Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени
Показывается, что в случае Эйлера решение уравнений Эйлера-Пуассона представляется нормированной экспонентой от ς-функции эллиптической кривой специального вида над полем рациональных чисел Q. Данная функция представляет специализацию общего решения уравнений Эйлера-Пуассона в экспонентах от L-функц...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27983 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени / Д.Л. Абраров // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 31-55. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27983 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279832011-10-26T12:05:50Z Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени Абраров, Д.Л. Показывается, что в случае Эйлера решение уравнений Эйлера-Пуассона представляется нормированной экспонентой от ς-функции эллиптической кривой специального вида над полем рациональных чисел Q. Данная функция представляет специализацию общего решения уравнений Эйлера-Пуассона в экспонентах от L-функций эллиптических кривых над Q, полученного в [1]. Проводится сопоставление полученного решения с классическим решением. 2008 Article Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени / Д.Л. Абраров // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 31-55. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27983 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Показывается, что в случае Эйлера решение уравнений Эйлера-Пуассона представляется нормированной экспонентой от ς-функции эллиптической кривой специального вида над полем рациональных чисел Q. Данная функция представляет специализацию общего решения уравнений Эйлера-Пуассона в экспонентах от L-функций эллиптических кривых над Q, полученного в [1]. Проводится сопоставление полученного решения с классическим решением. |
| format |
Article |
| author |
Абраров, Д.Л. |
| spellingShingle |
Абраров, Д.Л. Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени Механика твердого тела |
| author_facet |
Абраров, Д.Л. |
| author_sort |
Абраров, Д.Л. |
| title |
Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени |
| title_short |
Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени |
| title_full |
Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени |
| title_fullStr |
Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени |
| title_full_unstemmed |
Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени |
| title_sort |
решение уравнений волчка эйлера с учетом их обратимости по времени |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27983 |
| citation_txt |
Решение уравнений волчка Эйлера с учетом их обратимости по времени / Д.Л. Абраров // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 31-55. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT abrarovdl rešenieuravnenijvolčkaéjlerasučetomihobratimostipovremeni |
| first_indexed |
2025-07-03T07:57:17Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:57:17Z |
| _version_ |
1836611732805517312 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 531.38
c©2008. Д.Л. Абраров
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВОЛЧКА ЭЙЛЕРА
С УЧЕТОМ ИХ ОБРАТИМОСТИ ПО ВРЕМЕНИ
Показывается, что в случае Эйлера решение уравнений Эйлера–Пуассона представляется
нормированной экспонентой от ζ-функции эллиптической кривой специального вида над
полем рациональных чисел Q. Данная функция представляет специализацию общего ре-
шения уравнений Эйлера–Пуассона в экспонентах от L-функций эллиптических кривых
над Q, полученного в [1]. Проводится сопоставление полученного решения с классическим
решением.
Введение. Целью данной работы является демонстрация общего реше-
ния уравнений Эйлера–Пуассона в экспонентах от L-функций эллиптических
кривых, полученного в [1], на примере волчка Эйлера. Разъясняется анали-
тический, геометрический и механический смысл указанной специализации.
При этом соответствующие вычисления проводятся независимо от вычисле-
ний работы [1] и более детально, что позволяет конкретизировать вид спек-
тральной кривой для случая Эйлера из [1]. Применяемая техника наряду со
случаем Эйлера может быть использована и для других известных случаев
интегрируемости уравнений Эйлера–Пуассона.
В случае Эйлера механическая система имеет три существенных веще-
ственных параметра – главные моменты инерции тела. Уравнения движения
тела в этом случае имеют вид
dM
dt
= [M , ω] , (1)
где t ∈ R – вещественное время, M – вектор кинетического момента твердо-
го тела, ω – вектор угловой скорости тела, [·, ·] – оператор векторного про-
изведения в евклидовом пространстве E3. При этом M = I · ω; оператор
I представлен диагональными матрицами размера 3 × 3 с положительными
вещественными элементами, удовлетворяющими неравенству треугольника.
1. Эквивариантное уточнение классических квадратур для волч-
ка Эйлера. Уточнение состоит в учете того обстоятельства, что квадрату-
ра, возникающая в результате классического вычисления, имеет ветвление
в сочетании с “более широкой областью определения” аргумента квадрату-
ры, включающей бесконечно удаленную точку. Все эти эффекты являются
проявлением свойства обратимости по времени исходных уравнений.
1.1. Аналитический аспект уточнения квадратур. Важно, что в ито-
ге удается явно вычислить обращение уточненной квадратуры в виде дзета-
функции некоторой эллиптической кривой, являющейся эквивариантной спе-
циализацией классической дзета-функции Римана. После этого проводится
31
Д.Л. Абраров
сопоставление полученного результата с известным обращением классиче-
ских квадратур.
Уравнение (1) приводится к виду на компоненты ω (см. [2]):
du
dt
± n
√
(1− u2)(1− k2u2) = 0. (2)
Это уравнение отличается от соответствующего уравнения, зачастую приво-
димого в соответствующей литературе, знаком: вместо знака “+” здесь фигу-
рирует знак ±. Вместе с тем, в ряде руководств, например, в [2] и [3], имеется
анализ выбора знаков. Впрочем, предлагаемый в них алгоритм выбора зна-
ков у переменных p, q, r ограничивает комбинаторику их выбора, поскольку
не полностью учитывает симметризующее действие отображения Z2[t → −t]
обратимости по времени на исходном уравнении движения (1), допускаю-
щее произвольный выбор знаков. Действительно, меняя знак времени в лю-
бом скалярном уравнении векторного уравнения (1), можно получить любую
формально возможную комбинацию знаков переменных в этом уравнении.
Теперь остается заметить, что такая смена знака времени в любом из ска-
лярных уравнений не меняет самих уравнений (1) в силу их обратимости по
времени. Собственно говоря, эта симметризационная процедура и делается
при получении дополнительного интеграла уравнений (1).
И именно это, на первый взгляд, незначительное обстоятельство неполно-
ты алгоритма определения знаков приводит к совершенно иной аналитиче-
ской структуре окончательного ответа.
Теперь из уравнения (2) получаем уточненную классическую квадратуру
n(t− t0) = ±
∫ u
0
du√
(1− u2)(1− k2u2)
, (3)
где t0 – момент времени, когда u = q = 0, и где знак ± должен быть допол-
нительно согласован с фазовым потоком исходных уравнений (1) с учетом их
обратимости по времени, что и составляет содержание данной работы.
2. Соотношение результатов обращений классической квадрату-
ры и ее эквивариантного уточнения. Только после специального функ-
ционального преобразования, индуцированного отображением Z2[t → −t], эл-
липтические тета-функции Якоби, представляющие результат классического
обращения (см. [2, 3])), становятся эквивариантными координатами в полном
фазовом пространстве волчка Эйлера.
Результатом подправленного обращения оказывается специальная функ-
ция exp(ζeq(s)) = exp
(
ζ(s, E/Q)(ζ(s,E/Q) = 0)
)
комплексного аргумента s,
имеющая смысл эквивариантной специализации ζ-функции Римана.
Аналитическая структура доработки обращения, составляющая техниче-
ское содержанием данной работы, эквивалентна эквивариантной специализа-
ции известной формулы для дзета-функции Римана (см. [5])
ζeq(s) = (
1
s
− 1
1− s
+
∫ ∞
1
(x
s
2
−1 + x−
s
2
− 1
2 )θ0(x)dx⊗R E/Q,
32
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
где функция θ0(x) =
∞∑
n=1
e−πn2x имеет смысл потенциала фазового потока на
свободном двояко-асимптотическом движении волчка Эйлера, E/Q – эллип-
тическая кривая, задаваемая уравнением y2 = x3 + px + q , где p, q – лю-
бые неравные простые числа, имеющая смысл уравнения свободного двояко-
асимптотического движения; dx⊗R E/Q – эквивариантная мера.
Выражение (x
s
2
−1 + x−
s
2
− 1
2 ) имеет смысл эквивариантного “непрерывно-
го” знака ±(modZ2[t → −t]) в уточненной классической квадратуре и имеет
смысл эквивариантной склейки свободных двояко-асимптотических движе-
ний изо всех компонент гладкости сепаратрисы в t = ∞.
Таким образом, функцию exp(ζeq(s)) можно определить как решение урав-
нения (1) в духе определения многих известных специальных функций.
2.1. Соотношение классического решения и его эквивариантно-
го уточнения с механической точки зрения. Классическое решение
без знаков перед квадратурой (3) можно интерпретировать как некоторую
естественную проекцию реального движения волчка Эйлера. Геометрически
это решение представляется качением только верхней сферы со вписанным в
нее тетраэдром (см. рис. 2 ниже) и реализует классическую интерпретацию
Пуансо. Соответствующее движение волчка не является γ−ω монодромным.
Классическому решению (3) с частичным учетом знаков (по [2, 3]) и до-
полнительной нормировкой начальных условий на относительное равнове-
сие, реализуемое вращением вокруг средней оси эллипсоида инерции, соот-
ветствует маятниковое вращение волчка: вектор его кинетического момен-
та совершает маятниковые колебания в E3. Это движение – точный аналог
“маятникового” режима движения математического маятника и имеет смысл
движения с относительно небольшим запасом полной энергии.
Геометрически классическое решение “с частичным” учетом знаков пред-
ставляется зеркально симметричным качением верхней и нижней сфер со
вписанным в них тетраэдром (см. рис. 2). Это движение, еще не являясь
γ − ω монодромным, представляет “удвоение” интерпретации Пуансо.
Уточненному решению – классическому решению с полным учетом зна-
ков и дополнительной нормировкой начальных условий на указанное выше
неустойчивое относительное равновесие волчка – соответствует “ротацион-
ное” вращение вектора кинетического момента волчка. Это движение – точ-
ный аналог “ротационного” режима движения математического маятника.
Такое движение имеет достаточно большой запас полной энергии.
Также это движение уже соответствует γ − ω монодромному качению
сфер, изображенному на рис. 2, и представляет эквивариантно продолженное
в точку t = ∞ зеркально симметричное “удвоение” интерпретации Пуансо.
Таким образом, генератором как маятникового, так и ротационного режи-
мов движения волчка Эйлера является его специальное резонансное движе-
ние – вращение вокруг средней оси эллипсоида инерции – точный аналог вер-
тикального положения равновесия математического маятника. Данное дви-
жение является относительным неустойчивым равновесием волчка Эйлера
33
Д.Л. Абраров
со свободной в E3 указанной осью вращения. Свобода оси вращения соответ-
ствует тому, что центр тяжести волчка находится в точке его закрепления.
Канонической координатой на пространстве всех движений волчка как
пространстве колебаний вокруг средней оси эллипсоида инерции и является
функция exp(ζeq(s)), где s можно интерпретировать как каноническую коор-
динату на сфере Пуассона. Точная аналогия с математическим маятником
здесь состоит в том, что все пространство движений маятника в точности
реализуется пространством его выходов из верхнего положения равновесия.
2.2. Геометрическая интерпретация соотношения результатов об-
ращений классической квадратуры и ее эквивариантного уточне-
ния.Приведем теперь в сопоставлении графики результатов обращения клас-
сической квадратуры и ее эквивариантного уточнения. Данные графики мож-
но рассматривать как геометрические интерпретации орбиты рассматривае-
мого отображения бимонодромии тетраэдра, вписанного в сферу Пуассона.
Данное отображение определено в эквивариантной гиперплоскости универ-
сального фазового пространства CP 3((ω, γ)) уравнений (1), где ω, γ ∈ C3
– двумерном проективном комплексном пространстве CP 2 ∼= CP 3((ω, γ)
/
/{[ω, γ] = 0}) (соотношение [ω, γ] = 0 выделяет рассматриваемое бимоно-
дромное движение тетраэдра и выполняется на сепаратрисе волчка Эйлера).
Тем не менее, это отображение можно реализовать и в евклидовом простран-
стве E3, так как оно, благодаря симметрии Z2[t → −t], имеет скрытую ди-
намическую структуру над C, согласующую проективную (эллиптическую),
евклидову (плоскую) и симплектическую (гиперболическую) структуры. Это
эквивариантная зеркальная симметрия “проективная-симлектическая геомет-
рия” относительно “евклидова зеркала”.
Рис. 1.
Тэта-функция θ0(x) координатизирует линейчатую гиперповерхность
S[θ0(x)] в CP 2, схематически представленную в левой части рис. 1 и имеющей
вид динамической развертки конической поверхности в пространстве E3. Эту
34
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
поверхность можно рассматривать как одну из карт на орбите отображения
непрерывного точного отображения центрально-подобного вращения в про-
странстве E3, являющимся динамическим отображением в E3. Это отображе-
ние также эквивалентно отображению непрерывной центральной симметрии
в E3 и отображению непрерывной симметризованной обкатки в E3 одним ко-
нусом другого (см. коническую интерпретацию движения волчка Эйлера в
[6]), потенциалом которых как раз и является функция ζeq(s).
При этом вектор кинетического момента M(t) является касательным век-
тором к поверхности S[ζeq(s)], и касание происходит вдоль ее образующих
(с координатой t), как указано на рис. 1. Поверхность S[ζeq(s)] является эк-
вивариантным уточнением лиувиллевых торов, организованных в блоки, а
поверхность S[exp(ζeq(s))] – эквивариантным уточнением фазового потока в
этих блоках.
2.3. Соотношение классических эллиптических кривых над C
и их эквивариантного уточнения – эллиптических кривых над Q.
С классической квадратурой ассоциирована эллиптическая кривая, задава-
емая уравнением y2 = x3 + ax + b в аффинных координатах x, y ∈ C, где
коэффициенты a, b ∈ R. Топологически данная кривая представляется фак-
тором EC
∼= C/Γ и изоморфна тору S1×S1, что также отражается теоремой
Лиувилля–Арнольда.
Кривой, ассоциированной с уточненной квадратурой, оказывается эллип-
тическая кривая E/Q, нормальная форма которой имеет такое же аффин-
ное уравнение, но коэффициенты задающего ее уравнения более специальны.
Связь между циклами кривых EC и E/Q представлена на рис. 2.
Рис. 2.
Как показано на рис. 2, кривая E/Q топологически представляется непре-
рывным качением двух зеркально симметричных относительно плоскости C
сфер S2
1 и S2
2 по решетке Γ, согласованным с зеркальной симметрией впи-
санных в них тетраэдров. Орбиты такого качения сфер реализуют циклы
c1(E/Q), c2(E/Q) кривой E/Q ∼= C[s]/Γeq (γ-цикл и ω-цикл). Рис. 2 от-
ражает как глобальную геометрию переменных γ и ω, так и геометрию их
численной координатизации, производимой ниже в леммах 1–14 (см. также
35
Д.Л. Абраров
изображение величины p−s на нем). Важно отметить, что рис. 2 можно ин-
терпретировать как качение без проскальзывания сферы S2 по плоскости,
обладающее групповым свойством как по конфигурационным переменным,
так и по угловым скоростям. Это и есть эквивариантное уточнение интерпре-
тации Пуансо.
3. Решение уравнений волчка Эйлера в сопоставлении с реше-
нием уравнений общего волчка. Эквивариантная склейка ветвей квад-
ратуры (3) посредством отображения инволюции обратимости по времени
приводит к следующей структуре пространства решений в случае Эйлера.
Теорема 1. 1. Общее решение дифференциальных уравнений (1) волчка Эй-
лера, описывающих динамику вектора M(s), s ∈ C, кинетического момента
тела, представляется функцией
M(s) = exp
(
ζ(s,E/Q)(ζ(s, E/Q) = 0)
)
,
где E/Q – полустабильная эллиптическая кривая E/Q над полем рациональ-
ных чисел Q, задаваемая уравнением в аффинной форме
y2 = x3 + px + q,
где p, q – различные простые числа, функция ζ(s, E/Q) является ζ-функцией
эллиптической кривой E/Q.
2. Зависимости M(s), γ(t), ω(t) имеют структуру векторно-значных
функций соответствующих аргументов s, t с числом компонент, равным
трем.
3. Зависимости переменных γ(t) и ω(t) от вещественного времени t име-
ют следующий вид:
γ(t, t0) = Re (ζ(s, E/Q)ζ0(s,E/Q)),
ω(t, t0) = Im (ζ(s,E/Q)ζ0(s,E/Q)),
где ζ0(s,E/Q) = ((ζ(s1, E/Q) = 0), (ζ(s2, E/Q) = 0), (ζ(s3, E/Q) = 0)) – век-
тор, состоящий из трех последовательных нулей функции ζ(s, E/Q); Re, Im
– вещественная и мнимая части соответствующих комплексно-значных
функций.
4. Каждый вектор начальных условий, отвечающий общему решению,
определяется следующим образом:
γ(t0) = Re{ζ((s1, (E/Q) = 0), ζ((s2, (E/Q) = 0), ζ((s3, (E/Q) = 0)},
ω(t0) = Im{ζ((s1, (E/Q) = 0), ζ((s2, (E/Q) = 0), ζ((s3, (E/Q) = 0)},
где s1, s2, s3 – нетривиальные нули функции ζ(s,E/Q) (т.е нули с ненулевой
мнимой частью), последовательные по абсолютной величине.
5. Каждый вектор начальных условий, отвечающий классическому реше-
нию, структурно определяется так же, как и в. 4, но при этом значения
36
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
s1, s2, s3 аргумента s являются последовательными по абсолютной вели-
чине уже тривиальными нулями функции ζ(s,E/Q), т.е последовательны-
ми нулями с нулевой мнимой частью.
6. Множество начальных условий для классического решения являет-
ся подбикомплексом в бикомплексе начальных условий, соответствующих
общему решению (бикомплекс – комплекс с Z2-градуированным дифференци-
алом, определение комплекса см. в [7]).
Замечание. 1. В данном утверждении представлена зависимость M(s) от
переменной s = t/Z2[t → −t], которая является обратимым временем исход-
ных уравнений, а также зависимости γ(t) и ω(t) от вещественного времени
t.
2. Структурное отличие формулы для решения случая Эйлера по срав-
нению с формулой для общего решения уравнений Эйлера–Пуассона из [1]
состоит в наличии нормировочного множителя {ζ(s,E/Q) = 0} в показате-
ле экспоненты. Данный множитель представляет все множество начальных
условий исходной задачи, инвариантных относительно инволюции Z2[t → −t]
(лемма 14), и его наличие отражает тот факт, что исходные дифференциаль-
ные уравнения являются корректной задачей Коши. В связи с этим, есте-
ственно дополнить и формулу общего решения из [1], добавив в нее норми-
ровочный множитель такого же типа. Отметим, что это дополнение не отра-
жается на доказательстве, поскольку соответствующая нормировка является
его ключевой конструкцией.
Приведем соответствующее нормировочное дополнение общего решения
уравнений Эйлера–Пуассона.
Теорема 2. Универсальное пространство решений общих уравнений Эй-
лера–Пуассона, описывающих динамику вектора M(s), s ∈ C кинетического
момента тела, представляется следующими функциями:
M(s) = exp(L(s, {E/Q})(L(s,E/Q) = 0)),
где {E/Q} – множество эллиптических кривых E/Q над полем рациональ-
ных чисел Q, функции L(s, E/Q) являются L-функциями эллиптических
кривых E/Q (см. [4]), а выражения L(s,E/Q) = 0 имеют структуру век-
торов с шестью компонентами и представляют все множество начальных
условий общих уравнений Эйлера–Пуассона.
4. Определения объектов, входящих в формулировки утвержде-
ний. Приведем краткую сводку определений объектов, которые используют-
ся в данной работе и связаны с кривыми E/Q, опирающуюся на руководство
[4] и цитируемую там литературу.
4.1. Эллиптические кривые над Q и их основные характеристики. Эллип-
тическая кривая E/Q задается уравнением в аффинной форме
y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x
2 + a4x + a6,
где a1, a2, a3, a4, a6 ∈ Q.
37
Д.Л. Абраров
Дискриминант эллиптической кривой E/Q имеет следующий вид:
∆ = 9b2b4b6 − b2
2b8 − 8b3
4 − 27b2
6.
Формулы, выражающие ai через bj , см. в [4].
Если минимальное уравнение эллиптической кривой E/Q при редукции
по простому модулю p – опять гладкая кубическая кривая (гладкость эллип-
тической кривой означает, что ее дискриминант ∆(E/Q) не равен нулю), то
в этом случае говорят, что кривая E/Q имеет в p хорошую редукцию, а такое
p называется “хорошим p”.
Если минимальное уравнение эллиптической кривой E/Q при редукции
по простому модулю p – сингулярная кривая, то в этом случае говорят, что
кривая E/Q имеет в p плохую редукцию, а такое p называется “плохим p”.
Такие “плохие” простые числа p в точности являются простыми делите-
лями дискриминанта ∆(E/Q) эллиптической кривой E/Q.
Кривая E/Q при плохой редукции в p допускает единственную сингу-
лярную точку с координатами в Fp. Всегда можно сделать такую линейную
замену координат, что точка с координатами (0, 0) становится такой сингу-
лярной точкой при редукции кривой E/Q по модулю всех “плохих p”. Та-
кая замена не меняет соответствующего уравнения и приводит к равенству
a3, a4, a6 = 0(mod p) для всех “плохих p”.
Если при этом касательные к кривой E/Q в точке (0, 0) совпадают, то
имеет место сравнение x2 + a1x− a2 = 0(mod p).
4.2. Полустабильные эллиптические кривые над Q. Эллиптическая кривая
E/Q называется полустабильной в простом p, если либо p – хорошее, либо p
такое плохое, что ее касательные в сингулярной точке (0, 0) различны. Это
означает, что дискриминант полинома x2 +a1x−a2 не равен нулю по модулю
p и что a(p) = ±1.
Эллиптическая кривая E/Q называется полустабильной, если она полу-
стабильна во всех простых p.
4.3. Дзета-функции эллиптических кривых над Q. Дзета-функция редук-
ции кривой Ep – редукции эллиптической кривой E/Q над Q по модулю p
выглядит следующим образом:
ζ(s,Ep) = exp
( ∞∑
n=1
|Ep(Fpn)|un
n
)
,
где Fpn – поле из pn элементов, u = p−s, Ep – редукция эллиптической кри-
вой по модулю p (данная редукция – переход от области определения Q к
новой области определения – полю Fp), |Ep(Fpn)| – число точек эллиптиче-
ской кривой Ep(Fpn).
5. Приведение эквивариантной квадратуры для волчка Эйлера
к полному дифференциалу. Проведем указанную в названии парагра-
фа процедуру посредством приведения уточненного знаком ± и областью
определения абелевого дифференциала (3) к дифференциалу от некоторой
38
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
специальной функции комплексного аргумента s. Эта процедура приводит
к нахождению явной эквивариантной функциональной зависимости между
вещественным временем t и комплексным временем s. Этапы данной про-
цедуры будут соответствовать леммам 1–11. Далее останется обратить эту
зависимость (леммы 12–14).
5.1. Предварительная структура эквивариантного уточнения квадратуры
волчка Эйлера. В силу модели фазовой динамики волчка Эйлера (см. [3]) в
кольце (обозначим его K) и при учете симметрии Z2[t → −t] интеграл правой
части формулы (3), обозначаемый далее через I(k), можно преобразовать
следующим образом:
±
∫ u
0
du√
(1− u2)(1− k2u2)
(modZ2[t → −t]) =
=
∫ u
K2⊗Z2[t→−t]
dueq√
(1− u2
eq)(1− k2u2
eq)
= I(k),
где ueq = u⊗ Z2[t → −t].
5.2. Поэтапное вычисление эквивариантной квадратуры. Дадим определе-
ния и введем необходимые для дальнейшего объекты.
Определение 1. (Алгебраическое определение группы Клейна D2 (см. [8])).
Группой Клейна, обозначаемой через D2, называется группа, связывающая
следующим образом знакопеременные группы подстановок A4 и A3 из четы-
рех и трех элементов соответственно:
A4/{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ∼= A3,
где {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ∼= D2.
Поскольку каждая указанная нетождественная подстановка представля-
ет поворот Rotπ
O правильного тетраэдра вокруг соответствующей реберной
медианы (отрезка, соединяющего середины двух взаимно противоположных
ребер тетраэдра с центром O) на угол π, то можно дать геометрическую вер-
сию этого определения.
Определение 2. (Геометрические определения группы Клейна D2 (см. [8])).
1. Группа D2 изоморфна множеству поворотов тетраэдра на угол π во-
круг всех трех реберных медиан вместе с тождественным поворотом, и при
этом композиция любых двух таких поворотов дает такой же поворот вокруг
третьей медианы.
2. Группа D2 изоморфна множеству всех поворотов ромба на плоскости.
Определение 3. Пусть S1(Sym(T )) и S1(Rot(T )) – орбиты, заметаемые
точкой касания сферы S2 из Замечания 2 при ее качении по плоскости E2,
где
Sym(T ) ∼= Image(Rotπ
O(T ) → S1
+), Rot(T ) ∼= Image(RotπO(T ) → S1
×),
39
Д.Л. Абраров
S1
+, S1× – стандартная окружность S1, снабженная структурой аддитивной и
мультипликативной группы соответственно.
Тогда положим
S1
diag
∼= Diag(S1(Rot(T )) ◦ S1, (Sym(T ))),
где знак “◦” обозначает композицию групповых законов на сомножителях.
Эта диагональ корректно определена в силу коммутативности сомножителей.
Определение 3 отражает тот факт, что группа D2 является центральной
симметрией ZO(T ) тетраэдра T , что влечет следующие изоморфизмы:
S1
diag
∼= S1(Rot(T ) ∼= Sym(T )) ∼= ZO(T )[Rot(T ), Sym(T ))/Rot(T ) ∼= Sym(T )].
Также можно записать
S1
diag
∼= S1(Rot(T ) ∼= Sym(T )) ∼= S1(D×
2
∼= D+
2 ) ∼= S1(Ddiag
2 ),
где Ddiag
2
∼= Diag(D×
2 ◦D+
2 ) – корректно определенная диагональ изоморфных
коммутативных групп.
Лемма 1. 1. Группа D2(Q) является генератором транзитивного качения
тетраэдра, вписанного в сферу S2, по плоскости E2.
2. Группа D2(R) является генератором двойственной конструкции –
транзитивного качения сферы со вписанным в нее тетраэдром, по плоско-
сти.
Док а з а т е л ь с т в о. Заметим, что качение, упомянутое в п. 1 леммы,
представляется симметрией SO(3, E2/sp(Q)/{Множество поворотов ромба}),
где sp(Q) – отображение последовательного пересчета всех рациональных чи-
сел посредством пересчета всех целых точек плоскости E2 по точкам архи-
медовой спирали.
Соответственно, качение в п. 2 леммы представляется симметрией
SO(3, E2/sp(R)/{Множество поворотов ромба}), где sp(R) – отображение по-
следовательного пересчета всех рациональных чисел посредством пересчета
всех целых точек плоскости E2 по отрезкам архимедовой спирали.
Приведенные факторы плоскости E2 корректно определены, так как отоб-
ражения sp(Q), sp(R) являются отношениями эквивалентности. ¤
Определение 4. Следом (Trace), детерминантом (Det) и дискриминантом
(Discr) отображения композиции D2(R) ◦D2(Q) будем называть след, детер-
минант и дискриминант оператора SO(3, D2(R) ◦D2(Q)), которые определя-
ются соответствующим образом в рамках стандартной линейной алгебры.
Корректность данного определения следует из леммы 1, где операторы
D2(R), D2(Q) определены, а также следующего утверждения.
Лемма 2. Оператор D2(R) ◦ D2(Q)/ Ddiag
2 является генератором цен-
тральной симметрии 3-мерной целочисленной решетки E3/Z3.
40
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
Док а з а т е л ь с т в о. Надо заметить, что оператор
SO(3, S4)/(D2(R) ◦D2(Q))/Ddiag
2 ) является оператором центральной симмет-
рии куба в E3, где S4 – четырехэлементная группа подстановок, которая
изоморфна полной группе самосовмещений куба. ¤
Таким же образом определяются и соответствующие инварианты для опе-
ратора D = (D2(R)◦D2(Q))N→∞, являющегося N -кратной композицией опе-
ратора D2(R) ◦D2(Q), имеющего смысл генератора оператора D.
Опишем теперь явно указанные инварианты оператора D в терминах мо-
дели динамики волчка Эйлера в кольце K.
Лемма 3. Инварианты представления оператора D в фазовой динамике
волчка Эйлера, реализованной в кольце K, выражаются через объект S1
diag:
Trace(D/(Ddiag
2 )N→∞) : K → S1[Sym(T )] ∼= S1
diag,+,
Det(D/(Ddiag
2 )N→∞) : K → S1[Rot(T )] ∼= S1
diag,×,
Discr(D/(Ddiag
2 )N→∞) : K → S1[Sym(T ) ∼= Rot(T )] ∼= S1
diag,+,×,
где S1
diag,+
∼= S1
diag/S1×, S1
diag,+
∼= S1
diag/S1
+, S1
diag,+,× ∼= S1
diag.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Покажем, что отображение D2(R)◦D2(Q) явля-
ется генератором собственной симметрии сепаратрисной структуры в кольце
K.
а) Вводя на каждой компоненте гладкости сепаратрисы плоскую мет-
рику (что можно сделать в силу ее тривиального расслоения на двояко-
асимптотические траектории), замечаем, что отображение sp(R)◦sp(Q) отоб-
ражает комплексную плоскость E2 ∼= C на каждую из компонент гладкости
сепаратрисы.
б ) Отображение Sp ∼= sp(R)◦sp(Q)/{Множество поворотов ромба}) отоб-
ражает критическую полосу на плоскости C[s] (полосу, ограниченную пря-
мыми {Re(s) = 0}, {Re(s) = 1}), с действием на ней отображения зеркальной
симметрии относительной вещественной и мнимой осей одновременно (эта
симметрия и представляет симметрию обратимости по времени Z2[t → −t])
уже на всю сепаратрису.
в) В силу леммы 1 имеем Gener(Sp) ∼= D2(R) ◦D2(Q).
2. Из определения объектов Sym(T ) и Rot(T ) и леммы 1, где группы
D2(R), D2(Q) определены, следует, что
D2(Q) ∼= S1(Sym(T )) ∼= Gener(S1
+), D2(R) ∼= S1(Rot(T )) ∼= Gener(S1
×).
3. В соответствии с п. 1 данного доказательства объект S1
+ представляет
орбиту “лево-правого” вращения границы ∂K кольца K, а S1× соответственно
представляет орбиту “право-левого” вращения границы ∂K кольца K.
При этом S1
+, S1× представляют периодические движения волчка Эйлера
вокруг наименьшей и наибольшей осей инерции, симметризованные отобра-
жением Z2[t → −t].
41
Д.Л. Абраров
Закавыченность терминов “лево-правые” и “право-левые” означают услов-
ность выбора порядка использования терминов “лево” и “право”.
4. Из п. 2 следует, что корректно определена диагональ
S1
diag
∼= Diag(S1(Rot(T )) ◦ S1(Sym(T ))) ∼= S1(Rot(T ) ∼= Sym(T )).
5. В соответствии с п. 1 доказательства объект S1
diag представляет макси-
мальное собственное пространство оператора D, состоящее из пары сепара-
трисных гиперболических движений, симметризованной указанным образом
посредством отображения Z2[t → −t]; также S1
diag – неподвижное множество
при зеркальной симметрии посредством оператора D и имеет смысл образа
критической прямой {Re(s) =
1
2
} из плоскости C[s] при этой зеркальной сим-
метрии. При этом S1
diag представляет периодическое движение волчка Эйлера
вокруг средней оси инерции, симметризованное отображением Z2[t → −t].
6. Из определения инвариантов Trace, Det и Discr для оператора D сле-
дует, что
Trace(D/(Ddiag
2 )N→∞) ∼= S1
+, Det(D/(Ddiag
2 )N→∞) ∼= S1
×,
Discr(D/Ddiag
2 ) ∼= S1
diag.
7. Теперь лемма следует из п. 4 доказательства и определения S1
diag,+, в
соответствии с которым
S1
diag,+
∼= S1
diag/S1
×, S1
diag,+
∼= S1
diag/S1
+, S1
diag,+,× ∼= S1
diag. ¤
Замечание. S1
diag,+,× имеет смысл решения неявного уравнения [γ, ω] = 0.
Перейдем непосредственно к координатизации локальных эквивариант-
ных автоморфизмов кольца K – фактор-симметрий (локальных симметрий)
кольца K относительно его сепаратрисной структуры.
Лемма 4. 1. “Лево-правые” локальные автоморфизмы кольца K координа-
тизируются множеством всех простых чисел p с их естественным поряд-
ком
p = p(N) = H0(+∂K,ZN
2 [t → −t]),
где N – степень итерации отображения Z2[t → −t] – последовательно
пробегает все натуральные числа; +∂K – граница кольца K с фиксирован-
ной ориентацией на граничных противоположно ориентированных окруж-
ностях границы ∂K.
2. “Право-левые” локальные автоморфизмы кольца K координатизиру-
ются множеством комплексных чисел C = C[s]
s = H0(−∂K,ZN
2 [t → −t]),
42
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
где −∂K – граница кольца K c противоположной ориентацией на гранич-
ных окружностях границы +∂K.
Док а з а т е л ь с т в о. Покажем, что для любого простого числа p суще-
ствует такое натуральное число N , зависящее от p, что выполнено условие
п. 1 данной леммы. Действительно,
H0(+∂K, Z
(N))
2 [t → −t]) = H0(S1, S1
diag(modN)/\C) =
= H0(S1, S1
diag,+(modN)⊗ C) =
= H0(S1
diag, Trace((D2(R) ◦D2(Q))/Ddiag
2 )N ⊗ C) =
= H0(S1, (Zdiag
2 [N ])NCW),
где
Zdiag
2 [N ] = Trace(Diag(Gener(D2(R)) ◦Gener(D2(Q)))) ∼= Trace(Ddiag
2 )
– след (имеющий групповую структуру) оператора Ddiag
2 , являющегося кор-
ректно определенной диагональю. В силу леммы 2 оператор D2(R) ◦ D2(Q)
является генератором центральной симметрии 3-мерной целочисленной ре-
шетки E3/Z3. Поэтому имеется следующее представление для Zdiag
2 [N ]:
Zdiag
2 [N ] = Trace(ZE3/Z3
O [D2(R) ◦ (D2(Q)]/Ddiag
2 ).
Индекс CW обозначает, что объект Zdiag
2 [N ])NCW имеет дополнительную струк-
туру – структуру CW -комплекса, т.е. клеточного топологического простран-
ства, обладающего точной размерной стратификацией: n-мерный остов (для
любого n) данного пространства является границей его n + 1-мерного остова
(подробности см. в [7]).
Орбита группы Zdiag
2 [N ])NCW реализуется диаметром окружности S1
diag,
являющегося натурально-значной величиной. Это следует из того факта, что
группа Zdiag
2 [N ]NCW имеет следующую геометрическую интерпретацию – она
является натуральным параметром на точках архимедовой фактор-спирали,
последовательно пересчитывающей все целые точки на стандартной плоской
целочисленной решетке (см. доказательство леммы 1 и [2]).
Поскольку GenerZdiag
2 [N ] ∼= Z2[0, 1], то натуральные числа M , представ-
ляемые областью значений оператора Zdiag
2 [N ])NCW, являются простыми, так
как делятся только на себя, т.е. на M , где M = Zdiag
2 [N ]N(M)
CW (1), а также на
1, где 1 = Zdiag
2 [N ]N(M)
CW (0).
Следовательно, получаем, что для любого простого числа p существует
такое натуральное N , что
H0(S1, (Zdiag
2 [N ])NCW) = H0(S1, Zp(N)),
43
Д.Л. Абраров
где Zp(N) – группа из простого числа p(N) элементов.
Теперь осталось заметить, что поскольку симметрия H0(S1, Zp(N)) явля-
ется канонической координатой на правильном p-угольнике, то
H0(S1, Zp(N)) = p.
2. Доказательство данного пункта проводится по схеме доказательства
п. 1, но имеет свою специфику в финальной части. В отличие от утверждения
п. 1, ответ оказывается не зависящим от N .
а). Преобразуем исходную скалярную симметрию к максимально просто-
му виду, тензорно умножая ее на симметрию ZN
2 [t → −t]) над R:
H0(−∂K, ZN
2 [t → −t]) =
= H0(−∂K ⊗R ZN
2 [t → −t], ZN
2 [t → −t]⊗R ZN
2 [t → −t]) =
= H0(K,ZN
2 [t → −t]) =
= H0(C,S1 ⊗R Det(D2(R) ◦D2(Q)/Ddiag
2 )N ) = H0(C, S1
diag,×(modN)) =
= H0(C,S1
diag(modN)\C) = H0(C, (Zdiag
2 [C])N
CW )),
где
Zdiag
2 [C] = Det(Diag(Gener(D2(R)) ◦Gener(D2(Q)))) ∼= Det(Ddiag
2 ).
Также имеет место эквивалентное представление:
Zdiag
2 [C] = Det(ZE3/Z3
O [D2(R) ◦ (D2(Q)]/Ddiag
2 ).
б ). Поскольку архимедова фактор-спираль, на отрезках которой нату-
ральным параметром является симметрия-комплекс (Zdiag
2 [C])N
CW , парамет-
ризует классы параллельных прямых с рациональными коэффициентами на
плоскости E2, то
lim
N→∞
H0(C[s], S1
diag,×(modN)) = H0(C[s] ∪∞, S1
diag,×)) = H0(Λ[s], A[Q]),
где Λ[s], A[Q] – плоскость Лобачевского и ее рациональный абсолют в модели
Клейна в круге с каноническими координатами s ∈ C и t ∈ R соответственно.
в). Теперь утверждение п. 2 следует из того, что H0(Λ[s], A[Q]) = s. ¤
Лемма 5. Нейтральные (бидвусторонние) локальные автоморфизмы коль-
ца K координатизируются следующим образом:
p−s = H0(+∂K/− ∂K,Z
p(N)
2 [t → −t]).
44
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Из леммы 4 следует, что симметризация
типов локальных биавтоморфизмов динамики в кольце K имеет вид
H0(+∂K/− ∂K,Z
p(N)
2 [t → −t]) =
= H0(S1
diag(mod p(N))\C, S1
diag(mod p(N))/C) = Ad(p)
C0S
1
diag.
2. Соответствующее объединение схем вычислений п. 1 и п. 2 выглядит
так
Adp
C0S
1
diag = H0(S1
diag, S
1
diag(modN(p))) =
= H0(S1
diag, Discr((D2(Q) ◦ (D2(R))/Ddiag
2 )N )⊗ C)))) =
= H0(S1
diag, [(S
1
diag,×)(modN(p)) ◦ [(S1
diag,+)(modN(p))).
3. Сделаем тождественное преобразование: умножим слева обе симмет-
рии, относительные когомологии которых мы сейчас вычисляем, на симмет-
рию (S1
diag,×(modN(p)))−1, которая корректно определена, как и указанное
умножение. Тогда получим
Adp
C0S
1
diag = H0((S1
diag,×(modN(p)))−1 ◦ S1
diag, S
1
diag,+(modN(p))).
4. Из леммы 4 следует, что
H0(((S1
diag,×(modN(p))−1◦S1), S1
diag,+(modN(p)) = H0((S1⊗C[−s], S1[Zp(N)]).
5. Cимметрия H0(S1 ⊗ C[−s], S1[Zp(N)]) является непрерывным (класса
C0) автоморфизмом окружности S1
diag, и поэтому представляется ее соответ-
ствующим экспоненциальным отображением – экспоненциальным отображе-
нием окружности S1 ⊗ C[−s] c основанием (экспонентой) p(N):
Adp
C0S
1
diag = H0(S1 ⊗ C[−s], S1[Zp(N)]) = expC0
p(N)(S
1 ⊗ C[−s]) = p−s. ¤
Замечание. Данная лемма показывает,что выражение p−s является соб-
ственным значением оператора зеркальной симметрии “уровня p” кольца K.
Теперь установим связь модели локальной динамики волчка Эйлера в
кольце K и соответствующей ей локализацией специальной эллиптической
кривой E/Q в поле Fpn .
Лемма 6. Пусть кривая EC над C, соответствующая классической квад-
ратуре (3), задается аффинным уравнением в нормальной форме y2 = x3+
+ax+b, где a, b ∈ R. Тогда ее эквивариантное уточнение посредством отоб-
ражения Z2[t → −t] является эллиптической кривой E/Q над Q:
EC ⊗ Z2[t → −t] ∼= (E/Q)[{y2 = x3 + px + q}],
где p, q – некоторые простые числа и кривая E/Q является полустабильной.
45
Д.Л. Абраров
Числа p, q имеют смысл следующих нульмерных инвариантов инволюции
Z2[t 7→ −t]:
p = Trace(Z2[t 7→ −t]|t=t0), q = Det(Z2[t 7→ −t]t=t0)
и являются эквивариантными начальными данными, полностью определя-
ющими последующую динамику волчка Эйлера:
q = γ(t0/Z2[t 7→ −t]), p = ω(t0/Z2[t 7→ −t]).
Замечание. Всюду далее под кривой E/Q понимается именно эллиптиче-
ская кривая над Q из данной леммы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Классический абелев дифференциал соот-
ветствует эллиптической кривой над R с уравнением в форме Вейерштрасса,
имеющим вид y2 = x3 +ax+b, где a, b ∈ R. Как топологическое пространство
кривая EC представляется фактором
EC
∼= C[z]/(Z + Z).
Образ Eeq
C кривой EC как топологического пространства при ее эквивари-
антном уточнении посредством отображения Z2[t → −t] имеет вид Eeq
C
∼=∼= EC ⊗ Z2[t → −t] и представляется эквивариантным фактором
Eeq
C
∼= (C[z]/(Z + Z))⊗ (Z2[t → −t])CW
∼=
∼= (C[z]/sp(Q)/D2(R) ◦D2(Q).
Так как объект sp(Q)/D2(R)◦D2(Q) представляет двумерную решетку, опре-
деленную над полем рациональных чисел Q, и s ∼= z/sp(Q)/D2(R)◦D2(Q), то
пространство Eeq представляется одномерным абелевым многообразием над
полем Q
C[z]/sp(Q)/D2(R) ◦D2(Q) ∼= C[s]/(Q + Q),
т.е. является по определению эллиптической кривой над Q: Eeq
C
∼= E/Q. Ко-
ордината s = z/Z2[t → −t] имеет канонический смысл: она является канони-
ческой координатой в критической полосе дзета-функции Римана с дополни-
тельным действием на ней зеркальной симметрии относительно критической
прямой (см. также п. 1 доказательства леммы 3), снабженной канонической
координатой t = t/Z2[t → −t]. В нашем случае критическая прямая снабжена
дополнительно целочисленной решеткой.
Используя лемму 4, представим Eeq
C через образующие и соотношения:
Eeq
C
∼= H1(c1(EC)× c2(EC), Z2[t → −t]) ∼= H1(Gener((Ddiag
2 )CW ), C[s]) ∼=
∼= H1((cdiag)CW , C) ∼= H1({(x, y)|(y2 = x3)}, C)/H1({x}, C)/H1({y}, C[s]),
46
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
где циклы ci(EC), ci(E/Q), i = 1, 2, рассматриваются как циклы топологиче-
ских многообразий, указанных выше; x, y – образующие группы Ddiag
2 (см. ее
определение в контексте определения объекта S1
diag), а y2 = x3 – соотношение
в Ddiag
2 .
Рассматривая аддитивную запись фактор-симметрии H1((cdiag)CW , C), по-
лучаем ее представление в аффинных координатах x, y ∈ C[s], совпадающих
с указанными выше образующими группы D2(R):
H1(cdiag)CW , C) = {y2 = x3 + px + q},
где с учетом леммы 3 имеют место соотношения
b⊗ Z2[t → −t]|t=t0 = S1
diag,+(modN) = Trace(Z2[t 7→ −t]|t=t0) = q;
a⊗ Z2[t → −t]|t=t0 = S1
diag,×(modN) = Det(Z2[t 7→ −t]t=t0) = p.
Теперь первое утверждение леммы следует из эквивалентности следующих
выражений, записанных в соответствующих канонических координатах:
{y2 = x3 + px + q, (x, y) ∈ C[s]} ↔ {y2 = x3 + px + q, (x, y) ∈ C[z]},
поскольку
Gener(Ker(C[s] → C[z = x + iy])) ∼= D2(R) ◦D2(Q)
и D2(R) ◦D2(Q) ∼= Aut({x, y}).
2. Полустабильность кривой E/Q следует из того, что особые точки об-
раза отображения проекции C[s] → C[z = x + iy] имеют в качестве автомор-
физмов группу, изоморфную группе D2, изоморфную по определению группе
поворотов ромба. Поэтому особые точки аффинного уравнения кривой E/Q
в аффинной карте C2[x, y] имеют не совпадающие касательные, что по опре-
делению соответствует особым точкам именно полустабильной кривой. ¤
Замечание. Таким образом, кривая E/Q имеет смысл спектральной кри-
вой фазовой динамики именно волчка Эйлера и тем самым полностью коди-
рует его фазовую динамику.
Кривая E/Q в силу лемм 1, 3 может быть реализована в евклидовом про-
странстве E3 как орбита специальной непрерывной бимонодромии правиль-
ного тетраэдра с генератором D×
2 ◦D+
2 и поэтому имеет смысл спектральной
кривой фазовой динамики именно волчка Эйлера.
Лемма 7. Локальные эквивариантные автоморфизмы границы ∂K кольца
K по модулю их центра – множества эквивариантных автоморфизмов се-
паратрисной структуры в кольце K – представляются локализацией неко-
торой эллиптической кривой E/Q в поле Fpn :
H1(∂K, S1
diag(modN(p)) ∼= H1(EC , Zp
2 [t → −t]) ∼=
47
Д.Л. Абраров
∼= H1(c
(p)
1 (E/Q)CW [n] × c
(p)
2 (E/Q)CW [n], C) ∼= (E/Q)(Fpn),
где вид кривой E/Q конкретизирован в лемме 6.
Замечание. При этом натуральное число n имеет смысл числа биоборотов
границы +∂K кольца K.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу лемм 3 и 4 имеют место следующие изомор-
физмы:
H1(c
(p)
1 (E/Q)CW [n], C) ∼= H1(c1(EC), Trace([D2(R)◦D2(Q)]N(p))) ∼= S1
+(mod pn),
H1(c
(p)
2 (E/Q)CW [n], C) ∼= H1(c2(EC), Det([D2(R) ◦D2(Q)]N(p))) ∼= S1
×(mod pn),
где S1
+, S1× – окружность S1 с аддитивной и мультипликативной структурой
соответственно. ¤
Лемма 8. Локальные эквивариантные автоморфизмы сепаратрисной струк-
туры в кольце K имеют вид
H1(c
p
diag(E/Q)CW [n], C) ∼= S1
diag(modN(p)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Это следует из следующих изоморфизмов:
c
(p)
diag(E/Q)CW [n]
∼= cdiag(EC)⊗Discr([D2(R) ◦D2(Q)]N(p))) ∼= S1(mod pn). ¤
Лемма 9. Локальные эквивариантные автоморфизмы сепаратрисной струк-
туры в кольце K допускают каноническую координатизацию
H0(c(p)
diag(E/Q)CW [n], C) =
un
n
,
где u = p−s.
Док а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из того, что S1
diag[p
−s] обла-
дает структурой ациклического бикомплекса
c
(p)
diag(E/Q)CW
∼= (S1
diag[p
−s])CW [n].
Функция
un
n
является собственной функцией отображения бидифференциала
в этом бикомплексе. ¤
Лемма 10. Для эквивариантных автоморфизмов кольца K относитель-
но эквивариантных автоморфизмов его сепаратрисной структуры имеет
место разложение
H1(c
(p)
1 (E/Q)CW [n] × c
(p)
2 (E/Q)CW [n], c
(p)
diag(E/Q)CW ) ∼=
48
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
∼= H1(c
(p)
1 (E/Q)CW [n] × c
(p)
2 (E/Q)CW [n], C)×H1(c
(p)
diag(E/Q)CW , C).
Док а з а т е л ь с т в о. Поскольку c
(p)
diag(E/Q)CW имеет структуру комплек-
са
c
(p)
1 (E/Q)CW [n]
f1→ c
(p)
2 (E/Q)CW [n]
f2→ c
(p)
diag(E/Q)CW ,
где f1
∼= D2(R) ◦D2(Q+), f1
∼= D2(R) ◦D2(Q×), то имеется разложение
H1(c
(p)
1 (E/Q)CW [n] × c
(p)
2 (E/Q)CW [n], c
(p)
diag(E/Q)CW ) ∼=
∼= H1(c
(p)
1 (E/Q)CW [n]×c
(p)
2 (E/Q)CW [n], c
(p)
diag(E/Q)CW )×H1(c
(p)
diag(E/Q)CW , C).
Тогда доказательство следует из приведенных ниже следующих изоморфиз-
мов
H1(c
(p)
i (E/Q)CW [n], c
(p)
diag(E/Q)CW ) ∼= H1(c
(p)
i (E/Q)CW [n], C),
где i = 1, 2. ¤
Теперь соберем вместе результаты лемм 4 – 10.
Лемма 11. Подынтегральное выражение в исходной квадратуре (3) явля-
ется полным дифференциалом следующего вида:
d(S1
diag[teq]) = ζ(s, E/Q),
где бидифференциал d(S1
diag[teq]) = H0(cp
diag(E/Q)CW [n], C) – бикомплекс, двой-
ственный по Пуанкаре к бикомплексу S1
diag[teq] ∼= H1(c
p
diag(E/Q)CW [n], C),
teq = t/Z2[t → −t].
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Из лемм 6 – 8 следует, что
d(S1
diag[teq](mod p)) =
= H0(c(p)
1 (E/Q)CW × c
(p)
2 (E/Q)CW , (cdiag)CW (mod p)[t/Z2[t → −t]]) =
= lim
n→∞H0(S1
+(mod pn)× S1
×(mod pn), (cdiag)CW [n](mod p)[t/Z2[t → −t]]).
Так как из лемм 7 – 10 следует, что для нульмерных гомологий кривой
(E/Q)CW (кривой E/Q с учетом ее эквивариантной (cdiag)CW [n]-перенормировки),
представляющих (E/Q)CW как множество точек, имеется соотношение
H0(S1
+(mod pn)× S1
×(mod pn), (cdiag)CW [n]) =
∞∑
n=1
|(E/Q)(Fpn)|un
n
,
где Fpn – поле из pn элементов, u = p−s, (E/Q)(Fpn) – специализация кривой
E/Q в поле Fpn .
49
Д.Л. Абраров
Теперь заметим, что нульмерные когомологии кривой (E/Q)CW представ-
ляют каноническую параметризацию на (E/Q)CW , так как группа ее нуль-
мерных гомологий является S1-пространством (топологическим простран-
ством с транзитивным действием группы S1). Отсюда следует, что
H0(S1
+(mod pn)× S1
×(mod pn), (cdiag)CW [n]) = exp
( ∞∑
n=1
|(E/Q)(Fpn)|un
n
)
.
2. Имеется естественный изоморфизм S1-пространств:
H0(S1
+(mod pn)× S1
×(mod pn), (cdiag)CW [n]) ∼=
∼= H1(S1
+(mod pn)× S1
×(mod pn), (cdiag)CW [n]).
3. В соответствии с леммой 8, п. 2 доказательства данной леммы и опре-
делением d(S1
diag[teq](mod p)), получаем, что
H0(S1
+(mod pn)× S1
×(mod pn), (cdiag)CW [n]) = d(S1
diag[teq](mod p)).
4. Из определения локальной дзета-функции кривой E/Q (см. [4]) следует
d(S1
diag[teq](mod p)) = ζp(s, E/Q).
5. Эквивариантное объединение выражений п. 1 данного доказательства
соответствует естественной склейке локальных дзета-функций ζ(s,E/Q)(Fpn))
посредством их произведения по всем простым числам p:
d(S1
diag[teq]) =
∏
p
ζp(s,E/Q) = ζ(s,E/Q). ¤
6. Обращение эквивариантной квадратуры для волчка Эйлера.
Данное обращение является результатом нахождения обратной зависимости к
функциональной зависимости, описываемой леммой 11, и представляет экви-
вариантную теорему о неявной функции. Теорема 1, описывающая результат
обращения, следует из нижеследующих лемм 12 – 14.
Следующее утверждение описывает искомое обращение без фиксации на-
чальных условий.
Пусть I−1
C0 (k, n), I−1
C1 (k, n) – непрерывное и C1-гладкое обращения функ-
циональной зависимости (3) соответственно, где указанная здесь векторно-
значная структура обращений будет обоснована в лемме 13.
Лемма 12. Непрерывное и гладкое обращения функциональной зависимо-
сти (3), представленной в дифференциальной форме в лемме 11, соответ-
ственно имеют вид
I−1
C0 (k, n) = ζ(s,EQ)(ζ(s,EQ) = 0),
50
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
I−1
C1 (k, n) = exp(ζ(s,EQ)(ζ(s,EQ) = 0)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с леммой 11 подынтеграль-
ное выражение в правой части исходной квадратуры (3) имеет следующую
структуру полного дифференциала:
d(S1
diag[teq]) = ζ(s,EQ);
d(S1
diag[teq]) = dC1(iddC1)(S1
diag[teq]) = dC1(dC0)(S1
diag[teq]),
где оператор iddC1 = dC0(S1
diag[teq]) – оператор (отображение) оснащения
окружности S1
diag канонической непрерывной структурой, индуцированной
с прямой R; соответственно, оператор dC1 оснащает окружность S1
diag уже C1
– гладкой структурой.
Таким образом, последовательно получаем обращения исходной квадра-
туры классов C0 и C1 соответственно:
d−1
C0(S1
diag[teq]) =
∫
S1
diag[teq]
(S1
diag[teq])dC0(S1
diag[teq]) =
= expC0(S1
diag[teq])Ker(expC0(S1
diag[teq]));
d−1
C1(S1
diag[teq]) =
∫
S1
diag[teq]
(S1
diag[teq])dC1(S1
diag[teq]) =
= expC1(S1
diag[teq])Ker(expC1(S1
diag[teq])),
где Ker обозначает ядра соответствующих операторов дифференцирования.
Заметим теперь, что для рассматриваемых операторов дифференцирова-
ния выполняется соотношение
d−1
C0
∼= iddC1 .
Поэтому в соответствии с леммой 11 и тем, что
Ker(expC0(S1
diag[teq])) = {ζ(s,E/Q) = 0},
Ker(expC1(S1
diag[teq])) = exp(Ker(expC0(S1
diag[teq]))) = {ζ(s, E/Q) = 0},
получаем вид для обращения исходной квадратуры класса гладкости C0:
d−1
C0(S1
diag[teq]) = ζ(s,E/Q){ζ(s,E/Q) = 0}.
Соответственно, обращение для класса C1 имеет вид
d−1
C1(S1
diag[teq]) = exp(ζ(s,E/Q)(ζ(s,E/Q) = 0). ¤
51
Д.Л. Абраров
Следующее утверждение устанавливает векторно-значную структуру не-
прерывного и гладкого обращений и вид зависимостей γ(t), ω(t) без фиксации
начальных условий.
Лемма 13. 1. Обращения I−1
C0 (k, n) и I−1
C1 (k, n) являются 3-значными функ-
циями переменной s.
2. Зависимости переменных γ(t) и ω(t) от вещественного времени t име-
ют следующий вид:
γ(t) = Re(ζ(s, E/Q)(ζ(s,E/Q) = 0)), ω(t) = Im(ζ(s, E/Q)(ζ(s,E/Q) = 0)),
где Re, Im – вещественная и мнимая части указанных комплексных чисел.
Док а з а т е л ь с т в о. 1. С помощью конструкции спирального отображе-
ния из доказательства леммы 1, а также интерпретации группы D2 как мно-
жества симметрий ромба на плоскости, показывается, что следующее отоб-
ражение накрытия
C → C/((D2(R) ◦D2(Q)/Ddiag
2 )N→∞
отображает плоскость в критическую полосу (Re s = 0,Re s = 1) дзета-
функции Римана так, что образом множества C/(Ddiag
2 )N→∞ является кри-
тическая прямая Re s =
1
2
.
Действительно, из определения группы D2 следует, что данное отображе-
ние изоморфно отображению (γ−ω)-монодромного непрерывного самосовме-
щения тетраэдра T с центром в его геометрическом центре O, совпадающим
с началом координат в E3, и также с выделенным базисом, совпадающим с
тремя подходящим образом ориентированными реберными медианами:
O → T (γ) → T (ω) → T (γ) → T (ω) → O.
Эквивалентное представление этого отображения бимонодромии реализу-
ется эквивариантным изоморфизмом Пуанкаре
{d∗,C0S1
diag[γ] ∼= T∗,C0S1
diag[γ]} ∼= T ∗C0S
1
diag[ω] ∼= {d∗C0S
1
diag[γ]},
где операторы d∗,C0 , d∗C0 представляют канонический базис в пространствах
T∗,C0S1
diag[γ] и T ∗C0S
1
diag[ω] соответственно.
Теперь утверждение п. 1 данной леммы следует из того, что число нетри-
виальных элементов группы D2 равно трем (это и дает трехзначность исход-
ных обращений) и из леммы 12 (она дает координаты на указанном отобра-
жении накрытия).
2. Аддитивная и мультипликативная части указанного в п. 1 отображе-
ния (γ − ω)-монодромии тетраэдра являются зеркальной симметрией систе-
мы “критической полоса / критическая прямая” относительно вещественной
и мнимой прямой соответственно и поэтому представляются так
C/((D2(R) ◦D2(Q+)/Ddiag
2 )N→∞ = Re (ζ(s,E/Q){ζ(s,E/Q) = 0},
52
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
C/((D2(R) ◦D2(Q×)/Ddiag
2 )N→∞ = Im(ζ(s,E/Q){ζ(s,E/Q) = 0}.
Теперь эти факты надо сопоставить с определением (γ−ω)-монодромии тет-
раэдра в пространстве E3. В результате получаем соответствия
{C/((D2(R) ◦D2(Q+)/Ddiag
2 )N→∞} ∼= S1[D2(ω) ◦D2(γ)]/S1
diag[D
diag
2,∗ ],
C/((D2(R) ◦D2(Q×)/Ddiag
2 )N→∞ ∼= S1[D2(ω) ◦D2(γ)]/S1
diag[D
diag,∗
2 ],
где, в соответствии с замечанием к лемме 3, Ddiag
2,∗ ∼= {[D2(γ), D2(ω)] = 0},
Ddiag,∗
2
∼= {[D2(ω), D2(γ)] = 0}.
Поэтому для приведенного отображения (γ−ω)-монодромного непрерыв-
ного самосовмещения тетраэдра T его γ-часть представляется так
γ(s) = d∗,C0(S1
diag[teq]) = C[z]/((D2(R)◦D2(Q+)/Ddiag
2 )N→∞ = Re (S1
diag[t/Z
×
2 ]),
где t ∈ R; связь переменных s, z объяснена в параграфе 2 и доказательстве
леммы 6, и соответственно – ее ω-часть представляется так
ω(s) = d∗C0(S1
diag[teq]) = C[z]/((D2(R) ◦D2(Q×)/Ddiag
2 )N→∞ = Im(S1
diag[t/Z
+
2 ]),
откуда и следует требуемое. ¤
Теперь, окончательно, теорема 1 следует из следующего утверждения.
Лемма 14. 1. Множество всех начальных условий {γ(t0), ω(t0)} уравнений
волчка Эйлера определяется уравнением ζ(s,E/Q) = 0.
2. Каждый вектор начальных условий, отвечающий общему решению
(уточненному классическому), определяется следующим образом:
γ(t0) = Re {ζ((s1, (E/Q) = 0), ζ((s2, (E/Q) = 0), ζ((s3, (E/Q) = 0)},
ω(t0) = Im{ζ((s1, (E/Q) = 0), ζ((s2, (E/Q) = 0), ζ((s3, (E/Q) = 0)},
где s1, s2, s3 – последовательные по абсолютной величине нетривиальные ну-
ли функции ζ(s,E/Q), т.е нули с ненулевой мнимой частью (эти нули ле-
жат на критической прямой Re s = 1
2 ).
3. Каждый вектор начальных условий, отвечающий классическому ре-
шению, структурно определяется так же, как и выше в п. 2, но при этом
величины s1, s2, s3 являются последовательными уже тривиальными нуля-
ми функции ζ(s,E/Q), т.е нулями с нулевой мнимой частью.
4. Множество начальных условий для классического решения является
подбикомплексом в бикомплексе начальных условий общего решения.
Док а з а т е л ь с т в о. Докажем последовательно каждый пункт.
1. Используя формулу
I−1
C0 (k, n) = d−1
C0(S1
diag[teq]) =
∫
S1
diag
(S1
diag[teq])dC0(S1
diag[teq]) =
53
Д.Л. Абраров
= expC0(S1
diag[teq])Ker(expC0(S1
diag[teq])) = ζ(s,E/Q){ζ(s,E/Q) = 0},
из доказательства леммы 12 получаем, что ядро Ker(expC0(S1
diag[teq])) в точ-
ности описывает множество начальных условий уравнений волчка Эйлера.
2. Конкретный вектор начальных условий общего решения определяется:
– формулами, являющимися эквивариантно двойственными “специализа-
циями в фазовую точку” формулы предыдущего пункта:
{γ(t = t0)} =
∫
S1
diag[D
diag
2,∗ ((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3))]
(S1
diag[teq])dC0(S1
diag[teq]),
{ω(t = t0)} =
∫
S1
diag[D
diag,∗
2 ((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3))]
(S1
diag[teq])dC0(S1
diag[teq]),
где (xi, yi) = (xi(t0), yi(t0)) ∈ C ∼= E2 – точки области определения оператора
Ddiag
2 ; t0 ∈ R; i = 1, 2, 3; при этом, в силу того, что число нетривиальных эле-
ментов группы Ddiag
2 равно трем, и в силу связи объекта S1
diag с критической
прямой Re s =
1
2
(см. доказательство леммы 3 и п. 2 доказательства леммы
13), получаем
lim
N→∞
(Ddiag
2 )N (z0) =
= {трем последовательным нетривиальным нулям функции ζ(s, E/Q)},
где оператор limN→∞(Ddiag
2 )N (z0) представляет образ вектора z0 = (xi(t0), yi(t0))
при итерированном действии на него оператора Ddiag
2 ;
– следующими формулами из доказательства леммы 13:
d∗,C0S1
diag[teq]) = C[z]/((D2(R) ◦D2(Q+)/Ddiag
2 )N→∞ =
= Re (S1
diag[teq/Z
×
2 ]) = γ(t), t ∈ R;
d∗C0S
1
diag[teq]) = C[z]/((D2(R) ◦D2(Q×)/Ddiag
2 )N→∞ =
= Im(S1
diag[teq/Z
+
2 ]) = ω(t), t ∈ R.
3. Используем конструкцию доказательства леммы 6. Пусть F – деком-
пактифицирующее отображение, переводящее кривую E/Q в кривую EC (это
отображение, обратное отображению компактификации из доказательства
леммы 6). Отображение F переводит S1
diag[teq] в R[t], а Ddiag
2 в D2(R). От-
метим, что ядром последнего отображения является группа D2(Q) (группа
расширения комбинаторики знаков при симметризации квадратуры (3) отоб-
ражением Z2[t → −t]).
Теперь заметим, что в соответствии с леммой 12 пространство ImageF
содержится в Ker(expC0(S1
diag[teq])) = {ζ(s,E/Q) = 0} как подпространство.
54
Решение для волчка Эйлера в обратимом времени
Отметим, что ядром отображения F : S1
diag[teq] → R[t] являются нетривиаль-
ные нули функции ζ(s,E/Q).
4. Справедливость п. 4 данной леммы следует из того, что пространство
Ker(expC0(S1
diag[teq])) является бикомплексом с отображением бидифферен-
циала dC0S1
diag[teq], определенным в доказательстве леммы 12. Отметим, что
Z2-градуировка данного дифференциала индуцирована отображением инво-
люции Z2[t 7→ −t].
¤
Автор благодарит В.В. Козлова и С.Я. Степанова за полезные обсуждения
и особо признателен А.М. Ковалеву за поддержку.
Данная работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ
№ 08–01–00600, № 07–01–00295.
1. Абраров Д.Л. Точная разрешимость и каноническая модель уравнений Эйлера–Пуассона//
Механика твердого тела. – 2007.– Вып. 37. – С. 42–68.
2. Маркеев А.П Теоретическая механика. – Ижевск, Изд-во РХД, 1999. – 570 с.
3. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. – М.: Наука, 1977. – 328 с.
4. Кнэпп Э. Эллиптические кривые / Пер. с англ. Ф.Ю. Попеленского. – М.: Факториал
Пресс, 2004. – 488 с.
5. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. – М.:Физматлит, 1994. – 376 с.
6. Мак-Миллан В.Д. Динамика твердого тела. – М.;Л.: Изд-во иностр. лит., 1951. – 468 с.
7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и прило-
жения. – М.: Наука, 1986. – 760 с.
8. Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980. – 144 с.
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва
abrarov@ccas.ru
Получено 10.11.08
55
|