Учет симметрий при исследовании устойчивости
Приводится теорема, которая дает возможность обнаружить неустойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений, опираясь на группу симметрий и на одно частное решение, определенное на конечном интервале независимой переменной t, принадлежащей [0, t1]. Предполагается, что решение при 1 =...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27943 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Учет симметрий при исследовании устойчивости / С.А. Кутепов, Г.Н. Яковенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 136-144. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27943 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279432011-10-25T12:18:26Z Учет симметрий при исследовании устойчивости Кутепов, С.А. Яковенко, Г.Н. Приводится теорема, которая дает возможность обнаружить неустойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений, опираясь на группу симметрий и на одно частное решение, определенное на конечном интервале независимой переменной t, принадлежащей [0, t1]. Предполагается, что решение при 1 = t1 находится за пределами ε-окрестности. Группа симметрий “тиражирует” исходное решение, создавая новые частные решения той же системы, определенные на интервалах t, принадлежащих [0, t1]. У новых решений положения при t = 0 приближаются к началу координат, а положения при t = t1 остаются за пределами ε-окрестности. В качестве приложений теоремы рассмотрены вопросы устойчивости положений равновесия механических систем, в частности, твердого тела с неподвижной точкой. 2007 Article Учет симметрий при исследовании устойчивости / С.А. Кутепов, Г.Н. Яковенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 136-144. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27943 576.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Приводится теорема, которая дает возможность обнаружить неустойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений, опираясь на группу симметрий и на одно частное решение, определенное на конечном интервале независимой переменной t, принадлежащей [0, t1]. Предполагается, что решение при 1 = t1 находится за пределами ε-окрестности. Группа симметрий “тиражирует” исходное решение, создавая новые частные решения той же системы, определенные на интервалах t, принадлежащих [0, t1]. У новых решений положения при t = 0 приближаются к началу координат, а положения при t = t1 остаются за пределами ε-окрестности. В качестве приложений теоремы рассмотрены вопросы устойчивости положений равновесия механических систем, в частности, твердого тела с неподвижной точкой. |
| format |
Article |
| author |
Кутепов, С.А. Яковенко, Г.Н. |
| spellingShingle |
Кутепов, С.А. Яковенко, Г.Н. Учет симметрий при исследовании устойчивости Механика твердого тела |
| author_facet |
Кутепов, С.А. Яковенко, Г.Н. |
| author_sort |
Кутепов, С.А. |
| title |
Учет симметрий при исследовании устойчивости |
| title_short |
Учет симметрий при исследовании устойчивости |
| title_full |
Учет симметрий при исследовании устойчивости |
| title_fullStr |
Учет симметрий при исследовании устойчивости |
| title_full_unstemmed |
Учет симметрий при исследовании устойчивости |
| title_sort |
учет симметрий при исследовании устойчивости |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27943 |
| citation_txt |
Учет симметрий при исследовании устойчивости / С.А. Кутепов, Г.Н. Яковенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 136-144. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT kutepovsa učetsimmetrijpriissledovaniiustojčivosti AT âkovenkogn učetsimmetrijpriissledovaniiustojčivosti |
| first_indexed |
2025-07-03T07:55:54Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:55:54Z |
| _version_ |
1836611644794339328 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2007. Âûï. 37
ÓÄÊ 576.38
c©2007. Ñ.À. Êóòåïîâ, Ã.Í. ßêîâåíêî
Ó×ÅÒ ÑÈÌÌÅÒÐÈÉÏÐÈÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
Ïðèâîäèòñÿ òåîðåìà, êîòîðàÿ äàåò âîçìîæíîñòü îáíàðóæèòü íåóñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðå-
øåíèÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèðàÿñü íà ãðóïïó ñèììåòðèé è íà îäíî
÷àñòíîå ðåøåíèå, îïðåäåëåííîå íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t ∈ [0, t1].
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå ïðè t = t1 íàõîäèòñÿ çà ïðåäåëàìè ε-îêðåñòíîñòè. Ãðóïïà
ñèììåòðèé �òèðàæèðóåò� èñõîäíîå ðåøåíèå, ñîçäàâàÿ íîâûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ òîé æå ñè-
ñòåìû, îïðåäåëåííûå íà èíòåðâàëàõ t ∈ [0, t̂1]. Ó íîâûõ ðåøåíèé ïîëîæåíèÿ ïðè t = 0
ïðèáëèæàþòñÿ ê íà÷àëó êîîðäèíàò, à ïîëîæåíèÿ ïðè t = t̂1 � îñòàþòñÿ çà ïðåäåëàìè
ε-îêðåñòíîñòè.  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèé òåîðåìû ðàññìîòðåíû âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè ïîëî-
æåíèé ðàâíîâåñèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì, â ÷àñòíîñòè, òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé.
Ñïîñîáû èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè äëÿ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÎÄÓ) âî ìíîãîì îïðåäåëÿþòñÿ èìåþùåéñÿ î ðåøå-
íèÿõ ÎÄÓ èíôîðìàöèè. Åñëè èíôîðìàöèÿ îãðàíè÷èâàåòñÿ çíàíèåì ïðàâûõ
÷àñòåé ÎÄÓ, òî ïðèâëåêàþòñÿ îáùèå ìåòîäû òåîðèè óñòîé÷èâîñòè.  äðó-
ãîì êðàéíåì ñëó÷àå, êîãäà èçâåñòíî îáùåå ðåøåíèå, âûÿñíåíèå óñòîé÷èâîñòè
ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé â òîì èëè èíîì ñìûñëå.
Ïðîìåæóòî÷íûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà èçâåñòíà ãðóïïà ñèììåò-
ðèé ÎÄÓ: âñå ðåøåíèÿ çàäàþòñÿ ãðóïïîé ñèììåòðèé è ðåøåíèåì, ñîäåðæà-
ùèì ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, ÷èñëî êîòîðûõ ìåíüøå ðàçìåðíîñòè ÎÄÓ.
×àñòíîå ïðîÿâëåíèå ñèììåòðèè (îäíîðîäíîñòü, êâàçèîäíîðîäíîñòü) èñïîëü-
çîâàëîñü äëÿ èçó÷åíèÿ âîïðîñîâ óñòîé÷èâîñòè [1�4].  ðàáîòå ôîðìóëèðóåòñÿ
òåîðåìà, êîòîðàÿ äàåò âîçìîæíîñòü îáíàðóæèòü íåóñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðå-
øåíèÿ, îïèðàÿñü íà ãðóïïó ñèììåòðèé è íà îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå ÎÄÓ, îïðå-
äåëåííîå íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t ∈ [0, t1]. Ïðåä-
ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå ïðè t = t1 íàõîäèòñÿ çà ïðåäåëàìè ε-îêðåñòíîñòè.
Ãðóïïà ñèììåòðèé �òèðàæèðóåò� èñõîäíîå ðåøåíèå, ñîçäàâàÿ íîâûå ÷àñòíûå
ðåøåíèÿ òîé æå ñèñòåìû, îïðåäåëåííûå íà èíòåðâàëàõ t ∈ [0, t̂1]. Ó íîâûõ
ðåøåíèé ïîëîæåíèÿ ïðè t = 0 ïðèáëèæàþòñÿ ê íà÷àëó êîîðäèíàò, à ïîëîæå-
íèÿ ïðè t = t̂1 îñòàþòñÿ çà ïðåäåëàìè ε-îêðåñòíîñòè.  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèé
òåîðåìû ðàññìîòðåíû âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ìåõàíè-
÷åñêèõ ñèñòåì. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè, ó÷àñòâóþùèå â äàëüíåéøèõ
ïîñòðîåíèÿõ, äîñòàòî÷íî ãëàäêèå, â ÷àñòíîñòè, ÎÄÓ (1), (8), (18) óäîâëåòâî-
ðÿþò îäíîé èç òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ÎÄÓ
dx
dt
= ẋ = ϕ(x), x ∈ Rn, ϕ(0) = 0. (1)
Íàïîìíèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ.
136
Ó÷åò ñèììåòðèé ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè
Îïðåäåëåíèå 1. Ðåøåíèå x(t) ≡ 0 ñèñòåìû (1) óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó
(äàëåå ïðîñòî óñòîé÷èâî), åñëè äëÿ îáùåãî ðåøåíèÿ x(t, x0) (x(0, x0) = x0)
âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ: ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀|x0| < δ, ∀t > 0, |x(t, x0)| < ε. Ðåøå-
íèå x(t) ≡ 0 ñèñòåìû (1) íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó (äàëåå ïðîñòî íåóñòîé÷è-
âî), åñëè äëÿ îáùåãî ðåøåíèÿ x(t, x0) (x(0, x0) = x0) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃|x0| < δ, ∃t > 0, |x(t, x0)| > ε.
Îïðåäåëåíèå 2. Íåîñîáåííîå ïðåîáðàçîâàíèå
t̂ = t̂(t, x), x̂ = x̂(t, x) (2)
íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè ñèñòåìû (1), åñëè â íîâûõ ïåðåìåí-
íûõ ïðàâûå ÷àñòè ñèñòåìû
dx̂
dt̂
= ϕ(x̂)
çàäàþòñÿ òåìè æå ôóíêöèÿìè ϕ(·), ÷òî è â ñèñòåìå (1).
Ïîëåçíîñòü ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè ñèñòåìû ÎÄÓ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì
ñâîéñòâå: åñëè x̃(t) � ðåøåíèå ñèñòåìû (1), òî ôóíêöèÿ x̂(t̂), êîòîðàÿ ïàðà-
ìåòðè÷åñêè (t � ïàðàìåòð) çàäàåòñÿ ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ (2)
t̂ = t̂(t, x̃(t)), x̂ = x̂(t, x̃(t)),
òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (1).
Îïðåäåëåíèå 3. Ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé (τ � ïàðàìåòð)
t̂ = t̂(t, x, τ), x̂ = x̂(t, x, τ) (3)
íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé ñèììåòðèé ñèñòåìû (1) (ãðóïïîé, äîïóñêàåìîé ñèñòåìîé
(1)), åñëè, âî-ïåðâûõ, ñåìåéñòâî (3) � ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé [5], âî-âòîðûõ,
ïðè êàæäîì τ ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå (3) åñòü ïî îïðåäåëåíèþ 2
ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè. Ñîîòâåòñòâóþùèé ãðóïïå (3) îïåðàòîð
Y = ξ(t, x)
∂
∂t
+
n∑
i=1
ηi(t, x)
∂
∂xi
, ξ (t, x) =
∂
_
t (t, x, τ)
∂τ
∣∣∣∣∣
τ=0
,
ηi (t, x) =
∂
_
xi (t, x, τ)
∂τ
∣∣∣∣∣
τ=0
íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ñèììåòðèé.
Ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïåðñïåêòèâíûì ðàçâèòèå ìåòîäîâ òåîðèè óñòîé÷èâîñòè â
òàêîé ñèòóàöèè: èíôîðìàöèÿ î ñèñòåìå (1) ÷àñòè÷íî ñîäåðæèòñÿ â åå ãðóïïå
ñèììåòðèé, à ÷àñòè÷íî â ðåøåíèè, íå ÿâëÿþùåìñÿ îáùèì. Óäîáíûì ñâîé-
ñòâîì ïðè ïîëó÷åíèè ðåçóëüòàòîâ ïîäîáíîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî íåóñòîé-
÷èâîñòè: íóëåâîå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâî, åñëè îíî íåóñòîé÷èâî íà èíòåãðàëü-
íîì ìíîãîîáðàçèè ÎÄÓ, ñîäåðæàùåì íà÷àëî êîîðäèíàò. Òàêîå ìíîãîîáðà-
çèå ñîçäàåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè ïîìîùè îäíîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ è îäíîïàðà-
ìåòðè÷åñêîé ãðóïïû ñèììåòðèé. Ñôîðìóëèðóåì äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ òåîðåìó î
íåóñòîé÷èâîñòè.
137
Ñ.À. Êóòåïîâ, Ã.Í. ßêîâåíêî
Òåîðåìà. Åñëè äëÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ x̃(t) ñèñòåìû (1) è ãðóïïû ñèì-
ìåòðèé (3) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
x̃(0) = x0 6= 0; |x1| > ε, x1 = x̃(t1), t1 > 0, (4)
∀δ > 0, ∃τ, |x̂(0, x0, τ)| < δ, |x̂(t1, x1, τ)| > ε, (5)
òî ðåøåíèå x(t) ≡ 0 ñèñòåìû (1) íåóñòîé÷èâî.
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 1 íåóñòîé÷èâîñòè è îïðåäåëåíèÿ
3 ãðóïïû ñèììåòðèé.
Ïðèìåð 1. Êîíñåðâàòèâíàÿ ñèñòåìà ñ íóëåâîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé
îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà
H(q, p) =
1
2
n∑
i, k=1
bik(q)pipk,
ãäå ‖bik(q)‖ � ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Ñèñòåìå ñîîòâåòñòâóþò
óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
q̇i =
n∑
k=1
bik(q)pk, ṗl = −1
2
n∑
i, k=1
∂bik(q)
∂ql
pipk. (6)
 êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ äàííûõ ïðèìåì
p̃1(0) = p0 > 0, p̃2(0) = 0, . . . , p̃n(0) = 0, q̃1(0) = 0, . . . , q̃n(0) = 0.
Âñëåäñòâèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû ‖bik(q)‖ ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî ˙̃q1(0) = b11(0)p0 > 0. Ïî íåïðåðûâíîñòè ïðè 0 6 t 6 t1 âû-
ïîëíÿåòñÿ ˙̃q1(t) > 0, ñëåäîâàòåëüíî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
q̃1(t1) =
t1∫
0
˙̃q1(t)dt = ε > 0.
Ðåøåíèå q̃(t), p̃(t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4) òåîðåìû:
|q̃(t1), p̃(t1)| > q̃1(t1) = ε > 0
(çäåñü è äàëåå â êà÷åñòâå íîðìû |x| âåêòîðà x = (x1, x2, . . . , xn) ïîäðàçóìå-
âàåòñÿ åâêëèäîâà íîðìà |x| =
√
x2
1 + x2
2 + · · ·+ x2
n ). Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ 3
è óðàâíåíèé (6) íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ãðóïïà
t̂ = tτ, q̂i = qi, p̂i = piτ
−1
138
Ó÷åò ñèììåòðèé ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè
� ãðóïïà ñèììåòðèé ñèñòåìû (6). Ïðè τ = 2p0/δ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5)
òåîðåìû:
|q̂(t̂0), p̂(t̂0)| = |q̃(0), p̃(0)τ−1| = p0τ
−1 =
δ
2
< δ;
|q̂(t̂1), p̂(t̂1)| > |q̂1(t̂1)| = |q̂1(t1τ)| = q̃1(t1) = ε > 0.
Óñëîâèÿ (4), (5) òåîðåìû âûïîëíåíû, ðåøåíèå q(t) ≡ 0, p(t) ≡ 0 � íåóñòîé-
÷èâî.
Ïðèìåð 2. Òåëî, îáëàäàþùåå äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèåé (0 < A = B 6= C,
ñëó÷àé 0 < A < B < C ðàññìîòðåí â ïðèìåðå 5), ñîâåðøàåò äâèæåíèå ñ
íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ ìîìåíòîâ:
ṗ = aqr, q̇ = −apr, ṙ = 0, a =
A− C
A
.
Èçó÷àåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ïåðìàíåíòíîãî âðàùåíèÿ p = 0, q = ω0, r = 0 âîêðóã
ýêâàòîðèàëüíîé îñè. Ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííûõ p = x, q = y + ω0, r = z
óðàâíåíèÿ ïðèîáðåòàþò âèä
ẋ = a(y + ω0)z, ẏ = −axz, ż = 0. (7)
Èçó÷àåòñÿ óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ. Ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ x0 = 0,
y0 = 0, z0 6= 0, sign z0 = sign aω0 ñïðàâåäëèâî
ẋ(0) = ẋ0 = aω0z0 > 0.
Ïî íåïðåðûâíîñòè ïðè 0 6 t 6 t1 âûïîëíÿåòñÿ ẋ(t) > 0, ñëåäîâàòåëüíî
x(t1) =
t1∫
0
ẋ(t)dt = ε > 0.
Ðåøåíèå x(t), y(t), z(t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4) òåîðåìû:
|x(t1), y(t1), z(t1)| > |x(t1)| = ε > 0.
Ãðóïïà
t̂ = tτ, x̂ = x, ŷ = y, ẑ = zτ−1
� ãðóïïà ñèììåòðèé ñèñòåìû (7). Ïðè τ = 2z0/δ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5)
òåîðåìû:
|x̂(t̂0), ŷ(t̂0), ẑ(t̂0)| = |x0, y0, z0τ
−1| = z0τ
−1 =
δ
2
< δ;
|x̂(t̂1), ŷ(t̂1), ẑ(t̂1)| > |x̂(t̂1)| = |x̂(t1τ)| = x(t1) = ε > 0.
139
Ñ.À. Êóòåïîâ, Ã.Í. ßêîâåíêî
Óñëîâèÿ (4), (5) òåîðåìû âûïîëíåíû. Ðåøåíèå x(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0, z(t) ≡ 0 �
íåóñòîé÷èâî.
Ïðèìåð 3. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà
ẋ = ϕ(x), x ∈ R1. (8)
Äëÿ ôóíêöèè ϕ(x) ïðåäïîëàãàåòñÿ
ϕ(x) =
{
0, åñëè x = 0;
> 0, åñëè 0 < x 6 x∗. (9)
Ïîêàæåì, ÷òî íóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8) ïðè óñëîâèè (9) íåóñòîé÷èâî.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
ψ(x) =
x∫
x∗
dx
ϕ(x)
(10)
(â êà÷åñòâå íèæíåãî ïðåäåëà ìîæíî âçÿòü ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî). Ïðè
íà÷àëüíîì óñëîâèè 0 < x0 < x∗ ðåøåíèå x(t) óðàâíåíèÿ (8) íåÿâíî çàäàåòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì
ψ(x(t)) = ψ(x0) + t. (11)
Âñëåäñòâèå (9) è (10) ψ(x) � ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, ïîýòîìó çàâèñè-
ìîñòü x(t) îïðåäåëåíà. Ñ ó÷åòîì (9) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî ẋ(0) = ϕ(x0) >
> 0. Ïî íåïðåðûâíîñòè ïðè 0 6 t 6 t1 âûïîëíÿåòñÿ ẋ(t) > 0, ñëåäîâàòåëüíî
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
x1 = x(t1) =
t1∫
0
ẋ(t)dt = ε > 0, (12)
è óñëîâèå (4) òåîðåìû âûïîëíåíî. Ïðè íåîáõîäèìîñòè çíà÷åíèå t1 ìîæíî
óìåíüøèòü òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü 0 < ε < x∗. Óðàâíåíèå (8) äîïóñêàåò
ãðóïïó ñ îïåðàòîðîì ñèììåòðèé [5]
X0 =
∂
∂t
+ ϕ(x)
∂
∂x
,
à òàêæå ãðóïïó ñ îïåðàòîðîì ñèììåòðèé
Y1 = ϕ(x)
∂
∂x
è ãðóïïó ñ îïåðàòîðîì ñèììåòðèé
Y = tX0 − Y1 = t
∂
∂t
+ ϕ(x)(t− 1)
∂
∂x
. (13)
140
Ó÷åò ñèììåòðèé ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè
Îïåðàòîðó (13) ñîîòâåòñòâóåò ãðóïïà ñèììåòðèé � ðåøåíèå óðàâíåíèé [5]
dt̂
dτ
= t̂, t̂(0) = t,
dx̂
dτ
= ϕ(x̂)(t̂− 1), x̂(0) = x.
Ïåðâîå óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå
t̂ = teτ , (14)
ïîäñòàíîâêà êîòîðîãî âî âòîðîå óðàâíåíèå ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ
dx̂
dτ
= ϕ(x̂)(teτ − 1), x̂(0) = x
è ê åãî ðåøåíèþ (ñì. îáîçíà÷åíèå (10))
ψ(x̂) = ψ(x) + t (eτ − 1)− τ. (15)
Òàê êàê ôóíêöèÿ ψ(x) ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ, çàâèñèìîñòü x̂(t, x, τ) îïðåäåëå-
íà. Ãðóïïà ñèììåòðèé (14), (15) óðàâíåíèÿ (8) ïðè êàæäîì çíà÷åíèè τ ïåðå-
âîäèò ðåøåíèå x(t) óðàâíåíèÿ (8), çàäàííîå íà èíòåðâàëå 0 6 t 6 t1, â åãî æå
ðåøåíèå x̂(t̂), ïàðàìåòðè÷åñêè (t � ïàðàìåòð) îïðåäåëåííîå ñîîòíîøåíèÿìè
t̂ = teτ , ψ(x̂) = ψ(x(t)) + t (eτ − 1)− τ. (16)
Ïîêàæåì, ÷òî, åñëè ïàðàìåòðàì τ è t ïðèäàòü çíà÷åíèÿ
τ = ψ(x0)− ψ(x̂0) =
x0∫
x̂0
dx
ϕ(x)
(ñì. (10)), t = t2 = (t1 + τ)e−τ , (17)
òî ðåøåíèå x̂(t̂) óäîâëåòâîðèò óñëîâèþ (5) òåîðåìû. Äåéñòâèòåëüíî, íà÷àëü-
íûå çíà÷åíèÿ {t0 = 0, x0} ïðè ïîìîùè (16) ïåðåéäóò â {t̂0 = 0, x̂0}, ãäå
x̂0 çàðàíåå âûáðàíî òàê, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ 0 < x̂0 < δ. Äëÿ êîíå÷íûõ æå
çíà÷åíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ â (16) t2, âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà (ó÷èòûâàþòñÿ
ñîîòíîøåíèÿ (11) è (12)):
t̂2 = t2e
τ = t1 + τ,
ψ(x̂(t̂2)) = ψ(x(t2)) + t2e
τ − t2 − τ = ψ(x0) + t2 + t1 + τ − t2 − τ =
= ψ(x0) + t1 = ψ(x1) = ψ(ε).
Èç ïîñëåäíåé öåïî÷êè ðàâåíñòâ, âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ ψ(x) ñòðîãî
âîçðàñòàåò, ñëåäóåò x̂(t̂2) = ε. Óñëîâèÿ (4), (5) òåîðåìû âûïîëíåíû. Ðåøåíèå
x(t) ≡ 0 íåóñòîé÷èâî.
141
Ñ.À. Êóòåïîâ, Ã.Í. ßêîâåíêî
Ïðèìåð 4. Ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå ẍ = f(x), êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê
ñëåäóþùåìó íîðìàëüíîìó âèäó
ẋ = y,
ẏ = f(x). (18)
Äëÿ ôóíêöèè f(x) ïðåäïîëàãàåòñÿ
f(x) =
{
0, åñëè x = 0;
> 0, åñëè 0 < x 6 x∗. (19)
Ïîêàæåì, ÷òî íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (18) ïðè óñëîâèè (19) íåóñòîé÷èâî.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
g(x) = 2
x∫
0
f(x)dx. (20)
Ôóíêöèÿ g(x) â ñèëó (19) óäîâëåòâîðÿåò, êàê è ôóíêöèÿ f(x), óñëîâèþ (19).
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñèñòåìà (18) èìååò ïåðâûé èíòåãðàë y2−
−g(x) = const. Èçó÷èì ïîâåäåíèå ðåøåíèé ñèñòåìû (18) íà ÷àñòè èíâàðè-
àíòíîé ïîâåðõíîñòè
y2 − g(x) = 0, y > 0. (21)
Íà ýòîì ìíîæåñòâå âûïîëíÿåòñÿ y =
√
g(x), â ñèëó ÷åãî ïåðâîå óðàâíåíèå
ñèñòåìû (18) ïðèîáðåòàåò âèä
ẋ =
√
g(x). (22)
Âñëåäñòâèå (19), (20), ôóíêöèÿ ϕ(x) =
√
g(x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (9) ïðè-
ìåðà 3, ïîýòîìó íóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (22) íåóñòîé÷èâî, ò. å. â ñîîò-
âåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 1 ñóùåñòâóåò ðåøåíèå x(t), ó êîòîðîãî íà÷àëüíîå
çíà÷åíèå x0 íå ïðåâîñõîäèò çàäàííóþ ñêîëü óãîäíî ìàëóþ âåëè÷èíó δ > 0,
à êîíå÷íîå çíà÷åíèå x1 ïðåâîñõîäèò ôèêñèðîâàííóþ âåëè÷èíó ε > 0. Àíàëî-
ãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ è ó èñõîäíîé ñèñòåìû (18): ñóùåñòâóåò ðåøåíèå x(t), y(t) =
=
√
g(x(t)), ó êîòîðîãî íà÷àëüíàÿ òî÷êà x0, y0 =
√
g(x0) ñêîëü óãîäíî áëèç-
êà ê íà÷àëó êîîðäèíàò, à êîíå÷íàÿ òî÷êà x1, y1 =
√
g(x1) çà ïðåäåëàìè ε-
îêðåñòíîñòè.
Ïðèìåð 5. Òâåðäîå òåëî (0 < A < B < C, ñëó÷àé 0 < A = B 6= C
ðàññìîòðåí â ïðèìåðå 2) ñîâåðøàåò äâèæåíèå ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïðè
îòñóòñòâèè âíåøíèõ ìîìåíòîâ
ṗ = −α2qr, q̇ = β2pr, ṙ = −γ2pq, α2 =
C −B
A
, β2 =
C −A
B
, γ2 =
B −A
C
.
Èçó÷àåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ïåðìàíåíòíîãî âðàùåíèÿ p = 0, q = −b, b > 0,
r = 0 âîêðóã íåýêñòðåìàëüíîé ãëàâíîé îñè èíåðöèè. Ïîñëå çàìåíû ïåðåìåí-
íûõ p = x, q = y − b, r = z óðàâíåíèÿ ïðèîáðåòàþò âèä
ẋ = −α2(y − b)z, ẏ = β2xz, ż = −γ2x(y − b). (23)
142
Ó÷åò ñèììåòðèé ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè
Èçó÷àåòñÿ óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ. Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ íà-
ëè÷èå ó ñèñòåìû (23) ïåðâûõ èíòåãðàëîâ β2x2 +α2(y−b)2 = C1, γ2x2−α2z2 =
= C2. Èçó÷èì ïîâåäåíèå ðåøåíèé ñèñòåìû (23) íà èíâàðèàíòíîé ïîâåðõíîñòè
β2x2 + α2(y − b)2 = α2b2, γ2x2 − α2z2 = 0. (24)
Ïðè ïîëîæèòåëüíûõ ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ íà ïîâåðõíîñòè âûïîëíÿ-
åòñÿ
y − b = −
√
b2 − β2
α2
x2, z =
γ
α
x, (25)
â ñèëó ÷åãî ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (23) ïðèîáðåòàåò âèä
ẋ =
γ
α
x
√
α2b2 − β2x2. (26)
Ïðè 0 < x < αb/β ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (26) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (9)
ïðèìåðà 3, ïîýòîìó íóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (26) íåóñòîé÷èâî, òî åñòü â
ñîîòâåòñòâèå ñ îïðåäåëåíèåì 1 ñóùåñòâóåò ðåøåíèå x(t), ó êîòîðîãî íà÷àëüíîå
çíà÷åíèå x0 > 0 íå ïðåâîñõîäèò çàäàííóþ ñêîëü óãîäíî ìàëóþ âåëè÷èíó δ > 0,
à êîíå÷íîå çíà÷åíèå x1 > 0 ïðåâîñõîäèò ôèêñèðîâàííóþ âåëè÷èíó ε > 0.
Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ è ó èñõîäíîé ñèñòåìû (23): ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (ñì.
(25))
x(t), y(t) = b−
√
b2 − β2
α2
x2(t), z(t) =
γ
α
x(t),
ó êîòîðîãî íà÷àëüíàÿ òî÷êà
x0, y0 = b−
√
b2 − β2
α2
x2
0, z0 =
γ
α
x0
ñêîëü óãîäíî áëèçêà ê íà÷àëó êîîðäèíàò (y0 ≈ β2
2bα2
x2
0), à êîíå÷íàÿ òî÷êà
x1, y1 = b−
√
b2 − β2
α2
x2
1, z1 =
γ
α
x1
çà ïðåäåëàìè ε-îêðåñòíîñòè (|x1, y1, z1| > |x1| > ε). Íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòå-
ìû (23) íåóñòîé÷èâî. Ïåðìàíåíòíîå âðàùåíèå âîêðóã íåýêñòðåìàëüíîé ãëàâ-
íîé îñè èíåðöèè íåóñòîé÷èâî.
Îòìåòèì, ÷òî ïðèìåðó 2 ñîîòâåòñòâóåò γ = 0, óðàâíåíèå (26) ïðèíèìàåò
âèä ẋ = 0, è èç ïðèâåäåííûõ â ïðèìåðå 5 ðàññóæäåíèé íå ñëåäóåò âûâîä î
íåóñòîé÷èâîñòè.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäà-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (ïðîåêòû 05�01�00940, 07�01�00217).
1. Çóáîâ Â.È. Ìåòîäû Ëÿïóíîâà è èõ ïðèìåíåíèå. � Ë.: Èçä-âî Ëåíèíãð. óí-òà, 1957. �
241 ñ.
143
Ñ.À. Êóòåïîâ, Ã.Í. ßêîâåíêî
2. Êîçëîâ Â.Â. Î íåóñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå // Óñïåõè ìàò. íàóê.
� 1981. � 36, âûï. 3. � Ñ. 215�216.
3. ×åòàåâ Í.Ã. Óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ. � 4-å èçä., èñïð. � Ì.: Íàóêà, 1990. � 170 ñ.
4. ßêîâåíêî Ã.Í. Òåîðåìà î íåóñòîé÷èâîñòè äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé ñ ñèììåòðèåé // Ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà â àíàëèçå äèíàìèêè ñèñòåì. � Íîâî-
ñèáèðñê: Íàóêà, 1987. � Ñ. 112�118.
5. Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. � Ì.: Íàóêà, 1978.
� 400 ñ.
Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõí. èí-ò, Äîëãîïðóäíûé, Ðîññèÿ
yakovenko_g@mtu-net.ru
Ïîëó÷åíî 06.11.07
144
|