Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами
В работе изучается процесс вытеснения двух жидкостей, который в общем случае описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных. В качестве локальной аппроксимации процесса, предложена линейная модель и разработан алгоритм решения задачи моделирования динамики течения м...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28020 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами / Г.М. Аббасов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 224-227. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28020 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280202011-10-26T12:25:03Z Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами Аббасов, Г.М. В работе изучается процесс вытеснения двух жидкостей, который в общем случае описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных. В качестве локальной аппроксимации процесса, предложена линейная модель и разработан алгоритм решения задачи моделирования динамики течения многокомпонентной смеси, основанный на использовании конечно-разностного метода в сеточной области Wτh. При этом предполагается, что решение u(х, t) является гладким и правая часть системы уравнений зависит от векторных функций векторных аргументов u, uх, uхх. 2009 Article Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами / Г.М. Аббасов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 224-227. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28020 532.546 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе изучается процесс вытеснения двух жидкостей, который в общем случае описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных. В качестве локальной аппроксимации процесса, предложена линейная модель и разработан алгоритм решения задачи моделирования динамики течения многокомпонентной смеси, основанный на использовании конечно-разностного метода в сеточной области Wτh. При этом предполагается, что решение u(х, t) является гладким и правая часть системы уравнений зависит от векторных функций векторных аргументов u, uх, uхх. |
| format |
Article |
| author |
Аббасов, Г.М. |
| spellingShingle |
Аббасов, Г.М. Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами Механика твердого тела |
| author_facet |
Аббасов, Г.М. |
| author_sort |
Аббасов, Г.М. |
| title |
Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами |
| title_short |
Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами |
| title_full |
Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами |
| title_fullStr |
Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами |
| title_full_unstemmed |
Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами |
| title_sort |
исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28020 |
| citation_txt |
Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации двухфазной жидкости с подвижными границами / Г.М. Аббасов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 224-227. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT abbasovgm issledovanielokalʹnojapproksimaciiuravneniâfilʹtraciidvuhfaznojžidkostispodvižnymigranicami |
| first_indexed |
2025-07-03T08:03:58Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:03:58Z |
| _version_ |
1836612153401933824 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 532.546
c©2009. Г.М.Аббасов
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ДВУХФАЗНОЙ ЖИДКОСТИ
С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
В работе изучается процесс вытеснения двух жидкостей, который в общем случае опи-
сывается нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных. В
качестве локальной аппроксимации процесса, предложена линейная модель и разработан
алгоритм решения задачи моделирования динамики течения многокомпонентной смеси, ос-
нованный на использовании конечно-разностного метода в сеточной области W τ
h . При этом
предполагается, что решение u(x, t) является гладким и правая часть системы уравнений
зависит от векторных функций векторных аргументов u, ux, uxx.
При определенных режимах разработки нефтяных и нефтегазоконден-
сатных месторождений в пласте возникает многофазное течение многоком-
понентной смеси, при котором между движущимися различными фазами
(Fb, Fh) осуществляется интенсивный массообмен. Переход отдельных ком-
понент из одной фазы к другой влечет за собой изменение составов и физи-
ческих свойств фильтрующихся фаз. Такие процессы происходят, например,
при разработке месторождений сложного компонентного состава, когда га-
зированная нефть вытесняется водой или газом. Основой для расчета таких
процессов служит теория многофазной многокомпонентной фильтрации, ин-
тенсивно развивающейся в последние годы.
Одна из основных технологий добычи нефти при разработке месторожде-
ний основана на вытеснении нефти или газа водой. В частности, этот процесс
является основным при вторичных методах добычи нефти и газа в напорном
режиме.
Если капиллярное давление между фазами невелико и им, как и влиянием
силы тяжести, можно пренебречь, то процесс вытеснения допускает простое
математическое описание, впервые предложенное американскими исследова-
телями С.Бакли и М.Леверетта [1]. При фильтрации флюидов в пористой
среде, в том числе при вытеснении одной жидкости другой, наблюдается
значительное сопротивление движения флюидов, определяемое как особен-
ностью самой среды, так и свойствами фильтрующих флюидов. От этих осо-
бенностей среды и флюидов зависит полнота и качество вытеснения.
Считается, что изменение коэффициента извлечения нефти происходит
под влиянием трех основных геофизических факторов: вязкости жидкостей,
поверхностных сил натяжения, параметров макро и микро неоднородности
пласта. Модель процесса вытеснения основана на введении понятий насы-
щенности водой пласта, относительных фазовых проницаемостей и использо-
вании обобщенного закона Дарси [2]. Анализ одномерных течений позволяет
выявить основные эффекты и характерные особенности совместной фильтра-
224
Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации
ции двух жидкостей и сопоставлять с результатами лабораторных экспери-
ментов.
В представленной работе предлагается локальная аппроксимация уравне-
ния фильтрации в сеточной области W τ
h [3].
Как известно, процесс фильтрации жидкости с разрывами давлений и
скоростей в нефтеносном пласте описывается системой дифференциальных
уравнений в частных производных составного типа, которая имеет вид
C [u(x, t)]t = B(x, t)[u(x, t)]x + Eε(x, t)[u(x, t)]xx, (1)
где C =
∣∣∣∣∣∣∣
α 0 0 0
0 χ 0 0
0 0 χ1 0
0 0 0 χ2
∣∣∣∣∣∣∣ – постоянная матрица размером 4х4, характери-
зующая параметры жидкости и пористой среды: α – коэффициент малой
сжимаемости жидкости; χ – коэффициент пористости среды; χ1, χ2 – ко-
эффициенты пористости на подвижных водонефтяных границах; ε – искус-
ственная малая вязкость жидкости;
B =
∥∥∥∥∥∥∥
fx 0 0 0
0 Φ(ρ)px 0 0
0 0 Φ(ρ)px 0
0 0 0 0
∥∥∥∥∥∥∥ , Eε =
∥∥∥∥∥∥∥
f(ρ) 0 0 0
0 ε 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
∥∥∥∥∥∥∥ ;
здесь f(ρ) – коэффициент подвижности фаз, зависящий от насыщенности
пласта.
Через u(x, t) обозначено искомое решение
u(x, t) =
p(x, t)
ρ(x, t)
F1(x, t)
F2(x, t)
,
где p(x, t), ρ(x, t) обозначают соответственно давление и водонасыщенность
пласта; F1(x, t), F2(x, t) – водонефтяные границы;
[
u(x, t)
]
t
=
∂
∂t
p(x, t)
ρ(x, t)
F1(x, t)
F2(x, t)
, [
u(x, t)
]
x
=
∂
∂x
p(x, t)
ρ(x, t)
F1(x, t)
F2(x, t)
,
[
u(x, t)
]
xx
=
∂2
∂x2
p(x, t)
ρ(x, t)
F1(x, t)
F2(x, t)
;
[·]t, [·]x, [·]xx – соответственно производные первого порядка по времени t,
первого и второго порядка по x.
225
Г.М. Аббасов
Начальные и граничные условия для давления пласта p(x, t) сформируем
из условий непрерывности потока (скорости) жидкости:
p(x, t)
∣∣
t=0
= ϕ0(x), x ∈ Dx,
p(x, t)
∣∣
x=0
= ϕ1(t), t ∈ Dt,
p(x, t)
∣∣
x=1
= ϕ2(t), t ∈ Dt,[
f(ρ)
∂pi
∂x
]
x=xi(t)−0
=
[
f(ρ)
∂pi
∂x
]
x=xi(t)+0
(i = 1, 2).
Для показателя насыщенности пласта водой ρ(x, t) начальные и гранич-
ные условия имеют вид
ρ(x, t)
∣∣
t=0
= ρ0(x), x ∈ Dx,
ρ(x, t)
∣∣
x=0
= ρi(t), t ∈ Dt,
ρ(x, t)
∣∣
x=1
= ρ2(t), t ∈ Dt.
Зная начальное расположение фаз, можно сформулировать для подвиж-
ных границ задачу Коши:
Fi(x, t)
∣∣
t=0
= F 0
i (x), x ∈ Dx, i = 1, 2.
Уравнение фильтрации (1) перепишем в операторном виде
∂u
∂t
= D(u) ≡ Φ(u, ux, uxx), (2)
где Φ – некоторая заданная вектор-функция от векторных аргументов u, ux,
uxx.
Оператор D аппроксимируем линейным выражением
D(u) = Φn
m+(Φu)nm
[
u−(u)nm
]
+(Φux)nm
[
ux−(ux)nm
]
+(Φuxx)nm
[
uxx−(uxx)nm
]
. (3)
Здесь (u)nm = u(xm, tn), (ux)nm = ux(xm, tn), (uxx)nm = uxx(xm, tn), где (xm, tn)
– узловая точка сеточной области W τ
n .
Считая решение u(x, t) гладким, а значит разности u− (u)nm, ux − (ux)nm,
uxx − (uxx)nm малыми, рассмотрим вместо (2) систему линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами
∂u
∂t
= D̂u+ C. (4)
Здесь D̂u – линейный дифференциальный оператор, определяемый однород-
ной частью (3), а C – матрица-константа, объединяющая остальные части
(3):
D̂u = (Φu)nmu+ (Φux)nmux + (Φuxx)nmuxx,
226
Исследование локальной аппроксимации уравнения фильтрации
C = Φn
m − (Φu)nm(u)nm − (Φux)nm(ux)nm − (Φuxx)nm(uxx)nm.
Из теории дифференциальных уравнений в частных производных извест-
но, что решение системы линейных дифференциальных уравнений с посто-
янными коэффициентами (4) можно выразить формулой [4]
u(x, t) = Qu(x, 0) + Ct, (5)
где Q – линейный интегральный оператор
Qu(x, 0) =
∞∫
−∞
q(η, t)u(x+ η, 0)dη, (6)
а q – соответствующая данной системе линейных дифференциальных урав-
нений (4) матрица функций.
Формула (5) позволяет выразить решение в момент времени t = tn+1 =
= tn+τ через значения функции u(xm, tn) = (u)nm в момент времени tn. Чтобы
использовать формулу (5), построим интерполяционную функцию Pun(x) в
узловых точках (xm, tn) сеточной области W τ
n
Pun(x) =
∑
k
unm+kPk(x), (7)
где Pk(x) – соответствующие полиномы. Отметим, что интерполяционная
функция (7) может быть использована для определения значений (ux)nm, вхо-
дящих в выражение (3), а следовательно, в коэффициенты D̂ и C правой
части (4). В соответствии с (5) получаем
umn+1 =
∑
m=k
αku
n
m+k + Cτ, (8)
где αk =
∞∫
−∞
q(η, τ)Pk(xm + η)dη.
Формула (8) и является искомой расчетной формулой для (5) и (6). В
результате, для нахождения численного решения задачи получено семейство
разностных схем, которые отличаются лишь способом локальной аппрокси-
мации (3) и видом интерполяции (7).
1. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. – М.: Гостоптехиздат, 1963. – 396 с.
2. Басниев К.С., Власов А.М., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подъемная гидравлика. –
М.: Недра, 1986. – 303 с.
3. Численные решения многомерных задач газовой динамики / Под редакцией С.К. Го-
дунова. – М.: Наука, 1976. – 400 с.
4. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. – М.: Наука, 1972. –
120 с.
Ин-т прикл. математики БГУ, Баку, Азербайджан Получено 18.08.09
227
|