Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа

Для решения задачи, указанного в работе [1], получены уравнения подвижных и неподвижных аксоидов тел системы при условии, что одно из тел закреплено в центре масс.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Лесина, М.Е., Гоголева, Н.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28006
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 83-93. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-28006
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-280062011-10-26T12:16:46Z Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. Для решения задачи, указанного в работе [1], получены уравнения подвижных и неподвижных аксоидов тел системы при условии, что одно из тел закреплено в центре масс. 2009 Article Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 83-93. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28006 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Для решения задачи, указанного в работе [1], получены уравнения подвижных и неподвижных аксоидов тел системы при условии, что одно из тел закреплено в центре масс.
format	Article
author	Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф.
spellingShingle	Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа Механика твердого тела
author_facet	Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф.
author_sort	Лесина, М.Е.
title	Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа
title_short	Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа
title_full	Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа
title_fullStr	Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа
title_full_unstemmed	Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа
title_sort	уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов лагранжа
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28006
citation_txt	Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 83-93. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT lesiname uravneniâpodvižnyhinepodvižnyhaksoidovdlâklassadviženijpoinerciisistemydvuhgiroskopovlagranža AT gogolevanf uravneniâpodvižnyhinepodvižnyhaksoidovdlâklassadviženijpoinerciisistemydvuhgiroskopovlagranža
first_indexed	2025-07-03T07:58:53Z
last_indexed	2025-07-03T07:58:53Z
_version_	1836611833007439872
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39 УДК 531.38 c©2009. М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева УРАВНЕНИЯ ПОДВИЖНЫХ И НЕПОДВИЖНЫХ АКСОИДОВ ДЛЯ КЛАССА ДВИЖЕНИЙ ПО ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ГИРОСКОПОВ ЛАГРАНЖА Для решения задачи, указанного в работе [1], получены уравнения подвижных и неподвиж- ных аксоидов тел системы при условии, что одно из тел закреплено в центре масс. В статье [1] дана постановка задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным и идеальным сфе- рическим шарнирами. Там же получено точное решение задачи при нулевом значении постоянной интеграла, выражающего сохранение момента количе- ства движения системы. Это решение при условии, что одно из тел системы закреплено в центре масс, примет вид Ω1(u) = − 2A A+A0 κ(u), (1) Ω2(u) = −(1 + bu2)n(u) A0 √ 1− u2 , (2) Ω3(u) = − un(u) 1− u2 (1 + bu2 A0 + 1 + b A ) , (3) n0(u) = bun(u), (4) ω1(u) = 2A0 A+A0 κ(u), (5) ω2(u) = (1 + b)un(u) A √ 1− u2 , (6) ω3(u) = − n(u) 1− u2 [1 + bu2 A0 + (1 + b)u2 A ] , (7) n(u) = CJ√ 1 + bu2 , (8) где CJ – постоянная интегрирования, b = (A− J)J0 (A+ J0)J – безразмерный пара- метр, u = cos θ, (9) N = mm0ll0 m+m0 = 0. (10) 83 М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева В этом решении потенциальная энергия Π(u) упругого элемента являет- ся произвольной дифференцируемой функцией угла θ. Переменная κ(u) и потенциальная энергия Π(u) упругого элемента связаны соотношением [1] κ2(u) = A+A0 4AA0 { 2h−2Π(u)− C2J2 AA0(1− u2) [ A0(1+b)u2+A(1+bu2)+ AA0 J (1−u2) ]} . Углы собственных вращений тел S и S0 определим из уравнений [1] ϕ̇ = n(u) J − ω3(u), (11) Φ̇ = [n(u) J − ω3(u) ] u. (12) При построении аксоидов в [2 – 4] использовался вектор g, сохраняющий направление в неподвижном пространстве. В исследуемом решении такой вектор отсутствует. Чтобы образовать базис в неподвижном пространстве, выделим класс движений, для которых траектория шарнира представляет плоскую кривую. Для этого необходимо найти векторы бинормали и норма- ли, которые вместе с вектором V∗ – скоростью шарнира O – образуют ортого- нальный базис. Для плоских движений шарнира бинормаль перпендикулярна к плоскости траектории шарнира и сохраняет направление в пространстве. Запишем при этом вектор r∗, указывающий шарнир, его скорость V∗ и ускорение W∗, используя формулы (5.22), (5.24), (5.27) − (5.29) монографии [5], полагая в них a = 0 (обращение в нуль параметра a означает, что тело S закреплено в центре масс). r∗ = −a0e0 3, (13) V∗ = a0(−Ω2e1 + Ω1e0 2), (14) W∗ = a0 [ −(Ω̇2 + Ω3Ω1)e1 + (Ω̇1 − Ω3Ω1)e0 2 + (Ω2 1 + Ω2 2)e0 3 ] . (15) Для сокращения записей наряду с явными зависимостями (1)–(3) будем ис- пользовать уравнения движения, найденные в [1], записанные при ограниче- нии (10), Ω̇1 − Ω2Ω3 = −[Ω2n0 + Π′(θ)]/A0, (16) Ω̇2 + Ω1Ω3 = Ω1n0/A0, (17) из которых получим Ω1Ω̇1 + Ω2Ω̇2 = −Ω1 A0 Π′(θ). (18) Вместо Ω2 введем новую переменную σ2 = Ω2 1 + Ω2 2 (19) 84 Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов и представим уравнение (18) в виде σσ̇ = −Ω1 A0 Π′(θ) (20) (точка обозначает дифференцирование по t, штрих – по θ). При условии (10) переменные Ω1, ω1, как следует из (1), (7), связаны со- отношением Aω1 +A0Ω1 = 0, из которого имеем ω1 = −A0 A Ω1, (21) а так как [1] θ̇ = Ω1 − ω1, с учетом (21) получим θ̇ = ( 1 + A0 A ) Ω1. (22) Теперь уравнение (20) запишем так[ σ2 + 2A A0(A+A0) Π(θ) ]. = 0. Выполнив интегрирование, находим Π(θ) = h1 − A+A0 2A A0σ 2. (23) Соотношение (23) является интегралом энергии системы. Подставим (16), (17), (23) в (15) и получим W∗ = a0 [ −Ω1 n0 A0 e1 + ( −Ω2 n0 A0 + σσ̇ Ω1 ) e0 2 + σ2e0 3 ] . (24) Теперь находим бинормаль B∗ = V∗ ×W∗, (25) используя (14), (24), B∗ = a2 0 [ e1Ω1σ 2 + e0 2Ω2σ 2 + e0 3 ( σ2 n0 A0 − σσ̇Ω2 Ω1 )] . (26) Как указано в [6], кривизна κ∗ и кручение κ0 траектории определяются по формулам κ∗ = B∗/V 3 ∗ , κ0 = (z∗ · B∗)/B2 ∗ , (27) где z∗ = Ẇ∗. 85 М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева Вектор z∗ = Ẇ∗ = ẇ1e1 + ẇ0 2e 0 2 + ẇ0 3e 0 3 + Ω×W∗, (28) w1 = −a0Ω1n0/A0, w0 2 = a0(−Ω2n0/A0 + σσ̇/Ω1), w0 3 = a0σ 2. (29) С учетом (29), (26), (28) вычислим скалярное произведение z∗ · B∗ = a3 0 [ −σ4 ṅ0 A0 + 2σσ̇σ2 n0 A0 − 3 (σσ̇ Ω1 )2Ω1Ω2 + (σσ̇ Ω1 ).Ω2σ 2 − σσ̇σ2Ω3 ] . (30) Траектория шарнира будет плоской, если кручение (27) обращается в нуль, а это означает, что правая часть в (30) обращается в нуль: −σ4 ṅ0 A0 + 2σσ̇σ2 n0 A0 − 3 (σσ̇ Ω1 )2Ω1Ω2 + (σσ̇ Ω1 ).Ω2σ 2 − σσ̇σ2Ω3 = 0. (31) Введем безразмерный параметр k∗ = A/(A+A0) и представим (22) в виде θ̇ = Ω1 k∗ , (32) тогда σσ̇ Ω1 = σσ′ k∗ , (33) а из уравнения (17) с учетом (32) находим Ω3 = n0 A0 − Ω′2 k∗ . (34) Подставив (33), (34) в (31), получим уравнение второго порядка для опреде- ления пока произвольной функции σ(u) A0Ω2(σσ′)′ +A0Ω′2(σσ′)− σσ′n0k∗ − σ2n′0k∗ + 2n0k∗σσ ′ − 3A0Ω2(σ′)2 = 0, которое представим в виде (A0Ω2σσ ′ − σ2n0k∗)′ = 3σ′ σ (A0Ω2σσ ′ − σ2n0k∗). Порядок уравнения можно понизить A0Ω2σσ ′ − σ2n0k∗ = C2σ 3, (35) где C2 – постоянная интегрирования. 86 Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов Общее решение уравнения Бернулли (35) будет содержать интеграл C2 ∫ (1 + bu2) k∗−1 2 du, который согласно теореме Чебышева в элементарных функциях не выражается, поэтому для гиростата считаем C2 = 0. (36) При этом уравнение (35) принимает вид A0Ω2σσ ′ − σ2n0k∗ = 0. (37) Подставив в него (2), (4), (8), получим интеграл σ2(u) = K2(1 + bu2)k∗ , (38) где K2 – вторая постоянная интегрирования. Теперь из (38) с учетом (19), (2), (8), находим Ω1(u) = R(u) (1 + bu2)k∗/2 √ 1− u2 , (39) где R2(u) = K2(1− u2)− J2C2 A2 0 (1 + bu2)1−k∗ . (40) Заметим, что при условии (35) кривизна постоянна и равна k∗ = 1 a0 √ 1 + C2 2 A2 0 . (41) Поясним механический смысл соотношения (41). Траектория шарнира – это сферическая кривая r2∗ = a2 0, которая при равном нулю кручении являет- ся окружностью, и для нее кривизна постоянна. При ограничении (36), как следует из (41), радиус кривизны равен a0. Таким образом, при σ2, определя- емой из (38), шарнир совершает круговое движение по окружности радиуса a0. Так как траектория шарнира – плоская кривая, то с ее помощью мож- но ввести неподвижный базис. Положение точки O на окружности радиуса a0 будем характеризовать углом ψ между радиус-вектором r∗ и положитель- ным направлением первой оси. Ортонормированный неподвижный базис с центром в точке C∗ (центр масс системы) обозначим E1E2E3, тогда r∗ = x1E1 + x2E2, (42) r∗ = a0(E1 cosψ + E2 sinψ). (43) 87 М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева Теперь скорость шарнира V∗ получим, дифференцируя (42) и (43), V∗ = ṙ∗ = ẋ1E1 + ẋ2E2, (44) V∗ = a0ψ̇(−E1 sinψ + E2 cosψ). (45) Для определения ψ̇ используем (45), (14) и обозначение (19). Тогда ψ̇2 = = V∗ ·V∗ = σ2 или ψ̇ = σ(u). (46) Переходя от дифференцирования по времени к дифференцированию по переменной (9), учитывая (32), (19), (38), (40), находим ψ − ψ0 = −Kk∗ u∫ u0 du R(u) . Стоящий справа интеграл относится к “неберущимся”. Ускорение шарнира W∗ находим, дифференцируя (44), (45) с учетом (46) W∗ = ẍ1E1 + ẍ2E2, W∗ = a0 [ −(σ̇ sinψ + σ2 cosψ)E1 + (σ̇ cosψ − σ2 sinψ)E2 ] . (47) Подставив (45)–(47) в (25), определяем вектор B∗ в неподвижном базисе B∗ = a2 0σ 3E3. (48) Установим связь между полуподвижным базисом e1e0 2e 0 3 и неподвижным E1E2E3, воспользовавшись соотношением (14) и (45), (13) и (43), (26) и (48), а также (37): −E1 sinψ + E2 cosψ = −e1 sinβ + e0 2 cosβ, −E1 cosψ − E2 sinψ = e0 3, E3 = e1 cosβ + e0 2 sinβ. Из этих соотношений получаем E1 = e1 sinβ sinψ − e0 2 cosβ sinψ − e0 3 cosψ, E2 = −e1 sinβ cosψ + e0 2 cosβ cosψ − e0 3 sinψ, E3 = e1 cosβ + e0 2 sinβ и e1 = E1 sinβ sinψ − E2 sinβ cosψ + E3 cosβ, (49) e0 2 = −E1 cosβ sinψ + E2 cosβ cosψ + E3 sinβ, (50) e0 3 = −E1 cosψ − E2 sinψ, (51) 88 Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов где cosβ = Ω1/σ, sinβ = Ω2/σ. Так как Ω∗ = Ω1e1 + Ω2e0 2 + n0 J0 e0 3, (52) с учетом (49)–(51) запишем представление этого вектора в неподвижном ба- зисе Ω∗ = p1E1 + p2E2 + p3E3, (53) где p1 = −n0 J0 cosψ, p2 = −n0 J0 sinψ, p3 = σ. Неподвижный аксоид тела S0 [5, (10.96)] имеет вид ζ0 = µ Ω∗ Ω∗ + Ω∗ ×V∗ Ω2 ∗ + r∗ = ζ0 1E1 + ζ0 2E2 + ζ0 3E3. Подставив сюда (53), (45), (46), (43), получим компоненты ζ0 1 (µ, u) = −F0(µ, u) n0(u) J0 cosψ, ζ0 2 (µ, u) = −F0(µ, u) n0(u) J0 sinψ, ζ0 3 (µ, u) = F0(µ, u)σ(u), (54) где F0(µ, u) = µ Ω∗(u) − a0 Ω2 ∗(u) n0(u) J0 , Ω2 ∗(u) = σ2(u) + n2 0(u) J0 0 . (55) Подвижный аксоид тела S0 имеет вид [5, (10.90)] ξ0 = µ Ω∗ Ω∗ + Ω∗ ×V∗ Ω2 ∗ . (56) Вначале запишем его представление в полуподвижном базисе e1e0 2e 0 3 ξ0 = ξ01e1 + ξ02e0 2 + ξ03e0 3. Подставив в (56) соотношения (52), (14), получим компоненты ξ01(µ, u) = F0(µ, u)Ω1(u), ξ02(µ, u) = F0(µ, u)Ω2(u), ξ03(µ, u) = a0 + F0(µ, u) n0(u) J0 , 89 М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева где F0(µ, u) определена в (55). Зная компоненты аксоидов в полуподвижном базисе, сможем определить его компоненты в неизменно связанном с телом S0 базисе e0∗ 1 e0∗ 2 e0∗ 3 , используя формулы перехода [2] e1 = e0∗ 1 cos Φ− e0∗ 2 sin Φ, e0 2 = e0∗ 1 sin Φ + e0∗ 2 cos Φ, ξ0 = ξ0∗1 e0∗ 1 + ξ0∗2 e0∗ 2 + ξ03e0 3, ξ0∗1 = ξ01 cos Φ + ξ02 sin Φ, ξ0∗2 = −ξ01 sin Φ + ξ02 cos Φ, ξ0∗3 = ξ03 , (57) где угол Φ определим квадратурой из (12) с учетом (9), (10), (22), (39): Φ− Φ0 = −Ck∗ AA0 u∫ u0 {A(A0 + J) + [A0(J +A) + (A+A0)bJ ]u2}u du R(u)(1− u2)(1 + bu2) k∗+1 2 . Скорость скольжения подвижного аксоида (57) по неподвижному v = (Ω∗ ·V∗)/Ω∗, как следует из (52), (14), обращается в нуль. Таким образом, при движении тела S подвижный аксоид (57) катится по неподвижному аксоиду (54) без скольжения. Неподвижный аксоид тела S имеет вид ζ = µ ω∗ ω∗ + ω∗ ×V∗ ω2 ∗ + r∗ (58) и в неподвижном пространстве имеет представление ζ = ζ1E1 + ζ2E2 + ζ3E3. Так как векторы r∗ и V∗ соотношениями (43), (45) уже представлены в неподвижном базисе, то необходимо лишь получить выражение для ω∗ в этом же базисе. Для этого вначале воспользуемся формулами [2] e2 = e0 2 cos θ − e0 3 sin θ, e3 = e0 2 sin θ + e0 3 cos θ, и следующими из них e0 2 = e2 cos θ + e3 sin θ, e0 3 = −e2 sin θ + e3 cos θ. (59) Запишем вектор ω∗ = ω1e1 + ω2e2 + n J e3 (60) 90 Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов в базисе e1e0 2e 0 3 ω∗ = ω1e1 + ( ω2 cos θ + n J sin θ ) e0 2 + ( −ω2 sin θ + n J cos θ ) e0 3. С учетом соотношения n0 J0 = −ω2 sin θ + n J cos θ из [1] имеем ω∗ = ω1e1 + ( ω2 cos θ + n J sin θ ) e0 2 + n0 J0 e0 3. (61) Подставив соотношения (21), (39), (6), (8), (4), (49)–(51) в (61), представим вектор ω∗ в неподвижном базисе: ω∗ = q1E1 + q2E2 + q3E3, (62) где q1(u) = − 1√ 1 + bu2 [(A− J)C AK R(u) sinψ + JCbu J0 cosψ ] , q2(u) = 1√ 1 + bu2 [(A− J)C AK R(u) cosψ − JCbu J0 sinψ ] , (63) q3(u) = −(1 + bu2)−k∗/2 K [ A A0 K2(1 + bu2)k∗ + (A− J)JC2 AA0 ] . Внесем (62), (43), (45) в (58) и получим компоненты ζ1(u) = µ q1(u) ω∗(u) + a0 [ 1− σ(u)q3(u) ω2 ∗(u) ] cosψ, ζ2(u) = µ q2(u) ω∗(u) + a0 [ 1− σ(u)q3(u) ω2 ∗(u) ] sinψ, (64) ζ3(u) = µ q3(u) ω∗(u) + a0σ(u) ω2 ∗(u) [q1(u) cosψ + q2(u) sinψ]. С учетом (5), (6), (8), (21), (19) определяем ω2 ∗(u) = A2 0 A2 σ2(u) + J2C2 A2 [ b+ (A2 J2 − 1− b ) 1 bu2 + 1 ] . (65) Отметим, что q1(u) cosψ + q2(u) sinψ, как следует из (63), имеет вид q1(u) cosψ + q2(u) sinψ = − JCbu J0 √ 1 + bu2 = −n0(u) J0 . Теперь запишем (64) в виде ζ1(µ, u) = µ q1(u) ω∗(u) + a0 [ 1− σ(u)q3(u) ω2 ∗(u) ] cosψ, 91 М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева ζ2(µ, u) = µ q2(u) ω∗(u) + a0 [ 1− σ(u)q3(u) ω2 ∗(u) ] sinψ, ζ3(µ, u) = µ q3(u) ω∗(u) − a0 σ(u)JCbu J0ω2 ∗(u) √ 1 + bu2 , где σ(u), qi(u), ω∗(u), n0(u) определены в (38), (63), (65), (4), (8). Подвижный аксоид тела S имеет вид ξ = µ ω∗ ω∗ + ω∗ ×V∗ ω2 ∗ . (66) Запишем его вначале в полуподвижном базисе e1e2e3 ξ = ξ1e1 + ξ2e2 + ξ3e3. Так как вектор V∗ имеет разложение (14), необходимо иметь также его разложение в базисе e1e2e3, которое выполним, используя формулы (59), V∗ = a0[−Ω2e1 + e2Ω1 cos θ + e3Ω1 sin θ]. (67) Внесем (60), (67) в (66), получим компоненты ξ1 = µ ω1 ω∗ + a0 ω2 ∗ n0 J0 Ω1, ξ2 = µ ω2 ω∗ − a0 ω2 ∗ ( Ω1ω1 sin θ + Ω2 n J ) , ξ3 = µ n Jω∗ + a0 ω2 ∗ (Ω1ω1 cos θ + Ω2ω2). Подставив сюда (2), (4), (6), (8), (21), (39), находим ξ1(µ, u) = [ a0JCb J0ω2 ∗(u) √ 1 + bu2 − A0µ Aω∗(u) ] R(u)(1 + bu2)k∗/2 √ 1− u2 , ξ2(µ, u) = 1√ 1− u2 { µJC(1 + b)u Aω∗(u) √ 1 + bu2 + (68) + a0 ω2 ∗(u) A0 A [ K2(1 + bu2)k∗(1− u2) + J2C2 A2 0 (A J − 1− bu2 )]} , ξ3(µ, u) = Cµ ω∗(u) √ 1 + bu2 − a0A0u Aω2 ∗(u) [ K2(1 + bu2)k∗ + J2C2b A2 0 ] . Запишем разложение вектора ξ в неизменно связанном с телом базисе e∗1e ∗ 2e3 ξ = ξ∗1e∗1 + ξ∗2e∗2 + ξ3e3. 92 Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов Так как e∗1 = e1 cosϕ+ e2 sinϕ, e∗2 = −e1 sinϕ+ e2 cosϕ, то ξ∗1 = ξ1 cosϕ+ ξ2 sinϕ, ξ∗2 = −ξ1 sinϕ+ ξ2 cosϕ, (69) а угол ϕ определим квадратурой из (11) с учетом (7), (8), (22), (39) ϕ− ϕ0 = −Ck∗ AA0 u∫ u0 {A(A0 + J) + [A0(J −A) + (A+A0)Jb]u2}du (1− u2)(1 + bu2) k∗+1 2 R(u) . Вычисляем ω∗ ·V∗, воспользовавшись (60), (67): ω∗ ·V∗ = a0 [ −ω1Ω2 + Ω1 ( ω2 cos θ + n J sin θ )] . С учетом (39), (21), (2), (6), (8) имеем ω∗ ·V∗ = a0 ( 1− J A )CR(u)(1 + bu2) k∗−1 2 и, следовательно, скорость скольжения ω∗ ·V∗ ω∗ = a0 ω∗(u) A− J A CR(u)(1 + bu2) k∗−1 2 (70) отлична от нуля. Следовательно, движение подвижного аксоида (69), (68) по неподвиж- ному аксоиду (64) сопровождается скольжением вдоль общей образующей аксоидов со скоростью (70). 1. Лесина М.Е., Харламов А.П. Движение по инерции двух гироскопов Лагранжа, со- единенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 1995. – Вып. 27. – С. 15–21. 2. Гоголева Н.Ф., Зиновьева Я.В. Уравнение аксоидов задачи о движении двух гироско- пов Лагранжа, соединенных упругим и неголономным шарниром // Сб. научн.-метод. работ. – Вып. 4. – Донецк: ДонНТУ, 2006. – С. 63–80. 3. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Аксоиды для нового точного решения в задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром. / Там же. – Вып. 5. – Донецк: ДонНТУ, 2007. – С. 96–125. 4. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Уравнение аксоидов задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром при нулевом значении момента ко- личества движения системы. / Там же. – Вып. 5. – Донецк: ДонНТУ, 2007. – С. 70–96. 5. Лесина М.Е. Точные решения двух новых задач аналитической динамики систем со- члененных тел. – Донецк: ДонГТУ, 1996. – 238 с. 6. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950. – 428 с. Национальный техн. ун-т, Донецк, Украина Получено 19.12.07 93

Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа

Репозитарії

Схожі ресурси