Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология

Статья продолжает цикл работ автора (Механика твердого тела, вып. 35, 2005 и вып. 38, 2008), в которых исследуется интегрируемая динамическая система на четырехмерном инвариантном подмножестве фазового пространства задачи о движении твердого тела в двойном силовом поле. При стремлении к нулю напряже...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Харламов, М.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28041
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 21-33. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-28041
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-280412011-10-27T12:06:21Z Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология Харламов, М.П. Статья продолжает цикл работ автора (Механика твердого тела, вып. 35, 2005 и вып. 38, 2008), в которых исследуется интегрируемая динамическая система на четырехмерном инвариантном подмножестве фазового пространства задачи о движении твердого тела в двойном силовом поле. При стремлении к нулю напряженности одного из полей эта система обращается в семейство особо замечательных движений 4-го класса Аппельрота волчка Ковалевской в поле силы тяжести. Предложен метод описания фазовой топологии при наличии алгебраических зависимостей фазовых переменных от переменных разделения с использованием булевых вектор-функций. Выполнен грубый топологический анализ рассматриваемой системы с двумя степенями свободы. Стаття продовжує цикл робiт автора (Механiка твердого тiла, вип. 35, 2005 i вип. 38, 2008), у яких дослiджується iнтегровна динамiчна система на чотиривимiрнiй iнварiантнiй пiдмножинi фазового простору задачi про рух твердого тiла у подвiйному силовому полi. При прямуваннi до нуля напруженостi одного з полiв ця система обертається в сiм’ю особливо визначних рухiв 4-го класу Аппельрота вовчка Ковалевської у полi сили ваги. Запропоновано метод описування фазової топологiї при наявностi алгебраїчних залежностей фазових змiнних вiд змiнних роздiлення з використанням булєвих вектор-функцiй. Виконано грубий топологiчний аналiз розглянутої системи iз двома степенями волi. The article continues the author’s publications (Mekh. Tverd. Tela, No 35, 2005 and No 38, 2008) dealing with the investigation of the integrable dynamical system on the four-dimensional invariant subset of the phase space of the problem of motion of a rigid body in a double force field. As one of the fields tends to zero this system turns into the set of especially remarkable motions of the 4-th class of Appelrot in the classical Kowalevski problem. We suggest a method of the phase topology description for the case of algebraic dependencies of the phase variables on the separated variables. This method is based on the use of Boolean vector-functions. The rough topological analysis of the system considered is fulfilled. 2010 Article Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 21-33. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28041 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Статья продолжает цикл работ автора (Механика твердого тела, вып. 35, 2005 и вып. 38, 2008), в которых исследуется интегрируемая динамическая система на четырехмерном инвариантном подмножестве фазового пространства задачи о движении твердого тела в двойном силовом поле. При стремлении к нулю напряженности одного из полей эта система обращается в семейство особо замечательных движений 4-го класса Аппельрота волчка Ковалевской в поле силы тяжести. Предложен метод описания фазовой топологии при наличии алгебраических зависимостей фазовых переменных от переменных разделения с использованием булевых вектор-функций. Выполнен грубый топологический анализ рассматриваемой системы с двумя степенями свободы.
format	Article
author	Харламов, М.П.
spellingShingle	Харламов, М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология Механика твердого тела
author_facet	Харламов, М.П.
author_sort	Харламов, М.П.
title	Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология
title_short	Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология
title_full	Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология
title_fullStr	Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология
title_full_unstemmed	Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология
title_sort	обобщение 4-го класса аппельрота: фазовая топология
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28041
citation_txt	Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 21-33. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT harlamovmp obobŝenie4goklassaappelʹrotafazovaâtopologiâ
first_indexed	2025-07-03T08:05:20Z
last_indexed	2025-07-03T08:05:20Z
_version_	1836612239216345088
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40 УДК 531.38 c©2010. М.П. Харламов ОБОБЩЕНИЕ 4-ГО КЛАССА АППЕЛЬРОТА: ФАЗОВАЯ ТОПОЛОГИЯ Статья продолжает цикл работ автора (Механика твердого тела, вып. 35, 2005 и вып. 38, 2008), в которых исследуется интегрируемая динамическая система на четырехмерном ин- вариантном подмножестве фазового пространства задачи о движении твердого тела в двой- ном силовом поле. При стремлении к нулю напряженности одного из полей эта система обращается в семейство особо замечательных движений 4-го класса Аппельрота волчка Ковалевской в поле силы тяжести. Предложен метод описания фазовой топологии при наличии алгебраических зависимостей фазовых переменных от переменных разделения с использованием булевых вектор-функций. Выполнен грубый топологический анализ рас- сматриваемой системы с двумя степенями свободы. Ключевые слова: волчок Ковалевской, двойное поле, фазовая топология, булева функ- ция. 1. Исходные соотношения. В интегрируемой системе с тремя степе- нями свободы, описывающей движение волчка типа Ковалевской в двой- ном силовом поле [1], в работе [2] найдены все так называемые крити- ческие подсистемы – инвариантные многообразия в фазовом пространстве P6 ⊂ R 9(α,β,ω), почти всюду четырехмерные, на которых индуцируются гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и объединение которых (с точностью до однопараметрического семейства маятниковых движений во- круг оси динамической симметрии, формирующего критическую подсистему с одной степенью свободы) составляет критическое множество трех первых интегралов на P6. Далее рассматривается критическая подсистема на под- многообразии O ⊂ P6, изучавшаяся в работах [3, 4]. В [3] указаны частные интегралы S и T, образующие полную инволютивную систему на O, постро- ена их бифуркационная диаграмма, изучены проекции интегральных много- образий на плоскость вспомогательных переменных. В результате получено допустимое множество – образ фазового пространства O рассматриваемой подсистемы под действием интегрального отображения F = S×T : O → R 2. На основе геометрии проекций предложена система координат (вообще гово- ря, комплексная), в которых переменные должны разделяться. Эти результа- ты получили дальнейшее развитие в работе [4], в которой выполнено факти- ческое разделение переменных в вещественной области и построены алгеб- раические выражения фазовых переменных через переменные разделения. Приведем формулы, необходимые в дальнейшем. Пусть a, b – постоянные модули векторов α,β (a > b > 0), s, τ – констан- ты интегралов S,T. Введем вспомогательные константы p, r, σ, χ,κ, полагая Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ и №10-01-00043. 21 М.П. Харламов p > 0, r > 0, χ > 0 и p2 = a2 + b2, r2 = a2 − b2, σ = τ2 − 2p2τ + r4, 4s2χ2 = σ + 4s2τ, κ = √ σ. (1) Фиксируем интегральное многообразие Ff = {S = s,T = τ} ⊂ O, f = (s, τ) и вводим переменные разделения t1, t2, полагая t1 = τy + xz τ − x2 , t2 = τy − xz τ − x2 , где x2 = (α1 − β2) 2 + (α2 + β1) 2, y2 = p2 − 2(α1β2 − α2β1)− τ, z2 = σx2 + τy2 − στ. Тогда, как показано в [4], для конфигурационных переменных будем иметь α1 = (U1 − U2) 2 (A− r2U1U2)(4s 2τ + U1U2)− (τ + r2)sτP1V1P2V2 4r2s τ(t21 − t22) 2 , α2 = i (U1 − U2) 2 (A− r2U1U2)sτV1V2 − (4s2τ + U1U2)(τ + r2)P1P2 4r2s τ(t21 − t22) 2 , α3 = R 2r M1M2 t1 + t2 , β1 = i (U1 − U2) 2 (B + r2U1U2)sτV1V2 − (4s2τ + U1U2)(τ − r2)P1P2 4r2s τ(t21 − t22) 2 , β2 = −(U1 − U2) 2 (B + r2U1U2)(4s 2τ + U1U2)− (τ − r2)sτP1V1P2V2 4r2s τ(t21 − t22) 2 , β3 = −i R 2r N1N2 t1 + t2 , (2) а для угловых скоростей получим выражения ω1 = i R 4rs √ 2 M2N1U1V2 +M1N2U2V1 t21 − t22 , ω2 = R 4rs √ 2 M2N1U2V1 +M1N2U1V2 t21 − t22 , ω3 = i U1 − U2√ 2 M2N2V1 −M1N1V2 t21 − t22 . (3) 22 Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология Здесь введены алгебраические радикалы K1 = √ t1 + κ , K2 = √ t2 + κ , L1 = √ t1 − κ , L2 = √ t2 − κ , M1 = √ t1 + τ + r2 , M2 = √ t2 + τ + r2 , N1 = √ t1 + τ − r2 , N2 = √ t2 + τ − r2 , V1 = √ t21 − 4s2χ2 sτ , V2 = √ t22 − 4s2χ2 sτ (4) и для сокращения записи обозначено U1 = K1L1, U2 = K2L2, R = K1K2 + L1L2, P1 = M1N1, P2 = M2N2, A = [(t1 + τ + r2)(t2 + τ + r2)− 2(p2 + r2)r2]τ, B = [(t1 + τ − r2)(t2 + τ − r2) + 2(p2 − r2)r2]τ. При этом переменные t1, t2 удовлетворяют дифференциальным уравнениям (t1 − t2) dt1 dt = √ 1 2sτ (t21 − 4s2χ2)(t21 − σ)[(t1 + τ)2 − r4] , (t1 − t2) dt2 dt = √ 1 2sτ (t22 − 4s2χ2)(t22 − σ)[(t2 + τ)2 − r4] . (5) Связную компоненту множества, в котором при заданных s, τ осцилли- руют переменные t1, t2, будем называть достижимой областью. Достижимая область здесь является либо прямоугольником, либо произведением отрезка на дополнение к интервалу. Для внутренних точек достижимой области вы- ражения (2), (3) определят, вообще говоря, 210 различных точек фазового пространства. В то же время, для решения задачи грубого топологическо- го анализа необходимо для каждой достижимой области указать количество накрывающих ее связных компонент интегрального многообразия (торов Ли- увилля). В критических случаях, когда точка f = (s, τ) принадлежит бифур- кационной диаграмме, в достижимых областях возникают особенности. Зна- ние количества компонент связности критической интегральной поверхности и близлежащих регулярных интегральных многообразий даст и полную ин- формацию о характере имеющихся бифуркаций. Непосредственное исследо- вание уравнений (2), (3) является крайне громоздким и вряд ли разумно. Ниже предложен простой способ решения поставленной задачи, основанный на некоторых стандартных действиях с двоичными матрицами. 2. Метод булевых функций. Найденные зависимости фазовых пере- менных от переменных разделения представляют собой полиномы от ради- калов (4), коэффициенты которых – однозначные функции от T = (t1, t2). 23 М.П. Харламов Обозначим через X фазовый вектор, через Y – вектор, составленный из ра- дикалов (4). Компоненты Yi входят в выражения для X в виде произведений- мономов (причем только в степени 1, так как Y 2 i – однозначная функция). Представим все такие мономы в виде одного вектора Z. Имеем X = A+BZ, (6) где вектор A и матрица B – однозначные функции от T. Замечание 1. Далее мы говорим о знаках радикалов (4), фигурирующих как сомножители в мономах Zi. В то же время эти радикалы могут быть как вещественными, так и чисто мнимыми. Однако, выбрав для рассмот- рения некоторую достижимую область, меняя при необходимости знаки подкоренных выражений в радикалах и вынося возникающую мнимую еди- ницу в коэффициенты, можно добиться того, чтобы все величины в (6) бы- ли вещественными. Будем иметь это в виду при рассмотрении конкретных областей. На общий ход рассуждений и результат подобные преобразования в различных областях не влияют. Малым шевелением f сделаем все торы в составе Ff нерезонансными, и выберем T внутри достижимой области так, что зависимости (6) будут зна- коопределенными в следующем смысле: замена знака у любого из мономов Zi меняет точку X. Иначе говоря, при выбранном (и далее фиксированном) T количество точек X, заданных равенством (6), равно 2k, где k = dimZ. Пусть X0 – одна из точек (6), а Ff (X0) – связная компонента Ff , содержащая X0. Выпустим траекторию из точки X0. Вдоль нее часть радикалов Yi имеет постоянный знак (назовем их радикалами первой группы), а другая часть этих же радикалов периодически меняет знак (эту часть называем второй группой). Как правило, вторая группа имеет по два радикала на каждую из переменных разделения. Соберем первую группу в вектор V = (V1, . . . , Vm), а вторую – в вектор W = (W1, . . . ,Wn). Выбранный в начальный момент знак любого Vi сохраняется вдоль траектории, в то время как любой набор знаков величин Wj будет на этой траектории получен. Отсюда сразу же следует, что если точка (6) отличается от X0 только знаками радикалов второй группы, то она принадлежит Ff (X0). Более того, если у точек X0 и X, полученных при заданном T, различны знаки радикалов первой группы, но, меняя знаки радикалов второй группы, можно из набора мономов Z0 точки X0 получить набор мономов Z точки X, то X ∈ Ff (X0). Формализуем эти рассуждения в терминах булевых функций. Введем функцию bsgn : R → Z2, которую будем называть булевым зна- ком: x = (−1)bsgn(x)\|x\|, x ∈ R. Очевидна мультипликативно-аддитивная двойственность: bsgn(x1x2) = bsgn(x1)⊕ bsgn(x2) (сумма по модулю 2). Для введенных выше радикалов и мономов обозначим yi = bsgn(Yi), vi = bsgn(Vi), wi = bsgn(Wi), zi = bsgn(Zi). 24 Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология Имеем Zi = m+n ∏ j=1 Y cij j , cij ∈ Z2 ⇒ zi = m+n ⊕ j=1 cijyj. Поэтому многозначная зависимость (6) описывается Z2-линейным отображе- нием C: z = Cy, y ∈ Z m+n 2 , z ∈ Z k 2. (7) В соответствии с разбиением радикалов на группы аргумент имеет вид y = (v,w), v ∈ Z m 2 , w ∈ Z n 2 . (8) При этом, фиксируя v, порождающее точку X0, и меняя w произвольно, получим двоичные наборы z, которым отвечают точки одного тора в соста- ве Ff . Поскольку при заданном T точки фазового пространства однозначно зависят от z, то множество точек над T, принадлежащих связной компонен- те Ff (X0), находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством {C(v,w) : w ∈ Z n 2}. Эти множества для различных v либо не пересекают- ся, либо совпадают, порождая тем самым отношение эквивалентности в Z m 2 . Количество c(f) классов эквивалентности равно количеству связных компо- нент в Ff , накрывающих выбранную достижимую область (связную область осцилляции переменных разделения). Лемма 1. Пусть Y,Z – векторные пространства (над любым полем F ) и C : Y → Z – линейное отображение. Пусть Y = V×W – прямое произведение векторных пространств V,W . Определим отношение эквивалентности в V , полагая v′ ∼ v′′ ⇔ ∃w′, w′′ ∈ W : C(v′, w′) = C(v′′, w′′), и пусть Kv – класс эквивалентности элемента v ∈ V . Тогда 1◦ K0 – подпространство в V ; 2◦ Kv = v +K0; 3◦ множество классов эквивалентности как векторное пространство над F имеет размерность d = P − Q, где P – ранг ограничения отображения C на подпространство V×{0}, а Q = dimR, где R = C(V×{0}) ∩ C({0}×W ). Доказательство. Утверждения 1◦ и 2◦ следуют из линейности C. То- гда множество классов эквивалентности отождествляется с фактор-простран- ством V/K0. Поскольку v ∼ 0 равносильно существованию некоторого w ∈ W , такого, что C(v, 0) = C(0, w), то V/K0 ∼= C(V×{0})/R, откуда и следует утверждение 3◦. Возвращаясь к отображению (7), запишем его матрицу согласно разбие- нию (8) в виде C = (Cv\|Cw), где Cv и Cw – двоичные матрицы размерности k×m и k×n соответственно. Очевидно, элементарные преобразования строк C и столбцов Cv или Cw, которые можно трактовать как автоморфизмы пространств Z = {z} = Z k 2, V = {v} = Z m 2 , W = {w} = Z n 2 или как замены базисов в них, не изменяют количества классов эквивалентности. Над по- лем Z2 такие преобразования сводятся к перестановке строк (столбцов одной 25 М.П. Харламов группы) или прибавлением к одной строке другой строки (к одному столб- цу другого столбца той же группы). В результате матрица C может быть приведена к виду C = EP 0P,m−P 0P−Q,Q 0P,n−QEQ 0k−P,P 0k−P,m−P 0k−P,Q · · · , (9) где P = rankC\|Zm 2 , Q = dim(C(Zm 2 ) ∩ C(Zn 2 )), через 0i,j обозначена нулевая i×j-матрица, а сомножители в разложении Z m+n 2 = Z m 2 ×Z n 2 естественным образом отождествляются с подпространствами. Последние k − P строк, в которых на месте многоточия могут содержаться ненулевые элементы, явля- ются теми координатами преобразованной булевой вектор-функции, которые зависят только от аргументов второй группы. Изменение этих аргументов на количество классов эквивалентности, конечно, не влияет. Поэтому такие строки могут быть отброшены, после чего могут быть отброшены и нулевые столбцы, и все образовавшиеся нулевые строки. Останется матрица с еди- ничными блоками EP , EQ, после чего количество классов эквивалентности, совпадающее с количеством компонент связности многообразия Ff , накрыва- ющих выбранную достижимую область, определяется по лемме 1 как 2P−Q. В частности, это означает, что строки, содержащие единичный блок EQ, также не влияют на количество классов эквивалентности и могут быть отброшены. В конечном счете, этими преобразованиями матрица C приводится к еди- ничной EP−Q, содержащей только столбцы первой группы. На практике для определения значения P − Q достаточно исключить все переменные второй группы и выбрать линейно независимые строки (например, привести редуци- рованную матрицу к трапецевидной). Итак, вычисление количества торов Лиувилля в регулярных интеграль- ных многообразиях можно провести, применяя к строкам и столбцам матри- цы C метод Гаусса над полем Z2. Для критических случаев этот же метод работает с небольшим уточнением процедуры разбиения радикалов на груп- пы. 3. Достижимые области и интегральные многообразия. Как сле- дует из уравнений (2)–(5), разделяющим множеством при классификации траекторий и интегральных многообразий по параметрам s, τ , в дополнение к очевидной особенности s τ = 0, служит дискриминантное множество мно- гочлена S(ξ) = (ξ2 − 4s2χ2)(ξ2 − σ)[(ξ + τ)2 − r4], (10) которое состоит из прямых s = ±a, s = ±b, τ = (a± b)2 и кривых, заданных уравнением χ = 0. В явном виде эти кривые можно записать как τ = ϕ±(s), где ϕ±(s) = a2 + b2 − 2s2 ± √ (s2 − a2)(s2 − b2). Следующее утверждение вытекает из результатов работы [3]. 26 Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология Теорема 1. Допустимое множество на плоскости (s, τ) состоит из следу- ющих подмножеств: {−a 6 s 6 −b, (a− b)2 6 τ < +∞}; {−b < s < 0, ϕ+(s) 6 τ < +∞}; {0 < s < b, −∞ < τ 6 ϕ−(s)}; {b 6 s 6 a, −∞ < τ 6 (a+ b)2}; {s > a, ϕ+(s) 6 τ 6 (a+ b)2}. I VIII II VII V III XI X IV VI XII XIII IX t s Рис. 1. Разделяющие кривые и кодировка областей. На рис. 1 показаны области I–XIII (области регулярности интегрального отображения F), исчерпывающие допустимое множество и имеющие различ- ное распределение корней многочлена (10). В дополнение к обозначениям (1) положим m0 = −τ − r2, n0 = −τ + r2, v0 = 2\|s\|χ. Требование вещественности выражений (2), (3) определяет промежутки ос- цилляции переменных t1, t2. Информация о расположении корней многочлена S(ξ) и достижимых областях для переменных разделения сведена в табл. 1. В последнем столбце этой таблицы запись вида [c0(±∞)c1] означает, что на самом деле c1 < c0, и переменная осциллирует на R\(c1, c0), периодически пересекая бесконечность. 27 М.П. Харламов Таблица 1 Область Корни S(ξ) Изменение t1 Изменение t2 I m0 < −v0 < n0 < v0 [m0,−v0 ] [n0, v0 ] II m0 < n0 < −v0 < v0 [m0, n0 ] [−v0, v0 ] III m0 < −v0 < n0 < −κ < κ < v0 [m0,−v0 ] [n0,−κ ] IV m0 < n0 < −v0 < −κ < κ < v0 [m0, n0 ] [−v0,−κ ] V m0 < −v0 < v0 < n0 [−v0, v0 ] [n0 (±∞)m0 ] VI m0 < −v0 < n0 < v0 [−v0, n0 ] [ v0 (±∞)m0 ] VII −v0 < m0 < n0 < v0 [m0, n0 ] [ v0 (±∞) − v0 ] VIII m0 < −v0 < −κ < κ < v0 < n0 [κ, v0 ] [n0 (±∞)m0 ] IX m0 < −v0 < −κ < κ < n0 < v0 [κ, n0 ] [ v0 (±∞)m0 ] X −v0 < m0 < −κ < κ < n0 < v0 [κ, n0 ] [ v0 (±∞) − v0 ] XI −κ < −v0 < m0 < n0 < v0 < κ [m0, n0 ] [ v0,κ ] XII −κ < −v0 < m0 < v0 < n0 < κ [m0, v0 ] [n0,κ ] XIII −κ < m0 < −v0 < v0 < n0 < κ [−v0, v0 ] [n0,κ ] Занумеруем радикалы (4) следующим образом Ri1 = Ki, Ri2 = Li, Ri3 = Mi, Ri4 = Ni, Ri5 = Vi (i = 1, 2) и введем булевы переменные (здесь уместно напомнить замечание 1): yγ = bsgn(R1γ), y5+γ = bsgn(R2γ) (γ = 1, . . . , 5). Выделим в выражениях (2) компоненты булевой вектор-функции (7), от- вечающие используемым мономам от радикалов (в скобках записаны сами мономы) z1 = y1 ⊕ y2 ⊕ y6 ⊕ y7 (K1L1K2L2); z2 = y3 ⊕ y4 ⊕ y5 ⊕ y8 ⊕ y9 ⊕ y10 (M1N1V1M2N2V2); z3 = y5 ⊕ y10 (V1V2); z4 = y1 ⊕ y2 ⊕ y5 ⊕ y6 ⊕ y7 ⊕ y10 (K1L1V1K2L2V2); z5 = y3 ⊕ y4 ⊕ y8 ⊕ y9 (M1N1M2N2); z6 = y1 ⊕ y2 ⊕ y3 ⊕ y4 ⊕ y6 ⊕ y7 ⊕ y8 ⊕ y9 (K1L1M1N1K2L2M2N2); z7 = y1 ⊕ y3 ⊕ y6 ⊕ y8 (K1M1K2M2); z8 = y2 ⊕ y3 ⊕ y7 ⊕ y8 (L1M1L2M2); z9 = y1 ⊕ y4 ⊕ y6 ⊕ y9 (K1N1K2N2); z10 = y2 ⊕ y4 ⊕ y7 ⊕ y9 (L1N1L2N2); z11 = z3 ⊕ z6 (K1L1M1N1V1K2L2M2N2V2). 28 Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология Выражения (3) добавляют еще 12 компонент z12 = y1 ⊕ y3 ⊕ y5 ⊕ y7 ⊕ y9 (K1M1V1L2N2); z13 = y2 ⊕ y4 ⊕ y6 ⊕ y8 ⊕ y10 (L1N1K2M2V2); z14 = y1 ⊕ y4 ⊕ y7 ⊕ y8 ⊕ y10 (K1N1L2M2V2); z15 = y2 ⊕ y3 ⊕ y5 ⊕ y6 ⊕ y9 (L1M1V1K2N2); z16 = y1 ⊕ y4 ⊕ y5 ⊕ y7 ⊕ y8 (K1N1V1L2M2); z17 = y2 ⊕ y3 ⊕ y6 ⊕ y9 ⊕ y10 (L1M1K2N2V2); z18 = y1 ⊕ y3 ⊕ y7 ⊕ y9 ⊕ y10 (K1M1L2N2V2); z19 = y2 ⊕ y4 ⊕ y5 ⊕ y6 ⊕ y8 (L1N1V1K2M2); z20 = y1 ⊕ y2 ⊕ y5 ⊕ y8 ⊕ y9 (K1L1V1M2N2); z21 = y1 ⊕ y2 ⊕ y3 ⊕ y4 ⊕ y10 (K1L1M1N1V2); z22 = y5 ⊕ y6 ⊕ y7 ⊕ y8 ⊕ y9 (V1K2L2M2N2); z23 = y3 ⊕ y4 ⊕ y6 ⊕ y7 ⊕ y10 (M1N1K2L2V2). Зависимость фазовых переменных от переменных разделения описыва- ется линейной булевой вектор-функцией (Z2-линейным отображением) C : Z 10 2 → Z 23 2 . Выбирая в матрице C строки с номерами 1, 10, 2, 3, 12 в качестве ведущих и переобозначая компоненты (z1, z10, z2, z3, z12) → (z1, z2, z3, z4, z5), приведем эту матрицу к трапецевидной. Ненулевыми окажутся лишь выбран- ные строки. Таким образом, rankC = 5 и редуцированная булева вектор- функция имеет вид: z1 = (y1 ⊕ y6)⊕ (y4 ⊕ y9), z2 = (y2 ⊕ y7)⊕ (y4 ⊕ y9), z3 = (y3 ⊕ y8)⊕ (y4 ⊕ y9), z4 = y5 ⊕ y10, z5 = y6 ⊕ y7 ⊕ y8 ⊕ y9 ⊕ y10. (11) Это выражение в определенном смысле окончательное, поскольку, очевидно, количество компонент функции уменьшить для всех значений параметров одновременно уже нельзя. Для дальнейшей работы со столбцами необходимо их разбиение на группы, которое зависит от номера области регулярности. Базируясь на информации, приведенной в табл. 1, заполняем второй столбец табл. 2. Он содержит номера аргументов второй группы, т.е. тех, которые относятся к периодически меняющим знак радикалам. Здесь применен сле- дующий прием. В областях V–X переменная t2 пересекает бесконечность. В связи с этим все радикалы R2γ следует считать меняющими знак одновремен- но, что не отвечает существу дела. Многочлен S(ξ) имеет четную степень, то есть ∞ не является точкой ветвления для √ S. Поступим следующим образом. Поскольку всегда \|t2\| > v, то t2 6= 0. Положим R̃2γ = R2γ/ √ t2, y5+γ = bsgn(R̃2γ) (γ = 1, . . . , 5). Выражения (2), (3) устроены так, что после перехода к новым радикалам особенность в точке t2 = ∞ исчезает, а при пересечении этого значения теперь 29 М.П. Харламов никакие подкоренные выражения в R̃2γ ни в нуль, ни в бесконечность не обращаются, и аргументы yγ для переменной t2 относятся к соответствующей группе по конечным границам промежутка изменения t2. В табл. 2 звездочкой помечены области, в которых σ < 0 и величина κ является чисто мнимой. Тогда пары (K1, L1) и (K2, L2) нужно считать Таблица 2 Область Вторая группа Выражения компонент (P,Q) c(f) I ∗ 3 5 9 10 ∅ (0,0) 1 II ∗ 3 4 10 y5 ⊕ y8 ⊕ y9 (1,0) 2 III 3 5 6 9 y1 ⊕ y4 ⊕ y7 ⊕ y8 ⊕ y10 (1,0) 2 IV 3 4 6 10 y1 ⊕ y2 ⊕ y5 ⊕ y8 ⊕ y9 (1,0) 2 V ∗ 5 8 9 y3 ⊕ y4 ⊕ y6 ⊕ y7 ⊕ y10 (1,0) 2 VI ∗ 4 5 8 10 ∅ (0,0) 1 VII ∗ 3 4 10 y5 ⊕ y6 ⊕ y7 ⊕ y8 ⊕ y9 (1,0) 2 VIII 2 5 8 9 y3 ⊕ y4 ⊕ y6 ⊕ y7 (1,0) 2 IX 2 4 8 10 y1 ⊕ y3 ⊕ y5 ⊕ y7 ⊕ y9 (1,0) 2 X 2 4 10 { y1 ⊕ y3 ⊕ y6 ⊕ y8 y5 ⊕ y6 ⊕ y7 ⊕ y8 ⊕ y9 (2,0) 4 XI 3 4 7 10 y1 ⊕ y2 ⊕ y5 ⊕ y8 ⊕ y9 (1,0) 2 XII 3 5 7 9 y2 ⊕ y4 ⊕ y6 ⊕ y8 ⊕ y10 (1,0) 2 XIII 5 7 9 { y1 ⊕ y3 ⊕ y6 ⊕ y8 y2 ⊕ y4 ⊕ y6 ⊕ y8 ⊕ y10 (2,0) 4 комплексно сопряженными, и произвольный знак можно выбирать лишь у одного элемента каждой пары несмотря на то, что аргументы y1, y2, y5, y6 все относятся к первой группе. Таким образом, необходимо считать, что в этих случаях введены дополнительные тождества y1 ⊕ y2 ≡ 0, y6 ⊕ y7 ≡ 0. (12) Сопоставляя выражения компонент (11) с номерами аргументов второй груп- пы, видим, что в областях со звездочкой всегда присутствует один из аргу- ментов y4, y9, что обеспечивает возможность одновременной замены значений y1, y2 в z1, z2, а пара y6, y7 вообще входит лишь в виде суммы (в z5) и на резуль- тат ввиду (12) не влияет. На самом деле, структура булевой вектор-функции автоматически исключает возможность получения избыточных значений в случае наличия комплексно сопряженных радикалов, поэтому результат не зависит от того, как произведена редукция матрицы C по строкам. Теперь в соответствии со списком аргументов второй группы выполняем эквивалент- ные преобразования с основной матрицей C функции в виде (11). А именно, если аргумент yγ относится ко второй группе, то с помощью строки, где он присутствует, обнуляем все остальные элементы этого столбца. После этого 30 Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология такая ведущая строка в каноническом представлении (9) окажется за пре- делами первых P − Q строк и ее можно отбросить как не влияющую на количество классов эквивалентности. Остающиеся компоненты показаны в третьем столбце табл. 2. Особенность матрицы такова, что во всех случа- ях I–XIII все аргументы второй группы позволяют исключить ровно одну компоненту. Таким образом, ранг оставшейся матрицы равен «пять минус количество аргументов второй группы», причем это всегда есть первое число в паре рангов (P,Q), так как аргументов второй группы не остается. Соответ- ственно, всегда в такой паре Q = 0 (предпоследний столбец в табл. 2). В силу этого дальнейшие преобразования со столбцами по приведению к канониче- скому виду (9) можно уже не проводить. В случаях со звездочкой одна из оставшихся компонент всегда имеет вид y1⊕y2⊕y6⊕y7, то есть является кон- стантой в силу (12), поэтому ее следует исключить, что понижает ранг еще на единицу (в связи с этим в таблице возникает пустое множество компонент). Окончательно, число c(f) равно 2P (см. последний столбец в табл. 2). На- помним, что через c(f) обозначено количество классов эквивалентности для заданного значения f = (s, τ) постоянных первых интегралов, то есть количе- ство связных компонент (торов Лиувилля) интегрального многообразия Ff . Результат показан на рис. 2, a. Исследование регулярной фазовой топологии задачи завершено. 1 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 4 2 t s a) t b) 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 1 2 2 42 1 s Рис. 2. Количество торов и связность критических поверхностей. Рассмотрим критические случаи – отрезки бифуркационного множества между областями. Поскольку наша цель – продемонстрировать технику, то для краткости случаи, известные из других источников, просто перечислим. Случаи χ = 0 отвечают в точности особым периодическим решениям случая Богоявленского [5], причем константа интеграла s – это использованный в указанной работе параметр, а величина τ выражается через постоянную част- 31 М.П. Харламов ного интеграла Богоявленского. Поэтому в каждую точку множества χ = 0 переходят две точки кривых δ1, δ2, δ3 работы [5]. Таким образом, на криво- линейных участках разделяющего множества имеем следующие критические поверхности: 2S1 при s ∈ (−b, 0) ∪ (0, b), 4S1 при s ∈ (a,+∞). Полупрямая τ = 0, s > 0 отвечает пересечению с критической подсистемой, изученной в [6]. В ней этому множеству соответствует случай ℓ = 0,m < 0 и имеется такая связь использованных параметров: m = −1/2s. Следовательно инте- гральные поверхности для τ = 0 таковы: 2T2 при s ∈ (0, b) ∪ (b, a), 4T2 при s ∈ (a,+∞). Этот случай является полурегулярным, так как реальных би- фуркаций не происходит, возникает лишь особенность в выражениях (2), (3), которую можно устранить заменой переменных. Для примера рассмотрим более подробно переходы, возникающие при круговом обходе критической точки типа «седло-седло». При переходе I→II (см. рис. 1) возникает кратный корень −v0 = n0. Во вторую группу попадают радикалы 3, 4, 5, 9, 10. Переменная y5 позволяет ис- ключить единственную нетривиальную компоненту области II ∗ (см. табл. 2). Получаем пару (P,Q) = (0, 0), поэтому c(f) = 1. Но перестройка здесь T 2 → 2T2. Следовательно, Ff = (S1 ∨ S1)× S1. При переходе I→III возникает кратный корень κ = 0. Во вторую группу попадают радикалы 3, 5, 6, 7, 9. Переменная y7 позволяет исключить един- ственную нетривиальную компоненту области III. Получаем (P,Q) = (0, 0), c(f) = 1. Перестройка T 2 → 2T2, значит, Ff = (S1 ∨ S1)× S1. При переходе III→IV возникает кратный корень −v0 = n0, лежащий стро- го между m0 и −κ. Во вторую группу попадают радикалы 3, 4, 5, 6, 8, 10. По отношению к области III добавились аргументы y4, y8, любой из них позволя- ет исключить единственную компоненту функции. По отношению к области IV добавились аргументы y5, y8, и снова любой из них позволяет исключить единственную компоненту функции. В результате (P,Q) = (0, 0), c(f) = 1. Перестройка 2T2 → 2T2, значит, Ff = (S1∨̈S1)×S1, где S1∨̈S1 – пара окруж- ностей, пересекающихся по двум точкам. При переходе II→IV возникает кратный корень κ = 0 между −v0 и v0. Во вторую группу попадают радикалы 3, 4, 6, 7, 10. По отношению к области II добавились аргументы y6, y7, которые входили в компоненту-константу, по- этому это не повлияло на результат. По отношению к области IV добавился аргумент y7, и он не входит в оставшуюся согласно табл. 2 компоненту функ- ции. Поэтому результат такой же, как и в самих областях – (P,Q) = (1, 0), c(f) = 2. Однако, здесь перестройка по количеству торов такая же, как в предыдущем случае 2T2 → 2T2. Поэтому критическая поверхность есть Ff = 2(S1 ∨ S1) ∗ S1 (каждая компонента связности – косое произведение «восьмерки» на окружность). Аналогично рассматриваются и все остальные случаи. На рис. 2, b по- казано количество связных компонент критических поверхностей для всех участков бифуркационной диаграммы, из чего, благодаря найденному ранее количеству торов Лиувилля в регулярных областях, однозначно восстанав- ливается и топологический тип любой критической поверхности. 32 Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология 1. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений // Функц. анализ и его прило- жения. – 1988. – 22, 2. – С. 87–88. 2. Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движе- нии волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 47–58. 3. Харламов М.П. Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота // Там же. – 2005. – Вып. 35. – С. 38–48. 4. Харламов М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения // Там же. – 2008. – № 38. – С. 20–30. 5. Харламов М.П. Особые периодические решения обобщенного случая Делоне // Там же. – 2006. – № 36. – С. 23–33. 6. Харламов М.П., Савушкин А.Ю. Разделение переменных и интегральные многообра- зия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской // Укр. мат. вестн. – 2004. – 1, вып. 4. – С. 548–565. M.P. Kharlamov Generalized 4-th Appelrot class: phase topology The article continues the author’s publications (Mekh. Tverd. Tela, No 35, 2005 and No 38, 2008) dealing with the investigation of the integrable dynamical system on the four-dimensional invariant subset of the phase space of the problem of motion of a rigid body in a double force field. As one of the fields tends to zero this system turns into the set of especially remarkable motions of the 4-th class of Appelrot in the classical Kowalevski problem. We suggest a method of the phase topology description for the case of algebraic dependencies of the phase variables on the separated variables. This method is based on the use of Boolean vector-functions. The rough topological analysis of the system considered is fulfilled. Keywords: Kowalevski top, double field, phase topology, Boolean function. М.П.Харламов Узагальнення 4-го класу Аппельрота: фазова топологiя Стаття продовжує цикл робiт автора (Механiка твердого тiла, вип. 35, 2005 i вип. 38, 2008), у яких дослiджується iнтегровна динамiчна система на чотиривимiрнiй iнварiантнiй пiд- множинi фазового простору задачi про рух твердого тiла у подвiйному силовому полi. При прямуваннi до нуля напруженостi одного з полiв ця система обертається в сiм’ю особливо визначних рухiв 4-го класу Аппельрота вовчка Ковалевської у полi сили ваги. Запропоно- вано метод описування фазової топологiї при наявностi алгебраїчних залежностей фазових змiнних вiд змiнних роздiлення з використанням булєвих вектор-функцiй. Виконано грубий топологiчний аналiз розглянутої системи iз двома степенями волi. Ключовi слова: вовчок Ковалевської, подвiйне поле, фазова топологiя, булєва функцiя. Волгоградская академия гос. службы, Россия mharlamov@vags.ru Получено 01.07.10 33

Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология

Репозитарії

Схожі ресурси