Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик
Рассматривается вращение твердого тела с неподвижной точкой в поле силы тяжести. К телу прикреплен маховик, по оси вращения которого направлен управляющий момент. В работе получено полное описание допустимых равномерных вращений тела-носителя вокруг неподвижной наклонной оси. Отдельно выделены случа...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27987 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 80-86. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27987 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279872011-10-26T12:11:37Z Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик Волкова, О.С. Рассматривается вращение твердого тела с неподвижной точкой в поле силы тяжести. К телу прикреплен маховик, по оси вращения которого направлен управляющий момент. В работе получено полное описание допустимых равномерных вращений тела-носителя вокруг неподвижной наклонной оси. Отдельно выделены случаи, когда система "тело-маховик" представляет собой гиростат, а в случае переменного (периодического) гиростатического момента показано, что оси равномерных вращений принадлежат конусу Штауде. 2008 Article Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 80-86. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27987 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается вращение твердого тела с неподвижной точкой в поле силы тяжести. К телу прикреплен маховик, по оси вращения которого направлен управляющий момент. В работе получено полное описание допустимых равномерных вращений тела-носителя вокруг неподвижной наклонной оси. Отдельно выделены случаи, когда система "тело-маховик" представляет собой гиростат, а в случае переменного (периодического) гиростатического момента показано, что оси равномерных вращений принадлежат конусу Штауде. |
| format |
Article |
| author |
Волкова, О.С. |
| spellingShingle |
Волкова, О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик Механика твердого тела |
| author_facet |
Волкова, О.С. |
| author_sort |
Волкова, О.С. |
| title |
Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик |
| title_short |
Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик |
| title_full |
Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик |
| title_fullStr |
Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик |
| title_full_unstemmed |
Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик |
| title_sort |
равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27987 |
| citation_txt |
Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 80-86. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT volkovaos ravnomernyevraŝeniâvokrugnaklonnojositverdogotelanesuŝegomahovik |
| first_indexed |
2025-07-03T07:57:34Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:57:34Z |
| _version_ |
1836611749339463680 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 531.38
c©2008. О.С. Волкова
РАВНОМЕРНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ НАКЛОННОЙ ОСИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА, НЕСУЩЕГО МАХОВИК
Рассматривается вращение твердого тела с неподвижной точкой в поле силы тяжести. К
телу прикреплен маховик, по оси вращения которого направлен управляющий момент.
В работе получено полное описание допустимых равномерных вращений тела-носителя
вокруг неподвижной наклонной оси. Отдельно выделены случаи, когда система "тело-
маховик" представляет собой гиростат, а в случае переменного (периодического) гироста-
тического момента показано, что оси равномерных вращений принадлежат конусу Штауде.
Введение. Уравнения движения вокруг неподвижной точки твердого тела
с маховиком впервые были получены В. Вольтерра [1]. Детальное их обсуж-
дение можно найти в монографиях А.И. Лурье [2, § 9.7], К. Магнуса, Й.
Виттенбурга и других. В случае, когда тело движется в поле силы тяжести,
уравнения имеют вид
Jω̇ = (Jω + λα)× ω + Γe× ν − uα, ν̇ = ν × ω, λ̇ = u, (1)
где J = diag(J1, J2, J3) – тензор инерции системы в главных осях; ω – угловая
скорость тела-носителя в подвижном базисе; ν – орт вертикали; e – единич-
ный вектор, направленный из неподвижной точки к центру масс системы;
α – орт оси вращения маховика; Γ – произведение веса системы на расстояние
от центра масс до неподвижной точки; λ – модуль кинетического момента
маховика, u – управление. Уравнения (1) допускают первые интегралы
G = (Jω + λα) · ν = const, |ν|2 = 1. (2)
Цель работы – определить все равномерные вращения, удовлетворяющие
системе (1). Для твердого тела с неподвижной точкой условия существо-
вания и устойчивости равномерных вращений изучались О. Штауде [3] и
Б.К. Млодзеевским. В задаче Н.Е. Жуковского [4] о движении гиростата
по инерции анализ равномерных вращений и исследование их устойчи-
вости провел В. Вольтерра [1]. П.В. Харламов [5] указал множество осей
равномерных вращений тяжелого гиростата. Эти исследования были про-
должены А.М. Ковалевым [6, 7], А. Анчевым и другими. Отказавшись от
условия постоянства гиростатического момента, можно получить более об-
щий класс допустимых вращений. В работах [8] и [9] исследовались условия
существования равномерных вращений вокруг наклонной (невертикальной)
оси для твердого тела с маховиками.
В этой работе дано полное описание допустимых равномерных вращений
тела-носителя вокруг наклонной оси, указана явная зависимость от времени
кинетического момента маховика.
80
Равномерные вращения вокруг наклонной оси
1. Равномерные вращения. При заданной постоянной угловой ско-
рости ω = (ω1, ω2, ω3), |ω| = ω 6= 0, функции ν1(t), ν2(t), ν3(t) находятся из
уравнения ν̇ = ν × ω. В случае, когда никакие две компоненты вектора ω
одновременно не равны нулю, νi(t) выражаются следующими формулами:
ν1 = c1 ω1 +
(
c3 ω2 − c2 ω1 ω3
ω
)
cosωt−
(
c2 ω2 +
c3 ω3 ω1
ω
)
sinωt,
ν2 = c1 ω2 −
(
c3 ω1 +
c2 ω2 ω3
ω
)
cosωt +
(
c2ω1 − c3 ω3 ω2
ω
)
sinωt, (3)
ν3 = c1 ω3 +
(
ω1
2 + ω2
2
)
[ c2 cosωt + c3 sinωt ]
ω
,
где постоянные c1, c2, c3 удовлетворяют условию единичности вектора ν
c2
1ω
2 + (c2
2 + c2
3)(ω
2
1 + ω2
2) = 1.
Если, например, ω1=ω2=0, то функции ν1(t), ν2(t), ν3(t) имеют следующий
вид:
ν1 = c2 cosωt + c3 sinωt,
ν2 = (c3 cosωt− c2 sinωt) sign ω3, (4)
ν3 = c1ω3, c2
1ω
2 + c2
2 + c2
3 = 1.
Итак, тело-носитель вращается вокруг неподвижной оси, сонаправленой
вектору ω, а компоненты вектора ν в подвижном базисе выражаются фор-
мулами (3) или (4). Поскольку ω · ν ≡ c1ω
2, угол θ между осью вращения и
вертикалью определяется равенством cos θ = c1ω, где θ ∈ (0, π). Очевидно,
что при c2 = c3 = 0 ось вращения вертикальна, а при c1 = 0 – горизонтальна.
Пример 1. Рассмотрим гиростат, движущийся по инерции (Γ = 0, т.е.
тело закреплено в центре масс). Предполагая, что система (1) допускает
равномерное вращение, получим уравнение
(α× ω)λ + Jω × ω = 0. (5)
Условие α ⊥ (Jω×ω) эквивалентно условию разрешимости векторного урав-
нения (5) относительно λ. Следовательно, геометрическим местом осей рав-
номерных вращений будет конус 2-го порядка (Jω × ω) · α = 0. Очевидно,
что вращения вокруг главных осей допустимы независимо от направления
оси маховика.
Пример 2. Рассмотрим гиростат в поле силы тяжести. Ось вращения в
этом случае может быть только вертикальной (ν ‖ ω). Для модуля гироста-
тического момента получаем векторное уравнение
(α× ω)λ + (Jω +
Γ
ω
e)× ω = 0. (6)
81
О.С. Волкова
В отличие от предыдущего примера, здесь оси равномерных вращений при-
надлежат более сложной поверхности, которая определяется соотношением
[(Jω +
Γ
ω
e)× ω] ·α = 0. (7)
Пример 3. Рассмотрим вырожденный случай |ω| = 0. Предположим,
что система (1) имеет положение равновесия ω = 0, ν = const. Из первого
уравнения этой системы выразим производную гиростатического момента
λ̇α = Γ(e× ν). (8)
Очевидно, она постоянна. Уравнение (8) разрешимо относительно λ̇ только
при условии
(e× ν)×α = 0. (9)
Из (9) следует либо e ‖ ν, либо α ⊥ e, α ⊥ ν. Таким образом, если ось,
содержащая центр масс и неподвижную точку, вертикальна, то λα – произ-
вольный постоянный вектор; если же e ∦ ν, то ось вращения маховика
должна лежать в горизонтальной плоскости и быть направленной ортого-
нально вектору e. В этом случае λ = Γ((e × ν) · α) t + const, т.е. модуль
гиростатического момента – линейная функция времени.
2. Переменный гиростатический момент. Выясним, какие новые
классы равномерных вращений будет допускать система (1), если кинетичес-
кий момент маховика λα зависит от времени. При выполнении соотношений
Γ = 0 либо ν ‖ ω равномерные вращения допустимы только тогда, когда
гиростатический момент системы "тело-маховик" постоянен. Поэтому везде
далее предполагаем, что Γ > 0, e 6= 0 и ν ∦ ω. Исследуем на совместность
систему дифференциальных уравнений переменной λ:
λ̇α = (Jω + λα)× ω + Γe× ν. (10)
Теорема. Заданное равномерное вращение ω = (ω1, ω2, ω3) твердого
тела с маховиком вокруг неподвижной наклонной оси допустимо только
тогда, когда одновременно выполняются условия ω ⊥ e и α ‖ ω. При этом
ν определяется формулами (3) или (4), а оси равномерных вращений при-
надлежат конусу Штауде.
Доказательство. Умножая (10) скалярно на α, находим выражение для λ̇
λ̇ = (Jω × ω) ·α + Γ(e× ν) ·α. (11)
Отсюда с учетом (3), (4) заключаем, что λ(t) есть сумма периодической и
линейной по времени функций. Теперь домножим (10) на вектор e:
(α · e) λ̇ = λ (α× ω) · e + (Jω × ω) · e. (12)
В соответствии с (11), λ(t) не содержит слагаемых вида c0e
γt, где γ 6= 0.
Поэтому (12) является тождеством, т.е. справедливы равенства
α · e = 0, (α× ω) · e = 0, (Jω × ω) · e = 0. (13)
82
Равномерные вращения вокруг наклонной оси
Последнее из них определяет в подвижном базисе поверхность 2-го порядка,
известную как конус Штауде [3].
Компланарность векторов α, e, ω и Jω влечет выполнение по крайней
мере одного из условий (Jω × ω) · α = 0 или ω ‖ e. Предположим, что
ω ‖ e. Тогда из (13) следует α ⊥ ω, т.е. векторы α и α × ω ненулевые.
Домножив (10) на произвольный вектор r, не ортогональный α и α × ω,
получим скалярное уравнение
(α · r) λ̇ = λ (α× ω) · r + (Γe× ν + Jω × ω) · r, (14)
решение которого содержит экспоненту в ненулевой степени. Полученное
противоречие доказывает, что ω ∦ e. Следовательно, выполняются условия
(Jω × ω) ·α = 0, λ̇ = Γ(e× ν) ·α. (15)
Предположим, что α×ω 6= 0. Векторное уравнение (10) домножим на α×ω
и продифференцируем:
|α× ω|2 λ̇ = Γ(ω · e) (α · (ν × ω)). (16)
Из (15) и (16) с учетом равенства (e×ω) · (α×ω) = (e ·ω)(α ·ω) получаем
|α× ω|2(ω × e) · ν + [(ω ×α) · ν] [(e× ω) · (α× ω)] = 0. (17)
Скалярное произведение нулевого вектора (α×ω)× [(α×ω)× (e×ω)] на ν
преобразуем к виду
|α× ω|2(ω × e) · ν − [(ω ×α) · ν] [(e× ω) · (α× ω)] = 0. (18)
Из (17) и (18) следует, что одновременно выполняются равенства
|α× ω| (ω × e) · ν = 0 и (e · ω) (α · ω) [ν · (ω ×α)] = 0.
Как уже было показано, ω ∦ e. Переменный по предположению вектор ν
составляет с ω постоянный угол. Следовательно, условие компланарности
(ω × e) · ν = 0 тождественно выполняться не может. Значит, (α × ω) = 0.
Из первого равенства (13) с учетом ω ‖ α получаем e ⊥ ω. ¤
Замечание 1. В работе [9] приведены необходимые и достаточные условия
существования равномерных вращений вокруг наклонной оси в случаях
a) ω ‖ e ⊥ α и b) ω ‖ α ⊥ e. Для случая c), когда ω, e и α компла-
нарны, но среди них нет коллинеарных, приведены только необходимые
условия. Так как в случаях a) и c) условие доказанной выше теоремы не
выполняется, то вектор λα будет постоянным. Следовательно, равномерные
вращения возможны только вокруг вертикали [5].
Замечание 2. Из (15) и формул (3), (4) следует, что λ̇(t) есть линейная
комбинация cosωt и sinωt. Значит, λ(t) – периодическая функция времени.
Ясно, что если равномерное вращение допустимо для тела с одним махови-
ком, направленным вдоль ω, то оно будет допустимым и для тела с тремя
83
О.С. Волкова
маховиками, направленными по главным осям. Но в этом случае аналогич-
ная (10) система уравнений имеет неограниченные решения, т.е. появляются
нoвые классы “теоретически допустимых” вращений с неограниченным гиро-
статическим моментом [10].
Итак, если система (10) совместна, то λ определяется интегрированием
равенства λ̇ = Γ(e× ν) ·α с точностью до постоянной. Так как α = ±ω
ω
, то
λ̇ = ±Γ
ω
(ν × ω) · e = ±Γ
ω
ν̇ · e,
λ = ±Γ
ω
ν · e + λ0, λ0 = const. (19)
Пусть компоненты вектора ν имеют вид (3). Тогда скалярное произведение
ν · e = [c2ωe3 − c3(ω1e2 − ω2e1)] cos ωt + [c2(ω1e2 − ω2e1) + c3ωe3] sinωt.
Вводим вспомогательный аргумент ϕ, sinϕ =
1
sin θ
[c2ωe3 − c3(ω1e2 − ω2e1)] :
λ(t) = ±Γ sin θ
ω
sin (ωt + ϕ) + λ0. (20)
Пусть теперь ν(t) определяется формулами (4). Аналогично предыдущему,
находим
ν · e = [c2e1 + c3e2 sign ω3] cosωt + [c3e1 − c2e2 sign ω3] sin ωt;
λ(t) снова имеет вид (20), только теперь sinϕ =
1
sin θ
[c2e1 + c3e2 sign ω3].
3. Описание допустимых вращений. С учетом условий α ‖ ω ⊥ e
система (10) сводится к уравнению, не содержащему λ в правой части:
λ̇α = Jω × ω + Γe× ν. (21)
Система скалярных составляющих векторного дифференциального уравне-
ния (21), определяющих одну неизвестную λ, должна быть совместной. Если
среди компонент вектора α есть нули, то соответствующие уравнения долж-
ны обращаться в тождества. Так, система (21) может содержать:
1) уравнение и два тождества (α направлен по i-й главной оси, i = 1, 3);
2) два уравнения и тождество (только одна из компонент α нулевая);
3) три пропорциональных уравнения (все компоненты α не равны нулю).
Для каждого случая выпишем условия, обеспечивающие разрешимость (21).
1) Предположим, что α1 = α2 = 0, α3 = ±1. Поскольку α ‖ ω, допустимы
только вращения вокруг третьей главной оси, т.е. ω = (0, 0, ω3), а компо-
ненты вектора ν определяются соотношениями (4). Тождества e2ν3−e3ν2 = 0
и e3ν1 − e1ν3 = 0 выполняются только при
e3 = 0, c1 = 0 . (22)
84
Равномерные вращения вокруг наклонной оси
Таким образом, в формуле (4) постоянная c1 всегда равна 0, т.е. ось вращения
горизонтальна. Этот класс вращений был получен и частично исследован на
устойчивость В.Е. Пузыревым и А.Е. Поздняковичем.
2) Предположим, что α1α2 6= 0, α3 = 0. Здесь вращения вокруг глав-
ных осей допустимыми не являются, так как ω1ω2 6= 0, ω3 = 0. Компоненты
ν при этом задаются формулами (3). Из пропорциональности первых двух
уравнений (21) и равенства
(J1 − J2)ω1ω2 + Γ(e1ν2 − e2ν1) ≡ 0
получаем, что система разрешима, если параметры удовлетворяют условиям
α ‖ ω ⊥ e, e3 = 0, c1 =
(J2 − J1)ω1ω
2
2
Γe1ω2
. (23)
Отметим, что при c1 = 0, J1 = J2 система (10) разрешима и без дополни-
тельного требования e3 = 0, но в этом случае первая и вторая главные оси не
определены однозначно. Если в качестве одной из них принять направление
вектора ω, то получим решение вида (22).
3) Пусть α1α2α3 6= 0, тогда аналогичное неравенство верно и для ком-
понент ω, а компоненты вектора ν определяются формулами (3). Предпо-
ложим, что (ω × e)1 6= 0. Тогда из J2 = J3 следует J1 = J2 = J3. Выбором
главных осей этот случай cводится к предыдущим, поэтому в дальнейшем
полагаем J2 6= J3. Пропорциональность всех трех уравнений (21) эквива-
лентна следующим условиям на параметры:
α ‖ ω ⊥ e, c1 =
(J2 − J3)ω2ω3
Γ(ω × e)1
;
(J3 − J1)
(J2 − J3)
=
(ω × e)2 ω2
(ω × e)1 ω1
. (24)
Условия разрешимости (23) и (24) содержат моменты инерции J1, J2, J3,
значения которых должны удовлетворять неравенствам треугольника. Пока-
жем, что существуют такие наборы параметров, при которых система (1)
допускает равномерные вращения вокруг наклонной оси.
Условия (23) приводят к следующей системе неравенств:
Γ | cos θ |
| ω1ω2 | sign(e1ω1 cos θ) > J3 − 2J1,
Γ | cos θ |
| ω1ω2 | < J3. (25)
Если J2 > J1, то при условии sign(cos θ) = sign(e1ω1) неравенства (25) разре-
шимы относительно θ, ω1, ω2.
Из условий (24) выразим моменты инерции J2 и J3 :
J2 = J3 +
Γc1(ω2e3 − ω3e2)
ω2ω3
, J3 = J1 +
Γc1(ω3e1 − ω1e3)
ω1ω3
. (26)
Записав неравенства треугольника для (26), получим систему
Γ
cos θ
ω
(
e1
ω1
− 2
e3
ω3
+
e2
ω2
)
< J3, Γ
| cos θ |
ω
∣∣∣∣
e1
ω1
− e2
ω2
∣∣∣∣ < J3. (27)
85
О.С. Волкова
Выполнение первого неравенства можно обеспечить за счет выбора знака
cos θ. Фиксируя ω, ω1, ω2 и устремляя θ → π
2
± 0, второе неравенство в (27)
также можно сделать верным. При этом J1, J2 → J3, т.е. остаются положи-
тельными. Следовательно, и в этом случае допустимые вращения существуют.
Замечание 3. При выполнении условий (23) компоненты вектора вер-
тикали можно записать с помощью корабельных углов [2, с. 51]:
ν1 = − cosχ sinϑ + sin χ cosϑ sin (ωt + ϕ)
ν2 = sin χ sinϑ + cosχ cosϑ sin (ωt + ϕ)
ν3 = cos ϑ cos (ωt + ϕ),
где ϑ – угол между осью равномерного вращения ω и горизонтальной
плоскостью, sinϑ =
(J1 − J2)ω1ω
2
2
Γe1ω
, ϑ ∈ (−π
2
,
π
2
); χ – угол между ω и первой
главной осью, cosχ =
ω1
ω
, sinχ = −ω2
ω
; sin (ωt + ϕ) =
cos (ν̂, e)
cosϑ
– отношение
проекций вектора e на вертикаль и единичного вектора оси вращения на
горизонтальную плоскость. Следовательно, когда тело-носитель равномерно
вращается вокруг наклонной оси, два из трех корабельных углов остаются
постоянными.
1. Volterra V. Sur la théorie des variations des latitudes // Acta math.– 1899. – 22.– Р. 201-358.
2. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
3. Staude O. Über permanente Rotationsaxen bei der Bewegung eines schweren Körpers um
einen festen Punkt // J. reine und angew. Math. – 1894. – 113, H.4. – S. 318-334.
4. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однород-
ной капельной жидкостью // Собр. соч.– М.; Л.: ОГИЗ, 1949. – Т. 2. – С. 152-309.
5. Харламов П.В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку //
Прикл. математика и механика. – 1965. – 29, вып. 2. – С. 373-375.
6. Ковалев А.М. О стационарных решениях дифференциальных уравнений движения
тела, имеющего неподвижную точку // Мат. физика. – 1968. – Вып. 5. – С. 87-102.
7. Ковалев А.М., Киселев А.М. О конусе осей равномерного вращения гиростата //
Механика твердого тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 36-45.
8. Kovaleva L.M. Investigation of permanent rotations of the rigid body with fixed point,
carrying one– and two–degree gyros // XXII Yugoslav congress of theoretical and applied
mechanics. – Vrnjacka Banja, 1997. – P. 61-64.
9. Ковалева Л.М., Позднякович А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твер-
дого тела с одним маховиком // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 100-105.
10. Волкова О.С. О стабилизации равномерных вращений вокруг наклонной оси твердого
тела, несущего маховики // Тр. ИПММ НАНУ. – 2007. – 14. – С. 41-51.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк Получено 04.03.08
86
|