Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления

Исследуется быстрое вращательное движение относительно центра масс динамически несимметричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса, под действием момента сил светового давления. Орбитальные движения вокруг Солнца с произвольным эксцентриситетом предп...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Акуленко, Л.Д., Лещенко, Д.Д., Рачинская, А.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2008
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27989
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 95-110. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-27989
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-279892011-10-26T12:13:10Z Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. Исследуется быстрое вращательное движение относительно центра масс динамически несимметричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса, под действием момента сил светового давления. Орбитальные движения вокруг Солнца с произвольным эксцентриситетом предполагаются заданными. Анализируется система, полученная после усреднения по движению Эйлера-Пуансо. Установлен эффект убывания кинетической энергии вращательных движений спутника. Определена ориентация вектора кинетического момента в орбитальной системе координат. Проведены численный анализ в общем случае и аналитическое исследование в окрестности осевого вращения. Рассмотрено движение в частном случае динамически симметричного спутника. 2008 Article Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 95-110. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27989 531.55 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исследуется быстрое вращательное движение относительно центра масс динамически несимметричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса, под действием момента сил светового давления. Орбитальные движения вокруг Солнца с произвольным эксцентриситетом предполагаются заданными. Анализируется система, полученная после усреднения по движению Эйлера-Пуансо. Установлен эффект убывания кинетической энергии вращательных движений спутника. Определена ориентация вектора кинетического момента в орбитальной системе координат. Проведены численный анализ в общем случае и аналитическое исследование в окрестности осевого вращения. Рассмотрено движение в частном случае динамически симметричного спутника.
format	Article
author	Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л.
spellingShingle	Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления Механика твердого тела
author_facet	Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л.
author_sort	Акуленко, Л.Д.
title	Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления
title_short	Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления
title_full	Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления
title_fullStr	Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления
title_full_unstemmed	Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления
title_sort	вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27989
citation_txt	Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 95-110. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT akulenkold vraŝeniâsputnikaspolostʹûzapolnennojvâzkojžidkostʹûpoddejstviemmomentasilsvetovogodavleniâ AT leŝenkodd vraŝeniâsputnikaspolostʹûzapolnennojvâzkojžidkostʹûpoddejstviemmomentasilsvetovogodavleniâ AT račinskaâal vraŝeniâsputnikaspolostʹûzapolnennojvâzkojžidkostʹûpoddejstviemmomentasilsvetovogodavleniâ
first_indexed	2025-07-03T07:57:42Z
last_indexed	2025-07-03T07:57:42Z
_version_	1836611758199930880
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38 УДК 531.55 c©2008. Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская ВРАЩЕНИЯ СПУТНИКА С ПОЛОСТЬЮ, ЗАПОЛНЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ МОМЕНТА СИЛ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ Исследуется быстрое вращательное движение относительно центра масс динамически несим- метричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью при малых чис- лах Рейнольдса, под действием момента сил светового давления. Орбитальные движения вокруг Солнца с произвольным эксцентриситетом предполагаются заданными. Анализи- руется система, полученная после усреднения по движению Эйлера–Пуансо. Установлен эффект убывания кинетической энергии вращательных движений спутника. Определена ориентация вектора кинетического момента в орбитальной системе координат. Проведе- ны численный анализ в общем случае и аналитическое исследование в окрестности осевого вращения. Рассмотрено движение в частном случае динамически симметричного спутника. 1. Постановка задачи. Рассмотрим движение спутника относительно центра масс под действием момента сил светового давления. Тело содер- жит полость, целиком заполненную сильно вязкой однородной жидкостью. Вращательные движения рассматриваются в рамках модели динамики ква- зитвердого тела, центр масс которого движется по заданной фиксированной эллиптической орбите вокруг Солнца [1]. Задачи динамики, обобщенные и осложненные учетом различных возмущающих факторов, и в настоящее вре- мя остаются достаточно актуальными. Исследованиям вращательных движе- ний тел относительно центра масс под действием возмущающих моментов сил различной природы (гравитационных, светового давления, полости, запол- ненной вязкой жидкостью, и др.), близким к проведенному ниже, посвящены работы [1–12]. Введем три декартовые системы координат, начало которых совместим с центром инерции спутника [2, 3]. Система координат Oxi (i = 1, 2, 3) движет- ся поступательно вместе с центром инерции: ось Ox1 параллельна радиусу– вектору перигелия орбиты, ось Ox2 – вектору скорости центра масс спутни- ка в перигелии, ось Ox3 – нормали к плоскости орбиты. Система координат Oyi (i = 1, 2, 3) связана с вектором кинетического момента G. Ось Oy3 на- правлена по вектору кинетического момента G, ось Oy2 лежит в плоскости орбиты (т.е. в плоскости Ox1x2), ось Oy1 лежит в плоскости Ox3y3 и направ- лена так, что векторы y1, y2, y3 образуют правую тройку [2 – 4]. Оси системы координат Ozi (i = 1, 2, 3) связаны с главными центральными осями инерции твердого тела. Взаимное положение главных центральных осей инерции и осей Oyi определим углами Эйлера. При этом направляющие косинусы αij осей Ozi относительно системы Oyi выражаются через углы Эйлера ϕ,ψ, θ по известным формулам [2]. Положение вектора кинетического момента G в системе координат Oxi определяется углами λ и δ, как показано в [2–4]. 95 Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская Уравнения движения тела относительно центра масс запишем в форме [3]: dG dt = L3, dδ dt = L1 G , dλ dt = L2 G sin δ , dθ dt = G sin θ sinϕ cosϕ ( 1 A1 − 1 A2 ) + L2 cosψ − L1 sinψ G , dϕ dt = G cos θ ( 1 A3 − sin2 ϕ A1 − cos2 ϕ A2 ) + L1 cosψ + L2 sinψ G sin θ , dψ dt = G ( sin2 ϕ A1 + cos2 ϕ A2 ) − L1 cosψ + L2 sinψ G ctgθ − L2 G ctgδ. (1) Здесь Li – моменты приложенных сил относительно осей Oyi, G – величи- на кинетического момента, Ai (i = 1, 2, 3) – главные центральные моменты инерции относительно осей Ozi. В некоторых случаях удобно наряду с переменной θ использовать в ка- честве дополнительной переменной важную характеристику – кинетическую энергию T , производная которой имеет вид dT dt = 2T G L3 + G sin θ [ cos θ ( sin2 ϕ A1 + cos2 ϕ A2 − 1 A3 ) (L2 cosψ − L1 sinψ)+ + sinϕ cosϕ ( 1 A1 − 1 A2 ) (L1 cosψ + L2 sinψ) ] . (2) Центр масс спутника движется по кеплеровскому эллипсу с эксцентри- ситетом e и периодом обращения Q. Зависимость истинной аномалии ν от времени t дается соотношением dν dt = ω0(1 + e cos ν)2 (1− e2)3/2 , ω0 = 2π Q = √ µ(1− e2)3 `3 0 . (3) Здесь `0 – фокальный параметр орбиты, ω0 – угловая скорость орбиталь- ного движения, e – эксцентриситет орбиты, µ – гравитационная постоянная. Проекции Li момента приложенных сил складываются из момента сил светового давления Lc i и момента сил вязкой жидкости в полости Lp i . Допустим, что поверхность космического аппарата представляет собой поверхность вращения, причем единичный орт оси симметрии k направлен вдоль оси Oz3. Как показано в [2, 5], в этом случае для момента сил светового давления, действующего на спутник, имеет место формула Lc = ( ac (εs) R2 0/R2 ) er × k, (4) ac (εs) R2 0 R2 = pcS (εs)Z \| 0 (εs) , pc = E0 c ( R0 R )2 . 96 Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью Здесь er – единичный вектор по направлению радиус-вектора орбиты; εs – угол между направлениями er и k так, что \|er × k\| = sin εs; R – текущее расстояние от центра Солнца до центра масс спутника; R0 – фиксированное значение R, например, в начальный момент времени; ac (εs) – коэффици- ент момента сил светового давления, определяемый свойствами поверхности; S – площадь “тени” на плоскости, нормальной к потоку; Z \| 0 – расстояние от центра масс до центра давления; pc – величина светового давления на рассто- янии R от центра Солнца; c – скорость света; E0 – величина потока энергии светового давления на расстоянии R0 от центра Солнца. Проекции Lp i момента сил вязкой жидкости в полости на оси Oyi (i = 1, 2, 3) имеют вид [1]: Lp i = P A1A2A3 { p [ q2A2(A1− −A2)(A2 −A3 + A1) + r2A3(A1 −A3)(A3 −A2 + A1) ] αi1+ + q [ r2A3(A2 −A3)(A3 −A1 + A2) + p2A1(A1 −A2)(A3 −A1 −A2) ] αi2+ + r [ p2A1(A3 −A1)(A1 −A2 + A3) + q2A2(A3 −A2)(A2 −A1 + A3) ] αi3+ + ac(cos εs)R2 0/R2 { A3 [ A2 1− α2 33 ( (pα31 + qα32)(γ31α33 − α22β1 + α12β2)+ + α32γ33(pα32 − qα31) ) − rγ31(A1 + A3) ] αi1 + A3 [ A1 1− α2 33 ( (pα31 + qα32)× × (α11β2 − γ32α33 − α21β1) + α31γ33(pα32 − qα31) ) + rγ32(A2 + A3) ] αi2+ + [qγ32A2(A1 −A2 −A3) + pγ31A1(A1 −A2 + A3)]αi3 }} , (5) γ3i = β1α1i + β2α2i + β3α3i (i = 1, 2, 3), β1 = cos (ν − λ) cos δ, β2 = sin (ν − λ) , β3 = cos (ν − λ) sin δ. Здесь αij – направляющие косинусы между системами координат Oyi и Ozi (i = 1, 2, 3); p, q, r – проекции на оси Ozi вектора абсолютной угловой ско- рости ω спутника относительно системы координат Ox1x2x3. Величина ∼ P – тензор, зависящий только от формы полости, характеризует диссипативный момент сил, обусловленный вязкостью жидкости, в квазиста- тическом приближении [1]. Для простоты в уравнениях (5) рассмотрен так называемый скалярный тензор, определенный одной скалярной величиной P > 0; компоненты его имеют вид ∼ P ij = Pδij , где δij – символы Кронекера (такой вид тензор ∼ P имеет, например, в случае сферической полости). Ес- ли форма полости существенно отличается от сферической, то определение компонент тензора представляет значительные вычислительные трудности. Рассматривается динамически несимметричный спутник, моменты инер- ции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 > A2 > A3, 97 Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская в предположении, что угловая скорость ω движения спутника относительно центра масс существенно больше угловой скорости орбитального движения ω0, т.е. ε = ω0/ω ∼ A1ω0/G ¿ 1. В этом случае кинетическая энергия враще- ния тела велика по сравнению с моментами возмущающих сил. В работе предполагается, что в полости находится жидкость большой вяз- кости, т.е. ϑ À 1 (ϑ−1 ∼ ε2), форма полости сферическая, тогда [1] ∼ P = Pdiag(1, 1, 1), P = 8πρa7 525ϑ . (6) Здесь ρ, ϑ – плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости в полости, a – радиус полости. В данной постановке задачи пренебрегаем моментом гравитационных сил. Соотношения между характерными величинами моментов гравитационных сил и моментов сил светового давления приведены в [2]. Полагаем [2], что в силу симметрии соответствующая функция имеет вид ac = ac (cos εs), и аппроксимируем ее тригонометрическим полиномом по сте- пеням cos εs. Представим функцию ac (cos εs) в виде ac = a0 + a1 cos εs + . . .. Рассмотрим второй член разложения, когда ac (cos εs) = a1 cos εs в предполо- жении, что a1 ∼ ε. С учетом рассмотренных выше предположений видно, что второе слага- емое (с коэффициентом ac (cos εs)) в формуле проекции момента сил вязкой жидкости в полости (5) имеет порядок ε3, а значит, с точностью до величин второго порядка малости (P ∼ ε2) проекции момента сил вязкой жидкости в полости имеют вид Lp i = P A1A2A3 { p [ q2A2(A1− −A2)(A2 −A3 + A1) + r2A3(A1 −A3)(A3 −A2 + A1) ] αi1+ + q [ r2A3(A2 −A3)(A3 −A1 + A2) + p2A1(A1 −A2)(A3 −A1 −A2) ] αi2+ (7) + r [ p2A1(A3 −A1)(A1 −A2 + A3) + q2A2(A3 −A2)(A2 −A1 + A3) ] αi3 } (i = 1, 2, 3). Ставится задача исследования эволюции вращений спутника на асимпто- тически большом интервале времени t ∼ ε−2, на котором происходит суще- ственное изменение параметров движения. 2. Модифицированная процедура метода усреднения. Для ис- следования системы (1)–(3) при малом ε на промежутке времени t ∼ ε−2 будем применять модифицированную схему метода усреднения [3, 13, 14]. Рассмотрим невозмущенное движение (ε = 0), когда моменты приложенных сил равны нулю. В этом случае вращение твердого тела является движени- ем Эйлера–Пуансо. Величины G, δ, λ, T, ν обращаются [15] в постоянные, а ϕ, ψ, θ – некоторые функции времени t. Медленными переменными в возму- щенном движении будут G, δ, λ, T, ν, а быстрыми – углы Эйлера ϕ, ψ, θ. 98 Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью Рассмотрим движение при условии 2TA1 ≥ G2 ≥ 2TA2, соответствующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось наиболь- шего момента инерции A1. Введем величину k2 = (A2 −A3) ( 2TA1 −G2 ) (A1 −A2) (G2 − 2TA3) ( 0 ≤ k2 ≤ 1 ) , (8) представляющую собой в невозмущенном движении постоянную – модуль эллиптических функций, описывающих это движение. Для построения усредненной системы первого приближения подставим решение невозмущенного движения Эйлера–Пуансо в правые части уравне- ний движения (1), (2) и проведем усреднение по переменной ψ, а затем по времени t с учетом зависимости ϕ, θ от t по схеме, предложенной в [3] для нерезонансного случая. При этом для медленных переменных δ, λ, G, T сохраняются прежние обозначения. В результате получим dG dt = 0, dδ dt = −a1R 2 0 ( 2GR2 )−1 H sin δ sin 2(λ− ν), dλ dt = −a1R 2 0 ( GR2 )−1 H cos δ cos2(λ− ν), dT dt = −4PT 2(A1 −A3)(A1 −A2)(A2 −A3) 3A2 1A 2 2A 2 3 [A2 −A3 + (A1 −A2) k2]2 × × { A2(A1 −A3)(A1 + A3 −A2) [ (k2 − 1) + (1 + k2) E(k) K(k) ] + + A1(A2 −A3)(A3 + A2 −A1) [ (k2 − 2) ( 1− E(k) K(k) ) + k2 ] + (9) +A3(A1 −A2)(A1 + A2 −A3) [ (1− 2k2) ( 1− E(k) K(k) ) + k2 ]} , H = 1 2 [ 3a2 E(k) K(k) − 1 ] при 2TA2 −G2 > 0, H = 1 2 { 3a2 k2 [ k2 − 1 + E(k) K(k) ] − 1 } при 2TA2 −G2 < 0, a2 = σ + h 1 + σ , σ = A3 A1 A1 −A2 A2 −A3 , h = ( 2T G2 − 1 A2 ) A2A3 A2 −A3 . Здесь K(k) и E(k) – полные эллиптические интегралы первого и второ- го рода соответственно [16]. Согласно первому уравнению (9) кинетический момент спутника остается постоянным и равен G0. Дифференцируя выраже- ние (8) для k2 и используя уравнения для кинетической энергии (9), полу- чим дифференциальное уравнение, которое не зависит от других переменных 99 Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская [1, 9], dk2 dξ = (1− χ)(1− k2)− [(1− χ) + (1 + χ)k2] E(k) K(k) , χ = 3A2[(A2 1 + A2 3)−A2(A1 + A3)] (A1 −A3)[A2(A1 + A3 −A2) + 2A1A3] , (10) ξ = (t− t∗)/N, N = 3A2 1A 2 2A 2 3 PG2 0(A1 −A3)[A2(A1 + A3 −A2) + 2A1A3] ∼ ε−2. Здесь t∗ – постоянная. Значению k2 = 1 отвечает равенство 2TA2 = G2, что соответствует сепаратрисе для движения Эйлера–Пуансо. Уравнение (10) описывает усредненное движение конца вектора кинетического момента G на сфере постоянного радиуса G0. 3. Анализ усредненного собственного вращения спутника. Из уравнений движения (9) следует, что под влиянием момента сил вязкой жид- кости в полости происходит эволюция кинетической энергии тела T в пре- делах от вращения вокруг оси A3 (неустойчивое движение) до вращения во- круг оси A1 (устойчивое движение). Изменения углов λ, δ зависят как от действия момента сил светового давления, так и от действия момента сил вязкой жидкости в полости. Выражение, стоящее в фигурных скобках пра- вой части уравнения (9) для T , положительно (при A1 > A2 > A3), так как справедливы неравенства (1− k2)K ≤ E ≤ K. Поэтому dT/dt < 0, поскольку T > 0, т.е. переменная T строго убывает для любых k2 ∈ [0, 1]. Рассмотрим систему, состоящую из четвертого уравнения системы (9) и уравнения (10). Проведем обезразмеривание в уравнении изменения кинети- ческой энергии, считая характерными величинами задачи параметр N , опре- деленный в (10), и момент инерции A1. Имеем dT ′ dξ = − 2(T ′)2(A 1 −A 2 )(A 2 −A 3 ) A1 [A2 (A1 + A3 −A2) + 2A1A3] [ A 2 −A 3 + ( A 1 −A 2 ) k2 ]2× × { A 2 (A 1 −A 3 )(A 1 + A 3 −A 2 ) [ (k2 − 1) + (1 + k2) E(k) K(k) ] + + A 1 (A 2 −A 3 )(A 3 + A 2 −A 1 ) [ (k2 − 2) ( 1− E(k) K(k) ) + k2 ] + +A 3 (A 1 −A 2 )(A 1 + A 2 −A 3 ) [ (1− 2k2) ( 1− E(k) K(k) ) + k2 ]} , (11) где T ′ = 2A1T G2 0 , ξ определяется согласно (10). Это равенство выполняется при ξ > 0, т.е. для случая 2TA1 ≥ G2 ≥ 2TA2. Проведен численный расчет при значениях моментов инерции A1 = 8, A2 = 5, 6, 7, A3 = 4; k2(0) = 0.99999, G(0) = 1. Начальное значение кинети- 100 Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью ческой энергии находилось из равенства T = G2 0 2 A2 −A3 + (A1 −A2)k2(0) A1(A2 −A3) + A3(A1 −A2)k2(0) . (12) В безразмерном виде имеем T ′ = A1(A2 −A3 + (A1 −A2)k2(0)) A1(A2 −A3) + A3(A1 −A2)k2(0) . Рассмотрен также случай ξ < 0, что соответствует 2TA2 ≥ G2 ≥ ≥ 2TA3. Уравнение (11) записывается следующим образом: dT ′ dξ = 2(T ′)2(A3 −A 2 )(A 2 −A 1 ) A3 [A2 (A1 + A3 −A2) + 2A1A3] [ A 3 −A2 + ( A 2 −A1 ) k2 ]2× × { A 2 (A 3 −A 1 )(A 1 + A 3 −A 2 ) [ (k2 − 1) + (1 + k2) E(k) K(k) ] + + A 3 (A 2 −A1)(A1 + A 2 −A 3 ) [ (k2 − 2) ( 1− E(k) K(k) ) + k2 ] + +A1(A3 −A 2 )(A 2 + A 3 −A 1 ) [ (1− 2k2) ( 1− E(k) K(k) ) + k2 ]} с начальным условием T ′ = A3(A2 −A3 + (A1 −A2)k2(0)) A1(A2 −A3) + A3(A1 −A2)k2(0) . В этом случае численный расчет проводился для значений моментов инерции Рис. 1. Рис. 2. A1 = 4; A2 = 5, 6, 7; A3 = 8. Графики изменения кинетической энергии име- ют вид, представленный на рис. 1. Кривые 1, 2, 3 соответствуют значениям 101 Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская A2 = 5, 6, 7. Значение T ′ = 2 соответствует вращению около оси A3 (неустой- чивое движение), T ′ = 1 – вращению около оси A1 (устойчивое движение). При ξ = 0 (переход через сепаратрису) кривые имеют горизонтальную ка- сательную (точки перегиба, см. рис. 2). Аналогичные графики изменения кинетической энергии могут быть получены пересчетом из формулы (8) для безразмерной кинетической энергии T ′ = A1[(A2 −A3) + k2(A1 −A2)] A1(A2 −A3) + k2A3(A1 −A2) . Отсюда видно, что при k2 → 0 имеем T ′ → 1. Аналогично, для случая вра- щения около оси A3 можно показать, что T ′ → 2. 4. Ориентация вектора кинетического момента. Рассмотрим систе- му, состоящую из уравнений для λ и δ системы (9). Как известно, R = l0 1 + e cos ν , а фокальный параметр орбиты определя- ется равенством l0 = µ1/3(1− e2) ω 2/3 0 . Тогда первые два уравнения (9) примут вид dδ dt = −a1R 2 0 2G ω 4/3 0 (1 + e cos ν)2 µ2/3(1− e2)2 H sin δ sin 2(λ− ν), dλ dt = −a1R 2 0 G ω 4/3 0 (1 + e cos ν)2 µ2/3(1− e2)2 H cos δ cos2(λ− ν). (13) Проведем обезразмеривание уравнения изменения кинетического момен- та (9), уравнений для истинной аномалии (3) и k2 (10), уравнений системы (13). Характерными параметрами задачи являются G0 – кинетический мо- мент спутника при t = 0, Ω0 – величина угловой скорости ω движения спут- ника относительно центра масс в начальный момент времени. Безразмерные величины определяются формулами ∼ t = Ω0t, ∼ G = G G0 , ∼ Ai = AiΩ0 G0 , ∼ Li = Li G0Ω0 , ∼ T = T G0Ω0 , ε2 ∼ P = PΩ0 G0 . Введем обозначение Γ = a1R 2 0Ω0 G0µ2/3ω 2/3 0 (14) и назовем эту величину приведенным коэффициентом момента сил светового давления. 102 Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью После обезразмеривания имеем систему уравнений движения dδ d ∼ t = −ε2 Γ ∼ H(1 + e cos ν)2 2 ∼ G(1− e2)2 sin δ sin 2(λ− ν), dλ d ∼ t = −ε2 Γ ∼ H(1 + e cos ν)2 ∼ G(1− e2)2 cos δ cos2(λ− ν), dν d ∼ t = ε (1 + e cos ν)2 (1− e2)3/2 , d ∼ G d ∼ t = 0, dk2 d ∼ t = ε2 1 ∼ N { (1− χ) ( 1− k2 )− [ (1− χ) + (1 + χ) k2 ] E(k) K(k) } , ∼ N = 3 ∼ A2 1 ∼ A2 2 ∼ A2 3 ∼ P ( ∼ A1− ∼ A3)[ ∼ A2( ∼ A1 + ∼ A3− ∼ A2) + 2 ∼ A1 ∼ A3] , ∼ H = 1 2 [ 3 ∼ a 2 E(k) K(k) − 1 ] при 2 ∼ T ∼ A2 − ∼ G 2 > 0, ∼ H = 1 2 { 3 ∼ a 2 k2 [ k2 − 1 + E(k) K(k) ] − 1 } при 2 ∼ T ∼ A2 − ∼ G 2 < 0, ∼ a 2 = ∼ σ + ∼ h 1 + ∼ σ , ∼ σ = ∼ A3 (∼ A1 − ∼ A2 ) ∼ A1 (∼ A2 − ∼ A3 ) , ∼ h = ( 2 ∼ T ∼ G 2 − 1 ∼ A2 ) ∼ A2 ∼ A3 ∼ A2 − ∼ A3 . (15) Кинетическая энергия ∼ T находится из соотношения (8) в безразмерном виде ∼ T = ∼ G 2 (( ∼ A2− ∼ A3 ) + k2 ( ∼ A1− ∼ A2 )) ∼ A1 ( ∼ A2− ∼ A3 ) + ∼ A3 ( ∼ A1− ∼ A2 ) k2 . Первые три уравнения для λ, δ и ν системы (15) можно записать следу- ющим образом: dδ d ∼ t = ε2∆(ν, δ, λ), dλ d ∼ t = ε2Λ(ν, δ, λ), dν d ∼ t = ε (1 + e cos ν)2 h(e) , h(e) = (1− e2)3/2. (16) Здесь ∆, Λ – коэффициенты в правых частях первого и второго уравнений (15), δ, λ – медленные переменные, а ν – полумедленная. 103 Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская Получена система специального вида, для решения которой применяется модифицированный метод усреднения по следующей схеме [14] dδ d ∼ t = ε2 h(e) 2π 2π∫ 0 ∆(λ, δ, ν) (1 + e cos ν)2 dν, dλ d ∼ t = ε2 h(e) 2π 2π∫ 0 Λ(λ, δ, ν) (1 + e cos ν)2 dν. После усреднения получим dδ d ∼ t = 0, dλ d ∼ t = −ε2 Γ ∼ H cos δ 2 ∼ G(1− e2)1/2 . (17) Интегрирование системы проводилось для медленного времени τ = ε2 ∼ t . Численный расчет проводился при Рис. 3 начальных условиях ∼ G(0) = 1; k2(0) = 0.99; λ(0) = 0.785 рад; δ(0) = 0.785 рад; ∼ P (0) = 10. Для без- размерного времени τ имеем картину, представленную на рис. 3. Кривые 1, 2, 3 соответствуют различным значе- ниям ∼ A2 = 5, 6, 7 для постоянных зна- чений ∼ A1 = 8, ∼ A3 = 4. Из рис. 3 видно, что характер изменения угла λ носит почти линейный характер и с увели- чением значения момента инерции ∼ A2 функция увеличивается быстрее. Согласно численному расчету по- казано, что для несимметричного спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, движущегося под действием момента сил светового давления, вектор кинетического момента G остается величиной постоянной, направ- ленной под постоянным углом δ к вертикали плоскости орбиты. При этом конец вектора G движется по сфере радиуса G0 по ходу часовой стрелки и кинетическая энергия убывает до значения 1, соответствующего устойчивому движению спутника вокруг оси A1. 5. Предельный случай вращения, близкого к осевому. Рассмот- рим движение тела при малых k2 ¿ 1, отвечающих движениям твердого тела, близким к вращениям вокруг оси A1. В этом случае правую часть урав- нения (10) можно упростить, используя разложения полных эллиптических интегралов в ряды по k2 [16]. Тогда уравнение (10) интегрируется и асимп- 104 Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью тотическое решение записывается в виде k2 = C1 exp [ −(3 + χ)ξ 2 ] при ξ > 0, k2 = C1 exp [ (3− χ)ξ 2 ] при ξ < 0, C1 = const, 0 ≤ C1 ≤ 1. (18) Изменение кинетической энергии можно качественно грубо получить, сле- дуя работе [1], простым пересчетом из соотношения (8), используя найденное решение (18) для малых k2. Имеем T = G2 2A1 + G2(A1 −A3)(A1 −A2) 2A2 1(A2 −A3) C1 exp [ −(3 + χ)ξ 2 ] при ξ > 0, T = G2 2A3 + G2(A3 −A1)(A3 −A2) 2A2 3(A2 −A1) C1 exp [ (3− χ)ξ 2 ] при ξ < 0. (19) Для безразмерной величины кинетической энергии равенства (19) примут вид T ′ = 1 + (A1 −A3)(A1 −A2) A1(A2 −A3) C1 exp [ −(3 + χ)ξ 2 ] при ξ > 0, T ′ = A1 A3 + A1(A3 −A1)(A3 −A2) A2 3(A2 −A1) C1 exp [ (3− χ)ξ 2 ] при ξ < 0. (20) Постоянная интегрирования C1 находится Рис. 4 грубо из условия равенства кинетической энергии по формулам (20) при ξ = 0. Име- ем C1 = A1A3(A2 −A3)(A1 −A2) A2 3(A1 −A2)2 + A2 1(A2 −A3)2 . (21) Графики изменения безразмерной ки- нетической энергии T ′ в случае малых k2 представлены на рис. 4. Кривые 1, 2, 3 со- ответствуют различным значениям A2 = 5, 6, 7, при постоянных значениях A1 = 8, A3 = 4 для ξ > 0 и A1 = 4, A3 = 8 для ξ < 0. Как видно из рис. 4, характер функции T ′ = T ′(ξ) тот же, что и для 0 ≤ k2 ≤ 1, асимптотические значения T ′ на положительных и отрицатель- ных безразмерных временах сохраняют свои величины. 105 Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская Асимптотическое выражение модуля эллиптических функций можно пред- ставить в виде функции безразмерного времени τ k2 = k2 0 exp [ρτ ] , (22) ρ = ∼ P ∼ A2 1 ∼ A2 2 ∼ A2 3 [ ∼ A1 ∼ A2 ( ∼ A1− ∼ A2 ) + ∼ A1 ∼ A3 ( ∼ A1− ∼ A3 ) + ∼ A2 ∼ A3 ] . Рассмотрим дифференциальное уравнение (17) для угла λ в безразмер- ном времени τ для малых k2 с учетом (22). В правую часть уравнения вхо- дит непостоянная величина ∼ H. При выполнении неравенства 2 ∼ T ∼ A2− ∼ G2 < 0 функция H(τ) с учетом малых второго порядка имеет вид ∼ H = 1 2 { 3 ∼ A3( ∼ A1 − ∼ A2) 2 ∼ A1( ∼ A2 − ∼ A3) k2 0 exp [−ρτ ]− 1 } . Ясно, что ∼ H → −0.5 при τ →∞. Подставляем полученное выражение для H в уравнение изменения угла λ, интегрируем и находим λ = λ0 + 3 ∼ A3( ∼ A1 − ∼ A2)Γk2 0 cos δ 8 ∼ A1( ∼ A2 − ∼ A3)ρ(1− e2)1/2 (exp [−ρτ ]− 1) + Γτ cos δ 4(1− e2)1/2 , константы λ0, k2 0 определяют- Рис. 5 ся из начальных условий. Гра- фик функции λ = λ(τ) при k2 ¿ 1 представлен на рис. 5. Кривые 1, 2, 3 соответству- ют различным значениям ∼ A2 = 5, 6, 7 при постоянных значениях ∼ A1 = 8, ∼ A3 = 4 и при начальном значении уг- ла λ(0) = 0.785 рад. Как вид- но из рисунка, характер кривых аналогичен функци- ям λ = λ(τ) при произволь- ных k2. 6. Движение динамически симметричного спутника. Рассмотрим движение динамически симметричного спутника (A1 = A2), моменты инер- ции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 > A3. Урав- 106 Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью нения движения тела относительно центра масс запишем в форме [2] dG dt = L3, dδ dt = L1 G , dλ dt = L2 G sin δ , dθ dt = L2 cosψ − L1 sinψ G , dϕ dt = G cos θ ( 1 A3 − 1 A1 ) + L1 cosψ + L2 sinψ G sin θ , dψ dt = G A1 − L1 cosψ + L2 sinψ G ctgθ − L2 G ctgδ. (23) Проекции на оси Oyi (i = 1, 2, 3) момента Lp i сил вязкой жидкости в полости при A1 = A2 имеют вид Lp i = P A1A2 (A1 −A3) { pr2A 3 αi1+ qr2A 3 αi2 − rA1 [ p2 + q2 ] αi3 } (i = 1, 2, 3). (24) Для решения задачи будем применять метод усреднения [13]. В случае невозмущенного движения Эйлера–Пуансо, когда эллипсоид инерции явля- ется эллипсоидом вращения, ϕ, ψ являются линейными функциями, а угол θ – величиной постоянной [15]. Для возмущенного движения углы ϕ, ψ яв- ляются быстрыми переменными, а угол θ – медленной. Проводим усреднение системы уравнений для медленных переменных G, λ, δ, θ по быстрым пере- менным: сначала по ψ, а затем по ϕ. После усреднения по быстрым переменным ϕ, ψ имеем уравнения в без- размерных величинах dG′ dt′ = 0, dθ dt\| = ε2Γ1(A′1 −A′3) sin θ cos θ, dδ dt′ = −ε2 Γ (1 + e cos ν)2 2 (1− e2)2 ( 1− 3 2 sin2 θ ) sin δ sin 2 (λ− ν) , dλ dt′ = −ε2 Γ (1 + e cos ν)2 (1− e2)2 ( 1− 3 2 sin2 θ ) cos δ cos2 (λ− ν) . (25) Здесь безразмерные величины определяются равенствами t′ = Ω0t, A′i = AiΩ0 G0 , ε2υ′ = υ Ω0a2 , где Ω0 – угловая скорость движения спутника отно- сительно центра масс в начальный момент времени. Введены обозначения Γ, согласно (14), и Γ1 = 8πa5ρG3 0 525υ′A3 1A3Ω3 0 , где µ – грави- тационная постоянная. Назовем величину Γ1 приведенным коэффициентом момента сил вязкой жидкости в полости. 107 Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская Исследуем решение системы (25) при малом ε на промежутке времени τ = ε2t′. Из первого уравнения систе- Рис. 6 мы (25) видно, что кинетический мо- мент есть величина постоянная. Инте- грируя второе уравнение системы (25) для угла нутации, получим tg θ = tg θ0 exp [ Γ1(A′1 −A′3)τ ] . (26) График функции θ = θ(τ) представ- лен на рис. 6. Расчет проводился при начальном условии θ(0) = π/3 рад. Кри- вая 1 соответствует случаю A′1 > A′3 (спутник “сплюснутый” по оси инерции A3), а кривая 2 – A′1 < A′3 (спутник “вы- тянутый” по оси инерции A3). Последние два уравнения (25) и уравнение для истинной аномалии (3) в безразмерном времени τ могут быть записаны в виде dδ dτ = ε2∆ (ν, δ, λ) , dλ dτ = ε2Λ (ν, δ, λ) , dν dτ = ε h (e) (1 + e cos ν)2 , h (e) = ( 1− e2 )3/2 , (27) где ∆, Λ – коэффициенты в правых частях последних двух уравнений (25). Из системы (27) видно, что δ, λ – медленные переменные, а ν – полумедленная. Применяя модифицированный метод усреднения [14], получим dδ dτ = 0, dλ dτ = − Γ cos δ 2 (1− e2)1/2 ( 1− 3 2 sin2 θ ) . Видно, что угол отклонения δ вектора кинетического момента G от верти- кали остается постоянным в указанном приближении, как и в случае несим- метричного спутника. С учетом (26) находим аналитически закон изменения угла λ от времени τ : λ = λ0 + ατ − 3α 2β ln ∣∣∣∣ 1 + γ exp(βτ) 1 + γ ∣∣∣∣ , α = − Γ cos δ 2(1− e2)3/2 , β = 2Γ1(A′1 −A′3), γ = tg2 θ0. График изменения функции λ = λ(τ) представлен на рис. 7 для началь- ного значения угла нутации θ(0) = π/3 рад и при начальном значении уг- ла λ(0) = π/4 рад. Кривые построены при различных значениях параметра β = −0.5, −1, − 1.5, − 2. Из рис. 7 видно, что при значениях β ≥ −1 на 108 Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью малых временах τ < 2.5 график функции имеет вид линейной монотонно убывающей функции. При значениях β < −1 на малых временах функция λ = λ(τ) не является ни монотонной, ни линейной, при этом, чем меньше параметр β, тем больше возрастает функция. При временах τ > 2.5 графики всех функций линейны и параллельны между собой. Рис. 7 Рис. 8 Для тех же значений параметра β построены графики изменения угла нутации θ = θ(τ) (рис. 8). Видно, что чем меньше параметр β, тем быстрее угол θ стремится к нулю, т.е. чем более “вытянуто” тело по оси A3, тем быстрее спутник стремится к положению устойчивого вращения вокруг этой оси. Таким образом, при движении динамически симметричного спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил све- тового давления вектор кинетического момента G остается величиной посто- янной, направленной под постоянным углом δ к вертикали плоскости орбиты. Направление движения конца вектора G зависит от формы спутника. В слу- чае спутника, “сплюснутого” по оси инерции A3, конец вектора G движется по сфере радиуса G0 против хода часовой стрелки. При этом угол нутации стремится к предельному значению π/2 рад. Для динамически “вытянутого” по этой же оси спутника конец вектора G движется по сфере радиуса G0, сначала по ходу часовой стрелки, а затем против хода часовой стрелки, а угол нутации стремится к нулю. 1. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидко- стью, при малых числах Рейнольдса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1965. – 5, № 6. – С. 1049–1070. 2. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. – М.: Наука, 1965. – 416 с. 3. Черноусько Ф.Л. О движении спутника относительно центра масс под действием гра- витационных моментов // Прикл. математика и механика. – 1963. – 27, вып.3. – С. 474– 483. 4. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. 109 Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская – М.: Изд-во МГУ, 1975. – 308 с. 5. Карымов А.А. Устойчивость вращательного движения геометрически симметричного искусственного спутника Солнца в поле сил светового давления // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 5. – С. 923–930. 6. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. – М.: Наука, 1986. – 304 с. 7. Сазонов В.В. Движение астероида относительно центра масс под действием момента сил светового давления // Астрон. вестник. – 1994. – 28, № 2. – С. 95–107. 8. Осипов В.З, Суликашвили Р.С. О колебании твердого тела со сферической полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, на эллиптической орбите // Тр. Ин-та/ Тби- лис. Мат. ин-т АН Груз. ССР. – 1978. – 58. – С. 175–186. 9. Смирнова Е.П. Стабилизация свободного вращения асимметричного волчка с поло- стями, целиком заполненными жидкостью // Прикл. математика и механика. – 1974. – 33, вып. 6. – С. 980–985. 10. Сидоренко В.В. Эволюция вращательного движения планеты с жидким ядром // Аст- рон. вестник. – 1993. – 27, № 2. – С. 119–127. 11. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Часть II. – М.: Изд-во механико-математического фак-та МГУ, 1997. – 160 с. 12. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Эволюция вращений спутника с по- лостью, заполненной вязкой жидкостью // Механика твердого тела. – 2007. – 37. – С. 126–139. 13. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – 507 с. 14. Акуленко Л.Д. Схемы усреднения высших степеней в системах с быстрой и медленной фазами // Прикл. математика и механика. – 2002. – 66, вып. 2. – С. 165–176. 15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. – М.: Наука, 1973. – 208 с. 16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с. Ин-т проблем механики РАН, Москва, Россия, Гос. академия строительства и архитектуры, Одесса, Украина leshchenko_d@ukr.net, rachinskaya@onu.edu.ua Получено 27.05.08 110

Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления

Репозитарії

Схожі ресурси