Инвариантность и неустойчивость
В работе рассматривается задача устойчивости нулевого решения автономной системы дифференциальных уравнений. Решена задача максимального улучшения функции со знакопостоянной производной, которое может позволить метод дополнительных функций. Получена теорема о построении функции со знакоопределенной...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28039 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Инвариантность и неустойчивость / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 3-11. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28039 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280392011-10-27T12:05:15Z Инвариантность и неустойчивость Ковалев, А.М. В работе рассматривается задача устойчивости нулевого решения автономной системы дифференциальных уравнений. Решена задача максимального улучшения функции со знакопостоянной производной, которое может позволить метод дополнительных функций. Получена теорема о построении функции со знакоопределенной производной либо со знакопостоянной производной, множество обращения которой в нуль является инвариантным. Доказана теорема о неустойчивости в случае существования знакопостоянной производной. Рассмотрены иллюстративные примеры. У роботi розглядається задача стiйкостi нульового розв’язку автономної системи диференцiальних рiвнянь. Розв’язано задачу максимального полiпшення функцiї зi знакосталою похiдною, яке може дозволити метод додаткових функцiй. Отримано теорему про побудову функцiї зi знаковизначеною похiдною або зi знакопостiйною похiдною, множина обернення якої в нуль є iнварiантною. Доведено теорему про нестiйкiсть у випадку iснування знакопостiйної похiдної. Розглянуто iлюстративнi приклади. In the paper, the problem of stability of the zero solution of an autonomous system of differential equations is considered. The problem of maximal improvement of a function with the derivative of constant sign is solved which the additional functions method can permit. The theorem on the construction of a function with definite derivative or with the derivative of constant sign is obtained for which the set of derivative’s zeros is invariant. The theorem of instability is proved for the case of the existance of a derivative of constant sign. Illustrative examples are considered. 2010 Article Инвариантность и неустойчивость / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 3-11. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28039 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассматривается задача устойчивости нулевого решения автономной системы дифференциальных уравнений. Решена задача максимального улучшения функции со знакопостоянной производной, которое может позволить метод дополнительных функций. Получена теорема о построении функции со знакоопределенной производной либо со знакопостоянной производной, множество обращения которой в нуль является инвариантным. Доказана теорема о неустойчивости в случае существования знакопостоянной производной. Рассмотрены иллюстративные примеры. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.М. |
| spellingShingle |
Ковалев, А.М. Инвариантность и неустойчивость Механика твердого тела |
| author_facet |
Ковалев, А.М. |
| author_sort |
Ковалев, А.М. |
| title |
Инвариантность и неустойчивость |
| title_short |
Инвариантность и неустойчивость |
| title_full |
Инвариантность и неустойчивость |
| title_fullStr |
Инвариантность и неустойчивость |
| title_full_unstemmed |
Инвариантность и неустойчивость |
| title_sort |
инвариантность и неустойчивость |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28039 |
| citation_txt |
Инвариантность и неустойчивость / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 3-11. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevam invariantnostʹineustojčivostʹ |
| first_indexed |
2025-07-03T08:05:11Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:05:11Z |
| _version_ |
1836612229184618496 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.36
c©2010. А.М. Ковалев
ИНВАРИАНТНОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
В работе рассматривается задача устойчивости нулевого решения автономной системы
дифференциальных уравнений. Решена задача максимального улучшения функции со зна-
копостоянной производной, которое может позволить метод дополнительных функций. По-
лучена теорема о построении функции со знакоопределенной производной либо со знако-
постоянной производной, множество обращения которой в нуль является инвариантным.
Доказана теорема о неустойчивости в случае существования знакопостоянной производной.
Рассмотрены иллюстративные примеры.
Ключевые слова: метод дополнительных функций, знакопостоянная производная,
неустойчивость, автономная система дифференциальных уравнений.
В теории устойчивости движения случаи неустойчивости наряду с крити-
ческими случаями относятся к наиболее трудным. В своей знаменитой моно-
графии [1] А.М.Ляпунов двумя первыми теоремами практически исчерпыва-
ющим образом охватил свойства устойчивости и асимптотической устойчиво-
сти. Более сложным оказалось свойство неустойчивости, которому посвяще-
ны две следующие теоремы А.М.Ляпунова. Н.Г.Четаев [2] обобщил первую
теорему Ляпунова о неустойчивости и обозначил направление, в котором про-
должилось изучение вопросов неустойчивости. Н.Н.Красовский распростра-
нил идею использования знакопостоянной производной c задач асимптотиче-
ской устойчивости [3] на задачи неустойчивости [4]. В обоих случаях ключе-
вым является отсутствие целых полутраекторий на множестве обращения в
нуль производной функции Ляпунова.
Рассмотрение знакопостоянной производной вызвано двумя причинами:
первая состоит в том, что в распоряжении исследователя такая функция уже
имеется, вторая связана со свойствами рассматриваемой системы, для кото-
рой можно получить лишь функцию со знакопостоянной производной, как,
например, в случае линейной системы с нулевым или парой чисто мнимых
корней. Стоит отметить, что последняя ситуация имеет место и для нели-
нейных систем при наличии координат с устойчивым поведением. Вместе с
тем, в связи с рассмотрением этого круга вопросов проявилось влияние на
устойчивость свойства инвариантности, особенно в задачах частичной устой-
чивости [5–7].
В полной мере теория инвариантности была использована для решения
задач устойчивости при создании метода дополнительных функций [8–10].
Прежде всего, с использованием метода инвариантных соотношений [11, 12]
получены два типа дополнительных функций, максимально расширяющих
область знакоопределенности функции Ляпунова. Это позволило построить
функции Ляпунова и решить ряд новых задач теории устойчивости по всем
и по части переменных. Следующим шагом является применение этого ме-
тода к функциям со знакопостоянной производной без дополнительных тре-
3
А.М. Ковалев
бований к самим функциям. Результатом является получение функции со
знакоопределенной производной либо со знакопостоянной производной, мно-
жество, на котором она обращается в нуль, является инвариантным. При
наложении дополнительных условий на саму функцию доказана теорема о
неустойчивости. Этому и посвящена настоящая статья.
В первом пункте статьи дана постановка задачи и приведены теоремы о
неустойчивости, наиболее употребительные при исследовании неустойчивых
движений. Вопросам инвариантности и методу дополнительных функций по-
священ п. 2. Основной результат получен в п. 3. В п. 4 рассмотрены иллюстра-
тивные примеры.
1. Неустойчивые движения. Рассматриваются задачи устойчивости
нулевого решения системы
ẋ = f(x), f(0) = 0, x ∈ D ⊂ Rn, t ∈ [t0,∞), (1)
где D – некоторая окрестность нуля; функция f(x) предполагается непре-
рывно дифференцируемой достаточное число раз для x ∈ D. Точка означает
дифференцирование по времени t зависимой переменной x, а также функции
V (x) в силу системы (1): V̇ (x) = 〈∇V (x), f(x)〉. Здесь ∇ – оператор диф-
ференцирования, в применении к скалярной функции он дает градиент, а к
вектор-функции – матрицу Якоби; символ 〈, 〉 означает скалярное произведе-
ние.
При исследовании неустойчивых движений наиболее употребительны пер-
вая теорема Ляпунова о неустойчивости и ее обобщения, из которых приведем
два основных.
Теорема 1 [1]. Если для уравнений (1) возможно найти функцию V (x)
такую, что ее производная V̇ (x) есть функция знакоопределенная, а сама
функция V (x) не будет знакопостоянной, знака, противоположного V̇ (x), то
нулевое решение неустойчиво.
Теорема 2 [2]. Если для уравнений (1) можно найти такую функцию
V (x), что 1) в сколь угодно малой окрестности начала координат существует
область, где V (x) > 0, на границе которой V (x) = 0 и 2) во всех точках
области V > 0 производная V̇ (x) принимает положительные значения, то
нулевое решение неустойчиво.
Теорема 3 [4]. Пусть существует функция V (x), принимающая в произ-
вольно малой окрестности точки O неотрицательные значения и такая, что
в окрестности V̇ (x) = 0 на H, V̇ > 0 вне H, где H – область в окрестно-
сти точки O. Если H не содержит целиком положительных полутраекторий,
отличных от 0, то нулевое решение уравнений (1) неустойчиво.
Теоремы 2, 3 определяют два основных направления, в которых обоб-
щалась теорема 1. Это, во-первых, уменьшение требований на множество, в
точках которого функция Ляпунова V (x) принимает значения того же зна-
ка, что и ее производная (теорема 2). Второе направление связано с возмож-
ностью использования знакопостоянной производной V̇ (x) (теорема 3), для
4
Инвариантность и неустойчивость
которого, как и в задачах асимптотической устойчивости, характерно отсут-
ствие целых полутраекторий на множестве обращения в нуль производной
функции Ляпунова.
2. Инвариантность и дополнительные функции. Вопрос о нали-
чии целых полутраекторий системы (1) в некотором множестве зависит от
свойства инвариантности. В качественной теории дифференциальных урав-
нений со свойством инвариантности связаны два следующих понятия: инва-
риантное множество и инвариантное соотношение.
Определение 1. Множество G ⊂ D называется инвариантным множе-
ством системы (1), если всякое ее решение x(t), имеющее с G общую точку
x(t∗) ∈ G, целиком принадлежит этому множеству: x(t) ∈ G, t ∈ [t0,∞).
Определение 2. Соотношение ϕ(x) = 0 называется инвариантным со-
отношением системы (1), если определяемое им множество содержит инва-
риантное множество системы (1).
Удобный инструмент для проверки, является ли заданное соотношение
инвариантным соотношением системы (1), дает следующая теорема [12].
Теорема 4. Порождаемое инвариантным соотношением ϕ(x) = 0 инва-
риантное множество G системы (1) определяется уравнениями
ϕ(i)(x) = 0 (i = 0, 1, ..., l − 1), (2)
где l – число независимых функций в последовательности
ϕ(x), ϕ̇(x), ϕ̈(x), ... , (3)
при этом ∇ϕ(x) 6= 0 для x ∈ G.
Данная теорема дала возможность получить [8–10] дополнительные функ-
ции Va(x), добавление которых к исходной функции Ляпунова V (x) при вы-
полнении условий теоремы Барбашина–Красовского последовательно сужает
множество обращения в нуль ее производной, начиная с исходного множества
M и до нулевой точки, сохраняя знакоопределенность самой функции и ее
производной в остальных точках.
Для построения дополнительных функций важное значение имеет струк-
тура множества M , определяемая его геометрическими и дифференциаль-
ными особенностями. Во-первых (геометрические особенности), множество
M может быть суммой подмножеств: M =
s
⋃
i=1
Mi, Mi = {x : ϕi(x) = 0,
∇ϕi(x) 6= 0}. Кроме того, попарные пересечения Mk
⋂
Mm могут содержать
ненулевые точки для некоторых k,m, что также необходимо учитывать. Во-
вторых (дифференциальные особенности), для некоторых множеств Mi во-
прос о существовании инвариантного множества может не решаться первыми
двумя членами последовательности (3), т.е. в теореме 4 для точек x0 ∈ Mi
имеем i > 1.
5
А.М. Ковалев
Приведем два типа дополнительных функций [8–10], с использованием
которых строится функция Ляпунова со знакоопределенной производной. В
простейшем случае, когда множество M обращения в нуль производной V̇ (x)
описывается одной функцией ϕ(x) : M = {x : ϕ(x) = 0, ∇ϕ(x) 6= 0} и задача
существования инвариантного множества решается первыми двумя членами
последовательности (3), в качестве дополнительной функции принимается
следующая функция
Va = 〈∇ϕ(x), f(x)〉2m
〈
〈∇ϕ(x), f(x)〉, ϕ(x)
〉
.
Функция типа
Vai = 〈∇ϕi(x), f(x)〉
2m
〈
〈∇ϕi(x), f(x)〉, ϕi(x)
〉
s
∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x)
принимается в качестве дополнительной функции для множества Mi в слу-
чае, когда множество M состоит из нескольких множеств: M =
s
⋃
i=1
Mi, для
каждого из которых задача существования инвариантного множества реша-
ется первыми двумя членами последовательности (3).
3. Две теоремы. С целью рассмотрения всего круга задач устойчи-
вости (включая и неустойчивость) поставим вопрос о максимальном расши-
рении области знакоопределенности производной для известной функции со
знакопостоянной производной, не обращая при этом внимания на значения
самой функции. Используя метод дополнительных функций, получаем сле-
дующий результат.
Теорема 5. Пусть для системы (1) известна функция V (x) со знакопо-
стоянной производной V̇ (x). Множество M = {x : V̇ (x) = 0} описывает-
ся функцией ϕ(x) : ϕ(x) = 0, ∇ϕ(x) 6= 0 для x ∈ M . Неравенство нулю
функций ϕi(x), описывающих множества Mi, возникающие при построении
инвариантного множества, устанавливается членами разложения конечного
порядка. Тогда добавлением конечного числа дополнительных функций стро-
ится функция Vf (x), производная которой V̇f обладает одним из следующих
свойств: 1) V̇f (x) является знакоопределенной функцией; 2) V̇f (x) является
знакопостоянной функцией, при этом множество ее обращения в нуль явля-
ется инвариантным множеством.
Доказательство. Множество M представим в виде суммы множеств:
M =
s
⋃
i=1
Mi, Mk
⋂
Mm = ∅, (k,m = 1, ..., s),
Mi = {x : ϕi(x) = 0, ∇ϕi(x) 6= 0}.
6
Инвариантность и неустойчивость
С помощью теоремы 4 исследуем множества Mi на инвариантность. Возмож-
ны два случая. В первом случае уравнения (2) для i = 1, ..., s допускают толь-
ко нулевое решение, т.е. все множества Mi не содержат инвариантного мно-
жества, и для системы (1) строится функция Vf со знакоопределенной про-
изводной (свойство 1 теоремы 5) методом дополнительных функций [8–10].
Во втором случае наряду с множествами Mi, не содержащими инвари-
антных множеств, имеются множества Mp1, ...,Mpc, содержащие инвариант-
ные множества, описываемые функциями ϕp1(x), ..., ϕpc(x) : ϕpi(x) = 0,
i = 1, ..., c. Пусть среди функций ϕpi(x) имеется k независимых. Примем их
в качестве новых переменных yi = ϕpi(x), i = 1, ..., k. Тогда дополнитель-
ные функции, соответствующие первой группе, обеспечивают знакоопреде-
ленность производной на соответствующих множествах, а функции второй
группы приводят к знакоопределенности лишь по отношению к переменным
yi. Поэтому построенная функция будет иметь y-знакоопределенную произ-
водную V̇f (x), при этом в силу построения множество G = {x : y = 0} явля-
ется инвариантным (свойство 2 теоремы 5). Теорема доказана.
В теории устойчивости подход, в котором исходным моментом является
построение функции со знакоопределенной производной, связан, в основном,
с изучением свойства неустойчивости. Для функций, обладающих свойством
1 теоремы 5, доказана первая теорема Ляпунова о неустойчивости и ее обоб-
щения. Представляет интерес (как сама по себе, так и в связи с известными
результатами) следующая теорема, доказанная для функций, обладающих
свойством 2 теоремы 5.
Теорема 6. Пусть для системы (1) существует функция V (x), произ-
водная которой V̇ (x) является функцией знакопостоянной и представима
в форме знакоопределенной функции V̇ (y), меньшего числа переменных
y1, ..., yk (k < n), причем множество M = {x : V̇ (x) = 0} является инвариант-
ным. При этом в любой сколь угодно малой окрестности B нуля существуют
точки x ∈ B\M , в которых функция V (x) принимает значения того же знака,
что и V̇ (x). Тогда нулевое решение неустойчиво.
Доказательство. Выберем достаточно малую окрестность B0 нуля, в ко-
торой выполнены условия теоремы 6, и покажем, что в любой сколь угодно
малой окрестности нуля B ⊂ B0 найдется точка, начинающаяся в которой
траектория системы (1) покидает B0. Для удобства сделаем замену перемен-
ных y = y(x), y = (y(1), y(2)), выделив подвектор y(1) = (y1, ..., yk), относи-
тельно которого производная V̇ (y(1)) знакоопределена и который определяет
M = {x : V̇ (x) = 0} уравнением y(1) = 0. Необходимо отметить, что ввиду
инвариантности множества M траектории системы (1), начинающиеся в об-
ласти B0 \ M , не попадают в множество M и поэтому для этих траекторий
выполнено V̇ (y(1)) > 0. Здесь и в дальнейшем V̇ (y(1)) принята положительно
определенной.
В силу условий теоремы начальная точка x0, для которой V (x0) > 0,
присутствует в любой сколь угодно малой окрестности из B0 \ M . Вдоль
траектории, начинающейся в этой точке, выполнено неравенство V (x(t)) >
7
А.М. Ковалев
> V (x0) и, поскольку V (x) непрерывна и V (0) = 0, то ‖y(1)(t)‖ ≥ α > 0. Тогда
в силу знакоопределенности V̇ (y(1)) имеем V̇ (y(1)) ≥ β > 0. Следовательно,
V (x(t)) = V (x0) +
t
∫
t0
V̇ (y(1)(τ))dτ ≥ V (x0) + β(t− t0).
Отсюда следует, что V (x(t)) возрастает с увеличением времени, и траек-
тория x(t) покидает заданную окрестность нуля, сколь бы близко к нулю не
была выбрана начальная точка x0. Это и доказывает неустойчивость нулево-
го решения.
Представляет интерес сравнить теоремы 3 и 6. Обе они используют зна-
копостоянные производные. Однако свойства множеств обращения их в нуль
прямо противоположны. Если в теореме 3 это множество не содержит траек-
торий системы, то в теореме 6 множество полностью состоит из траекторий
системы, являясь инвариантным множеством. Ситуация, представленная в
теореме 6, характерна для исследований в качественной теории дифференци-
альных уравнений и появляется при изучении особых точек дифференциаль-
ных уравнений и в задачах частичной устойчивости. Кроме того, использова-
ние теоремы 6 представляется перспективным при комплексном рассмотре-
нии задач устойчивости, которое может быть осуществлено с использованием
метода дополнительных функций.
4. Примеры. Рассмотрим две линейные системы для иллюстрации при-
менения теоремы 6 и возможности ее использования в дальнейшем иссле-
довании особых точек. Для простоты системы выбраны таким образом, что
поведение траекторий в окрестности нуля очевидно и выбор функций Ля-
пунова в форме, удовлетворяющей теореме 6 без применения теоремы 5, не
вызывает затруднений.
Пример 1. Исследуем устойчивость нулевого решения системы
ẋ1 = 2x1, ẋ2 = −ωx3, ẋ3 = ωx2. (4)
Для функции V = x21 + x22 + x23 имеем V̇ = 4x21. Производная V̇ поло-
жительно постоянна. Множество M = {x : V̇ (x) = 0} представляет собой
плоскость Ox2x3 и является инвариантным множеством. Функция V положи-
тельно определена. Таким образом, условия теоремы 6 выполнены и нулевое
решение системы (4) неустойчиво. Для дальнейшего исследования поведения
системы в плоскости Ox2x3 можно использовать начальную функцию V , при-
няв x1 = 0. Тогда в инвариантном множестве M = {x : x1 = 0} система (4)
принимает вид
ẋ2 = −ωx3, ẋ3 = ωx2. (5)
Для функции V = x22 + x23 получаем V̇ = 0, что означает устойчивость ну-
левого решения системы (5). Таким образом, использование функции V (x)
сначала для исходной системы (4), а затем для инвариантного множества
8
Инвариантность и неустойчивость
позволило получить полную картину движения для системы (4). Траектории
являются спиралями, расположенными на цилиндрах x22 + x23 = c2, вдоль
которых точки расходятся от окружностей x1 = 0, x22 + x23 = c2, удаляясь
вдоль оси Ox1 в бесконечность и вращаясь вокруг нее с угловой скоростью
ω.
Отметим, что возможность получения полной картины поведения ре-
шения системы (4) обеспечена выбором функции V (x). Для установления
неустойчивости с использованием теоремы 6 можно применить функцию
V = x21. Однако, для дальнейшего анализа системы в инвариантном мно-
жестве эта функция непригодна.
Несколько более сложный и разнообразный характер носят траектории
следующей системы.
Пример 2. Рассмотрим систему
ẋ1 = 2x1, ẋ2 = 3x2, ẋ3 = −4x3. (6)
Исследование системы (6) начнем с функции V = x21 + x22. Для ее произ-
водной имеем выражение V̇ = 4x21 + 6x22. Условия теоремы 6 выполнены и
нулевое решение системы (6) неустойчиво. Для анализа поведения системы в
инвариантном множестве M = {x : x1 = x2 = 0} рассматриваемая функция
ничего не дает. Однако функция V = x23 показывает, что нулевое решение
уравнения ẋ3 = −4x3 является асимптотически устойчивым по второй теоре-
ме Ляпунова. Эта же функция V = x23 с применением теоремы Ризито дает
асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (6) по отношению
к переменной x3 ввиду того, что множество M = {x : V̇ = 0} является инва-
риантным, а в остальных точках V̇ < 0.
Покажем, как этот же результат можно получить с помощью функций
Vi = x2i , i = 1, 2. Для каждой из этих функций условия теоремы 6 выполне-
ны, и подтверждается полученный вывод о неустойчивости нулевого решения
системы (6). Дальнейший анализ для функций Vi проводится по одной схеме.
Поэтому выполним его для функции V1 = x21. В инвариантном множестве
M = {x : x1 = 0} система (6) принимает вид
ẋ2 = 3x2, ẋ3 = −4x3. (7)
Начальная функция V1 ничего не дает. Исследование можно продолжить с
помощью функции V2 = x22. С помощью теоремы 6 получаем неустойчивость
нулевого решения системы (7), а затем с помощью второй теоремы Ляпунова
устанавливаем асимптотическую устойчивость нулевого решения уравнения
ẋ3 = −4x3 с использованием функции V3 = x23. Эту же функцию V3 можно
применить к системе (7) и с помощью теоремы Ризито установить асимпто-
тическую устойчивость нулевого решения системы (7) по отношению к пе-
ременной x3. Затем неустойчивость нулевого решения уравнения ẋ2 = 3x2
устанавливается с помощью первой теоремы Ляпунова о неустойчивости для
функции V2.
9
А.М. Ковалев
Приведенные рассуждения показывают, что метод функций Ляпунова
позволяет не только получить исчерпывающее заключение об устойчивости
и неустойчивости движений, но и дает возможность сформировать полное
представление о движениях системы в окрестности особой точки. Важное
значение при этом наряду с теоремами об устойчивости сыграло свойство
инвариантности, которое, собственно, и обеспечило простейший вид систем
(4), (6). В нелинейном случае преимущества, которые дает инвариантность,
обеспечивает использование метода дополнительных функций, и, в частно-
сти, применение в исследовании теоремы 5.
Заключение. В настоящей работе решена задача максимального улучше-
ния функции со знакопостоянной производной, которое может позволить ме-
тод дополнительных функций. Как следует из теоремы 5, получаемая функ-
ция знакоопределена всюду в окрестности нуля, кроме некоторого множества,
которое является инвариантным. Функция с такими свойствами производной
обладает большими преимуществами. Во-первых, позволяет получить новые
теоремы об устойчивости и неустойчивости. В настоящей работе – это тео-
рема 6 о неустойчивости. Во-вторых, возникает новое направление в иссле-
дованиях по устойчивости редукционного плана, связанное с продолжением
изучения движений в инвариантном множестве, что включает идеи частич-
ной устойчивости.
Совместное применение метода функций Ляпунова, метода дополнитель-
ных функций и теории инвариантности открывает путь к комплексному ис-
следованию устойчивости: выделению асимптотически устойчивых, устойчи-
вых и неустойчивых движений в окрестности особой точки, что можно ис-
пользовать в качестве классификации особых точек. Частично это продемон-
стрировано в статье на рассмотренных примерах.
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
– 472 с.; Ляпунов А.М. Собр. соч. Т. 2. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. – 476 с.
2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. 4-е изд., исправл. – М.: Наука, 1990. – 176 с.
3. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН
СССР. – 1952. – 86, №3. – С. 453–456.
4. Красовский Н.Н. Об условиях обращения теорем А.М.Ляпунова о неустойчивости
для стационарных систем дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. – 1955.
– 101, №1. – С. 17–20.
5. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению
к части переменных. – М.: Наука, 1987.– 256 с.
6. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. –
М.: Мир, 1964. – 168 с.
7. Risito C. Sulla stabilita asintotica parziale // Ann. Math. Pura Appl. – 1970. – 84. –
P. 279–292.
8. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для
систем, удовлетворяющих теореме Барбашина–Красовского // Прикл. математика и
механика. – 2008. – 72, вып. 2. – С. 266–272.
9. Ковалев А.М., Суйков А.С. Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы
Барбашина–Красовского // Докл. НАН Украины (математика). – 2008. – №12. –
С. 22–27.
10
Инвариантность и неустойчивость
10. Ковалев А.М., Суйков А.С. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих усло-
виям теоремы Барбашина–Красовского // Проблемы управления и информатики. –
2008. – №6. – С. 5–15.
11. Levi-Civita T., Amaldi U. Lezioni di Meccanica Razionale. – Bolonga: Zanichelli, 1952. –
2. – 671 p.
12. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных урав-
нений // Механика твердого тела.– Киев: Наук. думка. – 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
A.M.Kovalev
Invariance and instability
In the paper, the problem of stability of the zero solution of an autonomous system of differential
equations is considered. The problem of maximal improvement of a function with the derivative
of constant sign is solved which the additional functions method can permit. The theorem on
the construction of a function with definite derivative or with the derivative of constant sign is
obtained for which the set of derivative’s zeros is invariant. The theorem of instability is proved
for the case of the existance of a derivative of constant sign. Illustrative examples are considered.
Keywords: additional functions method, derivative of constant sign, instability, autonomous
system of differential equations.
О.М.Ковальов
Iнварiантнiсть i нестiйкiсть
У роботi розглядається задача стiйкостi нульового розв’язку автономної системи диферен-
цiальних рiвнянь. Розв’язано задачу максимального полiпшення функцiї зi знакосталою
похiдною, яке може дозволити метод додаткових функцiй. Отримано теорему про побу-
дову функцiї зi знаковизначеною похiдною або зi знакопостiйною похiдною, множина обер-
нення якої в нуль є iнварiантною. Доведено теорему про нестiйкiсть у випадку iснування
знакопостiйної похiдної. Розглянуто iлюстративнi приклади.
Ключовi слова: метод додаткових функцiй, знакостала похiдна, нестiйкiсть, автономна
система диференцiальних рiвнянь.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
kovalev@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 26.05.10
11
|