О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы
Рассмотрена линейная неконсервативная механическая система с двумя степенями свободы, возмущенные движения которой представляют собой затухающие колебания. Траектории такой системы имеют некоторые свойства, отсутствующие у одностепенной системы, в частности, временные интервалы затухания решения мог...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27992 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 126-135. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27992 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279922011-10-26T12:07:02Z О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. Рассмотрена линейная неконсервативная механическая система с двумя степенями свободы, возмущенные движения которой представляют собой затухающие колебания. Траектории такой системы имеют некоторые свойства, отсутствующие у одностепенной системы, в частности, временные интервалы затухания решения могут чередоваться с интервалами его эволюции. Исследован вопрос об оценке величины этого “проблемного" промежутка времени и пределах возможного возрастания решения. 2008 Article О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 126-135. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27992 534.015.1, 534.83 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена линейная неконсервативная механическая система с двумя степенями свободы, возмущенные движения которой представляют собой затухающие колебания. Траектории такой системы имеют некоторые свойства, отсутствующие у одностепенной системы, в частности, временные интервалы затухания решения могут чередоваться с интервалами его эволюции. Исследован вопрос об оценке величины этого “проблемного" промежутка времени и пределах возможного возрастания решения. |
| format |
Article |
| author |
Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| spellingShingle |
Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы Механика твердого тела |
| author_facet |
Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| author_sort |
Позднякович, А.Е. |
| title |
О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы |
| title_short |
О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы |
| title_full |
О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы |
| title_fullStr |
О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы |
| title_full_unstemmed |
О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы |
| title_sort |
о скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27992 |
| citation_txt |
О скорости затухания колебаний линейной системы с двумя степенями свободы / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 126-135. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT pozdnâkovičae oskorostizatuhaniâkolebanijlinejnojsistemysdvumâstepenâmisvobody AT puzyrevve oskorostizatuhaniâkolebanijlinejnojsistemysdvumâstepenâmisvobody |
| first_indexed |
2025-07-03T07:57:54Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:57:54Z |
| _version_ |
1836611771127824384 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 534.015.1, 534.83
c©2008. А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
О СКОРОСТИ ЗАТУХАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНОЙ
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассмотрена линейная неконсервативная механическая система с двумя степенями свобо-
ды, возмущенные движения которой представляют собой затухающие колебания. Траекто-
рии такой системы имеют некоторые свойства, отсутствующие у одностепенной системы,
в частности, временны́е интервалы затухания решения могут чередоваться с интервалами
его эволюции. Исследован вопрос об оценке величины этого “проблемного” промежутка
времени и пределах возможного возрастания решения.
1. Постановка задачи. Некоторые вспомогательные предложе-
ния. Рассмотрим систему двух связанных осцилляторов, уравнения движе-
ния которой определяются линейным действительным дифференциальным
оператором
d = A
d2
dt2
+ B
d
dt
+ C, (1)
где A = ‖ajn‖, B = ‖bjn‖, C = ‖cjn‖ (j, k = 1, 2), причем матрицы
A, C − положительны, а B − неотрицательна. Подобная система является
простейшей моделью колебательной
Рис. 1. Затухащее колебание осциллятора.
системы с демпферами пассивного ти-
па [1 – 8].
Приведем некоторые сведения и
термины из теории линейных колеба-
ний [10]. С этой целью запишем ска-
лярное уравнение
a0
d2x1
dt2
+ b0
dx1
dt
+ c0x1 = 0, (2)
коэффициенты которого постоянны и
положительны. Положим
ω0 =
√
c0
a0
, τ = ω0t, D =
b0
2
√
a0c0
.
Если D < 1, то характеристические показатели уравнения (2) комплексно-
сопряженные, а возмущенное движение представляет собой затухащие гармо-
нические колебания (рис. 1). Величины ω0, τ и D называют, соответственно,
круговой частотой недемпфированного колебания, собственным временем
и безразмерным коэффициентом демпфирования осциллятора (или уравне-
ния (2)). Частота демпфированного колебания равна модулю мнимой части
собственных значений уравнения (2) и меньше круговой частоты, их отно-
шение равно
√
1−D2. Наряду с безразмерным коэффициентом демпфиро-
вания рассматривают величину, обратную ему – постоянную времени τz,
126
О скорости затухания колебаний линейной системы
которая имеет простой геометрический смысл: если провести касательную к
произвольной точке огибающей семейства возмущенных решений, то абсцис-
са точки пересечения касательной с осью Oτ равняется сумме абсциссы
точки касания и постоянной τz (рис. 2). Численное значение амплитуды
колебаний за это время уменьшается в e раз.
Таким образом, закон изменения обобщенной координаты x полностью
определяется знанием двух величин: параметра D (или постоянной времени
τz ) и частоты (или периода) колебания. Иногда вместо постоянной времени
рассматривают другую меру уменьшения амплитуды. Если брать ее последо-
вательные значения в точках максимума (минимума), то отношение xn+1/xn
есть величина постоянная. Логарифм этого отношения, взятый с обратным
знаком, называют логарифмическим декрементом затухания θ. Он связан с
безразмерным коэффициентом демпфирования формулой
Рис. 2. Геометрический смысл постоянной
времени.
θ =
2πD√
1−D2
. (3)
Последнюю можно использовать для
нахождения D по известным резуль-
татам измерений амплитуд. Величи-
на θ представляет собой тангенс уг-
ла наклона логарифмической кривой
амплитуды к оси абсцисс.
Если же речь идет о поведении кон-
кретной возмущенной траектории, то
следует также принимать во внима-
ние постоянный множитель – констан-
ту интегрирования, который зависит
от начальных значений и определяется следующим образом
c =
√
x2
0 +
(x′0 + Dx0)2
1−D2
, (4)
штрихом обозначено дифференцирование по собственному времени τ.
Отметим также, что в случае, когда двухстепенная система совершает
незатухающее колебание, которое можно рассматривать как наложение двух
колебаний с амплитудами A1, A2 и частотами ω1, ω2, то амплитуду дви-
жения A∗ можно записать так
A∗ =
√
A2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos 2ωdt, ωd =
1
2
(ω1 − ω2). (5)
Если частоты ω1, ω2 есть величины одного порядка, т. е. отношение их
разности к их сумме мало, то колебательный процесс удобно рассматривать
как гармоническое колебание со "средней" частотой ωm = (ω1 + ω2)/2,
амплитуда которого медленно меняется во времени с частотой 2ωd (рис. 3).
Величина амплитуды меняется периодическим образом в пределах
| A1 −A2 | ≤ A∗ ≤ A1 + A2. (6)
127
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
Колебания, показанные пунктиром на рис. 3, называют биениями [1]. Движе-
ние системы при этом можно рассматривать как амплитудно-модулированные
колебания с несущей частотой ωm, поскольку основные колебания модули-
руются по амплитуде с частотой модуляции 2ωd.
2. Случай двухчастотно-
Рис. 3. Свободное двухчастотное колебание.
го затухающего движения.
Псевдозатухание колебаний.
Поскольку в приложениях более
распространенной является ситу-
ация, при которой спектр опера-
тора d находится в левой поло-
вине комплексной плоскости, то
в настоящей работе ограничим-
ся рассмотрением случая, когда
собственные значения d суть
−σ1± i ω1, −σ2± i ω2. Не огра-
ничивая общности, можно счи-
тать, что
σ1 ≤ σ2. (7)
В этом случае движение системы, определяемой уравнением (1), представля-
ет собой наложение двух простых (затухающих) колебаний с частотами ω1
и ω2 соответственно. Характеристическое уравнение можно записать как
λ4 + 2(σ1 + σ2)λ3 + [(σ1 + σ2)2 + 2σ1σ2 + ω2
1 + ω2
2)]λ
2+
+2[(σ1σ2(σ1 + σ2) + σ1ω
2
2 + σ2ω
2
1]λ + (σ2
1 + ω2
1)(σ
2
2 + ω2
2) = 0, (8)
а общее решение – в виде
x(t) = e−σ1t(c1 cosω1t + c2 sinω1t) + e−σ2t(c3 cosω2t + c4 sinω2t), (9)
где cj (j = 1, 4) представляют собой постоянные интегрирования, линейно
зависящие от начальных значений обобщенных координат и их скоростей.
Если неравенство (7) выполняется строго, то характеристичное число Ля-
пунова для общего решения совпадает с безразмерным коэффициентом демп-
фирования первого колебания. Движение, которое соответствует решению
(9), будем рассматривать как амплитудно-модулированное (затухающее) ко-
лебание с несущей частотой ω1 и амплитудой
Amp(t) = e−σ1t {c2
1 + c2
2 + 2 [(c1c3 + c2c4) cos ωdt + (c1c4 − c2c3) sinωdt] e−σdt+
+(c2
3 + c2
4)e
−2σdt }1/2, ωd = ω1 − ω2, σd = σ2 − σ1. (10)
Введем безразмерное время и параметры по формулам
τ = ω1t, sj =
σj
ω1
(j = 1; 2), δ =
2ωd
ω1
, sd =
σd
ω1
(11)
128
О скорости затухания колебаний линейной системы
и обозначим функцию Amp2(τ/ω1) через F (τ). Последняя экспоненциально
убывает при τ →∞, и скорость этого убывания определяется величиной s1
– в случае одной степени свободы ей соответствует безразмерный коэффици-
ент демпфирования. Вместе с тем, функция F (τ) зависит от произвольных
постоянных cj (j = 1, 4) и, при определенных соотношениях между ними,
может принимать сколь угодно близкие к нулю значения в моменты времени,
существенно меньшие постоянной τz. Если график зависимости получен эм-
пирическим путем – в результате визуального наблюдения или с помощью ре-
гистрирующей аппаратуры, а собственные значения системы неизвестны, то
Рис. 4. Ложное затухание колебаний в случае различных собственных значений.
можно прийти к ошибочному выводу в оценке скорости затухания колебаний.
Так, на рис. 4, а изображена часть интегральной кривой l1 : y = x2(τ) и ее
огибающая – график функции l2 : y = F (τ). На первый взгляд, имеет место
“вполне правдоподобное” экспоненциальное затухание возмущенного коле-
бания в десять раз за ≈ 12 безразмерных τ -секунд. Однако, если внимательно
изучить поведение кривой (или построить график на большем промежутке
времени, см. рис. 4, б ), то придем к выводу, что это затухание является лож-
ным. С этой целью достаточно: а) попытаться вычислить логарифмический
декремент затухания для x2(τ) и убедиться, что такового не существует;
б ) численно построить кривую y = dF/dτ или y = lnF (τ) (кривые l3 и
l4, соответственно, на рис. 4, а). В любом из этих случаев станет ясно, что
функция, соответствующая кривой l2, не является экспонентой. Для того,
чтобы прояснить вопрос о “лжезатухании”, перепишем выражение для F (τ)
следующим образом:
F (τ) = e−2s1τ [r2
1 + 2r1r2 sin(δτ + δ0)e−sdτ + r2
2e
−2sdτ ], (12)
где
r1 =
√
c2
1 + c2
2, r2 =
√
c2
3 + c2
4, δ0 = arcsin
c1c3 + c2c4
r1r2
.
Нетрудно заметить, что для Amp(t) справедливо двойное неравенство типа
(6), где A1, A2 представляют собой амплитуды главных колебаний системы
129
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
(1). Кроме того, записывая выражение в квадратных скобках в правой части
(12) как
[r1 sin(δτ + δ0) + r2e
−sdτ ]2 + r2
1 cos2(δτ + δ0),
видим, что оно может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда одно-
временно выполняются два равенства
sin(δτ + δ0) = −1, e−sdτ =
r1
r2
, r2 6= 0. (13)
Очевидно, что при r2 = 0 возмущенные траектории определяются первым
главным колебанием и ведут себя, как в случае уравнения (1), т. е. ситуация
псевдозатухания исключается. Легко также видеть, что поскольку sd > 0, то
для того, чтобы второе из равенств (13) имело место необходимо выполнение
условия r1 < r2. Тогда τ? = (ln r2 − ln r1)/sd. Последнее выражение не
ограничено и принимает как угодно большие значения, если величина sd
или r1/r2 близка к нулю.
Запишем решение задачи Коши для системы (1). Обозначим начальное
значение фазового вектора через u∗ = (u1, u2, u3, u4) = ( x0
1, ẋ0
1, x0
2, ẋ0
2 )
(здесь и далее верхний индекс ” ∗ ” означает транспонирование), а через
f(t) = (f1, f2, f3, f4)∗ и D(t) соответственно – вектор независимых частных
решений и матрицу линейного преобразования, соответствующего операции
дифференцирования по времени, т. е. df/dt = Df . В случае, когда корни
уравнения (8) различны, имеем
f(t) =
e−σ1t cosω1t
e−σ1t sinω1t
e−σ2t cosω2t
e−σ2t sinω2t
, D =
−σ1 −ω1 0 0
ω1 −σ1 0 0
0 0 −σ2 −ω2
0 0 ω2 −σ2
.
Тогда решение для вектора обобщенных координат запишется x = (c, c̃)∗f(t),
причем c̃ = Λc, Λ = −(a12D
2+b12D+c12E)−1(a11D
2+b11D+c11E)c, c =
= (c1, c2, c3, c4)∗,E− единичная матрица. Подставляя начальные значения
времени и фазового вектора, имеем систему Pc = u, где P− квадрат-
ная матрица, строки которой соответственно равны: f∗0 , f∗0 D, f∗0Λ, f∗0 DΛ.
Окончательно получаем
c = M∗u, M∗ = P−1, x1 = f∗(t)M∗u = u∗Mf(t). (14)
Остановимся теперь на случае кратных собственных значений оператора
d (σ2 = σ1 = σ, ω2 = ω1 = ω ). Тогда
f(t) = e−σt
cosωt
sinωt
t cosωt
t sinωt
, D =
−σ −ω 0 0
ω −σ 0 0
1 0 −σ −ω
0 1 ω −σ
.
130
О скорости затухания колебаний линейной системы
Пусть x(t) − одна из возмущенных траекторий, квадрат амплитуды ко-
торой запишем как
F (t) = [(c2
3 + c2
4)t
2 + 2(c1c3 + c2c4)t + c2
1 + c2
2]e
−2σt, (15)
где cj (j = 1, 4), как и выше, означают произвольные постоянные. Рас-
смотрим вопрос об эволюции функции F (t), иначе говоря – о ее поведении
на интервале [t0, t?], где t?− момент времени, начиная с которого амплиту-
да колебания монотонно убывает. Для этого найдем производную F (t) по
времени. Обозначим
r1 =
√
c2
1 + c2
2, r2 =
√
c2
3 + c2
4, q =
c1c3 + c2c4
r1r2
(| q |≤ 1),
тогда выражение в квадратных скобках формулы (15) перепишется как
(r2)2t2 + 2 qr1r2 t + (r1)2,
а
dF
dt
= −2P (t)e−2σt, P (t) = σr2
2t
2 − r2(r2 − 2σqr1) t + r1(σr1 − qr2). (16)
Как следует из (16), если r2 − 2σqr1 ≤ 0, σr1 − qr2 > 0, или dis = (r2)2−
−(r1)2(1 − q2) < 0, то P (t) > 0, dF/dt < 0, и амплитуда колебания
строго убывает с течением времени, т. е. эволюция отсутствует (t? = t0). В
противном случае многочлен P (t) имеет положительные корни – один, если
σr1−qr2 ≤ 0 и два, если σr1−qr2 > 0. Конец интервала эволюции амплитуды
определяется при этом бóльшим из этих корней
t? =
1
2σr2
(r2 − 2σqr1 +
√
dis). (17)
Рис. 5. Биения амплитудной характеристики затухающих колебаний.
131
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
Если σr1 − qr2 > 0, то меньший корень
tmin =
1
2σr2
(r2 − 2σqr1 −
√
dis) (18)
определяет величину интервала псевдозатухания, который в случае кратных
комплексных корней является единственным, в отличие от случая различных
корней (рис. 5). Напомним, что константы r1, r2 определяются начальным
положением фазового вектора u0, которое имеет, вообще говоря, случайный
характер. Поэтому каждая из них (констант) может принимать как угодно
близкие к нулю значения. Как можно видеть из формул (17) и (18), t? , tmin
могут принимать как угодно большие значения, значит, не только интервал
эволюции, но даже интервал псевдозатухания могут оказаться "весьма про-
тяженными".
3. Примеры. Выводы. В качестве иллюстрации к вышесказанному рас-
смотрим два примера.
Пример 1. Пусть имеется полу-
Рис. 6. Часть траектории, полученная эмпири-
чески.
ченный опытным путем фрагмент
интегральной кривой y = x(t)
(рис. 6). По техническим сообра-
жениям на рис. 6 представлена кри-
вая l1 : y = |x(t)|; l2− ее огиба-
ющая. Известно, что собственные
значения – кратные, но неизвест-
ны их конкретные значения. Тре-
буется найти эти значения и соста-
вить прогноз дальнейшего поведе-
ния амплитуды траектории l2, в
частности, выявить возможность ее
псевдозатухания и оценить величи-
ну промежутка эволюции.
Воспользуемся представлением (15). Не нарушая общности, можно счи-
тать, что в начальный момент времени траектория находится в точке мак-
симума, а масштаб выбрать так чтобы r1 = 1. Применяя численые методы,
например, метод наименьших квадратов, найдем коэффициенты q, r2, σ.
Получается система трех уравнений, которая сводится к уравнению
σ3 − 0, 495 σ2 + 0, 049 σ − 0, 000645 = 0
с корнями σ1 ≈ 0, 0155; σ2 ≈ 0, 114; σ3 ≈ 0, 366. Значение σ2 не под-
ходит, поскольку соответствующая кривая имеет интервал отрицательных
значений, начиная с t ≈ 6. Две другие кривые
l3 : y =
√
0, 023t2 − 0, 30t + 1 e−0,0155t, l4 : y =
√
0, 059t2 + 0, 40t + 1 e−0,366t
изображены на рис. 6, причем l3 для удобства смещена на 0,1 вниз по оси
ординат. Кривая l4 не имеет промежутка эволюции и достаточно быстро
132
О скорости затухания колебаний линейной системы
затухает; l3 − напротив, имеет, и, согласно формулам (17), (18), вычисляем
tmin ≈ 6, 54; t? ≈ 71, 0. На рис. 7, a представлены полученные результаты.
Таким образом, если при t ∈ [6, 5; 7] амплитуда истинной кривой x(t) начнет
возрастать, то в качестве прогноза нужно брать l3 (см. рис. 6), в противном
случае − l4.
Рис. 7. Прогноз поведения решения по известной части траектории.
Если же параметры системы частично или полностью известны, то для
оценки возможности эволюции интегральных кривых уравнения (1) можно
воспользоваться равномерной по начальным значениям фазовых переменных
оценкой функции F (t). В качестве такой оценки можно взять норму матрицы
Mf(t).
Пример 2. В работе [7] рассматривался вопрос об оптимизации скорости
затухания возмущенных колебаний пассивно стабилизированного маятника.
Было показано, что максимальное значение характеристичного числа возму-
щенных решений будет достигаться в случае кратных собственных значений,
что соответствует определенным (оптимальным) значениям стабилизирую-
щего устройства – жесткости и коэффициенту демпфирования. Соответству-
ющая λ-матрица для уравнения (1) такова
D(λ) =
(
(1 + α2)(λ2 + β2) α(λ2 − 1)
α(λ2 − 1) λ2 + hλ + κ
)
, κ =
α2 + β4
β2(1 + α2)
, h =
2α(1 + β2)
β(1 + α2)
.
Матрица M имеет при этом вид
M =
1 0 0 0
m21 m22 m23 m24
m31 m32 m33 m34
m41 m42 m43 m44
,
где
m21 = α3 (β2 − 1)(β2 + 1)2 µ−3/2, m22 = 4β3[2β2 − α2(β2 + 1)] µ−1/2,
m23 = − 2α2
1 + α2
(β2 + 1) [β2(β2 − 3) + α2(β2 + 1)] µ−3/2,
133
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
m24 = −4α(1− α2)
1 + α2
β3 (β2 +1)µ−3/2, m31 = αβ(β2 +1)[2β2−α2(β2− 1)]µ−1,
m32 = α2(β4 − 1)µ−1, m33 =
α2(β2 + 1)
β(1 + α2)
[β2 (β2 − 3) + α2(β2 + 1)]µ−1,
m34 = −2(1− α2
1 + α2
αβ2(β2+1)µ−1, m41 = −α2β(β2+1)µ−1, m42 = −α(β2+1)µ−1,
m43 =
αβ(β2 + 1)
(1 + α2) µ
, m44 =
2α2 (β2 + 1)
(1 + α2)µ
, µ = 4β4 − α2(β2 + 1)2.
Аналитический анализ полного выражения для нормы матрицы Mf до-
статочно трудоемкий (даже с использованием системы аналитических вычис-
лений), однако, принимая естественное предположение о малости присоеди-
ненной массы по сравнению с основной, можно считать α малым параметром
и воспользоваться соответствующим асимптотическим представлением.
F = [k1(t2) +
√
k2
1(t2)− k0(t2)]e−2 t2 , k1 =
1
2β4
[(β4 + β2 + 1)t22 − 2βt2 + β2],
(19)
k0 =
1
β4
(β2 + 1)t42 − 2βt32 + (2β2 + 1)t22 − 2βt2 + β2, t2 =
α(β2 + 1)
2β
t.
Рис. 8. Зависимость равномерной амплитудной характеристики от натуральной частоты
основной системы.
Выражение для функции F, допускает относительно несложное анали-
тическое исследование. Нулями ее производной являются корни уравнения
восьмой степени относительно t2. Можно показать, что оно имеет не более
двух положительных корней, а при β À 1− не имеет вещественных поло-
жительных корней. Поверхность (19) представлена на рис. 8.
134
О скорости затухания колебаний линейной системы
Следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Хотя эта по-
верхность в широком диапазоне частот (от 1 Гц и выше) ведет себя вполне
гладко, но она является огибающей семейства интегральных кривых и ха-
рактеризует точную верхюю грань отношения амплитуды колебания одной
из фазовых переменных − x2
1(t, u0) в примере 2 – к норме начального воз-
мущения движения (значению полной энергии системы). Это не означает, что
отсутствуют траектории с эволюционным поведением. Так, на рис. 9 указаны
две амплитуды переменной x1(t, u0) :
Рис. 9. Эволюция амплитуды колебаний в
случае кратных собственных значений.
унимодальная кривая Amp1(t), u0
1 =
= (0, 1;−0, 3; 0, 1; 1)∗ и бимодальная −
Amp2(t), u0
2 = (−0, 2; 0, 4; 0, 2; 1)∗ . Из
сказанного следует, что при исследо-
вании вопросов оптимизации депмфи-
рования, в частности, в задачах пас-
сивной стабилизации, следует учиты-
вать возможность врéмeнного
"раскачивания" системы, причем не
обязательно сразу после получения воз-
мущения.
1. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Оптимальные параметры пассивных систем ориентации
спутников // Космич. исслед. – 1976. – 14, №2. – С.198-208.
2. Sesak J.R., Gronet M.J., Marinos G.M. Passive Stabilization for Large Space Systems //
NASA Contractor Report 4067. – April 1987. – 138 p.
3. Мирер С.А., Сарычев В.А. Оптимальные параметры спутника, стабилизируемого вра-
щением, с демпфером маятникового типа // Космич. исслед. – 1997. – 39, № 6. – С.
651-658.
4. Peiffer K., Savchenko A.Ya. On the some asymptotic behavior of a passively stabilized
system with one critical variable // Rend. Acc. Sc. fis. mat. Napoli. – 2000 – LXVII. – P.
157-168.
5. Truhar N. An efficient algorithm for damper optimization for linear vibrating systems using
Lyapunov equation // J. of Comp. and Appl. Math. – 2004. – 172, № 1. – P. 169-182.
6. Савченко А.Я., Кравченко В.В. О скорости затухания малых колебаний физического
маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации
// Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 106–111.
7. Савченко А.Я., Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Пассивная стабилизация положения
равновесия двузвенного маятника с упругими связями // Там же. – 2006. – Вып. 36. –
С. 104–113.
8. Мирер С.А., Прилепский И.В.Оптимальные параметры гравитационной системы спут-
ник-стабилизатор.– М., 2008. – 28 с. (Препринт / РАН Ин-т прикл. математики).
9. Aydin E., Boduroglu M.H., Guney D.Optimal damper distribution for seismic rehabilitation
of planar building structures // Eng. Struct. – 2007. – 29, № 2. – P. 176-185.
10. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. – М.: Мир,
1982. – 304 с.
11. Osínski Z. Damping of Vibrations. – Rotterdam: aa Balkema, 1998. – 562 p.
Ин-т приклад. математики и механики НАН Украины, Донецк
Донбасcкая национальная акад. строительства и архитектуры,
Макеевка, Украина
techmech@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 21.05.08
135
|