Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле
Изучаются особые периодические движения (критические точки ранга 1 интегрального отображения), найденные в работе М.П.Харламова (Механика твердого тела, вып. 37, 2007) в интегрируемой задаче о движении гиростата в двойном поле при условиях Ковалевской на моменты инерции. Исследованы возможные перест...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28043 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле / И.И. Харламова, Г.Е. Смирнов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 50-62. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28043 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280432011-10-27T12:10:03Z Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле Харламова, И.И. Смирнов, Г.Е. Изучаются особые периодические движения (критические точки ранга 1 интегрального отображения), найденные в работе М.П.Харламова (Механика твердого тела, вып. 37, 2007) в интегрируемой задаче о движении гиростата в двойном поле при условиях Ковалевской на моменты инерции. Исследованы возможные перестройки внутри множества этих решений в зависимости от существенных параметров – одного интегрального и двух физических. Получены аналитические уравнения разделяющего множества и его особенностей, указано количество возникающих областей с различным набором решений. Найден образ разделяющего множества в пространстве параметров, задающих бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях. Вычисления, связанные с преобразованиями многочленов высоких степеней, выполнены в компьютерной системе Mathematica 7. Вивчаються особливi перiодичнi рухи (критичнi точки рангу 1 iнтегрального вiдображення), знайденi в роботi М.П.Харламова (Механiка твердого тiла, вип. 37, 2007) в iнтегровнiй задачi про рух гiростата в подвiйному полi при умовах Ковалевської на моменти iнерцiї. Дослiджено можливi перебудови усерединi множини цих розв’язкiв залежно вiд суттєвих параметрiв – одного iнтегрального i двох фiзичних. Отримано аналiтичнi рiвняння подiляючої множини та його особливостей, зазначено кiлькiсть виникаючих областей з рiзним набором розв’язкiв. Знайдено образ подiляючої множини в просторi параметрiв, що задають бiфуркацiйнi дiаграми на iзоенергетичних рiвнях. Обчислення, пов’язанi з перетвореннями багаточленiв високих степенiв, виконано в комп’ютернiй системi Mathematica 7. Consider the integrable problem of motion of a gyrostat with the Kowalevski type inertia tensor in a double force field. We study the special periodic motions (the rank 1 critical points of the integral mapping) found by M.P. Kharlamov (Mekh. Tverd. Tela, No 37, 2007). Possible transformations inside the set of such motions depending on three essential parameters are studied. We obtain the analytical equations of the separating set and its singularities, point out the regions with different sets of motions. We find the image of the separating set in the space of parameters defining the bifurcation diagrams on iso-energetic levels. The most complicated calculations are fulfilled with the help of the computer system Mathematica 7. 2010 Article Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле / И.И. Харламова, Г.Е. Смирнов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 50-62. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28043 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучаются особые периодические движения (критические точки ранга 1 интегрального отображения), найденные в работе М.П.Харламова (Механика твердого тела, вып. 37, 2007) в интегрируемой задаче о движении гиростата в двойном поле при условиях Ковалевской на моменты инерции. Исследованы возможные перестройки внутри множества этих решений в зависимости от существенных параметров – одного интегрального и двух физических. Получены аналитические уравнения разделяющего множества и его особенностей, указано количество возникающих областей с различным набором решений. Найден образ разделяющего множества в пространстве параметров, задающих бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях. Вычисления, связанные с преобразованиями многочленов высоких степеней, выполнены в компьютерной системе Mathematica 7. |
| format |
Article |
| author |
Харламова, И.И. Смирнов, Г.Е. |
| spellingShingle |
Харламова, И.И. Смирнов, Г.Е. Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле Механика твердого тела |
| author_facet |
Харламова, И.И. Смирнов, Г.Е. |
| author_sort |
Харламова, И.И. |
| title |
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_short |
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_full |
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_fullStr |
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_full_unstemmed |
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле |
| title_sort |
условия существования периодических движений гиростата ковалевской в двойном поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28043 |
| citation_txt |
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской в двойном поле / И.И. Харламова, Г.Е. Смирнов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 50-62. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT harlamovaii usloviâsuŝestvovaniâperiodičeskihdviženijgirostatakovalevskojvdvojnompole AT smirnovge usloviâsuŝestvovaniâperiodičeskihdviženijgirostatakovalevskojvdvojnompole |
| first_indexed |
2025-07-03T08:05:30Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:05:30Z |
| _version_ |
1836612249626607616 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.38
c©2010. И.И. Харламова, Г.Е. Смирнов
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
ГИРОСТАТА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ
Изучаются особые периодические движения (критические точки ранга 1 интегрального
отображения), найденные в работе М.П.Харламова (Механика твердого тела, вып. 37,
2007) в интегрируемой задаче о движении гиростата в двойном поле при условиях Ко-
валевской на моменты инерции. Исследованы возможные перестройки внутри множества
этих решений в зависимости от существенных параметров – одного интегрального и двух
физических. Получены аналитические уравнения разделяющего множества и его особенно-
стей, указано количество возникающих областей с различным набором решений. Найден
образ разделяющего множества в пространстве параметров, задающих бифуркационные
диаграммы на изоэнергетических уровнях. Вычисления, связанные с преобразованиями
многочленов высоких степеней, выполнены в компьютерной системе Mathematica 7.
Ключевые слова: гиростат Ковалевской, двойное поле, критические движения.
Введение. В невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе
критические точки ранга 1 (так называемые особые периодические движе-
ния) организованы в подсистемы с одной степенью свободы. Поэтому в прин-
ципе соответствующие траектории образуют однопараметрические семейства
(при фиксированных физических параметрах задачи). Сам факт построе-
ния периодических решений всегда имеет в динамике особое значение. Но
важность исследования таких семейств, кроме этого, состоит также и в том,
что в системах с тремя степенями свободы их бифуркации порождают пере-
стройки типов плоских сечений бифуркационных диаграмм задачи в целом.
В случае Ковалевской–Реймана–Семенова-Тян-Шанского [1] при отсутстви-
ии гиростатического момента λ (волчок в двойном поле) явное представление
зависимости особых периодических движений (ОПД) от одного интегрально-
го параметра позволили получить [2] полную классификацию бифуркацион-
ных диаграмм Σh интегрального отображения на изоэнергетических поверх-
ностях H = h, т.е. построить разделяющее множество на плоскости (h, γ),
где γ – единственный существенный физический параметр задачи (отноше-
ние напряженностей силовых полей). При λ 6= 0 (гиростат в двойном поле)
все критические точки ранга 1 также найдены [3] и уравнения соответству-
ющих ОПД интегрируются в эллиптических функциях. Однако эти решения
удалось выписать лишь в зависимости от двух нефизических параметров,
связанных уравнением высокой степени. Через эти же параметры выраже-
ны и постоянные общих интегралов. Это удобно для численного построения
плоских диаграмм Σh, так как при заданном h эффективно вычисляются все
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ и Администрации Волго-
градской области № 10-01-97001.
50
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской
граничные точки одномерных сегментов. Попытки явно описать соответству-
ющие разделяющие поверхности в пространстве (h, γ, λ), названные атласом
бифуркационных диаграмм [4], еще не привели к окончательному результату.
В настоящей работе выполнено исследование условий существования и би-
фуркаций ОПД, выписаны явные уравнения соответствующих разделяющих
поверхностей. Отметим, что многие вычисления выполнены в компьютерной
системе Mathematica 7 (Academic License # L3298-7174) ввиду крайне высо-
ких вычислительных сложностей. При этом во всех случаях удалось провести
исследование полностью, доказать все утверждения о количестве и характере
решений тех или иных уравнений. Несмотря на использование компьютерных
технологий, все рассуждения, представленные ниже, являются доказатель-
ствами, поскольку описаны все этапы вычислений, предъявлены промежу-
точные результаты, и любое вычисление при необходимости может быть лег-
ко повторено. Ряд результатов вывести “вручную” уже нельзя. В то же время,
в большинстве случаев получить ответ напрямую не помогает и компьютер –
необходимо увидеть и задать в компьютерной системе нужную подстановку.
Поэтому, несмотря на фантастические возможности систем аналитических
вычислений, роль исследователя по-прежнему остается решающей.
1. Исходные уравнения. Пусть α, β – характеристические векторы
взаимно ортогональных силовых полей с модулями |α| = a, |β| = b и
a > b > 0. (1)
Пусть ω – угловая скорость тела, λ – единственная отличная от нуля, осевая
компонента вектора гиростатического момента. Выражения фазовых пере-
менных через вспомогательную переменную w = ω2
1 + ω2
2 > 0 описываются
уравнениями (30) работы [3]. В этих выражениях фигурируют физические
параметры λ, p, r (p =
√
a2 + b2 > r =
√
a2 − b2 > 0), а также два параметра
σ, u, первый из которых есть неопределенный множитель Лагранжа в линей-
ной зависимости дифференциалов общих интегралов, и потому сам является
частным интегралом на рассматриваемых траекториях, а второй – вспомо-
гательный параметр, введенный в процессе вычислений с целью получения
простых формул и связанный с σ уравнением
L = λ2(λ2 + σ)2u5 + (λ2 + σ)[2p2λ4 − (λ2 + σ)3σ]σu4+
+r4λ6σ2u3 + 2r4λ4σ4(λ2 + σ)2u2 − r8λ8σ6 = 0.
(2)
Зависимость w от времени описывается уравнением
(dw
dt
)2
= − λ2
4σ2
P4(w), (3)
где P4(w) = P+(w)P−(w) и
P±(w) = w2 + 2σ2u± r2λ2
λ2u
w +
σ[u3 − (λ2 + σ)σ2u2 + r4λ4σ3]
(λ2 + σ)λ2u2
.
51
И.И.Харламова, Г.Е.Смирнов
В частности, условия вещественности решений имеют вид системы нера-
венств
P4(w) 6 0, w > 0, (4)
исследование совместности которых будем проводить в плоскости (σ, λ) с
учетом зависимости от a, b. Хотя существенным является лишь отношение
γ = b/a ∈ (0, 1), сохраним в общих уравнениях оба параметра для возможно-
сти в будущем использовать любые предельные переходы. Отметим, что во
всех приведенных формулах встречаются лишь четные степени λ, поэтому
достаточно рассмотреть полуплоскость λ > 0. Ниже все утверждения фор-
мулируются для этой полуплоскости, что особо уже не оговаривается. При
фиксированных σ, λ имеется до пяти значений u, удовлетворяющих (2). Неко-
торым из них соответствуют решения уравнения (3) при условиях (4), причем
таких решений может быть и несколько, если множество (4) несвязно. Пусть
P(σ, λ, u) – набор решений (3) как совокупность геометрических объектов на
плоскости (w, ẇ) и пусть P(σ, λ) = ∪u P(σ, λ, u). Применительно к задаче ко-
личественной классификации ОПД назовем разделяющим множеством под-
множество S в плоскости (σ, λ), при переходе через которое меняется набор
P(σ, λ). Сразу же отметим часть S0 разделяющего множества S, состоящую
из координатных осей и особой параболы Π : λ2 + σ = 0. На этом множестве
выражения для явных решений, выписанные в [3], имеют особенности. Как
показано в [5], особенность на параболе устранима предельным переходом,
однако перестройки в множестве P(σ, λ) при этом не исключены.
2. Первое разделяющее множество. Периодические решения пре-
терпевают бифуркации при переходе через неподвижные точки, которые со-
ответствуют кратному корню многочлена P4. Дискриминанты многочленов
P± имеют вид
σ
λ4(λ2 + σ)u2
D±, D± = [r2λ2σ ± (λ2 + σ)u]2σ2 − λ2u3.
Замечание 1. Здесь и далее в результантах и дискриминантах нас ин-
тересует лишь их зависимость от параметров (возможность обращения
в нуль) и, в отдельных случаях, их знак. Поэтому, для простоты записи,
пишем выражения, имея в виду равенство с точностью до положительного
числового множителя.
В соответствии с этой договоренностью, результанты многочленов D± с
многочленом L по переменной u равны r16(p2±r2)3λ30σ19(λ2+σ)3. Эти значе-
ния не обращаются в нуль за пределами S0. Следовательно, кратный корень
P4 может быть лишь общим корнем P+ и P−. Тогда, как и должно быть в
неподвижной точке, этот корень нулевой. Поэтому
P0(u) = u3 − (λ2 + σ)σ2u2 + r4λ4σ3 = 0. (5)
Приравниваем к нулю результант многочленов L и P0 по u, получим
r16λ24σ15(λ2 + σ)3
{
r8 + r4[6p2λ4 + λ8 − 4λ2(p2 + λ4)σ − 2(2p2 + λ4)σ2+
+4λ2σ3 + 2σ4]− [σ(λ2 + σ)− 2p2]2[2p2λ4 − σ2(λ2 + σ)2)]
}
= 0.
52
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской
Вне S0 достаточно найти нули выражения в фигурной скобке, которое разла-
гается на множители в виде Q1Q2Q3Q4. Поэтому первое разделяющее мно-
жество (ПРМ) в составе S – четыре кривые
Q1 = (a− b)2 + (a+ b)λ2 − (λ2 + σ)σ = 0,
Q2 = (a+ b)2 + (a− b)λ2 − (λ2 + σ)σ = 0,
Q3 = (a+ b)2 − (a− b)λ2 − (λ2 + σ)σ = 0,
Q4 = (a− b)2 − (a+ b)λ2 − (λ2 + σ)σ = 0.
Сами эти кривые будем обозначать так же, как и левые части уравнений –
через Q1−Q4, а их объединение – через S1. Значения энергии в неподвижных
точках тела в двойном поле хорошо известны (см., например, [6]). В работе [3]
выполнен сдвиг энергии на константу. Примем здесь стандартное выражение
интеграла энергии
H = ω2
1 + ω2
2 +
1
2
ω2
3 − (α1 + β2),
тогда его критические значения таковы
h = ±a± b. (6)
Покажем, как получить их в точках ПРМ. Исключая старшие степени u в
многочленах P0 и L, на кривых Qi найдем
u1,2 = (a± b)λ2σ, u3,4 = (−a± b)λ2σ. (7)
Подставим в функцию H значения фазовых переменных, полученные из вы-
ражений (8), (30) работы [3]:
h = −u3λ2 − r4λ4σ3(λ2 + 2σ) + u2σ2(λ2 + σ)(λ2 + 2σ)
2u2λ2σ(λ2 + σ)
. (8)
Исключим отсюда u3 с помощью условия (5), и подставим ui из (7). Получим
критические значения (6), занумерованные в порядке возрастания.
λ
σ
b
λ
σ
a
Рис. 1. Первое и второе разделяющие множества.
Геометрия ПРМ определяется следующим непосредственно проверяемым
утверждением.
53
И.И.Харламова, Г.Е.Смирнов
Предложение 1. Первое разделяющее множество имеет ровно четыре
кратные точки при λ > 0
Q1 ∩Q2 = {q(12)+ , q
(12)
−
}, Q1 ∩Q3 = {q(13)+ , q
(13)
−
},
где
q
(12)
± = (−a±
√
4a2 + b2,
√
2a), q
(13)
± = (−b±
√
a2 + 4b2,
√
2b); (9)
четыре точки пересечения с осью λ = 0 (каждая принадлежит двум кривым)
Q1 ∩Q4 ∩ {λ = 0} = {(−a+ b, 0), (a − b, 0)},
Q2 ∩Q3 ∩ {λ = 0} = {(−a− b, 0), (a + b, 0)},
две точки пересечения с осью σ = 0
Q3 ∩ {σ = 0} =
(
0,
a+ b√
a− b
)
, Q4 ∩ {σ = 0} =
(
0,
a− b√
a+ b
)
и две точки пересечения с особой параболой
Q3 ∩Π =
(
−(a+ b)2
a− b
,
a+ b√
a− b
)
, Q4 ∩Π =
(
−(a− b)2
a+ b
,
a− b√
a+ b
)
.
Из найденных выражений для координат кратных точек следует, что пе-
ресечения трех кривых Qi в одной точке невозможны. Таким образом, множе-
ство S1 вместе с отмеченным ранее особым множеством S0 разбивает верхнюю
полуплоскость на 19 областей (рис. 1, a, штриховой линией показана особая
парабола).
3. Второе разделяющее множество. Количество решений в зависи-
мости от параметров может изменяться при переходе через такие значения,
при которых уравнение (2) имеет кратный корень по u. Назовем это мно-
жество параметров вторым разделяющим множеством (ВРМ) и обозначим
через S2. Из условия L′
u = 0, учитывая, что в (2) u 6= 0, получим
5u3λ2(λ2 + σ)2 − 4u2σ(λ2 + σ)[σ(λ2 + σ)3 − 2p2λ4]+
+3r4uλ6σ2 + 4r4λ4σ4(λ2 + σ)2 = 0.
(10)
Условие совместности по u уравнений (2), (10) за пределами S0 приводит к
уравнению
RL = 27r8λ16 − 256σ(λ2 + σ)3[σ(λ2 + σ)3 − 2p2λ4]3+
+864r4λ8σ(λ2 + σ)3[5σ(λ2 + σ)3 − 2p2λ4] = 0.
(11)
Для его упрощения заметим, что в выражении RL параметры λ, σ входят в
виде определенной комбинации. Обозначим
V =
4(λ2 + σ)3σ
λ4
, (12)
54
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской
тогда уравнение (11) перепишется в виде
R∗
L = V 4 − 24p2V 3 + 6(32p4 − 45r4)V 2 − 16p2(32p4 − 27r4)V − 27r8 = 0. (13)
Предложение 2. В области параметров (1) уравнение (13) имеет ровно
два вещественных корня V1, V2 противоположных знаков
V1 = (κ1 + κ2)
3 > 0, V2 = (κ1 − κ2)
3 < 0. (14)
Здесь κ1 =
√
r4/3 + (p4 − r4)1/3, κ2 =
√
2r4/3 − (p4 − r4)1/3 + 2p2κ−1
1 .
Доказательство. Непосредственное вычисление корней обозримых выра-
жений не дает. Выполним подстановку V = W 3, r = q3, получим разложение
R∗
L = P1P2, где
P1 = 3q8 + 8p2W + 6q4W 2 −W 4,
P2 = 9q16 − 24p2q8W + 64p4W 2 − 18q12W 2 − 48p2q4W 3 + 39q8W 4−
−16p2W 5 + 6q4W 6 +W 8.
Дискриминант P2 равен r40/3(512p4 − 169r4)2(p4 − r4)4 (см. замечание 1), по-
этому в области (1) многочлен P2 кратных корней не имеет, а численная
проверка дает все комплексные корни. Вычисление корней P1 приводит к
выражениям
ε1
√
r4/3 + (p4 − r4)1/3 + ε2
√
2r4/3 − (p4 − r4)1/3 + ε1
2p2
√
r4/3 + (p4 − r4)1/3
,
где εi = ±1. Заметим, что
[
2p2
√
r4/3 + (p4 − r4)1/3
]2
−
[
2r4/3 − (p4 − r4)1/3
]2
= 3(p4 − r4)2/3 > 0,
поэтому вещественные корни отвечают только значению ε1 = 1. Произве-
дение всех корней отрицательно, поэтому пара вещественных корней имеет
разные знаки, но, очевидно, что корень с ε2 = 1 положительный. Утвержде-
ние доказано.
Теперь кривые в составе ВРМ легко строятся численно (рис. 1, b). Удобно
ввести параметризацию, положив σ = sλ2. Тогда из (12) получим следующие
три ветви ВРМ:
DA : λ = 4
√
V1
4s(1 + s)3
, σ =
s
2
√
V1
s(1 + s)3
, s ∈ (−∞,−1);
DB : λ = 4
√
V1
4s(1 + s)3
, σ =
s
2
√
V1
s(1 + s)3
, s ∈ (0,+∞);
DC : λ = 4
√
V2
4s(1 + s)3
, σ =
s
2
√
V2
s(1 + s)3
, s ∈ (−1, 0).
(15)
55
И.И.Харламова, Г.Е.Смирнов
Как видно из рис. 1, b, кривые в составе S2 вместе с множеством S0 делят
верхнюю полуплоскость на шесть областей. В каждой из них сохраняется ко-
личество корней многочлена L(u). Заметим, что L(0) = −r8λ8σ6 обращается
в нуль только на осях координат. Поэтому в каждой из областей не могут
изменяться и знаки корней. Теперь всю необходимую информацию о корнях
L(u) легко получить численно.
Для нахождения значения энергии, отвечающего этим разделяющим слу-
чаям, необходимо выразить общий корень u уравнений (2), (10). Для этого в
дополнение к (12) выполним подстановку u = σ
3
√
λ2σZ. Система уравнений
примет вид
(2V )1/3Z4
[
8p2 − V + 2(2V )1/3Z
]
+ 4r4
[
(2V )2/3 + 2Z
]
Z2 − 8r8 = 0,
(2V )1/3Z2
[
16p2 − 2V + 5(2V )1/3Z
]
+ 4r4
[
(2V )2/3 + 3Z
]
= 0.
(16)
Условие ее совместности по Z, естественно, дает уравнение (13) с решени-
ями (14). Приравняем к нулю результант левых частей (16) по переменной
V 1/3, получим
r4(p4 − r4)Z14(Z3 − 4r4)4 = 0,
а поскольку из первого уравнения (16) следует, что Z 6= 0, то Z = r 3
√
4r, и,
следовательно, кратный корень L(u) равен u = rσ
3
√
4rλ2σ. Подставляя это
значение вместе с (15) в (8), найдем
h = −s(2s+ 1)V 2/3 + (2s2 + s− 1)r4/3
4
√
s(1 + s)3V 1/6
. (17)
Здесь V = V1,2 согласно (14), а промежуток изменения параметра s определя-
ется в соответствии с уравнениями (15). Из (15) возьмем формулы и для λ(s).
Получим, после перехода к безразмерным переменным b/a, h/a, λ/
√
a, пара-
метрические уравнения разделяющей поверхности для классификации би-
фуркационных диаграмм на изоэнергетических уровнях, разрешающие неяв-
ные уравнения работы [4]. Более того, промежутки изменения s определяют
условия, при которых действительно реализуются перестройки таких диа-
грамм. В силу ограниченности объема публикации, мы не приводим иллю-
страций, которые теперь легко могут быть построены.
4. Пересечения разделяющих множеств. Для того чтобы получить
общую картину на плоскости (σ, λ), найдем пересечения S2 с кривыми Qi,
составляющими S1.
Остановимся более подробно на пересечении S2 ∩ Q1. Из уравнения Q1
выразим
λ2 =
σ2 − (a− b)2
a+ b− σ
(18)
56
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской
и подставим в уравнение (11). Получим M2
1 (σ)N1(σ) = 0, где
M1 = (a− b)4(a+ b)− 4(a2 − b2)2σ + 6(a− b)2(a+ b)σ2−
− 4(a− b)2σ3 + (a+ b)σ4,
N1 = (a− b)10
12
∑
i=0
(a− b)−iAiσ
i
и
A0 = 27(a− b)2(a+ b)6,
A1 = −4(a+ b)(53a6 − 270a5b+ 1131a4b2 − 1188a3b3 + 1131a2b4−
− 270ab5 + 53b6),
A2 = 2(a+ b)2(331a6 − 3342a5b+ 9525a4b2 − 12516a3b3 + 9525a2b4−
− 3342ab5 + 331b6),
A3 = −12(a2 − b2)(75a6 − 286a5b− 1547a4b2 + 2236a3b3−
− 1547a2b4 − 286ab5 + 75b6),
A4 = −(75a8 − 14492a7b+ 39404a6b2 + 12444a5b3 − 50286a4b4+
+ 12444a3b5 + 39404a2b6 − 14492ab7 + 75b8),
A5 = 8(a2 − b2)(267a6 − 2986a5b− 1627a4b2 + 6068a3b3 − 1627a2b4−
− 2986ab5 + 267b6),
A6 = −12(273a8 − 5492a6b2 + 6342a4b4 − 5492a2b6 + 273b8),
A12−i(a, b) = Ai(a,−b) (i = 0, . . . , 5).
Корни M1 отвечают за точки касания кривых S2 и Q1, а корни N1 отвечают за
точки трансверсального пересечения кривых S2 и Q1. Из этих корней необхо-
димо взять лишь те, которые обеспечивают вещественный корень уравнения
(18) относительно λ, т.е. удовлетворяющие неравенству
P1(σ) = [σ2 − (a− b)2](a+ b− σ) > 0. (19)
Количество и взаимное расположение таких корней может измениться лишь
в следующих случаях: один из многочленов M1, N1 имеет общий корень с
P1, либо один из этих многочленов имеет кратный корень в области (19).
Вычисляем результанты
Res(M1, P1, σ) = −a4b4(a− b)6(a+ b);
Res(N1, P1, σ) = −a16b16(a− b)20(a+ b)2;
Res(M1,M
′
1, σ) = −a4b4(a− b)8(a+ b)3;
Res(N1, N
′
1, σ) = a66b66(a− b)106(a+ b)16(343a4 + 1362a2b2 + 343b4)4.
Самым удивительным является, конечно, последний. В нем отброшенный
здесь числовой множитель содержит 76 цифр и равен 2212×324, однако, вы-
числяется точно. Ни одно из полученных выражений в нуль не обращается,
57
И.И.Харламова, Г.Е.Смирнов
поэтому качественная структура множества S2∩Q1 не зависит от параметров
a, b в выбранной области их изменения. Следовательно, численное решение
полностью определяет и качественную картину. Находим, что M1 имеет един-
ственный корень в области (19) и он дает точку касания Q1 с кривой DB .
Многочлен N1 также имеет единственный корень в указанной области. Он
порождает точку трансверсального пересечения Q1 с кривой DA (рис. 2, a).
λ λ
λ λ
σ σ
σσ
a b
c d
Рис. 2. Пересечения S2 ∩Qi.
Рассмотрим пересечение S2 ∩Q2. Отметим, что все уравнения получают-
ся из уравнений для Q1 заменой b → −b, поэтому верны выводы об отсут-
ствии каких-либо общих или кратных корней у соответствующих многочле-
нов P2,M2, N2, т.е. качественная картина от параметров снова не зависит.
Находим, что кривая Q2 имеет ровно одну точку пересечения с S2 на ветви
DA и ровно одну точку касания с ветвью DB (рис. 2, b).
Замечая, что случай с кривой Q3 получается из предыдущего заменой
λ2 → −λ2, σ → −σ, с помощью аналогичных выкладок и рассуждений нахо-
дим, что кривая Q3 имеет ровно по одной точке пересечения с каждой из
ветвей DA,DB ,DC и одну точку касания с ветвью DC (рис. 2, c).
Для пересечения S2 ∩ Q4 все уравнения получаются из уравнений для
Q3 заменой b → −b. Находим, что кривая Q4 имеет ровно по одной точке
пересечения с каждой из ветвей DA,DB ,DC и одну точку касания с ветвью
DC . Точка Q4∩DC имеет отрицательную координату σ по модулю на порядки
больше остальных (например, для a = 1, b = 0.5 эта точка имеет координаты
σ ≈ −1104.12; λ ≈ 33.25), поэтому на рис. 2, d она показана условно.
58
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской
5. Перестройки разделяющего множества. Для почти всех значе-
ний физических параметров a, b структура разделяющего множества S пол-
ностью определена. Перестройки этой структуры по указанным параметрам
могут отвечать лишь случаям наличия в составе разделяющего множества
точек кратности три и выше. Как отмечено ранее, пересечения трех Qi все-
гда пусты, поэтому точек кратности четыре не существует, а точки кратности
три возможны лишь для таких значений параметров a, b, при которых для
некоторой пары индексов i 6= j
S2 ∩Qi ∩Qj 6= ∅. (20)
Заметим, что это же условие является необходимым и достаточным для того,
чтобы при переходе параметров a, b через заданные значения могло изменить-
ся и взаимное расположение точек двух различных множеств S2 ∩Qi.
Согласно предложению 1 имеется всего четыре точки, принадлежащие
при λ > 0 паре множеств Qi, а именно, точки (9). Для исследования случая
(20) необходимо проверить возможность q
(ij)
±
∈ S2, что означает равенство
RL(q
(ij)
± ) = 0. Имеем
RL(q
(13)
±
) = 1024 a20 (A1 ±A2)X, X = (b/a)2 > 0,
где
A1 = 1 + 32X + 118X2 − 1756X3 − 10511X4 + 8388X5+
+ 143104X6 + 221840X7 − 768X8);
A2 = 8(1 + 3X)
√
1 + 4X(1 + 10X − 60X2 − 370X3 + 891X4+
+ 4632X5 + 16X6).
Обозначая γ = b/a ∈ [0, 1], вычислим
A2
1 −A2
2 = −(1 + 4γ + 9γ2 + 18γ3 + 20γ4 + 12γ5)2×
× (−1 + 4γ − 9γ2 + 18γ3 − 20γ4 + 12γ5)2×
× (−1 + 4γ2 + 602γ4 + 7140γ6 + 24863γ8 + 32928γ10).
(21)
Уравнение A2
1 − A2
2 = 0 уже не содержит параметров и имеет ровно два
положительных корня
b/a = γ∗ ≈ 0.17865486876 (точка q
(13)
− , σ < 0),
b/a = γ∗ ≈ 0.44041017065 (точка q
(13)
+ , σ > 0).
(22)
При этом первый из них является корнем многочлена в последней скобке
(21), т.е. простым корнем, и поэтому в соответствующем случае все три кри-
вые пересекаются трансверсально, а второй является корнем многочлена во
59
И.И.Харламова, Г.Е.Смирнов
второй скобке (21), входящей в это уравнение в квадрате, и поэтому, являясь
кратным корнем, связан с точками касания. Разделяющее множество для зна-
чений (22) показано на рис. 3. Видно, что первое значение (рис. 3, a) отвечает
случаю, когда кривые Q1 и Q3 пересекаются на ветви DA, второе (рис. 3, b) –
случаю, когда точка касания кривых DC и Q1 находится на кривой Q3, что
и объясняет кратность данного значения b/a в уравнении (21).
λ
λ
σ
σ
a
b
Рис. 3. Перестройки областей в окрестности b/a = γ∗, γ
∗.
Заметим теперь, что точки q
(12)
± получаются из q
(13)
± перестановкой зна-
чений a и b, а функция RL от такой перестановки не изменяется. Поэтому,
проводя аналогичные вычисления для точек q
(12)
±
, придем к уравнению вида
(21), в котором уже Y = a/b. Для этого отношения найденные выше корни
являются посторонними, так как a/b > 1. Таким образом, этот случай не
реализуется при допустимых значений параметров.
Итак, построенное множество S разбивает верхнюю полуплоскость па-
раметров (σ, λ) на 35 открытых областей, которые несложно закодировать в
соответствии с номерами пары областей, порожденных первым и вторым раз-
деляющими множествами. При переходе через значения (22) одна из таких
областей исчезает, взамен появляется область уже с другим кодом и, соот-
ветственно, с другим количеством порожденных периодических траекторий.
Поскольку внутри каждой из образовавшихся областей количество траекто-
рий измениться уже не может, то численный анализ дает полную картину.
В четырех областях движений нет, в остальных количество траекторий ва-
60
Условия существования периодических движений гиростата Ковалевской
рьируется от одной до пяти. Исследование разделяющего множества, опре-
деляющего условия существования и количества периодических траекторий
закончено.
Заключение. В работе представлено полное аналитическое исследова-
ние разделяющих множеств в пространстве параметров задачи о движении
гиростата Ковалевской в двойном поле, связанных с наличием и бифуркация-
ми внутри совокупности критических точек ранга 1 интегрального отображе-
ния. Образ этого множества в трехмерном пространстве существенных пара-
метров изоэнергетических многообразий определяет атлас бифуркационных
диаграмм. Получены явные уравнения (6) и (17) для поверхностей в составе
такого атласа, фактически решающие неявные уравнения высокой степени,
полученные в работе [4] и, что еще более важно, исключающие посторонние
решения этих уравнений. В результате получена аналитическая основа для
полной классификации и визуализации бифуркационных диаграмм гиростата
Ковалевской в двойном поле.
1. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Лаксово представление со спектральным
параметром для волчка Ковалевской и его обобщений // Функц. анализ и его прило-
жения. – 1988. – 22, 2. – С. 87-88.
2. Харламов М.П. Области существования критических движений обобщенного волчка
Ковалевской и бифуркационные диаграммы // Механика твердого тела. – 2006. –
№ 36. – С. 13-22.
3. Харламов М.П. Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном
поле // Механика твердого тела. – 2007. – № 37. – С. 85-96.
4. Рябов П.Е. Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируе-
мых задач // Механика твердого тела. – 2007. – № 37. – С. 97-111.
5. Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams and critical subsystems of the Kowalevski gyrostat
in two constant fields // Hiroshima Math. J. – 2009. – 39, 3. – P. 327-350.
6. Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движе-
нии волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. –
С. 47–58.
I.I.Kharlamova, G.E. Smirnov
The existence conditions for periodic motions of the Kowalevski gyrostat
in double force field
Consider the integrable problem of motion of a gyrostat with the Kowalevski type inertia tensor
in a double force field. We study the special periodic motions (the rank 1 critical points of
the integral mapping) found by M.P. Kharlamov (Mekh. Tverd. Tela, No 37, 2007). Possible
transformations inside the set of such motions depending on three essential parameters are
studied. We obtain the analytical equations of the separating set and its singularities, point out
the regions with different sets of motions. We find the image of the separating set in the space
of parameters defining the bifurcation diagrams on iso-energetic levels. The most complicated
calculations are fulfilled with the help of the computer system Mathematica 7.
Keywords: Kowalevski gyrostat, double field, critical motions.
61
И.И.Харламова, Г.Е.Смирнов
I.I. Харламова, Г.Є.Смирнов
Умови iснування перiодичних рухiв гiростата Ковалевської у подвiйному
полi
Вивчаються особливi перiодичнi рухи (критичнi точки рангу 1 iнтегрального вiдображе-
ння), знайденi в роботi М.П. Харламова (Механiка твердого тiла, вип. 37, 2007) в iнте-
гровнiй задачi про рух гiростата в подвiйному полi при умовах Ковалевської на моменти
iнерцiї. Дослiджено можливi перебудови усерединi множини цих розв’язкiв залежно вiд
суттєвих параметрiв – одного iнтегрального i двох фiзичних. Отримано аналiтичнi рiвня-
ння подiляючої множини та його особливостей, зазначено кiлькiсть виникаючих областей з
рiзним набором розв’язкiв. Знайдено образ подiляючої множини в просторi параметрiв, що
задають бiфуркацiйнi дiаграми на iзоенергетичних рiвнях. Обчислення, пов’язанi з пере-
твореннями багаточленiв високих степенiв, виконано в комп’ютернiй системi Mathematica
7.
Ключовi слова: гiростат Ковалевської, подвiйне поле, критичнi рухи.
Волгоградская академия гос. службы, Россия;
МГУ им. М.В. Ломоносова, Россия
mharlamov@vags.ru, irinah@vags.ru, glebevgen@yandex.ru
Получено 13.08.10
62
|