Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести
Изучены регулярные прецессии гиростата вокруг неподвижной наклонной оси. В предположении, что переменный гиростатический момент сохраняет направление в подвижном базисе, получены необходимые и достаточные условия их существования. Указана зависимость угла между осью прецессии и вертикалью от парамет...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28044 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 63-76. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28044 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280442011-10-27T12:06:52Z Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести Волкова, О.С. Изучены регулярные прецессии гиростата вокруг неподвижной наклонной оси. В предположении, что переменный гиростатический момент сохраняет направление в подвижном базисе, получены необходимые и достаточные условия их существования. Указана зависимость угла между осью прецессии и вертикалью от параметров гиростата и направления оси собственного вращения. Выписана абсолютная величина гиростатического момента и соответствующие решения уравнений движения. В явном виде получено решение, вырождающееся в решение Гриоли при отсутствии гиростатического момента. Найдено новое решение, соответствующее регулярной прецессии тяжелого гиростата вокруг наклонной оси со скоростью, вдвое большей скорости собственного вращения. Вивчено регулярнi прецесiї гiростата навколо нерухомої похилої осi. У припущеннi, щозмiнний гiростатичний момент зберiгає напрямок у вiдносному базисi, отримано необхiднi i достатнi умови iснування таких рухiв. Вказано залежнiсть кута мiж вiссю прецесiї та вертикаллю вiд параметрiв гiростата та напрямку осi власного обертання. Знайдено величину гiростатичного моменту та вiдповiднi розв’язки рiвнянь руху. В явному виглядi отримано розв’язок, який у вiдсутностi гiростатичного момента вироджується у розв’язок Грiолi. Знайдено також новий розв’язок, що вiдповiдає регулярнiй прецесiї важкого гiростата навколо похилої осi зi швидкiстю, вдвiчi бiльшою за швидкiсть власного обертання. This article represents an investigation of regular precessions of a gyrostat about the fixed inclined axis. For a gyrostat with variable gyrostatic momentum, whose direction is fixed in the rotating frame, necessary and sufficient conditions of regular precession existence are obtained. The inclination angle of precession axis dependence on both gyrostat parameters and the proper rotation axis direction is computed. The respective value of gyrostatic momentum and solutions of the motion equations are explicitly found. Among them the exact solution, which becomes the Grioli one in the case of zero gyrostatic momentum, is presented. New solution, which correspondents to the regular precession of a gyrostat when the precession velocity is twice as much than proper rotation one, is also obtained. 2010 Article Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 63-76. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28044 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучены регулярные прецессии гиростата вокруг неподвижной наклонной оси. В предположении, что переменный гиростатический момент сохраняет направление в подвижном базисе, получены необходимые и достаточные условия их существования. Указана зависимость угла между осью прецессии и вертикалью от параметров гиростата и направления оси собственного вращения. Выписана абсолютная величина гиростатического момента и соответствующие решения уравнений движения. В явном виде получено решение, вырождающееся в решение Гриоли при отсутствии гиростатического момента. Найдено новое решение, соответствующее регулярной прецессии тяжелого гиростата вокруг наклонной оси со скоростью, вдвое большей скорости собственного вращения. |
| format |
Article |
| author |
Волкова, О.С. |
| spellingShingle |
Волкова, О.С. Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести Механика твердого тела |
| author_facet |
Волкова, О.С. |
| author_sort |
Волкова, О.С. |
| title |
Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести |
| title_short |
Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести |
| title_full |
Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести |
| title_fullStr |
Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести |
| title_full_unstemmed |
Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести |
| title_sort |
регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28044 |
| citation_txt |
Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 63-76. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT volkovaos regulârnyeprecessiigirostatasnepodvižnojtočkojvpolesilytâžesti |
| first_indexed |
2025-07-03T08:05:35Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:05:35Z |
| _version_ |
1836612254389239808 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.38
c©2010. О.С. Волкова
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСТАТА С НЕПОДВИЖНОЙ
ТОЧКОЙ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Изучены регулярные прецессии гиростата вокруг неподвижной наклонной оси. В предпо-
ложении, что переменный гиростатический момент сохраняет направление в подвижном
базисе, получены необходимые и достаточные условия их существования. Указана зависи-
мость угла между осью прецессии и вертикалью от параметров гиростата и направления
оси собственного вращения. Выписана абсолютная величина гиростатического момента и
соответствующие решения уравнений движения. В явном виде получено решение, вырож-
дающееся в решение Гриоли при отсутствии гиростатического момента. Найдено новое
решение, соответствующее регулярной прецессии тяжелого гиростата вокруг наклонной
оси со скоростью, вдвое большей скорости собственного вращения.
Ключевые слова: гиростат, переменный гиростатический момент, точные решения, ре-
гулярная прецессия.
1. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему, состоящую
из тела-носителя S и жестко закрепленных на нем тел Si, i = 1, 2, .. n,
для каждого из которых общая с носителем ось будет главной центральной
осью инерции. Пусть несомые тела обладают динамической симметрией от-
носительно своей оси крепления. Будем считать, что относительные угловые
скорости тел Si – заданные функции времени либо известна составляющая
момента сил, действующих на Si со стороны S, относительно их общей оси.
Такая система удовлетворяет определению гиростата, данному в работе [1]
П.В. Харламовым. Твердое тело с закрепленными на нем симметричными
роторами, кинетические моменты которых переменны, рассматривали также
К. Магнус [2], В.В. Румянцев, Й. Виттенбург [3] и другие. На основании тео-
ремы об изменении момента количества движения вращение гиростата вокруг
неподвижной точки описывается уравнениями
Jω̇ + λ̇ = (Jω + λ)× ω + e× ν, ν̇ = ν × ω, (1)
где J = diag(J1, J2, J3) – тензор инерции гиростата, приведенный к главным
осям, ω – угловая скорость носителя в подвижном базисе, ν – орт вертикали,
e – радиус-вектор центра масс, а λ – переменный гиростатический момент.
Считаем, что уравнения движения записаны в безразмерной форме.
Уравнения (1) допускают первые интегралы
(Jω + λ, ν) = g, |ν|2 = 1. (2)
Предположим, что λ = λ(t)α, |α| = 1, где λ(t) – непрерывная и ограни-
ченная вместе со своей производной функция времени. В [4] исследованы
регулярные прецессии такого гиростата вокруг вертикали. В настоящей ра-
боте будут изучены те регулярные прецессии вокруг наклонной оси, которые
не являются маятниковыми либо равномерными вращениями.
63
О.С. Волкова
Итак, пусть γ и β – постоянные соответственно в абсолютном и отно-
сительном пространстве единичные векторы. Движение гиростата называ-
ют [5,6] регулярной прецессией, если угол между γ и β не изменяется, а ско-
рости прецессии ψ̇ и собственного вращения ϕ̇ постоянны: ψ̇(t)=m, ϕ̇(t)=n.
Тогда для вектора угловой скорости справедливо разложение ω = mγ + nβ.
Отметим, что в этом случае система (1) допускает линейное инвариантное
соотношение (ω,β) = c, где c = n+ (γ,β)m; при этом абсолютная величина
угловой скорости также постоянна: |ω|2 = n2 +m2 + 2mn(γ,β).
Будем считать, что направление векторов γ и β выбрано таким обра-
зом, чтобы выполнялось mn > 0. Постоянные в абсолютном пространстве
векторы ν и γ в относительном базисе удовлетворяют уравнениям
ν̇ = n(ν × β) +m(ν × γ), γ̇ = n(γ × β). (3)
Введем обозначения cosχ := (γ,ν), cosµ := (γ,β). В предположении, что
∆ := β2
2
+ β2
3
6= 0, зависимость γ(t) можно записать в виде γ(t) = Uξ(t), где
U =
∆ 0 β1
−β1β2
∆
β3
∆
β2
−β1β3
∆
−β2
∆
β3
=
(β × i)× β
| (β × i)× β |
β × i
|β × i |
β
T
, i = (1, 0, 0), (4)
ξ = (sinµ sin (nt+ φ0), sinµ cos (nt+ φ0), cosµ)
T. (5)
Начальную фазу φ0 в (5) положим нулевой. Для ν выпишем разложение по
трем некомпланарным векторам β, γ, γ×β, удовлетворяющее системе (3) и
геометрическому интегралу:
ν(t) = [cosχ+
sinχ
sinµ
cosµ sin (mt+ ϕ0) ]γ−
−
sinχ
sinµ
[ sin (mt+ ϕ0)β + cos (mt+ ϕ0)γ × β ].
(6)
Здесь ϕ0 – произвольная постоянная, которая впоследствии подлежит опре-
делению из условий существования регулярных прецессий.
Цель работы: указать угол между осями прецессии и собственного враще-
ния и соотношение между скоростями m и n; получить условия на распреде-
ление масс системы и направление гиростатического момента, при которых
существует функция λ(t), удовлетворяющая уравнению
mJγ̇ + λ̇α =m2(Jγ × γ) +mn(Jβ × γ + Jγ × β)+
+n2(Jβ × β) + λ(α× (mγ + nβ)) + e× ν.
(7)
64
Регулярные прецессии гиростата
2. Регулярные прецессии уравновешенного гиростата. Отдельно
рассмотрим случай, когда центр масс совпадает с неподвижной точкой |e|=0.
Покажем, что с точностью до замены индексов верна следующая теорема.
Теорема 1. Если уравновешенный гиростат с гиростатическим моментом
λ = λ(t)α совершает регулярную прецессию, то выполняются условия
α1 = β1 = 0, (J3 − J1)α2β2 + (J2 − J1)α3β3 = 0, (8)
причем только в следующих случаях:
(I) Jα ‖ α⊥β ‖ Jβ : α2 = β3 = 0, (J1− J2)(J1− J3) 6= 0,
(II) Jα ∦ α ∦ β ∦ Jβ : (α, β)(J2β
2
3
+ J3β
2
2
− J1) 6= 0,
(III) Jα ∦ α ‖ β : J1= J2β
2
3
+ J3β
2
2
, (J3 − J1)(J1 − J2) > 0
существует непрерывная и ограниченная вместе со своей производной функ-
ция λ(t) 6= const :
(I–II): λ(t) = (J(β ×α) + Jα× β, β ×α)(β ×α)−2[m(α,γ) + n(α,β)],
(Jβ ×α, β ×α)(ω, β) = J1(β ×α)2m cosµ; (9)
(III): λ(t) =− [m(Jβ,γ) + n(Jβ,β)]− nJ1, (ω, β) = m cosµ+ n = 0.
Доказательство. При α ∦ β в качестве полной системы скалярных урав-
нений возьмем проекции (7) на векторы α, β и α× β соответственно:
m(Jγ̇,α)+ λ̇=m2(Jγ×γ,α)+mn(Jβ×γ+Jγ×β,α)+n2(Jβ×β,α), (10)
λ̇n(α, β) = m2(Jγ, γ̇) + λm(α, γ̇), (11)
m(Jγ̇,α× β) = − [m(γ,α) + n(α, β)] [λ(α, β) +m(Jβ, γ)]+
+ (n+m cosµ) (λ+m(Jγ,α))−mn(Jβ, β)(γ,α)+
+mn(Jβ,α) cos µ+ n2(Jβ × β,α× β).
(12)
С учетом разложения ω = mγ + nβ интеграл площадей (2) принимает вид
m(Jγ, γ) + λ(γ, α) + n(Jβ, γ) = g, (13)
причем производная левой части (13) представляет собой проекцию (7) на γ.
Найдем условия совместности уравнений (10)–(13) относительно λ при γ=Uξ
(см. (4)–(5)). Анализ (10) и (13) показал, что λ(t) – линейная по sinnt, cosnt
функция, при этом выражение (Jγ,γ) должно содержать члены второго по-
рядка, а в (Jγ ×γ,α), напротив, они должны отсутствовать. Тогда из (12)
следует, что
λ(α, β) +m(Jβ, γ) = const, т.е. α ⊥ β ⇐⇒ Jβ ‖ β при λ̇ 6= 0. (14)
Теперь продифференцируем соотношение (13) и вычтем из результата урав-
нение (11), умноженное на 2/m. В итоге получим равенство
m [(α, γ)λ̇− (α, γ̇)λ ] + n(α,β)λ̇ = 0, (15)
откуда заключаем, что разложение Фурье выражения (α, γ)λ̇ − (α, γ̇)λ не
65
О.С. Волкова
содержит постоянного члена. С учетом линейности λ по cosnt и sinnt имеем
λ = c1(γ, α) + c2; c1 = const, c2 = const. (16)
Подстановка (14) в (13) и подсчет слагаемых, содержащих cosnt и sinnt, дают
[c1(β,α) cosµ+ c2 ](γ, α) + [n +m cosµ ](Jβ, γ) = const,
откуда следует либо (Jβ×β, α) = 0, либо n+m cosµ=0. В последнем случае
условие отсутствия свободного члена в правой части (10) снова приводит к
равенству (Jβ×β, α) = 0. Обратимся к интегралу (13). Ясно, что выражение
m(Jγ, γ) + c1(α, γ)
2 (17)
не должно содержать cos 2nt и sin 2nt. Воспользовавшись разложением
γ = (γ,β)β + (γ,β ×α)
β ×α
(β ×α)2
+ (γ × β,β ×α)
β × (β ×α)
(β ×α)2
,
для скалярного произведения (Jγ,γ) можно получить выражение вида
(Jγ,γ) = −ζ(α, γ)2 +
(J(β ×α)× (β ×α), β)
n(β ×α)4
[(α, γ)2]′ + Ln,
ζ :=
(J(β ×α), β ×α)− (J(β × (β ×α)), β × (β ×α))
(β ×α)4
, (18)
где Ln линейно по γ. Очевидно, что в (17) старшие члены исчезают тогда
и только тогда, когда c1 = mζ и (J(β × α) × (β × α), β) = 0, что вместе с
(Jβ × β,α) = 0 дает J(β × α) ‖ β × α. При этом условии в (Jγ × γ, α)
отсутствуют cos 2nt, sin 2nt, только если ζ дополнительно удовлетворяет ра-
венству ζ(α, β)+(Jβ×β,α×β)(α×β)−2 = 0, которое в координатной форме
принимает вид (8). Если оно выполнено, то ζ упрощается, и систему (7) об-
ращает в тождество указанное при формулировке теоремы λ(t); причем m,n
и cosµ связаны уравнением (9). Вспомогательные условия (I)–(II) обеспечи-
вают разрешимость (9) при mn 6= 0 и невырождение λ(t) в постоянную.
Пусть теперь α ‖ β. Систему (11),(13) дополним проекцией (7) на γ ×β :
m
n
(Jγ̇, γ̇) +m sin2µλ = m(n+m cosµ)(Jγ, γ)+
+(n2 −m2)(Jβ, γ)− n(Jβ, β)(m+ n cosµ).
(19)
Положим (Jγ, γ) = (Jγ, γ)2n + 2(Jβ,γ) cosµ + const, где (Jγ, γ)2n содер-
жит только sin 2nt и cos 2nt. Подставим (11) в (13) и выпишем члены второго
порядка:
(2n +m cosµ)(Jγ, γ̇)2n = 0. (20)
Несложно доказать равенство (Jγ̇, γ̇)˙ =−n2(Jγ, γ)˙
2n
, позволяющее из (19)
получить
((2n +m cosµ)2 − 2mn cosµ−m2)(Jγ, γ̇)2n = 0,
что в совокупности с равенством (20) и условием γ ∦ β влечет (Jγ,γ)2n= 0.
66
Регулярные прецессии гиростата
Аналогично, подсчитывая в (13),(19) линейные по cosnt, sinnt члены, имеем
(Jβ, γ̇)(n +m cosµ) = 0.
Согласно (11), Jβ ‖ β приводит к λ(t)≡ const. Таким образом, n+m cosµ = 0
и Jβ ∦ β, что вместе с (Jγ,γ)2n= 0 дает (III). Уравнения (11), (13), (19)
обращает в тождества λ(t) =−(Jβ, ω)−nJ1. Доказательство завершено.
Охарактеризуем полученные классы движений. В случаях (I)–(II) вели-
чина λ пропорциональна проекции угловой скорости на направление гиро-
статического момента:
λ(t) =
(J1 − J3)β2
β2 − α2(α, β)
[m sinµ(α2β3 − α3β2) cosnt+ (n+m cosµ)(α, β)] ,
где скорости m и n связаны равенством (9), которое при Jβ ∦ α и условиях
(I)–(II) позволяет однозначно выразить n через m. Если же в случае (II)
выполняется Jβ ‖ α, то угол нутации µ = π/2, а m и n произвольны.
Зависимость постоянной g от параметров задачи определяется равенством
g = (n+m cosµ)(Jβ, β) cos µ+ J1m sin2µ .
Случай (III) соответствует условию Гриоли существования регулярных
прецессий вокруг наклонной оси для твердого тела [5] и гиростата с постоян-
ным гиростатическим моментом [7, § 3.1]: центр масс лежит на перпендику-
ляре к круговому сечению эллипсоида инерции. Зависимость λ(t) такова:
λ(t) = −m
√
(J2 − J1)(J1 − J3) sinµ cosnt− nJ1.
Здесь cosµ=−n/m 6= 0; постоянная интеграла площадей g = mJ1 6= 0.
3. Условия существования регулярных прецессий тяжелого гиро-
стата вокруг наклонной оси. Пусть γ ∦ ν, то есть sinχ 6= 0. В первую
очередь выясним, каким может быть соотношение между скоростями прецес-
сии и собственного вращения. Начнем с доказательства леммы:
Лемма 1. Если скорость прецессии m не кратна скорости собственного
вращения n, то прецессионные движения тяжелого гиростата с переменным
гиростатическим моментом невозможны.
Доказательство. Умножим динамическое уравнение системы (1) скаляр-
но на α× (α× ω). Получим соотношение, не содержащее λ :
(Jω̇,α× (α×ω)) = (Jω × ω,α× (α× ω)) + (e× ν,α× (α× ω)).
От скорости прецессии m в нем зависит только выражение
sinχ
n sinµ
(sin (mt+ ϕ0)(γ × γ̇,η)− cos (mt+ ϕ0)(γ̇,η)) , (21)
где η := (α × (α × ω)) × e. Остальные слагаемые – многочлены не выше
третьей степени относительно cosnt и sinnt. Следовательно, функция (21)
67
О.С. Волкова
также должна быть периодической по t с периодом 2π/n, откуда получаем
sin
πm
n
[
(γ̇,η) sin (m(t+
π
n
) + ϕ0)+ cos (m(t+
π
n
) + ϕ0)(γ × γ̇,η)
]
= 0. (22)
Пусть
m
n
/∈ Z – значит, множитель в квадратной скобке равен нулю. Предпо-
ложим, что (γ̇,η)2+(γ×γ̇,η)2 6= 0, тогда из (22) и (21) следует, что функция
cos (mt̃+ ϕ0)
[
(γ̇,η)
t=t̃
(γ̇,η)
t=t̃−
π
n
+ (γ × γ̇,η)
t=t̃
(γ × γ̇,η)
t=t̃−
π
n
]
должна быть многочленом относительно cosnt̃ и sinnt̃. Значит, при всех t̃
(γ̇,η)
t=t̃
(γ̇,η)
t=t̃−
π
n
+ (γ × γ̇,η)
t=t̃
(γ × γ̇,η)
t=t̃−
π
n
= 0. (23)
Отделим в (γ̇,η), (γ×γ̇,η) члены первого и второго порядков по sinnt, cosnt:
пусть (γ̇,η) = R1 +R2, (γ × γ̇,η) = S1 + S2, где
R̈1 = −n2R1, R̈2 = −4n2R2 + const;
S̈1 = −n2S1, S̈2 = −4n2S2 + const.
С учетом тождеств cos (nt− π) = − cosnt и sin (nt− π) = − sinnt условие
(23) принимает вид R2
1
+ S2
1
= R2
2
+ S2
2
. Значит, R1 = R2 = S1 = S2 = 0 и
(γ̇,η) = (γ× γ̇,η) = 0. Так как γ ⊥ γ̇, то должно выполняться η×γ=0, т.е.
((α× (α×ω))× e)× γ = 0. (24)
Проектируя (24) на α × e, получаем условия 1) e ‖ β ⊥ γ или 2) (α ×
e)× β=0.
1. В первом случае (24) сводится к [(α,ω)(α,γ)−m]β = 0, или
m(α,γ)2 + n(α,β)(α,γ) = m,
откуда (α,γ) = const, α ‖ β. Но тогда (α,γ) = 0 и m = 0, что приводит к
равномерным вращениям.
2. Проектируя (24) на α, получаем равенство
(α,e)[m(α,γ)2 + n(α,β)(α,γ)−m− n cosµ] = 0.
Возможность α ‖ β не рассматривается, так как снова приводит к m = 0.
Условие α ⊥ e в совокупности с α ⊥ β ⊥ e и n+m cosµ = 0 обращает (24)
в тождество. Выпишем при этих условиях проекцию (7) на вектор α× β :
m(Jγ̇,α× β) = −m(α,γ)[m(Jβ,γ) + n(Jβ,β)].
Правая часть не должна содержать членов второго порядка, поэтому Jβ ‖ β
и (Jβ,γ) = (Jβ,β) cos µ. Тогда (Jγ̇,α×β) = 0, а значит J(α×β) ‖ β, что
приводит к невозможному равенству (J(α× β),α× β) = 0. Таким образом,
условие (24) невыполнимо, но справедливо
m
n
∈ N. Лемма доказана.
Покажем, что отношение скоростей ограничено. Для этого можно вос-
пользоваться утверждением, которое здесь приведем без доказательства:
68
Регулярные прецессии гиростата
Предложение 1. Пусть ν(t) имеет вид (6). Тогда, если при некотором
ϑ = const степень тригонометрического полинома (ν(t), ϑ) меньше n +m ,
то она равна m и выполняется условие ϑ× β = 0.
Лемма 2. Если тяжелый гиростат совершает регулярную прецессию во-
круг наклонной оси, то скорости прецессии и собственного вращения связаны
равенствами m = n либо m = 2n. При этом λ(t) – тригонометрический по-
лином степени не выше 2n.
Доказательство. Выпишем проекции уравнения движения гиростата (7)
на векторы α, β, γ, α× β и γ × β :
m(Jγ̇,α) + λ̇ = m2(Jγ × γ,α) +mn(Jβ × γ + Jγ × β, α)+
+ n2(Jβ × β,α) + (e× ν, α),
(25)
λ̇(α, β) =
m2
n
(Jγ, γ̇) +
m
n
(α, γ̇)λ+ (e× ν, β), (26)
[m(Jγ,γ) + (α,γ)λ+ n(Jβ,γ)]′ = (e× ν,γ), (27)
m(Jγ̇,α× β) = − [m(γ,α) + n(α, β)] [λ(α, β) +m(Jβ, γ)]+
+ (n+m cosµ) (λ+m(Jγ,α))−mn(Jβ, β)(γ,α)+
+ (e× ν,α× β) + n2(Jβ × β,α× β) +mn(Jβ,α) cosµ,
(28)
m
n
(Jγ̇, γ̇) +
1
n
(α, γ̇)λ̇ = (n+m cosµ)[m(Jγ,γ) + (α,γ)λ ]−
−(α, β)λ(m+ n cosµ) + (n2 −m2)(Jβ,γ) + (e,γ)(ν, β)+
+const, const = −(Jβ,β)n(m+ n cosµ)− (e,β) cos χ.
(29)
1◦. Рассмотрим случай α ‖ β. Исключим λ из уравнений (26) и (27):
m(Jγ, γ̇)(2n +m cosµ) + n2(Jβ, γ̇) + cosµ cosχ(e, γ̇) =
= sinµ sinχ [(e, γ̇) sin (mt+ ϕ0)− n(e,β) cos (mt+ ϕ0)] .
Слева – тригонометрический полином степени не выше 2n, значит степень
правой части также не может быть большей. Поскольку (e, γ̇)2 +(e,β)2 6= 0,
то m ≤ 2n. Причем, если m = 2n, то обязательно e ‖ β.
2◦. Теперь рассмотрим случай α ∦ β. Предположим, что
m
n
≥ 3. Из
(26) видно, что степень λ как тригонометрического полинома не больше m,
поскольку степень (α, γ̇)λ не должна превышать степени (e× ν, β). Значит,
(25) не содержит членов порядка m+n, т.е. степень выражения (e×ν, α) не
больше m. Тогда, согласно предложению 1, α×e = 0 или (α,β) = (e,β) = 0.
Изучим первую возможность: пусть α ‖ e. Из (25) следует, что λ не
может быть тригонометрическим полиномом степени выше 2n. Значит, в
уравнении (26) нет членов степени выше 3n. Отсюда m ≤ 2n.
69
О.С. Волкова
Теперь предположим, что α ⊥ β ⊥ e. Продифференцируем (28) по t и
выпишем члены порядка m с точностью до множителя sinµ sinχ 6= 0 :
[m(α,e) cos (mt+ ϕ0) + (n+m cosµ)(α× e, β) sin (mt+ ϕ0)]. (30)
При доказательстве леммы 1 было показано, что если одновременно α ⊥ e
и n + m cosµ = 0, то уравнение (28) неразрешимо. При (α,e) 6= 0 степень
полинома (30) понизить невозможно. Полученное противоречие показывает,
что m/n < 3. Доказательство завершено.
Теперь сформулируем лемму о расположении центра масс гиростата. Для
ее доказательства снова понадобится вспомогательное утверждение:
Предложение 2. Пусть f(t), g(t)– тригонометрические полиномы степе-
ней k1, k2. Тогда выражение ḟ ġ+ k1k2fg не содержит членов степени k1+ k2.
Лемма 3. Условие e ‖ β является необходимым для существования ре-
гулярных прецессий тяжелого гиростата вокруг наклонной оси.
Доказательство. 1◦. Пусть сначала α ∦ β. Обозначим k :=
m
n
∈ {1, 2}.
Умножим уравнение (26) на (k + 1)n/m и вычтем его из (27):
m [(1− k)(Jγ, γ̇) + (α, γ)λ̇− k (α, γ̇)λ ]+
+ n [m(Jβ, γ̇)+(k + 1)(α,β)λ̇ ] =
= m(e × ν,γ) + (k + 1)n(e × ν,β).
(31)
Сравним в полученном соотношении члены старшей степени относительно
cosnt и sinnt. Поскольку (α, γ) = −(α, γ̈)/n2 + const, из предложения 2
следует, что слагаемое (α, γ)λ̇ − k(α, γ̇)λ не содержит (k + 1)-ой степени.
Максимально возможный порядок выражения (Jγ,γ̇) – второй. Значит, пра-
вая часть (31) также не должна в разложении по sinnt, cosnt содержать
(k+1)-ой степени. Выпишем старшие члены без учета множителя sinχ/ sinµ:
[m+ n(k + 1) cos µ ] sin (mt+ ϕ0)(e,γ × β)+
+ [m cosµ+ n(k + 1)] cos (mt+ ϕ0)(e,γ).
(32)
Применяя предложение 2, заключаем, что (32) не содержит старшей степени
только при выполнении равенства
(2k + 1)(m cos µ+ kn)(e× β) = 0.
Поскольку cosµ + 1 6= 0, то обязательно должно выполняться e ‖ β. 2◦.
Теперь исследуем возможность α ‖ β. Предположим, что e ∦ β. Тогда из
(26) следует, что m = n. Приравняем в (27) старшие члены:
n(Jγ, γ̇)2n(2 + cosµ) = sinµ sinχ(e,γ × β) sin (nt+ ϕ0), (33)
70
Регулярные прецессии гиростата
Продифференцируем уравнение (29) и подставим λ̇ из (26). Принимая во
внимание тождество (Jγ̇, γ̇)˙= −2n2(Jγ, γ̇)2n, заключаем, что выражение
n(Jγ, γ̇)2n(1− cosµ)− 2 sinµ sinχ(e,γ) cos (nt+ ϕ0) (34)
не должно содержать членов порядка 2n. Сопоставляя (33) и (34) делаем
вывод, что функция
2(2 + cosµ)(e,γ) cos (nt+ ϕ0)− (1− cosµ)(e,γ × β) sin (nt+ ϕ0) (35)
представляет собой полином первой степени по cosnt, sinnt. Учитывая, что
γ = Uξ, где U и ξ определены в (4), (5), выпишем в (35) старшие коэффи-
циенты:
3(cosµ+ 1) [(β × e,β × i) cosϕ0 + (β × e, i) sinϕ0] = 0,
3(cosµ+ 1) [(β × e, i) cosϕ0 − (β × e,β × i) sinϕ0] = 0.
Первый сомножитель при γ ∦ β в нуль не обращается. Чтобы система была
разрешима относительно cosϕ0 и sinϕ0, должно выполняться
(e,β × i)2 + (e, (β × i)× β)2 = 0,
а это возможно лишь в случае e ‖ β. Что и требовалось доказать.
Приведем теорему о необходимых и достаточных условиях существования
регулярных прецессий вокруг наклонной оси. Достаточность условий пони-
мается здесь в том смысле, что они обеспечивают возможность прецессион-
ного движения, если моменты инерции системы удовлетворяют некоторым
дополнительным неравенствам. Указанные неравенства, а также зависимо-
сти угла наклона оси и скорости прецессии от параметров будут выписаны
при доказательстве теоремы.
Теорема 2. Тяжелый гиростат с переменным гиростатическим моментом
λ(t)=λ(t)α может совершать регулярную прецессию вокруг наклонной оси,
только если справедливо условие
(e× β)2 + (γ,β)2 + (J(β ×α)× (β ×α), β)2 = 0.
Допустимые скорости прецессии и собственного вращения связаны соотно-
шением (m − n)(m − 2n) = 0, причем равенство m = 2n возможно тогда
и только тогда, когда α ‖ β. Функция λ(t) при этом – многочлен соответ-
ственно первой или второй степени относительно cosnt, sinnt.
Доказательство. Необходимость выполнения условий e×β = 0 и (m−
n)(m− 2n) = 0 установлена в леммах 2, 3. Докажем остальные утверждения
теоремы.
1◦. Начнем с основного случая α ∦ β. Поскольку в уравнении (26) два
первых члена – полиномы не выше второй степени относительно cosnt и
sinnt, то и (α, γ̇)λ не содержит третьей степени т.е. m = n и λ(t)– линейная
комбинация cosnt и sinnt. Выпишем выражение (31) при k = 1 :
(α, γ)λ̇− (α, γ̇)λ+ n(Jβ, γ̇)+2(α,β)λ̇ = (ν × γ, β)(e, β).
71
О.С. Волкова
Аналогично доказательству теоремы 1 отсюда получаем, что λ(t) линейно
относительно (α,γ), а анализ старших членов в (27) дает условия c1 = nζ и
(J(β ×α)× (β ×α), β) = 0, или, что то же самое,
(Jβ × β,α)(α,β) = (Jα× β,α). (36)
Итак, осталось показать, что (γ,β) = 0. Предположим противное: пусть
cosµ 6= 0. Анализ линейных по γ членов в (26) дает условие
n cosµ(Jβ × β) = [c2 + nζ(α,β)(cosµ− 1)](β ×α),
проектированием которого на α и β ×α получаем (Jβ × β,α) = 0 и
c2 = nζ(α,β)(1 − cosµ) + n cosµ(Jβ × β,β ×α)/(β ×α)2.
Из (36) следует, что и (Jα × β,α) = 0, т.е. α и β принадлежат главной
плоскости эллипсоида инерции. Далее будем считать, что α1 = β1 = 0.
Подсчет линейного члена в уравнении (27) позволяет выразить cos (nt+ϕ0):
(e,β) sinχ sinµ cos (nt+ ϕ0) = −Φ(γ̇,α), (37)
Φ := n [cosµ+ 1] ((J1 − J3)α2β2 + (J1 − J2)α3β3)/(β ×α)2.
Ввиду (36) и (37) требование тождественности (25) по членам второго поряд-
ка сводится к условию Φ[(cosµ + 1)2 − sin2 µ]n2 = 0. Поскольку n cosµ 6= 0,
то выражение в квадратной скобке в нуль не обращается. Но и равенство
Φ = 0 также невозможно: левая часть (37) представляет собой ненулевое
выражение. Полученное противоречие показывает, что исходное предполо-
жение cosµ 6= 0 не верно. Итак, далее полагаем γ ⊥ β.
Покажем, что найденные условия являются не только необходимыми, но
и достаточными. В качестве полного набора скалярных уравнений возьмем
проекции динамического уравнения на взаимноортогональные векторы β, γ
и γ×β. Они выписаны ранее под номерами (26), (27) и (29) соответственно.
Рассмотрим (26). Учитывая, что λ задается формулой (16), а (Jγ, γ) в
случае cosµ = 0 содержит только cos 2nt, sin 2nt и постоянную, сравним в
обеих частях (26) линейные члены. Получим c2 = (α, β)c1,
λ = nζ [(α, γ) + (α, β)] , (38)
где постоянная ζ определена в (18) при выполнении условия (36). Подстанов-
ка (38) в уравнение (26) обращает его в тождество. В уравнении (27) осталось
обеспечить равенство по членам первого порядка:
(Jβ,α× β)
n(α×β)2
(α,γ̇)−
[
ζ(α,β) +
(Jβ×β,α×β)
(α×β)2
]
(α,γ) =
=
sinχ(e, β)
n2
sin(nt+ϕ0).
(39)
72
Регулярные прецессии гиростата
Если слева коэффициенты при cosnt и sinnt одновременно не равны нулю, то
полученное соотношение позволяет найти ϕ0 и зависимость sinχ от распре-
деления масс гиростата, направления оси собственного вращения и скорости
прецессии. Левая часть выражения (39) не постоянна только тогда, когда
(Jβ,α×β)2 +
[
ζ(α, β) +
(Jβ×β,α×β)
(α× β)2
]2
6= 0. (40)
Рассмотрим (29) – последнее из выбранного нами набора уравнений. При
выполнении всех изложенных выше требований оно сводится к равенству
ζ(α, β)2 + (Jβ, β) = −
cosχ(e, β)
n2
. (41)
Условия (39) и (41) совместны. Выразив из них sinχ и cosχ и записав
основное тригонометрическое тождество sin2χ + cos2χ = 1, получим зави-
симость n от параметров гиростата и направлений векторов α и β:
[ζ(α, β) + (Jβ,α)]2 +
(Jβ×α,α×β)2 + (Jβ,α×β)2
(α× β)2
=
|e|2
n4
. (42)
Итак, если выполняются условия (36), (40), то λ вида (38) обращает в
тождества уравнения (26), (27), (29). Если при этом ζ 6= 0, то и λ(t) 6= const.
Совместность условий на моменты инерции будет продемонстрирована ниже.
2◦. Положим α = β. В качестве системы независимых уравнений сно-
ва возьмем (26), (27) и (29). Дифференцируем (29), подставляем λ̇ из (26)
и исключаем из полученного выражения (ν̇ , β) = m(ν × γ, β) с помощью
соотношения (27). В результате имеем
(Jβ, γ̇)
[
2m
n
cos3 µ+ 4cos2µ+
(
3n
m
−
m
n
)
cosµ+
( n
m
)2
− 1
]
+
+(Jγ, γ̇)2n
[
2m
n
cos2µ+ 4cos µ +
4n
m
−
m
n
]
= 0.
(43)
Очевидно, что оба слагаемых должны быть равны нулю. При m = n это
возможно лишь когда (Jγ, γ)2n = 0 и (Jβ×β)(γ,β) = 0. Но в этом случае
(Jγ,γ) ≡ const и, соответственно, λ ≡ const.
При m = 2n условие (43) выполняется, только если Jβ ‖ β⊥γ. Кроме
того, должно быть справедливым (Jγ, γ)2n 6=0, иначе λ ≡ const. Эти условия
позволяют из указанного набора уравнений определить λ(t), ϕ0 и m. Таким
образом, и в случае α ‖ β утверждение теоремы верно.
4. Решения уравнений движения, соответствующие регулярным
прецессиям тяжелого гиростата. Пусть условия теоремы 2 выполнены.
Выпишем явные решения уравнений движения гиростата с фиксированным
направлением гиростатического момента.
73
О.С. Волкова
а) Случай α ‖ β, m = 2n. C точностью до перестановки индексов сов-
местное выполнение условий Jβ ‖ β и (Jγ, γ)2n 6= 0 возможно лишь при
β1 = (J2 − J3)β2 = 0, J1 6= J2.
Выбором главных осей всегда можно обеспечить β=(0, 0, 1).
Тогда в разложении (6) ϕ0 =
π
2
, скорость прецессии m =
√
2(e, β) sinχ
(J1 − J2)
,
λ(t) = n[(J2 − J1) cos 2nt− J3]−
(e, β) cosχ
2n
.
Фазовые переменные ω и ν зависят от времени следующим образом:
ω1 = 2n sinnt, ω2 = 2n cosnt, ω3 = n,
ν1 = cosχ sinnt+ sinχ cosnt sin 2nt,
ν2 = cosχ cosnt− sinχ sinnt sin 2nt,
ν3 = − sinχ cos 2nt.
Отметим, что для гиростата с постоянным гиростатическим моментом регу-
лярные прецессии вокруг наклонной оси возможны только с равными скоро-
стями прецессии и собственного вращения [8, § 3.1].
б ) Случай J(α×β) ‖ α×β, m = n. Пусть вектор α×β направлен
вдоль первой главной оси, т.е. α1 = β1 = 0. Условие (36) в этом случае
выполнено, а постоянная ζ =
J1 − J2β
2
3
− J3β
2
2
(α× β)2
. Очевидно, что ζ 6= 0 тогда и
только тогда, когда не выполняется условие Гриоли. Кроме того, левая часть
неравенства (40) принимает вид (8), т.е. условие существования регулярных
прецессий уравновешенного гиростата также выполняться не должно. Угол
наклона оси прецессии и скорость n задаются равенствами
sinχ =
n2
(e, β)
(
(J3 − J1)α2β2 + (J2 − J1)α3β3
α2β3 − α3β2
)
,
n4 = |e|2
(
ζ2(α, β)2 + 2ζ(α, β)(Jβ,α) + |Jβ|2
)
−1
,
причем неравенство | sinχ| < 1 определяет дополнительные условия на па-
раметры. Зависимость λ(t) имеет вид
λ(t) =
(J1 − J2β
2
3
− J3β
2
2
)n
(α× β)2
[(α2β3 − α3β2) cosnt+ (α, β)] ,
при этом система уравнений движения гиростата (1) имеет решение
ω1 = n sinnt, ω2 = n(β2 + β3 cosnt), ω3 = n(β3 − β2 cosnt),
ν1 = sinnt(cosχ+ sinχ cosnt),
ν2 = cosnt(β3 cosχ− β2 sinχ)− β3 sinχ sin
2nt,
ν3 = − cosnt(β2 cosχ+ β3 sinχ) + β2 sinχ sin
2nt.
74
Регулярные прецессии гиростата
Выписанное ν(t) удовлетворяет разложению (6) с ϕ0 = π/2, что характерно
и для решения Гриоли. Для найденного решения также верны тождества
|ω|2 = 2n2 и n(ν, β) + sinχ(ω2β3 − ω3β2) = 0.
в) Случай (J(β × α) × (β × α),β) = 0, m = n, но векторы α и β
не лежат в одной главной плоскости. Тогда (Jβ × α, β) 6= 0 и неравенство
(40) справедливо, т.е. угол наклона оси прецессии (см. (41)) не равен нулю, а
скорость прецессии определяется из (42). При ζ 6= 0 функция λ(t) вида (38)
обеспечивает возможность прецессионного движения. Полученные ограниче-
ния на моменты инерции совместны. Пусть, например,
J2 = J3 6= J1, α1 = (α, β) = 0, (α2β3 − α3β2)β1 6= 0. (44)
Несложно проверить, что условие (36) при этом выполняется. Постоянная
ζ в этом случае равна (J1 − J2)(β
2
2 + β23) 6= 0. Функция λ(t) имеет вид
λ(t) = n(J1 − J2)
√
β2
2
+ β2
3
(α2β3 − α3β2) cos nt,
а зависимости n2 и cosχ от распределения масс выражаются формулами
n2 = |e||Jβ|−1, cosχ = −(Jβ,β)|Jβ|−1.
Итак, если параметры подчинены условиям (44), то система (1)уравнений
движения гиростата имеет решение (ω(t), ν(t)) , где ω = n(γ + β),
γ1=
√
β2
2
+β2
3
sinnt, γ2=
β3 cosnt−β1β2 sinnt
√
β2
2
+ β2
3
, γ3=
−β2 cosnt−β1β3 sinnt
√
β2
2
+ β2
3
,
а ν(t) удовлетворяет разложению (6) c ϕ0 = 0, и cosµ = 0. Остальные
решения этого семейства, определяемые условиями теоремы 2, могут быть
выписаны аналогичным образом.
Таким образом, в случае, когда направление гиростатического момен-
та фиксировано в относительном базисе, проведено полное исследование
возможных регулярных прецессий гиростата вокруг неподвижной наклонной
оси.
1. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел// Механика твердого
тела – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
2. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. – М: Мир, 1974. – 526 с.
3. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. – М.: Мир, 1980. – 292 с.
4. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси//
Тр. ИПММ НАНУ. – 2009. – 19. – C. 30-35.
5. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili
per un solido pesante asimmetrico // Ann. Mat. Pura ed Appl. Ser.4. – 1947.– 26 (4). –
P. 271-281.
75
О.С. Волкова
6. Горр Г.В., Илюхин А.А., Ковалев А.М., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения
механических систем. – Киев: Наук. думка, 1984. – 288 с.
7. Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегродифференциальное уравнение динамики
твердого тела. – Киев: Наук. думка, 1986. – 296 с.
8. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твер-
дого тела и в динамике систем связанных твердых тел. – Донецк: ДонНУ, 2009. –
222 с.
O.S.Volkova
Regular precessions of a gyrostat with fixed point in the gravity field
This article represents an investigation of regular precessions of a gyrostat about the fixed
inclined axis. For a gyrostat with variable gyrostatic momentum, whose direction is fixed in the
rotating frame, necessary and sufficient conditions of regular precession existence are obtained.
The inclination angle of precession axis dependence on both gyrostat parameters and the proper
rotation axis direction is computed. The respective value of gyrostatic momentum and solutions
of the motion equations are explicitly found. Among them the exact solution, which becomes
the Grioli one in the case of zero gyrostatic momentum, is presented. New solution, which
correspondents to the regular precession of a gyrostat when the precession velocity is twice as
much than proper rotation one, is also obtained.
Keywords: gyrostat, variable gyrostatic momentum, exact solutions, regular precession.
О.С.Волкова
Регулярнi прецесiї гiростата з нерухомою точкою в полi сили тяжiння
Вивчено регулярнi прецесiї гiростата навколо нерухомої похилої осi. У припущеннi, що
змiнний гiростатичний момент зберiгає напрямок у вiдносному базисi, отримано необхiднi
i достатнi умови iснування таких рухiв. Вказано залежнiсть кута мiж вiссю прецесiї та вер-
тикаллю вiд параметрiв гiростата та напрямку осi власного обертання. Знайдено величину
гiростатичного моменту та вiдповiднi розв’язки рiвнянь руху. В явному виглядi отримано
розв’язок, який у вiдсутностi гiростатичного момента вироджується у розв’язок Грiолi.
Знайдено також новий розв’язок, що вiдповiдає регулярнiй прецесiї важкого гiростата нав-
коло похилої осi зi швидкiстю, вдвiчi бiльшою за швидкiсть власного обертання.
Ключовi слова: гiростат, змiнний гiростатичний момент, точнi розв’язки, регулярна пре-
цесiя.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
volkova@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 01.09.10
76
|