Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе

Рассматривается статически уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе, снабженный синхронным электродвигателем и установленный на неподвижном основании. Изучается влияние малой динамической несимметрии ротора на равномерные вращения ротора вокруг неподвижной оси. Найдена средняя угловая скорость...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Коносевич, Ю.Б.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28007
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 94-104. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-28007
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-280072011-10-26T12:11:06Z Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе Коносевич, Ю.Б. Рассматривается статически уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе, снабженный синхронным электродвигателем и установленный на неподвижном основании. Изучается влияние малой динамической несимметрии ротора на равномерные вращения ротора вокруг неподвижной оси. Найдена средняя угловая скорость псевдорегулярной прецессии, т. е. скорость ухода гироскопа от заданного направления. В качестве приложения общей формулы ухода рассмотрен случай гироскопа в кардановом подвесе с неаксиально насаженным на вал ротором. Дан числовой пример. 2009 Article Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 94-104. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28007 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматривается статически уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе, снабженный синхронным электродвигателем и установленный на неподвижном основании. Изучается влияние малой динамической несимметрии ротора на равномерные вращения ротора вокруг неподвижной оси. Найдена средняя угловая скорость псевдорегулярной прецессии, т. е. скорость ухода гироскопа от заданного направления. В качестве приложения общей формулы ухода рассмотрен случай гироскопа в кардановом подвесе с неаксиально насаженным на вал ротором. Дан числовой пример.
format	Article
author	Коносевич, Ю.Б.
spellingShingle	Коносевич, Ю.Б. Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе Механика твердого тела
author_facet	Коносевич, Ю.Б.
author_sort	Коносевич, Ю.Б.
title	Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_short	Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_full	Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_fullStr	Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_full_unstemmed	Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_sort	скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28007
citation_txt	Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 94-104. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT konosevičûb skorostʹuhodadinamičeskinesimmetričnogosinhronnogogiroskopavkardanovompodvese
first_indexed	2025-07-03T07:58:57Z
last_indexed	2025-07-03T07:58:57Z
_version_	1836611837053894656
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39 УДК 531.38 c©2009. Ю.Б. Коносевич СКОРОСТЬ УХОДА ДИНАМИЧЕСКИ НЕСИММЕТРИЧНОГО СИНХРОННОГО ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ Рассматривается статически уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе, снабженный синхронным электродвигателем и установленный на неподвижном основании. Изучается влияние малой динамической несимметрии ротора на равномерные вращения ротора во- круг неподвижной оси. Найдена средняя угловая скорость псевдорегулярной прецессии, т. е. скорость ухода гироскопа от заданного направления. В качестве приложения общей формулы ухода рассмотрен случай гироскопа в кардановом подвесе с неаксиально наса- женным на вал ротором. Дан числовой пример. Введение. Изучая влияние начальных возмущений на равномерные вра- щения идеального уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе, уста- новленного на неподвижном основании, К. Магнус [1], а также Б.Т. Плай- мель и Р. Гудстейн [2] установили, что под влиянием возмущений в системе возникают колебания, сопровождающиеся систематическим поворотом (ухо- дом) оси ротора вокруг наружной оси подвеса. Была получена приближенная формула средней угловой скорости ухода. Если учесть трение в осях подве- са, то колебания станут затухающими и систематического ухода не будет. Поэтому представляет интерес изучить влияние вынужденных колебаний на уход гироскопа. Такие колебания могут возникать вследствие динамической несимметрии ротора, колебаний основания, упругости элементов подвеса и по другим причинам. Д.М. Климов [3] определил скорость систематического ухода гироскопа при вынужденных колебаниях, обусловленных неточной насадкой ротора на вал и возникающей вследствие этого динамической несбалансированностью ротора. В его работе угловая скорость ротора относительно внутренней “рам- ки”, предполагалась постоянной. В действительности при наличии электро- двигателя это условие выполнено лишь приближенно. Поэтому представля- ет интерес определить скорость ухода с учетом влияния электродвигателя. Применяются электродвигатели двух типов: асинхронный и синхронный. Для статически уравновешенного асинхронного гироскопа в кардановом подвесе с динамически несимметричным ротором скорость ухода определил Б.И. Ко- носевич [4]. Целью данной работы является определение скорости ухода оси ротора для синхронного гироскопа в кардановом подвесе. Для этого используются результаты, полученные в статьях [5, 6]. 94 Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа 1. Влияние динамической несимметрии ротора на стационарные движения общего вида. В [5, 6] рассматривалось влияние малой динами- ческой несимметрии ротора на стационарные движения гироскопа в карда- новом подвесе, установленного на неподвижном основании в поле силы тяже- сти и имеющего вертикальную наружную ось подвеса. Задача о гироскопе в кардановом подвесе рассматривалась в обобщенной постановке [7], берущей начало от работы П.В. Харламова [8]. В этом случае “рамки” подвеса имеют произвольную форму, внутренняя ось подвеса, вообще говоря, неортогональ- на наружной оси подвеса и оси ротора, и все эти три оси в общем случае не пересекаются в одной точке. Положение системы в каждый момент времени определяют углы α, β, ϕ, где α – угол поворота наружной рамки относитель- но основания, β – угол поворота внутренней рамки относительно наружной, ϕ – угол поворота ротора относительно внутренней рамки. Трение в осях под- веса отсутствует. Внутренняя “рамка” и ротор образуют вместе синхронный электродвигатель. Алгебраическая сумма вращающего момента синхронного двигателя и мо- мента диссипативных сил относительно оси ротора представляется в виде L = −λp1γ − λd1γ̇ + λp2γ 2 + λd2γ̇ 2 + . . . (λp1 > 0, λd1 > 0), (1) где γ = ϕ−ωt−ϕ0, γ̇ = ϕ̇−ω, ω > 0 – угловая скорость вращения магнитного поля в статоре электродвигателя. В случае, когда ротор является динамически симметричным, потенци- альная энергия силы тяжести зависит только от угла β: U = U0(β) = u0+ +u1 sinβ+u2 cosβ, и лагранжевы уравнения движения гироскопа принимают вид d dt [ G0(β)α̇+N0(β)β̇ +Q0(β)ϕ̇ ] = 0, d dt [ N0(β)α̇+H0β̇ +R0ϕ̇ ] − α̇ [ 1 2 G′0(β)α̇+N ′0(β)β̇ +Q′0(β)ϕ̇ ] = −U ′0(β), d dt [ Q0(β)α̇+R0β̇ + Cϕ̇ ] = L(ϕ− ωt− ϕ0, ϕ̇). (2) Величины G0, H0, N0, Q0, R0 являются коэффициентами при произведениях скоростей α̇, β̇, ϕ̇ в выражении кинетической энергии системы, C – осевой момент инерции ротора. Штрих означает дифференцирование по β. Система (2) допускает семейство стационарных решений α̇ = Ω0, β̇ = 0, ϕ̇ = ω, β = β0, ϕ = ωt+ ϕ0, (3) где постоянные Ω0, β0 связаны соотношением −Ω0 [ Ω0 2 G′0(β0) + ωQ′0(β0) ] + U ′0(β0) = 0. (4) 95 Ю.Б. Коносевич Поскольку равенство U ′0(β0) = 0 выполняется только для двух значений β0 на периоде функции U0(β), соотношение (4) определяет, как правило, нену- левые значения Ω0. Следовательно, для гироскопа с вертикальной наружной осью подвеса стационарными движениями в общем случае являются регуляр- ные прецессии ротора вокруг наружной оси подвеса. В работах [5, 6] предпо- лагалось, что выполнено достаточное условие их устойчивости, найденное на основе линеаризованных уравнений движения. Было показано, что при нали- чии малой динамической несимметрии ротора существует режим псевдоре- гулярной прецессии, который представляет собой наложение периодических колебаний на регулярную прецессию, близкую к невозмущенной. Этот режим асимптотически устойчив для приведенной системы и аналитически зависит от малого параметра, характеризующего динамическую несимметрию рото- ра. Таким образом, если невозмущенным стационарным движением является регулярная прецессия, то под влиянием малой динамической несимметрии ротора это движение переходит в псевдорегулярную прецессию, то есть каче- ственный вид движения не меняется. Если же невозмущенное стационарное движение – это равномерное вращение ротора вокруг неподвижной оси, то под влиянием динамической несимметрии происходит качественное измене- ние характера движения: вместо равномерного вращения возникает прецес- сия, сопровождающаяся высокочастотными колебаниями. Поэтому представляет интерес изучить влияние малой динамической не- симметрии ротора на равномерные вращения и получить формулу угловой скорости псевдорегулярной прецессии (или, как говорят, скорости ухода). Для этого вместо предположения о вертикальности наружной оси подвеса в данной работе принимаются условия статической уравновешенности систе- мы. Именно эти условия обеспечивают существование равномерных враще- ний для гироскопа с динамически симметричным ротором при любом значе- нии внутреннего карданова угла. 2. Формулировка теоремы существования и устойчивости псев- дорегулярной прецессии для случая равномерных вращений. Итак, рассмотрим синхронный гироскоп в кардановом подвесе, который установлен на неподвижном основании и является статически уравновешенным относи- тельно осей подвеса и ротора. Его потенциальная энергия U(α, β, ϕ) = const. Пусть A3 ij (i, j = 1, 2, 3) – моменты инерции ротора в связанной с ним системе координат [7]. Предположим, что ротор обладает малой динамической несимметрией от- носительно оси своего вращения во внутренней “рамке”. Это означает, что от- ношения величин A3 ij (i 6= j), A3 22 −A3 33 к C = A3 11 представляются в виде произведений безразмерного малого параметра ε на величины, которые по 96 Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа модулю близки или меньше единицы. Тогда выражение [7] для кинетической энергии системы принимает вид T = 1 2 [ G(β, ϕ, ε)α̇2 +H(ϕ, ε)β̇2 + Cϕ̇2 + 2N(β, ϕ, ε)α̇β̇+ +2Q(β, ϕ, ε)α̇ϕ̇+ 2R(ϕ, ε)β̇ϕ̇ ] . (5) Для коэффициентов квадратичной формы (5) имеем выражения G(β, ϕ, ε) = G0(β) + εg(β, ϕ), H(ϕ, ε) = H0 + εh(ϕ), N(β, ϕ, ε) = (6) = N0(β) + εn(β, ϕ), Q(β, ϕ, ε) = Q0(β) + εq(β, ϕ), R(ϕ, ε) = R0 + εr(ϕ), где величины, обозначенные малыми латинскими буквами, являются триго- нометрическими полиномами относительно β, ϕ, они ограничены при ε→ 0. Уравнения движения такого гироскопа допускают интеграл α̇G(β, ϕ, ε) + β̇N(β, ϕ, ε) + ϕ̇Q(β, ϕ, ε) = p (p = const). (7) Из условия (4) следует, что в случае ε = 0 уравнения движения статиче- ски уравновешенного гироскопа при любом значении β0 допускают решение α̇ = 0, β̇ = 0, ϕ̇ = ω, β = β0, ϕ = ωt+ ϕ0, (8) которому соответствует режим равномерного вращения ротора. С учетом интеграла (7) равенство α̇ = 0, являющееся условием суще- ствования режима (8) при данном β0, эквивалентно равенству p0 − ωQ0(β0) = 0. (9) Пусть для некоторой пары β0, p0 выполнены указанные в [9] условия устойчивости (точнее, условия отрицательности действительных частей кор- ней характеристического уравнения приведенной системы, линеаризованной в окрестности соответствующего режима равномерного вращения). Тогда для значений p из некоторого интервала (p1, p2), содержащего точку p0, условие существования равномерных вращений p − ωQ0(β) = 0 определяет значе- ния β как непрерывную функцию β = β∗(p). Поскольку Q0(β) = q0 + q1 sinβ (q1 6= 0), функция β∗(p) выражается через арксинус. Уменьшая интервал (p1, p2), можно добиться того, чтобы условия устойчивости выполнялись для всех p из интервала (p1, p2). Тогда, на основании теоремы 2 из [6], существует ε0 > 0 такое, что при любых p ∈ (p1, p2), ε ∈ (0, ε0) уравнения движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе имеют решение вида α̇ = εyα̇(t, ε, p), β = β∗(p) + εyβ(t, ε, p), ϕ = ωt+ ϕ0 + εyϕ(t, ε, p), (10) 97 Ю.Б. Коносевич где yα̇, yβ, yϕ(t, ε, p) – периодические функции времени периода 2π/ω, ана- литические по ε. Это решение асимптотически устойчиво в классе решений с данным значением постоянной p. Так как в общем случае среднее значение < yα̇ > периодической функции yα̇(t, ε, p) отлично от нуля, то решение (10) описывает псевдорегулярную прецессию ротора вокруг наружной оси подвеса, т. е. регулярную прецес- сию, сопровождающуюся высокочастотными периодическими колебаниями. Поскольку эта псевдорегулярная прецессия асимптотически устойчива, то к ней при t→∞ стремится возмущенное движение, в которое переходит исход- ное равномерное вращение (8) под действием начальных возмущений и возму- щений конструктивных параметров, вызывающих динамическую несиммет- рию ротора. Таким образом, происходит качественное изменение характера движения: вместо того, чтобы сохранять заданное направление, ось ротора отклоняется (или, как говорят, уходит) от этого направления по углу α с постоянной средней угловой скоростью < α̇ >= ε < yα̇ >. Найдем прибли- женное выражение для угловой скорости ухода < α̇ >. 3. Уравнения первого и второго приближения. Для приближен- ного определения < α̇ > воспользуемся свойствами аналитичности решения (10) по параметру ε и его периодичности по t. В силу аналитичности этого решения оно представляется степенными рядами по ε: α̇ = εα̇1 + ε2α̇2 + ..., β = β∗+ εβ1 + ε2β2 + ..., ϕ = τ + εϕ1 + ε2ϕ2 + ..., (11) а в силу его периодичности коэффициенты этих рядов являются периодиче- скими функциями времени периода 2π/ω. Здесь β∗ = β∗(p), для краткости введено обозначение τ = ωt+ϕ0 и опущены аргументы t, p у коэффициентов α̇k, βk, ϕk, k = 1, 2, ... . Выведем дифференциальные уравнения, которым удо- влетворяют коэффициенты разложений (11). Для этого следует подставить разложения (11) в уравнения (2) и приравнять коэффициенты при одинако- вых степенях ε. Первое уравнение возьмем в виде интеграла (7). Получаем следующую систему уравнений первого приближения G0∗α̇1 +N0∗β̇1 +Q0∗ϕ̇1 + ωQ′0∗β1 = −ω(q1∗ cos τ + q2∗ sin τ), N0∗α̈1 +H0β̈1 +R0ϕ̈1 − ωQ′0∗α̇1 = ω2(r1 sin τ − r2 cos τ), Q0∗α̈1 +R0β̈1 + Cϕ̈1 + λd1ϕ̇1 + λp1ϕ1 = 0. (12) Здесь и далее индексом звездочка (*) обозначены функции угла β, взятые 98 Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа при β = β∗(p). Система уравнений второго приближения имеет вид G0∗α̇2 +N0∗β̇2 +Q0∗ϕ̇2 + ωQ′0∗β2 = = −{G′0∗β1α̇1 + g∗(τ)α̇1 +N ′0∗β1β̇1 + n∗(τ)β̇1 +Q′0∗β1ϕ̇1 + q∗(τ)ϕ̇1+ + 1 2 ωβ2 1Q ′′ 0∗ + ωβ1q ′ ∗(τ) + ωϕ1qϕ∗(τ)}, N0∗α̈2 +H0β̈2 +R0ϕ̈2 − ωQ′0∗α̇2 = = − d dt [ N ′0∗β1α̇1 + n∗(τ)α̇1 + h(τ)β̇1 + r(τ)ϕ̇1 + ωrϕ(τ)ϕ1 ] + (13) +α̇1 (1 2 G′0∗α̇1 +N ′0∗β̇1 +Q′0∗ϕ̇1 + ωQ′′0∗β1 + ωq′1∗ cos τ + ωq′2∗ sin τ ) , Q0∗α̈2 +R0β̈2 + Cϕ̈2 + λd1ϕ̇2 + λp1ϕ2 = − d dt [ Q′0∗β1α̇1 + q∗(τ)α̇1 + r(τ)β̇1 ] + +ω ( qϕ∗(τ)α̇1 + rϕ(τ)β̇1 ) + λd2ϕ̇ 2 1 + λp2ϕ 2 1. 4. Периодическое решение уравнений первого приближения. Най- дем периодическое по t с периодом 2π/ω решение системы первого приближе- ния (12). Оно имеет структуру правых частей этой системы, т. е. представля- ется в виде суммы произведений постоянных коэффициентов на cos τ и sin τ . Запишем это решение в комплексной форме α̇1 = a−1e −iτ + a1e iτ , β1 = b−1e −iτ + b1e iτ , ϕ1 = c−1e −iτ + c1e iτ . (14) Так как это решение действительно, то постоянные комплексные коэффи- циенты в формулах (14) связаны соотношениями a1 = a−1, b1 = b−1, c1 = c−1. (15) Коэффициенты в решении (14) уравнений (12) по правилу Крамера вы- ражаются формулами a−1 = a1 = 1 2∆ ∣∣∣∣∣∣∣ ω(−q1∗ − iq2∗) ω(Q′0∗ − iN0∗) −iωQ0∗ ω2(r2 − ir1) ω2H0 ω2R0 0 ω2R0 ω2C − λp1 + iωλd1 ∣∣∣∣∣∣∣ , b−1 = b1 = 1 2∆ ∣∣∣∣∣∣∣ G0∗ ω(−q1∗ − iq2∗) −iωQ0∗ ω(Q′0∗ + iN0∗) ω2(r2 − ir1) ω2R0 iωQ0∗ 0 ω2C − λp1 + iωλd1 ∣∣∣∣∣∣∣ , (16) 99 Ю.Б. Коносевич c−1 = c1 = 1 2∆ ∣∣∣∣∣∣∣ G0∗ ω(Q′0∗ − iN0∗) ω(−q1∗ − iq2∗) ω(Q′0∗ + iN0∗) ω2H0 ω2(r2 − ir1) iωQ0∗ ω2R0 0 ∣∣∣∣∣∣∣ . Здесь ∆ = ω4 [ J∗ − CQ ′2 0∗ + λp1 ω2 ( Q ′2 0∗ − J1∗ ) + i λd1 ω ( J1∗ −Q ′2 0∗ )] ; (17) через J∗, J1∗ обозначены величины J = ∣∣∣∣∣∣∣∣ G0 N0 Q0 N0 H0 R0 Q0 R0 C ∣∣∣∣∣∣∣∣ , J1 = G0H0 −N2 0 , (18) взятые при β = β∗(p). Величины q1(β), q2(β), r1, r2, входящие в формулы (16), возникают при введении малого параметра в формулы для Q,R: Q = Q0(β) +Q1(β) cosϕ+Q2(β) sinϕ = Q0(β) + ε[q1(β) cosϕ+ q2(β) sinϕ], (19) R = R0 +R1 cosϕ+R2 sinϕ = R0 + ε[r1 cosϕ+ r2 sinϕ]. 5. Угловая скорость ухода. Перейдем к уравнениям второго прибли- жения (13). Решение этих уравнений с периодом 2π/ω имеет структуру их правых частей, т. е. α̇2 = a0 + a−2e −2iτ + a2e 2iτ , β2 = b0 + b−2e −2iτ + b2e 2iτ , ϕ2 = c0 + c−2e −2iτ + c2e 2iτ (a−2 = a2, b−2 = b2, c−2 = c2). (20) Коэффициенты a−2, b−2, c−2 определяются таким же способом, как и коэф- фициенты a−1, b−1, c−1 в решении первого приближения. В результате получаем во втором приближении периодическое решение уравнений движения в виде α̇ = ε2a0 + ε ( a−1e −iτ + a1e iτ ) + ε2 ( a−2e −2iτ + a2e 2iτ ) , β = β∗ + ε2b0 + ε ( b−1e −iτ + b1e iτ ) + ε2 ( b−2e −2iτ + b2e 2iτ ) , ϕ = τ + ε2c0 + ε ( c−1e −iτ + c1e iτ ) + ε2 ( c−2e −2iτ + c2e 2iτ ) . (21) Оно описывает псевдорегулярную прецессию ротора относительно наружной оси подвеса. Угловая скорость этой псевдорегулярной прецессии (скорость 100 Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа систематического ухода гироскопа) равна среднему значению величины α̇, т. е. < α̇ >= ε2a0. Найдем явное выражение скорости ухода. Для этого достаточно опреде- лить постоянный член в разложении правой части второго уравнения (13) по einτ (n = 0, ±1, ±2, ...). Получаем < α̇ >= = −ε2 2 ωQ′0∗ Re a−1 [1 2 G′0∗a1 +ω ( Q′′0∗+ iN ′0∗ ) b1 + iωQ′0∗c1 + 1 2 ω ( q′1∗− iq′2∗ )] . (22) Чтобы записать этот результат в компактном виде через определители, пред- ставим выражение, заключенное в формуле (22) в квадратные скобки, как разложение определителя четвертого порядка по верхней строке. Переходя к исходным обозначениям (без параметра ε), получаем следующую формулу для угловой скорости систематического ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе < α̇ >= − ω 2Q′0∗D Re ∣∣∣∣∣∣∣∣ Q2∗ − iQ1∗ N0∗ + iQ′0∗ Q0∗ R2 − iR1 H0 R0 0 R0 C − λp1 ω2 + i λd1 ω ∣∣∣∣∣∣∣∣× × ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 G′0∗ N ′0∗ − iQ′′0∗ Q′0∗ Q′2∗ + iQ′1∗ G0∗ N0∗ − iQ′0∗ Q0∗ Q2∗ + iQ1∗ N0∗ + iQ′0∗ H0 R0 R2 + iR1 Q0∗ R0 C − λp1 ω2 − iλd1 ω 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (23) Здесь D = [ J∗ − CQ ′2 0∗ + λp1 ω2 ( Q ′2 0∗ − J1∗ )]2 + λ2 d1 ω2 ( J1∗ −Q ′2 0∗ )2 . (24) Члены формул (6), отмеченные нулевым нижним индексом, не зависят от параметров A3 ij (i 6= j), A3 22 − A3 33, характеризующих динамическую несим- метрию ротора. Вследствие этого динамическая несимметрия ротора входит в формулу угловой скорости ухода (23) только через элементы первого столб- ца определителя третьего порядка и элементы последнего столбца опреде- лителя четвертого порядка. Такие элементы выражаются через величины Q1(β), Q2(β), R1, R2, которые представляются формулами [7]: Q1(β) = −A3 12 sin θ3 cos θ2 +A3 13 sin θ2 cosβ +A3 12 cos θ3 sin θ2 sinβ, Q2(β) = A3 13 sin θ3 +A3 12 sin θ2 cosβ −A3 13 sin θ2 cos θ3 sinβ, R1 = −A3 12 sin θ3, R2 = A3 13 sin θ3, (25) 101 Ю.Б. Коносевич где θ2, θ3 – углы, образованные внутренней осью подвеса с наружной осью подвеса и осью ротора. Разность A3 22−A3 33 не входит в выражения (24). Вели- чина A3 23 также не входит в эти выражения. Отсюда следует, что в рассматри- ваемом приближении уход гироскопа возникает только благодаря тому, что хотя бы одна из величин A3 12, A3 13 отлична от нуля. Но любую из этих вели- чин можно сделать равной нулю за счет дополнительного поворота связанной с ротором системы координат (поворот осуществляется вокруг оси ротора). Пусть, например, A3 13 = 0. Тогда из всех параметров, характеризующих ди- намическую несимметрию ротора, в формуле ухода (23) остается только A3 12. 6. Пример применения общей формулы ухода. Пользуясь фор- мулой (23), можно получать развернутые аналитические формулы угловой скорости ухода для систем, отличающихся от обычной модели гироскопа в кардановом подвесе наличием малой динамической несимметрии ротора (ко- торая характеризуется величиной A3 12) и отдельными конструктивными несо- вершенствами (непересечение и неортогональность осей подвеса и ротора, несимметрия внутренней “рамки”, смещение центров масс наружной и внут- ренней “рамок” с их осей вращения). Предположим, что указанные несовершенства малы. Тогда каждая из ве- личин с нулевым нижним индексом в формуле (23) представится в виде сум- мы аналогичной величины для обычной модели гироскопа в кардановом под- весе и малой добавки, зависящей от конструктивных несовершенств. Соглас- но (25), каждая из величин с индексом 1 или 2 в формуле (23) представится в виде суммы ведущего члена, который является малым вследствие малости величины A3 12, и добавочного члена более высокого порядка малости. В ре- зультате вклад рассматриваемых конструктивных несовершенств в угловую скорость ухода оказывается величиной более высокого порядка малости, чем главный член формулы (23). Этот главный член описывает уход гироскопа, который отличается от обычно рассматриваемой модели только тем, что для него A3 12 6= 0. Найдем аналитическое выражение скорости ухода для такого гироскопа. Для обычной модели гироскопа в кардановом подвесе имеем θ2 = θ3 = π/2, A2 ij = 0 (i 6= j), A3 11 = C, c = 0, c1 = ( c11, c 1 2, c 1 3 ) = 0, c2 = ( c21, c 2 2, c 2 3 ) = 0, s1 = ( 0, s12, s 1 3 ) = 0, s2 = ( 0, s22, s 2 3 ) = 0. (26) В рассматриваемом случае использование многоиндексных обозначений для моментов инерции неоправданно. Поэтому воспользуемся более простыми обозначениями A1 11 = C2, A2 11 = A1, A2 33 = B1, A2 22 = C1, A3 22 = A, A3 12 = E. (27) 102 Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа Полагаем для краткости I0 = C2 + B1 + C, I = C1 + A − B1 − C. Тогда, воспользовавшись формулами, приведенными в [7], получаем G0(β) = I0 + I cos2 β, H0 = A1 +A, N0(β) = 0, Q0(β) = C sinβ, R0 = 0, Q1(β) = 0, Q2(β) = E cosβ, R1 = −E, R2 = 0. В результате формула ухода (23) принимает вид < α̇ >= −ωE 2(A1 +A+ C)2 2CD∗ [((λp1 ω2 − C )2 + λ2 d1 ω2 ) (C2 +B1 + C)+ +C2 (λp1 ω2 − C )] sinβ∗, (28) где величина D∗ выражается формулой D∗ = [ J∗ − C3 cos2 β∗ − λp1 ω2 ( J1∗ − C2 cos2 β∗ )]2 + λ2 d1 ω2 ( J1∗ − C2 cos2 β∗ )2 . Как отмечалось выше, псевдорегулярная прецессия является асимптоти- чески устойчивой при данном значении p, если выполнены условия отри- цательности действительных частей корней характеристического уравнения приведенной системы, линеаризованной в окрестности равномерного враще- ния α̇ = 0, β = β∗(p), ϕ = ωt + ϕ0. Для обычной модели гироскопа в кар- дановом подвесе эти условия принимают вид неравенств Q′0∗ 6= 0, Q0∗ 6= 0. Согласно (19), эти неравенства выполняются на промежутке [−π/2, 3π/2] для значений β∗ 6= ±π/2, 0, π. Рассмотренный случай реализуется при неточной насадке динамически симметричного ротора на вал. Если полярная ось инерции ротора составляет с осью вала малый угол δ, то приближенно E = δ(A− C) [3]. Параметр λp1, входящий в формулу (28), характеризует жесткость маг- нитной связи между вращающимся магнитным полем статора и магнитным полем ротора синхронного электродвигателя. Параметр λd1 характеризует момент сил трения относительно оси ротора при отклонении его угловой ско- рости от ω. В пределе при λp1, λd1 →∞ формула (28) переходит в формулу, которая при условии ϕ̇ = ω = const получена в [5] для гироскопа с неакси- ально насаженным на вал ротором. 7. Числовой пример. Рассмотрим числовой пример. За основу возьмем числовые значения параметров гироскопа в кардановом подвесе из работы [10]. Полагаем δ = 0.1◦, β∗ = 30◦, ω = 1500 с−1, A = 3 · 103 г · см2, C = 5 · 103 г · см2, A1 = 2 · 103 г · см2, B1 = 2 · 103 г · см2, C1 = 4 · 103 г · см2, C2 = 3 · 103 г · см2. 103 Ю.Б. Коносевич Тогда при λp1 = 3.691 · 1010 г · см2 · с−2, λd1 = 4.019 · 105 г · см2 · с−1 по формуле (28) вычисляем скорость ухода < α̇ >= −9.644 · 10−4 c−1. Для сравнения отметим, что при выбранных значениях моментов инерции и угла β∗ скорость ухода по Климову равна < α̇ >∞= −9.36 · 10−4 c−1. 1. Magnus K. Beiträge zur Dynamik des Kraftefreien kardanisch gelagerten Kreisels // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanic. – 1955. – 35, № 1/2. – P. 83–91. 2. Plymale B.T., Goodstein R. Nutation of a free gyro subjected to an impulse // Transactions of ASME. J. Appl. Mech. – 1955. – 22, № 3. – P. 365–376. 3. Климов Д.М. О движении астатического гироскопа в кардановом подвесе с неаксиально насаженным ротором // Докл. АН СССР. – 1959. – 124, № 3. – С. 29–32. 4. Коносевич Б.И. Скорость ухода динамически неуравновешенного асинхронного гиро- скопа в кардановом подвесе // Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 121–126. 5. Болграбская И.А., Коносевич Ю.Б. Влияние динамической несимметрии ротора на ста- ционарные движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Тр. ИПММ НАНУ. – 2006. – 13. – С. 12–18. 6. Болграбская И.А., Коносевич Ю.Б. Устойчивость псевдорегулярных прецессий син- хронного гироскопа в кардановом подвесе, имеющего динамически несимметричный ротор // Там же. – 2007. – 14. – С. 30–40. 7. Коносевич Б.И. Скорость ухода оси ротора в обобщенной задаче о гироскопе в карда- новом подвесе // Механика твердого тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 82–92. 8. Харламов П.В. Составной пространственный маятник // Там же. – 1972. – Вып. 4. – С. 73–82. 9. Коносевич Ю.Б. Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Там же. – 2003. – Вып. 33. – С. 87–93. 10. Харламов С.А. О движении гироскопа в кардановом подвесе при наличии момента вокруг оси собственного вращения // Докл. АН СССР. – 1961. – 139, № 2. – С. 83–86. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк konos@iamm.ac.donetsk.ua Получено 15.09.09 104

Скорость ухода динамически несимметричного синхронного гироскопа в кардановом подвесе

Institution

Ähnliche Einträge