Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия

Для задачи о стабилизации математического маятника с вибрирующей точкой подвеса в наклонном положении получены условия существования равновесия. Показано, что при любом ограниченном движении подвеса точными равновесными состояниями маятника могут быть лишь вертикальные (верхнее и нижнее) положения....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Неспирный, В.Н., Королев, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28017
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия / В.Н. Неспирный, В.А. Королев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 195-206. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-28017
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-280172011-10-26T12:21:27Z Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия Неспирный, В.Н. Королев, В.А. Для задачи о стабилизации математического маятника с вибрирующей точкой подвеса в наклонном положении получены условия существования равновесия. Показано, что при любом ограниченном движении подвеса точными равновесными состояниями маятника могут быть лишь вертикальные (верхнее и нижнее) положения. Этот результат обобщен на случай законов движения подвеса, имеющих разрывы по скорости, что механически означает импульсные воздействия в соответствующие моменты времени. Для наклонных положений построены управляющие воздействия, обеспечивающие периодическую во времени вибрацию точки подвеса и гармонические колебания маятника относительно фиксированного наклонного положения. 2009 Article Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия / В.Н. Неспирный, В.А. Королев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 195-206. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28017 531.3, 517.9, 62-50 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Для задачи о стабилизации математического маятника с вибрирующей точкой подвеса в наклонном положении получены условия существования равновесия. Показано, что при любом ограниченном движении подвеса точными равновесными состояниями маятника могут быть лишь вертикальные (верхнее и нижнее) положения. Этот результат обобщен на случай законов движения подвеса, имеющих разрывы по скорости, что механически означает импульсные воздействия в соответствующие моменты времени. Для наклонных положений построены управляющие воздействия, обеспечивающие периодическую во времени вибрацию точки подвеса и гармонические колебания маятника относительно фиксированного наклонного положения.
format	Article
author	Неспирный, В.Н. Королев, В.А.
spellingShingle	Неспирный, В.Н. Королев, В.А. Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия Механика твердого тела
author_facet	Неспирный, В.Н. Королев, В.А.
author_sort	Неспирный, В.Н.
title	Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия
title_short	Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия
title_full	Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия
title_fullStr	Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия
title_full_unstemmed	Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия
title_sort	стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28017
citation_txt	Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия / В.Н. Неспирный, В.А. Королев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 195-206. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT nespirnyjvn stabilizaciâkolebanijmaâtnikaspodvižnojtočkojpodvesaotnositelʹnonaklonnogoravnovesiâ AT korolevva stabilizaciâkolebanijmaâtnikaspodvižnojtočkojpodvesaotnositelʹnonaklonnogoravnovesiâ
first_indexed	2025-07-03T08:03:40Z
last_indexed	2025-07-03T08:03:40Z
_version_	1836612139935072256
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39 УДК 531.3, 517.9, 62-50 c©2009. В.Н. Неспирный, В.А. Королев СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА С ПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ПОДВЕСА ОТНОСИТЕЛЬНО НАКЛОННОГО РАВНОВЕСИЯ Для задачи о стабилизации математического маятника с вибрирующей точкой подвеса в на- клонном положении получены условия существования равновесия. Показано, что при лю- бом ограниченном движении подвеса точными равновесными состояниями маятника могут быть лишь вертикальные (верхнее и нижнее) положения. Этот результат обобщен на слу- чай законов движения подвеса, имеющих разрывы по скорости, что механически означает импульсные воздействия в соответствующие моменты времени. Для наклонных положений построены управляющие воздействия, обеспечивающие периодическую во времени вибра- цию точки подвеса и гармонические колебания маятника относительно фиксированного наклонного положения. Введение. Задачу о перевернутом маятнике с вибрирующей точкой под- веса принято называть задачей Капицы. В его работах [1, 2] на основе прибли- женного решения теоретически обосновано, что, начиная с некоторой опреде- ленной частоты вертикальных колебаний точки подвеса, маятник становится устойчивым в своем верхнем положении. Более того, П.Л. Капица предложил механическую конструкцию для демонстрации описанного эффекта, получив тем самым экспериментальное подтверждение своего результата. Однако, еще задолго до Капицы в 1908 году английский математик A. Stephenson также рассматривал такую задачу [3, 4]. Им было показано, что достаточно просто удерживать шест в вертикальном положении, вибрируя точку опоры по вер- тикали, а не перемещая ее из стороны в сторону, как это обычно делают, в горизонтальной плоскости. Следует отметить также еще более ранний резуль- тат, представленный в книге лорда Рэлея [5], о потере устойчивости нижнего положения равновесия при горизонтальных колебаниях подвеса с определен- ной частотой. В 1950 году, за год до выхода статей [1, 2], Н.Н. Боголюбов в своей работе [6] излагает теорию метода усреднения, следуя монографи- ям [7, 8], максимально приспосабливая его для практических применений. Здесь также встречается пример маятника с вибрирующей точкой подвеса и для него получена оценка частоты, гарантирующей устойчивость верхне- го положения маятника, совпадающая с результатом П.Л. Капицы. Однако оба ученых пришли к этому результату независимо и разными методами. Несомненная заслуга П.Л. Капицы состоит в том, что он экспериментально продемонстрировал эффект вибрационной стабилизации, что породило по- вышенный интерес к данной задаче, и количество работ, посвященных этой тематике, возросло многократно. До 1950 г. можно отметить работы немецких ученых, исследовавших дви- жение математического маятника при быстрых вибрациях точки подвеса с 195 В.Н. Неспирный, В.А. Королев малой амплитудой по вертикали [9], по горизонтали [10], а также в произ- вольном направлении [11]. Анализ устойчивости верхнего положения маят- ника при колебаниях точки подвеса вдоль произвольно выбранной оси был выполнен И.Г. Малкиным [12]. Более сложные траектории движения под- веса были предложены в монографиях [13, 14], где рассматривались пере- мещения не только по вертикали или вдоль наклонной прямой, но также и эллиптические траектории. При этом в работе [13] был разработан аппа- рат вибрационной механики на основе методов усреднения и введено понятие квазиравновесия колебательных систем, обозначающее стационарность мед- ленной составляющей решения таких систем. Строгий анализ устойчивости относительных положений равновесия маятника на вертикали в нелинейной постановке при гармонических вертикальных вибрациях точки подвеса про- извольной частоты и амплитуды был выполнен в работе [15]. В монографии [16] были предложены алгоритмы низкочастотной линейной стабилизации, которые позволили обнаружить эффект низкочастотной стабилизации систе- мы линейного приближения маятника в верхнем положения. В работе [17] исследовано влияние вязкого трения на величину критической частоты ста- билизации верхнего положения равновесия. Следует отметить также ряд обобщений задачи Капицы на двойной [18–20], N -звенный [21, 22], а также на сферический маятники [23–25]. В настоящей работе исследуется возможность с помощью управления дви- жением точки подвеса обеспечить равновесие математического маятника в произвольном наперед заданном наклонном положении либо колебание со сколь угодно малой амплитудой относительно выбранного положения маят- ника. 1. Постановка задачи и уравнения движения. Рассмотрим плос- кое движение математического маятника, состоящего из материальной точ- ки массы m и невесомого нерастяжимого стержня длины l, на котором под- вешена эта точка, в поле силы тяжести. При этом точка подвеса стержня не закреплена, а может двигаться по некоторой (заданной или выбираемой) траектории. Предполагается отсутствие каких-либо сил трения и сопротив- ления. Положение маятника будем определять углом ϕ между стержнем и осью, сонаправленной с вектором силы тяжести. Пусть задано некоторое по- ложение маятника ϕ0 ∈ (−π, π], в котором он находится в начальный момент с нулевой угловой скоростью. Задача состоит в нахождении закона движения точки подвеса (x(t), y(t)), не позволяющего маятнику изменять положение с течением времени, т.е. обеспечить существование решения ϕ(t) = ϕ0. Уравнение движения рассматриваемого математического маятника (см. рис. 1) при перемещении точки подвеса по закону (x(t), y(t)) имеет вид ϕ̈ + g l sinϕ + ẍ(t) cos ϕ + ÿ(t) sin ϕ l = 0. (1) Важный частный случай возникает, когда точка подвеса колеблется вдоль некоторой оси, образующей угол α с направлением силы тяжести. Обозначив 196 Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса Рис. 1. Математический маятник с подвижной точкой подвеса. смещение точки подвеса вдоль этой оси s(t), имеем x(t) = s(t) sinα, y(t) = −s(t) cos α, (2) и уравнение колебаний маятника (1) преобразуется к виду ϕ̈ + g l sinϕ− s̈(t) l sin(ϕ− α) = 0. (3) Поскольку верхнее ϕ0 = π и нижнее ϕ0 = 0 вертикальные положения ма- ятника являются положениями равновесия при неподвижном подвесе (x(t) ≡ ≡ y(t) ≡ 0), то исключим их из дальнейшего рассмотрения и будем пред- полагать, что sinϕ0 6= 0. Отметим лишь, что для сохранения вертикальных положений равновесия маятника точка подвеса может перемещаться лишь вдоль оси Oy. Как следует из [1], верхнее положение становится устойчи- вым при колебаниях подвеса вдоль вертикали с частотой выше √ 2gl a , где a – амплитуда этих колебаний. 2. Условия существования равновесий. Попытаемся найти движение точки подвеса (x(t), y(t)) такое, что ϕ(t) = ϕ0 = const 6= kπ, k ∈ Z. Функ- ции x(t) и y(t) могут рассматриваться как управления в уравнении (1). В качестве класса допустимых управлений рассмотрим непрерывные дважды дифференцируемые функции. Тогда, учитывая ϕ̇ = ϕ̈ = 0, уравнение (1) преобразуем к виду (g + ÿ(t)) sin ϕ0 + ẍ(t) cos ϕ0 = 0. Откуда y(t) = −x(t) ctg ϕ0 − gt2 2 + c1t + c2, (4) где c1, c2 – некоторые константы, которые определяются из начальных значе- ний скорости и положения подвеса маятника. Выбрав произвольным образом 197 В.Н. Неспирный, В.А. Королев x(t) из класса допустимых функций, из (4) получим y(t), определив тем са- мым полностью движение точки подвеса. Таким образом, имеем семейство управлений x(t), y(t), обеспечивающих наклонное равновесие маятника. Вы- ясним, существуют ли среди них ограниченные. Пусть x(t) – ограниченная на полуинтервале [0,+∞) функция. Тогда при t → ∞ в силу ограниченности x(t) величина \|y(t)\| согласно (4) стремится к бесконечности. Следовательно, движение подвеса при sinϕ0 6= 0 не может быть ограниченным по обеим координатам. Тем не менее возможен режим движения ограниченный по y и неограниченный по x, позволяющий маятнику оставаться в наклонном положении (например, x(t) = −gt2 2 tg ϕ0, y(t) = 0). Упростим теперь траекторию движения подвеса. Будем перемещать точ- ку подвеса по прямой (2), но расширим класс допустимых функций s(t). Этот класс будет включать функции, первые производные которых (скорости) мо- гут иметь разрывы первого рода в некоторых точках. На промежутках между этими точками функции s(t) будут, как и раньше, дважды дифференцируе- мыми. В указанных точках разрыва рассматриваемая механическая система будет подвергаться импульсному воздействию. Найдем реакцию маятника на такое воздействие. Для этого преобразуем уравнение второго порядка (3) к системе двух уравнений первого порядка { ϕ̇ = ω, ω̇ = l−1 (s̈ sin(ϕ− α)− g sinϕ) . (5) Выберем s̈(t) в качестве управления u(t), тогда обобщенным управлением U(t) будет скорость ṡ(t). Пусть величина скачка U(t) в точке разрыва θ бу- дет равна ∆U . Согласно [26], воспользуемся линейной аппроксимацией U (ε)(t) в окрестности точки θ. Тогда u(t) = ∆U ε на t ∈ [θ, θ + ε]. Предполагая огра- ниченность и непрерывность ω(t) и ϕ(t), найдем, что при t ∈ [θ, θ + ε] ϕ(t) = ϕ(θ) + t∫ θ ω(t)dt = ϕ0 + (t− θ)ω(θ∗) = ϕ(θ) + O(t− θ), где θ∗ ∈ (θ, θ + ε). Выражение для угловой скорости будет иметь вид ω(t) = ω(θ) + l−1  − t∫ θ g sinϕ(t)dt + ∆U ε t∫ 0 sin(ϕ(t)− α)dt   = ω(θ)+ + l−1 [ −g sin(ϕ(θ) + O(t− θ))(t− θ) + ∆U ε sin(ϕ(θ)− α + O(t− θ))(t− θ) ] = = ω(θ) + l−1 [ O(t− θ) + ∆U ε sin (ϕ(θ)− α) (t− θ) + O((t− θ)2) ] . 198 Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса Найдем значения угла ϕ и угловой скорости ω при ε, стремящемся к нулю ϕ(θ + ε) = ϕ(θ) + O(ε) → ϕ(θ), ω(θ + ε) = ω(θ) + 1 l [ O(ε) + ∆U ε sin(ϕ(θ)− α)ε ] → ω(θ) + ∆U l sin(ϕ(θ)− α). Таким образом, реакция системы (5) на импульс первого порядка величи- ны ∆U описывается уравнениями { ∆ϕ = 0, ∆ω = l−1∆U sin(ϕ− α). (6) Для сохранения требуемого режима ϕ(t) = ϕ0 = const необходимо, чтобы скачок ∆ω был равен 0. Поэтому указанное движение должно осуществлять- ся только под углом α, удовлетворяющим условию sin(ϕ0 − α) = 0. Однако при таком направлении движения точки подвеса нет возможности удержи- вать маятник под фиксированным углом ϕ0 с помощью движения подвеса с непрерывно изменяющейся скоростью. Рассмотрим теперь импульсное управление второго порядка. А именно такое, при котором уже координата s(t) будет иметь разрывы первого ро- да. Отметим, что данный класс управлений представляет только математи- ческий интерес, поскольку на практике невозможно реализовать движение, обеспечивающее мгновенное перемещение точки подвеса из одного положе- ния в другое. Вычислим реакцию системы (5) на импульс второго порядка. Для этого предположим, что обобщенное управление U(t) = s(t) имеет разрыв первого рода в некоторой точке θ, с величиной скачка ∆U . Поскольку система (5) автономна, то без ограничения общности можно считать, что θ = 0. Восполь- зуемся кусочно-линейной аппроксимацией функции ṡ(t): ṡ(t) =    ( ∆U ε − v0 ) t ε2 + v0 при 0 < t ≤ ε2, ∆U ε при ε2 < t ≤ ε + ε2, ( v0 − ∆U ε ) t− (ε + 2ε2) ε2 + v0 при ε + ε2 < t ≤ ε + 2ε2, где v0 = ṡ(0). Тогда управление u(t) будет выражаться как u(t) = s̈(t) =    ∆U − v0ε ε3 при 0 < t ≤ ε2, 0 при ε2 < t ≤ ε + ε2, −∆U − v0ε ε3 при ε + ε2 < t ≤ ε + 2ε2. 199 В.Н. Неспирный, В.А. Королев Точка подвеса маятника при таком управлении будет смещена на расстояние ∆U +O(ε) за промежуток времени ε+2ε2. При стремлении ε к нулю получим мгновенное смещение точки подвеса. При ε → 0 реакция системы (5) будет описываться уравнениями ∆ϕ = ∆U l sin(ϕ0 − α), ∆ω = ∆Uε−1 − v0 l ( sin(ϕ0 − α)− sin ( ϕ0 − α + ∆U l sin(ϕ0 − α) )) . Для того, чтобы скачки угла ϕ и угловой скорости ω были нулевыми, необ- ходимо выполнение условия sin(ϕ0 − α) = 0, как и в случае с импульсным воздействием первого порядка. Таким образом, даже при использовании импульсных воздействий на дви- жение точки подвеса невозможно обеспечить положений равновесия маят- ника, отличных от вертикальных. Можно дать и другое объяснение этому факту. Пусть угол наклона маятника будет постоянным ϕ(t) = ϕ0 = const, а точка подвеса маятника движется по некоторому закону (x(t), y(t)). В таком случае уравнение (1) имеет интеграл x cosϕ0 + y sinϕ0 = −gt2 2 sinϕ0 + c1t + c2, где константы c1 и c2 определяются начальными положением и скоростью точки подвеса. Выражение, записанное в левой части, определяет проекцию положения точки подвеса на ось, перпендикулярную стержню маятника. По- скольку sinϕ0 6= 0, то правая часть уравнений независимо от начальных усло- вий неограниченно убывает при t →∞, и, значит, указанная проекция точки подвеса также будет неограниченна. Так как при импульсных воздействиях интегралы сохраняются, а время воздействия пренебрежимо мало, то воз- можно осуществить лишь такие мгновенные перемещения подвеса, которые не изменяют величину проекции x cosϕ0+y sinϕ0. С течением же времени эта координата с необходимостью будет убывать, чтобы обеспечить равновесие. 3. Квазиравновесные состояния маятника. Поскольку, как было по- казано выше, точного равновесия маятника в наклонном положении невоз- можно добиться ограниченным управлением, попытаемся реализовать режим управления, при котором маятник будет совершать малые колебания отно- сительно заданного положения. В монографии [13] движение колебательной системы, подверженной некоторому вибрационному воздействию, рассматри- вается как сумма медленной (которая получается усреднением воздействия по периоду) и быстрой составляющей. Движение, при котором медленная со- ставляющая не изменяется с течением времени, названо квазиравновесием. В данной работе будем требовать большего. А именно, чтобы за счет выбо- ра управляющего воздействия (в нашем случае это движение точки подвеса) максимальное отклонение от данного положения маятника могло бы быть сделано сколь угодно малым. 200 Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса Как правило, для нахождения квазиравновесий задаются некоторым дви- жением подвеса, после чего определяют характер колебаний маятника. Ис- пользуем обратный подход. Пусть задано некоторое наклонное положение маятника ϕ0. Задача будет заключаться в нахождении закона движения под- веса (x(t), y(t)), обеспечивающего гармонические колебания маятника отно- сительно выбранного положения ϕ0 с частотой Ω и амплитудой ε: ϕ(t) = ϕ0 + ε cos(Ωt + δ). (7) Ограничимся лишь прямолинейным движением точки подвеса. Подставив (7) в уравнение (3), имеем − ε cos(Ωt + δ)Ω2l + g sin (ϕ0 + ε cos(Ωt + δ))− − s̈(t) sin (ϕ0 − α + ε cos(Ωt + δ)) = 0. Тогда для нахождения закона движения подвеса s(t) получаем соотноше- ние s̈(t) = −ε cos(Ωt + δ)Ω2l + g sin (ϕ0 + ε cos(Ωt + δ)) sin (ϕ0 − α + ε cos(Ωt + δ)) . (8) Заметим, что когда правая часть (8) определена при любых t, то, проин- тегрировав ее дважды с учетом начальных условий, получим движение s(t), гарантирующее существование требуемого решения (7) уравнения (3). Одна- ко может возникнуть такая же ситуация, как и в случае точного равновесия, когда движение подвеса s(t) оказывалось неограниченным. Следующая тео- рема показывает, что при соответствующем выборе параметров движения рассматриваемой механической системы можно обеспечить ограниченность s(t). Теорема. Пусть начальное положение маятника ϕ0 ∈ (−π, 0) ∪ (0, π) и направление колебаний подвеса α связаны неравенством sinϕ0 ctg(ϕ0−α) < 0. Тогда при любом достаточно малом максимальном отклонении ε от на- чального положения ϕ0, существует частота колебаний маятника Ω та- кая, что реализуется режим колебаний (7). При этом движение точки под- веса s(t) будет непрерывным и периодическим (а значит и ограниченным). Док а з а т е л ь с т в о. Как следует из (8), функция s̈(t) – периодическая с периодом 2π Ω . Поэтому вариант, когда движение s(t) будет ограниченным, возможен тогда и только тогда, когда функция s(t) будет периодической. Для этого достаточно , чтобы s(0) = s ( 2π Ω ) и ṡ(0) = ṡ ( 2π Ω ) . Не ограничивая общности, будем считать, что s(0) = 0. Для сокращения записи обозначим E(t) = ε cos(Ωt + δ). Нам требуется доказать, что существует такая частота Ω, при которой за период T = 2π Ω , точка подвеса маятника вернется в свое начальное положение s(0) с началь- ной скоростью v0 = ṡ(0). 201 В.Н. Неспирный, В.А. Королев Приращение скорости v(t) за период T определяется интегралом от s̈(t) по отрезку [0, T ]. Из (8) находим ∆v = −Ω2l T∫ 0 E(t) sin(ϕ0 − α + E(t)) dt + g T∫ 0 sin(ϕ0 + E(t)) sin(ϕ0 − α + E(t)) dt. (9) Тогда при Ω → 0 ∆v → g T∫ 0 sin(ϕ0 + E(t)) sin(ϕ0 − α + E(t)) dt. Поскольку при достаточно малых значениях ε подынтегральное выражение сохраняет знак на отрезке [0, T ], то знак приращения ∆v будет таким же, как и у выражения sinϕ0 sin(ϕ0 − α) . Теперь изучим поведение приращения ∆v при достаточно больших зна- чениях частоты Ω. В этом случае его знак определяется знаком интеграла − T∫ 0 E(t) sin(ϕ0 − α + E(t)) dt (10) из (9). Заметим, что E(t + T/2) = −E(t). Поэтому − T∫ 0 E(t) sin(ϕ0 − α + E(t)) dt = = T/2∫ 0 E(t) [ 1 sin(ϕ0 − α−E(t)) − 1 sin(ϕ0 − α + E(t)) ] dt. Если cos(ϕ0 − α) > 0, то функция sin(ϕ0 − α + τ) возрастает в окрестно- сти точки τ = 0, и поэтому подынтегральное выражение положительно (за исключением нескольких изолированных точек, в которых E(t) = 0). Сле- довательно, интеграл (10) положителен. Аналогично можно показать, что в случае cos(ϕ0 − α) < 0, интеграл (10) будет отрицательным. Таким образом, его знак совпадает со знаком cos(ϕ0 − α). Итак, имеем, что при Ω → 0 знак ∆v совпадает со знаком sinϕ0 sin(ϕ0 − α) , а при Ω → ∞ – со знаком cos(ϕ0 − α). Эти знаки различны, поскольку по условию теоремы выполнено неравенство sinϕ0 ctg(ϕ0−α) < 0. Значит, в силу непрерывной зависимости ∆v от Ω существует некоторое значение Ω = Ω0, при котором приращение скорости за период T будет равно нулю. 202 Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса Теперь рассмотрим приращение s(t), оно будет равно T∫ 0 ṡ(t)dt. Очевид- но, что в зависимости от начального значения скорости v0, мы можем по- лучить различные приращения ∆s. Выберем начальную скорость так, чтобы это приращение равнялось нулю. Обозначим ∆v(t) = t∫ 0 s̈(τ)dτ . Тогда, выбрав начальную скорость v0 равной − 1 T T∫ 0 ∆v(t)dt, получим, что приращение s(t) будет нулевым. Итак, мы нашли такие значения частоты Ω и начальной скорости для s(t), что координата подвеса s(t) и его скорость за период возвращаются к исходным значениям. Следовательно, при этих значениях движение подвеса s(t) будет периодическим и непрерывным по t, а маятник будет совершать колебания относительно положения ϕ0 по закону ϕ(t) = ϕ0 + ε cos(Ωt + δ). Теорема доказана. ¤ 4. Примеры. Возьмем маятник длины l = 10 и рассмотрим его гори- зонтальное положение ϕ0 = π/2. Пусть ось, вдоль которой колеблется точка подвеса, образует угол α = 3π/4 с направлением силы тяжести. Графики движения точки подвеса, обеспечивающие гармонические колебания маятни- ка около горизонтального положения с некоторой небольшой амплитудой ε, изображены на рис. 2. a) ε = 0.1 b) ε = 0.05 Рис. 2. Движение подвеса s(t) при ϕ0 = π/2, α = 3π/4. Аналогичные графики для случая ϕ0 = π/4, α = 2π/3 представлены на рис. 3. На рис. 4 приведен график зависимости частоты Ω от ε при периодическом движении s(t) точки подвеса. 203 В.Н. Неспирный, В.А. Королев 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 t a) ε = 0.05 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t b) ε = 0.005 Рис. 3. Движение подвеса s(t) при ϕ0 = π/4, α = 2π/3. a) ϕ0 = π/2, α = 3π/4 b) ϕ0 = π/4, α = 2π/3 Рис. 4. График частоты Ω(ε) . Из рис. 4 видим, что частота Ω(ε) неограниченно возрастает при умень- шении амплитуды ε. 20 10 0 10 20 2 4 6 8 10 12 Рис. 5. Скорость движения подвеса и гармоника. Движения, представленные на рис. 2, 3, имеют большое сход- ство с гармоническими колеба- ниями, однако отличаются от по- следних. На рис. 5 для ϕ0 = π/2 и α = 3π/4 приведены для срав- нения графики скорости подве- са v(t) = ṡ(t) при ε = 0.5. При этом оказалось, что макси- мальные значения скоростей v(t) предшествуют максимумам ско- ростей гармоники, а минималь- ные – запаздывают. 204 Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса Заключение. В статье рассмотрена задача о нахождении равновесных состояний математического маятника с вибрирующей точкой подвеса. В яв- ном виде найдены неограниченные движения подвеса, обеспечивающие точ- ные равновесия маятника, и доказано отсутствие ограниченных решений рас- сматриваемой задачи. Показано, что существуют периодические по времени колебания точки подвеса, при которых отклонения маятника от заданного фиксированного наклонного положения будут сколь угодно малыми. Работа частично поддержана грантом НАН Украины для молодых уче- ных. 1. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. эксперимент. и теор. физики. – 1951. – 51, № 5. – С. 588–597. 2. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физ. наук. – 1951. – 44. – С. 7–20. 3. Stephenson A. On a new type of dynamic stability // Mem. and Proc. of the Manchester Literary and Philosophical Soc. – 1908. – 52, № 8. – P. 1–10. 4. Stephenson A. On induced stability // Philosophical Magazine. – 1908. – 15. – P. 233–236. 5. Стретт Дж.В. Теория звука. — М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1955. Т. 1.— 504 с. 6. Боголюбов Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике // Сб. тр. Ин-та строител. механики АН УССР. – 1950. – 14. – С. 9–34. 7. Крылов H.M., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. – Киев: Изд-во АН УССР, 1937. – 365 с. 8. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. – Киев: Изд-во АН УССР, 1945. – 139 с. 9. Erdelyi A. Uber die kleinen Schwingungen eines Pendels mit oszillierendem Aufhangepunkt // ZAMM. – 1934. – 14, № 4. – S. 235–247. 10. Klotter K., Kotowski G. Uber die Stabilitat der Bewegungen des Pendels mit oszillierendem Aufhangeunkt // Ib̈ıd. – 1939. – 19, № 5. – S. 289–296. 11. Hirsch P. Das Pendel mit oszilliererndem Aufhangepunkt // Ib̈ıd. – 1930. – 10, № 1. – S. 41–52. 12. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М.: Гостехиздат, 1956. – 491 с. 13. Блехман И.И. Вибрационная механика. – М.: Наука, 1994. – 400 с. 14. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа “маятник”. – Алма- Ата: Наука, 1981. – 253 с. 15. Бардин Б.С., Маркеев А.П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // Прикл. математика и механика. – 1995. – 59, № 6. – С. 922–929. 16. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем. – СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 2002. – 308 с. 17. Сейранян А.А., Сейранян А.П. Об устойчивости перевернутого маятника с вибрирую- щей точкой подвеса // Прикл. математика и механика. – 2006. – 70, № 5. – С. 835–843. 18. Lowenstern E. R. The stabilizing effect of imposed oscillations of high frequency on a dynamical system // Philosoph. Magazine. – 1932. – 8. – P. 458–486. 19. Hsu, C.S. On a restricted class of coupled Hill’s equations and some applications // J. Appl. Mech. – 1961. – 28. – P. 551–556. 20. Холостова О.В. О движениях двойного маятника с вибрирующей точкой подвеса // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2009. – № 2. – С. 25–40. 21. Otterbein S. Stabilisierung des n-Pendels und der Indische Seiltrick // Arch. ration. Mech. Analysis – 1982. – 78. – P. 381–393. 22. Acheson D.J. A pendulum theorem // Proc. R. Soc. Lond. – 1993. – A443 – P. 239–245. 23. Маркеев А.П. О близких к коническим движениях сферического маятника с вибриру- 205 В.Н. Неспирный, В.А. Королев ющей точкой подвеса // Тр. конф. “Устойчивость и колебания нелинейн. систем упр.”. – 1998. – С. 107. 24. Петров А.Г. Об уравнениях движения сферического маятника с колеблющейся точкой подвеса // Докл. РАН. – 2005. – 405, № 1. – С. 51–55. 25. Глухих Ю.Д., Тхай К.В. Устойчивость пространственных симметричных колебаний сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса // Тр. конф. “Устойчивость и колебания нелинейн. систем упр.”. – 2006. – С. 59–60. 26. Ковалев А.М., Кравченко Н.В., Неспирный В.Н. Задачи управления и стабилизации динамических систем с импульсным управлением и неголономные механические си- стемы // Автоматика и телемеханика. – 2007. – № 8. - С. 163–179. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк vetal n@mail.ru Получено 16.08.09 206

Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия

Репозитарії

Схожі ресурси