Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях
Уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, записаны в специальных осях с использованием параметров Родрига–Гамильтона. Получена функция Гамильтона в обобщенных координатах и дано ее разложение в окрестности нижнего положения равновесия. Рассмотрены линейные колебания....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28012 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях / Д.А. Данилюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 151-156. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28012 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280122011-10-26T12:19:19Z Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях Данилюк, Д.А. Уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, записаны в специальных осях с использованием параметров Родрига–Гамильтона. Получена функция Гамильтона в обобщенных координатах и дано ее разложение в окрестности нижнего положения равновесия. Рассмотрены линейные колебания. 2009 Article Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях / Д.А. Данилюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 151-156. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28012 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, записаны в специальных осях с использованием параметров Родрига–Гамильтона. Получена функция Гамильтона в обобщенных координатах и дано ее разложение в окрестности нижнего положения равновесия. Рассмотрены линейные колебания. |
| format |
Article |
| author |
Данилюк, Д.А. |
| spellingShingle |
Данилюк, Д.А. Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях Механика твердого тела |
| author_facet |
Данилюк, Д.А. |
| author_sort |
Данилюк, Д.А. |
| title |
Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях |
| title_short |
Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях |
| title_full |
Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях |
| title_fullStr |
Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях |
| title_full_unstemmed |
Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях |
| title_sort |
колебания твердого тела в параметрах родрига–гамильтона в специальных осях |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28012 |
| citation_txt |
Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона в специальных осях / Д.А. Данилюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 151-156. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT danilûkda kolebaniâtverdogotelavparametrahrodrigagamilʹtonavspecialʹnyhosâh |
| first_indexed |
2025-07-03T08:01:58Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:01:58Z |
| _version_ |
1836612026798964736 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.38
c©2009. Д.А. Данилюк
КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ПАРАМЕТРАХ
РОДРИГА–ГАМИЛЬТОНА В СПЕЦИАЛЬНЫХ ОСЯХ
Уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, записаны в специаль-
ных осях с использованием параметров Родрига–Гамильтона. Получена функция Гамиль-
тона в обобщенных координатах и дано ее разложение в окрестности нижнего положения
равновесия. Рассмотрены линейные колебания.
Задача о колебаниях твердого тела, имеющего неподвижную точку, в поле
силы тяжести играет важную роль в динамике твердого тела. Значительный
вклад в ее решение внесли работы [1, 2], в которых рассматривались нелиней-
ные колебания около устойчивого положения равновесия. Исследование этих
вопросов продолжено в работах [3, 4] с использованием параметров Родрига–
Гамильтона.
Настоящая работа опирается на исследования [3, 4] и использует в до-
полнение к специальной неподвижной системе координат, введенной в ра-
ботах [3, 4], специальные подвижные оси [5], успешно примененные в ста-
тье [2]. Записаны уравнения движения твердого тела в параметрах Родрига–
Гамильтона в специальных осях. Получена функция Гамильтона в обобщен-
ных координатах и дано ее разложение в окрестности нижнего положения
равновесия. При использовании избыточных координат применены подходы,
предложенные в работах [6, 7]. Рассмотрены линейные колебания.
1. Уравнения и интегралы движения. Для описания движения твер-
дого тела, имеющего неподвижную точку, в поле силы тяжести в качестве
подвижной системы примем специальную систему координат [5]. Обозначим
через x, y, z; wi, νi, ei, i = 1, 2, 3 – проекции на эти оси векторов кинетическо-
го момента, угловой скорости, единичного вектора вертикали, направленного
вверх, и единичного вектора e, идущего из неподвижной точки в центр масс
тела; a, a1, a2, b1, b2 – компоненты гирационного тензора; Γ – произведение
веса тела и расстояния до центра масс. В качестве неподвижной системы,
следуя [3, 4], выберем декартову систему координат с центром в неподвиж-
ной точке таким образом, чтобы проекции ν ′
i вектора ν на эти оси имели
следующие значения: ν ′
i = −ei, i = 1, 2, 3. По таблице направляющих ко-
синусов [8] с учетом e1 = 1, e2 = e3 = 0 находим выражения для νi через
параметры Родрига–Гамильтона λ0, λ1, λ2, λ3:
ν1 = λ2
2 + λ2
3 − λ2
1 − λ2
0,
ν2 = 2(λ0λ3 − λ2λ1),
ν3 = −2(λ0λ2 + λ3λ1).
(1)
151
Д.А. Данилюк
Для компонент угловой скорости wi имеем выражения [5]
w1 = ax+ b1y + b2z, w2 = a1y + b1x, w3 = a2z + b2x. (2)
Дифференциальные уравнения движения получим, подставив формулы
(1), (2) в динамические уравнения П.В. Харламова [5]
ẋ = y(a2z + b2x)− z(a1y + b1x),
ẏ = z(ax+ b1y + b2z)− x(a2z + b2x)− 2Γ(λ0λ2 + λ1λ3),
ż = −y(ax+ b1y + b2z) + x(a1y + b1x)− 2Γ(λ0λ3 − λ1λ2)
(3)
и кинематические уравнения для параметров Родрига–Гамильтона [8]
2λ̇0 = −λ1(ax+ b1y + b2z)− λ2(a1y + b1x)− λ3(a2z + b2x),
2λ̇1 = λ0(ax+ b1y + b2z) + λ2(a2z + b2x)− λ3(a1y + b1x),
2λ̇2 = λ0(a1y + b1x) + λ3(ax+ b1y + b2z)− λ1(a2z + b2x),
2λ̇3 = λ0(a2z + b2x) + λ1(a1y + b1x)− λ2(ax+ b1y + b2z).
(4)
Уравнения (3), (4) допускают три первых интеграла – энергии, постоян-
ства кинетического момента и геометрический:
ax2 + a1y
2 + a2z
2 + 2(b1y + b2z)x+ 2Γ(λ2
2 + λ2
3 − λ2
1 − λ2
0) = h,
x(λ2
2 + λ2
3 − λ2
1 − λ2
0) + 2y(λ0λ3 − λ2λ1)− 2z(λ0λ2 + λ3λ1) = k,
λ2
0 + λ2
1 + λ2
2 + λ2
3 = 1.
(5)
2. Функция Гамильтона в обобщенных координатах.Получим функ-
цию Гамильтона в обобщенных координатах. В качестве обобщенных коорди-
нат примем λ1, λ2, λ3, а параметр λ0 определим из равенства
λ2
0 + λ2
1 + λ2
2 + λ2
3 = 1.
Запишем выражение для функции Гамильтона H = T + Π, где
T =
1
2
(A11w
2
1 +A22w
2
2 +A33w
2
3) +A12w1w2 +A23w2w3 +A13w1w3,
Π = Γ(λ2
2 + λ2
3 − λ2
1 − λ2
0).
Здесь Aij – компоненты тензора инерции в неподвижной точке относительно
фиксированных в теле осей. Величины wi выражаются следующими форму-
лами:
w1 = 2(λ0λ̇1 − λ1λ̇0 + λ3λ̇2 − λ2λ̇3),
w2 = 2(λ0λ̇2 − λ2λ̇0 + λ1λ̇3 − λ3λ̇1),
w3 = 2(λ0λ̇3 − λ3λ̇0 + λ2λ̇1 − λ1λ̇2).
152
Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона
Введем обобщенные импульсы по формулам
pi =
∂T
∂λi
=
3∑
j=1
(Aj1w1 +Aj2w2 +Aj3w3)
(
∂wj
∂λ̇i
− 2λj
λ̇0
λ̇i
)
, i = 1, 2, 3,
и заменим выражения в скобках соответствующими компонентами кинетиче-
ского момента xi =
3∑
j=1
Aijwj , i = 1, 2, 3:
p1 =
2
λ0
[x1(λ2
0 + λ2
1) + x2(−λ0λ3 + λ1λ2) + x3(λ0λ2 + λ1λ3)],
p2 =
2
λ0
[x1(λ0λ3 + λ1λ2) + x2(λ2
0 + λ2
2) + x3(−λ0λ1 + λ2λ3)],
p3 =
2
λ0
[x1(−λ0λ2 + λ1λ3) + x2(−λ0λ1 + λ2λ3) + x3(λ2
0 + λ2
3)].
(6)
Разрешая эти соотношения относительно x1, x2, x3
x1 =
1
2
(λ0p1 + λ3p2 − λ2p3),
x2 =
1
2
(−λ3p1 + λ0p2 + λ1p3),
x3 =
1
2
(λ2p1 − λ1p2 + λ0p3),
и подставляя найденные значения в выражение кинетической энергии в спе-
циальной системе координат
T =
1
2
(ax2
1 + a1x
2
2 + a2x
2
3) + (b1x2 + b2x3)x1,
получаем выражение для функции Гамильтона
H =
1
8
{[a(1− λ2
1) + (a1− a)λ2
2 + (a2− a)λ2
3− 2λ0(b2λ2 + b3λ3)]p2
1 + [a1(1− λ2
2)+
+(a2−a1)λ2
1+(a−a1)λ2
3+2λ3(b1λ0−b2λ1)]p2
2+[a2(1−λ2
3)+(a1−a2)λ2
1+(a−a2)λ2
2−
−2λ2(b1λ1 + b2λ0)]p2
3 + 2[b1(1−λ2
1−λ2
2− 2λ2
3) + (a−a1)λ0λ3− b2(λ0λ1−λ2λ3)−
−a2λ1λ2]p1p2+2[b2(1−λ2
1−2λ2
2−λ2
3)+b1λ0λ1+(a2−a)λ0λ2−a1λ1λ3+b1λ2λ3]p1p3+
+2[(a1−a2)λ0λ1−b1(λ0λ2−λ1λ3)+b2(λ0λ3 +λ1λ2)+aλ2λ3]p2p3}+2Γ(λ2
2 +λ2
3).
(7)
3. Разложение функции Гамильтона. Как показано в работе [3], ниж-
нему положению равновесия соответствуют нулевые значения λi, wi и, как
153
Д.А. Данилюк
следует из формул (6), нулевые значения импульсов pi и xi, i = 1, 2, 3. По-
этому функция (7) описывает возмущенное движение твердого тела в окрест-
ности нижнего положения равновесия. Для получения разложения функции
Гамильтона воспользуемся формулами
λ2
0 = 1− λ2
1 − λ2
2 − λ2
3,
λ0 = (1− λ2
1 − λ2
2 − λ2
3)1/2 = 1− 1
2
(λ2
1 − λ2
2 − λ2
3)− 1
8
(λ2
1 − λ2
2 − λ2
3)2 − . . . .
Разлагая функцию (7) с точностью до членов четвертого порядка, получаем
H = H2 +H3 +H4,
H2 =
1
8
(ap2
1 + a1p
2
2 + a2p
2
3) +
1
4
(b1p1p2 + b2p1p3) + 2Γ(λ2
2 + λ2
3),
H3 =
1
4
[λ1p2p3(a1 − a2) + λ2p1p3(a2 − a) + λ3p1p2(a− a1) + λ1p1(b1p3 − b2p2)+
+λ2(b2p2
1 − b2p2
3 − b1p2p3) + λ3(−b1p2
1 + b1p
2
2 + b2p2p3)],
H4 = −1
8
[λ2
1(ap2
1 + (a1 − a2)(p2
2 − p2
3) + p1(b1p2 + b2p3))+
+λ2
2(a1p
2
2 + (a− a2)(p2
1 − p2
3) + p1(3b2p3 + b1p2))−
−λ2
3(a2p
2
3 + (a− a1)(p2
1 − p2
2) + p1(3b1p2 + b2p3))+
+2λ2λ3(ap2p3 − p1(b2p2 + b1p3))+
+2λ1(p1(a2λ2p2 − a1λ3p3) + (λ2p3 − λ3p2)(b1p3 − b2p2))].
4. Линейные колебания. Изучим линейные колебания твердого тела в
специальной системе координат около нижнего положения равновесия. Об-
ратимся к системе уравнений (3), (4). Нижнему положению равновесия соот-
ветствует решение
x = 0, y = 0, z = 0, λ0 = 1, λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0. (8)
Используем выражения второго и третьего интегралов (5) для того, чтобы
исключить из уравнений переменные x и λ0 соответственно. Поскольку λ2
2+
+λ2
3 − λ2
0 − λ2
1 6= 0 в окрестности решения (8), имеем
λ0 =
√
1− λ2
1 − λ2
2 − λ2
3, x = kh0 + h1y + h2z,
где
h0 = − 1
1− 2(λ2
2 + λ2
3)
, h1 =
2(λ3
√
1− λ2
1 − λ2
2 − λ2
3 − λ1λ2)
1− 2(λ2
2 + λ2
3)
,
h2 =
−2(λ1λ3 + λ2
√
1− λ2
1 − λ2
2 − λ2
3)
1− 2(λ2
2 + λ2
3)
.
154
Колебания твердого тела в параметрах Родрига–Гамильтона
Подставляя найденные выражения в уравнения (3), (4), получим систему
уравнений для оставшихся переменных:
ẏ = −b2k2h2
0 − 2b2kh0h1y + kh0(a− a2 − 2b2h2)z − b2h2
1y
2+
+[(a− a2)h2 + b2(1− h2
2)]z2 + [(a− a2)h1 + b1 − 2b2h1h2]yz − 2Γ(λ0λ2 + λ1λ3),
ż = b1k
2h2
0 + kh0(a1 − a+ 2b1h1)y + 2b1kh0h2z + [(a1 − a)h1−
−b1(1− h2
1)]y2 + b1h
2
2z
2 + [(a1 − a)h2 − b2 + 2b1h1h2]yz − 2Γ(λ0λ3 − λ1λ2),
(9)
2λ̇1 = kh0(aλ0 − b1λ3 + b2λ2) + [λ0(b1 + ah1) + b2λ2h1 − λ3(a1 + b1h1)]y+
+[λ0(b2 + ah2) + λ2(a2 + b2h2)− b1λ3h2]z,
2λ̇2 = kh0(b1λ0 − b2λ1 + aλ3) + [λ0(a1 + b1h1)− b2λ1h1 + λ3(b1 + ah1)]y+
+[b1λ0h2 − λ1(a2 + b2h2) + λ3(b2 + ah2)]z,
2λ̇3 = kh0(b2λ0 +λ1(a1 + b1h1)−aλ2) + [b2λ0h1 +λ1(b1 +ah1)−λ2(b1 +ah1)]y+
+[λ0(a2 + b2h2) + b1λ1h2 − λ2(b2 + ah2)]z.
Оставляя за вариациями переменных y, z, λ1, λ2, λ3 те же обозначения,
находим уравнения в вариациях для системы (9):
ẏ = −2Γλ2, ż = −2Γλ3,
(10)
λ̇1 = −ak
2
+
b1
2
y +
b2
2
z, λ̇2 =
a1
2
y, λ̇3 =
a2
2
z.
Общее решение системы (10) имеет вид
y = C1 cos
√
a1Γt+ C2 sin
√
a1Γt,
z = C3 cos
√
a2Γt+ C4 sin
√
a2Γt,
λ1 =
b1
2
√
a1Γ
(C1 sin
√
a1Γt− C2 cos
√
a1Γt)+
+
b2
2
√
a2Γ
(C3 sin
√
a2Γt− C4 cos
√
a2Γt)− ak
2
t+ C5,
λ2 =
1
2
√
a1
Γ
(C1 sin
√
a1Γt− C2 cos
√
a1Γt),
λ3 =
1
2
√
a2
Γ
(C3 sin
√
a2Γt− C4 cos
√
a2Γt),
Ci = const, i = 1, 5,
и описывает малые колебания тела около положения равновесия.
155
Д.А. Данилюк
1. Старжинский В.М. Колебания тяжелого твердого тела с закрепленной точкой около
нижнего положения равновесия в общем случае // Изв. АН СССР. Механика твердого
тела. – 1973. – Вып. 4. – С. 121–128.
2. Илюхин А.А., Ковалев А.М. Нормальные колебания твердого тела около положения
устойчивого равновесия // Механика твердого тела. – 1976. – Вып. 8. – С. 65–71.
3. Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Линейные нормальные колебания твердого тела в пара-
метрах Родрига–Гамильтона // Там же. – 2003. – Вып. 33. – С. 3–9.
4. Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в пара-
метрах Родрига–Гамильтона // Там же. – 2004. – Вып. 34. – С. 21–26.
5. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во НГУ, 1965.
– 221 с.
6. Козлов В.В. Уравнение Гамильтона задачи о движении твердого тела с неподвижной
точкой в избыточных координатах // Теорет. и прикл. механика. – 1982. – Вып. 8. –
С. 59–65.
7. Ковалев А.М. Получение уравнений Гамильтона движения механических систем со свя-
зями на основе принципа максимума Понтрягина // Механика твердого тела. – 1986. –
Вып. 18. – С. 67–73.
8. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
daniljuk@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 20.10.09
156
|