Управление динамикой систем с программными связями
Известные динамические аналогии позволяют использовать уравнения движений механических систем с программными связями для моделирования динамики в системах, содержащих элементы различной физической природы, процесса познания и процессов в экономических системах. Для оценки отклонений от уравнений свя...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27946 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Управление динамикой систем с программными связями / Р.Г. Мухарлямов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 164-174. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27946 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279462011-10-25T12:15:21Z Управление динамикой систем с программными связями Мухарлямов, Р.Г. Известные динамические аналогии позволяют использовать уравнения движений механических систем с программными связями для моделирования динамики в системах, содержащих элементы различной физической природы, процесса познания и процессов в экономических системах. Для оценки отклонений от уравнений связей, следуя Н.Г. Четаеву, вводятся избыточные переменные. Стабилизация связей обеспечивается дополнительными силами, которые определяются модификацией множителей Лагранжа. Приводится решение задачи моделирования динамики электромеханической системы и решение обратных задач динамики твердого тела переменной массы с гироскопом. 2007 Article Управление динамикой систем с программными связями / Р.Г. Мухарлямов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 164-174. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27946 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Известные динамические аналогии позволяют использовать уравнения движений механических систем с программными связями для моделирования динамики в системах, содержащих элементы различной физической природы, процесса познания и процессов в экономических системах. Для оценки отклонений от уравнений связей, следуя Н.Г. Четаеву, вводятся избыточные переменные. Стабилизация связей обеспечивается дополнительными силами, которые определяются модификацией множителей Лагранжа. Приводится решение задачи моделирования динамики электромеханической системы и решение обратных задач динамики твердого тела переменной массы с гироскопом. |
| format |
Article |
| author |
Мухарлямов, Р.Г. |
| spellingShingle |
Мухарлямов, Р.Г. Управление динамикой систем с программными связями Механика твердого тела |
| author_facet |
Мухарлямов, Р.Г. |
| author_sort |
Мухарлямов, Р.Г. |
| title |
Управление динамикой систем с программными связями |
| title_short |
Управление динамикой систем с программными связями |
| title_full |
Управление динамикой систем с программными связями |
| title_fullStr |
Управление динамикой систем с программными связями |
| title_full_unstemmed |
Управление динамикой систем с программными связями |
| title_sort |
управление динамикой систем с программными связями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27946 |
| citation_txt |
Управление динамикой систем с программными связями / Р.Г. Мухарлямов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 164-174. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT muharlâmovrg upravleniedinamikojsistemsprogrammnymisvâzâmi |
| first_indexed |
2025-07-03T07:56:08Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:56:08Z |
| _version_ |
1836611659800510464 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2007. Âûï. 37
ÓÄÊ 531.36
c©2007. Ð.Ã. Ìóõàðëÿìîâ
ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌ
Ñ ÏÐÎÃÐÀÌÌÍÛÌÈ ÑÂßÇßÌÈ
Èçâåñòíûå äèíàìè÷åñêèå àíàëîãèè ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèé ìåõàíè-
÷åñêèõ ñèñòåì ñ ïðîãðàììíûìè ñâÿçÿìè äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè â ñèñòåìàõ, ñîäåð-
æàùèõ ýëåìåíòû ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû, ïðîöåññà ïîçíàíèÿ è ïðîöåññîâ â ýêî-
íîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Äëÿ îöåíêè îòêëîíåíèé îò óðàâíåíèé ñâÿçåé, ñëåäóÿ Í.Ã. ×åòàåâó,
ââîäÿòñÿ èçáûòî÷íûå ïåðåìåííûå. Ñòàáèëèçàöèÿ ñâÿçåé îáåñïå÷èâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè
ñèëàìè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ìîäèôèêàöèåé ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà. Ïðèâîäèòñÿ ðåøå-
íèå çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû è ðåøåíèå îáðàòíûõ
çàäà÷ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà ïåðåìåííîé ìàññû ñ ãèðîñêîïîì.
Îñíîâó ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñîñòàâëÿåò îïèñàíèå äè-
íàìèêè îáúåêòîâ è ñèñòåì ðàçëè÷íîé ïðèðîäû îáûêíîâåííûìè äèôôåðåí-
öèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Èçâåñòíûå äèíàìè÷åñêèå àíàëîãèè [1] ïîçâîëÿþò
ïîñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îòðàæàþùèå ïðîöåññû â ñèñòåìàõ, ñî-
äåðæàùèõ ýëåìåíòû ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû è ðàñïðîñòðàíèòü èõ
íà ýêîíîìè÷åñêèå îáúåêòû [2] è äðóãèå ïðîöåññû [3, 4]. Ñîâðåìåííûå ìåòîäû
ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ
îáðàòíûõ çàäà÷ äèíàìèêè è ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ [5] ïðåäñòàâëÿþòñÿ ïåðñïåê-
òèâíûìè äëÿ ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ.
1. Äèíàìèêà ïðîèçâîäñòâåííîãî îáúåêòà. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîäñòâåí-
íûé îáúåêò, âûïóñêàþùèé îäíîòèïíóþ ïðîäóêöèþ. Ìàêñèìàëüíûé îáúåì
ïðîäóêöèè, êîòîðóþ ìîæåò âûïóñêàòü îáúåêò â åäèíèöó âðåìåíè ïðè îòñóò-
ñòâèè îãðàíè÷åíèé ñîñòàâëÿåò åãî ìîùíîñòü y = y(t). Ïóñòü ôóíêöèÿ q = q(t)
îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå îñíîâíûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ôîíäîâ â ìîìåíò âðåìå-
íè t. Òîãäà îòíîøåíèå q(t)/y(t) = m(t) ÿâëÿåòñÿ ìãíîâåííîé ôîíäîåìêîñòüþ
îñíîâíûõ ôîíäîâ îáúåêòà ïî âûïóñêó äàííîãî âèäà ïðîäóêöèè. Äèôôåðåí-
öèðîâàíèå âûðàæåíèÿ q(t) = m(t)y(t) ïî âðåìåíè t ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ
ìîùíîñòè
d
dt
(m(t)y(t)) = u0(t).
Âåëè÷èíà u0(t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èñòèííûé ïðèðîñò îñíîâíûõ ôîíäîâ
â åäèíèöó âðåìåíè. Îí ó÷èòûâàåò âíîâü ïîñòóïèâøèå è èñïîëüçóåìûå ñ ìî-
ìåíòà t îñíîâíûå ôîíäû u = u(t) è ôîíäû w, âûáûâàþùèå èç ïîòðåáëåíèÿ çà
ñ÷åò èçíîñà è ñòàðåíèÿ îáîðóäîâàíèÿ. Âûáûâàþùèå ôîíäû w â îáùåì ñëó÷àå
çàâèñÿò îò ìîùíîñòè y, îáúåìà âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè Y , îò âðåìåíè t, ò.å.
w = w(Y, y, t).
Åñëè îáúåêò ïðîèçâîäèò ïðîäóêöèþ ïîëíîé ñâîåé ìîùíîñòüþ y(t) =
dY
dt
,
164
Óïðàâëåíèå äèíàìèêîé ñèñòåì ñ ïðîãðàììíûìè ñâÿçÿìè
òî óðàâíåíèå ðàçâèòèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
d
dt
(
m
dY
dt
)
+ w
(
Y,
dY
dt
, t
)
= u
(
Y,
dY
dt
, t
)
. (1)
Åñëè èçâåñòíû âåëè÷èíà m, ôóíêöèè w
(
Y,
dY
dt
, t
)
, u
(
Y,
dY
dt
, t
)
è íà÷àëü-
íûå çíà÷åíèÿ Y (t0) = Y0, y(t0) = y0, òî çàêîí èçìåíåíèÿ îáúåìà âûïóñêàå-
ìîé ïðîäóêöèè âî âðåìåíè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíî-
ãî óðàâíåíèÿ (1). Èç âûðàæåíèÿ (1) ñëåäóåò, ÷òî, óïðàâëÿÿ ïîòîêîì u âíîâü
ïîñòóïàþùèõ â ïðîèçâîäñòâî îñíîâíûõ ôîíäîâ, ìîæíî äîáèòüñÿ òðåáóåìûõ
çàêîíîâ èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè îáúåìà âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè Y = Y (t) è
ìîùíîñòè ïðîèçâîäñòâåííîãî îáúåêòà y = y(t). Óðàâíåíèåì (1) îïèñûâàåòñÿ
äèíàìèêà îáúåêòîâ è ñèñòåì, ñîäåðæàùèõ ýëåìåíòû ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé
ïðèðîäû.  ðàáîòå [1] ââîäÿòñÿ äèíàìè÷åñêèå ïîêàçàòåëè è óñòàíàâëèâàþòñÿ
äèíàìè÷åñêèå àíàëîãèè ìåæäó ýëåìåíòàìè ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû,
ïîçâîëÿþùèå èñïîëüçîâàòü äëÿ àíàëèçà äèíàìèêè è ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ àíà-
ëèòè÷åñêèå ìåòîäû, íàèáîëåå ïîëíî ðàçâèòûå â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå.
2. Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ïîçíàíèÿ. Ïðîöåññ ïîçíàíèÿ ðàññìàòðè-
âàåòñÿ êàê ïðîöåññ íàêîïëåíèÿ èíôîðìàöèè î âíåøíåé ìàòåðèè è îïèñûâà-
åòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì [3]
d
dt
(
L
dI
dt
)
+
(
τ − dI
dt
)
dI
dt
+
I
G
= M. (2)
Çäåñü L,G, τ � ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå èíòåëëåêòóàëüíûå ñâîéñòâà ñóáú-
åêòà ïîçíàíèÿ, G � îòíîñèòåëüíàÿ èíôîðìàöèîííàÿ ïðîíèöàåìîñòü îðãàíîâ
÷óâñòâ, I � îáúåì èíôîðìàöèè, τ
dI
dt
è L
d2I
dt2
îöåíèâàþò ñîîòâåòñòâåííî îòðè-
öàíèå è îòðèöàíèå îòðèöàíèÿ èíôîðìàöèè I âî âðåìåíè, M � ïîòåíöèàëüíàÿ
èíôîðìàöèÿ. Ïîòåíöèàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ M â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2)
ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ.
3. Óïðàâëåíèå ïðîñòåéøåé áèîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìîé.  êà÷åñòâå
äâèãàòåëüíîé çàäà÷è ïðîñòåéøåé áèîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, êîòîðîé ñîîòâåò-
ñòâóåò ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü, ñîñòàâëåííàÿ èç ñòåðæíÿ ñ ãðóçîì, âðàùàþùå-
ãîñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, ðàññìàòðèâàåòñÿ [4]
ïðîöåññ âðàùåíèÿ â îäíîì ñóñòàâå. Ïîëîæåíèå ãðóçà íà ñòåðæíå ñ÷èòàåòñÿ
íåèçâåñòíûì. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
d
dt
(Jω) + m(ϕ, ω, t) = M, ω =
dϕ
dt
. (3)
Çäåñü J � ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ çâåíà, ñîñòàâëåííîãî
èç ñòåðæíÿ ñ ãðóçîì, ϕ � ñóñòàâíîé óãîë, ω � óãëîâàÿ ñêîðîñòü, m(ϕ, ω, t) �
ìîìåíò íåêîíòðîëèðóåìûõ âîçìóùàþùèõ ñèë, âêëþ÷àÿ ñèëó âåñà, ðàçáðîñ
ìîìåíòíûõ õàðàêòåðèñòèê äâèãàòåëÿ è ñèëû ðåàêöèè â ñóñòàâå, M � óïðàâ-
ëÿþùèé ìîìåíò, ðàçâèâàåìûé èäåàëüíûì äâèãàòåëåì. Ñðàâíåíèå óðàâíåíèé
165
Ð.Ã. Ìóõàðëÿìîâ
(1), (2), (3) ïîêàçûâàåò àíàëîãèþ ñ óðàâíåíèåì ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïåðåìåííîé ìàññû. Òàê, â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå äâèæåíèå
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ñðåäå ñ ñîïðîòèâëåíèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ñêîðîñòè
ñ êîýôôèöèåíòîì ñîïðîòèâëåíèÿ β è ïðîïîðöèîíàëüíûì ïåðåìåùåíèþ ñ êî-
ýôôèöèåíòîì ñîïðîòèâëåíèÿ k, ïðè îòñóòñòâèè äðóãèõ âíåøíèõ ñèë îïèñû-
âàåòñÿ óðàâíåíèåì
d
dt
(
m
dx
dt
)
+ β
dx
dt
+ kx = R. (4)
Çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì x = x(t) óðàâ-
íåíèÿ (4), åñëè èçâåñòíû åå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå è íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü
x(t0) = x0, v(t0) = v0.
4. Äèíàìèêà ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì ìåõàíè÷åñêóþ ñè-
ñòåìó èëè ñèñòåìó èíîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû, îáîáùåííûå êîîðäèíàòû qi è
îáîáùåííûå ñêîðîñòè q̇j êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì ñâÿçåé
fµ
(
qi, t
)
= 0, ḟµ ≡ ∂fµ
∂qs
q̇s +
∂fµ
∂t
, (5)
ḟρ
(
qi, q̇j , t
)
= 0, (6)
i, j, s = 1, . . . , n, µ = 1, . . . , m, ρ = m + 1, . . . , r, r < n.
 ðàâåíñòâàõ (5), êàê è âñþäó â äàëüíåéøåì, ïî îäèíàêîâûì èíäåêñàì ïðåä-
ïîëàãàåòñÿ ñóììèðîâàíèå. Äèíàìèêà ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëà-
ãðàíæà
dqi
dt
= q̇i,
d
dt
∂L0
∂q̇i
− ∂L0
∂qi
= Qi − ∂D0
∂q̇i
+ Ri, (7)
qi (t0) = qi
0, q̇j (t0) = q̇j
0. (8)
Çäåñü L0 = T 0 − P 0, T 0 = T 0
(
qi, q̇j
)
� êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, P 0 = P 0
(
qi, t
)
� ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, D0 = D0
(
qi, q̇j , t
)
� äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ, Qi =
= Qi
(
qs, q̇j , t
)
� îáîáùåííûå íåïîòåíöèàëüíûå âíåøíèå ñèëû, Ri = λ
∂ḟκ
∂q̇i
� óïðàâëÿþùèå ñèëû èëè ðåàêöèè ñâÿçåé, κ = 1, . . . , r. Åñëè óðàâíåíèÿ (7)
îïèñûâàþò äèíàìèêó óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû, òî ðàâåíñòâà (5), (6) ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê óñëîâèÿ, êîòîðûå äîëæíû áûòü îáåñïå÷åíû çà ñ÷åò óïðàâëÿ-
þùèõ âîçäåéñòâèé Ri. Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ ãîëîíîìíûõ ñâÿçåé (5) ïîëíîñòüþ
èëè ÷àñòè÷íî çàäàþò òðàåêòîðèþ èçîáðàæàþùåé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå êî-
îðäèíàò qi, óðàâíåíèÿìè íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé (6) ìîæíî çàäàâàòü ñåìåéñòâî
òðàåêòîðèé [6].
×èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå-
íèé, ñîñòàâëåííûõ èç óðàâíåíèé ñâÿçåé (5), (6) è óðàâíåíèé äèíàìèêè (7)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (8), îêàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì ïî îòíîøåíèþ ê
166
Óïðàâëåíèå äèíàìèêîé ñèñòåì ñ ïðîãðàììíûìè ñâÿçÿìè
óðàâíåíèÿì ñâÿçåé. Íåóñòîé÷èâîñòü ñëåäóåò èç ñàìîãî ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ
ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà λκ, èñõîäÿ èç ðàâåíñòâà dḟκ
dt
= 0.
Äëÿ ñòàáèëèçàöèè ñâÿçåé íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü îòêëîíåíèÿ îò óðàâíå-
íèé ñâÿçåé âìåñòå ñ èõ ïðîèçâîäíûìè [7], êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïà-
ðàìåòðû èëè äîïîëíèòåëüíûå êîîðäèíàòû íåêîòîðîé ðàñøèðåííîé ñèñòåìû.
Çàäà÷à î äâèæåíèè ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ïàðàìåòðàìè, âûíóæäåííûìè èç-
ìåíÿòüñÿ ïîä äåéñòâèåì äîïîëíèòåëüíûõ ñèë-ïðèíóæäåíèé, áûëà ïîñòàâëåíà
â ðàáîòå [8] Í.Ã. ×åòàåâûì. Ââåäåíèå ïàðàìåòðîâ â âûðàæåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ
ïîêàçàòåëåé ñèñòåìû ïðèâîäèò ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, îïèñûâàþ-
ùèì èçìåíåíèå êîîðäèíàò è ïàðàìåòðîâ. Çàäà÷à ñòàáèëèçàöèè ñâÿçåé ñâîäèò-
ñÿ ê îïðåäåëåíèþ ìíîæèòåëåé Ëàãàðàíæà λκ, ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèÿì
ñâÿçåé
yµ = fµ
(
qi, t
)
, ẏµ =
∂fµ
∂qs
q̇s +
∂fµ
∂t
, ẏρ = fρ
(
qi, q̇j , t
)
, (9)
ãäå yµ, ẏκ � ïàðàìåòðû, îïðåäåëÿåìûå êàê àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîå òðè-
âèàëüíîå ðåøåíèå yµ = 0, ẏκ = 0 ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
dyµ
dt
= ẏµ,
dẏκ
dt
= Y
(
yµ, ẏκ, qi, q̇j , t
)
, Y
(
0, 0, qi, q̇j , t
)
= 0. (10)
Ñâÿçè, çàäàííûå óðàâíåíèÿìè (9), (10), ÿâëÿþòñÿ ïðîãðàììíûìè ñâÿçÿìè
ïî îòíîøåíèþ ê óïðàâëÿåìîé ñèñòåìå.
5. Óðàâíåíèÿ äèíàìèêè ñèñòåìû ñ èçáûòî÷íûìè ïåðåìåííûìè.
Ñëåäóÿ Í.Ã. ×åòàåâó, áóäåì ðàññìàòðèâàòü yµ, ẏκ êàê ïàðàìåòðû èëè èçáû-
òî÷íûå ïåðåìåííûå, îöåíèâàþùèå îòêëîíåíèÿ îò óðàâíåíèé ñâÿçåé. Ñ ó÷åòîì
íîâûõ ïåðåìåííûõ êèíåìàòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùåé ìà-
òåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè qi, yµ
è ñêîðîñòÿìè q̇i, ẏκ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ è äèñ-
ñèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ áóäóò òàêæå ñîäåðæàòü èçáûòî÷íûå êîîðäèíàòû yµ è
ñêîðîñòè ẏκ: T = T
(
qi, yµ, q̇j , ẏκ
)
, P = P
(
qi, yµ, t
)
, D = D
(
qi, yµ, q̇j , ẏκ, t
)
.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè T , P , D ïî êðàéíåé ìåðå äâàæäû äèôôåðåí-
öèðóåìû ïî âñåì ïåðåìåííûì è ïðè yµ = 0, ẏκ = 0 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
T = T 0
(
qi, q̇j
)
, P = P 0
(
qi, t
)
, D = D0
(
qi, q̇j , t
)
,
∂T
∂yµ
= 0,
∂T
∂ẏκ
= 0,
∂P
∂yµ
= 0,
∂D
∂ẏκ
= 0,
∂2T
∂yµ∂yν
= 0
∂2T
∂yµ∂ẏκ
= 0,
∂2T
∂ẏκ∂ẏη
= aκη
(
qi
)
,
∂2P
∂yµ∂yν
= kµν
(
qi, t
)
,
∂2D
∂ẏκ∂ẏη
= cκη
(
qi, q̇j , t
)
,
ν = 1, . . . ,m, η = 1, . . . , r.
167
Ð.Ã. Ìóõàðëÿìîâ
Åñëè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ yµ, ẏκ äîñòàòî÷íî ìàëû: ‖z‖ ≤ ε, z = (yµ, ẏκ),
òî, ïîëàãàÿ T 0 =
1
2
mij (qs) q̇iq̇j , ôóíêöèè T , P , D ìîæíî ïðåäñòàâèòü ðàçëî-
æåíèÿìè â ðÿäû ïî ñòåïåíÿì yµ, ẏκ:
T =
1
2
mij (qs) q̇iq̇j +
1
2
aκη (qs) ẏκẏη + T (3),
P = P 0 (qs, t) +
1
2
kµν (qs, t) yµyν + P (3),
D = D0
(
qs, q̇k, t
)
+
1
2
cκη
(
qs, q̇k, t
)
ẏκẏη + D(3).
Çäåñü T (3), P (3), D(3) � ñîîòâåòñòâóþùèå ñëàãàåìûå, êîòîðûå ñîäåðæàò ìíî-
æèòåëè yµ, ẏκ â ñòåïåíè íå íèæå òðåòüåé. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êîýôôèöè-
åíòû mij , aκη, kµν , cκη è âñå èõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îãðàíè÷åíû â îáëàñòè
Ω èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ qs, q̇j è ïðè âñåõ t ≥ t0. Ñèëû Rs ñîîòâåòñòâóþò
êîîðäèíàòàì qs è ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê óïðàâëÿþùèå ñèëû, îáåñïå÷èâàþùèå
âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ (9).
Âîçìîæíûå ïåðåìåùåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû δqi ñâÿçàíû ñ âîçìîæíûìè
ïåðåìåùåíèÿìè èçáûòî÷íûõ ïåðåìåííûõ δyκ ðàâåíñòâàìè
∂ẏκ
∂q̇i
δqi = δyκ. (11)
Èç ïðèíöèïà Äàëàìáåðà�Ëàãðàíæà ñ ó÷åòîì îáùåãî ðåøåíèÿ [5] ñèñòåìû
(11) â ñëó÷àå èäåàëüíûõ ñâÿçåé ñëåäóþò óðàâíåíèÿ äèíàìèêè óïðàâëÿåìîé
ñèñòåìû
d
dt
∂T
∂q̇i
− ∂T
∂qi
= −∂P
∂qi
− ∂D
∂q̇i
+ Qi + fκ
i λκ (12)
è óðàâíåíèÿ âîçìóùåíèé ñâÿçåé
d
dt
∂T
∂ẏκ
− ∂T
∂.yκ
= − ∂P
∂yκ
− ∂D
∂ẏκ
. (13)
Âûðàæåíèÿ äëÿ ìíîæèòåëåé λκ îïðåäåëÿþòñÿ, åñëè óðàâíåíèÿ (12), (13)
ïðåäñòàâèòü â âèäå, ðàçðåøåííîì îòíîñèòåëüíî dq̇i, dẏκ
dqk
dt
= q̇k,
dq̇k
dt
= mk
(
qi, q̇j , t
)
+ fkκ
(
qi, q̇j , t
)
λκ + mk(2), (14)
dyκ
dt
= ẏκ,
dẏκ
dt
= bκ
η
(
qi, q̇j , t
)
ẏη + kκ
µ
(
qi, t
)
yµ + Y κ(2), (15)
ãäå mk(2), Y κ(2) � ñëàãàåìûå, êîòîðûå ñîäåðæàò ìíîæèòåëè yµ, ẏκ â ñòåïåíè
íåíèæå âòîðîé. Èç óðàâíåíèé (9), (14), (15) ñëåäóåò, ÷òî ìíîæèòåëè λκ áóäóò
îïðåäåëÿòüñÿ ðÿäàìè λκ = λ
(0)
κ + λ
(1)
κ + λ
(2)
κ ïî ñòåïåíÿì âîçìóùåíèé ñâÿçåé
168
Óïðàâëåíèå äèíàìèêîé ñèñòåì ñ ïðîãðàììíûìè ñâÿçÿìè
yµ, ẏκ. Ïåðâîå ñëàãàåìîå λ
(0)
κ ñîîòâåòñòâóåò ìíîæèòåëþ Ëàãðàíæà, êîòîðîå
âû÷èñëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ dḟκ
dt
= 0.
Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñòàáèëèçàöèè ñâÿçåé (5) ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷å-
ñêàÿ óñòîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (15), êîýôôèöèåíòû êîòî-
ðîé îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, ïîòåíöèàëüíîé ýíåð-
ãèè è äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ìåòîäîì
ôóíêöèé Ëÿïóíîâà. Åñëè ôóíêöèÿ V = V
(
qi, q̇j , yµ, ẏκ, t
)
ÿâëÿåòñÿ ïîëîæè-
òåëüíî îïðåäåëåííîé ïî ïåðåìåííûì yµ, ẏκ, à åå ïðîèçâîäíàÿ V̇ , âû÷èñëåííàÿ
â ñèëó ñèñòåìû óðàâíåíèé (14), (15), ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé
ôóíêöèåé, è ôóíêöèè V , yµ, ẏκ äîïóñêàþò áåñêîíå÷íî ìàëûé âûñøèé ïðåäåë
[9], òî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (15) óñòîé÷èâî àñèìïòîòè÷åñêè.
6. Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Èñ-
ïîëüçîâàíèå óðàâíåíèé ñâÿçåé (9) â ñî÷åòàíèè ñ óðàâíåíèÿìè âîçìóùåíèé
ñâÿçåé (13) ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ äèíàìèêè
ïðîñòåéøèå ÷èñëåííûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ îïèñàííîãî ìåòîäà ìîäåëèðî-
âàíèÿ Î.Â. Øåìåëîâîé áûëà èññëåäîâàíà çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè
ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1.
Ïîäà÷à AC/DC Äâèãàòåëü Ïîëçóí
ìîùíîñòè ïðåîáðàçîâàòåëü ïîñòîÿííîãî òîêà êðèâîøèï
Ðèñ. 1.
 ñèñòåìå ïðèâîäà êðèâîøèïíî-øàòóííîãî ìåõàíèçìà [1] áëîê ïèòàíèÿ
îáåñïå÷èâàåò ïîäà÷ó ýëåêòðè÷åñêîé ìîùíîñòè äâèãàòåëþ ïåðåìåííîãî òîêà.
Ïåðåìåííûé òîê ÷åðåç âûïðÿìèòåëü ïîäàåòñÿ â äâèãàòåëü ïîñòîÿííîãî òîêà,
êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, óïðàâëÿåò ðàáîòîé êðèâîøèïíî-øàòóííîãî ìåõà-
íèçìà, ðàñïîëîæåííîãî â îäíîðîäíîì ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Ïîñòðîåíà ñèñòåìà
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ðàçðåøåííûõ îòíîñèòåëüíî ñòàðøèõ ïðîèç-
âîäíûõ, êîòîðàÿ ñîäåðæèò 9 óðàâíåíèé ñ 9 íåèçâåñòíûìè. Âûâîä è ðåøå-
íèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðîâîäèëîñü ñ ïîìîùüþ èíòå-
ãðèðîâàííîé ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ñèìâîëüíîé ìàòåìàòèêè MAPLE 7. Ðå-
øåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ïîñòðîåíèå
ôàçîâûõ ïîðòðåòîâ áûëè îñóùåñòâëåíû ñ ïîìîùüþ ãðàôè÷åñêîé ôóíêöèè
phaseportrait ìåòîäîì Ýéëåðà ñ øàãîì h = 0, 01. Íà ðèñ. 2 è 3 ïðåäñòàâëå-
169
Ð.Ã. Ìóõàðëÿìîâ
íû ãðàôèêè ãîëîíîìíîé ñâÿçè
(
q7 − r cos q6
)2 +
(
r sin q6
)2 = l2, ïîëó÷åííûå â
ðåçóëüòàòå êèíåìàòè÷åñêîãî è äèíàìè÷åñêîãî ðàñ÷åòîâ. Ãðàôè÷åñêèå çàâèñè-
ìîñòè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 4�8 ñîîòâåòñòâåííî. Ôàçîâûå ïîðòðåòû ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé äèíàìèêè äëÿ ïåðåìåííûõ q3(t), q6(t), f6(t), q7(t), f7(t) èçîáðàæå-
íû íà ðèñ. 9�11.
0.01
0.015
0.02
0.025
q7(t)
1 1.5 2 2.5 3 3.5 q6(t)
0.01
0.015
0.02
0.025
q7(t)
1 1.5 2 2.5 3 3.5 q6(t)
Ðèñ. 2. Ðèñ. 3.
–0.0001
–5e–05
0
5e–05
q3
2 4 6 8 t
0
1
2
3
q6
2 4 6 8 t –1
0
1
2
3
4
f6
2 4 6 8 t
Ðèñ. 4. Ðèñ. 5. Ðèñ. 6.
0.01
0.02
0.03
0.04
q7
2 4 6 8 t –0.1
–0.05
0
0.05
f7
2 4 6 8 t
Ðèñ. 7. Ðèñ. 8.
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
f5(t)
0.001 0.002 0.003 q5(t) 0
0.5
1
1.5
2
f6(t)
5 10 15 q6(t)
–0.04
–0.02
0
0.02
f7(t)
0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 q7(t)
Ðèñ. 9. Ðèñ. 10. Ðèñ. 11.
170
Óïðàâëåíèå äèíàìèêîé ñèñòåì ñ ïðîãðàììíûìè ñâÿçÿìè
7. Îáðàòíûå çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà ïåðåìåííîé ìàññû.
Èçëîæåííûé ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ìîæåò áûòü óñïåøíî èñïîëüçî-
âàí äëÿ ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. Íåêîòîðûå çàäà-
÷è âîññòàíîâëåíèÿ óðàâíåíèé òâåðäîãî òåëà ïîñòîÿííîé ìàññû ïî èçâåñòíûì
ñâîéñòâàì äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàëèñü â [10]. Ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê îïðå-
äåëåíèþ ñèë è ìîìåíòîâ, ïðèëîæåííûõ ê òåëó, ïî èçâåñòíûì ïåðâûì èíòå-
ãðàëàì è ÷àñòíûì èíòåãðàëàì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
èíòåãðàëîâ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ äëÿ òåëà ïåðåìåííîé ìàññû ñôîðìóëèðîâà-
íû â [11]. Ïî çàäàííûì èíòåãðàëàì ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû äèíàìè÷åñêèå
ñâîéñòâà òåëà è ïîëå ñèë, â êîòîðîì äâèæåíèå òåëà îáëàäàåò óêàçàííûìè
ñâîéñòâàìè.
Ðàññìîòðèì òâåðäîå òåëî ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé, ñîñòîÿùåå èç íåèç-
ìåííîé ÷àñòè è èçìåíÿþùåéñÿ ÷àñòè. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ÷àñòèöû èç-
ìåíÿþùåéñÿ ìàññû ïåðåìåùàþòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê íåèçìåííîé ÷àñòè èçâåñò-
íûì îáðàçîì è â îïðåäåëåííîì ìåñòå ïîêèäàþò òåëî. Ãëàâíûå îñè èíåðöèè
òåëà íåïîäâèæíû îòíîñèòåëüíî íåèçìåííîé ÷àñòè òåëà, è îñè êîîðäèíàò íà-
ïðàâëåíû ïî ãëàâíûì îñÿì èíåðöèè. Ê òâåðäîìó òåëó ïðèêðåïëåí ãèðîñêîï ñ
ïîñòîÿííûìè ìîìåíòàìè êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ λ, µ, ν, è ðàçìåðû òåëà îòíî-
ñèòåëüíî ìàëû. Îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè A, B,C è êîîðäè-
íàò öåíòðà ìàññ xc, yc, zc ñäåëàåì ïðåäïîëîæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ñëó÷àþ
Ëàãðàíæà: A = B 6= C, xc = yc = 0, zc 6= 0, λ = µ = 0. Ïðåäñòàâèì óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ òåëà â âèäå
Aṗ = (A− C) qr − νq + X + Mx,
Aq̇ = (C −A) rp + νp + Y + My,
Cṙ = Z + Mz,
γ̇i = Γi (γ1, γ2, γ3) , i = 1, 2, 3.
(16)
Çäåñü γ1, γ2, γ3 � êîñèíóñû óãëîâ íàêëîíà îñåé ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
Oxyz ê îñÿì íåïîäâèæíîé ñèñòåìû, Mx = Mφ
x + M r
x + Mk
x , Mφ
x , M r
x , Mk
x �
ñîîòâåòñòâåííî ìîìåíòû îòíîñèòåëüíî îñè Ox ðåàêòèâíîé ñèëû, ñèë èíåðöèè
äâèæóùèõñÿ ÷àñòèö è ñèë Êîðèîëèñà . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåëè÷èíû A, B,
C, M , xc, yc, zc è èõ ïðîèçâîäíûå ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè è îãðàíè÷åííûìè
ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Â äàëüíåéøåì áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî
lim
t→∞xc = x0
c , (x, y, z) , lim
t→∞A = A0, (A,B, C) , lim
t→∞M = M0,
ãäå A0, B0, C0, M0, x0
c , y0
c , z0
c � ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïî-
êàçàòåëåé íåèçìåííîé ÷àñòè òåëà. Ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Îïðåäåëèòü
óñëîâèÿ, íàêëàäûâàåìûå íà X, Y , Z, Γi, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà (16) èìååò
171
Ð.Ã. Ìóõàðëÿìîâ
èíòåãðàëû
f1 ≡ A
(
p2 + q2
)
+ Cr2 + 2Mgzcγ3 − 3g
R
(A− C) γ2
3 = C1,
f2 ≡ A (pγ1 + qγ2) + Crγ3 + νγ3 = C2,
f3 ≡ C (r − r0) , r0 = const, g =
µ1
R2
,
f4 ≡ γ2
1 + γ2
2 + γ2
3 − 1 = 0.
(17)
ãäå C1, C2, µ, R � ïîñòîÿííûå, M � ìàññà òåëà. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì âûðà-
æåíèÿ (17) ñ ó÷åòîì ñèñòåìû (16) è óðàâíåíèé âîçìóùåíèé ñâÿçåé
ḟ1 = k11f1 + k12f2 + k13f3, ḟ2 = k21f1 + k22f2 + k23f3,
ḟ3 = k31f1 + k32f2 + k33f3, ḟ4 = k44f4.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé
pX̃ + qỸ + rZ̃ = h1, γ1X̃ + γ2Ỹ + γ3Z̃ = h2,
Z = h3, γ1Γ1 + γ2Γ2 + γ3Γ3 = k44f4,
(18)
äëÿ îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèé
X̃ = X + Mx, Ỹ = Y + My, Z̃ = Z + Mz,
h1 =
3∑
i=1
k1ifi −MgzcΓ2 +
3g
R
(A− C) γ3Γ3 − 1
2
Ȧ
(
p2 + q2
)−
−1
2
Ċr2 +
3g
2R
(
Ȧ− Ċ
)
γ2
3 −Mgγ3żc,
h2 =
3∑
i=1
k2ifi, h3 =
3∑
i=1
k3ifi.
Ðåøåíèå ñèñòåìû (18) èìååò ñëåäóþùèé âèä:
X̃ =
1
pγ2 − qγ1
(γ2h1 − qh2 + (qγ3 − rγ2) h3) ,
Ỹ =
1
pγ2 − qγ1
(ph2 − γ3h1 + (rγ1 − pγ3) h3) ,
Z̃ = h3,
Γ1 = c3γ2 − c2γ3 + γ1γ
−2k44f4, (γ1, γ2, γ3) ,
γ−2 =
(
γ2
1 + γ2
2 + γ2
3
)−1
.
(19)
172
Óïðàâëåíèå äèíàìèêîé ñèñòåì ñ ïðîãðàììíûìè ñâÿçÿìè
Èç (19) ïðè kij ≡ 0, i, j = 1, 2, 3, k44 ≡ 0, c1 = p, c2 = q, c3 = r,
Mx =
γ2h̃1
pγ2 − qγ1
, My =
ph̃1
pγ2 − qγ1
, Mz = 0,
2h̃1 = −Ȧ
(
p2 + q2
)− Ċr2 − 2Mgγ3żc +
3g
2R
(
Ȧ− Ċ
)
γ2
3
ñëåäóþò âûðàæåíèÿ ïðîåêöèé ñèëû
X = Mgzcγ2 +
3g
R
(C −A) γ2γ3, Y = −Mgzcγ1 +
3g
R
(A− C) γ3γ1, Z = 0
ñîîòâåòñòâóþùåé ñèëîâîé ôóíêöèè [12]
U = −µ1M
R2
(xcγ1 + ycγ2 + zcγ3)− 3
2
µ1
R3
(
Aγ2
1 + Bγ2
2 + Cγ2
3
)
. (20)
Ïðè ýòîì ñèñòåìà (16) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå [13]:
Aṗ = (A− C) qr − νq + Mgzcγ2 +
3g
R
(C −A) γ2γ3,
Aq̇ = (A− C) rp + νp−Mgzcγ1 +
3g
R
(A− C) γ3γ1,
Cṙ = 0,
γ̇1 = rγ2 − qγ3 (1, 2, 3).
(21)
Ñèñòåìà (21) èìååò ÷àñòíûå èíòåãðàëû:
x1 ≡ p = 0, x2 ≡ q = 0, x3 ≡ r − r0 = 0,
x4 ≡ γ1 = 0, x5 ≡ γ2 = 0, x6 ≡ γ3 − 1 = 0.
. (22)
Óðàâíåíèÿ âîçìóùåíèé ñâÿçåé (22) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå:
x1 ≡ p = 0, x2 ≡ q = 0, x3 ≡ r − r0 = 0,
x4 ≡ γ1 = 0, x5 ≡ γ2 = 0, x6 ≡ γ3 − 1 = 0.
Èñïîëüçóåì â êà÷åñòâå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà ñâÿçêó èíòåãðàëîâ (17):
V = f1 − 1
A
(Cr0 + ν) f2 + 2C
(
Cr0 + ν
A
− r0
)
f3 +
C
A
(C −A) f2
3 +
173
Ð.Ã. Ìóõàðëÿìîâ
+
(
1
2A
(Cr0 + ν)2 + 3ω2 (A− C)−Mgzc
)
f4 +
3
4
ω2 (A− C) f2
4 , ω2 =
3g
R
.
Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èíòåãðàëüíîãî ìíî-
ãîîáðàçèÿ [9] ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ ãèðîñêîïîì
óñòîé÷èâî àñèìïòîòè÷åñêè ïî îòíîøåíèþ ê óðàâíåíèÿì ñâÿçåé (21) ïðè âû-
ïîëíåíèè ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ [13]:
(Cr0 + ν)2 − 4a
(
Mgzc − 3ω2 (A− C)
)
> 0, A′ < 0,
(
C2
A
)′
< 0,
A′
(
1
2A
(Cr0 + ν)2 + 3ω2 (A− C)−Mgzc
)′
− 1
4
(
(Cr0 + ν)′
)2
> 0.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäà-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, êîä 06�01�00664.
1. Layton R. Di�erential-Algebraic Equations of Dynamical Systems. � Springer, 2001. � 159 p.
2. Ñèðàçåòäèíîâ Ò.Ê. Äèíàìè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ýêîíîìè÷åñêèõ îáúåêòîâ. � Êàçàíü:
Ôýí, 1996. � 223 ñ.
3. Ñàèòîâ Ð.È. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà ïîçíàíèÿ // Ïðîáëåìû ôèçèêî-ìàòåìà-
òè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ â ïåäàãîãè÷åñêèõ âóçàõ Ðîññèè íà ñîâðåìåííîì ýòàïå: � Ìàòå-
ðèàëû II Óðàëüñêîé ðåãèîí. ìåæâóçîâ. íàó÷íî-ïðàêòè÷åñêîé êîíô. ( 19�21 ìàÿ 1997 ã.).
� Óôà, 1997. � ×. 2. � Ñ. 66�67.
4. Ïÿòíèöêèé Å.Ñ. Òåîðåòè÷åñêàÿ áèîìåõàíèêà. Êîíöåïöèÿ óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì â
óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. � Èçáð. òð.: Èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèò-ðû, 2006. � Ò. 3. � 448 ñ.
5. Ìóõàðëÿìîâ Ð.Ã. Î ïîñòðîåíèè ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìåõà-
íè÷åñêèõ ñèñòåì // Äèô. óðàâíåíèÿ. � 2003. � Âûï. 39, � 3. � Ñ. 343�353.
6. Ìóõàðëÿìîâ Ð.Ã. Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ñèñòåì ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû è
îáðàòíûå çàäà÷è äèíàìèêè // Ïðîáëåìû íåëèíåéíîãî àíàëèçà â èíæåíåðíûõ ñèñòåìàõ.
� Êàçàíü, 2007. � Âûï. 13, 1(27). � Ñ. 23�36.
7. Baumgarte J. Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems //
Comp. Math. Appl. Mech. Eng. 1972. � P. 1�16.
8. ×åòàåâ Í.Ã. Î âûíóæäåííûõ äâèæåíèÿõ // Óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ. Ðàáîòû ïî àíà-
ëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå. � Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1962. � Ñ. 329�335.
9. Ìóõàðëÿìîâ Ð.Ã.Î ïîñòðîåíèè ìíîæåñòâà ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé óñòîé-
÷èâîãî äâèæåíèÿ ïî èíòåãðàëüíîìó ìíîãîîáðàçèþ // Äèô. óðàâíåíèÿ. � 1969. � 5, N 4.
� C. 688�699.
10. Ãàëèóëëèí À.Ñ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷ äèíàìèêè. � Ì.: Íàóêà, 1986. � 224 ñ.
11. Àìèíîâ Ì.Ø. Íåêîòîðûå âîïðîñû äâèæåíèÿ è óñòîé÷èâîñòè òâåðäîãî òåëà ïåðåìåííîé
ìàññû // Òð. Êàçàí. àâèàö. èí-òà, 1959. � Âûï. 48. � 118 ñ.
12. Áåëåöêèé Â.Â. Äâèæåíèå èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. � Ì.:
Íàóêà, 1965. � 416 c.
13. Êèðãèçáàåâ Æ. Ê óñòîé÷èâîñòè ïåðìàíåíòíûõ âðàùåíèé òåëà ïåðåìåííîé ìàññû ñ ãèðî-
ñêîïîì â íüþòîíîâñêîì ïîëå ñèë // Òð. óí-òà äðóæáû íàðîäîâ èì. Ïàòðèñà Ëóìóìáû.
� 1968. � Âûï 5. � Ñ. 13�23.
Ðîññèéñêèé óí-ò äðóæáû íàðîäîâ, Ìîñêâà, Ðîññèÿ
robgar@mail.ru
Ïîëó÷åíî 03.11.07
174
|