Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве
Исследуются условия существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантных множествах. Рассмотрен случай, когда уравнения Кирхгофа–Пуассона допускают линейный первый интеграл на инвариантном множестве, описываемом двумя инвариантными соотношениями. Указана связь полученных...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28003 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 50-61. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28003 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280032011-10-26T12:16:16Z Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве Горр, Г.В. Мазнев, А.В. Исследуются условия существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантных множествах. Рассмотрен случай, когда уравнения Кирхгофа–Пуассона допускают линейный первый интеграл на инвариантном множестве, описываемом двумя инвариантными соотношениями. Указана связь полученных результатов с решением [1]. 2009 Article Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 50-61. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28003 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуются условия существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантных множествах. Рассмотрен случай, когда уравнения Кирхгофа–Пуассона допускают линейный первый интеграл на инвариантном множестве, описываемом двумя инвариантными соотношениями. Указана связь полученных результатов с решением [1]. |
| format |
Article |
| author |
Горр, Г.В. Мазнев, А.В. |
| spellingShingle |
Горр, Г.В. Мазнев, А.В. Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве Механика твердого тела |
| author_facet |
Горр, Г.В. Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Горр, Г.В. |
| title |
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве |
| title_short |
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве |
| title_full |
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве |
| title_fullStr |
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве |
| title_full_unstemmed |
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве |
| title_sort |
об условиях существования первого интеграла уравнений кирхгофа–пуассона на инвариантном множестве |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28003 |
| citation_txt |
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона на инвариантном множестве / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 50-61. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT gorrgv obusloviâhsuŝestvovaniâpervogointegralauravnenijkirhgofapuassonanainvariantnommnožestve AT maznevav obusloviâhsuŝestvovaniâpervogointegralauravnenijkirhgofapuassonanainvariantnommnožestve |
| first_indexed |
2025-07-03T07:58:41Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:58:41Z |
| _version_ |
1836611820169723904 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.38
c©2009. Г.В. Горр, А.В. Мазнев
ОБ УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРВОГО ИНТЕГРАЛА
УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА–ПУАССОНА
НА ИНВАРИАНТНОМ МНОЖЕСТВЕ
Исследуются условия существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона
на инвариантных множествах. Рассмотрен случай, когда уравнения Кирхгофа–Пуассона
допускают линейный первый интеграл на инвариантном множестве, описываемом двумя
инвариантными соотношениями. Указана связь полученных результатов с решением [1].
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата с непо-
движной точкой под действием потенциальных и гироскопических сил, кото-
рая описывается уравнениями класса Кирхгофа [2, 3]
Aω̇ = (Aω + λ)× ω + ω ×Bν + s× ν + ν × Cν, (1)
ν̇ = ν × ω, (2)
имеющими первые интегралы
Aω · ω − 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E, ν · ν = 1, (3)
(Aω + λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k. (4)
Опишем обозначения, принятые в (1)–(4): ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой
скорости тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор оси симметрии
силовых полей; λ = (λ1, λ2, λ3) – постоянный вектор, характеризующий дви-
жение носимых тел гиростата; s = (s1, s2, s3) – постоянный вектор; A –
тензор инерции гиростата [4]; B и C – постоянные симметричные матрицы
третьего порядка; точка над переменными ω и ν обозначает относительную
производную по времени; E и k – произвольные постоянные.
Если в качестве подвижной системы координат принять главную систему
координат, то уравнениям (1), (2) можно придать вид
ẋi = Xi(x1, x2, ..., x6),
∂Xi(x1, x2, ..., x6)
∂xi
= 0, (5)
где i = 1, 6; Xi(x1, x2, ..., x6) – многочлены относительно переменных x1 = ω1,
x2 = ω2, x3 = ω3, x4 = ν1, x5 = ν2, x6 = ν3. В силу геометрического
интеграла из (3) x2
4(t)+x2
5(t)+x2
6(t) = 1, и поэтому указанные здесь функции
ограничены по t. Из остальных интегралов системы (3), (4) вытекает, что
и функции x1 = x1(t), x2 = x2(t), x3 = x3(t) ограничены. Это значит, что
50
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона
решение уравнений (1), (2) существует при заданных начальных данных на
бесконечном промежутке по t.
В силу последнего условия из (5) и наличия у системы (1), (2) трех инте-
гралов (3), (4), которые запишем в виде
f1(x1, x2, ..., x6) = c1,
(6)
f2(x4, x5, x6) = x2
4 + x2
5 + x2
6 = c2 = 1, f3(x1, x2, ..., x6) = c3,
существование у системы (1), (2) дополнительного первого интеграла позво-
лило бы применить теорию Якоби и получить остальные три интеграла
f4(x1, x2, ..., x6) = c4,
(7)
f5(x1, x2, ..., x6) = c5, f6(x1, x2, ..., x6, t) = c6.
В работе В.В. Козлова и Д.А. Онищенко [5] доказана неинтегрируемость
уравнений (1), (2) в общем случае, т.е. в случае, отличном от решений Клеб-
ша, Стеклова, Кирхгофа и Ляпунова. Поэтому представляет большой интерес
построение интегрального многообразия (7) при фиксированных значениях
произвольных постоянных ci (i = 4, 6). Обозначим через x = x(t;x(0))− реше-
ние уравнений (5), где x(0) = (x(0)
1 , x
(0)
2 , ..., x
(0)
6 )T – начальное значение векто-
ра x. Будем предполагать, что x(0) не принадлежит особому инвариантному
множеству уравнений (5), т.е. Xi(x
(0)
1 , x
(0)
2 , ..., x
(0)
6 ) 6= 0, i = 1, 6.
МножествоM ⊂ E6, задаваемое (6), (7), называется неособым инвариант-
ным множеством системы (1), (2), если x(t;x(0)) ∈M для t ≥ 0 и произволь-
ной неособой точки x(0) ∈M [6]. Известно, что в окрестности каждой неосо-
бой точки уравнений (5) существуют первые интегралы fi(x1, x2, ..., x6) =
= cj (j = 1, 5). Как правило, в большинстве курсов по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений рассматривается первый интеграл
f(x1, x2, ..., x6) = C, для которого функция f(x1, x2, ..., x6) принимает посто-
янное значение на всех решениях уравнений (5). Условием того, что
f(x1, x2, ..., x6) является первым интегралом, служит равенство
Lxf = 0, Lxf =
6∑
i=1
∂f(x1, x2, ..., x6)
∂xi
Xi(x1, x2, ..., x6), (8)
где вектор
( ∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, ...,
∂f
∂x6
)
6= 0.
В работах [7, 8] рассмотрены функции f(x1, x2, ..., x6), которые прини-
мают постоянное значение на некоторых решениях системы (5). Пусть сово-
купность этих решений образует инвариантное множество M , описываемое
системой уравнений
ϕj(x1, x2, ..., x6) = 0 (j = 1, k, k < 6). (9)
51
Г.В. Горр, А.В. Мазнев
Тогда, по аналогии с соотношением (8), в силу равенств (9) условие того, что
f(x1, x2, ..., x6) – первый интеграл на множестве M , можно записать так
f(x1, x2, ..., x6)
∣∣
ϕj(x1,x2,...,x6)=0
= c, (j = 1, k), (10)
где c – произвольная постоянная.
В данной статье рассматривается постановка задачи об условиях суще-
ствования первого интеграла f(x1, x2, ..., x6) = c на множествеM для уравне-
ний Кирхгофа–Пуассона (1), (2) и ее применение в случае линейного первого
интеграла.
Инвариантные множества тесно связаны с инвариантными соотношения-
ми. Существует несколько подходов в изучении инвариантных соотношений
[7, 9, 10]. Изложим наиболее употребляемые в задачах динамики твердого те-
ла [9, 10].
Соотношение
ϕ(x1, x2, ..., x6) = 0, gradϕ 6= 0 (11)
называется инвариантным соотношением (ИС) [9], если для всех решений
уравнений (5), удовлетворяющих условию ϕ(x1(t0), x2(t0), ..., x6(t0)) = 0, вы-
полняется равенство ϕ(x1(t), x2(t), ..., x6(t)) = 0 при t ∈ (t0,∞).
В работе [9] показано, что необходимым и достаточным условием того,
что соотношение (11) является ИС, служит уравнение
6∑
i=1
∂ϕ(x1, x2, ..., x6)
∂xi
Xi(x1, x2, ..., x6) = ϕ(x1, x2, ..., x6)λ(x1, x2, ..., x6), (12)
которому удовлетворяет функция ϕ(x1, x2, ..., x6). В (12) λ(x1, x2, ..., x6) – ана-
литическая функция.
П.В. Харламов [10, с. 16] дал другое определение ИС (11). Соотношение
(11) называется инвариантным соотношением, если не пусто многообразие
σ :
ϕ(x1, x2, ..., x6) = 0,
Lxϕ(x1, x2, ..., x6) =
=
6∑
i=1
∂ϕ(x1, x2, ..., x6)
∂xi
Xi(x1, x2, ..., x6) =
= ϕ1(x1, x2, ..., x6) = 0,
Lxϕ1(x1, x2, ..., x6) = 0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Lxϕk(x1, x2, ..., x6) = 0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(13)
52
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона
Отметим, что для связи с уравнениями (1), (2) формулы (5)–(13) записаны
для случая, когда фазовый вектор x принадлежит шестимерному простран-
ству. Все они при рассмотрении ИС допускают очевидное обобщение и для
x ∈ Rn.
2. Метод нахождения многообразия M . Зададим функцию
f(x1, x2, ..., x6) и рассмотрим множество
f(x1, x2, ..., x6) = c, (14)
где c – произвольная постоянная и вектор
( ∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, ...,
∂f
∂x6
)
6= 0. Предполо-
жим, что функция f(x1, x2, ..., x6) дважды непрерывно дифференцируема в
E6. Поставим задачу о нахождении условий существования в интегральном
многообразии (6), (7) инвариантного многообразия M , определяемого урав-
нениями (9), для которого соотношение (14) является первым интегралом,
т.е. выполняется условие (10). В силу метода инвариантных соотношений,
описываемого формулами (11)–(13), и определения первого интеграла для
всех решений уравнений (5), принадлежащих многообразиюM , выполняется
условие f(x1(t), x2(t), ..., x6(t)) = c. При этом производные f (n) любого поряд-
ка по времени равны нулю.
Вычислим первые две производные f (1), f (2) и в полученных уравнениях
перейдем к точкам множестваM . Присоединяя к ним функцию из (14) и пер-
вые интегралы (6), для точек множества M (если оно существует) получим
соотношения
f(x1, x2, ..., x6) = c, f (1)(x1, x2, ..., x6) = Lxf(x1, x2, ..., x6) = 0,
f (2)(x1, x2, ..., x6) = Lxf
(1)(x1, x2, ..., x6) = 0, f1(x1, x2, ..., x6) = c1, (15)
f2(x4, x5, x6) = x2
4 + x2
5 + x2
6 = c2 = 1, f3(x1, x2, ..., x6) = c3.
Множество значений x1, x2, ..., x6, для которого равенства (15) зависимы, и
составляет инвариантное множествоM . При этом должно выполняться усло-
вие, что величина c – произвольная постоянная. Относительно величин c1, c3
такое условие может и не выполняться. На основании методов ИС, предло-
женных Т. Леви-Чивитой и П.В. Харламовым, практический способ в на-
хождении условий существования множества M состоит в последовательном
изучении двух задач. Первая задача заключается в том, что исследуются
условия, при выполнении которых равенство f (1)(x1, x2, ..., x6) = 0 было бы
тождеством на первом интеграле (14) и интегралах f1 = c1, f2 = c2, f3 = c3.
При ее решении уравнение f (1)(x1, x2, ..., x6) = 0 может быть преобразовано
к виду Φ(u, v, c, c1, c3) = 0, где u, v – новые независимые переменные.
Требование того, чтобы уравнение Φ(u, v, c, c1, c3) = 0 было тождеством
для любых значений u, v и параметра c, дает условия на постоянные c1, c3
и параметры уравнений (1), (2). Множество M в этом случае описывает-
ся уравнениями f(x1, x2, ..., x6) = c, f1(x1, x2, ..., x6) = c1, x
2
4 + x2
5 + x2
6 =
53
Г.В. Горр, А.В. Мазнев
= 1, f3(x1, x2, ..., x6) = c3. Здесь c1, c3 могут быть как произвольными посто-
янными, так и функциями параметра c. Пример такого решения уравнений
(1), (2) будет рассмотрен ниже.
Вторая задача состоит в том, что в системе (15) требуется, чтобы равен-
ство f (2)(x1, x2, ..., x6) = 0 становилось тождеством на оставшихся соотноше-
ниях из системы (15). Т.е. во второй задаче исследуется система (15) в пол-
ном объеме и в предположении, что классические интегралы f1 = c1, f2 = c2,
f3 = c3 независимы. При указанном подходе в общем случае приходим к
уравнению вида F (u, c, c1, c3) = 0, где u – некоторая переменная. Требование
того, чтобы это уравнение было тождеством по u и параметру c, приводит
к условиям существования инвариантного множества M . Могут иметь место
случаи, когда обе задачи допускают решение. Очевидно, что это зависит от
условий на параметры c1, c3 и параметры задачи (1), (2).
3. Примеры для уравнений (1), (2). Вначале рассмотрим пример ре-
шения П.В. Харламова [11]. Пусть в уравнениях (1), (2) B = 0, C = 0
Aω̇ = (Aω + λ)× ω + s× ν, ν̇ = ν × ω. (16)
Уравнения (16) имеют интегралы
Aω · ω − 2(s · ν) = 2E, ν · ν = 1, (Aω + λ) · ν = k. (17)
Обозначим ω = (p, q, r). Пусть выполнены условия [11]
Aij = 0 (i 6= j), Aii = Ai (i = 1, 3), s = s(cos ε0, 0, sin ε0),
(18)
λ =
(
κ(2A2 −A1) cos ε0, 0,κ(2A2 −A3) sin ε0
)
.
Постоянные первых интегралов (17) таковы
E =
κ2
2
(A1 cos2 ε0 +A3 sin2 ε0)− c, k =
2κA2c
s
, (19)
где c – произвольная постоянная. Очевидно параметр κ выражается через
исходные параметры следующим образом.
κ2 =
λ2
1
(2A2 −A1)2
+
λ2
3
(2A3 −A1)2
. (20)
При условиях (18)–(20) решение П.В. Харламова для уравнений (16) имеет
вид
p = κ cos ε0, r = κ sin ε0,
ν1s =
(A2
2
q2 + c
)
cos ε0 −
√
f(q) sin ε0, ν2s = −κA2q,
ν3s =
(A2
2
q2 + c
)
sin ε0 +
√
f(q) cos ε0,
q∫
q0
dq√
f(q)
= − t− t0
A2
, (21)
54
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона
f(q) = −A
2
2
4
q4 −A2(c+A2κ2)q2 + s2 − c2.
Решение (21) зависит от двух произвольных постоянных c и q0 (либо t0).
Из соотношений (21) вытекает решение Бобылева–Стеклова [12, 13]. Пусть
выполнены следующие условия на параметры (18):
λ1 = λ2 = λ3 = 0, ε0 = 0, 2A2 = A1, s = (s, 0, 0). (22)
Тогда при условиях (22) имеем следующее решение
p = κ, r = 0, sν1 =
A2
2
q2 + c, sν2 = −κA2q, sν3 =
√
f(q),
q∫
q0
dq√
f(q)
= − t− t0
A2
, f(q) = −A
2
2
2
q4 −A2(c+A2κ2)q2 + s2 − c2. (23)
Постоянные первых классических интегралов из формул (19) принимают зна-
чения
E =
A1κ2
2
− c, k =
2A2κc
s
.
В решении Бобылева–Стеклова (23) три произвольных постоянных κ, c, q0.
Важно, что данное решение можно охарактеризовать линейным первым ин-
тегралом p = κ = const и квадратичным интегралом sν1 −
A2
2
q2 = c = const
на инвариантном многообразии (23).
В решении П.В. Харламова (21) в силу (20) параметр κ принимает фик-
сированное (зависящее от параметров задачи) значение. Поэтому оно харак-
теризуется квадратичным интегралом
s(ν1 cos ε0 + ν3 sin ε0)− A2
2
q2 = c = const. (24)
Линейный первый интеграл в случае Бобылева–Стеклова имеет место
при условии, что количество произвольных постоянных равно трем. Поэто-
му размерность инвариантного многообразия M в нем равна трем. В случае
П.В. Харламова в силу (19), (24) размерность инвариантного многообразия
равна двум.
Приведем пример существования линейного первого интеграла для урав-
нений Кирхгофа–Пуассона (1), (2) на инвариантном множестве.
Рассмотрим решение Е.К. Щетининой [14], полученное при обобщении ре-
шений В.Н. Рубановского [15] и Н.В. Хлыстуновой [16]. Пусть для уравнений
(1), (2) выполняются условия
A12 = A23 = 0, A2
13 = (A22 −A11)(A22 −A33), B22 = B11 = −B33,
B12 = B23 = 0, B2
13 = (A22 −A11)(C33 − C11),
55
Г.В. Горр, А.В. Мазнев
A13B13 = B11(A22 −A11), C22 = C11, Cij = 0 (i 6= j), (25)
λ1 = −B11 sin κ0, λ2 = 0, λ3 = −A33B13 sin κ0
A22 −A11
, s1 = s2 = 0,
s3 = −A13B
2
13 sin κ0
(A22 −A11)2
, tg κ0 =
A22 −A11
A13
, n =
B13 sin κ0
A22 −A11
.
При условиях (25) уравнения (1), (2) допускают решение
ω1 = a′0n sinnt, ω2 = a′0n cosnt, ω3 = n(a0 + 1),
ν1 =
1
2
d(a0 + 1) cos 2nt+ a′0c sinnt+
d
2
(a0 − 1), (26)
ν2 = a′0c cosnt+
d
2
(a0 + 1) sin 2nt, ν3 = a0c− a′0d sinnt,
где a0 = cos θ0, a′0 = sin θ0, c = cos κ0, d = sin κ0.
В соотношениях (26) a0 – постоянная со значениями из интервала (−1, 1).
Решение (26) представим в виде
ω3 = (c0 + 1)n, ω2
1 + ω2
2 = n2(1− c20),
(27)
ν1 =
ω2
1d
n2(1− c0)
+
c
n
ω1 − d, ν2 =
ω2
n
(
c+
ω1d
n(1− c0)
)
, ν3 = c0c−
d
n
ω1,
где c0 – произвольная постоянная (c0 = cos θ0, |c0| < 1). Решение (27) может
быть охарактеризовано либо линейным первым интегралом, либо квадратич-
ным первым интегралом.
4. Линейный интеграл уравнений Кирхгофа–Пуассона на инва-
риантном множестве. Поставим задачу изучения условий существования
линейного интеграла уравнений (1), (2). Положим в уравнении (1)
ω1 = c, (28)
где c – произвольная постоянная. Для удобства исследования введем вектор
a = (1, 0, 0) и представим (28) в виде
ω1 = ω · a = Aω ·A−1a. (29)
В силу (29) вместо интеграла (28) можно рассматривать интеграл
ω∗1 = Aω · b = c∗, (30)
где b = (b1, b2, b3); b1 = A22A33, b2 = −A12A33, b3 = −A13A22 и c∗ =
= c(A11A22A33−A2
13A22−A2
12A33). В дальнейшем звездочки у ω∗1 и c∗ опустим.
56
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона
Вычислим производную от интеграла (29) в силу скалярных уравнений
(1):
A12A13(A33ω
2
3 −A22ω
2
2) + α23ω2ω3 − ω2(α0 + α1ν1 + α2ν2 + α3ν3)+
+ω3(β0 + β1ν1 + β2ν2 + β3ν3) + γ0 + γ1ν1 + γ2ν2 + γ3ν3 +
3∑
i,j=1
γijνiνj = 0, (31)
где
α0 = c[b1A13 − b3(A11 −A22)] + b1λ3 − b3λ1, α1 = b3B11 − b1B13,
α2 = b3B12−b1B23, α3 = b3B13−b1B33, α23 = b1(A22−A33)−b2A12 +b3A13,
β0 = c[b1A12 − b2(A11 −A33)] + b1λ2 − b2λ1, β1 = b2B11 − b1B12,
β2 = b2B12 − b1B22, β3 = b2B13 − b1B23,
γ0 = c[c(b2A13 − b3A12) + b2λ3 − b3λ2], γ1 = c(b3B12 − b2B13) + b2s3 − b3s2,
γ2 = c(b3B22− b2B23) + b3s1− b1s3, γ3 = c(b3B23− b2B33) + b1s2− b2s1, (32)
γ11 = b3C12 − b2C13, γ22 = b1C23 − b3C12, γ33 = b2C13 − b1C23,
γ21 = γ12 =
1
2
[b1C13 − b2C23 + b3(C22 − C11)],
γ31 = γ13 =
1
2
[b3C23 − b1C12 + b2(C11 − C33)],
γ32 = γ23 =
1
2
[b2C12 − b3C13 + b1(C33 − C22)].
Если потребовать, чтобы уравнение (31) выполнялось для любых значе-
ний c, ω2, ω3, ν1, ν2, ν3, то с учетом обозначений (30), (32) получим следующие
условия
A12 = A13 = 0, A33 = A22, Bij = 0 (i 6= j), B22 = B33,
(33)
λ3 = λ2 = 0, s3 = s2 = 0, Cij = 0 (i 6= j), C33 = C22.
Равенства (33) характеризуют случай решения Кирхгофа–Харламова [17].
Здесь поставим задачу изучения первого интеграла (28) для уравнений
(1), (2) в постановке, изложенной в п. 2 данной статьи.
Из первых интегралов (3), (4) найдем величины
ω2 =
1
ϕ2(ν1, ν2, ν3)
[A33ϕ1(ν1, ν2)Φ1(ν1, ν2, ν3)+cψ1(ν1, ν3)ε1(ν2, ν3)+ψ1(ν1, ν3)
√
D],
(34)
ω3 =
1
ϕ2(ν1, ν2, ν3)
[A22ψ1(ν1, ν3)Φ1(ν1, ν2, ν3)−cϕ1(ν1, ν2)ε1(ν2, ν3)−ϕ1(ν1, ν2)
√
D],
57
Г.В. Горр, А.В. Мазнев
где
ϕ1(ν1, ν2) = A12ν1 +A22ν2, ψ1(ν1, ν3) = A13ν1 +A33ν3,
ϕ2(ν1, ν2, ν3) = A33ϕ
2
1 +A22ψ
2
1, ε1(ν2, ν3) = A13A22ν2 −A12A33ν3,
Φ1(ν1, ν2, ν3) =
1
2
(B11ν
2
1 +B22ν
2
2 +B33ν
2
3 +2B12ν1ν2 +2B13ν1ν3 +2B23ν2ν3)+k−
−c(A11ν1 +A12ν2 +A13ν3)− (λ1ν1 + λ2ν2 + λ3ν3),
D(ν1, ν2, ν3) = c2ε21(ν2, ν3)−A22A33Φ2
1(ν1, ν2, ν3)− (35)
−2cΦ1(ν1, ν2, ν3)µ1(ν1, ν2, ν3) + ϕ2(ν1, ν2, ν3)Φ2(ν1, ν2, ν3),
µ1(ν1, ν2, ν3) = (A22A
2
13 +A33A
2
12)ν1 +A12A22A33ν2 +A13A22A33ν3,
Φ2(ν1, ν2, ν3) = (2E −A11c
2) + 2(sν1 + sν2 + sν3)−
−(C11ν
2
1 + C22ν
2
2 + C33ν
2
3 + 2C12ν1ν2 + 2C13ν1ν3 + 2C23ν2ν3).
Подставим выражения (34) в уравнение (31){(
2c2ε21 − 2A22A33Φ2
1(ν1, ν2, ν3)− 2cΦ1(ν1, ν2, ν3)µ1(ν1, ν2, ν3)+
+ϕ2(ν1, ν2, ν3)Φ2(ν1, ν2, ν3)
)[
A12A13(A33ϕ
2
1(ν1, ν2)−A22ψ
2
1(ν1, ν3))−
−α23ψ1(ν1, ν3)ϕ1(ν1, ν2)
]
+ϕ2
2(ν1, ν2, ν3)(γ0 + γ1ν1 + γ2ν2 + γ3ν3 +
3∑
i,j=1
γijνiνj)+
+Φ1(ν1, ν2, ν3)
[
cα23ε1(ν2, ν3)
(
A22ψ
2
1(ν1, ν3)−A33ϕ
2
1(ν1, ν2)
)
− (36)
−4A12A13A22A33cϕ1(ν1, ν2)ψ1(ν1, ν3)ε1(ν2, ν3) +A22ϕ2(ν1, ν2, ν3)ψ1(ν1, ν3)(β0+
+β1ν1 + β2ν2 + β3ν3)−A33ϕ1(ν1, ν2)ϕ2(ν1, ν2, ν3)(α0 + α1ν1 + α2ν2 + α3ν3)
]}
+
+
√
D
{
Φ1(ν1, ν2, ν3)[α23
(
A22ψ
2
1(ν1, ν3)−A33ϕ
2
1(ν1, ν2)
)
−
−4A12A13A22A33ϕ1(ν1, ν2)ψ1(ν1, ν3)]− 2cε1(ν2, ν3)
[
A12A13(A22ψ
2
1(ν1, ν3)−
−A33ϕ
2
1(ν1, ν2)) + α23ϕ1(ν1, ν2)ψ1(ν1, ν3)]− ϕ2(ν1, ν2, ν3)[ϕ1(ν1, ν2)(β0 + β1ν1+
+β2ν2 + β3ν3) + ψ2(ν1, ν3)(α0 + α1ν1 + α2ν2 + α3ν3)]
}
= 0.
Для дальнейшего исследования уравнения (36) можно вместо ν1, ν2, ν3
ввести переменные θ, ϕ
ν1 = cos θ, ν2 = sin θ cosϕ, ν3 = sin θ sinϕ. (37)
После подстановки выражений (37) в соотношения (35), (36), получим
уравнение следующего вида F (θ, ϕ, c, Aij , Bkl, Cnm, si, λk) = 0.
58
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона
Если использовать первый подход, изложенный в п. 2, то требование то-
го, чтобы уравнение (36) было тождеством по θ, ϕ, c, приводит к условиям
существования у уравнений (1), (2) дополнительного первого интеграла (29).
Применим указанный подход в частном случае, когда уравнения (1), (2),
кроме интеграла (28), допускают два линейных инвариантных соотношения.
Тогда получим решение П.В. Харламова [1], изученное С.В. Скрыпник [18].
Запишем его в обозначениях работы [18]:
ω1 = a1(b0 + b1ν1 + b2ν2), ω2 = a2(c0 + c1ν1 + c2ν2), ω3 = a3δ0, (38)
ν̇1 = a3δ0ν2 − a2(c0 + c1ν1 + c2ν2)ν3, ν̇2 = a1(b0 + b1ν1 + b2ν2)ν3 − a3δ0ν1,
(39)
ν̇3 = a2c0ν1 − a1b0ν2 + (a2c2 − a1b1)ν1ν2 + a2c1ν
2
1 − a1b2ν
2
2 ;
ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1, a1b0ν1 + a2c0ν2 + a3δ0ν3 + a1b2ν1ν2+ (40)
+[b1(a1 + a3) + c2a3]
ν2
1
2
+ [c2(a2 + a3) + b1a3]
ν2
2
2
− a3B33
2
ν2
3 = a3k,
где
b1 =
a3
∆
[(a2 − a3)B11 − a3B22], b2 =
a2a3B12
∆
,
c1 =
a1a3B12
∆
, c2 =
a3
∆
[(a1 − a3)B22 − a3B11].
При этом параметры уравнения (1) подчинены условиям
s3 = 0, λ3 = 0, λ1 =
b0(a1 − a3)
a3
, λ2 =
c0(a2 − a3)
a3
,
s1 = a2c0c1 − a1b0(c2 +B33), s2 = a1b0b2 − a2c0(b1 +B33),
B13 = B23 = 0, C13 = C23 = 0, C12 = a1b2(c2 +B33)− a2c1c2, (41)
C11 = C33 + a1b1(c2 +B33)− a2c
2
1, C22 = C33 + a2c2(b1 +B33)− a1b
2
2,
∆ = a1a3 − a1a2 + a2a3, a3(a2 − 2a3)B11 + a3(a1 − 2a3)B22 + ∆B33 = 0.
Решение (38)–(40) при условиях (41) в силу существования у системы (39)
двух интегралов (40) сводится к квадратурам. Оно зависит от трех произ-
вольных постоянных δ0, k, ν
(0)
1 .
Рассмотрим случай, когда в равенствах (38)–(41) параметры b0 и c0 –
произвольные постоянные. Тогда получим условия
λ1 = λ2 = λ3 = 0, a1 = a2 = a3 = a, s3 = 0,
c0 =
ab0B12 − s2
a(B33 −B22)
, B13 = B23 = 0, s1(B33 −B22) + s2B12 = 0,
59
Г.В. Горр, А.В. Мазнев
B2
12 = B11B22, B33 = B11 +B22, b1 = −B22, b2 = B12, C13 = C23 = 0,
c1 = B12, c2 = −B11, C12 = aB12B33, C22 = C33−aB33B11, C11 = C33−aB33B22 .
Формулы (38)–(40) при данных условиях упрощаются
ν̇1 = a[δ0ν2 − ν3(c0 +B12ν1 −B11ν2)], ν̇2 = a[ν3(b0 −B22ν1 +B12ν2)− δ0ν1],
ν̇3 = a[c0ν1 − b0ν2 + (B22 −B11)ν1ν2 +B12(ν2
1 − ν2
2)], (42)
ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1, b0ν1 + c0ν2 + δ0ν3 +B12ν1ν2 −
1
2
(B22ν
2
1 +B11ν
2
2) = k∗,
ω1 = a(b0 −B22ν1 +B12ν2), ω2 = a(c0 +B12ν1 −B11ν2), ω2 = aδ0,
где k∗ = k +
1
2
(B11 + B22). Решение (42) зависит от четырех произвольных
постоянных и имеет место в силу условий a1 = a2 = a3 для сферического
гиростата.
Таким образом, получен специальный случай решения, которое характе-
ризуется линейным первым интегралом из (38) на инвариантном многообра-
зии (42). Оно отличается от решения Кирхгофа–Харламова [17] с линейным
первым интегралом во всем фазовом пространстве. Решение (42) соответству-
ет вырожденному случаю решения А.М.Ляпунова [19].
1. Харламов П.В. О решениях уравнений динамики твердого тела // Прикл. математика
и механика. – 1965. – 29, вып. 3. – С. 567-572.
2. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces,
I: The equations of motion and their transformations // J. Mecan. Theor. Appl. – 1986. –
5. – P. 747-754.
3. Харламов П.В., Мозалевская Г.В., Лесина М.Е. О различных представлениях уравне-
ний Кирхгофа // Механика твердого тела. - 2001. – Вып. 31. – С. 3–17.
4. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Там же. – 1972. –
Вып. 4. – С. 52–73.
5. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа // Докл. АН
СССР. – 1982. – 266, № 6. – С. 1298-1300.
6. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир. – 1970. – 720 с.
7. Чаплыгин С.А. О принципе последнего множителя // Собр. соч. – М.-Л.: Гостехтеор-
издат, 1948. – Т.I: Теоретическая механика. Математика. – С. 5–14.
8. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в
механике. – М.: Наука. – 1991. – 255 с.
9. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. В 2-х т. – М.: Изд-во
иностр. лит., 1951. – Т. 2, ч. 2: Динамика систем с конечным числом степеней свободы.
– 555 с.
10. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравне-
ний // Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. - C. 15–24.
11. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во Новосиб.
ун-та. – 1965. – 221 c.
12. Бобылев Д.К. Об одном частном решении дифференциальных уравнений вращения
тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Тр. отд-ния физ.наук о-ва лю-
бителей естествознания. – 1896. – 8, вып.2. – С. 21–25.
13. Стеклов В.А. Один случай движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную
точку // Там же. – С. 19–21.
60
Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа–Пуассона
14. Щетинина Е.К. О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о дви-
жении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил // Нелiнiйнi
коливання. – 2006. – 9, № 1. – С. 133–144.
15. Рубановский В.Н. Об одном новом частном решении уравнений движения тяжелого
твердого тела в жидкости // Прикл. математика и механика. – 1985. – 49, вып. 2. –
С. 212–219.
16. Хлыстунова Н.В. О прецессии типа Гриоли тяжелого твердого тела в жидкости // Там
же. – 2000. – 64, вып. 4. – С. 551–554.
17. Харламов П.В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверхно-
стью // Журнал прикл. механики и техн. физики. – 1963. – 4, № 4. – С. 17–29.
18. Скрыпник С.В. Об одном классе двух линейных инвариантных соотношений в обоб-
щенной задаче динамики // Механика твердого тела. – 1999. – Вып. 28. – С. 31–40.
19. ЛяпуновА.М. Новый случай интегрируемости уравнений движения твердого тела в
жидкости // Сообщ. Харьк. мат. о-ва. Сер. 2. – 1893. – 4, № 1, 2. – С. 81–85.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
Национальный ун-т, Донецк
applmech@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 12.10.09
61
|