Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата

На основе первого метода Ляпунова [1] получены достаточные условия существования асимптотически-прецессионных движений сферического гиростата в случае, когда предельным движением гиростата является полурегулярная прецессия первого типа [2-4]. К исследованию применена механическая модель, которая опи...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Горр, Г.В., Миронова, Е.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2008
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27984
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата / Г.В. Горр, Е.М. Миронова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 56-62. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-27984
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-279842011-10-26T12:08:03Z Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата Горр, Г.В. Миронова, Е.М. На основе первого метода Ляпунова [1] получены достаточные условия существования асимптотически-прецессионных движений сферического гиростата в случае, когда предельным движением гиростата является полурегулярная прецессия первого типа [2-4]. К исследованию применена механическая модель, которая описывается уравнениями Кирхгофа задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил [5]. 2008 Article Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата / Г.В. Горр, Е.М. Миронова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 56-62. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27984 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе первого метода Ляпунова [1] получены достаточные условия существования асимптотически-прецессионных движений сферического гиростата в случае, когда предельным движением гиростата является полурегулярная прецессия первого типа [2-4]. К исследованию применена механическая модель, которая описывается уравнениями Кирхгофа задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил [5].
format	Article
author	Горр, Г.В. Миронова, Е.М.
spellingShingle	Горр, Г.В. Миронова, Е.М. Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата Механика твердого тела
author_facet	Горр, Г.В. Миронова, Е.М.
author_sort	Горр, Г.В.
title	Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата
title_short	Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата
title_full	Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата
title_fullStr	Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата
title_full_unstemmed	Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата
title_sort	об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27984
citation_txt	Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата / Г.В. Горр, Е.М. Миронова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 56-62. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT gorrgv obasimptotičeskiprecessionnyhdviženiâhsferičeskogogirostata AT mironovaem obasimptotičeskiprecessionnyhdviženiâhsferičeskogogirostata
first_indexed	2025-07-03T07:57:21Z
last_indexed	2025-07-03T07:57:21Z
_version_	1836611736827854848
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38 УДК 531.38 c©2008. Г.В. Горр, Е.М. Миронова ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ-ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЯХ СФЕРИЧЕСКОГО ГИРОСТАТА На основе первого метода Ляпунова [1] получены достаточные условия существования асимптотически-прецессионных движений сферического гиростата в случае, когда предель- ным движением гиростата является полурегулярная прецессия первого типа [2–4]. К ис- следованию применена механическая модель, которая описывается уравнениями Кирхгофа задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил [5]. Введение. Прецессионные движения гиростата с неподвижной точкой характеризуются постоянством угла между двумя осями, проходящими че- рез неподвижную точку. Одна из указанных осей фиксирована в гиростате, а вторая неподвижна в пространстве. Обзор результатов, полученных при изучении прецессионных движений, изложен в работе [2]. Когда решение уравнений динамики твердого тела построено, представ- ляет большой интерес исследование поведения интегральных траекторий в окрестности построенных решений [6], в частности, в случае асимптотически- прецессионных движений [7, 8]. В данной статье продолжено изучение асимптотически-прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Рассмотрен вариант, когда предельным движением гиростата является полу- регулярная прецессия первого типа [3, 4]. Первым методом Ляпунова полу- чены достаточные условия существования рассматриваемых движений. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата под дей- ствием потенциальных и гироскопических сил, которое описывается уравне- ниями Кирхгофа [5] Aω̇ = (Aω + λ)× ω + ω ×Bν + s× ν + ν × Cν, ν̇ = ν × ω, (1) где ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор оси симметрии силовых полей; λ = (λ1, λ2, λ3) – гироста- тический момент, характеризующий движение носимых тел; s = (s1, s2, s3) – вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата; A = (Aij) – тензор инерции, вычисленный в неподвижной точке; B = (Bij), C = (Cij) – постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными обозначает относительную производную по времени. Уравнения (1) имеют первые интегралы (Aω ·ω)−2(s ·ν)+(Cν ·ν) = 2E, ν ·ν = 1, (Aω+λ) ·ν− 1 2 (Bν ·ν) = k, (2) где E и k – произвольные постоянные. 56 Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата Пусть a – единичный вектор оси, проходящей через неподвижную точку и неизменно связанной с гиростатом. Движение тела называется прецессией относительно вертикали, если постоянен угол между векторами a и ν, то есть a · ν = a0, a0 = cos θ0, θ0 = ∠(a, ν). (3) В работе [2] для прецессий относительно вертикали в случае, когда a = (0, 0, 1), получены соотношения ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0, (4) ω1 = a′0ψ̇ sinϕ, ω2 = a′0ψ̇ cosϕ, ω3 = ϕ̇ + a0ψ̇; здесь ϕ – угол собственного вращения, ψ – угол прецессии. Будем рассматривать случай ψ̇ = m, где m – постоянная, то есть полу- регулярную прецессию первого типа. Кроме этого будем предполагать, что A = diag(µ0, µ0, µ0). Это означает, что эллипсоид инерции является сферой. Полурегулярные прецессии первого типа рассмотрены в работах [3, 4]. В этих работах условия существования прецессий записаны в виде системы алгебра- ических уравнений на параметры дифференциальных уравнений (1), посто- янные интегралов (2) и параметры прецессии (3), (4) (при ψ̇ = m). Однако случай сферического гиростата в указанных работах не анализировался. По- этому рассмотрим его детально. Следуя методу [2], условия существования полурегулярных прецессий пер- вого типа сведем к исследованию решений системы дифференциальных урав- нений a0µ0ϕ̇ = k − (λ · ν) + 1 2 (Bν · ν)− µ0m, (5) ϕ̇2 = 1 a′20µ2 0 { µ0[2E + 2(s · ν)− (Cν · ν)]− [ k − (λ · ν) + 1 2 (Bν · ν) ]2 } , (6) ϕ̇ [ 3a′20µ0m+a0(λ·a)−a0(Ba·ν)+(λ·ν)−2k ] +m [ (λ·a)+a0(λ·ν)−(Ba·ν)−2a0k ] + +3a0(s · ν) + (a · s)− (Ca · ν)− a0(Cν · ν) + 4a0E = 0. (7) Пусть a0 6= 0. Выразив из равенства (5) ϕ̇ и подставив это значение в урав- нения (6), (7), потребуем, чтобы полученные уравнения были тождествами по ϕ в силу соотношений (4). Получим следующие условия на параметры задачи λ2 = a0B23, s2 = a0C23, C12 = 0, B12 = 0, B22 = B11, (8) (a0B13−λ1)2 = a2 0µ0(C22−C11), C13 = 1 a0µ0 [a0B11B13−λ1(B11 +µ0m)], (9) 2a0(s1 − a0C13)(mµ0 + a′20B11)+ +(a0B13 − λ1) · [ a0m(a′20B11 + a2 0B13) + 2a′20 ( s3 + a0(C22 − C33) )] , (10) 57 Г.В. Горр, Е.М. Миронова 2E = µ0a ′2 0m 2 − 2a0s3 + a′20C22 + a2 0C33 + µ0a 2 0(s1 − a0C13)2 (a0B13 − λ1)2 , (11) k = a0λ3 + a′20mµ0 − 1 2 (a′20B11 + a2 0B33) + µ0a 2 0(s1 − a0C13) (a0B13 − λ1) . (12) При выполнении условий (8)–(12) скорость собственного вращения определя- ется из соотношения (5) по формуле dϕ dt = p0 + q0 sinϕ, (13) где p0 = a0(s1 − a0C13 −m(a0B13 − λ1)) (a0B13 − λ1) , q0 = a′0(a0B13 − λ1) a0µ0 . (14) Будем предполагать, что p0 > 0, p0 > q0. Тогда из (13) вытекает, что dϕ dt > 0, т. е. ϕ(t) – монотонная функция времени ϕ = 2arctg [ p0tgτ√ p2 0 − q2 0 − q0tgτ ] . (15) Здесь τ = √ p2 0 − q2 0t. При этом из (15) следует, что ϕ = 0 при τ = 0. Введем параметр α0 : sin α0 = q0 p0 , cosα0 = √ p2 0 − q2 0 p0 . Тогда из формулы (15) найдем sinϕ = p0 sin(τ + α0)− q0 p0 − q0 sin(τ + α0) , cosϕ = √ p2 0 − q2 0 cos(τ + α0) p0 − q0 sin(τ + α0) . (16) Из (14) вытекает, что изучаемая прецессия выражается по формулам ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0, (17) ω1 = a′0m sinϕ, ω2 = a′0m cosϕ, ω3 = (a0m + p0) + q0 sinϕ, где sinϕ и cosϕ определены функциями (16). Следовательно, решение (17) является периодическим с периодом 2π√ p2 0 − q2 0 . Поставим теперь задачу об исследовании условий существования асимп- тотических движений, т. е. движений, стремящихся при t →∞ к движению, которое описывается решением (17). Поскольку решение (17) периодическое, то для решения этой задачи применим первый метод Ляпунова (система пер- вого приближения является правильной системой дифференциальных урав- нений). 58 Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата Редукция системы уравнений в вариациях к уравнению Хилла. Следуя работе [7], обозначим через ν∗(t), ω∗(t) периодическое решение, ко- торое описывает прецессию (17). Для анализа асимптотических движений в уравнениях (1) положим ω = ω∗+Ω, ν = ν∗+ γ. Тогда получим следующие уравнения для возмущений Ω̇ = 1 µ0 [ λ×Ω−Bν∗×Ω+ω∗×Bγ+s×γ+ν∗×Cγ−Cν∗×γ+Ω×Bγ+γ×Cγ ] , (18) γ̇ = ν∗ ×Ω− ω∗ × γ + γ ×Ω. Известно, что первый метод Ляпунова [1] основан на анализе линейной системы, которая следует из системы (18) при отбрасывании в первом урав- нении выражений Ω×Bγ, γ×Cγ, а во втором уравнении – выражения γ×Ω. Линейная система допускает интегралы µ0(ω∗ ·Ω)+(Cν∗−s)·γ = c1, ν∗ ·γ = c2, µ0(ν∗ ·Ω)+(µ0ω ∗−Bν∗+λ)·γ = c3. (19) В силу существования интегралов (19) система первого приближения, выте- кающая из (18), в случае периодических ν∗(t) и ω∗(t) имеет четыре нулевых характеристичных числа. Для существования асимптотически-прецессионных движений, представимых рядами Ляпунова, необходимо, чтобы линейная си- стема имела хотя бы одно положительное характеристичное число. Следуя работе [7], изучение характеристичных чисел линейной системы сведем к ис- следованию характеристичных чисел уравнения Хилла. Пусть τ1 = a−a0ν ∗(t), τ2 = ν∗(t)−a0a, τ3 = a×ν∗(t), τ4 = s−Cν∗, τ5 = λ−Bν∗. (20) Введем переменные [7] u1 = µ0(Ω · a), u2 = µ0(Ω · ν∗), u3 = µ0(Ω · τ3), (21) u4 = γ · a, u5 = γ · ν∗, u6 = γ · τ3. На основании обозначений (20) и соотношений (21) первые интегралы (19) преобразуются к виду ϕ̇u1 + mu2 − a′−2 0 [(τ4 · τ1)u4 + (τ4 · τ2)u5 + (τ4 · τ3)u6] = c1, (22) u5 = c2, u2 + (b · τ1)u4 + (b · τ2)u5 + (b · τ3)u6 = c3, где b = a′−2 0 [ µ0(ϕ̇a + mν∗) + τ5 ] . В силу интегралов (22) можно вести новые переменные: x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6) [7], где x = q(t)u. (23) Здесь 59 Г.В. Горр, Е.М. Миронова q(t) =   0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ϕ̇ m 0 −a′−2 0 (τ4 · τ1) −a′−2 0 (τ4 · τ2) −a′−2 0 (τ4 · τ3) 0 0 0 0 1 0 0 1 0 b · τ1 b · τ2 b · τ3   . (24) В результате применения преобразований (21), (23) к линейной системе, вы- текающей из (18), получим: x4 = c1, x5 = c2, x6 = c3 и неоднородную линей- ную систему с периодическими коэффициентами для переменных x1, x2, x3. Ненулевые характеристичные числа может иметь только однородная систе- ма. Используя соотношения (21), (23), (24), запишем ее так: ẋ1 = h12(t)x2 + µ0mϕ̈ ϕ̇ x3, ẋ2 = 1 µ0 x1 −mx3, ẋ3 = h32(t)x2 + ϕ̈ ϕ̇ x3. (25) Здесь h12(t) = 1 a′20µ0ϕ̇ {µ0ϕ̇ 2(τ2 ·Bτ1)− µ0mϕ̇(τ1 ·Bτ1)− −µ0ϕ̇(τ1 · Cτ1)− µ0a ′2 0ϕ̇(ν∗ · s− ν∗ · Cν∗)− −[µ0a0ϕ̇ + (λ · ν∗)− (Bν∗ · ν∗)][µ0a ′2 0mϕ̇ + mτ1 · (λ−Bν∗)+ (26) +τ1 · (s− Cν∗)]− [µ0ϕ̇ + a · (λ−Bν∗)][a′20µ0ϕ̇ 2 + ϕ̇τ1 · (λ−Bν∗)]}, h32(t) = − 1 a′20µ0ϕ̇ [a0a ′2 0µ0ϕ̇ 2+a0ϕ̇τ1 ·(λ−Bν∗)+mτ1 ·(λ−Bν∗)+τ1 ·(s−Cν∗)]. Вид системы (25) позволяет получить уравнение Хилла для x2, не приме- няя свойства сопряженной системы, как это предложено в работе [7]. Выра- зим x1 из второго уравнения системы (25) и подставим в первое уравнение этой системы µ0ẍ2 + (µ0mh32(t)− h12(t))x2 = 0. (27) Уравнение (27) в общем случае, т. е. в случае, когда выполняются усло- вия (8)–(12), имеет достаточно сложный вид. Поэтому рассмотрим частный вариант. Пусть параметры задачи удовлетворяют условиям: B12 = B13 = B23 = 0, B22 = B11, λ2 = 0, s1 = s2 = 0, C12 = C13 = C23 = 0, m = −B11 µ0 , λ3+a0(B11−B33) = 0, s3 = a0(C33−C22)+ B11a0 2a′20 (a′20B11+a2 0B33), (28) 60 Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата λ2 1 = a2 0µ0(C22 − C11). Используя соотношения (4), (26), (28), уравнение (27) представим в виде ẍ2 + 1 a′20µ2 0(a′0λ1 sinϕ− a2 0B11) {4a′30λ 3 1 sin3 ϕ− a′20(3 + a2 0)λ 2 1B11 sin2 ϕ+ + a′0λ1 2 [B2 11(7a2 0−13a4 0+2)+B11B33(2−4a2 0+a4 0)−2a′40µ0(C22−C33)] sin ϕ+ (29) +a2 0B11[B2 11(2a2 0 − 1) + B11B33(1− 2a2 0 − a4 0) + a′40µ0(C22 − C33)]}x2 = 0. В уравнении (29) зависимость функции sinϕ от времени определяется первой формулой из (16), где, в силу (14), (28), p0 = a0B11 µ0 , q0 = −a′0λ1 a0µ0 , ( a0B11 > 0, a2 0B11 + a′0λ1 a0 > 0 ) . (30) Уравнение (29) в более компактном виде записывается так ẍ2 + p(t)x2 = 0. Воспользуемся достаточным условием существования у уравнения (29) поло- жительного характеристичного числа. Потребуем, чтобы для всех t выпол- нялось условие p(t) ≤ 0 (p(t) 6≡ 0). Этого можно добиться, полагая, что λ1 – малый параметр и имеет место неравенство B11 [ B2 11(2a 2 0 − 1) + B11B33(1− 2a2 0 − a4 0) + a′40µ0(C22 − C33) ] > 0. (31) Тогда уравнение (29) имеет решение x2(t) = C1e βtψ1(t) + C2e −βtψ2(t), (32) где β – положительное характеристичное число; ψ1(t) и ψ2(t) – периодиче- ские функции времени периода 2π√ p2 0 − q2 0 ; C1 и C2 – произвольные постоян- ные. Функции x1, x2 можно определить с помощью решения (32) из уравнений ( x3 ϕ̇ )• = ϕ̇h32(t)x2, x1 = µ0(ẋ2 −mx3), (33) где h32(t) = −a0B11 µ0 [ a0 + (a′20B11 + a2 0B33) ( p0 − q0 sin( √ p2 0 − q2 0t + α0) ) 2a′20µ0(p2 0 − q2 0) ] . Компоненты вектора u из формулы (23) найдем по формулам u1 = 1 ϕ̇ {c1 − c3m + [m(b · τ1) + a′20(τ4 · τ1)]x2+ 61 Г.В. Горр, Е.М. Миронова +[m(b · τ2) + a′20(τ4 · τ2)]c2 + [m(b · τ3) + a′20(τ4 · τ3)]x3}, (34) u2 = c3− (b ·τ1)x2− (b ·τ2)c2− (b ·τ3)x3, u3 = x1, u4 = x2, u5 = c2, u6 = x3. Вычислять значения (34) необходимо с учетом условий (28), решения (32) и решений уравнений (33). Тогда векторы Ω и γ найдем из соотношений Ω = 1 µ0a′20 (u1τ1 + u2τ2 + u3τ3), γ = 1 a′20 (u4τ1 + u5τ2 + u6τ3). (35) Формулы (32), (33) позволяют определить фундаментальную матрицу систе- мы первого приближения, вытекающей из системы (18). Существование поло- жительного характеристичного числа β этой системы позволяет установить [1] существование решения системы (18) в виде рядов Ляпунова ui = ∞∑ n=1 L (n) i (t)cne−βnt (i = 1, 6), (36) где c – произвольная постоянная, характеристичные числа функций Ln i (t) не менее нуля. Ряды Ляпунова (36) сходятся абсолютно и при t →∞, ui → 0. Из формул (35) вытекает, что при t →∞ векторы Ω и γ стремятся к нулю. Это означает, что при выполнении условий (30), (31) существует такое начальное положение и начальная скорость гиростата, что при t → ∞ движение гиро- стата стремится к движению, которое описывается формулами (4) (ψ̇ = m). Таким образом, данное движение является асимптотически-прецессионным, а предельное движение характеризуется полурегулярной прецессией первого типа. Отметим, что в качестве первого приближения рядов (36) принимается решение (34), в котором c1 = c2 = c3 = 0, C1 = 0. 1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч.: В 5 т. – М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1956. – Т.2. – С. 7–263. 2. Горр Г.В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем свя- занных твердых тел // Прикл. математика и механика. – 67, вып. 4. – 2003. – С. 573–587. 3. Курганский Н.В. О полурегулярной прецессии первого типа относительно вертикали в одной задаче динамики твердого тела // Механика твердого тела. – 1988. – Вып. 20. – С. 67–71. 4. Мозалевская Г.В., Орешкина Л.Н. Безнутационные движения твердого тела // Там же. – 1991. – Вып. 23. – С. 1–5. 5. Харламов П.В., Мозалевская Г.В., Лесина М.Е. О различных представлениях уравне- ний Кирхгофа // Там же. – 2001. – Вып. 31. – С. 3–17. 6. Вархалев Ю.П., Горр Г.В. Первый метод Ляпунова в исследовании асимптотических движений в динамике твердого тела // Там же. – 1992. – Вып. 24. – С. 25–41. 7. Горр Г.В., Думбай Д.И. Об асимптотически-прецессионных движениях гиростата в обобщенной задаче динамики // Там же. – 1994. – Вып. 26 (I). – С. 20–28. 8. Молочинская А.И. Об одном классе асимптотически-прецессионных движений сфери- ческого гиростата // Вiсн. Донецьк. ун-ту. Серiя А. – 2005. – № 2. – С. 88–93. Национальный ун-т, Донецк, Украина Получено 29.10.07 62

Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата

Репозитарії

Схожі ресурси