Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости
Рассмотрены свободные колебания двусвязных упругих пластинок, находящихся на свободной и внутренней поверхностях двухслойной идеальной жидкости. Жидкость заполняет двусвязную цилиндрическую полость произвольного поперечного сечения. Пластинки жестко закреплены по внутреннему и внешнему контуру двусв...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27998 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости / А.Ю. Карнаух // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 181-188. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-27998 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-279982011-10-26T12:15:14Z Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости Карнаух, А.Ю. Рассмотрены свободные колебания двусвязных упругих пластинок, находящихся на свободной и внутренней поверхностях двухслойной идеальной жидкости. Жидкость заполняет двусвязную цилиндрическую полость произвольного поперечного сечения. Пластинки жестко закреплены по внутреннему и внешнему контуру двусвязной цилиндрической полости. Получено частотное уравнение и условие устойчивости положения равновесия рассматриваемой механической системы. На примере коаксиальной цилиндрической полости проведено исследование условий устойчивости. 2008 Article Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости / А.Ю. Карнаух // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 181-188. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27998 533.6.013.42 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрены свободные колебания двусвязных упругих пластинок, находящихся на свободной и внутренней поверхностях двухслойной идеальной жидкости. Жидкость заполняет двусвязную цилиндрическую полость произвольного поперечного сечения. Пластинки жестко закреплены по внутреннему и внешнему контуру двусвязной цилиндрической полости. Получено частотное уравнение и условие устойчивости положения равновесия рассматриваемой механической системы. На примере коаксиальной цилиндрической полости проведено исследование условий устойчивости. |
| format |
Article |
| author |
Карнаух, А.Ю. |
| spellingShingle |
Карнаух, А.Ю. Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости Механика твердого тела |
| author_facet |
Карнаух, А.Ю. |
| author_sort |
Карнаух, А.Ю. |
| title |
Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости |
| title_short |
Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости |
| title_full |
Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости |
| title_fullStr |
Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости |
| title_sort |
об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/27998 |
| citation_txt |
Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости / А.Ю. Карнаух // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 181-188. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT karnauhaû obustojčivostikolebanijdvusvâznyhuprugihplastinokvdvuhslojnojidealʹnojžidkosti |
| first_indexed |
2025-07-03T07:58:20Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:58:20Z |
| _version_ |
1836611797927329792 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 533.6.013.42
c©2008. А.Ю. Карнаух
ОБ УСТОЙЧИВОСТИКОЛЕБАНИЙДВУСВЯЗНЫХУПРУГИХ
ПЛАСТИНОК В ДВУХСЛОЙНОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрены свободные колебания двусвязных упругих пластинок, находящихся на сво-
бодной и внутренней поверхностях двухслойной идеальной жидкости. Жидкость заполня-
ет двусвязную цилиндрическую полость произвольного поперечного сечения. Пластинки
жестко закрепленны по внутреннему и внешнему контуру двусвязной цилиндрической по-
лости. Получено частотное уравнение и условие устойчивости положения равновесия рас-
сматриваемой механической системы. На примере коаксиальной цилиндрической полости
проведено исследование условий устойчивости.
В настоящей статье обобщены результаты работ [1–4] на случай двусвяз-
ных упругих пластинок и произвольной двусвязной цилиндрической полости.
Рассмотрено три частных случая: двусвязная упругая пластинка находится
только на свободной поверхности двухслойной жидкости, разделяет жидко-
сти разной плотности, находится на свободной поверхности однородной жид-
кости.
1. Постановка задачи. Рассмотрим колебания двухслойной идеальной
несжимаемой жидкости с плотностями ρi (i = 1, 2), находящейся в двусвяз-
ной цилиндрической полости произвольного поперечного сечения с областью
S. На свободной поверхности верхней жидкости (i = 1) и на поверхности раз-
дела жидкостей (внутренней поверхности) находятся упругие пластинки с
растягивающими усилиями Ti в срединной плоскости. Пластинки жестко за-
креплены по внешнему и внутреннему контуру двусвязной цилиндрической
полости, считаются изотропными и обладают изгибной жесткостью Di. Cи-
стему координат Oxyz расположим так, чтобы плоскость Oxy находилась на
невозмущенной свободной поверхности, а ось Oz была направлена противопо-
ложно вектору ускорения силы тяжести g. Колебания жидкостей и пластин
будем рассматривать в линейной постановке, считая движения жидкостей
потенциальными, а совместные колебания пластин и жидкости – безотрыв-
ными.
Уравнения движения рассматриваемой механической системы имеют вид
[4]
∆Φi = 0 (i = 1, 2),
k0i
∂2Wi
∂t2
+ Di∆2
2Wi − Ti∆2Wi = (1)
= Pi − Pi−1 при z = 0 (i = 1) и z = −h1 (i = 2)
181
А.Ю. Карнаух
с граничными условиями:
∂Φi
∂ν
∣∣∣∣
Σj
= 0 (j = 1, 2),
∂Φ2
∂z
∣∣∣∣
z=−h1−h2
= 0 ,
∂Φ1
∂z
=
∂W1
∂t
при z = 0,
∂Φ1
∂z
=
∂Φ2
∂z
=
∂W2
∂t
при z = −h1,
Wi|γj
=
∂Wi
∂ν
∣∣∣∣
γj
= 0 (j = 1, 2) , Wi, ∇Wi < ∞,
∫
S
Wids = 0.
Здесь Φi – потенциал скорости i-ой жидкости; ∆ и ∆2 – трехмерный и двумер-
ный операторы Лапласа; Wi – прогиб i-ой пластинки; ν – орт внешней норма-
ли к смачиваемой двусвязной цилиндрической поверхности Σj ; γj – внешний
(j = 1) и внутренний (j = 2) контуры двусвязной области S; hi – глубина за-
полнения i-ой жидкостью цилиндрической полости; ρ0i и δ0i – соответственно
плотность и толщина i-ой пластинки; k0i = ρ0iδ0i; Pi = −ρi(∂Φi/∂t+gz+Qi) –
гидродинамическое давление в i-ой жидкости (P0 = 0), Qi(t) – произвольная
функция времени.
Будем исследовать собственные колебания рассматриваемой механиче-
ской системы (1). Для этого положим
Φi = ϕi (x, y, z) cos σt, Wi = wi (x, y) sinσt. (2)
Представим функции ϕi и wi в виде, аналогичном [4, 5],
ϕi =
∞∑
n=1
(
Aineknz + Bine−knz
)
ψn(x, y),
wi =
4∑
k=1
A0
ik
w0
ik +
∞∑
n=1
C̃inψn(x, y) =
∞∑
n=1
ζinψn(x, y),
(3)
где
ζin =
4∑
k=1
αinkA
0
ik
+ C̃in, αink =
1
N2
n
∫
S
w0
ikψnds, N2
n =
∫
S
ψ2
nds,
w0
ik – четыре линейно независимые ограниченные решения однородного урав-
нения
Di∆2
2w
0
ik − Ti∆2w
0
ik +
(
g∆ρi − koiσ
2
)
w0
ik = 0 (i = 1, 2; k = 1, 4), (4)
∆ρi = ρi − ρi−1 (ρ0 = 0).
Собственные функции ψn и соответствующие им собственные числа kn
находятся из краевой задачи [6]
{
∆2ψn + k2
nψn = 0, (x, y) ∈ S,
∂ψn/∂ν|γj
= 0 (j = 1, 2) .
182
Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок
Подставив соотношения (2), (3) в систему уравнений (1) и воспользовав-
шись ортогональностью функций ψn на области S, получим
kn (A1n −B1n) = σζ1n,
kn (A2ne−κ1n −B2neκ1n) = σζ2n,
A1ne−κ1n −B1neκ1n = A2ne−κ1n −B2neκ1n ,
A2ne−κ1n−κ2n −B2neκ1n+κ2n = 0;
(5)
{
d1nC̃1n = σρ1 (A1n + B1n) ,
d2nC̃2n = σ [(ρ2A2n − ρ1A1n) e−κ1n + (ρ2B2n − ρ1B1n) eκ1n ] .
(6)
Здесь din =
(
Dik
2
n + Ti
)
k2
n + ∆ρig − koiσ
2, κin = kn hi (i = 1, 2).
Система уравнений (5) имеет решение
A1n = σ (eκ1nζ1n − ζ2n) /(2kn shκ1n) , A2n = σeκ1n+κ2nζ2n/(2kn shκ2n), (7)
B1n = σ
(
e−κ1nζ1n − ζ2n
)
/(2kn shκ1n) , B2n = σe−κ1n−κ2nζ2n/(2kn shκ2n).
Из соотношений (3), (6) и () следуют уравнения для C̃1n и C̃2n{
T̃1nC̃1n + bnC̃2n = a1nÃ1n − bnÃ2n,
bnC̃1n + T̃2nC̃2n = −bnÃ1n + a2nÃ2n,
(8)
где T̃in = Tin − ain, Ãin =
4∑
k=1
αinkA
0
ik, ain = ρi−1 cth κi−1n + ρi cthκin,
Tin = kndin/σ2, bn = ρ1/ shκ1n.
Решение системы (8) следующее:
C̃1n =
1
∆n
[(
a1nT̃2n + b2
n
)
Ã1n − bnT2nÃ2n
]
(1 → 2). (9)
Здесь ∆n = T̃1nT̃2n − b2
n; запись (1 → 2) означает, что второе соотношение
получается из первого циклической перестановкой индексов 1 и 2.
Подставив (9) во второе равенство (3), получим
w1 =
4∑
k=1
[
(
w0
1k +
∞∑
n=1
(
a1nT̃2n + b2
n
)
α1nkψn/∆n
)
A0
1k−
−
( ∞∑
n=1
bnT̃2nα2nkψn/∆n
)
A0
2k] (1 → 2).
(10)
Неизвестные константы A0
ik
(
i = 1, 2; k = 1, 4
)
и уравнение собственных ча-
стот определяются из граничных условий жесткого закрепления пластинок
4∑
k=1
[(
B1kj +
∞∑
n=1
β1nkB
∗
nj
)
A0
1k −
( ∞∑
n=1
T2nkB
∗
nj
)
A0
2k
]
= 0,
4∑
k=1
C1kjA
0
1k = 0 (1 → 2),
(11)
183
А.Ю. Карнаух
где w0
ik
∣∣
γj
= Bikj , ∂w0
ik/∂ν
∣∣
γj
= Cikj , ψn|γj
= B∗
nj , β1nk = (a1nT̃2n+
+b2
n)α1nk/∆n (1 → 2), Tink = T̃inbnαink/∆n.
Из равенства нулю определителя однородной системы (11) получаем урав-
нение частот ∣∣∣‖Cjk‖8
j,k=1
∣∣∣ = 0. (12)
Здесь
Cjk = B1kj +
∞∑
n=1
β1nkB
∗
nj , Cj,k+4 = −
∞∑
n=1
T2nkB
∗
nj ,
Cj+2,k = C1kj , Cj+2,k+4 = 0,
Cj+4,k = −
∞∑
n=1
T1nkB
∗
nj , Cj+4,k+4 = B2kj +
∞∑
n=1
β2nkB
∗
nj ,
Cj+6,k = 0, Cj+6,k+4 = C2kj ,
(
k = 1, 4, j = 1, 2
)
.
2. Частные случаи исходной задачи.
2.1. Упругая двусвязная пластинка находится только на свобод-
ной поверхности двухслойной жидкости (T2 = 0, D2 = 0, k02 = 0). В
этом случае A0
2k = 0, C̃2n = ζ2n и уравнение (12) запишется так
∣∣∣‖Cjk‖4
j,k=1
∣∣∣ = 0, (13)
где Cjk = B1kj +
∞∑
n=1
β1nkB
∗
nj , Cj+2,k = C1kj (j = 1, 2; k = 1, 4).
В первом приближении (n = 1) уравнение (13) имеет вид
f1(B1kj , C1kj)
T11T̃21
∆1
= 0
и содержит корни
σ2
1 =
gρ1 + (D1k
2
1 + T1)k2
1
k01
, σ2
2 =
gk1(ρ2 − ρ1)
a21
уравнений T11 = 0 и T̃21 = 0.
Если предположить, что уравнение f1(B1kj , C1kj) = 0 не имеет корней, то
в первом приближении существует только две частоты собственных колеба-
ний двухслойной жидкости с упругой двусвязной пластинкой на свободной
поверхности. Первая частота определяется параметрами упругой пластинки
и плотностью верхней жидкости и не зависит от глубин заполнения жидко-
стей и плотности нижней жидкости. Вторая частота определяется частотой
колебаний внутренней поверхности при абсолютно жесткой верхней пластин-
ке (T1 = ∞ или D1 = ∞). Следует отметить, что для безынерционной
пластинки (ρ01δ01 = 0) существует только вторая частота, так как в этом
184
Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок
случае коэффициенты B1kj , C1kj не зависят от σ2, и в первом приближении
других корней нет.
2.2. Упругая двусвязная пластинка находится только на поверх-
ности раздела двухслойной жидкости (случай частичного заполне-
ния верхней жидкости) (T1 = 0, D1 = 0, k01 = 0). Пусть упругая пла-
стинка разделяет жидкости разной плотности. В этом случае
A0
1k = 0, C̃1n = ζ1n и уравнение (12) запишется следующим образом
∣∣∣‖Cjk‖8
j,k=5
∣∣∣ = 0, (14)
где Cj+4,k+4 = B2kj +
∞∑
n=1
β2nkB
∗
nj , Cj+6,k+4 = C2kj , (j = 1, 2; k = 1, 4). В
первом приближении (n = 1) уравнение (14) имеет вид
f2(B2kj , C2kj)
T21T̃11
∆1
= 0
и содержит корень уравнения T21 = 0:
σ2 =
g(ρ2 − ρ1) + (D2k
2
1 + T2)k2
1
k02
.
При естественной стратификации (ρ1 ≤ ρ2) из последнего соотношения сле-
дует, что σ2 > 0, а при ρ1 > ρ2, когда более тяжелая жидкость находится
выше менее тяжелой, величина σ2 может быть отрицательной. Для положи-
тельности σ2 необходимо потребовать, чтобы
ρ1 − ρ2 <
(D2k
2
1 + T2)k2
1
g
. (15)
Условие (15) не зависит от глубин h1 и h2 заполнения жидкостей и массы
внутренней пластинки.
Таким образом, при невыполнении условия (15) может произойти потеря
устойчивости плоской формы равновесия упругой пластинки, разделяющей
жидкости разной плотности.
2.3. Упругая двусвязная пластинка находится только на внут-
ренней поверхности двухслойной жидкости (случай полного запол-
нения верхней жидкости) ( T1 = ∞ или D1 = ∞) . Переходя к пределу
в (12) при T1 →∞ , получим уравнение, аналогичное (14), в котором следует
изменить только коэффициент Cj+4, k+4:
Cj+4, k+4 = B2kj +
∞∑
n=1
a2nα2nkB
∗
nj
T2n
.
185
А.Ю. Карнаух
2.4. Глубина заполнения верхней жидкости бесконечно большая
(h1 = ∞). В этом случае bn = 0, Cj, k+4 = Cj+4, k = 0 и уравнение (12) таково
∣∣∣‖Cjk‖4
j,k=1
∣∣∣
∣∣∣‖Cjk‖8
j,k=5
∣∣∣ = 0.
Таким образом, при достаточно большой глубине заполнения верхней жидко-
сти уравнение (12) распадается на два уравнения. Первое описывает собствен-
ные частоты колебания упругой пластинки, расположенной на свободной по-
верхности однородной жидкости с бесконечно большой глубиной заполнения,
а второе – колебания упругой пластинки, расположенной на поверхности раз-
дела. В этом случае отсутствует взаимовлияние упругих колебаний двух пла-
стинок.
2.5. Односвязная цилиндрическая полость. Если цилиндрическая
полость будет односвязной, то исключается из рассмотрения контур γ2, в
формуле (4) полагается k = 1, 2 и частотное уравнение (12) запишется так
∣∣∣∣∣∣∣
C11 C12 C15 C16
C31 C32 0 0
C51 C52 C55 C56
0 0 C75 C76
∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
Это уравнение совпадает с аналогичным уравнением работы [4].
3. Устойчивость совместных колебаний упругих пластинок и жид-
кости. Условия устойчивости совместных колебаний рассматриваемой меха-
нической системы определяются действительностью корней частотного урав-
нения (12). Однако, с достаточной для практики точностью, условия устой-
чивости плоского равновесного положения упругих пластинок, по аналогии
с работами [1–3], могут быть найдены из статической постановки задачи. В
этом случае краевая задача для статического прогиба i-ой пластинки имеет
вид
Di∆2
2Wi − Ti∆2Wi + g∆ρiWi = 0, Wi|γj
=
∂Wi
∂ν
∣∣∣∣
γj
= 0,
∫
S
Wids = 0 (16)
(i = 1, 2)
Если краевая задача (16) кроме нулевого решения имеет ненулевое, то это
означает, что плоская форма равновесия упругих пластинок неустойчива.
На примере коаксиальной цилиндрической полости внешнего радиуса a
и внутреннего b получим условия устойчивости для первого тона антисим-
метричного прогиба кольцевых пластинок при отсутствии предварительного
натяжения (Ti = 0). В этом случае решение краевой задачи (16) в полярной
системе координат (r, θ) запишется следующим образом:
Wi = [C1J1(piξ) + C2I1(piξ) + C3Y1(piξ) + C4K1(piξ)] cos θ.
186
Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок
Здесь J1(x), Y1(x) – функции Бесселя соответственно первого и второго ро-
да первого порядка; I1(x), K1(x) – функции Бесселя от мнимого аргумен-
та соответственно первого и второго рода первого порядка; ξ = r/a; p4
i =
= g(ρi − ρi−1)a4/Di.
Из граничных условий жесткого закрепления пластинок (второе усло-
вие в (16)) следует однородность системы линейных уравнений относительно
Ck (k = 1, 4). Критическое значение величины pi, при которой происходит
потеря устойчивости плоской формы равновесия i-ой пластинки, определяeт-
ся из равенства нулю определителя этой системы
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
J1(pi) I1(pi) Y1(pi) K1(pi)
J
′
1(pi) I
′
1(pi) Y
′
1 (pi) K
′
1(pi)
J1(εpi) I1(εpi) Y1(εpi) K1(εpi)
J
′
1(εpi) I
′
1(εpi) Y
′
1 (εpi) K
′
1(εpi)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0, (17)
где
ε = b/a.
Обозначая через p первый положительный корень уравнения (17) относи-
тельно неизвестного критического значения pi, запишем условие устойчиво-
сти плоского равновесного положения упругих пластинок
βi > −nx∆ρ̃ip
−4. (18)
Здесь
βi = Di/(g0ρia
4), g = g0nx, ∆ρ̃i = ∆ρi/ρi = 1− ρi−1/ρi (i = 1, 2),
nx – величина перегрузки.
Из неравенства (18) следует, что потеря устойчивости верхней
пластинки (i = 1, ∆ρ̃1 = 1) возможна только при отрицательной перегрузке
nx, а потеря устойчивости внутренней пластинки (i = 2, ∆ρ̃2 = 1− ρ2/ρ1) –
и при положительной перегрузке nx при условии, что ρ2 < ρ1. Это находится
в хорошем соответствии с аналитическими и численными исследованиями
частотного уравнения (12).
Таблица
ε 10−7 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9
10−5p−4 210.73 119.60 76.75 45.96 25.20 12.28 5.07 1.61 0.02
В таблице приведены значения p−4 в зависимости от величины ε. Из нее
следует, что с увеличением внутреннего радиуса кольцевой пластинки (ε → 1)
правая часть неравенства (18) стремится к нулю, что соответствует “повыше-
нию” устойчивости.
187
А.Ю. Карнаух
В работе [1] были проведены аналогичные исследования для кольцевых
мембран. Из сравнения величин, приведенных в настоящей таблице и в табли-
це работы [1], можно заключить, что они отличаются на 3–4 порядка. Таким
образом, использование упругих пластинок идет в запас устойчивости и су-
щественно ее повышает.
1. Шевченко В.П., Карнаух А.Ю. Об устойчивости положения равновесия кольцевой мем-
браны, разделяющей жидкость разной плотности // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2007.
– 14. – С. 198–201.
2. Шевченко В.П., Карнаух А.Ю. Свободные колебания кольцевой мембраны, разделяю-
щей жидкость разной плотности // Тр. Х Междунар. конф. “Современные проблемы
механики сплошной среды”. – Ростов-на-Дону, 2006. – Т. 2. – С. 308–310.
3. Шевченко В.П., Карнаух А.Ю. Влияние перегрузки на свободные колебания кольцевой
мебраны, расположенной на свободной поверхности жидкости // Вест. Донецк. ун-та.
Сер. А. – 2006.– Вып.1, ч.1. – С. 162–165.
4. Кононов Ю.Н., Шевченко В.П. Об устойчивости упругих пластинок, разделяющих мно-
гослойную жидкость // Там же. – 2005.– Вып.1, ч.1. – С. 127–130.
5. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми эле-
ментами. - М.: Машиностроение, 1987. – 232 с.
6. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично запол-
ненными жидкостью. - М.: Машиностроение, 1968. – 532 с.
Национальный ун-т, Донецк, Украина
aliftinaa@gmail.com
Получено 13.09.07
188
|