Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов

Исследуется быстрое вращательное движение динамически несимметричного спутника относительно центра масс под действием гравитационного и светового моментов в сопротивляющейся среде. Орбитальное движение с произвольным эксцентриситетом предполагается заданным. Анализируется система, полученная после у...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Зинкевич, Я.С., Лещенко, Д.Д., Рачинская, А.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28011
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов / Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 137-150. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-28011
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-280112011-10-26T12:23:31Z Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов Зинкевич, Я.С. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. Исследуется быстрое вращательное движение динамически несимметричного спутника относительно центра масс под действием гравитационного и светового моментов в сопротивляющейся среде. Орбитальное движение с произвольным эксцентриситетом предполагается заданным. Анализируется система, полученная после усреднения по движению Эйлера-Пуансо и применения одифицированного метода усреднения. Рассмотрено движение в частном случае динамически симметричного спутника. 2009 Article Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов / Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 137-150. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28011 531.55:521.2 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исследуется быстрое вращательное движение динамически несимметричного спутника относительно центра масс под действием гравитационного и светового моментов в сопротивляющейся среде. Орбитальное движение с произвольным эксцентриситетом предполагается заданным. Анализируется система, полученная после усреднения по движению Эйлера-Пуансо и применения одифицированного метода усреднения. Рассмотрено движение в частном случае динамически симметричного спутника.
format	Article
author	Зинкевич, Я.С. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л.
spellingShingle	Зинкевич, Я.С. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов Механика твердого тела
author_facet	Зинкевич, Я.С. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л.
author_sort	Зинкевич, Я.С.
title	Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов
title_short	Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов
title_full	Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов
title_fullStr	Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов
title_full_unstemmed	Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов
title_sort	быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28011
citation_txt	Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов / Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 137-150. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT zinkevičâs bystryevraŝeniâsputnikavsredessoprotivleniempoddejstviemgravitacionnogoisvetovogomomentov AT leŝenkodd bystryevraŝeniâsputnikavsredessoprotivleniempoddejstviemgravitacionnogoisvetovogomomentov AT račinskaâal bystryevraŝeniâsputnikavsredessoprotivleniempoddejstviemgravitacionnogoisvetovogomomentov
first_indexed	2025-07-03T07:59:14Z
last_indexed	2025-07-03T07:59:14Z
_version_	1836611854682554368
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39 УДК 531.55:521.2 c©2009. Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская БЫСТРЫЕ ВРАЩЕНИЯ СПУТНИКА В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГРАВИТАЦИОННОГО И СВЕТОВОГО МОМЕНТОВ Исследуется быстрое вращательное движение динамически несимметричного спутника от- носительно центра масс под действием гравитационного и светового моментов в сопротив- ляющейся среде. Орбитальное движение с произвольным эксцентриситетом предполагается заданным. Анализируется система, полученная после усреднения по движению Эйлера– Пуансо и применения модифицированного метода усреднения. Рассмотрено движение в частном случае динамически симметричного спутника. Задачи динамики, обобщенные и осложненные учетом различных возму- щающих факторов, и в настоящее время остаются достаточно актуальными. Исследованиям вращательных движений тел относительно центра масс под действием возмущающих моментов сил различной природы (гравитацион- ных, светового давления, сопротивления среды и др.), близким к проведен- ному ниже, посвящены работы [1 – 12]. 1. Постановка задачи. Рассмотрим движение спутника относительно цен- тра масс под действием моментов сил светового давления, гравитационного притяжения и сопротивления среды. Введем три декартовые системы координат, начало которых совместим с центром инерции спутника [1, 2]. Система координат Oxi (i = 1, 2, 3) дви- жется поступательно вместе с центром инерции: ось Ox1 параллельна радиус- вектору перигелия орбиты, ось Ox2 – вектору скорости центра масс спутни- ка в перигелии, ось Ox3 – нормали к плоскости орбиты. Система координат Oyi (i = 1, 2, 3) связана со спутником и ориентирована по вектору кинетиче- ского момента G. Ось Oy3 направлена по вектору кинетического момента G, ось Oy2 лежит в плоскости орбиты (т.е. в плоскости Ox1x2), ось Oy1 лежит в плоскости Ox3y3 и направлена так, что векторы y1, y2, y3 образуют правую тройку [1–3]. Оси системы координат Ozi (i = 1, 2, 3) связаны с главными центральными осями инерции твердого тела. Положение главных централь- ных осей инерции относительно осей Oyi определим углами Эйлера. При этом направляющие косинусы αij осей Ozi относительно системы Oyi выражаются через углы Эйлера ϕ, ψ, θ по известным формулам [1]. Положение вектора кинетического момента G относительно его центра масс в системе координат Oxi определяются углами λ и δ, как показано в [1–3]. Уравнения движения тела относительно центра масс запишем в форме [2]: dG dt = L3, dδ dt = L1 G , dλ dt = L2 G sin δ , 137 Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская dθ dt = ( 1 A1 − 1 A2 ) G sin θ sinϕ cosϕ + L2 cosψ − L1 sinψ G , dϕ dt = G ( 1 A3 − sin2 ϕ A1 − cos2 ϕ A2 ) cos θ + L1 cosψ + L2 sinψ G sin θ , dψ dt = G ( sin2 ϕ A1 + cos2 ϕ A2 ) − L1 cosψ + L2 sinψ G ctg θ − L2 G ctg δ. (1) Здесь Li – моменты внешних сил относительно осей Oyi, G – величина кинетического момента, Ai (i = 1, 2, 3) – главные центральные моменты инерции относительно осей Ozi. Рассматривается динамически несимметричный спутник, моменты инер- ции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 > A2 > A3, в предположении, что угловая скорость ω движения спутника относительно центра масс существенно больше угловой скорости орбитального движения ω0, т.е. ε = ω0/ω ∼ A1ω0/G ¿ 1. В этом случае кинетическая энергия враще- ния тела велика по сравнению с моментами возмущающих сил. В некоторых случаях удобно наряду с переменной θ использовать в ка- честве дополнительной переменной важную характеристику – кинетическую энергию T , производная которой имеет вид dT dt = 2T G L3 + G sin θ [(sin2 ϕ A1 + cos2 ϕ A2 − 1 A3 )( L2 cosψ − L1 sinψ ) cos θ+ + ( 1 A1 − 1 A2 ) sinϕ cosϕ ( L1 cosψ + L2 sinψ )] . (2) Центр масс спутника движется по кеплеровскому эллипсу с эксцентри- ситетом e и периодом обращения Q. Зависимость истинной аномалии ν от времени t дается соотношением dν dt = ω0(1 + e cos ν)2 (1− e2)3/2 , ω0 = 2π Q = √ µ(1− e2)3 `3 0 , (3) где `0 – фокальный параметр орбиты, ω0 – угловая скорость орбитального движения, e – эксцентриситет орбиты, µ – гравитационная постоянная. Проекции Li момента приложенных сил складываются из гравитационно- го момента Lg i , момента сил светового давления Lc i и момента сил сопротив- ления среды Lr i . Приведем проекцию гравитационного момента на ось Oy1 (проекции на другие оси имеют аналогичный вид) 138 Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением Lg 1 = 3ω2 0 (1 + e cos θ)3 (1− e2)3 3∑ j=1 (β2βjS3j − β3βjS2j), (4) Smj = 3∑ p=1 Apαjpαmp, β1 = cos (ν − λ) cos δ, β2 = sin (ν − λ) , β3 = cos (ν − λ) sin δ. Допустим, что поверхность космического аппарата представляет собой поверхность вращения, причем единичный орт оси симметрии k направлен вдоль оси Oz3. Как показано в [1, 4], в этом случае для момента сил светового давления, действующего на спутник, имеет место формула Lc = ( ac (εs) R2 0/R2 ) er × k, ac (εs) R2 0 R2 = pcS (εs) Z ′0 (εs) , pc = E0 c ( R0 R )2 (5) Здесь er – единичный вектор по направлению радиус-вектора орбиты; εs – угол между направлениями er и k, так что \|er × k\| = sin εs; R – текущее расстояние от центра Солнца до центра масс спутника; R0 – фиксированное значение R, например, в начальный момент времени; ac (εs) – коэффициент момента сил светового давления, определяемый свойствами поверхности; S – площадь “тени” на плоскости, нормальной к потоку; Z ′0 – расстояние от цен- тра масс до центра давления; pc – величина светового давления на расстоянии R от центра Солнца; c – скорость света; E0 – величина потока энергии све- тового давления на расстоянии R0 от центра Солнца. Полагаем [1], что в силу симметрии функция ac(εs) имеет вид ac = ac (cos εs) и аппроксимируем ее тригонометрическим полиномом по сте- пеням cos εs. Представим функцию ac (cos εs) в виде ac = a0 + a1 cos εs + . . .. Рассмотрим второй член разложения, когда ac (cos εs) = a1 cos εs в предполо- жении, что a1 ∼ ε2. В работе предполагается, что момент сопротивления Lr может быть пред- ставлен в виде Lr = Iω, где тензор I имеет постоянные компоненты Iij в си- стеме Ozi, связанной с телом [1, 9, 10]. Сопротивление среды предполагаем слабым порядка малости ε2:‖I‖ /G0 ∼ ε2 ¿ 1, где ‖I‖ – норма матрицы коэф- фициентов сопротивления, G0 – кинетический момент спутника в начальный момент времени. Ставится задача исследования эволюции вращений спутника на асимпто- тически большом интервале времени t ∼ ε−2, на котором происходит суще- ственное изменение параметров движения. 2. Модифицированная процедура метода усреднения. Для рассматрива- емой задачи решения системы (1)–(3) при малом ε на промежутке време- ни t ∼ ε−2 будем применять модифицированную схему метода усреднения 139 Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская [2, 13, 14]. Рассмотрим невозмущенное движение (ε = 0), когда моменты при- ложенных сил равны нулю. В этом случае вращение твердого тела является движением Эйлера–Пуансо. Величины G, δ, λ, T, ν обращаются в постоян- ные, а ϕ, ψ, θ – некоторые функции времени t [15]. Медленными переменны- ми в возмущенном движении будут G, δ, λ, T, ν, а быстрыми – углы Эйлера ϕ, ψ, θ. Рассмотрим движение при условии 2TA1 ≥ G2 ≥ 2TA2, соответствующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось наиболь- шего момента инерции A1. Введем величину k2 = (A2 −A3) ( 2TA1 −G2 ) (A1 −A2) (G2 − 2TA3) ( 0 ≤ k2 ≤ 1 ) , (6) представляющую собой в невозмущенном движении постоянную – модуль эллиптических функций, описывающих это движение. Для построения усредненной системы первого приближения подставим решение невозмущенного движения Эйлера–Пуансо в правые части уравне- ний движения (1), (2) и проведем усреднение по переменной ψ, а затем по времени t с учетом зависимости ϕ, θ от t по схеме, предложенной в [2] для нерезонансного случая. При этом для медленных переменных δ, λ, G, T сохраняются прежние обозначения. В результате получим dG dt = − G R(k) { I22 (A1 −A3) W (k) + I33 (A1 −A2) [ k2 −W (k) ] + +I11(A2 −A3) [1−W (k)]} , dT dt = − 2T R(k) { I22 (A1 −A3)W (k) + I33 (A1 −A2) [ k2 −W (k) ] + + (A1 −A2)(A1 −A3)(A2 −A3) S(k) { I33 A3 [ k2 −W (k) ] + I22 A2 ( 1− k2 ) W (k) } + (7) + I11 A1 (A2 −A3)R(k) S(k) [1−W (k)] } , dδ dt = −a1R 2 0 ( 2GR2 )−1 H sin δ sin 2(λ− ν)− 3ω2 0 (1 + e cos ν)3 2G (1− e2)3 β2β3N ∗, dλ dt = −a1R 2 0 ( GR2 )−1 H cos δ cos2(λ− ν) + 3ω2 0 (1 + e cos ν)3 2G (1− e2)3 sin δ β1β3N ∗, W (k) = 1− E(k) K(k) , R(k) = A1 (A2 −A3) + A3 (A1 −A2) k2, S(k) = A2 −A3 + (A1 −A2)k2, 140 Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением H = 1 2 [ 3b2 E(k) K(k) − 1 ] при 2TA2 −G2 > 0, H = 1 2 { 3b2 k2 [ k2 − 1 + E(k) K(k) ] − 1 } при 2TA2 −G2 < 0, b2 = σ + q 1 + σ , σ = A3 A1 A1 −A2 A2 −A3 , q = ( 2T G2 − 1 A2 ) A2A3 A2 −A3 , N∗ = A2 + A3 − 2A1 + 3 ( 2A1T G2 − 1 )[ A3 + (A2 −A3) K(k)−E(k) K(k)k2 ] . Здесь K(k) и E(k) – полные эллиптические интегралы первого и вто- рого рода соответственно [16]. Из уравнений (7) следует, что под влиянием сопротивления среды происходит эволюция как кинетической энергии тела T , так и величины кинетического момента G. Непосредственно видно, что в первом приближении на их изменение оказывает влияние только сила сопро- тивления, причем в уравнения входят лишь диагональные коэффициенты Iii матрицы момента трения. Члены, содержащие недиагональные компоненты Iij (i 6= j), выпадают при усреднении. Изменения углов λ, δ зависят от дей- ствия силы сопротивления и гравитационного притяжения, а также момента сил светового давления. Дифференцируя выражение для (6) k2 и используя два первых уравнения системы (7), получим дифференциальное уравнение, определяющее зависи- мость k от ξ dk2 dξ = (1− χ)(1− k2)− [(1− χ) + (1 + χ)k2] E(k) K(k) , χ = (2I22A1A3 − I11A2A3 − I33A1A2)/[(I33A1 − I11A3)A2], ξ = (t− t∗)/N, N = A1A3/(I33A1 − I11A3) ∼ ε−2. (8) Здесь t∗ – постоянная. Значению k2 = 1 отвечает равенство 2TA2 = G2, что соответствует сепаратрисе для движения Эйлера–Пуансо. Уравнение (8) описывает усредненное движение конца вектора кинетического момента G на сфере радиуса G. Первое уравнение (7) описывает изменение радиуса сферы с течением времени. Выражение, стоящее в фигурных скобках правой части уравнения (7) для G положительно (при A1 > A2 > A3), так как справедливы [16] неравенства (1 − k2)K ≤ E ≤ K. Каждый коэффициент при Iii является неотрицатель- ной функцией k2, причем одновременно они все в нуль обратиться не могут. Поэтому dG/dt < 0 поскольку G > 0, т.е. переменная G строго убывает для любых k2 ∈ [0, 1]. Аналогично показываем, что кинетическая энергия также строго убывает. 141 Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская Основным этапом в исследовании движения тела является анализ уравне- ния (8). Отметим, что на эволюцию k2 оказывает влияние только сопротив- ление среды, и в силу того, что это уравнение интегрируется самостоятельно, происходит частичное разделение влияния гравитационного и светового мо- ментов, а также сопротивления. Полное разделение в данном случае не имеет места, так как медленно убывающие переменные G, T входят в правые части уравнений (7) для λ и δ. Уравнение (8) совпадает с уравнением, описывающим движение тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде [9] и движение спутника под действием гравитационного момента в сопротивляющейся среде [11]. Нетрудно проверить, что для величины χ из (8) справедливы равенства χ = A3χ1 −A1χ2 A3χ1 + A1χ2 , χ1 = I22A1 − I11A2, χ2 = I33A2 − I22A3, откуда следует, что так как величины χ1, χ2 могут принимать любые зна- чения, то в зависимости от параметров задачи Ai, Iii (i = 1, 2, 3) величина χ изменяется в диапазоне от −∞ до +∞. Численное интегрирование уравнения (8) при начальном условии k2(0) ≈ 1 показывает, что функция k2 монотонно убывает с ростом ξ, причем тем быстрее, чем больше χ. Проведенный численный расчет уравнения (8) приведен на рис. 1 для χ = −3; 0; 1; 3; 5; 8. Видно, что чем больше χ, тем быстрее убывает функция k2. Заметим, что для χ < −3 появляются новые качественные эффекты, а при χ > 3 характер решения тот же, что и при \|χ\| ≤ 3. Рис. 1. Рис. 2. Уравнение (8) для k2 допускает стационарные точки k2 = k2∗ при χ < −3, когда независимо от G и T величина k2 определяемая уравнением (8), остается постоянной при соответствующем выборе начальных условий. Необходимо отметить, что при χ > −3 таких стационарных точек (кроме k = 0, k = 1) не существует. 142 Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением Для определения квазистационарных решений k2 = k2∗ приравняем нулю правую часть (8). Полученное уравнение разрешим относительно χ χ = k2 − 1 + (1 + k2)E(k)/K(k) (1− k2) [E(k)/K(k)− 1] . (9) График зависимости χ от k2∗, построенный по формуле (9), изображен на рис. 2. Из него видно, что при любом χ < −3 существует единственное значение k2∗ ∈ (0, 1), которое отвечает квазистационарному движению. Расчет производился для k2∗ = 0.2; 0.4; 0.6; 0.8. На рис. 3 изображены типичные графики Рис. 3. функций k2(χ, ξ), полученные в результате чис- ленного интегрирования уравнения (8). Для заданных значений k2∗, согласно уравнению (9), определялось значение величины χ = χ∗, а за- тем производилось численное интегрирование уравнения (8) при полученном значении χ∗. Сплошная кривая получена при k2∗ = 0.8, а кривая с маркерами – при k2∗ = 0.2. Каждый график содержит по три ветви. В качестве на- чального условия для верхних ветвей выбира- лось k2(0) = 1. Две нижние ветви для каждого графика были построены при начальных усло- виях k2(0) = 0.5k2∗. При этом возрастающая ветвь отвечает интегрированию для ξ > 0, а убывающая ветвь является зеркальным отражением относительно прямой ξ = 0 зависимости k2(χ, ξ), полученной при ξ < 0. Уравнение (8) является автономным, поэтому решение k2(χ, ξ) может быть определено при любых начальных условиях. Выбор соответствующей ветви графика позволит определить характер изменения величины k2. Так, при на- чальном значении k2 = k2 0 > k2∗ берется верхняя ветвь, а если 0.5k2∗ ≤ k2 0 < k2∗, то – средняя. Если же k2 0 < 0.5k2∗, то берется нижняя ветвь, для которой движение происходит при отрицательном ξ с возрастанием величины k2 до k2 = 0.5k2∗, а затем переходим на среднюю ветвь. 3. Ориентация вектора кинетического момента. Рассмотрим систему, со- стоящую из уравнений для λ и δ системы (7). Как известно, R = `0/(1+e cos ν), а фокальный параметр орбиты `0 опре- деляется равенством `0 = µ1/3(1 − e2)/ω 2/3 0 . Тогда два уравнения (7), харак- теризующие изменения углов ориентации вектора кинетического момента, примут вид dδ dt = ω 4/3 0 (1 + e cos ν)2 2G(1− e2)2 sin 2(λ− ν) sin δ { −a1HR2 0 µ2/3 + 3ω 2/3 0 (1 + e cos ν) 2(1− e2) N∗ } , (10) 143 Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская dλ dt = ω 4/3 0 (1 + e cos ν)2 G(1− e2)2 cos2(λ− ν) cos δ { −a1HR2 0 µ2/3 + 3ω 2/3 0 (1 + e cos ν) 2(1− e2) N∗ } . Проведем обезразмеривание уравнений (7) изменения кинетического момен- та и кинетической энергии, уравнений (3) для истинной аномалии и урав- нений (8), (10). Характерными параметрами задачи являются G0 – кине- тический момент спутника при t = 0, Ω0 – величина угловой скорости ω движения спутника относительно центра масс в начальный момент време- ни. Безразмерные величины определим формулами ∼ t = Ω0t, ∼ G = G/G0, Ãi = AiΩ0/G0, L̃i = Li/(G0Ω0), ∼ T = T/(G0Ω0), ε2Ĩii = Iii/G0. Введем обозначение Γ = a1R 2 0Ω0 G0µ2/3ω 2/3 0 (11) и назовем эту величину приведенным коэффициентом момента сил светового давления. После обезразмеривания уравнения для λ, δ и ν можно записать следую- щим образом: dδ d ∼ t = ε2∆(ν, δ, λ), dλ d ∼ t = ε2Λ(ν, δ, λ), dν d ∼ t = ε (1 + e cos ν)2 h(e) . (12) Здесь ∆, Λ – коэффициенты в правых частях первого и второго уравнений (12), h(e) = (1− e2)3/2; δ, λ – медленные переменные, а ν – полумедленная. Получена система специального вида, для решения которой применяется мо- дифицированный метод усреднения по следующей схеме [14] dδ d ∼ t = ε2 h(e) 2π 2π∫ 0 ∆(λ, δ, ν) (1 + e cos ν)2 dν, dλ d ∼ t = ε2 h(e) 2π 2π∫ 0 Λ(λ, δ, ν) (1 + e cos ν)2 dν. После усреднения получим dδ d ∼ t = 0, dλ d ∼ t = ε2 cos δ 2G̃(1− e2)1/2   3 ∼ N∗ 2(1− e2)2 − ΓH̃   . (13) Интегрирование системы проводилось для медленного времени τ = ε2 ∼ t при начальных условиях ∼ G(0) = 1; k2(0) = 0.99; δ(0) = 0.785 ; λ(0) = 0.785 и значениях главных центральных моментов инерции тела Ã1 = 3.2; Ã2 = 2.6; 144 Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением Ã3 = 1.67. Численный расчет выполнялся для различных видов орбит с экс- центриситетом: e = 0 – круговая орбита; e = 0.421 – сильно эллиптическая орбита [1]. Для коэффициентов сопротивления рассматривались два возмож- ных варианта: Ĩ11 = 2.322 ; Ĩ22 = 1.31; Ĩ33 = 1.425 и Ĩ11 = 0.919; Ĩ22 = 5.228; Ĩ33 = 1.666. В первом случае величина χ из уравнения (8) была отрицатель- ной −4.477, а во втором – 3.853. Численный анализ показывает, что функции G(τ) и T (τ) являются монотонно убывающими (рис. 4, 5). Рис. 4. Рис. 5. Видно, что при положительной величине χ (кривые 2) функции убывают быстрее, но функция G(τ) стремится к асимптоте медленнее за больший про- межуток времени. Функция λ = λ(τ) в обоих расчетных вариантах величины χ при Γ = 1 является убывающей функцией, но во втором варианте убывает быстрее (рис. 6). Необходимо отметить, что при изменении эксцентрисите- та орбиты в расчетах в обоих вариантах при Γ = 1 увеличение e приводит к более быстрому убыванию угла λ. На рис. 7 показаны графики функции λ = λ(τ) при e = 0 (кривая 1) и e = 0.421 (кривая 2) при положительном χ. Рис. 6. Рис. 7. 145 Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская Аналогичный характер зависимости угла ориентации λ от эксцентрисите- та орбиты был получен в случае движения спутника под действием гравита- ционного момента в среде с сопротивлением [11]. Ввиду того, что со временем величина угла λ уменьшается, вращение вектора G в пространстве вокруг нормали к плоскости орбиты происходит на постоянном угловом расстоянии δ от нее в направлении по ходу часовой стрелки. Для проведения исследования влияния мо- Рис. 8. мента сил светового давления на движение век- тора кинетического момента необходимо изме- нять значение приведенного коэффициента Γ из (11). Графики изменения функции λ = λ(τ) приведены на рис. 8: кривая 1 соответствует Γ = 1; кривая 2 – Γ = 5; кривая 3 – Γ = 10. Видно, что увеличение момента сил светового давления приводит к возрастанию угла λ. Из- вестно [12], что при движении спутника толь- ко под действием светового момента в сопро- тивляющейся среде функция угла ориентации вектора кинетического момента является мо- нотонно возрастающей при любом Γ. Выше- сказанное позволяет сделать вывод, что в случае существенного влияния мо- мента сил светового давления на спутник вращение вектора G в пространстве вокруг нормали к плоскости орбиты происходит на постоянном угловом рас- стоянии δ от нее в направлении против хода часовой стрелки. Рассмотрим движение при условии 2TA2 ≥ G2 ≥ 2TA3, соответствую- щем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось Oz3. В этом случае в равенстве (6) и в уравнениях системы (7) необходимо поме- нять местами A1 и A3, а также I11 и I33. Кроме того, величину χ в уравнении (8) заменим на −χ, а в уравнении (8) добавим знак “минус”. Начальные усло- вия сохраняют те же значения. Величина χ в обоих расчетных вариантах сохраняет свои значения, а функции G(t) и T (t) также являются монотонно убывающими. Угол δ остается постоянным согласно первому уравнению (13). Угол λ – непостоянный, и графики функции λ = λ(τ) имеют вид, представленный рис. 9. Кривая 1 соответствует Γ = 1, а кривая 2 – Γ = 10. При более тща- тельном исследовании можно увидеть, что на малых временах функция λ(τ) не является монотонно убывающей при Γ = 10 (рис. 10). Подобный анализ проводился при исследовании движения спутника под действием момента сил светового давления в сопротивляющейся среде и был установлен аналогич- ный эффект [12]. Это позволяет сделать вывод о том, что для спутников Солнца при существенном влиянии момента сил светового давления враще- ние вектора кинетического момента около оси, перпендикулярной к плоско- сти орбиты, происходит сначала против хода часовой стрелки до предельно- го угла за счет имеющейся кинетической энергии, а затем по ходу часовой стрелки. 146 Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением Рис. 9. Рис. 10. 4. Вращательное движение динамически симметричного спутника. Рас- смотрим движение динамически симметричного спутника ( A1 = A2), момен- ты инерции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 > A3. Уравнения движения тела относительно центра масс (1) для динамически симметричного спутника имеют вид dG dt = L3, dδ dt = L1 G , dλ dt = L2 G sin δ , dϕ dt = G cos θ ( 1 A3 − 1 A1 ) + L1 cosψ + L2 sinψ G sin θ , dψ dt = G A1 − L1 cosψ + L2 sinψ G ctg θ − L2 G ctg δ, dθ dt = L2 cosψ − L1 sinψ G . (14) Для решения их применим метод усреднения. В случае невозмущенного движения Эйлера–Пуансо (при ε = 0), когда эллипсоид инерции является элипсоидом вращения, ϕ, ψ – являются линейными функциями, а угол θ – величина постоянная [15]. Величины G, δ, λ, ν в невозмущенном движении остаются постоянными. Для возмущенного движения углы ϕ, ψ являются быстрыми переменными, а переменные G, δ, λ, ν, θ – медленными. Поэтому проводим усреднение системы уравнений для медленных переменных G, δ, λ, θ по быстрым переменным: сначала по ψ, а затем по ϕ. После усреднения по быстрым переменным ψ, ϕ получим уравнения движения симметричного спутника в безразмерных величинах 147 Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская dG̃ dt̃ = −ε2G̃ [ sin2 θ 2Ã1 ( Ĩ11 + Ĩ22 ) + Ĩ33 Ã3 cos2 θ ] , dθ dt̃ = ε2 [ − Ĩ11 + Ĩ22 2Ã1 + Ĩ33 Ã3 ] sin θ cos θ, dδ dt̃ = −ε2 (1 + e cos ν)2 2G̃ (1− e2)2 sin δ sin 2 (λ− ν) (P (e, ν) + Γ) ( 1− 3 2 sin2 θ ) , dλ dt̃ = ε2 (1 + e cos ν)2 G̃ (1− e2)2 cos δ cos2 (λ− ν) (P (e, ν)− Γ) ( 1− 3 2 sin2 θ ) , P (e, ν) = 3 (1 + e cos ν) (1− e2) ( Ã1 − Ã3 ) . (15) Здесь безразмерные величины определяются так же, как в п. 1, а коэф- фициент момента сил светового давления Γ – по формуле (11). Применяем модифицированный метод усреднения [14] и находим dδ dt̃ = 0, dλ dt̃ = ε2 cos δ(1− 3 2 sin2 θ) 2G̃(1− e2)1/2 [ 3(Ã1 − Ã3) 1− e2 − Γ ] . (16) Исследуем решение системы (15) при малом ε на промежутке времени τ = ε2t̃. Интегрируя второе уравнение системы (15) для угла нутации, получим tg θ = tg θ0 exp [ −1 2 ρ̃τ ] , ρ̃ = α̃1 + α̃2 − 2α̃3, α̃i = Ĩii Ãi . (17) График функции θ = θ(τ) имеет вид, представленный на рис. 11 при θ(0) = π/6 . Значения главных центральных моментов инерции тела Ã1 = 4.175; Ã3 = 1.67. Для коэффициентов сопротивления рассматривались два возможных варианта: Ĩ11 = 2.322; Ĩ22 = 1.31; Ĩ33 = 1.425 и Ĩ11 = 2.0; Ĩ22 = 1.0; Ĩ33 = 0.5. В первом случае величина в квадратных скобках урав- нения (17) будет положительной, а во втором случае – отрицательной. Ана- логичный закон изменения и график функции угла нутации получен при движении динамически симметричного спутника под действием гравитаци- онного момента в сопротивляющейся среде [10]. Учитывая равенство (17), можно получить аналитическое решение для первого уравнения системы (15) в виде явной функции в медленного времени τ G̃ = cos θ0 exp [−α̃3τ ] √ 1 + tg2 θ0 exp [−ρ̃τ ]. 148 Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением Рис. 11. Рис. 12. С учетом (16), (17) находим закон изменения угла λ от времени τ dλ dτ = α (2− βγ) exp (α̃3τ) (1 + βγ)3/2 cos θ0 , α = cos δ (1− e2)1/2 { 3(Ã1 − Ã3) (1− e2) − Γ } , β = tg2 θ0, γ = exp (−ρ̃τ) . График изменения функции λ = λ(τ) представлен на рис. 12 для на- чального значения угла нутации θ(0) = π/6 . Кривые 1–4 соответствуют значениям α = 0.1; 1; −0.1; −1. Положительные значения отвечают случаю Ã1 > Ã3(спутник “сплюснутый” по оси инерции A3), а отрицательные – Ã1 < Ã3 (спутник “вытянутый” по оси инерции A3 ). Видно, что во всех расчетных случаях графики функций λ = λ(τ) имеют точки экстремума, т.е. вектор кинетического момента со временем меняет направление вращения около вертикали к плоскости орбиты. Это объясняется тем, что правая часть уравнения (25) содержит выражение ( 1− 3 2 sin2 θ ) , которое является поло- жительным для значений угла θ ∈ [ 0;≈ 54.740 ] . В данном расчетном случае угол θ увеличивается и проходит критическое значение 54.740, поэтому знак выражения меняется. Если принять при расчетах θ(0) = π/6 , то функция λ = λ(τ) будет монотонной на всем временном интервале. Таким образом, при движении динамически симметричного спутника под действием момента сил гравитационного притяжения и светового давления, а также сопротивления среды вектор кинетического момента G направлен под постоянным углом δ к вертикали плоскости орбиты, при этом величи- на вектора убывает, стремясь к нулевому значению. Направление движения конца вектора G по сфере радиуса G зависит от “формы” спутника. В слу- чае спутника “сплюснутого” по оси инерции A3 угол нутации стремится к 149 Я.С. Зинкевич, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская предельному значению π/2 . Для динамически “вытянутого” по этой же оси спутника угол нутации стремится к нулю. Авторы благодарят Л.Д. Акуленко за внимание к работе, ценные советы и полезные обсуждения. 1. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. – М.: Наука, 1965. – 416 с. 2. Черноусько Ф.Л. О движении спутника относительно центра масс под действием гра- витационных моментов // Прикл. математика и механика. – 1963. – 27, вып. 3. – С. 474– 483. 3. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. – М.: Изд-во МГУ, 1975. – 308 с. 4. Карымов А.А. Устойчивость вращательного движения геометрически симметричного искусственного спутника Солнца в поле сил светового давления // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 5. – С. 923–930. 5. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. – М.: Наука, 1986. – 304 с. 6. Сазонов В.В. Движение астероида относительно центра масс под действием момента сил светового давления // Астрон. вестн. – 1994. – 28, № 2. – С. 95–107. 7. Белецкий В.В, Яншин А.М. Влияние аэродинамических сил на вращательное движе- ние искусственных спутников. – Киев: Наук. думка, 1984. – 188 с. 8. Кузнецова Е.Ю., Сазонов В.В., Чебуков С.Ю. Эволюция быстрого вращения спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов // Изв. РАН. Механи- ка твердого тела. – 2000. – № 2. – С. 3–14. 9. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Быстрое движение вокруг неподвиж- ной точки тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде // Изв. АН СССР. Ме- ханика твердого тела. – 1982. – № 3. – С. 5–13. 10. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Эволюция быстрого вращения дина- мически симметричного спутника под действием гравитационнго момента в сопротив- ляющейся среде // Механика твердого тела. – 2006. – 36. – С. 58–63. 11. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Эволюция быстрого вращения спут- ника под действием гравитационного момента в среде с сопротивлением // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2008. – № 2. – С. 13–26. 12. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Движение спутника относительно цен- тра масс под действием момента сил светового давления в сопротивляющейся среде // Вiсн. Одеськ. нац. ун-ту. Матем. i мех. – 2007. –12, вип. 7. – С. 85–98. 13. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – 507 с. 14. Акуленко Л.Д. Схемы усреднения высших степеней в системах с быстрой и медленной фазами // Прикл. математика и механика. – 2002. – 66, вып. 2. – С. 165–176. 15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Механика. Т. 1. – М.: Наука, 1973. – 208 с. 16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с. Гос. академия строительства и архитектуры, Одесса, Национальный ун-т им. И.И. Мечникова, Одесса leshchenko_d@ukr.net,rachinskaya@onu.edu.ua Получено 14.09.09 150

Быстрые вращения спутника в среде с сопротивлением под действием гравитационного и светового моментов

Institution

Ähnliche Einträge