Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач
В статье приводится построение бифуркационных диаграмм двух интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем на основе выделения действительной части алгебраических поверхностей, ассоциированных с этими системами. Первая система отвечает новому случаю интегрируемости уравнений Кирхгофа, обнаруженному...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27940 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач / П.Е. Рябов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 97-111. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27940 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279402011-10-25T12:11:02Z Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач Рябов, П.Е. В статье приводится построение бифуркационных диаграмм двух интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем на основе выделения действительной части алгебраических поверхностей, ассоциированных с этими системами. Первая система отвечает новому случаю интегрируемости уравнений Кирхгофа, обнаруженному В.В. Соколовым. Вторая описывает движение гиростата Ковалевской в двойном силовом поле. 2007 Article Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач / П.Е. Рябов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 97-111. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27940 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье приводится построение бифуркационных диаграмм двух интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем на основе выделения действительной части алгебраических поверхностей, ассоциированных с этими системами. Первая система отвечает новому случаю интегрируемости уравнений Кирхгофа, обнаруженному В.В. Соколовым. Вторая описывает движение гиростата Ковалевской в двойном силовом поле. |
| format |
Article |
| author |
Рябов, П.Е. |
| spellingShingle |
Рябов, П.Е. Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач Механика твердого тела |
| author_facet |
Рябов, П.Е. |
| author_sort |
Рябов, П.Е. |
| title |
Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач |
| title_short |
Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач |
| title_full |
Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач |
| title_fullStr |
Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач |
| title_full_unstemmed |
Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач |
| title_sort |
алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27940 |
| citation_txt |
Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач / П.Е. Рябов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 97-111. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT râbovpe algebraičeskiekrivyeibifurkacionnyediagrammydvuhintegriruemyhzadač |
| first_indexed |
2025-07-03T07:55:41Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:55:41Z |
| _version_ |
1836611631186968576 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2007. Âûï. 37
ÓÄÊ 531.38
c©2007. Ï.Å. Ðÿáîâ
ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÐÈÂÛÅ È ÁÈÔÓÐÊÀÖÈÎÍÍÛÅ
ÄÈÀÃÐÀÌÌÛ ÄÂÓÕ ÈÍÒÅÃÐÈÐÓÅÌÛÕ ÇÀÄÀ×
 ñòàòüå ïðèâîäèòñÿ ïîñòðîåíèå áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì äâóõ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëè-
óâèëëþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà îñíîâå âûäåëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè àëãåáðàè÷åñêèõ
ïîâåðõíîñòåé, àññîöèèðîâàííûõ ñ ýòèìè ñèñòåìàìè. Ïåðâàÿ ñèñòåìà îòâå÷àåò íîâîìó ñëó-
÷àþ èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé Êèðõãîôà, îáíàðóæåííîìó Â.Â. Ñîêîëîâûì. Âòîðàÿ îïè-
ñûâàåò äâèæåíèå ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ñèëîâîì ïîëå.
1. Ââåäåíèå. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Êèðõãîôà â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ
ṡ1 = −s2(s3 + λ), ṙ1 = r3s2 − 2r2s3 − λr2 + a(r2
2 + r2
3),
ṡ2 = s1(s3 + λ)− br3 + a(r1s2 − r2s1), ṙ2 = −s1r3 + 2r1s3 + λr1 − ar1r2,
ṡ3 = br2 + a(r1s3 − s1r3), ṙ3 = s1r2 − s2r1 − ar1r3
(1)
ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå a, b, λ, èìåþùèå îïðåäåëåííûé ôèçè÷å-
ñêèé è ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë [1] (cì. òàêæå [2]). Ñèñòåìó (1) ìîæíî çàïèñàòü
â ãàìèëüòîíîâîì âèäå íà R6 ñëåäóþùèì îáðàçîì:
µ̇i = {µi,H}. (2)
Çäåñü µ = (s, r) ∈ R6, à ãàìèëüòîíèàí
H =
1
2
(s2
1 + s2
2 + 2s2
3) + λs3 + br1 + a(r3s2 − r2s3)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýíåðãèþ ñèñòåìû �òåëî�æèäêîñòü�. Âåêòîðû s, r íàçûâà-
þòñÿ ñîîòâåòñòâåííî èìïóëüñèâíûì ìîìåíòîì è èìïóëüñèâíîé ñèëîé. Ïàðà-
ìåòð ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà λ ìîæíî ñâÿçàòü ñ öèðêóëÿöèåé æèäêîñòè
÷åðåç îòâåðñòèÿ â òåëå [3]. Ñêîáêà Ïóàññîíà â (2) íà ïðîñòðàíñòâå R6 äëÿ
êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
{si, sj} = εijksk, {si, rj} = εijkrk, {ri, rj} = 0. (3)
Äâà ãåîìåòðè÷åñêèõ ïåðâûõ èíòåãðàëà ñèñòåìû (1)
F1 = r2
1 + r2
2 + r2
3, F2 = s1r1 + s2r2 + s3r3
ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè Êàçèìèðà îòíîñèòåëüíî ñòðóêòóðû (3).
Âåêòîðíîå ïîëå (1), îãðàíè÷åííîå íà ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå
M4 =
{
(s, r) ∈ R6 : F1 = c2, F2 = g
} ∼= T ∗S2,
97
Ï.Å. Ðÿáîâ
ïîðîæäàåò ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òàêèì îáðà-
çîì, äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè ïî Ëèóâèëëþ, êðîìå ôóíêöèé Êàçèìèðà F1, F2 è
ãàìèëüòîíèàíà H, íåîáõîäèìî íàëè÷èå îäíîãî äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà.
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ
F =
[
s2
1
2
− s2
2
2
− br1 + a(r2s3 − r3s2)− a2c2
2
]2
+ [s1s2 − br2 + a(s1r3 − r1s3)]2−
− λ(s3 + λ)(s2
1 + s2
2) + λ[2bs1r3 + 2as1(r2s1 − s2r1) + a2c2s3]
êîììóòèðóåò íà M4 ñ ãàìèëüòîíèàíîì H îòíîñèòåëüíî ñêîáêè Ïóàññîíà (3).
Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàë F íå ÿâëÿåòñÿ íîâûì, ïîñêîëüêó ôóíêöèîíàëüíî ñâÿ-
çàí íà M4 ñ èíòåãðàëîì, îáíàðóæåííûì Â.Â. Ñîêîëîâûì â 2001 ãîäó [4]. Ñ
òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ýòà ñâÿçü ñ âûðàæåíèåì I4 (ñì.
[4�6] ) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
F =
1
4
(2H + a2c2)2 − a2F 2
2 + b2c2 − I4. (4)
Ïðè λ = 0 â ðàáîòå [7] íàéäåíî ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. Íå îãðàíè÷èâàÿ
îáùíîñòè, ïîëàãàåì â äàëüíåéøåì, ÷òî a = 1, c = 1.
Ðàññìîòðèì äðóãóþ ñèñòåìó, ñâÿçàííóþ ñ ãèðîñòàòîì Êîâàëåâñêîé â äâîé-
íîì ïîëå ñèë, êîòîðàÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé, íî óæå ñ òðåìÿ ñòå-
ïåíÿìè ñâîáîäû. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â
áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ èìååò âèä
2 ω̇1 = ω2(ω3 − λ) + β3, α̇1 = α2ω3 − α3ω2, β̇1 = β2ω3 − ω2β3,
2 ω̇2 = −ω1(ω3 − λ)− α3, α̇2 = ω1α3 − ω3α1, β̇2 = ω1β3 − ω3β1,
ω̇3 = α2 − β1, α̇3 = α1ω2 − α2ω1, β̇3 = β1ω2 − β2ω1.
(5)
Ñèñòåìà (5) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ãàìèëüòîíîâîì âèäå (2) íà ïðîñòðàíñòâå
R9(ω, α, β) ñ ãàìèëüòîíèàíîì
H =
1
2
(2ω2
1 + 2ω2
2 + ω2
3)− α1 − β2.
Çäåñü ω � âåêòîð ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè, âåêòîðû α,β õàðàêòåðèçóþò
íàïðàâëåíèå è èíòåíñèâíîñòü äåéñòâèÿ ñèëîâûõ ïîëåé. Êàê ïîêàçàíî â [8],
âåêòîðû α, β áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü âçàèìíî îðòîãîíàëü-
íûìè. Îáîçíà÷åíèÿ ñèëîâûõ ïîëåé, ïîðÿäîê è íàïðàâëåíèå îñåé âûáðàíû òàê,
÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî
|α| > |β|. (6)
Ñêîáêè Ïóàññîíà íà R9 ïîëó÷àþòñÿ èç ââåäåííûõ â ðàáîòå [9]
{Mi,Mj} = εijkMk, {Mi, αj} = εijkαk, {Mi, βj} = εijkβk,
{αi, αj} = 0, {αi, βj} = 0, {βi, βj} = 0,
(7)
98
Àëãåáðàè÷åñêèå êðèâûå è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû
åñëè ïîëîæèòü M1 = 2ω1, M2 = 2ω2, M3 = ω3 +λ. Ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåãðàëû
ñèñòåìû (5)
F1 = α2
1 + α2
2 + α2
3, F2 = β2
1 + β2
2 + β2
3 , F3 = α1β1 + α2β2 + α3β3
ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè Êàçèìèðà äëÿ òàêèõ ñêîáîê. Âåêòîðíîå ïîëå (5), îãðà-
íè÷åííîå íà øåñòèìåðíîå ìíîãîîáðàçèå
M6 =
{
(ω, α, β) ∈ R9 : F1 = a2, F2 = b2, F3 = 0
} ∼= TSO(3),
ïîðîæäàåò ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Îòìåòèì, ÷òî
ïîñêîëüêó ñèñòåìà îïðåäåëåíà íà êàñàòåëüíîì ðàññëîåíèè, òî ñêîáêè Ïóàñ-
ñîíà íà R9 ñîäåðæàò ïàðàìåòð λ, à ãàìèëüòîíèàí � íåò.
Ñèñòåìà (5) íà M6 â äåéñòâèòåëüíîñòè èìååò ëèøü îäèí ñóùåñòâåííûé
ïàðàìåòð, êîòîðûé âûðàæàåò îòíîøåíèå ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñèëîâûõ
ïîëåé
m =
b
a
è, ñîãëàñíî (6), ëåæèò â ïðåäåëàõ 0 6 m 6 1. Êðîìå òîãî, â ñèëó ïðîèçâîëà
â âûáîðå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèí α, β, ìîæíî ïîëàãàòü a = 1. Ïðè m = 0
ñèñòåìà îïèñûâàåò äâèæåíèå ãèðîñòàòà â ïîëå ñèëû òÿæåñòè ïðè óñëîâèÿõ
Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé íà ðàñïðåäåëåíèå ìàññ, à ïðè m = 1 � cëó÷àé Õ.Ì. ßõüè [10]
(ñì. òàêæå [11]). Ýòè ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ îáëàäàþò ãðóïïîé ñèììåòðèé è
ñâîäÿòñÿ ê ñåìåéñòâó èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Äà-
ëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî 0 < m < 1.
Äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè ïî Ëèóâèëëþ, êðîìå ôóíêöèé Êàçèìèðà F1, F2, F3
è ãàìèëüòîíèàíà H, íåîáõîäèìî íàëè÷èå äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ èíòåãðàëîâ.
Ôóíêöèè
K = (ω2
1 − ω2
2 + α1 − β2)2 + (2ω1ω2 + α2 + β1)2 +
+ 2λ[(ω2
1 + ω2
2)(ω3 − λ) + 2ω1α3 + 2ω2β3],
G =
[
ω1α1 + ω2α2 +
1
2
α3(ω3 + λ)
]2
+
[
ω1β1 + ω2β2 +
1
2
β3(ω3 + λ)
]2
+
+ (ω3 − λ)
[
(α2β3 − α3β2)ω1 + (α3β1 − α1β3)ω2 +
+
1
2
(α1β2 − α2β1)(ω3 + λ)
]
− α1m
2 − β2
âìåñòå ñ H îáðàçóþò íà M6 =
{
(ω,α, β) ∈ R9 : F1 = 1, F2 = m2, F3 = 0
}
ïîë-
íûé èíâîëþòèâíûé íàáîð èíòåãðàëîâ îòíîñèòåëüíî ñêîáêè Ïóàññîíà (7).
Ôóíêöèè K è G óêàçàíû â [11].
Íàïîìíèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ [12]. Ïóñòü M2n � ñèìïëåêòè÷åñêîå
ìíîãîîáðàçèå ñ èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé v =
99
Ï.Å. Ðÿáîâ
= sgradH, è f1, . . . , fn � åå íåçàâèñèìûå (ïî÷òè âñþäó) èíòåãðàëû, íàõîäÿ-
ùèåñÿ â èíâîëþöèè. Îïðåäåëèì ãëàäêîå îòîáðàæåíèå
F : M2n → Rn,
ïîëàãàÿ F(x) = (f1(x), . . . , fn(x)). Îòîáðàæåíèå F íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíè-
åì ìîìåíòà. Òî÷êà x èç M2n íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé (èëè îñîáîé) òî÷êîé
îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà F , åñëè ðàíã dF(x) ìåíüøå n. Åå îáðàç â Rn íàçû-
âàåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì. Ïóñòü K � ñîâîêóïíîñòü âñåõ êðèòè÷åñêèõ
òî÷åê îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà. Îáðàç K ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà, ò.å. ìíî-
æåñòâî Σ = F(K) ⊂ Rn, íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé. Â äàííîé
ñòàòüå ïðèâîäÿòñÿ áèôóðêàöèîííûå ìíîæåñòâà îáåèõ çàäà÷ è èõ àòëàñû â
ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ. Àòëàñ (ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî) ïîçâîëÿåò êëàñ-
ñèôèöèðîâàòü âñå áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû.
2. Áèôóðêàöèîííîå ìíîæåñòâî èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñîêîëî-
âà.  èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Ñîêîëîâà îòîáðàæåíèå ìîìåíòà F ñîïîñòàâëÿåò
òî÷êå íà ìíîãîîáðàçèè M4 ïàðó çíà÷åíèé ôóíêöèé F è H â ýòîé òî÷êå:
x 7→ (
f = F (x), h = H(x)
)
.  ñâîþ î÷åðåäü H è F ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè
àëãåáðàè÷åñêîé êðèâîé C, àññîöèèðîâàííîé ñ ñèñòåìîé (1). Àëãåáðàè÷åñêàÿ
êðèâàÿ C óêàçàíà â ðàáîòå [6] è ñ ó÷åòîì (4) çàäàåòñÿ â âèäå
C : a2w
4 + a1w
2 + a0 = 0,
ãäå a0 = z6 − 2hz4 +
[
1
4
(2h + 1)2 − g2 − f + b2
]
z2 − b2g2,
a1 = −2z4 + (2h + λ2 − 1)z2 + g2 − b2, a2 = z2 + 1.
Êðèâóþ C ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íóëåâîé óðîâåíü îòîáðàæåíèÿ C :
C × C → C. Îñîáûì òî÷êàì êðèâîé C, èëè òî÷êàì, â êîòîðûõ îíà òåðÿåò
ãëàäêîñòü, îòâå÷àåò àëãåáðàè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ∆ = ∆1∪∆2∪∆3 â ïðîñòðàí-
ñòâå êîíñòàíò èíòåãðàëîâ R3(f, h, g). Ñîñòàâëÿþùèå ÷àñòè ýòîé ïîâåðõíîñòè
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå
∆i :
{
f = fi(g, t),
h = hi(g, t),
i = 1, 2, 3,
ãäå
f1 =
(
b2g2
2t2
+
1
2
)2
+
(t + b2)(t− g2)
t
, h1 =
b2g2
2t2
+ t,
f2,3 =
1
4
(
g2 + b2 + λ2
)2 − λ2(1 + g2) + 2λ2(t + 1)∓
∓ 1
2t
λ2(t + 1)
√
(b2 + g2)2 + 4t2λ2 +
1
4t2
(b2 + g2)2(1− t2),
h2,3 =
1
2
(
g2 − b2 − λ2 − 1
)± 1
2t
(t + 1)
√
(b2 + g2)2 + 4λ2t2.
100
Àëãåáðàè÷åñêèå êðèâûå è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû
Îáúåäèíåíèå ∆2 ∪∆3 îïðåäåëÿåò â R3(f, h, g) äèñêðèìèíàíòíóþ ïîâåðõ-
íîñòü c ðåáðîì ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýòîãî ðåáðà
èìåþò âèä
f0 =
1
4
(
g2 + b2 + λ2
)2 − λ2(1 + g2), h0 =
1
2
(
g2 − b2 − λ2 − 1
)
. (8)
Âûäåëèì äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü àëãåáðàè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ∆, ÷òî è äàñò
áèôóðêàöèîííîå ìíîæåñòâî Σ.
Ìíîæåñòâîì îñîáåííîñòåé îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà F ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
òî÷åê M4, â êîòîðûõ ôóíêöèè F è H çàâèñèìû: K = {x ∈ M4 : rank dF(x) <
< 2}. Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî K âñåõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ìîæíî ñòðàòèôèöèðî-
âàòü ðàíãîì îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, ò.å. ïðåäñòàâèòü åãî â âèäå îáúåäèíåíèÿ
K = K0 +K1, ãäå K0 = {x ∈ M4| rank dF = 0}, K1 = {x ∈ M4| rank dF = 1}.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òî÷êè (s, r) ∈ M4, òàêèå, ÷òî
s =
(−gb,±
√
(1 + g2)(1− b2)− λ2,−λ
)
,
r =
(−b,
−λ± g
√
(1 + g2)(1− b2)− λ2
1 + g2
,
−gλ∓
√
(1 + g2)(1− b2)− λ2
1 + g2
)
,
ÿâëÿþòñÿ íåïîäâèæíûìè äëÿ ñèñòåìû (1), ò.å. ñîäåðæàòñÿ â K0. Çíà÷åíèÿ
ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â íèõ ñîâïàäàþò ñ (8). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îïðåäåëåííûõ
çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ òî÷êà H = (f0, h0) ÿâëÿåòñÿ óçëîâîé äëÿ áèôóðêàöè-
îííîé äèàãðàììû. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ àëãåáðàè÷åñêàÿ êðèâàÿ
ïðèâîäèìà. Îñòàëüíûå îñîáåííîñòè îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà F óäîáíî îïðåäå-
ëÿòü èç óñëîâèÿ
rank(H × F × F2 × F1) < 4,
ïðîâåðÿÿ îáðàùåíèå â íóëü ìèíîðîâ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.  ÷àñòíîñòè, êðèòè-
÷åñêèìè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè â M4, ëåæàùèå â ñå÷åíèè s2 = 0 è óäîâëåòâîðÿþùèå
îäíîé èç ñèñòåì
r1 =
−bλs1s3 − bs1s
2
3 + gb2 + gs2
1
s1(b2 + s2
1 + s2
3)
,
r2 =
λs3
1 + s3
1s3 + s1s
2
3λ + s1s
3
3 − s3gb
s1(b2 + s2
1 + s2
3)
, r3 =
s3g + λbs1 + s1bs3
b2 + s2
1 + s2
3
èëè
λ2r2 + λ(2s3r2 − r2
2 − 1) + r2(1− 2s3r2 + 2br1 − s2
1) = 0,
br2 + r1s3 − s1r3 = 0
(âñå ìèíîðû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ìàòðèöû ßêîáè îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà îáðà-
ùàþòñÿ â íóëü).  ïåðâîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ïðèíàäëåæàò
101
Ï.Å. Ðÿáîâ
ïîâåðõíîñòè ∆1 ïðè t = bg/s1. Ýòèì îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü àë-
ãåáðàè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ∆1. Âî âòîðîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ
ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå
f =
1
4
(
g2 + b2 + λ2
)2 − λ2(1 + g2) +
1
4r2
2(1− r2
2)
u1 · v1,
h =
1
2
(
g2 − b2 − λ2 − 1
)
+
1 + r2
2
2r2(1− r2
2)
u1,
(9)
ãäå u1 = r2(b2 + g2) + λ(1− r2
2),
v1 = λ(r4
2 + 6r2
2 + 1)− r2(1− r2
2)(b
2 + g2)− 2λ2r2(1 + r2
2).
Çíà÷åíèÿ (9) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì ïîâåðõíîñòè ∆2 ∪ ∆3, âûäåëÿÿ íà
íåé âåùåñòâåííóþ ÷àñòü. Ïåðåìåííàÿ t â ýòîì ñëó÷àå âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëå
t =
(b2 + g2)r2
λ(1− r2
2)
.
Òàêèì îáðàçîì, áèôóðêàöèîííîå ìíîæåñòâî Σ â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ
(λ b g 6= 0) ñîñòîèò èç äâóõ ïîâåðõíîñòåé γ1 è γ2, ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ
êîòîðûõ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
γ1 :
f =
1
4
(
t2 + 1
)2 +
(b− tg)(g + tb)
t
,
h =
1
2
t2 +
gb
t
,
t ∈ R\{0},
γ2 :
f =
1
4
(
g2 + b2 + λ2
)2 − λ2(1 + g2) +
1
4s2(1− s2)
uv,
h =
1
2
(
g2 − b2 − λ2 − 1
)
+
1 + s2
2s(1− s2)
u, s ∈ R\{−1, 0, 1}.
(10)
Çäåñü îáîçíà÷åíî
u = s(b2 + g2) + λ(1− s2),
v = λ(s4 + 6s2 + 1)− s(1− s2)(b2 + g2)− 2λ2s(1 + s2).
Âûêëàäêè ñóùåñòâåííî óïðîùàþòñÿ ïðè îáðàùåíèè â íóëü îäíîãî èç ïà-
ðàìåòðîâ λ, b, à òàêæå ïðè íóëåâîé ïîñòîÿííîé ïëîùàäåé g. Ïîêàæåì íà ïðè-
ìåðå, êàê ñâÿçàíî êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî ñ àëãåáðàè÷åñêîé êðèâîé. Ïóñòü
b = 0, λ 6= 0. Óðàâíåíèå
r2
2s
2
2s3 + 2λs3
3r2 + 3λ2r2s
2
3 − 2s2
3r
2
3r2 + 2s3r
3
3s2 − r2
3λs2
3 + λ3r2s3 − λr3
2s3+
+ λs3
2r3 − s2
2r2s
2
3 + s2λr3
3 + s3
2s3r3 + s2s3r3 − s2λ
3r3 + r2
2λs2
2 − 3s2s3λ
2r3+
+ s3 − r2s
2
3 − λs2
2r2s3 + 2r2
2s
3
3 − 2r3
2s
2
3 − λ2s3 + 2s2
2λr2
3 + 3s3r
2
3s
2
2 − 2s2λs2
3r3−
− 2r3r2λs2s3 + 2r2
2s3r3s2 − 4s2r3r2s
2
3 + s2λr2
2r3 − λr2s3r
2
3 = 0 (11)
102
Àëãåáðàè÷åñêèå êðèâûå è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû
îïðåäåëÿåò êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî ïðè s1 = r1 = 0. Ââåäåì ïîäñòàíîâêó
r2 =
s2y − s3x
s2
2 + s2
3
, r3 =
s2x + s3y
s2
2 + s2
3
.
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî x2 + y2 = s2
2 + s2
3, èç óðàâíåíèÿ (11) ïîëó÷èì
λx3 + s3x
3 + 2λx2 + 3s3x
2 + λy2x− 3λxs2
3 − s3
3x− λ3x + s3y
2x−
−3s3λ
2x + λx + 3s3x + s3 + λy2 − 2λs2
3 − s3λ
2 − s3
3 + s3y
2 = 0.
Íàêîíåö, ïîëàãàÿ q = x + 1, p = s3 + λ, ïîëó÷àåì àëãåáðàè÷åñêóþ êðèâóþ
Γ : λ(p2 − q2)− p q(p2 − q2 − g2) = 0. (12)
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (11) ðàâíîñèëüíî (12). Êðèâàÿ Γ äîïóñêàåò ïàðà-
ìåòðèçàöèþ â âèäå óðàâíåíèé
p =
√
λs2 − g2s− λ
s(s2 − 1)
, q =
√
(λs2 − g2s− λ)s
s2 − 1
.
Ñîîòâåòñòâóþùèå áèôóðêàöèîííûå êðèâûå ñîâïàäàþò ñ γ2, åñëè ïîëîæèòü
b = 0 â óðàâíåíèè (10).
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ Σ = γ1 ∪ γ2 íåîáõîäèìî íàéòè óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ äåé-
ñòâèòåëüíûå êóñêè ïîâåðõíîñòåé γ1 è γ2 èìåþò îáùèå òî÷êè: òî÷êè êàñàíèÿ,
òî÷êè âîçâðàòà, òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òàêèõ ïîâåðõíîñòåé
â R3(g, b, λ) äàñò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî (àòëàñ) äëÿ êëàññèôèêàöèè âñåõ
áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì.
Ðèñ. 1. Ôðàãìåíò ðàçäåëÿþùåãî ìíîæåñòâà â ñå÷åíèè λ = 0, 06
è áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ g = 0, 69; b = 0, 02.
103
Ï.Å. Ðÿáîâ
Ðèñ. 2. Ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî â ñå÷åíèè λ = 0, 4
è áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ g = 0, 32; b = 0, 01.
Íàèáîëåå ñëîæíûì ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå äèñêðèìèíàíòà ìíîãî÷ëåíà 14-oé
ñòåïåíè P (s), êîòîðûé îòâå÷àåò çà áèôóðêàöèè òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ àëãåáðà-
è÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé γ1 è γ2. Êðîìå òîãî, êàê îêàçàëîñü, ìíîãî÷ëåí P (s)
îòâå÷àåò è çà èçìåíåíèÿ òîïîëîãè÷åñêîãî òèïà èçîýíåðãåòè÷åñêîãî ìíîãîîá-
ðàçèÿ Q3 = {x ∈ M4 : H(x) = h}. Íà ýòîì ýòàïå áûë èñïîëüçîâàí ïàêåò
àíàëèòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé Maple.  ðåçóëüòàòå èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííîé s èç
ñèñòåìû P (s) = 0, P ′(s) = 0 ïîëó÷åíî âûðàæåíèå âèäà WV 3 = 0, ÷òî ïîç-
âîëÿåò ÷èñëåííî ïîñòðîèòü âìåñòå ñ äðóãèìè ðàçäåëÿþùèìè ïîâåðõíîñòÿìè
àòëàñ â ñå÷åíèÿõ λ = const. Íà ðèñ. 1 è ðèñ. 2 ïðèâåäåíû ïðèìåðû ðàçäåëÿþ-
ùåãî ìíîæåñòâà. Äëÿ âûáðàííîãî ñå÷åíèÿ λ = λ0 ðàçäåëÿþùèå êðèâûå äåëÿò
ïëîñêîñòü ïàðàìåòðîâ (g, b) íà îáëàñòè. Âíóòðè êàæäîé îáëàñòè áèôóðêàöè-
îííàÿ äèàãðàììà óñòîé÷èâà ïî îòíîøåíèþ ê èçìåíåíèÿì ïàðàìåòðîâ. Äëÿ
ïîñòðîåíèÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû äîñòàòî÷íî âçÿòü ïî îäíîé ïðîáíîé
òî÷êå (g0, b0) â êàæäîé èç ýòèõ îáëàñòåé.
3. Ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû ãè-
ðîñòàòà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå ñèë. Äëÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ
ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå ñèë ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå
104
Àëãåáðàè÷åñêèå êðèâûå è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû
ìîìåíòà F ñîïîñòàâëÿåò òî÷êå íà M6 òðîéêó çíà÷åíèé ôóíêöèé H, F è G
â ýòîé òî÷êå: x 7→ (
f = F (x), h = H(x), g = G(x)
)
. Êàê è â ñëó÷àå Ñîêîëî-
âà, ôóíêöèè H, F è G ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè àëãåáðàè÷åñêîé êðèâîé C,
àññîöèèðîâàííîé ñ ñèñòåìîé (5). Àëãåáðàè÷åñêàÿ êðèâàÿ C èìååò âèä [11]
C : w4 − 2d1(z2)w2 + d2(z2) = 0, (13)
ãäå d1 =
p2
z2
− 2(2h + λ2) + 8z2,
d2 =
r4
z4
− 4[p2(2h + λ2)− 4g]
z2
+ 16(k + 2hλ2)− 64λ2z2.
Çäåñü ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ p2 = a2 + b2, r2 = a2 − b2.
Îñîáûå òî÷êè êðèâîé C ëåæàò íà àëãåáðàè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ∆ = ∆1 ∪∆2
â ïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò èíòåãðàëîâ R3(g, k, h). Ýòó ïîâåðõíîñòü ïîñëå çàìå-
íû s = 2z2 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå
∆1 :
k =
r4
4s2
− 2λ2h + 4λ2s,
g = − r4
4s
+
p2
2
(h +
λ2
2
)− λ2s2,
∆2 :
k = −p4 − r4
4s2
+ p2 + (h− λ2
2
)2 − 4(h− λ2
2
)s + 3s2,
g =
p4 − r4
4s
+ (h− λ2
2
)s2 − s3,
(14)
èëè
∆′
1 :
k =
r4
4s2
− λ2r4
p2s
+ λ4 − 4λ2g
p2
+ 4λ2s− 4λ4
p2
s2,
h =
r4
2p2s
− λ2
2
+
2g
p2
+
2λ2
p2
s2,
∆′
2 :
k =
(p4 − r4)2
16s6
− (p4 − r4)g
2s5
+
g2
s4
+
p4 − r4
4s2
− 2g
s
+ p2,
h = −p4 − r4
4s3
+
g
s2
+
λ2
2
+ s.
Ïåðâîå ïðåäñòàâëåíèå óäîáíî òåì, ÷òî îíî íóìåðóåòñÿ çíà÷åíèÿìè h, à ñîîò-
âåòñòâóþùèå ìíîãîîáðàçèÿ Q5
h = {x ∈ M6 : H = h} êîìïàêòíû. Êðîìå òîãî,
ëåãêî ïðîñëåæèâàòü àíàëîãèè ñ âîë÷êîì Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå [8, 13].
Âòîðîå ïðåäñòàâëåíèå óäîáíî äëÿ ñðàâíåíèÿ ñî ñëó÷àåì Êîâàëåâñêîé�ßõüè�
Êîìàðîâà è êëàññè÷åñêèì âîë÷êîì Êîâàëåâñêîé. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî
ïðè ñäâèãå h → h̃ + λ2/2, óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè ∆′
2 ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíè-
ÿìè áèôóðêàöèîííîé ïîâåðõíîñòè Γ3 ðàáîòû [8] (ñì. òàêæå [14], ãäå òàêîé
ñäâèã ïðèíÿò èçíà÷àëüíî).
105
Ï.Å. Ðÿáîâ
Ìíîæåñòâî K âñåõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà F ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ
K = K0 +K1 +K2,
ãäå Kn = {x ∈ M6| rank dF = n}, n = 0, 1, 2. Ìíîæåñòâî K0 èñ÷åðïûâàåòñÿ
÷åòûðüìÿ íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè ñèñòåìû (5)
ω1 = ω2 = ω3 = 0, β1 = β3 = α2 = α3 = 0, α1 = ±a, β2 = ±b.
Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ïðè ôèêñèðîâàííûõ ïîñòî-
ÿííûõ a, b îáðàçóþò íóëüìåðíûé îñòîâ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Êàê
íåñëîæíî ïðîâåðèòü, â ýòèõ ÷åòûðåõ òî÷êàõ àëãåáðàè÷åñêàÿ êðèâàÿ C ÿâ-
ëÿåòñÿ ïðèâîäèìîé, ò.å. ëåâàÿ ÷àñòü åå óðàâíåíèÿ ðàñêëàäûâàåòñÿ â ïðîèç-
âåäåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ. Kîîðäèíàòû ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê â R3(g, k, h)
ñëåäóþùèå
H1 : g1 = −ab(λ2 + 2a + 2b)
2
, k1 = (a− b)2, h1 = −a− b;
H2 : g2 =
ab(λ2 + 2a− 2b)
2
, k2 = (a + b)2, h2 = −a + b;
H3 : g3 = −ab(2a− 2b− λ2)
2
, k3 = (a + b)2, h3 = a− b;
H4 : g4 :=
ab(2a + 2b− λ2)
2
, k4 = (a− b)2, h4 = a + b.
(15)
Íàïîìíèì, ÷òî a = 1, b = m, 0 < m < 1. Â ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâåííûõ
ïàðàìåòðîâ R3(h,m, λ) îáðàçû Hk ïîðîæäàþò ÷åòûðå ïîëîñû: h = −1 − m,
h = −1 + m, h = 1 − m è h = 1 + m (0 < m < 1), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
ðàçäåëÿþùèìè, ïîñêîëüêó ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç íèõ ìåíÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèé
òèï èçîýíåðãåòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ Q5
h [15]. Òî÷êè H1 è H4 ïðèíàäëåæàò
ïðÿìîé δ1, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè ñèñòåìîé
k = p2 − 2m,
g =
m(2h− λ2)
2
, h ∈ R,
(16)
à òî÷êè H2 è H4 � ïðÿìîé δ2:
k = p2 + 2m,
g = −m(2h− λ2)
2
, h ∈ R.
(17)
Íà ýòèõ ïðÿìûõ àëãåáðàè÷åñêàÿ êðèâàÿ C òàêæå ïðèâîäèìà. Óñëîâèÿ ïðè-
âîäèìîñòè â âèäå ñîîòíîøåíèé (16), (17) ìîæíî ïîëó÷èòü, âûäåëÿÿ ïîëíûé
êâàäðàò â äèñêðèìèíàíòå óðàâíåíèÿ (13). Ïðîîáðàçàì ýòèõ ïðÿìûõ ñîîòâåò-
ñòâóþò ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ ñ îïðåäåëåííûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà h [14].
106
Àëãåáðàè÷åñêèå êðèâûå è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû
Ðèñ. 3. Ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî äëÿ ñå÷åíèÿ λ = 0, 04 è åãî óâåëè÷åííûé ôðàãìåíò.
Ðèñ. 4. Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ h = 0, 7 è h = 2, 8
ñîîòâåòñòâåííî.
107
Ï.Å. Ðÿáîâ
Ðèñ. 5. Ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî äëÿ ñå÷åíèÿ λ = 0, 000001
è åãî óâåëè÷åííûé ôðàãìåíò.
Ðèñ. 6. Àòëàñ ðàçäåëÿþùåãî ìíîæåñòâà ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà
ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà λ.
108
Àëãåáðàè÷åñêèå êðèâûå è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû
Ðèñ. 7. Àòëàñ ðàçäåëÿþùåãî ìíîæåñòâà (ïðîäîëæåíèå).
Ðàíã îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà íà ýòèõ îòðåçêàõ ðàâåí 1, ñëåäîâàòåëüíî, ýòè
îòðåçêè âõîäÿò â îäíîìåðíûé îñòîâ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Êðîìå òîãî,
â ðàáîòå [14] óêàçàíà ïàðàìåòðèçàöèÿ äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ îñîáûõ ïåðèîäè÷å-
ñêèõ äâèæåíèé, íà êîòîðûõ rankF = 1, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü áèôóðêà-
öèîííóþ äèàãðàììó Σ êàê äâóìåðíûé êëåòî÷íûé êîìïëåêñ. Ìîæíî âûäâè-
109
Ï.Å. Ðÿáîâ
íóòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî óñëîâèÿì ïðèâîäèìîñòè àëãåáðàè÷åñêîé êðèâîé C
è óñëîâèÿì íàëè÷èÿ îñîáîé òî÷êè ñîîòâåòñòâóåò ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå
ïîñòîÿííûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, íåñóùàÿ áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó. Âûäå-
ëÿÿ íà íåé íóëüìåðíûé è îäíîìåðíûé îñòîâû, âûðåçàåì ñîáñòâåííî áèôóð-
êàöèîííóþ äèàãðàììó � òó ÷àñòü íàéäåííîé ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ ñîîòâåò-
ñòâóåò óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ âåùåñòâåííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
Äëÿ âîë÷êà â äâîéíîì ïîëå òàêàÿ ïðîãðàììà ðåàëèçîâàíà â [16, 13].  ñëó÷àå
ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé óñëîâèÿ ïðèâîäèìîñòè èñ÷åðïûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè
(15)�(17). Îñòàëüíàÿ ÷àñòü îäíîìåðíîãî îñòîâà ïîðîæäàåòñÿ ðåøåíèÿìè, óêà-
çàííûìè â [14]. Êàê ñòàëî èçâåñòíî àâòîðó, Ì.Ï.Õàðëàìîâûì [17] ïîëó÷åíû
óðàâíåíèÿ âñåõ êðèòè÷åñêèõ ïîäìíîãîoáðàçèé â M6, îáðàç êîòîðûõ ÿâëÿåò-
ñÿ ôàêòè÷åñêîé ÷àñòüþ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû Σ â ñîñòàâå ïîâåðõíî-
ñòåé (14).
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ Σ íåîáõîäèìî íàéòè óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ äåéñòâèòåëü-
íûå êóñêè àëãåáðàè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ∆1 è ∆2 èìåþò îáùèå òî÷êè: òî÷êè
êàñàíèÿ, òî÷êè âîçâðàòà, òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òàêèõ ïî-
âåðõíîñòåé â R3(h,m, λ) äàñò ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî â äîïîëíåíèå ê óæå
èìåþùèìñÿ ÷åòûðåì ïëîñêîñòÿì. Íàèáîëåå òðóäíûì, êàê è â ñëó÷àå Ñîêî-
ëîâà, îêàçàëîñü ïîñòðîåíèå äèñêðèìèíàíòà ìíîãî÷ëåíà 12-é ñòåïåíè P (s),
êîòîðûé îòâå÷àåò çà áèôóðêàöèè òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ. Èñêëþ÷åíèå ïåðåìåí-
íîé s èç ñèñòåìû P (s) = 0, P ′(s) = 0 ïðèâåëî ê âûðàæåíèþ WV 3 = 0, ÷òî
îêîí÷àòåëüíî ïîçâîëÿåò ÷èñëåííî ïîñòðîèòü ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî â ñå÷å-
íèÿõ λ = const è ñîîòâåòñòâóþùèå áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû. Ïðèìåðû
ðàçäåëÿþùåãî ìíîæåñòâà è áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì äëÿ âûáðàííûõ çíà-
÷åíèé ïàðàìåòðîâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 3, 4. Íà ðèñ. 5, 6, 7 èçîáðàæåíî ðàç-
äåëÿþùåå ìíîæåñòâî ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà λ.
Âèäíî, êàê ïó÷îê êðèâûõ íà÷èíàåò èçìåíÿòüñÿ, ïîÿâëÿþòñÿ íîâûå êðèâûå,
êîòîðûå ïåðåñòðàèâàþòñÿ, îáðàçóÿ íîâûå îáëàñòè, à, ñëåäîâàòåëüíî, íîâûé
òèï áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, â êîíå÷íîì èòîãå îïðåäåëÿÿ íîâûå ñëîåíèÿ
Ëèóâèëëÿ íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå ñèë ïîñòðîåí
àòëàñ (ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî), êîòîðûé ïîçâîëÿåò êëàññèôèöèðîâàòü âñå
áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû.
Àâòîð áëàãîäàðèò Ì.Ï.Õàðëàìîâà, ÷üè êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ è ñîâåòû
ïîìîãëè îñîçíàòü íîâóþ çàäà÷ó (ãèðîñòàò Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå).
1. Õàðëàìîâ Ï.Â., Ìîçàëåâñêàÿ Ã.Â., Ëåñèíà Ì.Å. Î ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ óðàâíå-
íèé Êèðõãîôà // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2001. � Âûï. 31. � Ñ. 3�17.
2. Ëàìá Ã. Ãèäðîäèíàìèêà. � Ì.;Ë.: Ãîñòåõòåîðèçäàò, 1947. � 928 ñ.
3. Õàðëàìîâ Ï.Â. Î äâèæåíèè â æèäêîñòè òåëà, îãðàíè÷åííîãî ìíîãîñâÿçíîé ïîâåðõíî-
ñòüþ // Ïðèêë. ìåõ. è òåõí. ôèç. � 1963. � Âûï. 4. � Ñ. 17�29.
4. Ñîêîëîâ Â.Â. Íîâûé èíòåãðèðóåìûé ñëó÷àé äëÿ óðàâíåíèé Êèðõãîôà // Òåîð. è ìàò.
ôèç. � 2001. � 129, âûï. 1 � C. 31�36.
5. Ñîêîëîâ Â.Â. A generalized Kowalewski Hamiltonian and new integrable cases on e(3) and
so(4) // In �Kowalevski property�/ Ed. V.B. Kuznetsov. � CRM Proc. and Lect. Notes,
AMS. � 2002. � P. 307�315.
110
Àëãåáðàè÷åñêèå êðèâûå è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû
6. Ñîêîëîâ Â.Â., Öûãàíîâ À.Â. Ïàðû Ëàêñà äëÿ äåôîðìèðîâàííûõ âîë÷êîâ Êîâàëåâñêîé
è Ãîðÿ÷åâà�×àïëûãèíà // Òåîð. è ìàò. ôèç. � 2002. � 131, âûï. 1 � C. 118�125.
7. Komarov I.V., Sokolov V.V., Tsiganov A.V. Poisson maps and integrable deformations of
the Kowalevski top // J. Phys. A: Math. Gen. � 2003. � 36. � P. 8035�8048.
8. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî è áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà çàäà÷è î äâè-
æåíèè âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2004. � Âûï.
34. � Ñ. 47�58.
9. Áîãîÿâëåíñêèé Î.È. Èíòåãðèðóåìûå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà íà àëãåáðàõ Ëè, âîçíèêàþùèå
â çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåìàòèêà. � 1984. �48,
� 5. � Ñ. 883�938.
10. Yehia H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Ìech. Res. Commun. �
1986. � 13, � 3. � P. 169�172.
11. Bobenko A.I., Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M. A. The Kowalewski top 99 years
later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions // Commun. Math. Phys. � 1989. �
122, � 2. � P. 321�354.
12. Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû. Ãåîìåòðèÿ, òî-
ïîëîãèÿ, êëàññèôèêàöèÿ. Â 2-õ ò. � Èæåâñê: Èçä-âî ÐÕÄ, 1999. � Ò. 1. � 444 ñ.; Ò. 2. �
448 ñ.
13. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ êðèòè÷åñêèõ äâèæåíèé îáîáùåííîãî âîë÷-
êà Êîâàëåâñêîé è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2006.
� Âûï. 36. � Ñ. 13�22.
14. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Îñîáûå ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì
ïîëå // Ñì. ñòàòüþ â íàñò. ñá. � Ñ. 85-96.
15. Kharlamov M.P., Zotev D.B. Non-degenerate energy surfaces of rigid body in two constant
�elds // Regular and Chaotic Dynamics. � 2005. � 10, � 1. � P. 15�19.
16. Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams of the Kowalevski top in two constant �elds // Ib��d.
� 2005. � 10, � 4. � P. 381�398.
17. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Êðèòè÷åñêèå ïîäñèñòåìû ãèðîñòàòà Êîâàëåâñêîé â äâóõ ïîñòîÿííûõ
ïîëÿõ // Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà. � 2007. � 3, � 3. � C. 331�348.
Ôèíàíñ. àêàä. ïðè ïðàâèòåëüñòâå ÐÔ, Ìîñêâà, Ðîññèÿ
orelryabov@mtu-net.ru; orelryabov@mail.ru
Ïîëó÷åíî 05.09.07
111
|