Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле

Для вполне интегрируемой системы с тремя степенями свободы (случай А.Г. Реймана и М.А.Семенова-Тян-Шанского) найдено множество точек, в которых ранг интегрального отображения равен единице. Тем самым определены все особые периодические решения, порождающие узловые точки бифуркационной диаграммы. Все...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Харламов, М.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2007
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27939
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 85-96. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-27939
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-279392011-10-25T12:10:31Z Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле Харламов, М.П. Для вполне интегрируемой системы с тремя степенями свободы (случай А.Г. Реймана и М.А.Семенова-Тян-Шанского) найдено множество точек, в которых ранг интегрального отображения равен единице. Тем самым определены все особые периодические решения, порождающие узловые точки бифуркационной диаграммы. Все фазовые переменные выражены через набор постоянных и одну вспомогательную переменную, для которой выписано дифференциальное уравнение, интегрируемое в эллиптических функциях времени. Показано, что соответствующие точки в трехмерном пространстве констант первых интегралов лежат на пересечении двух листов дискриминантной поверхности представления Лакса. 2007 Article Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 85-96. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27939 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Для вполне интегрируемой системы с тремя степенями свободы (случай А.Г. Реймана и М.А.Семенова-Тян-Шанского) найдено множество точек, в которых ранг интегрального отображения равен единице. Тем самым определены все особые периодические решения, порождающие узловые точки бифуркационной диаграммы. Все фазовые переменные выражены через набор постоянных и одну вспомогательную переменную, для которой выписано дифференциальное уравнение, интегрируемое в эллиптических функциях времени. Показано, что соответствующие точки в трехмерном пространстве констант первых интегралов лежат на пересечении двух листов дискриминантной поверхности представления Лакса.
format	Article
author	Харламов, М.П.
spellingShingle	Харламов, М.П. Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле Механика твердого тела
author_facet	Харламов, М.П.
author_sort	Харламов, М.П.
title	Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле
title_short	Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле
title_full	Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле
title_fullStr	Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле
title_full_unstemmed	Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле
title_sort	особые периодические движения гиростата ковалевской в двойном поле
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2007
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27939
citation_txt	Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 85-96. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT harlamovmp osobyeperiodičeskiedviženiâgirostatakovalevskojvdvojnompole
first_indexed	2025-07-03T07:55:36Z
last_indexed	2025-07-03T07:55:36Z
_version_	1836611627621810176
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2007. Âûï. 37 ÓÄÊ 531.38 c©2007. Ì.Ï.Õàðëàìîâ ÎÑÎÁÛÅ ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÄÂÈÆÅÍÈß ÃÈÐÎÑÒÀÒÀ ÊÎÂÀËÅÂÑÊÎÉ Â ÄÂÎÉÍÎÌ ÏÎËÅ Äëÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû ñ òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (ñëó÷àé À.Ã. Ðåéìàíà è Ì.À.Ñåìåíîâà�Òÿí-Øàíñêîãî) íàéäåíî ìíîæåñòâî òî÷åê, â êîòîðûõ ðàíã èíòåãðàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ ðàâåí åäèíèöå. Òåì ñàìûì îïðåäåëåíû âñå îñîáûå ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ, ïîðîæäàþùèå óçëîâûå òî÷êè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Âñå ôàçîâûå ïåðåìåííûå âûðà- æåíû ÷åðåç íàáîð ïîñòîÿííûõ è îäíó âñïîìîãàòåëüíóþ ïåðåìåííóþ, äëÿ êîòîðîé âûïèñàíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, èíòåãðèðóåìîå â ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ âðåìåíè. Ïîêà- çàíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ëåæàò íà ïåðåñå÷åíèè äâóõ ëèñòîâ äèñêðèìèíàíòíîé ïîâåðõíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ Ëàêñà. 1. Ââåäåíèå. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà â äâîéíîì ïîëå I dω dt = (Iω + λ)× ω + r1 ×α + r2 × β, dα dt = α× ω, dβ dt = β × ω, (1) îòíåñåííûå ê æåñòêî ñâÿçàííîìó ñ òåëîì òðèýäðó Oe1e2e3 ãëàâíûõ îñåé èíåð- öèè â íåïîäâèæíîé òî÷êå O. Ïîëàãàåì, ÷òî ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè ïîä- ÷èíåíû îòíîøåíèþ Êîâàëåâñêîé 2 : 2 : 1, ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò íàïðàâëåí ïî îñè äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè λ = λ e3 (λ = const), à ïîñòîÿííûå â òåëå ðàäèóñ-âåêòîðû öåíòðîâ ïðèëîæåíèÿ ñèë r1, r2 ïàðàëëåëüíû ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè Oe1e2. Â ðàáîòå [1] äîêàçàíà ïîëíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü îãðàíè÷åíèÿ ýòîé ñèñòåìû íà ëþáîé ñîâìåñòíûé óðîâåíü P 6 òðåõ ãåîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðà- ëîâ â R9(ω, α, β). Êàê ïîêàçàíî â ðàáîòàõ [2] è [3], ëèíåéíîé çàìåíîé ïåðåìåííûõ ñ ïîñòî- ÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñèñòåìà (1) ñâîäèòñÿ ê òàêîé, ó êîòîðîé r1 = e1, r2 = e2, α⊥β (óêàçàííûå â [2, 3] ïîäñòàíîâêè ïðèìåíèìû ïðè íàëè÷èè ãè- ðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà, íàïðàâëåííîãî ïî îñè äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè). Â äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàåòñÿ íåñâîäèìûé ê äâóì ñòåïåíÿì ñâîáîäû ñëó÷àé \|α\| 6= \|β\| 6= 0. Ïîýòîìó áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ðàññìàòðèâàåì ãåîìåòðè- ÷åñêèå èíòåãðàëû α·α = a2, β·β = b2, α·β = 0 (2) ñ ïîñòîÿííûìè a > b > 0. (3) Åäèíèöû èçìåðåíèÿ âûáèðàåì òàê, ÷òî I = diag{2, 2, 1}. Òîãäà òðîéêà 85 Ì.Ï.Õàðëàìîâ èíòåãðàëîâ â èíâîëþöèè íà óðîâíå (2) çàïèøåòñÿ â âèäå H = ω2 1 + ω2 2 + 1 2 ω2 3 − α1 − β2 − λ2 2 , K = (ω2 1 − ω2 2 + α1 − β2)2 + (2ω1ω2 + α2 + β1)2+ + 2λ[(ω3 − λ)(ω2 1 + ω2 2) + 2ω1α3 + 2ω2β3], G = 1 4 (M2 α + M2 β) + 1 2 (ω3 − λ)Mγ − b2α1 − a2β2. (4) Çäåñü Mα = (Iω + λ)·α, Mβ = (Iω + λ)·β, Mγ = (Iω + λ)·(α× β), à ñäâèã ýíåðãèè íà êîíñòàíòó −λ2/2 âûïîëíåí äëÿ ñîïîñòàâèìîñòè ñ îáîçíà- ÷åíèÿìè ðàáîòû [1] è áîëåå ïîäðîáíîé ðàáîòû [4]. Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàë K â òàêîì âèäå äëÿ ãèðîñòàòà â äâîéíîì ïîëå âïåðâûå óêàçàë Õ.Ì. ßõüÿ [5], à èíòåãðàë G, îáîáùàþùèé êâàäðàò èíòåãðàëà ìîìåíòà êëàññè÷åñêîé çàäà- ÷è, íàéäåí À.Ã. Ðåéìàíîì è Ì.À. Ñåìåíîâûì�Òÿí-Øàíñêèì [1] ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåííîãî èìè ïðåäñòàâëåíèÿ Ëàêñà äëÿ ñèñòåìû (1). Ðàññìîòðèì èíòåãðàëüíîå îòîáðàæåíèå J = H ×K ×G : P 6 → R3. (5) Åãî óðîâíè J−1(h, k, g) ïðè âñåõ (h, k, g) ∈ R3 çàäàþò â P 6 ñëîåíèå Ëèóâèë- ëÿ. Åñëè ñèñòåìà (1) íà P 6 íåâûðîæäåíà (à îíà ÿâëÿåòñÿ òàêîâîé, íàïðè- ìåð, äëÿ êëàññè÷åñêîãî àíàëîãà), òî ïåðèîäè÷åñêèå òðàåêòîðèè, îòâå÷àþùèå ðåçîíàíñíûì òîðàì, âñþäó ïëîòíû â P 6. Îäíàêî òàêèå òðàåêòîðèè íå ïðåä- ñòàâëÿþò èíòåðåñà ñ òî÷êè çðåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ èëè òî- ïîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà ñèñòåìû. Äëÿ ïîñëåäíåãî ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàþò îñîáûå, óçëîâûå òî÷êè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû Σ(J) ⊂ R3 îòîáðàæåíèÿ J [6]. Ðàññìàòðèâàÿ Σ(J) êàê äâóìåðíûé êëåòî÷íûé êîìïëåêñ, ïîëó÷àåì, ÷òî îñîáûå òî÷êè � ýòî îáúåäèíåíèå îñòîâîâ ðàçìåðíîñòè 0 è 1. Íóëüìåðíûé îñòîâ îòâå÷àåò íåïîäâèæíûì òî÷êàì ñèñòåìû, êîòîðûõ, êàê ïîêàçàíî â [7], ðîâíî ÷åòûðå íà êàæäîì èç ìíîãîîáðàçèé P 6, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì (3). Ñóùåñòâåííî áîëåå ñëîæåí âîïðîñ î íàõîæäåíèè îñîáûõ òî÷åê Σ(J), îáðàçóþ- ùèõ 1-êëåòêè. Â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ýòèì òî÷êàì îòâå÷àþò ïåðèîäè÷åñêèå òðàåêòîðèè, ñàìè ÿâëÿþùèåñÿ îäíîìåðíûìè òîðàìè Ëèóâèëëÿ, òî åñòü òàêèå çàìêíóòûå îðáèòû, â òî÷êàõ êîòîðûõ rankJ = 1. Òàêèå òðàåêòîðèè íàçûâàåì îñîáûìè ïåðèîäè÷åñêèìè äâèæåíèÿìè (ÎÏÄ). Äëÿ êëàññè÷åñêîãî ñëó÷àÿ (âîë÷îê Êîâàëåâñêîé â ïîëå ñèëû òÿæåñòè) ÎÏÄ ÿâëÿþòñÿ ðàâíîìåðíûìè âðàùåíèÿìè âîêðóã âåðòèêàëè. Äëÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå (óðàâíåíèÿ (1) ïðè λ = 0) ìíîæåñòâî ÎÏÄ, êàê ïîêàçàíî â [8], èñ÷åðïûâàåòñÿ ñåìåéñòâàìè ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé îêî- ëî ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè, îòìå÷åííûìè â [2], è ñåìåéñòâàìè êðèòè÷åñêèõ òðàåêòîðèé îáîáùåííîãî ñëó÷àÿ Äåëîíå [9], âïåðâûå îïèñàííûìè â [10] è ïðî- èíòåãðèðîâàííûìè â [11]. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â ñëó÷àå ãèðîñòàòà èç âñåõ 86 Îñîáûå ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé ñîõðàíÿþòñÿ òîëüêî ñëåäóþùèå: α = a(e1 cosϕ− e2 sinϕ), β = ±b(e1 sinϕ + e2 cosϕ), α× β ≡ ±abe3, ω = ϕ·e3, ϕ·· = −(a± b) sinϕ. (6) Èì ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ (4), îïðåäåëåííûå óñëîâèÿìè k = (a± b)2, g = ∓ abh (7) ñ íåðàâåíñòâàìè äëÿ h, êîòîðûå ëåãêî âûïèñûâàþòñÿ äëÿ ëþáîé êîìáèíàöèè çíàêîâ. Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ (7), î÷åâèäíî, âõîäÿò â ñîñòàâ 1-îñòîâà áèôóð- êàöèîííîé äèàãðàììû. Íèæå â äîïîëíåíèå ê ðåøåíèÿì (6) íàéäåíû âñå îñî- áûå ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå, âûïè- ñàíû âûðàæåíèÿ äëÿ çíà÷åíèé ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, çàïîëíÿþùèõ îñòàâøóþñÿ ÷àñòü 1-îñòîâà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Äîêàçàíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè â îáðàçå îòîáðàæåíèÿ J ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ äâóìåðíûõ ëèñòîâ äèñêðèìèíàíòíîé ïîâåðõíîñòè àëãåáðàè÷åñêîé êðèâîé ïðåäñòàâëåíèÿ Ëàêñà. 2. Óðàâíåíèÿ êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà. Ââåäåì çàìåíó ïåðåìåííûõ (i2 = −1): x1 = (α1 − β2) + i(α2 + β1), x2 = (α1 − β2)− i(α2 + β1), y1 = (α1 + β2) + i(α2 − β1), y2 = (α1 + β2)− i(α2 − β1), z1 = α3 + iβ3, z2 = α3 − iβ3, w1 = ω1 + iω2, w2 = ω1 − iω2, w3 = ω3. (8) Îáîçíà÷àÿ øòðèõîì äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî it, èç (1) äëÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ ïîëó÷èì x′1 = −x1w3 + z1w1, x′2 = x2w3 − z2w2, y′1 = −y1w3 + z2w1, y′2 = y2w3 − z1w2, 2z′1 = x1w2 − y2w1, 2z′2 = −x2w1 + y1w2, 2w′1 = −w1(w3 − λ)− z1, 2w′2 = w2(w3 − λ) + z2, 2w′3 = y2 − y1, (9) à ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåãðàëû (2) ïðèìóò âèä z2 1 + x1y2 = r2, z2 2 + x2y1 = r2, (10) x1x2 + y1y2 + 2z1z2 = 2p2. (11) Çäåñü â ñèëó (3) ââåäåíû ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû p = √ a2 + b2, r = √ a2 − b2. 87 Ì.Ï.Õàðëàìîâ Ïåðâûå èíòåãðàëû (4) çàïèøóòñÿ òàê: H = w1w2 + 1 2 w2 3 − 1 2 (y1 + y2 + λ2), K = (w2 1 + x1)(w2 2 + x2) + 2λ(w1w2w3 + z2w1 + z1w2)− 2λ2w1w2, G = 1 4 (p2 − x1x2)w2 3 + 1 2 (x2z1w1 + x1z2w2)w3+ + 1 4 (x2w1 + y1w2)(y2w1 + x1w2)− 1 4 p2(y1 + y2) + 1 4 r2(x1 + x2)+ + 1 2 λ(z1z2w3 + y2z2w1 + y1z1w2) + 1 4 λ2(p2 − y1y2). (12) Ïóñòü f � ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ (8). Äëÿ îòûñêàíèÿ åå êðèòè÷å- ñêèõ òî÷åê íà ïîäìíîãîîáðàçèè (10), (11) óäîáíû ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ [3]: ∂f ∂w1 = 0, ∂f ∂w2 = 0, ∂f ∂w3 = 0, 2z2 ∂f ∂x2 + 2z1 ∂f ∂y2 − x1 ∂f ∂z1 − y1 ∂f ∂z2 = 0, 2z1 ∂f ∂x1 + 2z2 ∂f ∂y1 − y2 ∂f ∂z1 − x2 ∂f ∂z2 = 0, x1 ∂f ∂x1 − x2 ∂f ∂x2 + y1 ∂f ∂y1 − y2 ∂f ∂y2 = 0 (13) (øåñòü äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ, çàäàþùèõ ýòè óðàâíåíèÿ, ëèíåéíî íåçàâèñèìû è îáðàùàþò â íîëü ëåâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (10), (11)). Ïîñêîëüêó âñå íåïîäâèæíûå òî÷êè ñèñòåìû (1) íåâûðîæäåíû êàê êðèòè- ÷åñêèå òî÷êè ãàìèëüòîíèàíà H íà P 6 (ñì. [7]), òî â íèõ rankJ = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà èñêîìûõ ðåøåíèÿõ dH 6= 0 è óñëîâèå rankJ = 1 ìîæíî çàïè- ñàòü êàê ïðîïîðöèîíàëüíîñòü îáîèõ äèôôåðåíöèàëîâ dK è dG äèôôåðåíöè- àëó dH (âñå äèôôåðåíöèàëû âû÷èñëåíû íà P 6). Ââåäåì ïîýòîìó ôóíêöèè ñ íåîïðåäåëåííûìè ìíîæèòåëÿìè Ëàãðàíæà σ, τ LK = K − 2σH, LG = 2G− (p2 − τ)H è âûïèøåì ñèñòåìû óðàâíåíèé âèäà (13), ïîëàãàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî f = LK è f = LG. Äëÿ ôóíêöèè LK ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ (w2 1 + x1)w2 + λ[z1 + w1(w3 − λ)]− σw1 = 0, (w2 2 + x2)w1 + λ[z2 + w2(w3 − λ)]− σw2 = 0, (14) λw1w2 − σw3 = 0, (15) (w2 1 + x1)z2 − λ(w2x1 + w1y1) + σz1 = 0, (w2 2 + x2)z1 − λ(w1x2 + w2y2) + σz2 = 0, (16) x1w 2 2 − x2w 2 1 + σ(y1 − y2) = 0. (17) 88 Îñîáûå ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé Äëÿ ôóíêöèè LG àíàëîãè÷íî áóäåì èìåòü (τ − z1z2)w1 + x1y1w2 + x1z2w3 + y1z1λ = 0, x2y2w1 + (τ − z1z2)w2 + x2z1w3 + y2z2λ = 0, x2z1w1 + x1z2w2 + (τ − x1x2)w3 + z1z2λ = 0, (x2z1 + y2z2)w2 1 + (x1z2 + y1z1)w1w2 + (2z1z2 − x1x2)w1w3− −x1y1w2w3 − x1z2w 2 3 + (z1z2 − τ)z1 + x1y2z2+ +λ(2z1z2 − y1y2)w1 − λx1y1w2 − λ(x1z2 + y1z1)w3 − λ2y1z1 = 0, (x1z2 + y1z1)w2 2 + (x2z1 + y2z2)w1w2 + (2z1z2 − x1x2)w2w3− −x2y2w1w3 − x2z1w 2 3 + x2y1z1 + (z1z2 − τ)z2− −λx2y2w1 + λ(2z1z2 − y1y2)w2 − λ(x2z1 + y2z2)w3 − λ2y2z2 = 0, (τ − x1x2)(y1 − y2) + x2z 2 1 − x1z 2 2 + 2(x2y2w 2 1 − x1y1w 2 2)+ +2(x2z1w1 − x1z2w2)w3 + 2λ(y2z2w1 − y1z1w2) = 0. (18) Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ ôóíêöèè LK ñèñòåìà (18) îêàçûâàåòñÿ âñåãäà ñîâìåñòíîé. 3. Àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ìíîæåñòâî êðèòè÷å- ñêèõ òî÷åê ôóíêöèè K. Äëÿ åãî íàõîæäåíèÿ íóæíî â óðàâíåíèÿõ (14)�(17) ïîëîæèòü σ = 0. Óðàâíåíèå (15) ñðàçó æå äàåò w1 = w2 = 0, à èç óðàâíå- íèé (14) ïîëó÷àåì òîãäà, ÷òî z1 = z2 = 0. Ñèñòåìà (18) ýòèìè çíà÷åíèÿìè óäîâëåòâîðåíà, åñëè ïîëîæèòü τ = x1x2. Â ÷àñòíîñòè, âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè èíòåãðàëà K îêàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè è äëÿ ôóíêöèè LG ñ óêàçàííûì çíà- ÷åíèåì τ , ïîýòîìó èç óñëîâèÿ dK = 0 (ïðè dH 6= 0) ñëåäóåò, ÷òî rankJ = 1. Â èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ íà ñîîòâåòñòâóþùèõ òðàåêòîðèÿõ èìååì ω1 = ω2 ≡ 0, α3 = β3 ≡ 0. Ïîäñòàíîâêà â ñèñòåìó (1) ïðèâîäèò ê ðåøåíèÿì (6) ñ ïîñòî- ÿííûìè (7). Â ÷àñòíîñòè, ïðè λ 6= 0 îòñóòñòâóåò ïðÿìîé àíàëîã 1-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà (êëàññà Äåëîíå K = 0) è åãî îáîáùåíèÿ, íàéäåííîãî â ðàáîòå [9], ïîñêîëüêó íóëåâîå çíà÷åíèå K íå ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì. Äàëåå ïîëàãàåì σ 6= 0. Íåïîäâèæíûå òî÷êè ñèñòåìû óæå èñêëþ÷åíû, ïîýòîìó èç óðàâíåíèÿ (15) ñëåäóåò, ÷òî w1w2 6= 0. (19) ×åòûðå óðàâíåíèÿ (14), (16) îáðàçóþò ëèíåéíóþ ñèñòåìó ïî y1, y2, z1, z2, èç êîòîðîé ýòè ïåðåìåííûå íàõîäÿòñÿ êàê ôóíêöèè îò x1, x2, w1, w2. Ïîä- ñòàíîâêà íàéäåííûõ çàâèñèìîñòåé â (17) äàåò òîæäåñòâî. Èç (15) ïåðåìåí- íóþ w3 âûðàæàåì ÷åðåç w1, w2. Ïîñëå ýòîãî ÷åòûðå ïåðåìåííûå x1, x2, w1, w2 îêàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè òðåìÿ óðàâíåíèÿìè, âûòåêàþùèìè èç (10), (11). Â ðåçóëüòàòå, âîîáùå ãîâîðÿ, äëÿ ïðîèçâîëüíî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ σ ïîëó÷à- åì îäíîìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (9), ò. å. èñêîìîå ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì w = w1w2, q = w1/ √ w, x = x1x2. (20) 89 Ì.Ï.Õàðëàìîâ Ýòî âîçìîæíî â ñèëó (19). Îòìåòèì, ÷òî q ∈ C, \|q\| = 1, q = 1/q. Âûïîëíÿÿ îïèñàííóþ âûøå ïðîöåäóðó, èç (14)�(16) íàõîäèì w3 = λ σ w, z1 = − √ w λσq [ σx1 + (λ2 + σ)q2(w − σ) ], z2 = − √ w λσq [ σq2x2 + (λ2 + σ)(w − σ) ], y1 = −(x1 + q2w)(q2x2 + w) λ2q2 − w2 σ + σ(λ2 + σ) λ2 − x1w σq2 , y2 = −(x1 + q2w)(q2x2 + w) λ2q2 − w2 σ + σ(λ2 + σ) λ2 − q2x2w σ . (21) Èñïîëüçóåì ýòè çíà÷åíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (10) îòíîñèòåëüíî x1, x2. Ïî- ëó÷èì x1 = r2λ2σ (w − σ)2(λ2 + σ)− σx − λ2 + σ σ q2w, x2 = r2λ2σ (w − σ)2(λ2 + σ)− σx − λ2 + σ σ w q2 . (22) Îòñþäà âèäíî, ÷òî óäîáíî ââåñòè îáîçíà÷åíèå u = (w − σ)2(λ2 + σ)− σx. (23) Ïîäñòàâëÿÿ (22), (23) â ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå (20), ïîëó÷èì 2r2λ2σ2(λ2 + σ)uwQ = σu3 + (λ2 + σ)[λ2w2 + σ2(2w − σ)]u2 + r4λ4σ4, (24) ãäå îáîçíà÷åíî Q = 1 2 (q2 + 1 q2 ) = w2 1 + w2 2 2w1w2 = cos(2 arg(w1)). (25) Â äîïîëíåíèå ê óðàâíåíèþ (24) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñâÿçè ìåæäó w,Q, u èìå- åòñÿ åùå óðàâíåíèå (11). Ïîäñòàâëÿÿ â íåãî çàâèñèìîñòè (21), (22), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ 2r2λ4σ2[(λ2 + σ)2u2 + r4λ4σ2]uwQ = [(λ2 + σ)2(λ2w + σ2)2 − 2p2λ4σ2]u4+ +r4λ4σ2[(λ2w + σ2)2 + (λ2 − σ)2σ2 − 4σ4]u2 + r8λ8σ6. Èñêëþ÷àÿ èç íåãî ïåðåìåííóþ Q ñ ïîìîùüþ (24), ïîëó÷èì λ2(λ2 + σ)2u5 + (λ2 + σ)[2p2λ4 − (λ2 + σ)3σ]σu4+ +r4λ6σ2u3 + 2r4λ4σ4(λ2 + σ)2u2 − r8λ8σ6 = 0. (26) 90 Îñîáûå ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé Èòàê, ïðè çàäàííîì σ âåëè÷èíà u îêàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé � âåùåñòâåííûì êîðíåì óðàâíåíèÿ (26) ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïîñëå òîãî êàê îíà îïðåäåëåíà, èç (24) íàõîäèì Q(w) = σu3 + (λ2 + σ)[λ2w2 + σ2(2w − σ)]u2 + r4λ4σ4 2r2λ2σ2(λ2 + σ)uw (27) ñ î÷åâèäíûì îãðàíè÷åíèåì ñîãëàñíî (25) Q2(w) 6 1. (28) Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü â àëãåáðàè÷åñêèõ ðàäèêàëàõ q(w) = √ Q + i √ 1−Q2, (29) è òîãäà âñå ôàçîâûå ïåðåìåííûå îêàçûâàþòñÿ âûðàæåíû ÷åðåç îäíó âåùå- ñòâåííóþ ïåðåìåííóþ w: w1 = q(w) √ w, w2 = √ w q(w) , w3 = λ σ w, x1 = 1 σu [ r2λ2σ2 − (λ2 + σ) u q2(w)w ], x2 = 1 σu [ r2λ2σ2 − (λ2 + σ) u w q2(w) ], y1 = σ(1 + σ λ2 − r4λ2σ u2 ) + r2λ2 u q2(w)w, (30) y2 = σ(1 + σ λ2 − r4λ2σ u2 ) + r2λ2 u w q2(w) , z1 = −r2λσ u √ w q(w) + λ2 + σ λ q(w) √ w, z2 = −r2λσ u q(w) √ w + λ2 + σ λ √ w q(w) . Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çàâèñèìîñòè (27), (29), (30) â ñèñòåìó (18), óáåæ- äàåìñÿ, ÷òî âñå åå óðàâíåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê îäíîìó λ2σ τ + (λ2 + σ)u = 0, êîòîðîå âñåãäà ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî τ ââèäó ïðåäïîëîæåíèÿ σ 6= 0. Â ÷àñòíîñòè, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè, êðèòè÷åñêèå äëÿ ôóíêöèè LK âñå- ãäà áóäóò êðèòè÷åñêèìè è äëÿ ôóíêöèè LG ïðè ïîäõîäÿùåì τ , à óñëîâèÿ (14)�(16) ïðè σ 6= 0 íåîáõîäèìû è äîñòàòî÷íû äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü òðåáîâàíèå rankJ = 1. 4. Çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè. Íàéäåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå çàâèñèìîñòü w(t). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûïîëíèòü ïîäñòà- íîâêó çíà÷åíèé (29), (30) â ëþáîå èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (9). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì (dw dt )2 = r4λ2σ2w2 u2 [1−Q2(w)]. (31) 91 Ì.Ï.Õàðëàìîâ Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (27), ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàéäåì (dw dt )2 = − λ2 4σ2 P+(w)P−(w), (32) ãäå P±(w) = w2 + 2σ2 u± r2λ2 λ2u w + σ[u3 − (λ2 + σ)σ2u2 + r4λ4σ3] (λ2 + σ)λ2u2 . (33) Ïîñêîëüêó deg P+(w)P−(w) = 4, óðàâíåíèå (32) èíòåãðèðóåòñÿ â ýëëèïòè- ÷åñêèõ ôóíêöèÿõ âðåìåíè. Êîðíè òðåõ÷ëåíîâ (33) ÿâíî âû÷èñëÿþòñÿ, ÷òî äåëàåò ýòî óðàâíåíèå óäîáíûì äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ ñóùåñòâî- âàíèÿ ðåøåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì òðåáîâàíèÿì âåùåñòâåííîñòè: P+(w)P−(w) 6 0, w > 0. (34) Äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèé (34) âûòåêàåò èç ñîïîñòàâëåíèÿ (31) ñ íåðàâåíñòâîì (28), îïðåäåëÿþùèì îãðàíè÷åíèÿ íà ïåðåìåííóþ w â ðåøåíèè (30). 5. Çíà÷åíèÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ è ñâÿçü ñ ïðåäñòàâëåíèåì Ëàêñà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèé, ïîçâîëÿþùèõ ïîñòðîèòü óçëîâûå òî÷êè áèôóð- êàöèîííîé äèàãðàììû, íàéäåì çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ (4) â òî÷êàõ íàéäåííûõ ðåøåíèé. Ïîäñòàíîâêà (27), (29), (30) â (12) äàåò ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîñòîÿííûõ h∗ = − u 2(λ2 + σ)σ − (λ2 + σ)λ2 + 2σ2 2λ2 + (λ2 + 2σ)r4λ2σ2 2(λ2 + σ)u2 , k∗ = −(λ2 + 2σ)u (λ2 + σ)σ + (λ2 + 2σ)σ − r4λ4σ3 (λ2 + σ)u2 , g∗ = −(λ2 + σ)2u2 − r4λ4σ2 8(λ2 + σ)2λ6σ2u6 [ λ4u6 + (λ2 − σ)(λ2 + σ)2λ2σu5− − (λ2 − 2σ)(λ2 + σ)4σ3u4 − (λ2 + 3σ)r4λ6σ3u3− − 4(λ2 + σ)2r4λ4σ6u2 + (λ2 + 2σ)r8λ8σ7 ] . (35) Íàïîìíèì, ÷òî êîíñòàíòà u ñâÿçàíà ñ σ óðàâíåíèåì (26). Âûðàæåíèÿ (35) ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðè êîìïüþòåðíîì ïîñòðîåíèè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì îòîáðàæåíèÿ J (èëè åãî îãðàíè÷åíèé íà èçîýíåðãåòè÷åñêèå óðîâ- íè) êàê ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ äâóìåðíûõ ëèñòîâ (ñîîòâåòñòâåííî, ãëàäêèõ êðèâîëèíåéíûõ îòðåçêîâ). Êîíå÷íî, ýòîìó äîëæíû ïðåäøåñòâîâàòü íåïðî- ñòûå èññëåäîâàíèÿ óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ íàéäåííûõ çäåñü ðåøåíèé â òåð- ìèíàõ ïàðàìåòðà σ (èëè åìó ýêâèâàëåíòíîãî âûðàæåíèÿ) è âåëè÷èíû ãèðî- ñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà. Çäåñü îãðàíè÷èìñÿ ëèøü íåêîòîðûìè ñîîáðàæåíèÿ- ìè. Íàéäåííàÿ ñîâîêóïíîñòü ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè λ è σ. Îïðåäåëåííûå âûðîæäåíèÿ èìåþò ìåñòî â î÷åâèäíûõ îñîáûõ ñëó÷àÿõ λ = 0 (ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò îòñóòñòâóåò, èìååì çàäà- ÷ó î äâèæåíèè âîë÷êà â äâîéíîì ïîëå, ñîâîêóïíîñòü ðåøåíèé îáðàùàåòñÿ â 92 Îñîáûå ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ [2]), σ = 0 (ñëó÷àé dK = 0, èçó÷åííûé âûøå) èëè λ2 +σ = 0 (òðåáóåòñÿ îòäåëüíîå ðàññìîòðåíèå â ñèëó îñîáåííîñòåé â ïîëó÷åí- íûõ âûøå ôîðìóëàõ). Áèôóðêàöèè ýòèõ ðåøåíèé ïî ïàðàìåòðàì ïðîèñõîäÿò òàêæå ïðè âîçíèêíîâåíèè êðàòíîãî êîðíÿ ó ìíîãî÷ëåíà P+(w)P−(w). Ïðè çíà÷åíÿõ λ, σ, îòëè÷íûõ îò óæå îòìå÷åííûõ, íè P+, íè P− êðàòíîãî êîð- íÿ èìåòü íå ìîãóò. Èõ îáùèé êîðåíü ìîæåò áûòü òîëüêî íóëåâûì. Óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè ïî u óðàâíåíèÿ P+(0) = 0 ñ óðàâíåíèåì (26) äàñò ðàçäåëÿþùèå ìíîæåñòâî â ïëîñêîñòè (λ, σ), îòâå÷àþùåå ïîëîæåíèÿì ðàâíîâåñèÿ ãèðîñòàòà. Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ñëó÷àè íàëè÷èÿ êðàòíîãî êîðíÿ óðàâ- íåíèÿ (26), ïðè âûáîðå êîòîðîãî ñóùåñòâóþò âåùåñòâåííûå ðåøåíèÿ (32). Êîìïüþòåðíûå ñèñòåìû àíàëèòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü ñî- îòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû è ðàçðàáîòàòü àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ òî÷åê 1-îñòîâà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû äëÿ ëþáîãî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè. Ïðåäñòàâëåíèå Ëàêñà äëÿ äàííîé çàäà÷è, íàéäåííîå â ðàáîòå [1], â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå L′ = LM −ML, (36) ãäå L = ∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ 2λ x2 κ −2w1 z2 κ −x1 κ −2λ −z1 κ 2w1 −2w1 z2 κ −2w3 −y1 κ − 4κ −z1 κ 2w2 y2 κ + 4κ 2w3 ∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ , M = ∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ −w3 2 0 w2 2 0 0 w3 2 0 −w1 2 w1 2 0 w2 2 κ 0 −w2 2 −κ −w3 2 ∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥ , ÷åðåç κ îáîçíà÷åí ñïåêòðàëüíûé ïàðàìåòð, ïðîèçâîäíàÿ â (36) âû÷èñëÿåòñÿ â ñèëó ñèñòåìû (9). Óðàâíåíèå äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ζ ìàòðèöû L îïðå- äåëÿåò àññîöèèðîâàííóþ ñ äàííûì ïðåäñòàâëåíèåì àëãåáðàè÷åñêóþ êðèâóþ [4]. Ïîëîæèì s = 2κ2 è îáîçíà÷èì ÷åðåç h, k, g ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå èíòåãðàëîâ (12). Óðàâíåíèå àëãåáðàè÷åñêîé êðèâîé ïðèìåò âèä ζ4 − 4 s [ p2 − 2(h + λ2)s + 2s2 ]ζ2 + 4 s2 [ r4 + 4(2g − p2h− p2λ2)s+ +4(k + 2λ2h + λ4)s2 − 8λ2s3 ] = 0. (37) Çàïèñûâàÿ óñëîâèÿ íàëè÷èÿ îñîáûõ òî÷åê ýòîé êðèâîé, ïîëó÷èì äâå ïàðà- 93 Ì.Ï.Õàðëàìîâ ìåòðè÷åñêè çàäàííûå ïîâåðõíîñòè â R3(h, k, g) Π1 :    k = p2 + h2 − 4hs + 3s2 − p4 − r4 4s2 g = (h− s)s2 + p4 − r4 4s , (38) Π2 :    k = −2λ2(h− 2s)− λ4 + r4 4s2 g = 1 2 p2(h + λ2)− λ2s2 − r4 4s , (39) èëè äâå ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííûå êðèâûå â ïëîñêîñòè ôèêñèðîâàííîãî çíà- ÷åíèÿ h. Çàìå÷àÿ, ÷òî óñëîâèå ïðèâîäèìîñòè êðèâîé (37) äàåò çíà÷åíèÿ (7), ìîæíî âûñêàçàòü ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîá- ðàæåíèÿ J ñîäåðæèòñÿ â ìíîæåñòâå, îïðåäåëÿåìîì óðàâíåíèÿìè (7), (38), (39). Ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ òðåáóåò ïðèåìëåìîãî îïèñà- íèÿ ìíîæåñòâà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ (5), ôîðìèðóþùåãî ôàçîâûå ïðîñòðàíñòâà ïîäñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, à òàêæå íåêîòîðûõ ÿâ- íûõ âûðàæåíèé ÷åðåç ôàçîâûå ïåðåìåííûå äëÿ ïàðàìåòðà s íà êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ â ïðîîáðàçàõ ïîâåðõíîñòåé Π1, Π2. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì îòäåëü- íîé ðàáîòû. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî áëàãîäàðÿ ñäâèãó ýíåðãèè íà êîíñòàíòó â (4), íå èìåþùåìó ìåõàíè÷åñêîãî ñìûñëà, óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè (38) îêà- çàëèñü íå çàâèñÿùèìè îò ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà. Îíè ñîâïàäàþò ñ ïàðà- ìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè îáîáùåíèÿ 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà äëÿ âîë÷êà â äâîéíîì ïîëå [2]. Ïîêàæåì, ÷òî òî÷êè (35) ïðèíàäëåæàò îáåèì ïîâåðõíîñòÿì Π1,Π2. Äëÿ ïîâåðõíîñòè Π1 ïîëîæèì u = r2λ2σ R , R = √ (λ2 + σ)2 + 2λ2s. (40) Òîãäà èç (35) ïîëó÷èì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: h∗ = (λ2 + 2σ)s λ2 + σ + σ − r2λ2 2(λ2 + σ)R , k∗ = − 2λ2σs λ2 + σ + σ2 − (λ2 + 2σ)r2λ2 (λ2 + σ)R , g∗ = s 2(λ2 + σ)2 { r4λ4 2[2λ2s + (λ2 + σ)2] + 2[(λ2 + 2σ)s + (λ2 + σ)2]σs− (41) − r2[(λ2 + 3σ)λ2s + 2(λ2 + σ)2σ] R } . Íåîáõîäèìî ó÷åñòü óðàâíåíèå (26). Ïîäñòàâëÿÿ â íåãî âûðàæåíèå äëÿ u èç (40), èìååì r2[λ2s + (λ2 + σ)2]− [2σs2 − p2(λ2 + σ)]R = 0. (42) 94 Îñîáûå ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé Èñêëþ÷àÿ R èç âûðàæåíèé (41) ñ ïîìîùüþ (42), íàéäåì h∗ = s + σ + 2(λ2 + σ)σs + λ2p2 2[λ2s + (λ2 + σ)2] , k∗ = −4λ2σs2 + (2λ2 + σ)λ2σs− (λ2 + σ)2σ2 − (λ2 + 2σ)λ2p2 λ2s + (λ2 + σ)2 , g∗ = −s3 + σs2 + p2s− (8λ2s3 − r4)λ2 8(λ2 + σ)2 + (2s2 − p2)λ2s λ2 + σ − − r4λ2 8[2λ2s + (λ2 + σ)2] + [2(λ2 + σ)σs + λ2p2]s2 2[λ2s + (λ2 + σ)2] . Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà ýòèõ âûðàæåíèé âìåñòî h, k, g â óðàâíåíèÿ (38) îáðàùàåò èõ â òîæäåñòâà. Äëÿ ïîâåðõíîñòè Π2 ïîëîæèì u = −2λ2σs. (43) Çíà÷åíèÿ (35) ïðèìóò âèä h∗ = 8λ4s3 − 4(λ2 + σ)[(λ2 + σ)λ2 + 2σ2)]s2 + (λ2 + 2σ)r4 8(λ2 + σ)λ2s2 , k∗ = 8(λ2 + 2σ)λ2s3 + 4(λ2 + σ)(λ2 + 2σ)σs2 − r4σ 4(λ2 + σ)s2 , g∗ = −4(λ2 + σ)2s2 − r4 512(λ2 + σ)2λ6s6 [64λ8s6 − 32(λ2 − σ)(λ2 + σ)2λ4s5− − 16(λ2 − 2σ)(λ2 + σ)4σs4 + 8(λ2 + 3σ)r4λ4s3− − 16(λ2 + σ)2r4σ2s2 + (λ2 + 2σ)r8σ]. (44) Ïîäñòàíîâêà h∗, k∗ âìåñòî h, k â ïåðâîå óðàâíåíèå (39) îáðàùàåò åãî â òîæ- äåñòâî. Óðàâíåíèå (26) â ïîäñòàíîâêå (43) äàåò 32(λ2 + σ)2λ4s5 − 16(λ2 + σ)[2p2λ4 − (λ2 + σ)3σ]s4+ +8r4λ4s3 − 8(λ2 + σ)2r4σs2 + r8σ = 0. (45) Ïîäñòàâèì çíà÷åíèÿ h∗, g∗ èç (44) â âûðàæåíèå 4s g∗ + r4 − 2s p2(h∗ + λ2) + 4λ2s3. (46) Ïîëó÷èì ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (45), äîìíîæåííóþ íà 8λ4s3 + 4(λ2 − 2σ)(λ2 + σ)2s2 + (λ2 + 2σ)r4 128(λ2 + σ)2λ6s5 . 95 Ì.Ï.Õàðëàìîâ Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà (46) ðàâíà íóëþ, ÷òî äîêàçûâàåò âûïîëíåíèå âòî- ðîãî óðàâíåíèÿ (39). Èòàê, çíà÷åíèÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ íàéäåííîãî ñåìåéñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé ïîçâîëÿþò â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå çàïèñàòü âñå ðåàëèçóåìûå íà âåùåñòâåííûõ ðåøåíèÿõ òî÷êè òðàíñâåðñàëüíîãî ïåðåñå÷åíèÿ äâóìåðíûõ áèôóðêàöèîííûõ ëèñòîâ çàäà÷è î äâèæåíèè ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé â äâîé- íîì ñèëîâîì ïîëå. 1. Ðåéìàí À.Ã., Ñåìåíîâ�Òÿí-Øàíñêèé Ì.À. Ëàêñîâî ïðåäñòàâëåíèå ñî ñïåêòðàëüíûì ïàðàìåòðîì äëÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé è åãî îáîáùåíèé // Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèëî- æåíèÿ. � 1988. � 22, � 2. � Ñ. 87�88. 2. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî è áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà çàäà÷è î äâè- æåíèè âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2004. � Âûï. 34. � Ñ. 47�58. 3. Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams of the Kowalevski top in two constant �elds // Regular and Chaotic Dynamics. � 2005. � 10, � 4. � P. 381�398. 4. Bobenko A.I., Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions // Commun. Math. Phys. � 1989. � 122, � 2. � P. 321�354. 5. Yehia H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Commun. � 1986. � 13, � 3. � P. 169�172. 6. Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû. Ãåîìåòðèÿ, òî- ïîëîãèÿ, êëàññèôèêàöèÿ. Â 2-õ ò. � Èæåâñê: Èçä-âî ÐÕÄ, 1999. � Ò. 1. � 444 ñ.; Ò. 2. � 448 ñ. 7. Kharlamov M.P., Zotev D.B. Non-degenerate energy surfaces of rigid body in two constant �elds // Regular and Chaotic Dynamics. � 2005. � 10, � 1. � P. 15�19. 8. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ êðèòè÷åñêèõ äâèæåíèé îáîáùåííîãî âîë÷- êà Êîâàëåâñêîé è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2006. � Âûï. 36. � Ñ. 13�22. 9. Áîãîÿâëåíñêèé Î.È. Äâà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà â ñèëîâîì ïîëå // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1984. � 275, � 6. � Ñ. 1359�1363. 10. Zotev D.B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case // Ðåãóëÿðíàÿ è õà- îòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. � 2000. � 5, � 4. � Ñ. 437�458. 11. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Îñîáûå ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ îáîáùåííîãî ñëó÷àÿ Äåëîíå // Ìåõà- íèêà òâåðäîãî òåëà. � 2006. � Âûï. 36. � Ñ. 23�33. Âîëãîãðàäñêàÿ àêàäåìèÿ ãîñ. ñëóæáû, Ðîññèÿ mharlamov@vags.ru Ïîëó÷åíî 22.08.07 96

Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле

Репозитарії

Схожі ресурси