñòðóêòèâíî îñóùåñòâèòü èõ
ñêëåéêó.
2. Ïåðåéäåì íåïîñðåäñòâåííî ê âû÷èñëåíèÿì, êîòîðûå ðàçîáúåì íà ýòà-
ïû. Îáúåêò, ïîäëåæàùèé êîîðäèíàòèçàöèè � êðèâàÿ Euniv
R (Q) � ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåí ÷åðåç ñâîè öèêëû:
H1(Euniv
R (Q), C ∪J(R) ∞) ∼= H1((c1[Euniv
R (Q)], c2[Euniv
R (Q)]).
à.  ñîîòâåòñòâèè ñî ñòðóêòóðîé öèêëîâ ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé Euniv
R/Q , îïðå-
äåëåííûõ â ëåììå 2, èìååì
H1(c1[Euniv
R (Q)], c2[Euniv
R (Q)]) ∼=
∼= H1( lim
n→∞S1/Zn[t → −t]⊗Zn
2 [t → t−1]), lim
n→∞(S1/Zn[t → t−1]⊗Zn
2 [t → −t]))) ∼=
∼= H1(S1/ lim
p→∞(C ⊗Fp R), S1/ lim
p→∞(C ⊗Fp R)),
ãäå p = p(n) � ïðîñòîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò íàòóðàëüíîãî n; Fp � ïîëå èç p
ýëåìåíòîâ.
Çäåñü ïðîñòîòó ÷èñëà p îáåñïå÷èâàåò ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ êîìïîíåíòà
Zn
2 [t → t−1] ôóíäàìåíòàëüíîé èíâîëþöèè. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî n îáåñïå÷èâàåò
ïðîáåãàíèå ìíîæåñòâà âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë (ñì. ïóíêò ã. äîêàçàòåëüñòâà).
á. Âû÷èñëåíèå ïîëó÷åííîé ãðóïïû êîãîìîëîãèé ïðîâåñòè ñ ïîìîùüþ åå
ëîêàëèçàöèè ïî mod p, ïðåäñòàâëÿåìîé òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ îòîáðà-
æåíèé:
1 → c1(Euniv
R (Q)) → c2(Euniv
R (Q)) → 1 mod p,
ýêâèâàëåíòíîé òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
1 → S1
+,×[R⊗Fp C[s]]]
Rp→ S1[(Ddiag
2 )n]
Sp→ S1
×,+[C[s]⊗Fp R] → 1,
53
Ä.Ë. Àáðàðîâ
ãäå p = p(n), s � êàíîíè÷åñêàÿ êîîðäèíàòà íà ïîëå C; Ddiag
2 � êîððåêòíî îïðå-
äåëåííàÿ äèàãîíàëü òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ àáåëåâûõ ãðóïï, îïðåäåëÿåìàÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ddiag
2
∼= Diag(D+,×
2 ⊗C [s]D×,+
2 ),
ãäå
D+,×
2
∼= [D+
2 , D×
2 ] ∼= generator(S1
+,×[R⊗Fp C[s]]),
D+,×
2
∼= [D×
2 , D+
2 ] ∼= generator(S1
×,+[C[s]⊗Fp R]),
è D+
2 , D×
2 � àääèòèâíî è ìóëüòèïëèêàòèâíî çàïèñàííàÿ ãðóïïà Êëåéíà D2.
â. Îòîáðàæåíèÿ Rp è Sp ïðåäñòàâëÿþò íåïðåðûâíûå àâòîìîðôèçìû îêðóæ-
íîñòè S1[(Ddiag
2 )n].
Îòîáðàæåíèå êîìïîçèöèè R−1
p ◦ Sp ïðåäñòàâëÿåò íåïðåðûâíûé àâòîìîð-
ôèçì îêðóæíîñòè S1[(Ddiag
2 )n]. Â ñèëó åñòåñòâåííîé F2-ãðàäóèðîâêè ìíîãî-
îáðàçèÿ S1[(Ddiag
2 )n] îòîáðàæåíèå R−1
p ◦ Sp ÿâëÿåòñÿ F2-ãðàäóèðîâàííûì àâ-
òîìîðôèçìîì ñòàíäàðòíîé îêðóæíîñòè S1:
1 → S1[Fp ⊗R C[s]]
R−1
p ◦Sp−→ S1[C[s]⊗R Fp] → 1.
Êàæäûé íåïðåðûâíûé àâòîìîðôèçì îêðóæíîñòè S1 ïðåäñòàâëÿåòñÿ ýêñïî-
íåíöèàëüíûì îòîáðàæåíèåì. Ñëåäîâàòåëüíî, F2-ãðàäóèðîâàííûé àâòîìîð-
ôèçì R−1
p ◦Sp îêðóæíîñòè S1[(Ddiag
2 )n] ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ýêñïîíåí-
öèàëüíûì îòîáðàæåíèåì, êîòîðîå â ñèëó ïðèâåäåííûõ âûøå òî÷íûõ ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòåé èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä
(R−1
p ◦ Sp)[S1[(Ddiag
2 )n]] = p−s.
ã. Âîçìîæíîñòü ðåàëèçàöèè ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p ñëåäóåò èç òî÷íîñòè
R−1
p ◦ Sp � èíâàðèàíòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòîáðàæåíèé
0 → N
J→ Q
J→ Fp → 0,
ãäå N � ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, è âûòåêàþùåé îòñþäà ñþðúåêòèâ-
íîñòè îòîáðàæåíèÿ N
J→ Fp, èíäóöèðîâàííîãî óêàçàííîé òî÷íîé ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòüþ îòîáðàæåíèé.
ä. Òåïåðü ëåììà ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî öèêëû c1(Euniv
R (Q)), c2(Euniv
R (Q))
ïðåäñòàâëÿþòñÿ êîìïëåêñàìè òî÷íîãî äåéñòâèÿ íà íèõ óíèâåðñàëüíûõ ôàêòîð-
áèèíâîëþöèé limn→∞(in+,×) è limn→∞(in+,×). Êîìïîçèöèÿ ýòèõ äåéñòâèé êàíî-
íè÷åñêè êîîðäèíàòèçèðóåòñÿ îòîáðàæåíèÿìè R−1
p ◦ Sp, p → ∞, òàêæå îðãà-
íèçîâàííûìè â êîìïëåêñ. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ (ò.å. ïî mod p) ÷àñòü óêàçàííî-
ãî êîìïëåêñà öèêëîâ ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîðîòêîé òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
îòîáðàæåíèé:
54
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
1 → c1(Euniv
R (Q))
R−1
p ◦Sp−→ c2(Euniv
R (Q)) → 1.
¤
Çàìå÷àíèå. Òî÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòîáðàæåíèé R−1
p ◦Sp ìîæíî èí-
òåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� ýòî ïîñëåäîâàòåëüíûå (ïî íàòóðàëüíîìó íîìåðó n) F2�ãðàäóèðîâàííûå
áèîáîðîòû ôàçîâîé äèíàìèêè âîë÷êà Ýéëåðà, ïðåäñòàâëåííîé â êîëüöå; ïðè
ýòîì ãðóïïû D+,×
2 , D+,×
2 ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê (áè)ãåíåðàòîðû áèîáî-
ðîòîâ óêàçàííîãî êîëüöà â ïðîòèâîïîëîæíûõ áèíàïðàâëåíèÿõ;
� ýòî íåïðåðûâíàÿ áèìîíîäðîìèÿ òåòðàýäðà ñî ñâîáîäíûì öåíòðîì â åâ-
êëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E3 (ò.å. ìîíîäðîìèþ ïî êîîðäèíàòàì è êîìïîíåíòàì
óãëîâîé ñêîðîñòè).
Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü àääèòèâíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå íàòóðàëüíîãî ïàðàìåòðà íà Euniv
R (Q), ò.å. ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç ýê-
âèâàðèàíòíóþ ñóììó ñëàãàåìûõ âèäà n−s, ñîîòâåòñòâóþùóþ àääèòèâíîìó
ïðåäñòàâëåíèþ äåéñòâèÿ ôóíäàìåíòàëüíîé èíâîëþöèè Z2[t → −t] ÷åðåç ðàñ-
ñìîòðåííûå ôàêòîð-áèèíâîëþöèè.
Ëåììà 7. Äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p èìååò ìåñòî êîðîòêàÿ òî÷-
íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýêâèâàðèàíòíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ (ýêâèâà-
ðèàíòíûõ ìîäóëåé):
1 → H1(Euniv
R (Q), [p−s]0) → H1(Euniv
R (Q), [p−s]1) → 1.
Äîê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òî÷íîñòè äåéñòâèé îòîáðà-
æåíèé ôàêòîð-áèèíâîëþöèé R−1
p ◦ Sp, îïðåäåëåííûõ â äîêàçàòåëüñòâå ëåì-
ìû 7, íà êàíîíè÷åñêèõ áàçèñíûõ öèêëàõ c1(Euniv
R (Q)), c2(Euniv
R (Q)) êðèâîé
Euniv
R (Q). Äàííûå äåéñòâèÿ ïðåäñòàâëÿþòñÿ òî÷íûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè
îòîáðàæåíèé:
1 → c1(Euniv
R (Q))
R−1
p ◦Sp−→ c2(Euniv
R (Q)) → 1.
Âîçìîæíîñòü ðåàëèçàöèè ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p ñëåäóåò èç ïóíêòà ã. äî-
êàçàòåëüñòâà ëåììû 6. ¤
Ëåììà 8. Ýêâèâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî (ýêâèâàðèàíòíûé ìî-
äóëü) H1(Euniv
C/R (Q), C) îáëàäàåò êàíîíè÷åñêîé ðåçîëüâåíòîé, ïðåäñòàâëÿå-
ìîé áåñêîíå÷íîé òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ îòîáðàæåíèé ôàêòîð-ìîäó-
ëåé:
... → H1(Euniv
C/R (Q), [p−2s])/H1(Euniv
C/R (Q), [p−s]) → ...
... → H1(Euniv
C/R (Q), [2−2s])/H1(Euniv
C/R (Q), [2−s]) →
→ H1(Euniv
C/R (Q), [1−2s])/H1(Euniv
C/R (Q), [1−s]) → H1(Euniv
C/R (Q), C) → 0.
55
Ä.Ë. Àáðàðîâ
Çàìå÷àíèå. Äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåäñòàâëÿåò òî÷íûé êîìïëåêñ
ýêâèâàðèàíòíûõ ôàêòîð-ìîäóëåé, èìåþùèõ ñòðóêòóðó ýêâèâàðèàíòíûõ àáå-
ëåâûõ ôàêòîð-áèãðóïï, è ïðåäñòàâëÿþùèé íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå èíâî-
ëþöèè îáðàòèìîñòè ïî ôîðìàëüíîìó êîìïëåêñíîìó âðåìåíè äëÿ óðàâíåíèé
âîë÷êà Ýéëåðà.
Ýòîò êîìïëåêñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýêâèâàðèàíòíóþ êîìïëåêñèôè-
êàöèþ êîìïëåêñà èç ëåììû 6, ïðåäñòàâëÿþùåãî íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå
èíâîëþöèè îáðàòèìîñòè ïî ôîðìàëüíîìó âåùåñòâåííîìó âðåìåíè äëÿ àíà-
ëèòè÷åñêèõ óðàâíåíèé âîë÷êà Ýéëåðà.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ äàííàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ìîíîäðîìíîå ïî êîîðäèíàòàì è ïî ñêîðîñòÿì (ëèíåé-
íîé, óãëîâîé) àíàëèòè÷åñêîå äâèæåíèå òåòðàýäðà â ïðîñòðàíñòâå E3(C).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû îïèðàåòñÿ íà ãåîìåòðè÷åñêóþ
ìîäåëü ëåììû 3 è ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàðèàíòíîé êîìïëåêñèôèêàöèåé êîíñòðóê-
öèé äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 6, è ïðîâîäèòñÿ ïî òîé æå ñõåìå. ¤
Ëåììà 9. Äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p èìååò ìåñòî êîðîòêàÿ òî÷íàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýêâèâàðèàíòíûõ ìîäóëåé:
1 → H1(Euniv
C/R (Q), [p−s]0) → H1(Euniv
C/R (Q), [p−s]1) → H1(Euniv
C/R (Q), [p−s]2) → 1.
Äîê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîêàçàòåëüñòâî ïîëó÷àåòñÿ ýêâèâàðèàíòíîé êîìïëåê-
ñèôèêàöèåé êîíñòðóêöèé äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 7, ïîñêîëüêó â ñèëó ëåì-
ìû 3 êðèâàÿ Euniv
C/R (Q) ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàðèàíòíîé êîìïëåêñèôèêàöèåé êðèâîé
Euniv
R (Q). ¤
5. Êàíîíè÷åñêàÿ êîîðäèíàòèçàöèÿ êàíîíè÷åñêîé ãåîìåòðè÷åñêîé
êîíôîðìíîé ìîäåëè ôàçîâîé äèíàìèêè îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�
Ïóàññîíà. Çàâåðøàþùèì ýòàïîì äîêàçàòåëüñòâà òî÷íîé ðàçðåøèìîñòè îá-
ùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêàÿ êîîðäèíàòèçàöèÿ
ïðîèçâîäíûõ êîìïëåêñíûõ ðàöèîíàëüíûõ èçîìåòðèé ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêî-
ãî � êàíîíè÷åñêîé êîíôîðìíîé ìîäåëè ôàçîâîé äèíàìèêè äàííûõ óðàâíåíèé
â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 5.
.Äîêà çàò åëü ñòâî î ñíîâíîé ò åîð åìû . Ó÷åò ñâîéñòâà îáðàòèìîñòè
ïî âðåìåíè, â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììàìè 1�6, îòâå÷àåò ñëåäóþùåé äëèííîé òî÷-
íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòîáðàæåíèé:
0 J→ 1 → R → x(t) → gs(H0) → gs(Euniv
R (Q)) →
→ gs(Euniv
C/R (Q)) → gs(H0 + εH1) → 1 J→ 0.
Íàì ïîòðåáóåòñÿ, êàê è ðàíåå, ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ÷àñòü ýòîé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè, ïîëó÷àþùàÿñÿ èç íåå ïîäõîäÿùèì îòîáðàæåíèåì îãðàíè÷åíèÿ èçîìîð-
ôèçìà J (ýòî îãðàíè÷åíèå îáîçíà÷èì ÷åðåç J×):
1 → R → x(t) → gs(H0) → gs(Euniv
R (Q)) → gs(Euniv
C/R (Q)) → gs(H0 + εH1)
F→ 1.
56
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî 1 ∼= idR×, ãäå R× � ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ñòðóêòóðà íà
R è â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì óíèâåðñàëüíîé êðèâîé Euniv
C/R (Q) äàííàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìóëüòèïëèêàòèâíî ðàñùåïëÿåòñÿ â ÷ëåíå gs(Euniv
R (Q)) →
→ gs(Euniv
C/R (Q)), ò.å. èìååòñÿ èçîìîðôèçì ÿäðà KerF ñëåäóþùåé êîìïîçèöèè
îòîáðàæåíèé:
KerF ∼= gs(H0) ◦ gs(H0 + εH1),
è ïðè ýòîì èìååòñÿ èíäóöèðîâàííîå ìóëüòèïëèêàòèâíîå ðàçëîæåíèå îäíî-
ìåðíûõ êîãîìîëîãèé ÿäðà KerF :
H1(KerF,C ∪J×(C/R) ∞) ∼=
∼= H1(gs(H0 + εH1)), C ∪J×(C/R) ∞)⊗Euniv
C/R
(Q) H1(gs(H0), C ∪J×(R) ∞) ∼=
∼= H1(gs(H0 + εH1)), C ∪J×(C/R) ∞)×H1(gs(H0), C ∪J×(R) ∞),
ãäå îòîáðàæåíèÿ J×(R), J×(C/R) ÿâëÿþòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåàëèçàöèåé
îòîáðàæåíèé ýêâèâàðèàíòíîé êîìïàêòèôèêàöèè îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿ óðàâ-
íåíèé âîë÷êà Ýéëåðà è îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà ñîîòâåòñòâåííî.
Îòìåòèì, ÷òî çàìåíà {1 ∼= id R×} → {0 ∼= idR+} â óêàçàííîé òî÷íîé ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè â èòîãå ïðèâîäèò ê àääèòèâíîé ñòðóêòóðå äëÿ èñêîìûõ èí-
âàðèàíòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ àääèòèâíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ôóíêöèé L(s, EQ).
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòîáðàæåíèé, ïðåäñòàâëÿþùåé ïîòîê gs(H0 + εH1),
ñîîòâåòñòâóåò êîìïëåêñ, ïðåäñòàâëÿþùèé ìóëüòèïëèêàòèâíóþ ðåàëèçàöèþ
ãðóïïîâîãî çàêîíà gs(EC/R(Q)) íà óíèâåðñàëüíîé êðèâîé Euniv
C/R (Q):
1 → EC → Euniv
R (Q) → Euniv
C/R (Q) → gs(EC/R(Q)) → 1.
Äàííàÿ òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñâÿçàíà ñ ãðóïïîâûìè çàêîíàìè íà îñòàëü-
íûõ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ îòîáðàæåíèÿìè åñòåñòâåííîãî âëîæåíèÿ id:
1 −→Euniv
R (Q) −→ Euniv
C/R (Q) −→ gs(EC/R(Q)) −→ 1
↓ id ↓ id
gs(ER(Q)) −→ gs(EC/R(Q)).
 îáðàòèìîì âðåìåíè (íîâîì ãëîáàëüíîì âðåìåíè) îäíîìåðíûå (÷àñòíûå)
èíâàðèàíòû àíàëèòè÷åñêîãî âîçìóùåíèÿ H0 + εH1 ÿâíî âû÷èñëÿþòñÿ. Äëÿ
ýòîãî ïðîèçâåäåì ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïåðåíîðìèðóþùèå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî
èñõîäíûõ óðàâíåíèé �íà êàíîíè÷åñêóþ ìîäåëü� äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âîçìóùå-
íèÿ ïðîèçâîëüíîãî äâèæåíèÿ x(t):
H ∼= H1(gs(H0 + εH1)(x(t)), gs(H0)(x(t))) ∼=
∼= H1(H1(gs(H0 + εH1)(x(t)), gs(H0))(x(t)), Euniv
C/R (Q)).
57
Ä.Ë. Àáðàðîâ
Îòîáðàæåíèå ïåðåíîðìèðîâêè R[t] → H1(R, Euniv
C/R (Q)) ïðåäñòàâëÿåò îòîáðà-
æåíèå ïåðåõîäà îò âåùåñòâåííîãî âðåìåíè R[t] ê óíèâåðñàëüíîìó îáðàòèìîìó
âðåìåíè äëÿ îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà.
 ñèëó óêàçàííîãî âûøå ìóëüòèïëèêàòèâíîãî ðàñùåïëåíèÿ ÿäðà KerF
ïîëó÷àåì
H ∼= H1(gs(H0 + εH1)(x(t)), Euniv
C/R (Q))×H1(gs(H0)(x(t)), Euniv
R (Q)).
Âû÷èñëèì ïîäïðîñòðàíñòâî gs(H0)(x(t)) ïðîñòðàíñòâà îäíîìåðíûõ èíâà-
ðèàíòîâ H, ïîëüçóÿñü ëåììîé 2, îïðåäåëÿþùåé ïåðåíîðìèðîâêó ôàçîâûõ
òðàåêòîðèé íà êðèâóþ Euniv
R (Q):
gs(H0)(x(t)) ∼= gs(Euniv
R (Q)⊗ x(t)) ∼= gs(prx(t)(E
univ
R (Q))) ∼= gs(EQ[s, x(t)]),
ãäå prx(t)(Euniv
C/R (Q)) � îòîáðàæåíèå åñòåñòâåííîé ïðîåêöèè óíèâåðñàëüíîé êðè-
âîé Euniv
C/R (Q), èìåþùåé ñìûñë óíèâåðñàëüíîãî äâèæåíèÿ, íà äâèæåíèå x(t).
Òåïåðü èç ýêñïîíåíöèàëüíîñòè ãðóïïîâîãî çàêîíà íà êàæäîé ýëëèïòè÷å-
ñêîé êðèâîé EQ[s, x(t)]) ïîëó÷àåì, ÷òî
gs(EQ[s, x(t)]) ∼= H1(EQ[s, x(t)], Euniv
R (Q)⊗ EQ[s, x(t)]).
Äàííûå êîãîìîëîãèè îïðåäåëåíû íàä C ∪J(C/R)∞, ïîñêîëüêó óíèâåðñàëüíàÿ
ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ Euniv
C/R (Q) â ñèëó åå êîíñòðóêöèè â ëåììå 3 îïðåäåëåíà
íàä C ∪J(C/R) ∞.
Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâî gs(H0 + εH1)(x(t)) ïðîñòðàí-
ñòâà H. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ ëåììà 3, îïðåäåëÿþùàÿ ïåðåíîðìèðîâêó
ôàçîâûõ òðàåêòîðèé x(t) íà êðèâóþ Euniv
C/R (Q):
gs(H0 + εH1)(x(t)) ∼= gs(Euniv
C/R (Q)⊗EQ[s, ε, x(t)]).
Èç óíèâåðñàëüíîñòè êðèâîé Euniv
C/R (Q) è ýêñïîíåíöèàëüíîñòè ãðóïïîâîãî
çàêîíà íà êðèâûõ Euniv
R (Q) è EQ[s, ε, x(t)]) ïîëó÷àåì, ÷òî
gs(Euniv
C/R (Q)⊗EQ[ε]) ∼= H1(EQ[s, ε, x(t)], Euniv
C/R (Q)⊗EQ[s, ε, x(t)]).
Èç ìîäåëè ëåììû 5 ñëåäóåò, ÷òî âûñøèå ïîðÿäêè òåîðèè âîçìóùåíèé ñòàáè-
ëèçèðóþòñÿ íà ïåðâîì ïîðÿäêå:
gs(H0 + εH1)(x(t)) ∼= gs(H0 + εH1 + ε2H2)(x(t)).
Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî H-èíâàðèàíòîâ ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ïðî-
ñòðàíñòâî ñëåäóþùèõ èíâàðèàíòîâ îòíîñèòåëüíûõ ìíîãîçíà÷íûõ ãðóïïîâûõ
çàêîíîâ:
H ∼= H1(gs(Euniv
C/R (Q)), gs(Euniv
R (Q))).
58
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
Ïîñêîëüêó èìååò ìåñòî êîðîòêàÿ òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòîáðàæåíèé
1 → gs(Euniv
R (Q)) → gs(Euniv
C/R (Q)) → 1,
òî ïðîñòðàíñòâî H-èíâàðèàíòîâ (â åãî ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåàëèçàöèè H ∼=∼= H1(gs(Euniv
C/R (Q)⊗J×(C)), gs(Euniv
R (Q))⊗J×(R))) èìååò êàíîíè÷åñêóþ ñòðóê-
òóðó êîìïëåêñà.
Ïîýòîìó óñòàíîâëåíèå ñòðóêòóðû ïðîñòðàíñòâà H-èíâàðèàíòîâ ýêâèâà-
ëåíòíî âû÷èñëåíèþ êîãîìîëîãèé äàííîãî êîìïëåêñà.
Âû÷èñëèì îòíîñèòåëüíûå êîãîìîëîãèè H1(EQ, Euniv
C/R (Q)) (â ìóëüòèïëèêà-
òèâíîé ðåàëèçàöèè), ïîëüçóÿñü òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, îïðåäåëÿþùåé
êðèâóþ Euniv
C/R (Q) (ëåììû 1�3) êàê êîìïëåêñ:
1 → Euniv
R (Q) → Euniv
C/R (Q) → EQ → 1.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 8 âû÷èñëåíèÿ îäíîìåðíûõ ëîêàëüíûõ (ò.å. ïî mod p)
êîãîìîëîãèé H1(EQ, Euniv
R (Q))loc (çäåñü âûðàæåíèå loc � îáîçíà÷åíèå äëÿ ëî-
êàëüíûõ êîãîìîëîãèé) òàêîâû:
H1(EQ, Euniv
R (Q)⊗J×)loc
∼= H1(EQ⊗((p−s)1/(p−s)0), Euniv
R (Q)) = (1−a(p)p−s),
ãäå âûðàæåíèå (p−s)1/(p−s)0 èìååò ñìûñë ôàêòîð-îòîáðàæåíèÿ îïðåäåëåííî-
ãî âûøå; êîýôôèöèåíò èíöèäåíòíîñòè a(p) ñïåöèôè÷åí äëÿ êàæäîé êðèâîé
EQ è ÿâëÿåòñÿ åå ëîêàëüíûì èíâàðèàíòîì:
a(p) = H0(EQ, Euniv
R (Q)⊗ J×)loc.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 9 äëÿ êîìïëåêñèôèêàöèè ëîêàëüíûõ êîãîìîëîãèé
ôàêòîð-êîìïëåêñà Euniv
C/R (Q)/Euniv
R (Q) ïîëó÷àåì
H1(EQ ⊗ ((p−s)2/(p−s))1/(p−s)0, Euniv
C/R (Q)/Euniv
R (Q)) = (1− a(p)p−s + pp−2s),
ãäå êîýôôèöèåíò èíöèäåíòíîñòè � ÷èñëî p � èíâàðèàíòíî ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê
p = H0(EQ, Euniv
C/R (Q)⊗ J×)loc/H0(EQ, Euniv
R (Q)⊗ J×)loc
è ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì; ïðè ýòîì, â ñèëó ëåìì 6 è 8, âñå ïðîñòûå ÷èñëà
ðåàëèçóþòñÿ òàêèì îáðàçîì.
×èñëà a(p), p ïðåäñòàâëÿþò ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû èíöèäåíò-
íîñòè ìåæäó îñòîâàìè òî÷íîãî êîãîìîëîãè÷åñêîãî êîìïëåêñà, ïðåäñòàâëÿþ-
ùåãî êðèâóþ EQ. Èç îïðåäåëåíèÿ äàííûõ ÷èñåë ñëåäóåò, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ
êàíîíè÷åñêèìè ñêàëÿðíûìè èíâàðèàíòàìè ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîé EQ.
Èç óêàçàííîé âûøå ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðàçëîæèìîñòè ïðîñòðàíñòâà H-
èíâàðèàíòîâ ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå êðèâîé EQ �îáùåãî ïîëîæåíèÿ�, ñîîòâåò-
ñòâóþùåì âîçìóùåíèþ âîë÷êà Ýéëåðà, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå:
H1(EQ, Euniv
C/R (Q)⊗ J×)loc = H1(H1(EQ, Euniv
R (Q)), Euniv
C/R (Q)⊗ J×)loc =
59
Ä.Ë. Àáðàðîâ
= (1− a(p)p−s + pp−2s)(1− a(p)p−s).
Ó÷åò ñòðóêòóðû ðåçîëüâåíò äëÿ ïðîñòðàíñòâ H1(Euniv
R (Q), C), H1(Euniv
C/R (Q), C)
â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììàìè 6 è 8, è èõ àöèêëè÷íîñòü (ëåììû 7 è 9) äàþò
H1(EQ, Euniv
C/R (Q)⊗ J×) =
=
∏
p
(1− a(p)p−s + pp−2s)−1
∏
p
(1− a(p)p−s)−1 = L0(s,EQ),
ãäå L0(s,EQ) � îáîçíà÷åíèå äëÿ ïîëó÷èâøåéñÿ ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî àðãó-
ìåíòà s.
Èç êàíîíè÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ ÷èñëåííûõ èíâàðèàíòîâ a(p), p, à òàêæå
êàíîíè÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ L-ôóíêöèè (åãî ìóëüòèïëèêàòèâíîãî âàðèàíòà)
ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé EQ ñëåäóåò, ÷òî
L0(s, EQ) = L(s,EQ).
Òåïåðü âû÷èñëèì êîãîìîëîãèè ïðîñòðàíñòâà H, ïðåäñòàâëåííîãî êîìïëåêñîì
1 → H1(gs(Euniv
R (Q)), C∪J×(R)∞) → H1(gs(Euniv
C/R (Q)), C∪J×(C/R)∞) → H → 1.
Ïîëüçóÿñü ýêñïîíåíöèàëüíîñòüþ ãðóïïîâîãî çàêîíà íà óíèâåðñàëüíûõ êðè-
âûõ Euniv
C/R (Q), Euniv
R (Q) è óñòàíîâëåííîé âûøå ñòðóêòóðîé ïðîñòðàíñòâà êî-
ãîìîëîãèé H1(EQ, Euniv
C/R (Q)) â ñîîòâåòñòâèè ñ åãî ìóëüòèïëèêàòèâíûì ïðåä-
ñòàâëåíèåì H1(EQ, Euniv
C/R (Q)⊗ J×), ïîëó÷àåì
H ∼= H1(gs(EQ ⊗ Euniv
R (Q)), gs(Euniv
C/R (Q))) ∼=
∼= H1(EQ,H1(Euniv
C/R (Q), EQ)) = exp(L(EQ, s)).
Çàìå÷àíèå. Îòîáðàæåíèå ïåðåíîðìèðîâêè EQ ⊗ Euniv
C/R (Q) ïðåäñòàâëÿåò
ýêâèâàðèàíòíóþ íàòóðàëüíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ êðèâîé EQ, êîòîðàÿ îïðå-
äåëåíà êàíîíè÷åñêè â ñèëó êàíîíè÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ êðèâûõ Euniv
R (Q) è
Euniv
C/R (Q) â ëåììàõ 2, 3.
Ïîýòîìó âûðàæåíèå exp(L(EQ, s)) ïðåäñòàâëÿåò ýêâèâàðèàíòíûé (ìíîãî-
çíà÷íûé) ãðóïïîâîé çàêîí íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé EQ. Çäåñü îí ïîëó÷åí â
ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåàëèçàöèè.
Òåïåðü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñëåäóåò èç ñëåäóþùåé ëåììû, ñîãëàñó-
þùåé êîìïëåêñèôèêàöèþ ôàçîâîé äèíàìèêè âîë÷êà Ýéëåðà èç ëåììû 5 ñ
êîîðäèíàòèçàöèåé åå àíàëèòè÷åñêîãî âîçìóùåíèÿ, ïðîâåäåííîé òîëüêî ÷òî
âûøå. ¤
Ëåììà 10. Ôóíêöèîíàëüíûé êîìïëåêñ
1 → H1(gs(Euniv
R (Q)), C) → H1(gs(Euniv
C/R (Q)), C) → H → 1,
60
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
ãäå H ∼= H1(EQ,H1(Euniv
C/R (Q), EQ)) ïðåäñòàâëÿåò ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî ðå-
øåíèé îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà.
Çàìå÷àíèå. Äàííûé êîìïëåêñ ïðåäñòàâëÿåò ìóëüòèïëèêàòèâíóþ ðåàëè-
çàöèþ ïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà.
Êàê áûëî âûøå ïîêàçàíî, H ∼= H1(EQ,H1(Euniv
C/R (Q), EQ)) = exp(L(EQ, s)).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1. H-èíâàðèàíòû � ðåøåíèÿ îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�
Ïóàññîíà.
Ôàçîâûé ïîòîê îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ôîðìàëüíîãî àíàëèòè÷åñêîãî âîçìóùåíèÿ ôàçîâîãî ïîòîêà âîë÷êà Ýé-
ëåðà:
dM
dt
= H1(gs(H0 + εH1), gs(H0)(xE(t))),
ãäå xE(t) ∈ {xE(t)} � ïðîñòðàíñòâî ôàçîâûõ òðàåêòîðèé âîë÷êà Ýéëåðà.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðåäñòàâëåíèå ôàçîâûõ ïîòîêîâ gs(H0) è gs(H0+
+εH1) â îðòîãîíàëüíîé ãðóïïå O(3) òðåõìåðíîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà
E3. Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïà îäíîìåðíûõ ãîìîëîãèé â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèé
ïðåäñòàâëÿåò ýêâèâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ñëîåíèå â ïðîñòðàíñòâå E3. Ïîýòîìó
çíàê ðàâåíñòâà â ýòîì óðàâíåíèè èìååò ñìûñë ðàâåíñòâà âåêòîðîâ â òðåõìåð-
íîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E3.
Íàøà öåëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ãðóïïà îäíîìåðíûõ ãî-
ìîëîãèé G ∼= H1(gs(H0 + εH1), gs(H0)(xE(t))) ýêâèâàëåíòíà ïðàâûì ÷àñòÿì
îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà â èñõîäíîé çàïèñè (1), (2) èç íà÷àëà äàí-
íîé ðàáîòû.
Òîãäà óòâåðæäåíèå ëåììû áóäåò ñëåäîâàòü èç èçîìîðôèçìà ýêâèâàðèàíò-
íîé äâîéñòâåííîñòè
H1(gs(H0 + εH1), gs(H0)(xE(t))) ∼= H1(gs(H0 + εH1), gs(H0)(xE(t))).
Ïîýòîìó íà÷íåì ïîñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿòü ýêâèâàðèàíòíûå ïðåîáðàçîâà-
íèÿ, ïðèâîäÿùèå ãðóïïó G ê ïðàâûì ÷àñòÿì îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàñ-
ñîíà.
Èç ìîäåëè ëåììû 5 ñëåäóåò, ÷òî èìåþòñÿ èçîìîðôèçìû:
H1(gs(H0 + εH1), gs(H0)(xE(t))) = H1(gs(Euniv
C/R (Q)), xE(t)) =
= H1(gs(D2 ⊗R Euniv
R (Q)⊗R D2), xE(t)),
ãäå D2 � ÷åòâåðíàÿ ãðóïïà Êëåéíà (ñì. [8]), çíàê ðàâåíñòâà ìåæäó ãðóïïà-
ìè ýêâèâàðèàíòíûõ îäíîìåðíûõ ãîìîëîãèé çäåñü è äàëåå îçíà÷àåò ðàâåíñòâî
âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå E3 â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå.
Ãðóïïà H1(gs(D2⊗R Euniv
R (Q)⊗R D2) äîïóñêàåò ñëåäóþùåå ðàñùåïëåíèå:
H1(gs(D2 ⊗R Euniv
R (Q)⊗R D2), xE(t)) =
= H1(gs(Euniv
R (Q)⊗R D2), xE(t)) + H1(gs(D2 ⊗R Euniv
R (Q)), xE(t)) =
61
Ä.Ë. Àáðàðîâ
= H1(gs(Euniv
R (Q)), xE(t)) + H1(gs((Euniv
R (Q))∗), xE(t)),
ïîñêîëüêó èìåþòñÿ ñëåäóþùèå êàíîíè÷åñêèå ýêâèâàðèàíòíûå èçîìîðôèçìû:
gs(Euniv
R (Q))⊗R D2
∼= gs(Euniv
R (Q)), D2 ⊗R gs(Euniv
R (Q)) ∼= gs((Euniv
R (Q))∗).
Ïîéäåì äàëåå. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ýêâèâàðèàíòíàÿ äâîé-
ñòâåííîñòü ìåæäó ýëëèïòè÷åñêèìè êðèâûìè Euniv
R (Q)(c1, c2),
(Euniv
R (Q))∗(c∗1, c
∗
2) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïàðàìè áàçèñíûõ öèêëîâ {c1, c2} è
{c∗1, c∗2}:
(Euniv
R (Q))(c1, c2) ∼= (Euniv
R (Q))∗(c∗1, c
∗
2), c∗1 ∼= c2, c∗2 ∼= c1.
Ïîñêîëüêó ìîäåëü ëåììû 4 ïðåäñòàâëÿåò ôàçîâóþ äèíàìèêó èìåííî âîë÷êà
Ýéëåðà, òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
H1(gs(Euniv
R (Q)), xE(t)) = [M(t), ω(t)].
Âìåñòå ñ òåì, èç óêàçàííîé âûøå äâîéñòâåííîñòè êðèâûõ Euniv
R (Q), (Euniv
R (Q))∗
ñëåäóåò, ÷òî
H1(gs((Euniv
R (Q))∗), xE(t)) = [M∗(t), ω∗(t)],
ãäå âåêòîðû M∗(t),ω∗(t) � âåêòîðû òðåõìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà,
äâîéñòâåííûå ê âåêòîðàì M ,ω îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ ýêâèâàðèàíòíîé
äâîéñòâåííîñòè T∗SO(3, R) ∼= T ∗SO(3, R) êàñàòåëüíîãî è êîêàñàòåëüíîãî ïðî-
ñòðàíñòâ ê óíèâåðñàëüíîé êîíôèãóðàöèîííîé ñèììåòðèè èñõîäíîé çàäà÷è �
ãðóïïå SO(3, R).
Èòàê, ìû óñòàíîâèëè ñòðóêòóðíóþ ýêâèâàëåíòíîñòü ïðàâûõ ÷àñòåé ðàñ-
ñìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé. Òåïåðü óñòàíîâèì ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë âåêòîðîâ
ω∗(t), M∗(t). Óñëîâèå ýêâèâàðèàíòíîñòè èçîìîðôèçìà T∗SO(3, R) ∼=∼= T ∗SO(3, R), ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ω ∈ T ∗SO(3, R) è M = I · ω ∈ T ∗SO(3, R),
âûãëÿäèò òàê
T ∗SO(3, R⊗ Z2[t → −t])[M(t), ω(t)]
D∼= T∗SO(3, R⊗ Z2[t → −t])[M∗(t),ω∗(t)],
ãäå Z2[t → −t] � îòîáðàæåíèå èíâîëþöèè îáðàòèìîñòè ïî âðåìåíè îáùèõ
óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà, îáóñëàâëèâàþùåå óñëîâèå ýêâèâàðèàíòíîñòè.
Èç èçîìîðôèçìà ýêâèâàðèàíòíîé äâîéñòâåííîñòè D ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð
M∗(t) ïðèîáðåòàåò ñìûñë âåêòîðà ñèëû òÿæåñòè, ìîìåíò êîòîðîé â îáùåì
ñëó÷àå èìååò óæå íåíóëåâîå çíà÷åíèå ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì âîë÷êà Ýéëå-
ðà. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð ω∗(t) ïðèîáðåòàåò ñìûñë âåêòîðà ñìåùåíèÿ öåíòðà
ìàññ àíàëèòè÷åñêîãî âîçìóùåíèÿ âîë÷êà Ýéëåðà.
Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíà êàê ñòðóêòóðíàÿ, òàê è ôèçè÷åñêàÿ ýêâè-
âàëåíòíîñòü ïðàâûõ ÷àñòåé ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé. Ïîýòîìó âåêòîð-
íîçíà÷íûå H-èíâàðèàíòû H1(gs(H0+εH1), gs(H0)(xE(t))) äåéñòâèòåëüíî óäî-
âëåòâîðÿþò îáùèì óðàâíåíèÿì Ýéëåðà�Ïóàññîíà.
2. Óíèâåðñàëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà H-èíâàðèàíòîâ.
62
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
Ñâîéñòâî óíèâåðñàëüíîñòè (èëè ïîëíîòû) ïðîñòðàíñòâà èíâàðèàíòîâ H
ñëåäóåò èç óíèâåðñàëüíîñòè êðèâîé Euniv
C/R (Q). Äåéñòâèòåëüíî, óíèâåðñàëü-
íîñòü êðèâîé Euniv
C/R (Q) âëå÷åò óíèâåðñàëüíîñòü (îáùíîñòü) ðåøåíèÿ
H1(gs(Euniv
C/R (Q)), C), êîòîðîå, êàê óñòàíîâëåíî â äîêàçàòåëüñòâå îñíîâíîé òåî-
ðåìû, èìååò ñòðóêòóðó êîìïëåêñà è ïðåäñòàâëÿåòñÿ ôóíêöèÿìè exp(L(EQ, s)),
ãäå EQ ∈ {EQ}. Ëåììà äîêàçàíà. ¤
6. Ýêâèâàðèàíòíûå àáåëåâû êâàäðàòóðû âîë÷êà Ýéëåðà è ýêñïî-
íåíòû äçåòà-ôóíêöèé ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ íàä Q.
1.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì âçàèìîñâÿçü õîðîøî èçâåñòíûõ êâàä-
ðàòóð âîë÷êà Ýéëåðà è êëàññà ôóíêöèé, ïðåäñòàâëÿþùèõ îáùåå ðåøåíèå äëÿ
âîë÷êîâ, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ�Àðíîëüäó (ñì. ïàðàãðàô 1).
Ïðîöåäóðà, ðåàëèçóþùàÿ äàííóþ âçàèìîñâÿçü, ïî ñóòè, ïðåäñòàâëÿåò ýê-
âèâàðèàíòíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç è ñâîäèòñÿ ê âçÿòèþ â êîíå÷íîì âè-
äå èçâåñòíîé ýëëèïòè÷åñêîé êâàäðàòóðû â ñèëó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ âîë÷êà
Ýéëåðà. Èìåííî ýêâèâàðèàíòíîñòü èñõîäíîãî ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ
(Z2-ãðàäóèðîâàííîãî àáåëåâîãî äèôôåðåíöèàëà) è ïîñëåäóþùåé ïðîöåäóðû
åãî èíòåãðèðîâàíèÿ èãðàþò ðåøàþùóþ ðîëü â ïîëó÷åíèè ðåçóëüòàòà èíòå-
ãðèðîâàíèÿ â êîíå÷íîì âèäå.
Ó÷åò óêàçàííîãî ñâîéñòâà ýêâèâàðèàíòíîñòè òåõíè÷åñêè ðåàëèçóåòñÿ èñ-
ïîëüçîâàíèåì êàíîíè÷åñêîé ìîäåëè ôàçîâîé äèíàìèêè âîë÷êà Ýéëåðà (ëåììà
4). Ïðîâåäåì óêàçàííóþ ïðîöåäóðó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ýòàïàì.
Ðåøåíèÿ âîë÷êà Ýéëåðà, âûðàæàþùèå çàâèñèìîñòè ôèçè÷åñêèõ ïåðåìåí-
íûõ çàäà÷è îò âðåìåíè, ñâîäÿòñÿ ê îáðàùåíèþ êâàäðàòóðû (ñì., íàïðèìåð, [1])
n(t− t0) = ±
∫ u
0
du√
(1− u2)(1− k2u2)
,
ãäå n è k � ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè îò ìîìåíòîâ èíåðöèè A,B, C âîë÷êà è
ïàðàìåòðà D, ïðåäñòàâëÿþùåãî îòíîøåíèå ïîñòîÿííûõ êâàäðàòè÷íûõ èíòå-
ãðàëîâ çàäà÷è.
Òåïåðü îñíîâíàÿ èäåÿ ñîñòîèò â ýêâèâàðèàíòíîì ó÷åòå çíàêà �±� ïåðåä
êâàäðàòóðîé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòîò çíàê îòðàæàåò ñêðûòóþ èíâàðèàíòíîñòü
èñõîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ñèììåòðèè Z2[t → −t] îáðàòèìîñòè ïî âðå-
ìåíè. Ó÷åò äàííîé ñèììåòðèè ïîçâîëÿåò âçÿòü èíòåãðàë â êîíå÷íîì âèäå.
Ïðè ýòîì ñèììåòðèÿ Z2[t → −t] ðåàëèçóåò ýêâèâàðèàíòíóþ ñêëåéêó ôîð-
ìàëüíî íåñâÿçíûõ íàä R äâóõ âåòâåé èñõîäíîé êâàäðàòóðû â ñâÿçíîå ìíîãî-
îáðàçèå íàä îáðàòèìûì âðåìåíåì.
2.  ñèëó ìîäåëè ôàçîâîé äèíàìèêè âîë÷êà Ýéëåðà, ïîñòðîåííîé â ëåììå
4 è ó÷èòûâàþùåé ñèììåòðèþ îáðàòèìîñòè ïî âðåìåíè Z2[t → −t], äàííóþ
êâàäðàòóðó ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
±
∫ u
0
du√
(1− u2)(1− k2u2)
(modZ2[t → −t]) =
63
Ä.Ë. Àáðàðîâ
=
∫ ueq
Euniv,∗
R/Q
dueq√
(1− u2
eq)(1− k2u2
eq)
= I(HE , k),
ãäå ueq � ëîêàëüíûé êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð íà ìîäóëÿðíîé êðèâîé Euniv,∗
R (Q),
ïàðàìåòðèçóþùåé êðèâóþ Euniv
R (Q).
Ñ ìåõàíè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â íîâîé ýêâèâàðèàíò-
íîé ïàðàìåòðèçàöèè èñõîäíûé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ïî âðåìåíè, êîòîðîå
íàòóðàëüíî ïàðàìåòðèçóåò îáðàçû äâîÿêî-àñèìïòîòè÷åñêèõ òðàåêòîðèé ïðè
íåïðåðûâíîì ðàçðåøåíèè ñåïàðàòðèñû âîë÷êà Ýéëåðà îò îñîáåííîñòåé ñ ïî-
ìîùüþ îòîáðàæåíèÿ Z2[t → −t].
3. Èíòåãðàë I(HE , k) (ýòî âåêòîðíîçíà÷íûé îáúåêò) äîïóñêàåò êàíîíè-
÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç ýêâèâàðèàíòíûå ÷àñòè÷íûå ñóììû. Äàííîå ïðåä-
ñòàâëåíèå ðåàëèçóåò ýêâèâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ðèìàíà äëÿ êâàä-
ðàòóðû I(HE , k) è, â ñîîòâåòñòâèè ñ ìîäåëüþ ëåììû 4, èìååò âèä
I(HE , k) =
∑
p
H0(A(R)⊗PSL2(Q[k]) A(R), Fp)),
ãäå Q[k] ∼= Q⊗R k, A � àáñîëþò ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî.
4. Ìíîãîçíà÷íàÿ ãðóïïà H0(A(R)⊗PSL2(Q[k]) A(R), Fp)) ïðåäñòàâëÿåò êà-
íîíè÷åñêè îïðåäåëåííóþ ýêâèâàðèàíòíóþ ÷àñòè÷íóþ ñóììó Ip(HE , k) äëÿ
ñóììû Ðèìàíà èíòåãðàëà I(HE , k). ×àñòè÷íàÿ ñóììà Ip(HE , k) ýôôåêòèâ-
íî âû÷èñëÿåòñÿ íà îñíîâå ñâîéñòâ ìîäåëè ôàçîâîé äèíàìèêè âîë÷êà Ýéëåðà
ëåììû 4, à òàêæå ëåììû 6:
Ip(HE , k) = H0(A(R)⊗PSL2(Q[k]) A(R), Fp)) = exp
( ∞∑
n=1
|Euniv
p (Fpn)|un
n
)
,
ãäå Fpn � ïîëå èç pn ýëåìåíòîâ, u = p−s, Euniv
p � ðåäóêöèÿ ýëëèïòè÷åñêîé
êðèâîé Euniv
R (Q[k]) ïî ìîäóëþ p.
5. Èç îïðåäåëåíèÿ ëîêàëüíîé äçåòà-ôóíêöèè êðèâîé EQ (ñì. [12]) ñëåäóåò,
÷òî
Ip(HE , k) = ζ(s,Euniv
p ),
ãäå ζ(s,Euniv
p ) � äçåòà-ôóíêöèÿ ðåäóêöèè êðèâîé Euniv
Q [k] íà êðèâóþ Euniv
p
∼=
∼= Euniv
Q [k](mod p).
6. Îáúåäèíèì ãðóïïîâûå ÷àñòè÷íûå ñóììû ï. 4. Ýòî îáúåäèíåíèå ñîîòâåò-
ñòâóåò ýêâèâàðèàíòíîé ñêëåéêå ëîêàëüíûõ äçåòà-ôóíêöèé ζ(s,Euniv
p ). Â ñèëó
ïëîñêîé ñòðóêòóðû Euniv
R (Q[k]) (ñòðóêòóðû àáåëåâîãî ìíîãîîáðàçèÿ) è ñ ó÷å-
òîì êîíñòðóêöèè óíèâåðñàëüíîé êðèâîé Euniv
R (Q) â ëåììå 2 ýêâèâàðèàíòíàÿ
ñêëåéêà ðåàëèçóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì îòîáðàæåíèåì
I(HE , k) = exp( lim
p→∞ ζ(s,Ep ⊗ Euniv
R (Q[k]))) =
64
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
= exp(ζ(s,EQ ⊗ Euniv
R (Q[k]))) = exp(ζ(s, {Esemist
Q[k] })),
ãäå {Esemist
Q [k]} � ìíîæåñòâî ïîëóñòàáèëüíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ íàä Q[k]
(ýòî ñëåäóåò èç çàìå÷àíèÿ ê ëåììå 2 î ïîëóñòàáèëüíîñòè êðèâîé Euniv
R (Q)).
Ïîñêîëüêó èìååòñÿ èçîìîðôèçì ïîëåé Q ∼= Q[k], òî ïîëó÷àåì, ÷òî
I(HE , k) = exp(ζ(s, {Esemist
Q[k] })) = exp(ζ(s, {Esemist
Q })),
ãäå {Esemist
Q } � ìíîæåñòâî ïîëóñòàáèëüíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ íàä Q.
7. Çàìåòèì, ÷òî èñõîäíûé èíòåãðàë I(HE , k) è åãî îáðàùåíèå (îáîçíà-
÷èì åãî I−1(HE , k, n)) èçîìîðôíû êàê âåêòîðíîçíà÷íûå ñèììåòðèè. Äåé-
ñòâèòåëüíî, èç êîíñòðóêöèè êðèâûõ Euniv
R (Q) è Euniv,∗
R (Q) è èçîìîðôèçìà
Q ∼= Q ⊗Q[k] n ∼= Q[n, k] ñëåäóåò, ÷òî èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå âåêòîðíîçíà÷-
íûå ðàâåíñòâà:
I(HE , k) = H1(gs(Euniv,∗
R (Q)), C) = H1((gs(Euniv
R (Q[n, k])))−1, C) =
= H1((gs(Euniv
R (Q)))−1, C) = I−1(HE , k, n).
8. Èç ï.ï. 6, 7 îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ îáðàùåíèÿ êâàäðà-
òóðû I(HE):
I−1(HE , k, n) = exp(ζ(s, {Esemist
Q })).
9. Âåêòîðíîçíà÷íàÿ ñèììåòðèÿ I−1(HE) ïðåäñòàâëÿåò äèíàìèêó âåêòîðà
êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà âîë÷êà Ýéëåðà ME(t), ïîñêîëüêó â ñèëó ëåììû 4
êðèâàÿ Euniv
R (Q) ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíîé êðèâîé èìåííî âîë÷êà Ýéëåðà.
10. Îáñóäèì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Èòàê, ñëó÷àé Ýéëåðà âûäåëÿåòñÿ ñðå-
äè äðóãèõ ñëó÷àåâ òî÷íîé ðàçðåøèìîñòè òåì, ÷òî åãî ðåøåíèÿ ïðåäñòàâëÿ-
þòñÿ äçåòà-ôóíêöèÿìè ïîëóñòàáèëüíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ íàä Q. Ïîëó-
ñòàáèëüíûå ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå Esemist
Q íàä Q ñîñòàâëÿþò õîòÿ è áîëüøîå,
íî âåñüìà ñïåöèàëüíîå ïîäìíîæåñòâî âî ìíîæåñòâå âñåõ ýëëèïòè÷åñêèõ êðè-
âûõ EQ. Â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ýòî êðèâûå îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ïîñêîëüêó
â òî÷êàõ èõ ñàìîïåðåñå÷åíèÿ íà àôôèííîé ïëîñêîñòè êàñàòåëüíûå òðàíñ-
âåðñàëüíû. Âìåñòå ñ òåì, ïîëóñòàáèëüíûå êðèâûå Esemist
Q èìåþò ìåíüøóþ
ñîáñòâåííóþ ñèììåòðèþ, ÷åì, íàïðèìåð, êðèâûå EQ ñ êîìïëåêñíûì óìíîæå-
íèåì (ðåøåòêà òàêîé êðèâîé EQ ïåðåâîäèòñÿ â ñåáÿ óìíîæåíèåì íà íåêîòîðîå
êîìïëåêñíîå, íå ëåæàùåå â Z).
Ñ äèíàìè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîëóñòàáèëüíûå êðèâûå Esemist
Q ïîñëå ýêâè-
âàðèàíòíîé ïåðåíîðìèðîâêè (Esemist,eq
Q
∼= Esemist
Q ⊗Z2[t → −t]) ïðåäñòàâëÿþò
îðáèòû òèïîâ íåïðåðûâíîãî (êëàññà C0) ýêâèâàðèàíòíîãî ðàçðåøåíèÿ íàä
ïîëåì R ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà (ðàâíîãî òðåì) ñåïàðàòðèñû äèíàìèêè âîë÷êà
Ýéëåðà:
{Esemist,eq
Q } ∼= H1({Isomrk=3(Λ)⊗PSL2(Q)} Isom(A(R)), C),
65
Ä.Ë. Àáðàðîâ
ãäå {Isomrk=3(Λ)⊗PSL2(Q) Isom(A(R))}, â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 2, ïðåäñòàâ-
ëÿåò ìíîæåñòâî íåïðèâîäèìûõ êîìïîíåíò ïîäãðóïïû èçîìåòðèé ìîäåëè ëåì-
ìû 2, ñîîòâåòñòâóþùåé óñëîâèþ ðàâåíñòâà ðàíãà òðåì.
Èçìåíåíèå äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèé âîë÷êà Ýéëåðà èíäóöè-
ðóåò äåôîðìàöèþ ôîðìû âîë÷êà è ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ ïàðàìåòðà k,
ïðèîáðåòàþùåãî ñìûñë ïàðàìåòðà óêàçàííîé äåôîðìàöèè.
Èç ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ äëÿ ME(t) ñëåäóåò, ÷òî ôèçè÷åñêîé äåôîð-
ìàöèè âîë÷êà, ñîîòâåòñòâóþùåé èçìåíåíèþ åãî ãåîìåòðèè ìàññ ïîñðåäñòâîì
èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà k, îòâå÷àåò èçìåíåíèå ñïåêòðàëüíîé êðèâîé âîë÷êà â
êëàññå ïîëóñòàáèëüíûõ êðèâûõ EQ.
7. Äðóãèå ïðèìåðû.
1. Äëÿ ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà ïðîöåäóðà ýêâèâàðèàíòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñî-
îòâåòñòâóþùèõ êâàäðàòóð ïðîõîäèò ïî ïðèâåäåííîé ñõåìå äëÿ ñëó÷àÿ Ýéëå-
ðà.  ðåçóëüòàòå äëÿ âåêòîðà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ML(t) ìîæíî ïîëó÷èòü,
÷òî
ML(t) = exp(ζ(1− s, {Esemist
Q })),
ãäå {Esemist
Q } � òàêæå ìíîæåñòâî ïîëóñòàáèëüíûõ êðèâûõ EQ.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèè ζ(s,EQ) è ζ(1 − s, EQ) ñâÿçàíû ôóíêöèîíàëüíûì
óðàâíåíèåì, òî óòâåðæäåíèå î ñòðóêòóðå îáùåãî ðåøåíèÿ äëÿ óðàâíåíèé
Ýéëåðà�Ïóàññîíà, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ�Àðíîëüäó â êëàññå ζ(s, EQ)-
ôóíêöèé (ñì. ïàðàãðàô 1), âûïîëíÿåòñÿ. Áîëåå òîãî, âîçíèêàåò èíòåðåñíàÿ
êàíîíè÷åñêàÿ äâîéñòâåííîñòü âîë÷êà Ýéëåðà è âîë÷êà Ëàãðàíæà.
2. Êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò MK(t) âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â êîíòåêñòå ðàçâèâà-
åìîãî ïîäõîäà äîëæåí (ýòî ïðåäïîëîæåíèå) âûðàæàòüñÿ òàê
MK(t) = exp(ζ(s,ECM
Q )),
ãäå ECM
Q � íåêîòîðàÿ êðèâàÿ EQ ñ òàê íàçûâàåìûì �êîìïëåêñíûì óìíîæå-
íèåì� (ñîîòâåòñòâóþùåå îïðåäåëåíèå ñì. â [15]).
3.  êà÷åñòâå �ìèíèìàëüíûõ� ïðèìåðîâ âîë÷êîâ ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷å-
ñêèå ìàÿòíèêè. Ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ, êîäèðóþùàÿ ïðîñòðàíñòâåííûé ìà-
ÿòíèê, òàêîâà
EQ = {y2 = x3 + 16}.
Äàííàÿ êðèâàÿ ïðåäñòàâëÿåò îðáèòó íåïðåðûâíîãî (êëàññà C0) ýêâèâàðèàíò-
íîãî ðàçðåøåíèÿ åäèíè÷íîãî ðàíãà ñåïàðàòðèñû ôàçîâîé äèíàìèêè âîë÷êà
Ýéëåðà, ðåàëèçîâàííîé ïðîñòðàíñòâîì Eeq
Q
∼= EQ ⊗ Z2[t → −t] ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
Eeq
Q
∼= H1(Isomrk=1(Λ)⊗PSL2(Q) Isom(A(R), C)),
ãäå Eeq
Q � ýêâèâàðèàíòíàÿ ïåðåíîðìèðîâêà êðèâîé EQ è ñîîòâåòñòâóþùèå
èçîìåòðèè îïðåäåëåíû â ìîäåëè ëåììû 2 (ñì. òàêæå ï. 10 ïàðàãðàôà 6).
66
Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü è êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü
×èñëî �16�, â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 3, ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì íóëüìåð-
íûì èíâàðèàíòîì ìîäåëüíîé ñèììåòðèè, òàêæå êàíîíè÷åñêè ñâÿçàííîé ñ êðè-
âîé EQ:
16 = H0(Isomrk=1(Λ)⊗PSL2(Q) Isom(A(R), C)) ∼=
∼= H0(c1(E
eq
Q ), c2(E
eq
Q )) ∼= H0(D+,×
2 , D×,+
2 ) ∼= H0([D+
2 , D×
2 ], [D×
2 , D+
2 ]),
ãäå c1(E
eq
Q ), c2(E
eq
Q ) � êàíîíè÷åñêèå öèêëû êðèâîé Eeq
Q , îïåðàòîðû D+
2 , D×
2 ,
D+,×
2 , D×,+
2 ïðåäñòàâëÿþò ñîîòâåòñòâåííî: àääèòèâíóþ, ìóëüòèïëèêàòèâíóþ,
àääèòèâíî-ìóëüòèïëèêàòèâíóþ, ìóëüòèïëèêàòèâíî-àääèòèâíóþ çàïèñè
÷åòûðåõýëåìåíòíîé ãðóïïû Êëåéíà D2.
4. Ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ, êîäèðóþùàÿ êëàññè÷åñêèé (ïëîñêèé) ìàòåìà-
òè÷åñêèé ìàÿòíèê, òàêîâà: EQ = {y2 = x3 +8}. Äàííàÿ êðèâàÿ ïðåäñòàâëÿ-
åò îðáèòó íåïðåðûâíîãî (êëàññà C0) ýêâèâàðèàíòíîãî ðàçðåøåíèÿ íóëåâîãî
ðàíãà ñåïàðàòðèñû ôàçîâîé äèíàìèêè âîë÷êà Ýéëåðà, ðåàëèçîâàííîé ïðî-
ñòðàíñòâîì Eeq
Q
∼= EQ ⊗ Z2[t → −t] ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Eeq
Q
∼= H1(Isomrk=0(Λ)⊗PSL2(Q) Isom(A(R), C)).
×èñëî �8�, â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 3, ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì íóëüìåðíûì
èíâàðèàíòîì ìîäåëüíîé ñèììåòðèè, òàêæå êàíîíè÷åñêè ñâÿçàííîé ñ êðèâîé
EQ, è ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì âûðîæäåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî íóëüìåðíîãî
èíâàðèàíòà äëÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ìàÿòíèêà:
8 = H0(Isomrk=0(Λ)⊗PSL2(Q) Isom(A(R), C)) ∼= H0(id[D2, D2], id[D2, D2]) ∼=
∼= H0(Diag[D2, D2], Diag[D2, D2]) ∼= H0(D2, D2).
Àâòîð áëàãîäàðèò À.Ì. Êîâàëåâà çà îòíîøåíèå, ñòèìóëèðîâàâøåå ïîäãî-
òîâêó äàííîé ðàáîòû.
Äàííàÿ ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ãðàíòîâ ÐÔÔÈ
� 05�01�00454, � 07�01�00295 è ãðàíòà Âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë
ÍØ�6667.2007.1.
1. Ãîëóáåâ Â.Â. Ëåêöèè ïî èíòåãðèðîâàíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà
îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè. � Ì.: ÃÈÒÒË, 1953. � 287 c.
2. Äîêøåâè÷ À.È. Ðåøåíèÿ â êîíå÷íîì âèäå óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà. � Ì.-Èæåâñê:
ÍÈÖ �Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà�, 2004. � 172 ñ.
3. Áðþíî À.Ä. Íîðìàëüíûå ôîðìû è èíòåãðèðóåìîñòü óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà //
Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2005. � Âûï. 35. � Ñ. 3�18.
4. Áîðèñîâ À.Â., Ìàìàåâ È.Ñ. Äèíàìèêà òâåðäîãî òåëà. � Èæåâñê: ÍÈÖ �Ðåãóëÿðíàÿ è
õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà�, 2001. � 384 ñ.
5. Êîçëîâ Â.Â. Ìåòîäû êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà. � Èæåâñê: ÍÈÖ
�Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà�, 2000. � 256 ñ.
6. Êîçëîâ Â.Â. Ñèììåòðèè, òîïîëîãèÿ è ðåçîíàíñû. � Èæåâñê: Èçä-âî Óäìóðò. ãîñ. óí-òà,
1995. � 432 ñ.
67
Ä.Ë. Àáðàðîâ
7. Àðíîëüä Â.È., Êîçëîâ Â.Â., Íåéøòàäò À.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå àñïåêòû êëàññè÷åñêîé
è íåáåñíîé ìåõàíèêè. � Ì.: Ýäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2002. � 416 ñ.
8. Àáðàðîâ Ä.Ë.Êîíñòðóêòèâíàÿ ðàçðåøèìîñòü îáùèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà. Ïðè-
ëîæåíèå ê çàäà÷å òðåõ òåë. � Ì.: ÂÖ ÐÀÍ, 2005. � 183 ñ.
9. Àáðàðîâ Ä.Ë. Òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü îáùåé çàäà÷è î òÿæåëîì âîë÷êå. � Ì.: ÂÖ ÐÀÍ,
2007. � 194 ñ.
10. Êîâàëåâñêàÿ Ñ.Â. Çàäà÷à î âðàùåíèè òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè //
Ñ.Â. Êîâàëåâñêàÿ. Íàó÷í. ðàáîòû. � M.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1948. � Ñ. 153�220.
11. Õàðëàìîâ Ï.Â. Èçáðàííûå òðóäû. � Êèåâ: Íàóêîâà äóìêà, 2005. � 256 ñ.
12. Êíýïï Ý. Ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå / Ïåð. ñ àíãë. Ô.Þ. Ïîïåëåíñêîãî. � Ì.: Ôàêòîðèàë
ïðåññ, 2004. � 488 ñ.
13. Äóáðîâèí Á.À., Íîâèêîâ Ñ.Ï., Ôîìåíêî À.Ò. Ñîâðåìåííàÿ ãåîìåòðèÿ: ìåòîäû è ïðè-
ëîæåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1986. � 760 ñ.
14. Øàôàðåâè÷ È.Ð. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ àëãåáðû. � Ñîâðåìåííûå íàïðàâëåíèÿ ìàòåìàòèêè
/ Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Ñåð. Ñîâðåì. ïðîáë. ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíò. íàïðàâëåíèÿ.
ÂÈÍÈÒÈ ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1985. � 11. � 288 ñ.
15. Ïðàñîëîâ Â.Â, Ñîëîâüåâ Þ.Ï. Ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè è àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
� Ì.: Èçä-âî �Ôàêòîðèàë�, 1997. � 288 ñ.
Âû÷èñëèò. öåíòð èì. À.À. Äîðîäíèöûíà ÐÀÍ, Ìîñêâà, Ðîññèÿ
abrarov@ccas.ru
Ïîëó÷åíî 20.12.07
68
|