Определение вектора угловой скорости по его проекции
Предлагается метод решения задачи наблюдения для дифференциальных уравнений, правые части которых являются линейными функциями относительно неизмеряемых компонент фазового вектора. Для таких систем приведена схема построения функциональных выражений, определяющих вдоль решений вспомогательной систем...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28016 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Определение вектора угловой скорости по его проекции / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 185-194. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28016 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280162011-10-26T12:24:32Z Определение вектора угловой скорости по его проекции Щербак, В.Ф. Предлагается метод решения задачи наблюдения для дифференциальных уравнений, правые части которых являются линейными функциями относительно неизмеряемых компонент фазового вектора. Для таких систем приведена схема построения функциональных выражений, определяющих вдоль решений вспомогательной системы искомые неизвестные, как функции от известных величин. Метод основан на динамическом расширении исходной системы ее управляемым прототипом (1,2] и на нелинейных методах синтеза управлений, стабилизирующих отклонения решений расширенной системы дифференциальных уравнений от заданных инвариантных многообразий. Решена задача определения вектора угловой скорости твердого тела по измерениям одной из его проекций на оси подвижной системы координат. С помощью невырожденной замены координат, динамические уравнения Эйлера приведены к форме, которая является линейной относительно неопределенных величин. Для полученной расширенной системы синтезированы алгебраические выражения, с использованием которых найдены асимптотические оценки компонент вектора угловой скорости. 2009 Article Определение вектора угловой скорости по его проекции / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 185-194. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28016 62-50:519.7 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предлагается метод решения задачи наблюдения для дифференциальных уравнений, правые части которых являются линейными функциями относительно неизмеряемых компонент фазового вектора. Для таких систем приведена схема построения функциональных выражений, определяющих вдоль решений вспомогательной системы искомые неизвестные, как функции от известных величин. Метод основан на динамическом расширении исходной системы ее управляемым прототипом (1,2] и на нелинейных методах синтеза управлений, стабилизирующих отклонения решений расширенной системы дифференциальных уравнений от заданных инвариантных многообразий. Решена задача определения вектора угловой скорости твердого тела по измерениям одной из его проекций на оси подвижной системы координат. С помощью невырожденной замены координат, динамические уравнения Эйлера приведены к форме, которая является линейной относительно неопределенных величин. Для полученной расширенной системы синтезированы алгебраические выражения, с использованием которых найдены асимптотические оценки компонент вектора угловой скорости. |
| format |
Article |
| author |
Щербак, В.Ф. |
| spellingShingle |
Щербак, В.Ф. Определение вектора угловой скорости по его проекции Механика твердого тела |
| author_facet |
Щербак, В.Ф. |
| author_sort |
Щербак, В.Ф. |
| title |
Определение вектора угловой скорости по его проекции |
| title_short |
Определение вектора угловой скорости по его проекции |
| title_full |
Определение вектора угловой скорости по его проекции |
| title_fullStr |
Определение вектора угловой скорости по его проекции |
| title_full_unstemmed |
Определение вектора угловой скорости по его проекции |
| title_sort |
определение вектора угловой скорости по его проекции |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28016 |
| citation_txt |
Определение вектора угловой скорости по его проекции / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 185-194. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT ŝerbakvf opredelenievektorauglovojskorostipoegoproekcii |
| first_indexed |
2025-07-03T08:03:30Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:03:30Z |
| _version_ |
1836612130423439360 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 62-50:519.7
c©2009. В.Ф.Щербак
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
ПО ЕГО ПРОЕКЦИИ
Предлагается метод решения задачи наблюдения для дифференциальных уравнений, пра-
вые части которых являются линейными функциями относительно неизмеряемых компо-
нент фазового вектора. Для таких систем приведена схема построения функциональных
выражений, определяющих вдоль решений вспомогательной системы искомые неизвест-
ные, как функции от известных величин. Метод основан на динамическом расширении
исходной системы ее управляемым прототипом [1, 2] и на нелинейных методах синтеза
управлений, стабилизирующих отклонения решений расширенной системы дифференци-
альных уравнений от заданных инвариантных многообразий. Решена задача определения
вектора угловой скорости твердого тела по измерениям одной из его проекций на оси по-
движной системы координат. С помощью невырожденной замены координат, динамические
уравнения Эйлера приведены к форме, которая является линейной относительно неопре-
деленных величин. Для полученной расширенной системы синтезированы алгебраические
выражения, с использованием которых найдены асимптотические оценки компонент век-
тора угловой скорости.
1. Синтез дополнительных алгебраических соотношений в зада-
че наблюдения нелинейных динамических систем. Рассматривается
задача наблюдения для нелинейных динамических систем
ẋ = f(x), x ∈ Rn, (1)
y = h(x), y ∈ Rk. (2)
Здесь x(t) – решение системы (1), которое следует определить по информации
о выходе системы – функции y(t), значения которой известны для любого
момента времени t > 0. Предполагается, что функции f(x), h(x) являются
дифференцируемыми функциями своих аргументов.
Представим фазовый вектор x в виде двух подвекторов x = (x1, x2)T ,
где x1 = (x1, x2, . . . , xk)T , x2 = (xk+1, xk+2, . . . , xn)T . Будем считать, что
система (1), (2) с помощью невырожденной замены переменных приведена
к виду, при котором измеряются первые k координат, y(t) = x1(t). Кроме
того, ограничим класс рассматриваемых объектов системами, правые части
уравнений которых линейны относительно неизмеряемых переменных x2(t)
ẋ1 = f1(x1) + g1(x1)x2,
ẋ2 = f2(x1) + g2(x1)x2,
y = x1.
(3)
Здесь g1(x1), g2(x1) – матрицы размерностей k × (n − k) и (n − k) × (n − k)
соответственно.
185
В.Ф.Щербак
Наряду с системой (3) рассмотрим ее управляемый аналог. Для этого
перепишем систему (3), вводя в правые части n вспомогательных функций
u1(x1, p1, p2) ∈ Rk, u2(x1, p1, p2) ∈ Rn−k:
{
ṗ1 = f1(p1) + g1(p1)p2 + u1,
ṗ2 = f2(p1) + g2(p1)p2 + u2.
(4)
Далее будем рассматривать (4) как некоторое динамическое расширение
системы дифференциальных уравнений (3), с помощью которого необходимо
определить неизвестные компоненты фазового вектора x2(t). В частности [4],
если управления u1, u2 можно подобрать такими, чтобы решения системы (4)
с любыми начальными условиями асимптотически стремились к наблюдае-
мому решению системы (3), то система (4) будет наблюдателем для системы
(3).
Целью данной работы не является непосредственное построение нелиней-
ного наблюдателя для системы (3). Предлагается более общая конструкция,
состоящая в синтезе алгебраических выражений, которые вдоль любых ре-
шений расширенной системы (3), (4) выражают неизвестные величины x2(t)
через известные: наблюдаемый выход x1(t) и функции p1(t), p2(t) – решения
вспомогательной системы (4). Иными словами, требуется подобрать управ-
ления u1(.), u2(.) таким образом, чтобы существовала некоторая функция
Ψ(x1, p1, p2) – новый выход для расширенной системы (3), (4), значения кото-
рой вдоль решений системы (3), (4) определяли бы асимптотическую оценку
вектора x2(t).
Опишем основные этапы предлагаемой схемы решения задачи наблюде-
ния.
1) Рассматривая совместно уравнения (3), (4), получаем систему 2n диф-
ференциальных уравнений, содержащую n управлений u1(.), u2(.).
Будем решать задачу синтеза управлений, считая выполненными
Предположение I1) Управления u1(.), u2(.) могут зависеть лишь от извест-
ных величин x1(t) и фазового вектора системы (4) – координат p1(t), p2(t);
Предположение I2) Для замкнутой системы (3), (4), полученной в резуль-
тате подстановки выбранных функций u1(x1, p1, p2), u2(x1, p1, p2) в правые ча-
сти (4), выполнены условия существования и единственности решения задачи
Коши ∀p(0) ∈ Rn, t > 0.
Любые функции u1(.), u2(.), удовлетворяющие предположениям I1, I2, бу-
дем называть допустимыми управлениями. С учетом этих соглашений да-
лее можем полагать, что решения системы (4), при выбранном допустимом
управлении существуют, и для любых заданных начальных условий являют-
ся известными функциями времени.
2) Обозначим через ei = pi − xi, i = 1, 2, – рассогласования решений
систем (3), (4). Вычитая из уравнений (4) уравнения (3), получим систему
дифференциальных уравнений в отклонениях
{
ė1 = G1(x1, p1) + g1(x1)e2 + u1,
ė2 = G2(x1, p1) + g2(x1)e2 + u2,
(5)
186
Определение вектора угловой скорости по его проекции
где слагаемые Gi(x1, p1) = [gi(p1)−gi(x1)]p2 +fi(p1)−fi(x1), i = 1, 2, зависят
только лишь от известных величин x1, p1, p2. Поэтому, не нарушая условие
I1, введем новые управления v1, v2 по формулам vi = Gi(x1, p1)+ui, i = 1, 2.
При этом функции v1(.), v2(.) могут зависеть лишь от переменных x1, p1, p2
или, что то же самое, от x1, e1, p2. Система (5) для отклонений имеет вид
{
ė1 = g1(x1)e2 + v1(x1, e1, p2),
ė2 = g2(x1)e2 + v2(x1, e1, p2).
(6)
3) Основная идея излагаемого подхода – выразить неизвестные величины
x2 как некоторые функции от известных x1, e1, p2 может быть переформули-
рована следующим образом. Будем подбирать управления v1(.), v2(.) такими,
чтобы траектории системы (3), (6) допускали (пока неопределенное) инвари-
антное многообразие в пространстве переменных x, e, задаваемое системой
n− k равенств
e2 − Φ(x1, e1) = 0. (7)
Тогда, если начальные условия выбраны такими, что траектория, на кото-
рой производятся измерения, принадлежит этому многообразию и функция
Φ(x1, e1) известна, то по формуле (7) можно вычислить значения e2(t) или,
что то же самое, x2(t). В общем случае это не так, но если многообразие (7) бу-
дет обладать свойством глобального асимптотического притяжения для всех
траекторий расширенной системы (3), (6), то в силу непрерывности функции
Φ(x1, e1) с ее помощью можно определить асимптотическую оценку e2(t).
2. Синтез управлений. Рассмотрим вначале задачу о синтезе управле-
ний, при которых многообразие, определяемое формулами (7), будет инвари-
антным многообразием для некоторых траекторий расширенной системы (3),
(6).
Теорема 1. Для всякой дифференцируемой вектор-функции Φ(x1, e1) су-
ществует допустимое управление v2(x1, e1, p2) такое, что многообразие, опи-
сываемое равенствами (7), является инвариантным многообразием систе-
мы дифференциальных уравнений (3), (6).
Док а з а т е л ь с т в о. Сделаем замену переменных e2 по формуле η =
= e2 −Φ(x1, e1), где вектор η характеризует отклонение траекторий системы
(3), (6) от многообразия (7), а Φ(x1, e1) – произвольная, непрерывно диффе-
ренцируемая по своим аргументам функция. В новых переменных уравнения
в отклонениях (6) таковы
ė1 = g1(x1)(Φ + η) + v1,
(8)
η̇ = [g2(x1) + (Φx1 − Φe1)g1(x1)](Φ + η)− Φx1 [f1(x1) + g1(x1)p2]− Φe1v1 + v2,
где через Φx1 , Φe1 обозначены якобиевы матрицы
Φx1 =
∂Φ(x1, e1)
∂x1
, Φe1 =
∂Φ(x1, e1)
∂e1
.
187
В.Ф.Щербак
Пусть функция v1 является допустимой согласно предположению I1, напри-
мер, v1 ≡ 0. В качестве управления v2 выберем функцию
v2 = −[g2(x1) + (Φx1 − Φe1)g1(x1)]Φ + Φx1 [f1(x1) + g1(x1)p2] + Φe1v1.
Отметим, что v2 является функцией только лишь аргументов x1, p1, p2, а зна-
чит, такое управление удовлетворяет условию I1.
При таком v2 система (8) принимает вид
{
ė1 = g1(x1)(Φ + η) + v1,
η̇ = [g2(x1) + (Φx1 − Φe1)g1(x1)]η,
(9)
откуда следует, что функция η(t) ≡ 0 удовлетворяет системе (9).
Таким образом, установлено, что если в некоторый момент времени равен-
ство (7) выполнено, то оно будет выполнено тождественно для всех t. Теорема
доказана. ¤
Для того, чтобы обеспечить свойство глобального притяжения для ин-
вариантного многообразия (7) в нашем распоряжении остается выбор вида
функции Φ(x1, e1) и управления v1(x1, e1, p2) .
Пусть, например, функция Φ(x1, e1) является частным решением следую-
щей системы уравнений в частных производных первого порядка:
g2(x1) + (Φx1 − Φe1)g1(x1) = −(λ, . . . , λ)T , Φ(x1, 0) = 0,
где λ > 0. Тогда, если соответствующее этому решению управление v2(x1, e1)
удовлетворяет ограничению I2, то многообразие, определяемое формулами
(7), обладает свойством глобального притяжения, а сами эти формулы опре-
деляют асимптотическую оценку для переменных x2(t).
Положим v1 = −g1(x1)Φ(x1, e1)−Λe1, где Λ = diag(λ, . . . , λ). В результате
система (9) преобразуется к виду
{
ė1 = g1(x1)η − Λe1,
η̇ = −Λη.
(10)
Пусть V (t) =
1
2
(eT
1 e1 + ηT η) – функция Ляпунова для системы (10). Ее
производная в силу системы (10) равна
V̇ (t) = −eT
1 Λe1 + eT
1 g1(x1)η − ηT Λη.
Будем считать, что наблюдаемая траектория x(t) является ограниченной
функцией времени. В силу ограниченности значений g1(x1) из последнего
равенства следует, что значение λ могут быть выбраны таким образом, что
производная функции Ляпунова V̇ (t) становится определенно отрицательной
функцией времени. Таким образом, в результате предложенной схемы синте-
за управлений получаем, что
188
Определение вектора угловой скорости по его проекции
1) траектории системы (3), (6) стремятся к многообразию, которое опи-
сывается равенствами e2 − Φ(x1, e1) = 0;
2) lim
t→∞ e1(t) = 0;
3) из граничного условия Φ(x1, 0) = 0 для дифференцируемой функции
Φ(x1, e1) следует, что lim
t→∞ e2(t) = 0.
3. Определение угловой скорости твердого тела. Сведение урав-
нений Эйлера к системе, линейной относительно неизмеряемых ком-
понент. Рассмотрим уравнения, описывающие вращение по инерции твер-
дого тела вокруг неподвижной точки, совпадающей с центром тяжести те-
ла. Обозначив a1 =
A2 −A3
A1
, a2 =
A3 −A1
A2
, a3 =
A1 −A2
A3
, где A1, A2, A3
моменты инерции тела относительно главных осей. Запишем динамические
уравнения Эйлера
ω̇1 = a1ω2ω3,
ω̇2 = a2ω1ω3,
ω̇3 = a3ω1ω2.
(11)
Предположим, что выходом системы (11), известным в любой момент вре-
мени, является первая компонента ω1(t) вектора угловой скорости ω(t). На-
шей задачей является определение по этой информации значений ω2(t), ω3(t).
Вначале приведем систему (11) к форме (3), к которой применима опи-
санная выше схема решения задачи наблюдения. Для этого выполним замену
переменных по формулам
x1 = ω1,
x2 = a1ω2ω3,
x3 = a1(a2ω
2
3 + a3ω
2
2).
(12)
Определитель якобиевой матрицы преобразования (12)
det
∂(x1, x2, x3)
∂(ω1, ω2, ω3)
= 2a2
1(a2ω3
2 − a3ω2
2).
Чтобы преобразование координат было невырожденным, будем рассмат-
ривать только такие траектории системы (11), для которых выполнено
Предположение I3) Наблюдаемый объект не является осесимметричным
A2 6= A3, т.е. a1 6= 0, и в течение всего процесса наблюдения выражение
a2ω3
2 − a3ω2
2 6= 0.
В частности, для несимметричных тел, распределение масс которых удо-
влетворяет неравенствам A1 < A2, A1 < A3 либо A1 > A2, A1 > A3, знаки
a2, a3 различны и указанное предположение выполнено при ω2
2 + ω2
3 6= 0, т.е.
когда выход ω1(t) не равен тождественно константе.
В случае, когда a1 = 0, выход ω1(t) постоянен, и система (11), очевидно,
ненаблюдаема. Отметим также, что для симметричных тел, когда a2 = 0 или
189
В.Ф.Щербак
a3 = 0, уравнения (11) становятся линейными и решение задачи наблюдения
может быть найдено путем построения наблюдателя Луенбергера [5].
В новых переменных система (11) приобретает вид, линейный относитель-
но неизвестных переменных x2, x3,
ẋ1 = x2,
ẋ2 = x1x3,
ẋ3 = ax1x2,
(13)
где a = 4a2a3. При этом x1(t) ≡ ω1(t), т.е. выход системы (13) совпадает
с выходом системы (11), а значит является известной функцией времени.
Таким образом, задача определения значений компонент ω2(t), ω3(t) фазового
вектора системы (11) сводится к нахождению переменных x2(t), x3(t) системы
(13) и последующему решению алгебраических уравнений (12).
4. Оценка неизвестных компонент с помощью дополнительных
алгебраических соотношений. Для определения x2(t), x3(t) cоставим вспо-
могательную систему, содержащую две свободные функции ui(x1, p), i = 2, 3,
ṗ1 = p2,
ṗ2 = x1p3 + u2(x1, p),
ṗ3 = ax1p2 + u3(x1, p).
(14)
Для любых допустимых управлений и начальных условий p(0) = p0 значения
p(t) могут быть найдены в результате решения задачи Коши. Поэтому, далее
они будут считаться известными функциями времени.
Составим уравнения ошибок, обозначив соответствующие отклонения тра-
екторий через ei(t) = pi(t)−xi(t), i = 1, 2, 3. Вычитая (13) из (14), получаем
уравнения в отклонениях:
ė1 = e2,
ė2 = x1e3 + u2(x1, p),
ė3 = ax1e2 + u3(x1, p).
(15)
Пусть f2(e1, x1), f3(e1, x1) – произвольные непрерывно дифференцируе-
мые функции. Будем искать такие управления u2 и u3, чтобы выражения
{
e2 = f2(e1, x1),
e3 = f3(e1, x1)
(16)
были инвариантными соотношениями [3] для системы (13), (15). Иными сло-
вами, если равенства (16) выполнены в какой-то момент времени для неко-
торых решений системы (13), (15), то они будут выполнены для любых мо-
ментов времени. На этих решениях неизвестные e2(t), e3(t), а, следовательно,
x2(t), x3(t) выражаются по формулам (16) через известные функции времени
e1(t), x1(t).
190
Определение вектора угловой скорости по его проекции
Покажем, что такие управления существуют. Действительно, выполним в
системе (15) замену переменных e2, e3 по формулам
{
ε2 = e2 − f2(e1, x1),
ε3 = e3 − f3(e1, x1).
(17)
В новых переменных последние два уравнения системы (15) принимают
вид
ε̇2 = (
∂f2
∂x1
− ∂f2
∂e1
)ε2 + x1ε3 + x1f3 − ∂f2
∂e1
f2 − ∂f2
∂x1
(p2 − f2) + u2,
ε̇3 = (ax1 +
∂f3
∂x1
− ∂f3
∂e1
)ε2 + ax1f2 − ∂f3
∂e1
f2 − ∂f3
∂x1
(p2 − f2) + u3.
(18)
В качестве управлений u2 и u3 выберем функции
u2 = −x1f3 +
∂f2
∂e1
f2 +
∂f2
∂x1
(p2 − f2),
u3 = −ax1f2 +
∂f3
∂e1
f2 +
∂f3
∂x1
(p2 − f2).
(19)
Отметим, что управления (19) удовлетворяют условию I1. В результате под-
становки (19) в уравнения (18) последние становятся однородными относи-
тельно переменных ε2, ε3.
ε̇2 = (
∂f2
∂x1
− ∂f2
∂e1
)ε2 + x1ε3,
ε̇3 = (ax1 +
∂f3
∂x1
− ∂f3
∂e1
)ε2.
(20)
Следовательно, ε2 = 0, ε3 = 0 являются решением системы (20). Это означает,
что для любых дифференцируемых функций f2(e1, x1), f3(e1, x1) существует
указанное многообразие, состоящее из решений системы (13), (15), начальные
условия которых удовлетворяет (16).
В общем случае произвольные траектории расширенной системы (13), (15)
не принадлежат указанному многообразию, однако, если последнее обладает
свойствами глобального притяжения, то в силу непрерывности f2(e1, x1) и
f3(e1, x1) формулы (16) позволяют находить асимптотические оценки пере-
менных e2(t), e3(t), а, значит, и x2(t), x3(t).
5. Стабилизация отклонений от инвариантного многообразия. Для
обеспечения условий притяжения всех траекторий системы (13), (15) к мно-
гообразию, описываемому соотношениями (16), достаточно наличия свойства
глобальной асимптотической устойчивости для тривиального решения систе-
мы (20). Так как вид управлений уже зафиксирован формулами (19), то для
191
В.Ф.Щербак
обеспечения свойства глобального притяжения в нашем распоряжении оста-
ется выбор функций f2(e1, x1), f3(e1, x1). Введем обозначения:
V2(x1, e1) =
∂f2
∂x1
− ∂f2
∂e1
,
V3(x1, e1) = ax1 +
∂f3
∂x1
− ∂f3
∂e1
,
(21)
с учетом которых система (20) примет вид
{
ε̇2 = V2(x1, e1)ε2 + x1ε3,
ε̇3 = V3(x1, e1)ε2.
(22)
В силу имеющего произвола выбора функций f2(e1, x1), f3(e1, x1) можем
рассматривать функции V2, V3 как управления. Выберем эти управления та-
кими, чтобы нулевое решение системы (22) стало глобально асимптотически
устойчивым.
Теорема 2. Пусть значения выхода x1(t) системы (13) в течение про-
цесса измерений принадлежат отрезку [xmin
1 ; xmax
1 ], не содержащему точку
0. Тогда существуют дифференцируемые функции f2(e1, x1), f3(e1, x1) такие,
что система (13), (15) имеет инвариантное многообразие (16), обладающее
свойством глобального притяжения для всех траекторий системы.
Док а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведем в два этапа. На первом,
в соответствии с предложенной в предыдущих разделах методикой, найдем
семейство управлений V2, V3, при которых переменные ε2, ε3 связаны одно-
родным инвариантным соотношением. На втором этапе, устремив одну из
переменных εi, i = 2, 3, к нулю, автоматически обеспечим стремление к ну-
лю другой координаты.
Потребуем вначале, чтобы система (22) имела линейное инвариантное
многообразие ε3 = kε2, где k – константа, sign k = sign x1 (по условию
x1(t) не меняет знака). Введем переменную η – отклонение траекторий (22)
от этого многообразия: ε3 = kε2 + η. Уравнение для η имеет вид
η̇ = −kx1η + (V3 − kV2 − k2x1)ε2. (23)
Чтобы уравнение стало однородным относительно η, накладываем ограниче-
ние на управление V3, полагая V3 = kV2 + k2x1. Обозначим W = V2 + kx1,
рассматривая ее как функцию, на которую пока еще не наложено никаких
условий. Перепишем (22) в виде
{
ε̇2 = Wε2 + x1η,
η̇ = −kx1η.
(24)
Не ограничивая общности, предположим для определенности, что x1 > 0.
Рассмотрим функцию Ляпунова V =
ε2
2 + η2
2
и вычислим ее производную в
192
Определение вектора угловой скорости по его проекции
силу системы (24)
V̇ = ε2(Wε2 + x1η) + η(−kηx1) = ε2
2W + ε2ηx1 − kη2x1 ≤
≤ ε2
2W +
ε2
2 + η2
2
x1 − kη2x1 = (W +
x1
2
)ε2
2 + (
x1
2
− kx1)η2 < −ε2
2 − η2
при условии, что W +
x1
2
< −1 и k <
1
xmin
1
+
1
2
.
Таким образом, показано, что выбором функции W и константы k, мож-
но обеспечить выполнение последних неравенств. Следовательно, переменные
ε2, η асимптотически стремятся к нулю. Так как при этом выполнено равен-
ство ε3 = kε2+η, то переменная ε3 также стремится к нулю. А это и означает,
что инвариантное многообразие (16) является притягивающим.
В заключение укажем окончательный вид искомых инвариантных соотно-
шений (16), выбирая их из семейства функций, удовлетворяющих всем при-
веденным ограничениям. Чтобы производная от функции Ляпунова стала
отрицательной выберем k достаточно большим положительным числом и по-
ложим W = −2− x1
2
< −1− x1
2
. Тогда V2 = −2−(k+
1
2
)x1 и V3 = −2k−k
x1
2
. В
соответствии с (21) для определения вида инвариантных соотношений имеем
уравнения
∂f2
∂x1
− ∂f2
∂e1
= −2− (k +
1
2
)x1,
∂f3
∂x1
− ∂f3
∂e1
= −2k − (a +
k
2
)x1. (25)
Общее решение этих уравнений в частных производных первого порядка име-
ет вид
f2 = −2x1 − 1
2
(k +
1
2
)x2
1 + F2, f3 = −2kx1 − 1
2
(a +
k
2
)x2
1 + F3, (26)
где F2(x1 + e1) и F3(x1 + e1) – произвольные дифференцируемые функции
аргумента x1 + e1. Пусть F2(x1 + e1) = 2(x1 + e1), F3(x1 + e1) = 2k(x1 + e1),
тогда
f2(x1, e1) = −1
2
(k +
1
2
)x2
1 + 2e1, f3(x1, e1) = −1
2
(a +
k
2
)x2
1 + 2ke1. (27)
С учетом (17), оценки неизвестных компонент фазового вектора системы
(13) находим по формулам
x2 =p2 +
1
2
(k +
1
2
)x2
1 − 2(p1 − x1)− ε2,
x3 =p3 +
1
2
(a +
k
2
)x2
1 − 2k(p1 − x1)− ε3,
(28)
где переменные ε2, ε3 стремятся к нулю. Теорема доказана. ¤
193
В.Ф.Щербак
0 2 4 6 8
−15
−10
−5
0
5
10
t
x
2
0 2 4 6 8
−20
−15
−10
−5
0
5
10
t
x
3
Графики решений исходной системы и их аппроксимация.
6. Численное моделирование. Предложенная в работе схема была
промоделирована путем численного интегрирования. Рассматривалась зада-
ча наблюдения системы (13), решение которой сводит задачу наблюдения
фазового вектора динамических уравнений Эйлера (10) к решению алгеб-
раических уравнений (11). Результаты одного из вариантов счета приведе-
ны на рисунке. В качестве исходного выхода системы (13) взята координата
x1(t) = ω1(t) – численного решения системы (13) с начальными условиями
x1(0) = 3; x2(0) = 3; x3(0) = 3. Для решений вспомогательной системы
начальные условия равны p1(0) = 10; p2(0) = 10; p3(0) = 10. Централь-
ные моменты инерции рассматриваемой модели удовлетворяют условию I3:
A1 = 3; A2 = 15; A3 = 14. На рисунке координаты x2(t), x3(t) (периодические
колебания) сопоставлены с их оценками (изображены графики функций, на-
ходящихся в правых частях формул (28)). Результаты численного моделиро-
вания показывают работоспособность предложенного метода решения задачи
наблюдения для нелинейных систем.
1. Щербак В.Ф. Задача отслеживания состояния нелинейной системы при неполной ин-
формации о движении// Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 127–132.
2. Ковалев А. М., Щербак В. Ф. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость
динамических систем. – Киев: Наук. думка, 1993. – 285 с.
3. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-ие НГУ, 1965.
– 221 c.
4. Krener A., Respondek W. Nonlinear observers with linearizable error dynamics // SIAM J.
Control Optim. – 1985. – 23, № 2. – P. 197–216.
5. Luenberger D. Introduction to observers // IEEE Trans. Aut. Contr. – 1977. – 3. – P. 47–52.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
shvf@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 10.07.09
194
|