Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением
Рассмотрена замкнутая система n твердых тел Sk, связанных упругими сферическими шарнирами. На систему не действуют внешние силы и моменты. Записаны уравнения равновесия изучаемого объекта. Рассмотрен частный случай равновесной конфигурации системы, когда оси симметрии всех тел расположены в одной пл...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27944 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 145-151. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27944 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279442011-10-25T12:18:57Z Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. Рассмотрена замкнутая система n твердых тел Sk, связанных упругими сферическими шарнирами. На систему не действуют внешние силы и моменты. Записаны уравнения равновесия изучаемого объекта. Рассмотрен частный случай равновесной конфигурации системы, когда оси симметрии всех тел расположены в одной плоскости. В простейшем случае (n = 6) построено решение типа "розы", в котором возможно самопересечение в одной точке осей симметрии нескольких тел Sk. Данное решение является конечномерным аналогом решения Е.Л. Старостина, полученного для самопересекающихся упругих стержней. Выделены области геометрических параметров, в которых изучаемое решение существует. 2007 Article Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 145-151. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27944 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена замкнутая система n твердых тел Sk, связанных упругими сферическими шарнирами. На систему не действуют внешние силы и моменты. Записаны уравнения равновесия изучаемого объекта. Рассмотрен частный случай равновесной конфигурации системы, когда оси симметрии всех тел расположены в одной плоскости. В простейшем случае (n = 6) построено решение типа "розы", в котором возможно самопересечение в одной точке осей симметрии нескольких тел Sk. Данное решение является конечномерным аналогом решения Е.Л. Старостина, полученного для самопересекающихся упругих стержней. Выделены области геометрических параметров, в которых изучаемое решение существует. |
| format |
Article |
| author |
Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| spellingShingle |
Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением Механика твердого тела |
| author_facet |
Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| author_sort |
Болграбская, И.А. |
| title |
Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением |
| title_short |
Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением |
| title_full |
Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением |
| title_fullStr |
Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением |
| title_full_unstemmed |
Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением |
| title_sort |
положение равновесия замкнутых систем с самопересечением |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27944 |
| citation_txt |
Положение равновесия замкнутых систем с самопересечением / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 145-151. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT bolgrabskaâia položenieravnovesiâzamknutyhsistemssamoperesečeniem AT ŝepinnn položenieravnovesiâzamknutyhsistemssamoperesečeniem |
| first_indexed |
2025-07-03T07:55:58Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:55:58Z |
| _version_ |
1836611648667779072 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2007. Âûï. 37
ÓÄÊ 531.38
c©2007. È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí
ÏÎËÎÆÅÍÈÅ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÇÀÌÊÍÓÒÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ñ ÑÀÌÎÏÅÐÅÑÅ×ÅÍÈÅÌ
Ðàññìîòðåíà çàìêíóòàÿ ñèñòåìà n òâåðäûõ òåë Sk, ñâÿçàííûõ óïðóãèìè ñôåðè÷åñêèìè
øàðíèðàìè. Íà ñèñòåìó íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû è ìîìåíòû. Çàïèñàíû óðàâíåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ èçó÷àåìîãî îáúåêòà. Ðàññìîòðåí ÷àñòíûé ñëó÷àé ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè
ñèñòåìû, êîãäà îñè ñèììåòðèè âñåõ òåë ðàñïîëîæåíû â îäíîé ïëîñêîñòè. Â ïðîñòåéøåì
ñëó÷àå (n = 6) ïîñòðîåíî ðåøåíèå òèïà �ðîçû�, â êîòîðîì âîçìîæíî ñàìîïåðåñå÷åíèå â
îäíîé òî÷êå îñåé ñèììåòðèè íåñêîëüêèõ òåë Sk. Äàííîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåð-
íûì àíàëîãîì ðåøåíèÿ Å.Ë. Ñòàðîñòèíà, ïîëó÷åííîãî äëÿ ñàìîïåðåñåêàþùèõñÿ óïðóãèõ
ñòåðæíåé. Âûäåëåíû îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, â êîòîðûõ èçó÷àåìîå ðåøåíèå
ñóùåñòâóåò.
Ââåäåíèå.  ïîñëåäíåå âðåìÿ âíèìàíèå ìíîãèõ ó÷åíûõ ïðèâëåêàåò èçó-
÷åíèå çàìêíóòûõ ñòåðæíåâûõ ñèñòåì. Ñâÿçàíî ýòî ñ îäíèì èç íàèáîëåå èí-
òåðåñíûõ ïðèëîæåíèé òåîðèè ñòåðæíåé, à èìåííî, ìîäåëèðîâàíèåì ñ èõ ïî-
ìîùüþ òðåòè÷íîé ñòðóêòóðû áåëêîâûõ ìîëåêóë, â ÷àñòíîñòè, ìîëåêóë ÄÍÊ.
Îäíèì èç íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîèñê ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé
çàìêíóòûõ óïðóãèõ ñòåðæíåé. Èçó÷åíèþ ýòîé ïðîáëåìû, â ÷àñòíîñòè, ïîñâÿ-
ùåíû ðàáîòû [1�6]. Ïåðâûìè, ïîëó÷åííûìè â [1�4] ðàâíîâåñíûìè êîíôèãó-
ðàöèÿìè çàìêíóòûõ ñòåðæíåé, áûëè òàêèå, â êîòîðûõ óïðóãàÿ îñü ñòåðæíÿ
ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæíîñòü èëè �âîñüìåðêó�.
 2000 ã. Å.Ë. Ñòàðîñòèí ïðåäñòàâèë åùå îäíî òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèé
ðàâíîâåñèÿ óïðóãèõ çàìêíóòûõ ñèñòåì, êîòîðîå îí íàçâàë ðåøåíèåì òèïà
�ðîçû� [5].  ðàáîòå [6] ïðîâåäåí ÷èñëåííûé àíàëèç ýòîãî ðåøåíèÿ. Ñëåäóåò
îòìåòèòü, ÷òî âî âñåõ ïðèâåäåííûõ ðàáîòàõ [1�6] ðåøåíèÿ ïîëó÷åíû â âèäå
ñëîæíûõ âûðàæåíèé, âêëþ÷àþùèõ ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè, è â äàëüíåéøåì
âîçìîæåí òîëüêî èõ ÷èñëåííûé àíàëèç.
 ðàáîòàõ [7, 8] ïðåäëîæåíà êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî
ñòåðæíÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãî èç ñåáÿ ñèñòåìó n ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà, ñâÿçàí-
íûõ óïðóãèìè ñôåðè÷åñêèìè øàðíèðàìè.  [8] ââåäåí óïðóãèé øàðíèð, äî-
ïóñêàþùèé áîëüøèå ïðîãèáû, ÷òî ïîçâîëèëî, êàê è â óïðóãèõ ñòåðæíåâûõ
ñèñòåìàõ, ó÷åñòü ãåîìåòðè÷åñêóþ íåëèíåéíîñòü îáúåêòà. Ïðåäëîæåííûé êî-
íå÷íîìåðíûé ïîäõîä äàë âîçìîæíîñòü â ÿâíîì âèäå çàïèñàòü ðåøåíèÿ äëÿ
êðóãîâîé îñè ñòåðæíÿ [7, 8], à â ñëó÷àå êðèâîé òèïà �âîñüìåðêè� âûïèñàòü
ðåøåíèå â ÿâíîì âèäå è ïðîâåñòè åãî àíàëèç äëÿ êîíêðåòíîãî ÷èñëà òåë â
ñèñòåìå (â [8] n = 4 è 6).
 íàñòîÿùåé ñòàòüå â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå (n = 6) ïîñòðîåíî ðåøåíèå òèïà
�ðîçû�, â êîòîðîì âîçìîæíî ñàìîïåðåñå÷åíèå â îäíîé òî÷êå îñåé ñèììåòðèè
íåñêîëüêèõ òåë Sk. Ýòî ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì àíàëîãîì ðåøåíèÿ
Å.Ë. Ñòàðîñòèíà [5, 6]. Âûäåëåíû îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïà-
145
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí
ðàìåòðîâ, äîïóñêàþùèõ ïîëó÷åííîå ðåøåíèå.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Äîïóñòèì, ÷òî ñèñòå-
ìà ñîñòîèò èç n ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà Sk, ñâÿçàííûõ â òî÷êàõ Ok (k = 1, n)
ïåðåñå÷åíèÿ èõ îñåé ñèììåòðèè óïðóãèìè ñôåðè÷åñêèìè øàðíèðàìè. Êàê è â
ðàáîòàõ [1�7], ïîëàãàåì, ÷òî íà ñèñòåìó íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû è ìîìåí-
òû, âñëåäñòâèå ÷åãî åå öåíòð ìàññ C íåïîäâèæåí. Àíàëîãè÷íî [7, 8] ââåäåì
óãëû Êðûëîâà ψk, θk, ϕk, îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîð-
äèíàò êàæäîãî òåëà CkXkYkZk ïî îòíîøåíèþ ê èíåðöèàëüíîé CXY Z. Çäåñü
Ck � öåíòð ìàññ òåëà Sk , à îñü CkYk íàïðàâëåíà âäîëü îñè ñèììåòðèè òåëà
Sk. Ïîëàãàÿ, ÷òî ñèñòåìà çàìêíóòà (O1 = On+1), èìååì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ
çàìêíóòîñòè [7, 8]:
n∑
k=1
hk sinψk sin θk = 0;
n∑
k=1
hk cos θk = 0;
n∑
k=1
hk cosψk sin θk = 0, (1)
ãäå hk = OkOk+1.
Ñ÷èòàÿ â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû, çàïèñàííûõ â [8], âñå
ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ ðàâíûìè íóëþ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ ðàâíî-
âåñèÿ:
Rk −Rk+1 = 0; Lk − Lk+1 − hk ×Rk+1 = 0 (k = 1, n); (2)
Rn+1 = R1 = R; Ln+1 = L1.
Çäåñü Rk è Lk ñîîòâåòñòâåííî ñèëà è ìîìåíò ñèëû, õàðàêòåðèçóþùèå äåé-
ñòâèå òåëà Sk−1 íà Sk, à −Rk+1 è −Lk+1 � ñîîòâåòñòâåííî ñèëà è ìîìåíò
ñèëû äåéñòâèÿ òåëà Sk+1 íà Sk. Â ñîîòíîøåíèÿõ (2) ó÷òåíî, ÷òî ìîìåíò ñèë
ðåàêöèè â ñôåðè÷åñêîì øàðíèðå ðàâåí íóëþ [9], è îñòàþòñÿ ëèøü óïðóãèå
ìîìåíòû, õàðàêòåðèçóþùèå äåéñòâèå òåë Sk−1 è Sk+1 íà òåëî Sk. Êàê óñòà-
íîâëåíî â [8], óïðóãèé ìîìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Lk = c2
1(κ1
ke
1
k + κ2
ke
2
k) + c2
2κ3
ke
3
k.
Çäåñü c2
1, c2
2 � ñîîòâåòñòâåííî èçãèáíàÿ è êðóòèëüíàÿ æåñòêîñòè, ei
k (k =
= 1, n; i = 1, 2, 3) � îðòû ñâÿçàííîé ñ òåëîì Sk ñèñòåìû êîîðäèíàò, κi
k �
êîìïîíåíòû äèñêðåòíîãî àíàëîãà âåêòîðà Äàðáó κk â òî÷êå Ok, êîòîðûé ðà-
âåí
κk =
1
2h
3∑
i=1
(ei
k−1 × ei
k), h = min
k
hk.
Äîïóñòèì äàëåå, ÷òî, êàê è â ðàáîòàõ [1�8], îñè ñèììåòðèè òåë Sk ëåæàò
â îäíîé ïëîñêîñòè (ïóñòü ýòî áóäåò ïëîñêîñòü Cyz). Ïðè ýòîì ïîëàãàåì, ÷òî
ψk = 0.  ýòîì ñëó÷àå, êàê â íåïðåðûâíîé ìîäåëè [1�5], òàê è â êîíå÷íîìåðíîé
[7], ïîêàçàíî, ÷òî ðàçíîñòü óãëîâ ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ ϕk+1 − ϕk = const
(ïîñòîÿííîå êðó÷åíèå). Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òî ïðîåêöèÿ èçãèáàþùåãî ìîìåíòà
íà îñü CXk‖CX ðàâíà
L1
k =
c2
1
h
sin(θk − θk−1). (3)
146
Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ çàìêíóòûõ ñèñòåì
Ïðîåêòèðóÿ (2) íà îñü e1
k è ó÷èòûâàÿ (3), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó
óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðåàêöèè R = Ryey +Rzez (ey, ez � îðòû îñåé CY
è CZ) è óãëîâ θk:
sin(θk+1 − θk)− sin(θk − θk−1) = ak(Ry sin θk −Rz cos θk), (4)
ãäå ak =
hkh
c2
1
, k = 1, n; θ1 = θn+1, θ0 = θn.
Óñëîâèÿ çàìêíóòîñòè ñèñòåìû òåë â ïëîñêîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì èç óðàâíå-
íèé (1), â êîòîðûõ ψk = 0. Èìååì
n∑
k=1
hk cos θk = 0;
n∑
k=1
hk sin θk = 0. (5)
Èòàê, íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøå-
íèÿ òèïà �ðîçà� [5, 6] äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (4), (5).
2. Ðåøåíèå òèïà �ðîçû�. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â ýòîé êîíôèãóðàöèè çà-
ìêíóòîé ñèñòåìû, â îòëè÷èå îò �âîñüìåðêè�, âîçìîæíî ñàìîïåðåñå÷åíèå îñåé
ñèììåòðèè íåñêîëüêèõ òåë â îäíîé òî÷êå (ñì. ðèñ. 1, 2).
Ðèñ. 1. Ñèñòåìà òèïà �ðîçû�. Ðèñ. 2. ×àñòíûé ñëó÷àé.
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé ðåàëèçàöèè òàêîé êîíôèãóðàöèè, êîãäà
êîíå÷íîìåðíûé àíàëîã óïðóãîé ñèñòåìû ñîäåðæèò øåñòü òåë (ðèñ. 1) è â
òî÷êå O ïåðåñåêàþòñÿ îñè ñèììåòðèè òðåõ òåë: S1, S3 è S5. Àíàëîãè÷íî [7, 8]
ïîëàãàåì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ôèãóðà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè OZ è
ïðè ýòîì äëèíû OkOk+1 (k = 1, 6, O7 = O1) îñåé ñèììåòðèè òåë ðàâíû
O1O2 = h1, O2O3 = O6O1 = h2, O3O4 = O5O6 = h3, O4O5 = h4, (6)
à óãëû θk ìåæäó îñüþ ñèììåòðèè òåëà Sk è îñüþ OY òàêîâû
θ1 = θ4 = 0, θ2 = π + ϕ, θ3 = π − ψ, θ5 = π + ψ, θ6 = π − ϕ. (7)
Ïîäñòàâëÿÿ (6), (7) â (5), ïîëó÷àåì, ÷òî ýòî ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
âèþ (5) çàìêíóòîñòè îñè, åñëè
cosϕ = b− c cosψ, (8)
147
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí
ãäå
c =
h3
h2
; b =
h1 + h4
2h2
. (9)
Êðîìå òîãî, ðåøåíèå (7) ñ ó÷åòîì (6) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì ðàâíîâåñèÿ
(4) â ñëó÷àå Rz = 0 è
sin(ϕ + ψ)− sinϕ = a2Ry sinϕ, sinψ − sin(ϕ + ψ) = −a3Ry sinψ. (10)
Ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ èç (10) êîìïîíåíòû ñèëû ðåàêöèè Ry ïîëó÷àåì
sin(ϕ + ψ)− sinψ
sin(ϕ + ψ)− sinϕ
= c
sinψ
sinϕ
. (11)
Èòàê, ïîëó÷åíû äâà óðàâíåíèÿ (8) è (11), êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâî-
ðÿòü óãëû ϕ è ψ äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøåíèå (7) áûëî ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ
èçó÷àåìîé ñèñòåìû. Âõîäÿùèå â (8), (11) ïàðàìåòðû b è c ñâÿçàíû ñ äëèíàìè
îñåé ñèììåòðèè òåë Sk, çàäàííûìè â (6), ïî ôîðìóëàì (9).
Ââåäåì äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð p. Ïóñòü
sinϕ = p sinψ. (12)
Òàê êàê â èçó÷àåìîì ñëó÷àå óãëû ϕ è ψ îñòðûå, òî p > 0. Êðîìå òîãî, èç ïîñòà-
íîâêè çàäà÷è (ñì. ðèñ. 1) ñëåäóåò h2 sinϕ = OO3 sinψ, à ïîñêîëüêó OO3 < h3,
èìååì p < c. Òàêèì îáðàçîì, èíòåðâàë îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà p òàêîâ:
0 < p < c. (13)
Ïîäñòàâëÿÿ (8), (12) â (11) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî sinψ 6= 0, èìååì
cosψ =
bc− p(b + c− 1)
(c− p)2
. (14)
Ïîñêîëüêó 0 < cosψ < 1, òî èç (14) ñëåäóåò
bc− p(b + c− 1) > 0, (15)
bc− p(b + c− 1) < (c− p)2. (16)
Èç (15), (16) ïîëó÷àåì
p(c− 1)
c− p
< b <
p(c− 1)
c− p
+ (c− p). (17)
Î÷åâèäíî, ÷òî íåðàâåíñòâà (17) äîëæíû èññëåäîâàòüñÿ â îáëàñòè âûïîëíå-
íèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî óñëîâèÿ (13). Èññëåäîâàíèå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ áûëî
ïðîâåäåíî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà p. Ïî-
ëó÷åíû õàðàêòåðíûå îáëàñòè â ñëó÷àÿõ p > 1 è p < 1. Òàê íà ðèñ. 3 ïîêàçàíû
148
Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ çàìêíóòûõ ñèñòåì
Ðèñ. 3. Îáëàñòè âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ (17).
îáëàñòè, ãäå âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà (17) ïðè çíà÷åíèÿõ p ñîîòâåòñòâåííî
ðàâíûõ p = 0.3 è p = 1.2.
Êðîìå òîãî, èç (8), (12) ñëåäóåò
(c2 − p2) cos2 ψ − 2bc cosψ + p2 + b2 − 1 = 0. (18)
Èñêëþ÷àÿ èç (18) ñ ïîìîùüþ (14) cosψ, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ
îïðåäåëåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî ïàðàìåòðà p = p(b, c):
f(p) = p5−3cp4+2[c2+(1−c)(b−1)]p3+2c[1+(c−b)(1−c)]p2−3c2p+c3 = 0. (19)
Ïîñêîëüêó f(0) = c3 > 0, à f(c) = −2c3(c− 1)2 < 0, òî â îáëàñòè (13) èìå-
åòñÿ õîòÿ áû îäèí äåéñòâèòåëüíûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (19).
Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíà îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (19) ïðè
óñëîâèè âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ (13), (17).
Ðèñ. 4. Îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé (19).
149
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí
Çàìå÷àíèå. Ïîêàæåì, ÷òî ïàðàìåòð c íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå. Äåé-
ñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ c = 1 â óðàâíåíèè (19), ïîëó÷àåì
p5 − 3p4 + 2p3 + 2p2 − 3p + 1 = (p + 1)(p− 1)4 = 0.
Ó ýòîãî óðàâíåíèÿ íåò êîðíåé â îáëàñòè (13), ãäå òðåáóåòñÿ 0 < p < 1, ò.å. ïðè
c = 1 íå âûïîëíÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ êîíôèãóðàöèè,
çàäàííîé íà ðèñ. 1.
Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû âàðèàíòû c < 1 (h3 < h2) ëèáî c > 1 (h3 > h2).
Îòìåòèì,÷òî ïðè óñëîâèè c < 1 èç (17) ïîëó÷àåì, ÷òî íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå
íåðàâåíñòâà F (p) = p(c − 1) + (c − p)2 > 0. Äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ F = 0
ðàâåí (3c + 1)(1 − c), è â ýòîì ñëó÷àå îí âñåãäà áîëüøå íóëÿ. Êðîìå òîãî,
ó÷èòûâàÿ ÷òî ïðè ýòîì F (c) = c(c− 1) < 0, à p ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (13)
ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ c < 1 íåîáõîäèìî âûáèðàòü p èç èíòåðâàëà p > p∗, ãäå p∗−
áîëüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ F (p) = 0.
Èòàê, â èçó÷àåìîé çàìêíóòîé ñèñòåìå òåë âîçìîæíà êîíôèãóðàöèÿ, ïðåä-
ñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 1, è ïðè ýòîì óãëû θk çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (7), â
êîòîðûõ ψ è θ íàõîäÿòñÿ èç (12), (14).
3. ×àñòíûé ñëó÷àé ðåøåíèÿ òèïà �ðîçû�. Âîçìîæåí ÷àñòíûé ñëó÷àé
ðåøåíèÿ òèïà �ðîçû�, â êîòîðîì ϕ = π/2 (ðèñ. 2). Ïðè ýòîì èç (8) ñëåäóåò
cosψ = b1, (19)
ãäå b1 = b/c = (h1 + h4)/(2h3). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ψ � îñòðûé óãîë, íàõîäèì, ÷òî
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà b1 òàêîâà
0 < b1 < 1. (20)
Äàëåå èç (19), (11) ïîëó÷àåì
sinψ =
b1
c(b1 − 1) + 1
. (21)
Íàéäåì ïðîìåæóòîê èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà c èç óñëîâèÿ 0 < sinψ < 1. Èç
(21) ñëåäóåò
0 <
b1
c(b1 − 1) + 1
< 1.
Àíàëèç ýòèõ íåðàâåíñòâ ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü, ÷òî c ∈ (0, 1).
Èç (19), (21) ïîëó÷àåì
b2
1 +
b2
1
[c(b1 − 1) + 1]2
= 1. (22)
Êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, óðàâíåíèå (22) âñåãäà èìååò â îáëàñòè (20) îäèí
ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü ìåíüøèé åäèíèöû.
150
Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ çàìêíóòûõ ñèñòåì
Èòàê, âûáèðàåì ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå b1 èç îáëàñòè (20) è íàõîäèì èç
(22) ñîîòâåòñòâóþùèé êîðåíü c < 1, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ b =
= b1c. Äàëåå íàõîäèì ψ = arccos b1 è, ó÷èòûâàÿ ϕ = π/2, îïðåäåëÿåì θk
ñîãëàñíî (7). Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìîòðåííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå òàêæå ñóùå-
ñòâóåò êîíôèãóðàöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 2.
1. Wadati M., Tsuru H. Elastic model of looped DNA// Physiica. � 1986. � 21D. � P. 213�226.
2. Áåíõýì Äæ. Ìåõàíèêà è ðàâíîâåñíûå ñîñòîÿíèÿ ñâåðõñïèðàëèçîâàííîé ÄÍÊ // Â êí.:
Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû äëÿ àíàëèçà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÄÍÊ. � Ì.: Ìèð, 1999. �
Ñ. 308 � 338.
3. Starostin E.I. Three-dimensional shapes of looped DNA // Meccanica 31. � V. 3. � 1996. �
P. 235�271.
4. Êóãóøåâ Å.È., Ïèðîãîâà Å.Å., Ñòàðîñòèí Å.Ë. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü îáðàçîâàíèÿ
òðåõìåðíîé ñòðóêòóðû ÄÍÊ. � 1997. � 24 ñ. � (Ïðåïðèíò ÐÀÍ ÈÏÌ èì. Ì.Â. Êåëäûøà,
� 77).
5. Starostin E.I. Equilibrion con�gurations of a thin elastic rod with self contacts // Proc. of
the 16th IMACS World Congress 2000, August 21�25. � 2000.
6. Starostin E.I. Symmetric equilibria of a thin elastic rod with self contacts // Phil. Teans.
K. Soc. Lon., A, 362. � 2004. � P. 1317�1334.
7. Áîëãðàáñêàÿ È.À., Ùåïèí Í.Í. Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ
// Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2005. � Âûï. 35. � Ñ. 33 � 39.
8. Áîëãðàáñêàÿ È.À., Ñàâ÷åíêî À.ß., Ùåïèí Í.Í. Çàìêíóòûå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåð-
äûõ òåë // Òàì æå. � 2006. � Âûï. 36. � Ñ. 94�103.
9. Âèòòåíáóðã É. Äèíàìèêà ñèñòåì òâåðäûõ òåë. � Ì.: Ìèð, 1980. � 292 ñ.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
bolg@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 10.08.07
151
|