Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией
В общем случае гамильтонова система с тремя степенями свободы, описывающая движение твердого тела в поле двух постоянных сил, не допускает групп симметрий. X. Яхья нашел условия, при которых: уравнения движения гиростата Ковалевской в поле такого вида имеют, в дополнение к интегралу энергии, интегра...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28009 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией / А.Ю. Савушкин , И.И. Харламова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 110-120. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28009 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280092011-10-26T12:21:59Z Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией Савушкин, А.Ю. Харламова, И.И. В общем случае гамильтонова система с тремя степенями свободы, описывающая движение твердого тела в поле двух постоянных сил, не допускает групп симметрий. X. Яхья нашел условия, при которых: уравнения движения гиростата Ковалевской в поле такого вида имеют, в дополнение к интегралу энергии, интеграл, линейный по компонентам угловой скорости. Позднее было отмечено, что в двойном силовом поле этот интеграл при условиях Яхья существует для любого динамически симметричного тела с центрами приложения полей в экваториальной плоскости. Соответствующая система является натуральной механической системой с S1 -симметрией, поэтому можно ставить вопрос о реализации программы С. Смейла топологического анализа. В то же время, эта симметрия обладает некоторым множеством особых точек и, следовательно, не является регулярной. В настоящей работе строятся бифуркационные диаграммы отображения момента для семейства систем с сингулярной симметрией и исследуется зависимость диаграмм от единственного существенного параметра - отношения экваториального и осевого моментов инерции. 2009 Article Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией / А.Ю. Савушкин , И.И. Харламова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 110-120. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28009 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В общем случае гамильтонова система с тремя степенями свободы, описывающая движение твердого тела в поле двух постоянных сил, не допускает групп симметрий. X. Яхья нашел условия, при которых: уравнения движения гиростата Ковалевской в поле такого вида имеют, в дополнение к интегралу энергии, интеграл, линейный по компонентам угловой скорости. Позднее было отмечено, что в двойном силовом поле этот интеграл при условиях Яхья существует для любого динамически симметричного тела с центрами приложения полей в экваториальной плоскости. Соответствующая система является натуральной механической системой с S1 -симметрией, поэтому можно ставить вопрос о реализации программы С. Смейла топологического анализа. В то же время, эта симметрия обладает некоторым множеством особых точек и, следовательно, не является регулярной. В настоящей работе строятся бифуркационные диаграммы отображения момента для семейства систем с сингулярной симметрией и исследуется зависимость диаграмм от единственного существенного параметра - отношения экваториального и осевого моментов инерции. |
| format |
Article |
| author |
Савушкин, А.Ю. Харламова, И.И. |
| spellingShingle |
Савушкин, А.Ю. Харламова, И.И. Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией Механика твердого тела |
| author_facet |
Савушкин, А.Ю. Харламова, И.И. |
| author_sort |
Савушкин, А.Ю. |
| title |
Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией |
| title_short |
Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией |
| title_full |
Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией |
| title_fullStr |
Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией |
| title_full_unstemmed |
Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией |
| title_sort |
бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28009 |
| citation_txt |
Бифуркационные диаграммы интегральных отображений волчка с сингулярной симметрией / А.Ю. Савушкин , И.И. Харламова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 110-120. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT savuškinaû bifurkacionnyediagrammyintegralʹnyhotobraženijvolčkassingulârnojsimmetriej AT harlamovaii bifurkacionnyediagrammyintegralʹnyhotobraženijvolčkassingulârnojsimmetriej |
| first_indexed |
2025-07-03T07:59:05Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:59:05Z |
| _version_ |
1836611845097521152 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.38
c©2009. А.Ю. Савушкин, И.И. Харламова
БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ВОЛЧКА
С СИНГУЛЯРНОЙ СИММЕТРИЕЙ
В общем случае гамильтонова система с тремя степенями свободы, описывающая движение
твердого тела в поле двух постоянных сил, не допускает групп симметрий. Х.Яхья нашел
условия, при которых уравнения движения гиростата Ковалевской в поле такого вида име-
ют, в дополнение к интегралу энергии, интеграл, линейный по компонентам угловой скоро-
сти. Позднее было отмечено, что в двойном силовом поле этот интеграл при условиях Яхья
существует для любого динамически симметричного тела с центрами приложения полей
в экваториальной плоскости. Соответствующая система является натуральной механиче-
ской системой с S1-симметрией, поэтому можно ставить вопрос о реализации программы
С.Смейла топологического анализа. В то же время, эта симметрия обладает некоторым
множеством особых точек и, следовательно, не является регулярной. В настоящей работе
строятся бифуркационные диаграммы отображения момента для семейства систем с сингу-
лярной симметрией и исследуется зависимость диаграмм от единственного существенного
параметра – отношения экваториального и осевого моментов инерции.
Введение. Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точ-
ки в двух постоянных силовых полях (например, гравитационном и магнит-
ном) в подвижных осях имеют вид
dM
dt
= M× ω + r1 ×α + r2 × β,
dα
dt
= α× ω,
dβ
dt
= β × ω.
(1)
Здесь M – кинетический момент, ω = MI−1 – угловая скорость, I – тензор
инерции в закрепленной точке O. Векторы α, β представляют собой напря-
женности силовых полей. В соответствии со второй группой уравнений (1)
эти векторы неизменны в инерциальном пространстве. Постоянные в теле
векторы r1, r2 есть радиус-векторы центров приложения полей. Для даль-
нейшего нам удобно трактовать все векторы как строки, чем и обусловлена
запись тензора справа от вектора.
Ограничение системы (1) на любой невырожденный уровень P 6(a, b, c)
трех геометрических интегралов
|α|2 = a2, |β|2 = b2, α·β = c (|c| < ab) (2)
в пространстве R9(α,β,M) является гамильтоновой системой с тремя сте-
пенями свободы по отношению к скобке Ли–Пуассона [1], для которой гео-
метрические интегралы служат функциями Казимира. Функция Гамильтона
такова
H =
1
2
M · ω − r1 ·α− r2 · β. (3)
110
Бифуркационные диаграммы отображений с сингулярной симметрией
Пусть Oe1e2e3 – ортонормированный базис главных осей инерции. Пред-
положим, что главные моменты инерции удовлетворяют отношению Кова-
левской 2:2:1, а векторы r1, r2 параллельны экваториальной плоскости Oe1e2
и образуют ортонормированную пару. Тогда, очевидно, можно полагать без
ограничения общности, что e1 = r1, e2 = r2. При этих условиях в работе [1]
в дополнение к H найден первый интеграл K, обобщающий интеграл Кова-
левской. Если в то же время
a = b, c = 0, (4)
то имеет место случай Яхья [2]; система допускает S1-симметрию и поэтому
приводима к семейству интегрируемых систем с двумя степенями свободы.
Ввиду особенностей действия группы приведенные системы определены не
глобально. Интеграл момента (гамильтониан действия группы) имеет вид
L = M · (γ − a2e3), (5)
где γ = α× β.
На самом деле, как показано в [3], интеграл (5) имеет более общую при-
роду. Пусть тензор инерции имеет ось симметрии Oe3, отношение экватори-
ального момента инерции к осевому произвольно, радиус-векторы центров
приложения также произвольны с одним лишь условием параллельности эк-
ваториальной плоскости
r1 · e3 = 0, r2 · e3 = 0. (6)
Пусть D – невырожденная 2× 2-матрица. Преобразование
∥∥∥∥
r1
r2
∥∥∥∥ 7→ D
∥∥∥∥
r1
r2
∥∥∥∥ ,
∥∥∥∥
α
β
∥∥∥∥ 7→ (D−1)T
∥∥∥∥
α
β
∥∥∥∥ , M 7→ M
сохраняет уравнения (1) и функцию (3), приводя к эквивалентной системе.
Постоянные симметричные матрицы
R =
∥∥∥∥
r1 · r1 r1 · r2
r2 · r1 r2 · r2
∥∥∥∥ , A =
∥∥∥∥
α ·α α · β
β ·α β · β
∥∥∥∥
−1
преобразуются по закону R 7→ DRDT , A 7→ DADT . Существует D ∈ GL(2,R)
такая, что R становится единичной, а A – диагональной (c = 0). Очевидно,
свойство (6) сохраняется и для новой, но уже ортонормированной пары r1, r2.
Следовательно, она может быть выбрана в качестве главного базиса инерции
в экваториальной плоскости
e1 = r1, e2 = r2.
Таким образом, изначальное требование ортонормированности радиус-векто-
ров центров приложения и ортогональности полей является излишним, так
111
А.Ю. Савушкин, И.И. Харламова
как система всегда приводится линейной заменой переменных с постоянными
коэффициентами к системе, у которой пара r1, r2 ортонормирована, а α, β –
ортогональна. Такая замена впервые предложена в работе [4] и известна как
параметрическая редукция для двух постоянных полей.
Предположим, что после редукции получено условие a = b. Тогда вы-
полнены условия (4) без дополнительных ограничений на моменты инерции.
Пусть
T (τ) =
∥∥∥∥∥∥
cos τ sin τ 0
− sin τ cos τ 0
0 0 1
∥∥∥∥∥∥
.
Однопараметрическое действие gτ : R9(α,β,M) → R9(α, β,M), определен-
ное как
gτ (
∥∥∥∥∥∥
α
β
M
∥∥∥∥∥∥
) = T (τ)
∥∥∥∥∥∥
α
β
M
∥∥∥∥∥∥
T (−τ), (7)
сохраняет систему (1), гамильтониан H, а также имеет инвариантное много-
образие P 6(a, a, 0). Следовательно, {gτ} ∼= S1 – группа симметрий. Соответ-
ствующий циклический интеграл совпадает с (5) [3].
Обозначим через n отношение экваториального момента инерции к осе-
вому. Единицы изменения выберем так, чтобы I = diag{n, n, 1}, a = 1. Далее
пространство P 6(1, 1, 0) обозначаем для краткости через P 6. Первые инте-
гралы уравнений (1) на P 6 таковы
H =
1
2
[
n(ω2
1 + ω2
2) + ω2
3
]− α1 − β2,
L = n[ω1(α2β3 − α3β2) + ω2(α3β1 − α1β3)] + ω3(α1β2 − α2β1 − 1).
Обозначим матрицу со строками α, β, α× β через Q. Очевидно, отобра-
жение (α, β,M) 7→ (Q,ω) есть диффеоморфизм P 6 на TSO(3). Система (1),
ограниченная на P 6, является поэтому натуральной механической системой
на SO(3) с S1-симметрией в смысле [5]. Программа Смейла топологического
анализа этой системы может быть выполнена с некоторыми модификациями,
учитывающими тот факт, что действие группы обладает множеством непо-
движных точек α × β = e3 (однопараметрическая подгруппа действует на
SO(3) внутренними автоморфизмами, поэтому она сама, будучи коммутатив-
ной, является множеством неподвижных точек). В настоящей работе решает-
ся задача вычисления бифуркационной диаграммы Σ отображения момента
J = L×H : P 6 → R2.
Также предъявляются различные типы диаграмм Σ в зависимости от пара-
метра n. Напомним, что по определению Σ состоит из точек (`, h) ∈ R2, над
окрестностями которых отображение J не является локально тривиальным.
Поэтому интегральные многообразия
J`,h = {ζ ∈ P 6 : L(ζ) = `,H(ζ) = h}
112
Бифуркационные диаграммы отображений с сингулярной симметрией
претерпевают топологические перестройки, когда (`, h) пересекает Σ. В част-
ности, нахождение множества Σ является необходимым этапом топологиче-
ского анализа задачи. Диаграмма Σ совпадает с множеством критических
значений J ввиду компактности изоэнергетических уровней.
1. Критические точки первых интегралов. Воспользуемся заменой
переменных, введенной в [6] и обобщающей замену С.Ковалевской на случай
двух силовых полей (i2 = −1):
x1 = (α1 − β2) + i(α2 + β1), x2 = (α1 − β2)− i(α2 + β1),
y1 = (α1 + β2) + i(α2 − β1), y2 = (α1 + β2)− i(α2 − β1),
z1 = α3 + iβ3, z2 = α3 − iβ3,
w1 = ω1 + iω2, w2 = ω1 − iω2,
w3 = ω3.
(8)
Условия (2) на P 6 принимают вид
z2
1 + x1y2 = 0, z2
2 + x2y1 = 0, x1x2 + y1y2 + 2z1z2 = 4. (9)
Введем переменные x, y, z, полагая
x2 = x1x2, y2 = y1y2, z2 = z1z2,
и примем следующее соглашение о знаках:
x > 0, sgn y = sgnRe(yi). (10)
Тогда
z2 = ±xy, (x± y)2 = 4, x ∈ [0, 2]. (11)
При исследовании критических точек различных функций на P 6 для того,
чтобы избежать введения неопределенных множителей Лагранжа для огра-
ничений (9), удобно использовать уравнения, предложенные в работе [7].
Лемма. Пусть f – гладкая функция комплексных переменных (8). Кри-
тические точки ограничения функции f на подмногообразие, определенное
уравнениями (9), описываются системой уравнений
∂w1f = 0, ∂w2f = 0, ∂w3f = 0,
(2z2∂x2 + 2z1∂y2 − x1∂z1 − y1∂z2)f = 0,
(2z1∂x1 + 2z2∂y1 − x2∂z2 − y2∂z1)f = 0,
(x1∂x1 − x2∂x2 + y1∂y1 − y2∂y2)f = 0.
(12)
Пусть C – множество критических точек интегрального отображения J .
Тогда C = C0 ∪ C1, где Ci = {ζ ∈ P 6 : rankJ(ζ) = i}.
113
А.Ю. Савушкин, И.И. Харламова
Вначале рассмотрим критические точки гамильтониана H. Они являются
положениями равновесия в системе (1). Уравнения (12) с f = H дают
w1 = w2 = w3 = 0, z1 = z2 = 0, y1 = y2.
Из (11) следует, что в этом случае
xy = 0. (13)
Если x = 0, то y1 = y2 = ±2. Получаем два положения равновесия
ω = 0, α = e1, β = e2;
ω = 0, α = −e1, β = −e2.
Легко проверить, что оба они невырождены, первое – устойчиво, второе –
неустойчиво. Соответствующие значения первых интегралов дают две точки
в плоскости (`, h): P−(0,−2) и P+(0, 2). Если в (13) взять y = 0, то значения
x1, x2 остаются произвольными в пределах условия x1x2 = 4. Следовательно,
имеется целая окружность вырожденных безразличных положений равнове-
сия, отвечающая точке P0(0, 0) в плоскости (`, h). С физической точки зре-
ния это множество положений равновесия состоит из всех ориентаций тела, в
которых экваториальная плоскость совпадает с плоскостью напряженностей
сил Oαβ и последний базис имеет противоположную ориентацию с базисом
Oe1e2. При этом вращающий момент сил e1×α+e2×β тождественно равен
нулю (все эти утверждения о положениях равновесия можно вывести так-
же из результатов работы [8], где рассматривается случай трех постоянных
полей и его вырождения).
Найдем критические точки интеграла L, записав уравнения (12) с f = L:
x2z1 − y2z2 = 0, y1z1 − x1z2 = 0, x1x2 − y1y2 = −4,
2nw1 + (y1z1 − x1z2)w3 = 0, 2nw2 + (y2z2 − x2z1)w3 = 0.
С учетом (9) получим
w1 = w2 = 0, z1 = z2 = 0, x1 = x2 = 0, y1y2 = 4.
Пусть y1 = 2 exp(−iψ), y2 = 2 exp(iψ). Тогда из (8), (1) находим
α = e1 cosψ − e2 sinψ, β = e1 sinψ + e2 cosψ,
ω1 = ω2 = 0, ω3 = ψ̇, ψ̈ = −2 sin ψ.
(14)
Эти уравнения описывают множество точек, принадлежащих траекториям
маятниковых движений около оси Oγ = Oe3, а последнее уравнение опреде-
ляет соответствующую квадратуру. Значения первых интегралов таковы:
` = 0, h =
1
2
ω2
3 − 2 cos ψ > −2.
114
Бифуркационные диаграммы отображений с сингулярной симметрией
Отметим, что множество (14) включает и два невырожденных положения
равновесия, но не содержит вырожденные равновесия γ = −e3. Поэтому в
точках вырожденных равновесий dL 6= 0, и, следовательно, множество C0
состоит в точности из двух точек пространства P 6. Естественно ожидать,
что существуют нетривиальные движения с γ ≡ −e3. Такое множество, если
оно существует, не является критическим ни для одного из интегралов H, L.
Эта возможность рассматривается в следующем параграфе.
2. Критические движения общего вида и значения интегралов.
Точки множества C, не являющиеся критическими ни для одного из инте-
гралов H или L, порождаются критическими движениями общего вида. Эти
движения – периодические решения системы (1), являющиеся одновременно
орбитами действия gτ , у которых τ = σt (σ – некоторая константа). Сле-
довательно, выражения (7) с такой зависимостью τ(t) дают аналитическое
решение для движений этого типа. Соответствующая часть множества C опи-
сывается системой (12) при f = H − σL. Первые три уравнения дают
w1 = −1
2
(y1z1 − x1z2)σ, w2 = −1
2
(y2z2 − x2z1)σ,,
w3 = −1
4
(x2 − y2 + 4)σ.
(15)
Для исходных переменных эти равенства выражают тот факт, что дви-
жения служат орбитами группы симметрий, т.е. пропорциональность угловой
скорости движения угловой скорости вдоль орбиты действия группы:
ω = σ(γ − e3).
Исключая wj с помощью (15) из уравнений второй группы, полученной
из системы (12), находим
y1 = y2, (16)
x1z2u− (y1u− 8)z1 = 0,
x2z1u− (y2u− 8)z2 = 0.
(17)
Для сокращения записи обозначено
u =
[
4− (n− 1)(x2 − y2)
]
σ2. (18)
Отметим, что в соответствии с (16) и (10) здесь y = y1 = y2.
Система (17) линейна и однородна относительно z1, z2. Предположим вна-
чале, что z1 = z2 = 0. Из (15) получаем w1 = w2 = 0, а тогда из (11) следует,
что выполнено одно из двух: либо x = 0, либо y = 0. Если x = 0, то y2 = 4, и
последнее уравнение (15) дает w3 = 0. Это два невырожденных равновесия,
изученных выше. В свою очередь, если положить x 6= 0, то y = 0, x = 2.
Компонента w3 остается произвольной. Для переменных в системе (1) име-
ем γ = −e3, ω = 2σe3. Эти движения являются равномерными вращениями
115
А.Ю. Савушкин, И.И. Харламова
вокруг третьей оси инерции, которая остается ортогональной плоскости сил,
в то время как базисы Oe1e2 и Oαβ задают противоположную ориентацию
в этой плоскости. Значения первых интегралов h = 2σ2, ` = 4σ заполняют
параболу h = `2/8.
Рассмотрим теперь случай z1z2 6= 0. Выразим первые интегралы в пере-
менных (8):
L =
n
4
[
(x2z1 − y2z2)w1 + (x1z2 − y1z1)w2
]− 1
4
(x2 − y2 + 4)w3,
H =
1
2
(nw1w2 + w2
3)−
1
2
(y1 + y2).
Тогда из (15), (16), (11) находим значения
` =
σ
16
{16 + 8[(n + 1)x2 + (n− 1)y2]− (2n− 1)(x2 − y2)2},
h = −y +
σ
2
`,
y = ±(2− x), x ∈ [0, 2].
(19)
Ненулевые решения системы (17) по z1, z2 существуют, если
[(x + y)u− 8][(x− y)u + 8] = 0.
Отсюда, подставляя значение u из (18), получаем
σ2 =
sgn y
n− (n− 1)x
или σ2 =
sgn y
(1− x)[n− (n− 1)x]
.
Эти выражения вместе с (19) определяют значения `, h на бифуркационной
диаграмме как функции от одного параметра x. Допустимые значения x вы-
резаются из базового отрезка [0, 2] соответствующим условием σ2(x) > 0.
3. Бифуркационная диаграмма. Обозначим
ϕ0(x) = x[2n− (n− 1)x],
ϕ1(x) = n− (n− 1)x, ϕ2(x) = (1− x)ϕ1(x),
h1(x) = −5
2
+
3
2
x +
n + x
2ϕ1(x)
, h2(x) = −5
2
+ x +
n + x
2ϕ2(x)
.
(20)
Следующая теорема суммирует сказанное выше.
Теорема. Бифуркационная диаграмма Σ отображения момента для ди-
намически симметричного волчка в S1-симметричной паре постоянных си-
116
Бифуркационные диаграммы отображений с сингулярной симметрией
ловых полей состоит из следующих подмножеств плоскости (`, h):
δ0 = {P−, P+, P0}, δ1 = {` = 0 : h > −2},
δ2 = {h =
1
8
`2 : ` ∈ R},
δ3 = {` = ± ϕ0(x)√
ϕ1(x)
, h = h1(x) : x ∈ I3},
δ4 = {` = ± ϕ0(x)√
ϕ2(x)
, h = h2(x) : x ∈ I4},
δ5 = {` = ± ϕ0(x)√
−ϕ1(x)
, h = −h1(x) : x ∈ I5},
δ6 = {` = ± ϕ0(x)√
−ϕ2(x)
, h = −h2(x) : x ∈ I6},
где
I3 =
[0, 2], n < 2
[
0,
n
n− 1
]
, n > 2
, I4 =
[0, 2), n 6 2
[0, 1) ∪
(
n
n− 1
, 2
]
, n > 2
,
I5 =
∅, n 6 2
(
n
n− 1
, 2
]
, n > 2
, I6 =
(1, 2], n < 2
(
1,
n
n− 1
)
, n > 2
.
(21)
Замечание. Очевидно, что δ0 ⊂ δ1. Однако мы выделяем трехточечное
множество δ0 как порожденное состояниями равновесия тела. Отметим так-
же, что параметр x на кривых δ3 – δ6 равен значению
√
(α1 − β2)2 + (α2 + β1)2,
которое, тем самым, оказывается постоянным вдоль любой критической тра-
ектории.
4. Примеры диаграмм и зависимость от физического парамет-
ра. Рассматриваемая система, ее отображение момента и бифуркационная
диаграмма зависят от безразмерной характеристики n, выражающей отно-
шение экваториального момента инерции к осевому. Из выражений (21) для
сегментов изменения x вдоль бифуркационных кривых следует, что значение
n = 2, отвечающее случаю Яхья, разделяет принципиально различные типы
диаграмм. Нетрудно проверить аналитически, что при n < 2 диаграммы не
претерпевают качественных изменений. Даже в случае n = 1 при наличии
некоторых очевидных вырождений в выражениях (20), диаграмма топологи-
чески устроена так же, как и при близких значениях n. Типичная диаграмма
для 0 < n < 2 показана на рис. 1 (в силу симметрии относительно оси h
иллюстрируется только часть ` > 0).
Для значений n > 2 существует несколько типов бифуркационных диа-
грамм. Они различаются по количеству узлов (точек пересечения гладких
117
А.Ю. Савушкин, И.И. Харламова
l
h
P
-
P
+
Рис. 1. Бифуркационная диаграмма при n < 2.
отрезков диаграммы, точек возврата и т.п.) и ячеек регулярности (связных
компонент множества R2\Σ). Две диаграммы для случая n > 2 вместе с
увеличенными фрагментами показаны на рис. 2. Здесь для примера взяты
значения а) n = 2.3; б ) n = 4.
Q
2
Q
1
P
-
P
+
l
h
a)
Q
2
l
Q
2
P
-
P
+
h
б)
Рис. 2. Бифуркационные диаграммы при n > 2.
Основные разделяющие значения n можно найти аналитически. Рассмот-
рим, например, точку Q1 пересечения кривой δ2 с первой ветвью кривой δ4
(x ∈ [0, 1)). Она отмечена на рис. 2, а. Видно, что при переходе от выбранно-
го случая а) к случаю б ) точка Q1 исчезает. Соответствующее разделяющее
значение параметра n обозначим через n∗. Для того чтобы найти это зна-
чение, заметим, что параметр x на кривой δ4 в точке пересечения с δ2 есть
корень многочлена P (x) = (n − 1)3x3 − 2(n − 1)(n + 5)x2 + 4(5n − 2)x − 8n
на полуинтервале [0, 1). Поскольку P (0) = −8n и P (1) = −(n + 1)(n − 3),
пересечение существует для всех n < n∗ = 3. Результант P (x) и P ′(x) равен
256(n − 1)4(n − 3)(n4 − 5n3 + 18n2 + 2n + 11) и не обращается в нуль при
n > 3. Следовательно, при n > 3 многочлен P (x) имеет единственный веще-
ственный корень, который всегда больше единицы. Итак, точка Q1 не может
возникнуть снова для значений n > 3.
На рис. 2 также отмечена всегда существующая при n > 2 точка Q2, в
118
Бифуркационные диаграммы отображений с сингулярной симметрией
которой встречаются кривые δ2, δ5 и вторая ветвь кривой δ4. Она при некото-
ром n пересекает первую ветвь кривой δ4. Очевидно, что при этом Q2 = Q1.
Координаты Q2 легко находятся из уравнений δ4, δ5 при x = 2:
l =
4√
n− 2
, h =
2
n− 2
.
Предположим, что Q2 ∈ δ4 при x 6= 2, исключим x и получим уравнение
n4−3n3−5n2+20n−11 = 0, которое имеет ровно четыре вещественных корня.
Разделяющий случай Q2 = Q1 отвечает наибольшему корню n ≈ 2.538.
Итак, в дополнение к значению n = 2, при котором система интегрируема
в целом, отмечены еще два значения n, когда бифуркационные диаграммы
терпят перестройки. В том числе, особым значением является n = 3. Возмож-
но, что этому соответствуют некоторые частные случаи интегрируемости.
Заключение. В работе рассмотрено однопараметрическое семейство ме-
ханических систем с тремя степенями свободы, обладающих S1-симметрией с
нетривиальным множеством особых точек. Получены уравнения бифуркаци-
онных диаграмм соответствующих отображений момента. Приведены неко-
торые примеры перестроек диаграмм, показывающие, что полная классифи-
кация всех диаграмм по физическому параметру n может оказаться нетри-
виальной задачей.
Из работ [2, 9, 10] следует, что дальнейшие обобщения имеют место для
задачи о движении динамически симметричного гиростата в двух постоянных
полях. Семейство диаграмм будет зависеть уже от двух физических парамет-
ров.
Если исключить из фазового пространство критическое интегральное мно-
гообразие L = 0, то оставшаяся система приводится к двум степеням свобо-
ды. Конфигурационное пространство – сфера с выколотой точкой – диффео-
морфно R2. Приведенный потенциал выписать несложно, но для нахождения
интегральных многообразий необходимо вычислить индексы его особых то-
чек. Сами особые точки фактически найдены выше. Топологический анализ
выходит за рамки настоящей статьи и планируется в дальнейшем для гиро-
стата с интегралом Яхья.
Как уже отмечалось, собственно в случае Яхья (n = 2) система допускает
еще один интеграл K, найденный в фундаментальной работе О.И. Богояв-
ленского [1] и обобщающий интеграл Ковалевской. В связи с этим, можно
ставить задачу об исследовании бифуркационной диаграммы возникающего
отображения
H × L×K : P 6 → R3. (22)
Эта диаграмма должна получиться как вырождение общих диаграмм, по-
строенных для волчка Ковалевской–Реймана–Семенова-Тян-Шанского [9] в
работе [4], с учетом возникающей связи обобщения интеграла площадей с ин-
тегралами H, L. Отметим, что для частного интеграла Богоявленского, ука-
занного им на инвариантном многообразии M4 = {K = 0} (в случае Яхья
интеграл Богоявленского совпадает с ограничением L на многообразие M4),
119
А.Ю. Савушкин, И.И. Харламова
бифуркационная диаграмма отображения H×L и топология системы с двумя
степенями свободы на M4 при условиях Яхья изучены в работе [11]. Показа-
но, что в этом случае M4 не является всюду гладким, и выявлены интеграль-
ные поверхности с самопересечениями (погруженные многообразия). Иссле-
дование отображения (22) позволит получить описание трехмерного слоения
Лиувилля в случае Яхья, включающие найденные в [11] нетривиальные би-
фуркации как бифуркации внутри критических подсистем.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ и Админи-
страции Волгоградской области № 10-01-97001.
1. Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие
в задачах математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1984. – 48, 5. –
С. 883–938.
2. Yehia H.M. 1986 New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mech. Res.
Commun. – 1986. – 13, 3. – P. 169–172.
3. Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams of the Kowalevski top in two constant fields //
Regular and Chaotic Dynamics. – 2005. – 10, 4. – P. 381–398.
4. Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о дви-
жении волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2004. –
Вып. 34. – С. 47–58.
5. Smale S. Topology and mechanics // Inventiones Math. – 1970. – 10, 4. – P. 305–331.
6. Харламов М.П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи
о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле // Механика твердого
тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 32–38.
7. Kharlamov M.P. Periodic motions of the Kowalevski gyrostat in two constant fields // J.
of Phis. A: Math. & Theor. – 2008. – 41, 275207. – 13 p.
8. Hassan S.Z., Kharrat B.N., Yehia H.M. On the stability of the motion of a gyrostat about
a fixed point under the action of non-symmetric fields // Eur. J. Mech. A/Solids. – 1997.
– 18. – P. 313–318.
9. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Лаксово представление со спектральным
параметром для волчка Ковалевской и его обобщений // Функц. анализ и его прило-
жения. – 1988. – 22, 2. – С. 87–88.
10. Харламов М.П. Критические подсистемы гиростата Ковалевской в двух постоянных
полях // Нелинейная динамика. – 2007. – 3, 3. – С. 331–348.
11. Зотьев Д.Б. Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном
силовом поле // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 66–71.
Волгоградская академия гос. службы, Россия
sandro@vags.ru
Получено 10.11.09
120
|