Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК
В дополнение к результатам работы [1] получены замыкающие соотношения для системы уравнений Кирхгофа. Указаны кинематические параметры, которые нужно привлечь, чтобы вместе с системой дифференциальных уравнений Кирхгофа получить замкнутую систему. Остальные геометрические величины найдены из определ...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27997 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК / А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 168-180. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27997 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279972011-10-26T12:09:35Z Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК Илюхин, А.А. Тимошенко, Д.В. В дополнение к результатам работы [1] получены замыкающие соотношения для системы уравнений Кирхгофа. Указаны кинематические параметры, которые нужно привлечь, чтобы вместе с системой дифференциальных уравнений Кирхгофа получить замкнутую систему. Остальные геометрические величины найдены из определяющих их соотношений. Получены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в замыкающих соотношениях. Для одномерной теории указано решение при наличии жесткостной симметрии. Полученные результаты проинтерпретированы в рамках механического подхода к определению конфигураций молекул ДНК. 2008 Article Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК / А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 168-180. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27997 531.38, 575 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В дополнение к результатам работы [1] получены замыкающие соотношения для системы уравнений Кирхгофа. Указаны кинематические параметры, которые нужно привлечь, чтобы вместе с системой дифференциальных уравнений Кирхгофа получить замкнутую систему. Остальные геометрические величины найдены из определяющих их соотношений. Получены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в замыкающих соотношениях. Для одномерной теории указано решение при наличии жесткостной симметрии. Полученные результаты проинтерпретированы в рамках механического подхода к определению конфигураций молекул ДНК. |
| format |
Article |
| author |
Илюхин, А.А. Тимошенко, Д.В. |
| spellingShingle |
Илюхин, А.А. Тимошенко, Д.В. Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК Механика твердого тела |
| author_facet |
Илюхин, А.А. Тимошенко, Д.В. |
| author_sort |
Илюхин, А.А. |
| title |
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК |
| title_short |
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК |
| title_full |
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК |
| title_fullStr |
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК |
| title_full_unstemmed |
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК |
| title_sort |
теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул днк |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27997 |
| citation_txt |
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц и ее применение к исследованию условий замкнутости молекул ДНК / А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 168-180. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT ilûhinaa teoriâuprugihsteržnejsvraŝatelʹnymvzaimodejstviemčasticieeprimeneniekissledovaniûuslovijzamknutostimolekuldnk AT timošenkodv teoriâuprugihsteržnejsvraŝatelʹnymvzaimodejstviemčasticieeprimeneniekissledovaniûuslovijzamknutostimolekuldnk |
| first_indexed |
2025-07-03T07:58:16Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:58:16Z |
| _version_ |
1836611793634459648 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 531.38, 575
c©2008. А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко
ТЕОРИЯ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
С ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ЧАСТИЦ
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ
УСЛОВИЙ ЗАМКНУТОСТИ МОЛЕКУЛ ДНК
В дополнение к результатам работы [1] получены замыкающие соотношения для систе-
мы уравнений Кирхгофа. Указаны кинематические параметры, которые нужно привлечь,
чтобы вместе с системой дифференциальных уравнений Кирхгофа получить замкнутую
систему. Остальные геометрические величины найдены из определяющих их соотношений.
Получены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в замыкающих соот-
ношениях. Для одномерной теории указано решение при наличии жесткостной симметрии.
Полученные результаты проинтерпретированы в рамках механического подхода к опреде-
лению конфигураций молекул ДНК.
Введение. Развитие механики сплошной среды тесно связано с появле-
нием новых математических моделей, рассматривающих частицу материа-
ла не как материальную точку, а как более сложный объект, наделенный
дополнительными свойствами, описывающими микроструктуру материала.
Классическая теория упругости описывает свойства тел, у которых между
частицами действуют центральные силы. Эта теория не всеобъемлюща: она,
в частности, не в состоянии корректно описать закономерности распростра-
нения коротких акустических волн, в особенности в жидких кристаллах, и, в
некоторых случаях, законы пьезоэлектрических явлений, а также аномалии
динамической упругости пластиков и тонких тел [2]. В связи с этим в работах
[2–8] была развита теория упругости сплошных сред, учитывающая момент-
ное (вращательное) взаимодействие частиц – моментная теория упругости.
Поскольку частицы вещества в рамках моментной теории представляют
не точки, а пространственные образования, расположенные на расстояниях,
сравнимых с их размерами, действие одной частицы на другую определяет-
ся целой системой сил и моментов. Взаимодействие любых двух частиц и
необходимо воспроизводить [2] с помощью двух сил FA и F (можно считать,
что они приложены к центрам инерции частиц) и двух моментов MA и MB,
для которых выполняются соотношения:
FA + FB = 0,
MA + MB + rAB × FA = 0,
где rAB – вектор, соединяющий центры инерции частиц. Таким образом, на-
ряду с обычным полем напряжений в микрополярной среде присутствует так-
же и поле моментных напряжений.
Отметим, что экспериментальные исследования структуры и свойств ор-
ганических молекул и кристаллов, проводившиеся в последние годы [9, 10],
168
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц
а также практика химического синтеза свидетельствуют о том, что модель
органической молекулы в виде системы частиц (атомов или групп атомов)
с нецентральным взаимодействием является хорошим приближением к дей-
ствительности [9]. В частности, в случае молекул ДНК в качестве таких со-
ставных частиц рассматривают четыре типа нуклеотидов, образующих двой-
ную спираль. Учитывая сказанное, участок молекулы в виде системы взаи-
мосвязанных частиц можно представить следующим образом (рис. 1):
Рис. 1
Углы φ и θ, обозначенные на рис. 1, характеризуют поворот частиц как
вокруг своей оси, так и относительно водородных связей, соединяющих ком-
поненты двойной спирали.
Применительно к задаче определения пространственной конфигурации
молекулы ДНК, сказанное означает необходимость построения стержневой
модели, учитывающей большие градиенты напряжений, возникающие при
деформациях молекулы. Такая модель позволит оценить интегральное влия-
ние интенсивности моментных взаимодействий компонентов двойной спира-
ли ДНК как на ее способность образовывать замкнутые конфигурации, так
и на возможные формы равновесия вообще, при одинаковых, по сравнению
с ранее рассмотренными моделями, воздействиях внешней среды.
С другой стороны, построение такой модели важно с точки зрения са-
мой теории стержней, поскольку появляется возможность анализа поведения
известных общих и частных решений системы уравнений Кирхгофа и полу-
чения новых с учетом изменения взаимосвязей между силовыми и геометри-
ческими характеристиками поведения стержня.
Данная работа посвящена построению микрополярной стержневой моде-
ли посредством редукции от трехмерной моментной теории упругости к одно-
мерной (теории стержней) с последующим приложением построенной моде-
ли к нахождению условий, при которых молекулы ДНК образуют замкнутые
конфигурации в предположении, что молекула представляет собой стержень,
структурные компоненты которого участвуют в моментных взаимодействиях.
При этом возникает задача обоснования осуществимости редукции от трех-
мерной теории к одномерной и замкнутости основной системы уравнений по-
лученной одномерной теории.
1. Постановка задачи. В работе [1] асимптотическим методом было по-
лучено первое приближение решения задачи о деформации гибкого стержня
169
А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко
в рамках моментной теории упругости, что позволяет поставить задачу: на
основе построенного первого приближения решения получить расщепление
задачи о деформации стержня на совокупность двумерной и одномерной за-
дач. Уравнения для функций u
(2)
i , θ
(2)
i координат точек поперечного сечения
(µ+ε)∆̃u
(2)
1 + 2ε(∇2θ
(2)
3 −∇3θ
(2)
2 ) = 0,
(λ+2µ)∇2∇2u
(2)
2 + (µ + ε)∇3∇3u
(2)
2 + (λ + µ− ε)∇2∇3u
(2)
3 + 2ε∇3θ
(2)
1 =
= λκ
(1)
3 ,
(λ+2µ)∇3∇3u
(2)
3 + (µ + ε)∇2∇2u
(2)
3 + (λ + µ− ε)∇2∇3u
(2)
2 − 2ε∇2θ
(2)
1 =
= −λκ
(1)
2 , (1)
(β+ν)∆̃θ
(2)
1 − 4εθ
(2)
1 + 2ε(∇2u
(2)
3 −∇3u
(2)
2 ) = 0,
(δ+2β)∇2∇2θ
(2)
2 + (β + ν)∇3∇3θ
(2)
2 + (δ + β − ν)∇2∇3θ
(2)
3 −
− 4εθ
(2)
2 + 2ε∇3u
(2)
1 = 2ε(χ(1)
3 + x2κ
(1)
1 ),
(δ + 2β)∇3∇3θ
(2)
3 + (β + ν)∇2∇2θ
(2)
3 + (δ + β − ν)∇2∇3θ
(2)
2 −
− 4εθ
(2)
3 − 2ε∇2u
(2)
1 = −2ε(χ(1)
2 − x3κ
(1)
1 );
и граничные условия для них
(µ + ε)
∂
∂n
u
(2)
1 + 2εe1αβnαθ
(2)
β = −(µ− ε)(nαχ(1)
α + κ
(1)
1 e1αβxαnβ),
n2[(λ + 2µ)∇2u
(2)
2 + λ∇3u
(2)
3 ] + n3[(µ + ε)∇3u
(2)
2 + (µ− ε)∇2u
(2)
3 + 2εθ
(2)
1 ] =
= −λn2(χ
(1)
1 + e1αβκ(1)
α xβ),
n3[(λ + 2µ)∇3u
(2)
3 + λ∇2u
(2)
2 ] + n2{(µ + ε)∇2u
(2)
3 + (µ− ε)∇3u
(2)
2 − 2εθ
(2)
1 } =
= −λn3(χ
(1)
1 + e1αβκ(1)
α xβ), (2)
(β + ν)
∂
∂n
θ
(2)
1 = −(β − ν)nακ(1)
α ,
n2[(δ + 2β)∇2θ
(2)
2 + δ∇3θ
(2)
3 ] + n3[(β + ν)∇3θ
(2)
2 + (β − ν)∇2θ
(2)
3 ] = −δn2κ
(1)
1 ,
n3[(δ + 2β)∇3θ
(2)
3 + δ∇2θ
(2)
2 ] + n2[(β + ν)∇2θ
(2)
3 + (β − ν)∇3θ
(2)
2 ] = −δn3κ
(1)
1 .
170
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц
Полученная система допускает представление решения в виде
u
(2)
2 = ũ
(2)
2 − λχ
(1)
1
2(λ + µ)
x2 − θ̃
(2)
1 x3 +
κ
(1)
3
β + ν
( λβ
λ + 2µ
x2
2 +
β − ν
2
x2
3
)
+
+
β − ν
β + ν
κ
(1)
2 x2x3 + κ(1)
α ν(2)
α ,
u
(2)
3 = ũ
(2)
3 − λχ
(1)
1
2(λ + µ)
x3 + θ̃
(2)
1 x2 − κ
(1)
2
β + ν
( λβ
λ + 2µ
x2
3 +
β − ν
2
x2
2
)
−
− β − ν
β + ν
κ
(1)
3 x2x3 + κ(1)
α ν(3)
α , (3)
u
(2)
1 = ũ
(2)
1 − xαχ(1)
α + k
(1)
1 ν
(1)
1 ,
θ
(2)
1 = θ̃
(2)
1 − β − ν
β + ν
xακ(1)
α + κ(1)
α Θ(3)
α ,
θ
(2)
2 = −χ
(1)
3 − δκ
(1)
1
2(δ + β)
x2 + κ
(1)
1 Θ(2)
1 ,
θ
(2)
3 = χ
(1)
2 − δκ
(1)
1
2(δ + β)
x3 + κ
(1)
1 Θ(3)
1 .
Одномерная задача представляет собой совокупность уравнений Кирхго-
фа
d̃
ds
F + ω × F = 0,
d̃
ds
M + ω ×M + e× F = 0 (4)
и замыкающих соотношений
Fi =
∫
Ω
σ1idΩ, Mi =
∫
Ω
(
eiαkxkσ1k + µ1i
)
dΩ. (5)
В уравнениях (4)
d̃
ds
обозначает относительную производную по дуговой ко-
ординате s в главных осях изгиба и кручения.
Ниже будет обоснована возможность расщепления трехмерной задачи на
уравнения (1)–(5), найден явный вид замыкающих соотношений (5) и про-
анализированы их свойства.
В соотношениях (3) функции ν
(j)
i , Θ(j)
i являются функциями координат
точек только в плоскости поперечного сечения. Для нахождения этих функ-
ций допустим определенный произвол в силу неединственности решения за-
дачи Сен-Венана. Уравнения для нахождения функций ν
(j)
i ,Θ(j)
i можно по-
лучить следующим образом. Запишем шесть дифференциальных уравнений
171
А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко
равновесия для функций ν
(j)
i ,Θ(j)
i , используя соотношения (3). В получен-
ных соотношениях приравняем нулю коэффициенты при величинах κ
(1)
i , в
результате получим уравнения для нахождения девяти неизвестных функ-
ций ν
(j)
i , Θ(j)
i :
2λβ
β + ν
+ (λ + 2µ)∇2
2ν
(2)
3 + (µ + ε)
β − ν
β + ν
+ (µ + ε)∇2
3ν
(2)
3 − (λ + µ− ε)
β − ν
β + ν
+
+ (λ + µ− ε)∇2∇3ν
(3)
3 − 2ε
β − ν
β + ν
+ 2ε∇3Θ
(3)
3 − λ = 0,
(λ + 2µ)∇2
2ν
(2)
2 + (µ + ε)∇2
3ν
(2)
2 + (λ + µ− ε)∇2∇3ν
(3)
2 + 2ε∇3Θ
(3)
2 = 0,
(µ + ε)∆̃ν
(1)
1 + 2ε(∇2Θ
(3)
1 +∇3Θ
(2)
1 ) = 0,
− 2λβ
β + ν
+ (λ + 2µ)∇2
3ν
(3)
2 − (µ + ε)
β − ν
β + ν
+ (µ + ε)∇2
2ν
(3)
2 − (λ + µ− ε)
β − ν
β + ν
+
+ (λ + µ− ε)∇2∇3ν
(2)
2 + 2ε
β − ν
β + ν
− 2ε∇2Θ
(3)
2 + λ = 0, (6)
(λ + 2µ)∇2
3ν
(3)
3 + (µ + ε)∇2
2ν
(3)
3 + (λ + µ− ε)∇2∇3ν
(2)
3 + 2ε∇3Θ
(3)
3 = 0,
(β + ν)∆̃Θ(3)
2 + 2ε(∇2ν
(3)
2 −∇3ν
(2)
2 − 2Θ(3)
2 ) = 0,
(β + ν)∆̃Θ(3)
3 + 2ε(∇2ν
(3)
3 −∇3ν
(2)
3 − 2Θ(3)
3 ) = 0,
(δ + 2β)∇2
2Θ
(2)
1 + (β + ν)∇2
3Θ
(2)
1 + (δ + β − ν)∇2∇3Θ
(3)
1 +
+
(
2ε
δ
δ + β
− 1
)
x2 − 4εΘ(2)
1 + 2ε∇3ν
(1)
1 = 0,
(δ + 2β)∇2
3Θ
(3)
1 + (β + ν)∇2
2Θ
(3)
1 + (δ + β − ν)∇2∇3Θ
(2)
1 +
+
(
2ε
δ
δ + β
− 1
)
x3 − 4εΘ(3)
1 − 2ε∇2ν
(1)
1 = 0.
Граничные условия для функций ν
(j)
i , Θ(j)
i имеют вид
λ(n2ν
(2)
2 + n3ν
(3)
2 ) = 0, n2∇2Θ
(3)
2 − n3∇3Θ
(3)
2 = 0, n2∇2Θ
(3)
3 + n3∇3Θ
(3)
3 = 0,
n2(δ + 2β)∇2Θ
(2)
1 + n3 (β + ν)∇3Θ
(2)
1 = 0, (7)
(β − ν) n2Θ
(3)
3 − (β + ν)n3Θ
(3)
2 = 0,
n2(β − ν)∇2Θ
(3)
1 + n3δ∇3Θ
(3)
1 = 0.
172
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц
Девять уравнений (6) для девяти неизвестных ν
(j)
i , Θ(j)
i являются незави-
симыми, что указывает на расщепление трехмерной задачи на систему дву-
мерных уравнений для нахождения функций ν
(j)
i ,Θ(j)
i координат точек попе-
речного сечения и одномерных уравнений для нахождения функций дуговой
координаты.
Используя формулы (5), получим следующие выражения для компонент
Mi вектора-момента:
M1 = (B1 + A1)ω1, M2 = B22ω2 + (B23 + A2)ω3,
M3 = (B31 + A3)ω2 + B33ω3,
(8)
где
B1 =
∫∫
Ω
(
µx2∇3ν
(1)
1 + µx2
2 −
εδ
δ + β
x2
2 + 2εx2Θ
(2)
1 + εx2
2 − εx2∇3ν
(1)
1 −
− µx3∇2ν
(1)
1
)
dΩ +
∫∫
Ω
(
µx2
3 −
εδ
δ + β
x2
3 + 2εx3Θ
(3)
1 + εx3∇2ν
(1)
1 + εx2
3
)
dΩ,
A1 =
∫∫
Ω
δ
(
∇2Θ
(2)
1 +∇3Θ
(3)
1
)
dΩ,
B22 =
∫∫
Ω
(
2µ
(
1 +
2λβ
(β + ν)(λ + 2µ)
)
x2
3 + λ
(∇2ν
(2)
2 +∇3ν
(3)
2
)
x3
)
dΩ,
B23 =
∫∫
Ω
(
−2µ
(
1 +
2λβ
(β + ν)(λ + 2µ)
)
x2x3 + λ
(∇2ν
(2)
3 +∇3ν
(3)
3
)
x3
)
dΩ,
A2 =
∫∫
Ω
(β − ν)∇2Θ
(3)
3 dΩ, (9)
B31 =
∫∫
Ω
λ
(∇2ν
(2)
2 +∇3ν
(3)
2
)
x2dΩ,
B33 =
∫∫
Ω
(
2µ
(
1 +
2λβ
(β + ν)(λ + 2µ)
)
x2
2 + λ
(∇3ν
(2)
3 −∇3ν
(3)
3
)
x2
)
dΩ,
A3 =
∫∫
Ω
(β + ν)∇3Θ
(3)
2 dΩ.
Коэффициенты Ai в соотношениях (9) характеризуют вклад моментных
напряжений, возникающих между частицами в процессе деформации, в ве-
личину компонент вектора-момента.
173
А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко
Анализ выражения для коэффициента B23 показывает, что интеграл
∫∫
Ω
−2µ
(
1 +
2λβ
(β + ν)(λ + 2µ)
)
x2x3dΩ
обращается в нуль как интеграл в главных осях инерции поперечного сечения.
Таким образом, выражение для коэффициента B23 принимает вид
B23 =
∫∫
Ω
λ
(
∇2ν
(2)
3 +∇3ν
(3)
3
)
x3dΩ.
Применим к последнему интегралу формулу Грина, тогда
B23 =
∫
Γ
λ
(
n2ν
(2)
3 + n3ν
(3)
3
)
dΓ.
Интеграл в правой части обращается в нуль в силу граничных условий (7).
Следовательно, имеет место равенство
B23 = 0.
Анализируя соотношение для коэффициента B31, с учетом граничных
условий (7) получим
B31 = 0.
Таким образом, показано, что величины B23 и B31 в соотношениях (8)
обращаются в нуль без каких-либо дополнительных ограничений на харак-
тер деформаций или свойства деформируемого объекта. Последнее означает,
что учет моментных напряжений не приводит к изменению структуры замы-
кающих соотношений системы уравнений Кирхгофа посредством появления
величин γi , зависящих от силовых напряжений, что имело место в случае
естественно закрученного стержня [11]. Следовательно, при отсутствии мо-
ментных напряжений (Ai = 0) замыкающие соотношения (8) переходят в
соотношения, соответствующие классической теории Кирхгофа.
Проанализируем величины Ai. Можно показать, что коэффициент A1 яв-
ляется величиной неотрицательной, таким образом, учет моментных напря-
жений приводит к увеличению сопротивления материала стержня деформа-
ции растяжения (увеличению суммарной жесткости) и, как следствие, к уве-
личению растягивающего момента M1 .
Рассмотрим выражения для коэффициентов A2 и A3 :
A2 =
∫∫
Ω
(β − ν)∇2Θ
(3)
3 dΩ, A3 =
∫∫
Ω
(β + ν)∇3Θ
(3)
2 dΩ;
вычтем из A2 величину A3, получим
A2 −A3 =
∫∫
Ω
(
(β − ν)∇2Θ
(3)
3 − (β + ν)∇3Θ
(3)
2
)
dΩ.
174
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц
В последнем равенстве воспользуемся формулой Грина:
A2 −A3 =
∫
Γ
(
(β − ν) n2Θ
(3)
3 − (β + ν) n3Θ
(3)
2
)
dΓ, (10)
где Γ – контур поперечного сечения. В силу граничных условий (7) подынте-
гральное выражение в (10) обращается в нуль, откуда следует, что
A2 = A3 = A. (11)
Равенство (11) носит общий характер, поскольку получено без каких-либо
дополнительных ограничений на систему уравнений трехмерной задачи.
Соотношения (8) для компонент Mi вектора-момента представляют со-
бой замыкающие соотношения для системы уравнений Кирхгофа. С учетом
произведенного анализа эти соотношения принимают вид
M1 = B̃1ω1, M2 = B2ω2 + Aω3, M3 = B3ω3 + Aω2, (12)
где B̃1 = B1 + A1, а Bi = Bii (i = 1, 2).
Соотношения (12) совместно с системой уравнений Кирхгофа представля-
ют собой замкнутую систему, описывающую деформации стержня под дей-
ствием концевых нагрузок с учетом моментных напряжений, возникающих в
процессе деформации между частицами, из которых состоит материал стерж-
ня.
2. Исследование общих соотношений одномерной теории. Система
уравнений Кирхгофа для рассматриваемой модели сохраняет свой вид:
dM1
ds
+ ω2M3 − ω3M2 = 0,
dM2
ds
+ ω3M1 − ω1M3 + Pγ3 = 0,
dM3
ds
+ ω1M2 − ω2M1 − Pγ2 = 0;
dγ1
ds
+ γ3ω2 − γ2ω3 = 0,
dγ2
ds
+ γ1ω3 − γ3ω1 = 0,
dγ3
ds
+ γ2ω1 − γ1ω2 = 0,
(13)
а замыкающие соотношения приведены к виду (12).
Система (13) без дополнительных ограничений на коэффициенты соотно-
шений (12) допускает следующие два интеграла:
γ2
1 + γ2
2 + γ2
3 = 1, (14)
M1γ1 + M2γ2 + M3γ3 = K. (15)
Как видно, структура геометрического интеграла и интеграла площадей со-
храняется по сравнению с теорией Кирхгофа, в то же время, интеграл энергии
имеет вид
B̃1ω
2
1 + B2ω
2
2 + B3ω
2
3 + 2Aω2ω3 − 2Pγ1 = 2H. (16)
175
А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко
При дополнительном условии B2 = B3 система (13) допускает четвертый
интеграл, который следует из первого уравнения системы:
B̃1ω
2
1 + 2Aω2ω3 + 2
A
B2
Pγ1 = C. (17)
Преобразовав интегралы (15) и (16) с помощью кинематических уравне-
ний Эйлера, получим следующее уравнение для нахождения величины γ1:
n2
(dν
ds
)2
= f (ν) =
[
h + (a2 + 1) ν
] (
1− ν2
)− [
(an (a− 1)− b) ν + β
]2
, (18)
где введены обозначения
√
B2/2P = n, (2H − C)/2P = h, a =
A
B1
, a2 =
A
B2
,
K/
√
2PB2 = β, γ1 = cosϑ = ν.
(19)
Так как левая часть уравнения (18) неотрицательна, возникает необходи-
мость определить те значения ν, при которых выполнено условие f (ν) ≥ 0.
В силу свойств системы дифференциальных уравнений (13) ее решение опре-
делено при любых начальных значениях ϑ|s=0 = ϑ0 (при этом необходимо
иметь в виду соответствующие начальным значениям переменных значения
безразмерных параметров). Поэтому можно считать выполненным неравен-
ство f (ν0) = f (cosϑ0) ≥ 0 , |ν0| ≤ 1 . Заметим далее, что f (−∞) > 0,
f (−1) ≤ 0, f (1) ≤ 0. Отсюда следует, что уравнение f (ν) = 0 имеет три дей-
ствительных корня. Один корень принадлежит полуоси ν ≤ −1, а два других
находятся в интервале (−1; 1). Обозначим эти корни ν1, ν2, ν3 в соответствии
с их расположением на числовой оси: ν1 ≤ −1 ≤ ν2 ≤ ν3 ≤ 1. Функция f (ν)
будет принимать следующие значения:
f (ν) > 0 для ν < ν1 ≤ −1, f (ν) < 0 для ν1 < ν < ν2,
f (ν) > 0 для ν2 < ν ≤ ν3, f (ν) < 0 для ν > ν3.
Учитывая, что ν = cosϑ не превосходит по абсолютной величине единицы,
областью определения правой части дифференциального уравнения (18) сле-
дует cчитать отрезок
ν2 ≤ ν ≤ ν3. (20)
Перепишем уравнение (18), воспользовавшись разложением полинома f (ν):
n2
(dν
ds
)2
= (a2 + 1) (ν3 − ν) (ν − ν2) (ν − ν1) . (21)
С целью определения зависимости ν = ν (s) выполним ряд последова-
тельных преобразований. После замены ν = ν3 − (ν3 − ν2) w2 уравнение (21)
примет вид (
dw
ds
)2
= m2
(
1− w2
) (
1− k2w2
)
, (22)
176
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц
где m =
1
2b
√
ν3 − ν2 , k2 =
ν3 − ν2
ν3 − ν1
, причем интервал изменения переменной
w фиксирован
0 ≤ w2 ≤ 1. (23)
Обе величины в скобках в уравнении (22) положительны, когда w2 изме-
няется в интервале (23), так как k2 < 1.
Полагая w = sin x, решение уравнения (22) представим в нормальной фор-
ме Лежандра
m (s− s1) =
x∫
0
dx√
1− k2 sin2 x
, (24)
или, в обозначениях Лежандра, m (s− s1) = F (k, x) . С помощью функций
Якоби равенство (24) представим в виде w = snm (s− s1) . Окончательно
получаем
ν = ν3 − (ν3 − ν2) sn2m (s− s1) . (25)
3. Цилиндрические координаты точек упругой линии. Определив
зависимость ν от s , можно считать зависимость других величин от s также
известной, если они заданы как функции ν. Используем метод [12] представ-
ления оси стержня в цилиндрической системе координат в виде пересечения
цилиндрической поверхности
ρ2 = 4n2
(
δ + (a + 1) ν + (a + a2) ν2
)
, (26)
dα
ds
=
β (a + 1) ν + β (a + a2) ν2 − (nb + a (a + a2))
2n (δ + (a + 1) ν + a (a + a2) ν2)
(27)
и поверхности вращения
ρ2 = 4n2
(
δ + (a + 1) ν + (a + a2) ν2
)
,
dζ
ds
= ν. (28)
Для дальнейших исследований удобно в соотношениях (27) и (28) перейти
к дифференцированию по переменной ν:
dα
dν
=
β (a + 1) ν + β (a + a2) ν2 − (b + a (a + a2))
2n (δ + (a + 1) ν + a (a + a2) ν2)
√
f(ν)
,
dζ
dν
=
ν√
f(ν)
. (29)
Условия замкнутости проекций имеют вид
m∆α = m
ν3∫
ν2
β(a + 1)ν + β(a + a2)ν2 − (b + a(a + a2))
2n(δ + (a + 1)ν + a(a + a2)ν2)
√
f(ν)
dν = 2πk, (30)
∆ζ =
ν3∫
ν2
ν√
f(ν)
dν = 0. (31)
177
А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко
Границами промежутков интегрирования в (30) и (31) служат корни по-
линома f (ν) ; кроме того, интегралы (30) и (31) имеют в точках ν2 и ν3
особенность, устранимую при помощи следующей замены:
ν =
ν2 + ν3
2
+
ν3 − ν2
2
sinu, (32)
где −π
2
≤ u ≤ π
2
, ν2, ν3 – корни полинома f (ν) .
Применяя преобразование (32) к интегралам (30) и (31), а затем разла-
гая подынтегральные функции в ряд Тейлора до пятого порядка, получим
следующие представления условий замкнутости:
для проекции α (ρ)
m
(
π(h + 3β)3
√
−3a2
2 + 8a2 + 27
3
√
(aβ + n4 − (h + a2)2 + 3h− 12aa2βh + h2n3)4 +
√
5
+ β2+
+ (a + n)3 − a2h +
πn
3
√
n5 +
√
15h
((a + a3
2)2 + 3)
√
−a2 −√5a +
√
29
)5
= 2πk; (33)
для проекции ζ (ρ)
(
2hπ3 + n (a2 + 1) + βa (2a2 − 1)
) (
n + 2β (a + 1)π5 − 2
)
= 0. (34)
Из соотношения (33) вытекают дополнительные ограничения для пара-
метров a и a2:
1
2
(
√
5−
√
5 + 4
√
29) < a <
1
2
(
√
5 +
√
5 + 4
√
29), (35)
4−
√
97 < a2 < 4 +
√
97. (36)
Соотношения (33), (34) описывают поверхности в пространстве параметров
a, a2, n , h, β. При этом на пересечении указанных поверхностей (т. е. при
удовлетворении параметров сразу двум соотношениям) осуществляется од-
новременная замкнутость обеих проекций. Ограничения (35), (36) можно ин-
терпретировать в том смысле, что учет взаимодействий структурных компо-
нентов молекулы приводит к ограничениям на физические параметры моле-
кулы, а также, что не менее важно, на возможность образования замкнутых
конфигураций.
Следует отметить, что при отсутствии учета моментных взаимодействий,
(33) и (34) переходят в соотношения, описывающие множество замкнутых
конфигураций для случая прямолинейного исходного состояния с равными
жесткостями на изгиб, полученные в [13]. Последнее показывает преемствен-
ность построенной модели по отношению к классической теории Кирхгофа.
178
Теория упругих стержней с вращательным взаимодействием частиц
λ = 1 λ = 2 λ = 3 λ = 4
Рис. 2
В заключение приведены примеры замкнутых конфигураций молекулы
для следующих значений набора параметров решения:
a = λ10−4, a2 = β = λ10−3, n = λ10−5, h = λ10−2 (λ = 1, 4; см. рис. 2)
и a = λ10−4, a2 = β = λ10−3, n = λ10−5 h = λ10−2, (λ = 1, 3; см. рис. 3)
λ = 1 λ = 2 λ = 3
Рис. 3
Замкнутые конфигурации построены с помощью методов численного ана-
лиза [13] для соотношений (33), (34) и уравнений (29).
1. Илюхин А.А., Щепин Н.Н. К моментной теории упругих стержней // Изв. вузов.
Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. – 2001. – С. 92–94.
2. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращатель-
ным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. – 1960. – 2, № 7. – С. 1399–1409.
3. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости //
Там же. – 1969. – 5, № 9. – С. 2591–2598.
4. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикл. ма-
тематика и механика. – 1964. – 28, вып. 3. – С. 401–408.
5. Шкутин Л.И. Нелинейные модели деформируемых моментных сред // Прикл. меха-
ника и техн. физика. – 1980. – № 6. – С. 111–117.
6. Шкутин Л.И. Обобщенные модели типа Коссера для анализа конечных деформаций
тонких тел // Там же. – 1996. – 37, № 3. – С. 120–132.
179
А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко
7. Еремеев В.А. Об устойчивости упругих тел с моментными напряжениями // Изв. РАН.
Механика твердого тела. – 1994. – № 3. – C. 181–190.
8. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps deformables. – Paris, 1909. – 226 pp. (Appendix,
p. 953–1173 of Chwolson’s Traite de Physicue. 2nd ed., Paris).
9. Китайгородский А.И. Невалентные взаимодействия атомов в органических кристал-
лах и молекулах // Успехи физ. наук. – 1979. – 127, вып. 3. – С. 391–419.
10. Frank-Kamenetskii M.D., Lukashin A.V., Anshelevich V.V., Vologodskii A.V. Torsional and
bending rigidity of the double helix from data on small DNA rings // J. Biomol. Struct.
Dynam. – 1985. – 2. – P. 1005–1012.
11. Илюхин А.А., Тимошенко Д.В. Решение задачи о деформации естественно закручен-
ного и растяжимого стержня и применение его к исследованию условий замкнутости
молекул ДНК // См. статью в наст. сб. – С. 161–167.
12. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. – Киев:
Наук. думка, 1979. – 216 с.
13. Илюхин А.А., Тимошенко Д.В. О существовании замкнутых конформаций молекул
ДНК // Сб. тр. Междунар. научно-техн. конф. “Математические модели и алгоритмы
для имитации физических процессов”, (11–14 сентября, 2006, Россия, Таганрог). – 2006.
– С. 250–255.
Гос. педагогический институт, Таганрог, Россия
stab@tgpi.org.ru, dmitrytim@yandex.ru
Получено 15.09.08
180
|