Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья
Предложен новый взгляд на классификацию бифуркационных диаграмм и условия существования критических движений интегрируемой задачи о движении тяжелого гиростата при условиях типа Ковалевской (случай интегрируемости Х.М.Яхья). Построено разделяющее множество на плоскости “энергия–гиростатический момен...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28045 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья / М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 77-90. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28045 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280452011-10-27T12:10:34Z Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья Харламов, М.П. Харламова, И.И. Шведов, Е.Г. Предложен новый взгляд на классификацию бифуркационных диаграмм и условия существования критических движений интегрируемой задачи о движении тяжелого гиростата при условиях типа Ковалевской (случай интегрируемости Х.М.Яхья). Построено разделяющее множество на плоскости “энергия–гиростатический момент”, классифицирующее диаграммы на изоэнергетических уровнях. Выписаны конструктивно проверяемые условия существования критических движений в терминах параметров на поверхностях, несущих листы бифуркационных диаграмм. Запропоновано новий погляд на класифiкацiю бiфуркацiйних дiаграм i умови iснування критичних рухiв iнтегровної задачi про рух важкого гiростата при умовах типу Ковалевської (випадок iнтегровностi Х.М.Яхья). Побудовано подiляючу множину на площинi “енергiя – гiростатичний момент”, що класифiкує дiаграми на iзоенергетичних рiвнях. Виписано умови, якi перевiряються конструктивно, iснування критичних рухiв у термiнах параметрiв на поверхнях, що несуть листи бiфуркацiйних дiаграм. We consider the problem of motion of the heavy gyrostat in the case of Kowalevski–Yehia. To classify the bifurcation diagrams on iso-energetic levels we establish the existence of motion conditions in terms of parameters on the bifurcation surfaces. Obtaining these conditions in the form of explicit inequalities we build the separating set in the “energy-gyrostatic momentum” plane. Thus the electronic atlas of iso-energetic diagrams is created. 2010 Article Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья / М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 77-90. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28045 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложен новый взгляд на классификацию бифуркационных диаграмм и условия существования критических движений интегрируемой задачи о движении тяжелого гиростата при условиях типа Ковалевской (случай интегрируемости Х.М.Яхья). Построено разделяющее множество на плоскости “энергия–гиростатический момент”, классифицирующее диаграммы на изоэнергетических уровнях. Выписаны конструктивно проверяемые условия существования критических движений в терминах параметров на поверхностях, несущих листы бифуркационных диаграмм. |
| format |
Article |
| author |
Харламов, М.П. Харламова, И.И. Шведов, Е.Г. |
| spellingShingle |
Харламов, М.П. Харламова, И.И. Шведов, Е.Г. Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья Механика твердого тела |
| author_facet |
Харламов, М.П. Харламова, И.И. Шведов, Е.Г. |
| author_sort |
Харламов, М.П. |
| title |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_short |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_full |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_fullStr |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_full_unstemmed |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_sort |
бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата ковалевской–яхья |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28045 |
| citation_txt |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья / М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 77-90. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT harlamovmp bifurkacionnyediagrammynaizoénergetičeskihurovnâhgirostatakovalevskojâhʹâ AT harlamovaii bifurkacionnyediagrammynaizoénergetičeskihurovnâhgirostatakovalevskojâhʹâ AT švedoveg bifurkacionnyediagrammynaizoénergetičeskihurovnâhgirostatakovalevskojâhʹâ |
| first_indexed |
2025-07-03T08:05:40Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:05:40Z |
| _version_ |
1836612259467493376 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2011. Вып. 40
УДК 531.38
c©2011. М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов
БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ
НА ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЯХ
ГИРОСТАТА КОВАЛЕВСКОЙ–ЯХЬЯ
Предложен новый взгляд на классификацию бифуркационных диаграмм и условия суще-
ствования критических движений интегрируемой задачи о движении тяжелого гиростата
при условиях типа Ковалевской (случай интегрируемости Х.М.Яхья). Построено разде-
ляющее множество на плоскости “энергия–гиростатический момент”, классифицирующее
диаграммы на изоэнергетических уровнях. Выписаны конструктивно проверяемые условия
существования критических движений в терминах параметров на поверхностях, несущих
листы бифуркационных диаграмм.
Ключевые слова: гиростат Ковалевской, случай Яхья, бифуркационные диаграммы, изо-
энергетические уровни.
1. Постановка задачи. Случаем Ковалевской–Яхья называют задачу
о движении тяжелого гиростата, главные моменты инерции которого удовле-
творяют отношению 2:2:1, центр масс лежит в экваториальной плоскости, а
гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Подхо-
дящим выбором осей и единиц измерения уравнения движения приводятся к
виду
2ω̇1 = ω2(ω3 − λ), 2ω̇2 = −ω1(ω3 − λ)− α3, ω̇3 = α2,
α̇1 = α2ω3 − α3ω2, α̇2 = α3ω1 − α1ω3, α̇3 = α1ω2 − α2ω1,
(1)
где λ > 0. Фазовое пространство P5 = R
3
ω×S2
α определено в R
6 геометриче-
ским интегралом α
2 = 1. Система (1) была проинтегрирована П.В.Харламо-
вым на трехмерных подмногообразиях, состоящих из периодических решений
и их бифуркаций [1, 2]. Х.М.Яхья указал, в дополнение к классическим ин-
тегралам энергии и площадей, новый интеграл типа Ковалевской, получив
полную инволютивную систему [3]
H = ω2
1 + ω2
2 +
1
2
ω2
3 − α1, L = ω1α1 + ω2α2 +
1
2
(ω3 + λ)α3,
K = (ω2
1 − ω2
2 + α1)
2 + (2ω1ω2 + α2)
2 + 2λ[(ω3 − λ)(ω2
1 + ω2
2) + 2ω1α3].
(2)
Исследование множества критических точек отображения, порожденного
функциями (2), начато в [4–6] и завершено в работах [7, 8]. Как оказалось,
это множество исчерпывается решениями П.В.Харламова. В [7, 8] получены
и уравнения бифуркационных поверхностей, т.е. связных поверхностей Πj в
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №10-01-00043.
77
М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов
R
3(h, ℓ, k), объединение которых содержит в себе бифуркационную диаграм-
му Σ интегралов (2) как собственное подмножество1 . Пересечение Σj = Σ∩Πj
будем называть допустимой областью на бифуркационной поверхности Πj .
В работах [9–11] исследовалась эволюция сечений Sℓ множества Σ плос-
костями ℓ = const, которые с точки зрения гамильтоновой механики слу-
жат бифуркационными диаграммами приведенных систем с двумя степеня-
ми свободы, параметризованных постоянной площадей. В работе [12] ука-
зана топология регулярных интегральных многообразий для точек (h, ℓ, k)
из связных компонент R
3\Σ. Все перечисленные объекты и свойства зави-
сят от одного свободного параметра – величины гиростатического момента
λ. В связи с этим в работе [13] исследована зависимость диаграммы Sℓ(λ)
от двух параметров (ℓ, λ) и на плоскости этих параметров построено множе-
ство, при пересечении точек которого меняется тип Sℓ(λ). Кроме того, в [13]
для нулевой постоянной площадей построено множество в плоскости (λ, h),
классифицирующее типы графов Фоменко на трехмерных изоэнергетических
уровнях, вычислены эти графы и соответствующие неоснащенные молекулы.
Описание всех графов и молекул, включая случай ℓ 6= 0, приведено в ра-
боте [14]. Совокупность результатов по топологическим инвариантам случая
Ковалевской–Яхья подробно изложена в [15, гл. 9]. Наиболее полное иссле-
дование бифуркационных диаграмм содержится в [16], где, в частности, в
терминах некоторых вспомогательных параметров решена представляющая-
ся аналитически наиболее сложной задача определения допустимых областей
на бифуркационных поверхностях (см. [16, §5.3]).
Цель настоящей работы – основываясь на перечисленных результатах,
построить атлас бифуркационных диаграмм двух интегралов G = L2,K на
четырехмерных изоэнергетических уровнях Eh(λ) = {H = h} ⊂ P5. Вводя
вместо функции L ее квадрат, мы искусственно добавляем в каждую плоскую
диаграмму замыкающий ее отрезок прямой g = 0. Такая постановка связана
с тем, что только интеграл G имеет аналог в общем случае А.Г. Реймана–
М.А.Семенова-Тян-Шанского [17]. В частности, полученные ниже результа-
ты являются необходимым дополнением к классификации бифуркационных
диаграмм на изоэнергетических уровнях (пятимерных, ввиду отсутствия сим-
метрии) волчка и гиростата типа Ковалевской в двойном силовом поле [18–
20] Таким образом, будет решена задача классификации по параметрам h, λ
бифуркационных диаграмм Σh(λ) ограничения отображения G×K на под-
многообразие Eh(λ).
Понимая под атласом объектов полное описание классифицирующего
(разделяющего) множества в пространстве параметров и возможность указа-
ния для каждой неразделяющей точки этого пространства структурно устой-
чивого типа самого объекта, потребуем еще наличия диалоговой компьютер-
ной системы, которая позволяет осуществить визуализацию и детализацию
разделяющего множества и объекта при интерактивном изменении парамет-
ров. Пример такой системы реализован для диаграмм волчка в двойном поле
1Здесь и далее постоянные первых интегралов обозначаются строчными буквами, соот-
ветствующими обозначениям самих интегралов как функций на фазовом пространстве.
78
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях
по параметрам (h, γ), где γ – отношение напряженностей силовых полей [21].
Здесь возникает следующая проблема. Пусть Πj – одна из поверхностей, несу-
щих диаграмму Σ(β), где β – физический параметр задачи (β = λ для гиро-
стата Ковалевской–Яхья и β = γ для волчка в двойном поле). Предположим,
что уравнения для Πj записаны в параметрическом виде, необходимом для
построения изоэнергетических сечений, т.е. g, k выражены в зависимости от
h и некоторой второй координаты s. Для построения диаграмм с помощью
компьютера необходимо иметь алгоритм, позволяющий по любому h вычис-
лить промежутки фактического изменения параметра s в допустимой обла-
сти. Для волчка в двойном поле такой алгоритм реализован в [21] путем ука-
зания допустимых областей на бифуркационных поверхностях неравенства-
ми, в которых h выступает в роли параметра. Для гиростата Ковалевской–
Яхья эта проблема до сих пор не решена даже для диаграмм Sℓ(λ), что с
вычислительной точки зрения равносильно нашей постановке, поскольку в
параметрических уравнениях h и g = ℓ2 оказываются связанными линейно.
В настоящей работе получена вся необходимая информация для компьютер-
ной визуализации диаграмм гиростата Ковалевской–Яхья.
2. Критическое множество и бифуркационные поверхности.
Опираясь на результаты П.Е.Рябова и И.Н. Гашененко, представим множе-
ство критических точек отображения J = H×G×K : P5 → R
3(h, g, k) в виде
трех критических подсистем – трехмерных инвариантных подмногообразий
M1,M2,M3 в фазовом пространстве. Их образы под действием J лежат на
трех бифуркационных поверхностях, уравнения которых запишем в форме,
вытекающей из представления Лакса [17] при анализе особенностей возни-
кающей алгебраической кривой. Вводя параметр s как удвоенный квадрат
спектрального параметра на кривой, получим (подробности см. в работе [20]
для более общего случая):
Π1 :
g = (h− λ2
2
− s)s2,
k = 1 + (h− λ2
2
)2 − 4(h − λ2
2
)s+ 3s2,
(3)
Π2,Π3 :
g =
1
2
(h+
λ2
2
)− λ2s2 − 1
4s
,
k = −2λ2(h− λ2
2
− 2s)− λ4 +
1
4s2
.
(4)
Здесь s ∈ R для Π1, s < 0 для Π2 и s > 0 для Π3. В отличие от двойного
поля, поверхность Π1 имеет одну компоненту.
Движения на M1 соответствуют решению, построенному в [1] для произ-
вольного осесимметричного тензора инерции. Предполагая в этом решении
выполненными такие же условия на физические параметры, как в системе
(1), и выбирая на Π1 точку, заданную уравнениями (3) с параметрами h, s,
79
М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов
будем иметь
ω1 = p0, ω2 = 0, ω3 = r,
α1 = p20 +
1
2
r2 − h, α2 = R, α3 = −p0(r − λ),
(5)
где ṙ = R и
p20 = h− λ2
2
− s,
R2 = −1
4
r4 − (2p20 − h)r2 + 2λp20r + 1− (p20 − h)2 − p20λ
2.
Движения на M2 и M3 описываются решением П.В.Харламова, найден-
ным в работе [2]. При заданных h, s и g, удовлетворяющих (4), введем следу-
ющие обозначения
µ2 = g + λ2s2, ρ2 = 1− 2µ2
s
, F 2 =
1
2
[
(
X +
λ
µ
)2
+
(
ρY +
√
g
sµ
)2 − 1
]
,
(X,Y ) =
{
(cos σ, sin σ), ρ2 > 0 ,
(ch σ, i shσ), ρ2 < 0 .
Здесь i – мнимая единица, σ – вспомогательная переменная. Многообразия
M2,M3 описываются уравнениями
ω1 = −
√
g
s
− µρY, ω2 = −ρ
√
s F, ω3 = λ+ 2µX,
α1 =
λs
µ
X +
√
g
µ
ρY, α2 = −2µY
√
s F, α3 = −λs
µ
ρY +
√
g
µ
X,
(6)
а динамика задана уравнением σ̇2 = sgn(ρ2) s F 2. При этом s < 0 для M2 и
s > 0 для M3.
3. Бифуркационные диаграммы критических подсистем и суще-
ствование движений. Особым случаям внутри критических подсистем
отвечают особенности поверхностей (3), (4). Геометрия этих поверхностей до-
статочно хорошо изучена в работах [5, 7, 8, 16]. Нам понадобятся уточнения,
связанные с условиями существования критических движений. Имеется три
кривые, по которым Π1 пересекается с объединением Π2∪Π3 трансверсально.
В части, принадлежащей Σ, обозначим их через δ1, δ2, δ3 (необходимые фор-
мулы будут даны ниже). Кроме этого, поверхность Π1 касается Π3 по кривой,
пересечение которой с Σ обозначим через δ0.
Замечание 1. Указанные кривые и возникающие на них узловые точки,
будучи одними и теми же объектами в R
3(h, g, k), получают различное пред-
ставление в координатах на поверхностях Πj . Несмотря на это, их образы в
(s, h)-плоскостях будем для наглядности обозначать одинаково.
80
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях
По определению g > 0, поэтому в границы допустимых областей всегда
входят линии пересечения Πj с плоскостью g = 0. Обозначим соответствую-
щие кривые через γj (j = 1, 2, 3).
Введем следующую систему обозначений. Представляя кривую γj ⊂ Πj
в соответствующей (s, h)-плоскости, рассмотрим ее уравнение h = h(s). Ес-
ли в заданных пределах изменения h решение относительно s единственно,
то обозначим его через ξj(h, λ). Если же этих решений два, то обозначим
их через ξ−j (h, λ) < ξ+j (h, λ). Каждая из кривых δi может отображаться в
различных (s, h)-плоскостях. Проведем сечение образа δi в (s, h)-плоскости,
отвечающей поверхности Πj, на заданном уровне h. Если на рассматриваемой
ветви кривой точка пересечения единственна, то ее s-координату обозначим
через ηij(h, λ). Если же таких точек две, то их s-координаты обозначим через
η−ij(h, λ) < η+ij(h, λ).
Рассмотрим систему M1 с точки зрения условий существования веще-
ственных движений.
Утверждение 1. При заданных s, h вещественные решения (5) суще-
ствуют тогда и только тогда, когда p20 > 0 и R2(r) > 0 для некоторого r ∈ R.
Бифуркациям решений (5) отвечают точки (s, h), в которых либо p0 = 0,
либо многочлен R2(r) имеет кратный корень. Выбирая, следуя работе [7], этот
корень в качестве параметра, на дискриминантном множестве будем иметь
h = ϕ±(r) =
1
2
[
r(λ− r)± 2r − λ
r − λ
D
]
, s = ψ±(r) =
1
2
[
λ(r − λ)±D
]
,
D =
√
r2(r − λ)2 + 4 > 0.
(7)
Из предложения 1 получим следующее утверждение.
Утверждение 2. Бифуркационная (s, h)-диаграмма критической систе-
мы M1 состоит из следующих множеств:
γ1 : h = s+
λ2
2
, s > −1− λ2
2
;
δ1 : h = ϕ−(r), s = ψ−(r), r ∈ [0, λ);
δ2 : h = ϕ+(r), s = ψ+(r), r ∈ (−∞, 0];
δ3 : h = ϕ+(r), s = ψ+(r), r ∈ (λ,+∞).
При этом внешними границами области существования движений служат
кривые γ1, δ1 и δ3.
Диаграмма системы M1 показана на рис. 1, a. Здесь и далее на аналогич-
ных рисунках звездочкой отмечены связные компоненты дополнения диа-
граммы, не входящие в допустимую область.
Точки A1, A2 отвечают глобальным критическим значениям энергии
A1,2 : h = ∓1, λ > 0. (8)
81
М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов
A
5d
1
d
2
d
3
A
1
g
1
A
4
A
2
A
3
s
h
1
-1
s
h
d
3
1
-1
d
1
g
2
A
3
A
1
a b
*
*
*
*
Рис. 1. Допустимые области: a) для M1, b) для M2.
На кривой δ1 зависимость h(r) монотонна, поэтому для любого h >= −1
существует единственное решение
r− = r−(h, λ) ∈ [0, λ) (9)
уравнения ϕ−(r) = h. Очевидно, по принятым обозначениям, η11 = ψ−(r−).
Перестройки h-сечений допустимой области происходят при прохождении
величиной h, в дополнение к значениям (8), экстремумов на кривых δ2, δ3, т.е.
точек, обозначенных через A3 −A5. Уравнение ϕ′
+(r) = 0 распадается на два
(2r − λ)(r − λ)−D = 0, (10)
r(2r − λ)(r − λ) + λD = 0. (11)
Вычисляя ψ′
+(r), убеждаемся, что условие (10) задает экстремумы на гладких
участках – точки A3, A4, а условие (11) определяет точку возврата A5. Из (10)
получаем уравнение
(r − λ)3(3r − λ)− 4 = 0, (12)
которое имеет ровно два корня, причем верхний всегда больше λ, поэтому
это единственный экстремум h на δ3 (точка A3), а нижний оказывается непо-
ложительным лишь при λ 6
√
2. В последнем случае имеем экстремум h
на δ2 (точка A4). Явной функции h(λ) в этих точках построить не удается.
Поступим следующим образом. Положим в уравнении (12)
x = λ− r. (13)
Из (12) выразим λ(x), а из (13) найдем r(x) и подставим в выражение для h
на кривых δ2, δ3. Получим
λ =
3x4 − 4
2x3
, r =
x4 − 4
2x3
, h =
3
8
x2 +
2
x6
,
82
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях
где x ∈ [− 4
√
4/3 , 0) для A3 и x ∈ [ 4
√
4/3 ,
√
2 ] для A4. Поскольку λ > 0, можно
записать единую параметризацию зависимости h и λ, положив u = x2:
A3,4 : h3,4 =
3
8
u+
2
u3
, λ23,4 =
(3u2 − 4)2
4u3
, u ∈ (0, 2]. (14)
При h > h3 уравнение ϕ+(r) = h имеет ровно два вещественных корня в об-
ласти r ∈ (λ,+∞). Их подстановка в функцию ψ+ дает зависимости η−
31
(h, λ)
и η+
31
(h, λ) на монотонных участках δ3. Очевидно, η−
31
< η+
31
< ξ1 = h− λ2/2.
Уравнение (11) вместе с уравнением кривой δ2 дает в точке возврата
A5 : h5 =
1
4
[
(4 + λ4/3)3/2 − λ2/3(6 + λ4/3)
]
, λ > 0. (15)
Утверждение 3. Допустимая область на поверхности Π1 описывается
следующим образом:
h ∈ (−∞,−1) ⇒ s ∈ ∅;
h ∈ [−1, h3] ⇒ s ∈ [η11, h− λ2
2
];
h ∈ (h3,+∞) ⇒ s ∈ [η11, η
−
31
] ∪ [η+
31
, h− λ2
2
].
Подчеркнем, что η11, η
−
31
, η+
31
– однозначно определенные и эффективно
вычисляемые функции от h, λ.
Для систем M2,M3 условие g > 0 равносильно
h > hmin =
1− λ2s+ 4λ2s3
2s
, (16)
а из уравнений (6) следует, что sgn(ρ2) = sgn(Y 2) и sgn(ρ2) = sgn(sF 2). Пусть
Y∗ = Y , если ρ вещественно, и Y∗ = iY , если ρ чисто мнимое. Тогда в плоско-
сти (X,Y∗) кривая Γ0, заданная тождеством X2+Y 2 = 1, представляет собой
окружность или гиперболу, в то время как кривая Γ1, заданная уравнением
F 2(X,Y ) = 0, при всех ρ2 6= 0 есть эллипс. Отметим также следующие из
определений равенства
ρ2 =
htan − h
s
, htan =
1− λ2s+ 2s2
2s
, hmin − htan = −s(1− 2λ2s). (17)
Здесь h = htan(s) – зависимость на кривой δ0 касания поверхностей Π1 и Π3.
Из (16), (17) получаем следующее утверждение.
Утверждение 4. Для существования вещественных решений (6) при за-
данных s, h необходимо и достаточно выполнение условия (16) и следующих
условий:
1) при s < 0 окружность Γ0 и эллипс Γ1 имеют общую точку;
2) при s > 0, ρ2 > 0 окружность Γ0 не лежит целиком строго внутри
области, ограниченной эллипсом Γ1;
3) при s > 0, ρ2 < 0 гипербола Γ0 и эллипс Γ1 имеют общую точку.
83
М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов
Отсюда следует, что бифуркации решений по s, h происходят в случаях
касания кривых второго порядка Γ0 и Γ1. Обозначая в точке касания ω3 = r
(здесь это константа), получим выражения
h = ϕ±(r), s = θ±(r) =
r − λ
4λ
[
r(r − λ)∓D
]
, (18)
где D,ϕ± определены в (7). Это совпадение не случайно, поскольку найден-
ные значения отвечают точкам трансверсального пересечения поверхности
Π1 с Π2,Π3. Выражения для s различны, так как они определяют одну из
компонент нормали к соответствующей поверхности в общей точке.
Анализируя условия предложения 4 в областях, на которые полуплос-
кость s < 0 делится кривыми (18), с учетом условия (16) приходим к следу-
ющему результату.
Утверждение 55. Бифуркационная (s, h)-диаграмма критической си-
стемы M2 состоит из следующих множеств:
γ2 : h = hmin(s), s 6 −1
2
;
δ1 : h = ϕ−(r), s = θ−(r), r ∈ [0, λ);
δ3 : h = ϕ+(r), s = θ+(r), r ∈ (λ,+∞).
Внешними границами области существования движений служат γ2 и δ1.
Поскольку зависимость (9) на δ1 уже известна, получаем η12 = θ−(r−). На
кривой γ2 имеем
h′min(s) =
1
2s2
(8λ2s3 − 1).
Поэтому при отрицательных s уравнение h = hmin(s) имеет единственное ре-
шение s = ξ2(h, λ). Тогда из предложения 5 получим следующее утверждение.
Утверждение 6. Допустимая область на поверхности Π2 описывается
следующим образом:
h ∈ (−∞,−1) ⇒ s ∈ ∅;
h ∈ [−1,+∞) ⇒ s ∈ [ξ2, η12].
И здесь функции η12(h, λ), ξ2(h, λ) эффективно вычисляются.
Диаграмма системы M2 показана на рис. 1, b. Новых разделяющих зави-
симостей между h и λ не появляется, поскольку узловые точки A1 и A3 уже
учтены в системе M1.
Замечание 2. Отметим двойственность, типичную для случая, когда
ребро возврата одной бифуркационной поверхности попадает на другую. Воз-
никающий след в параметрах одной поверхности дает экстремум на гладкой
кривой, а в параметрах другой порождает точку возврата. Здесь это видно
для точки A3, но ниже проявится и для точек A4, A5.
84
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях
Для системы на M3 к уже известным уравнениям бифуркаций реше-
ний (6) добавляется разделяющий случай ρ2 = 0. Из последнего равен-
ства (17) определяются значения s, при которых эта кривая лежит в области
(16).
Утверждение 7. Бифуркационная (s, h)-диаграмма критической систе-
мы M3 состоит из следующих множеств:
δ0 : h = htan(s), 0 < s 6
1
2λ2
;
δ2 : h = ϕ+(r), s = θ+(r), r ∈ (−∞, 0];
γ3 : h = hmin(s), s ∈ I(λ),
где
I(λ) =
(0,+∞), λ2 6 8/(3
√
3) ,
(0, s∗] ∪ [s∗,+∞), 8/(3
√
3) 6 λ2 6 2 ,
(0, s∗] ∪ [1/2,+∞), λ2 > 2 ,
s∗(λ) < s∗(λ) – абсциссы точек касания кривых δ2 и γ3, существующих при
значениях λ2 > 8/(3
√
3).
Внешними границами допустимой области служат:
1) кривая γ3 в указанных пределах;
2) кривая δ0 в пределах
s ∈
{
(0, 1/(2λ2/3)], λ2 6 1/(2
√
2)
(0,
√
1 + λ4 − λ2], λ2 > 1/(2
√
2)
;
3) кривая δ2 в пределах
s ∈
{
[s∗, s
∗], 8/(3
√
3) 6 λ2 6 2
[s∗, 1/2], λ2 > 2
.
Кривая δ2 заканчивается на кривой γ3 при r = 0, s = 1/2. Это – отме-
ченная ранее точка A2. Уравнение для точки возврата кривой δ2 совпадает с
(10), поэтому это точка A4. Экстремум h на δ2 – это точка A5 (замечание 2).
Кривая δ2 имеет с кривой δ0 точку касания A6 при s =
√
1 + λ4 − λ2,
r = −λ для всех λ > 0. Точка их трансверсального пересечения A7, в которой
s = 1/(2λ2/3), r = λ− 1/ 3
√
λ, существует при 0 < λ ≤ 1. Верхняя граница s на
δ0 определяется из последнего уравнения (17) точкой A8 пересечения с кривой
γ3. При условии λ2 < 1/
√
2 на кривой δ0 реализуется минимум h, равный√
2 − λ2/2. Соответствующая точка A9 лежит левее A7 при λ2 < 1/(2
√
2), а
при увеличении λ она находится правее A6 и на допустимую область уже не
влияет. При проходе кривой δ0 в сторону увеличения s точка A6 встречается
раньше, чем A7. При λ2 = 1/(2
√
2) они совпадают (причем сразу же и с A4,
A9 ), затем снова расходятся. Отметим еще минимум h на кривой γ3 (точка
A10), равный (3λ2/3 − λ2)/2.
85
М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов
На рис. 2 показаны первые три варианта бифуркационной (s, h)-диаграм-
мы при возрастании λ: 1) 0 < λ2 < 1/(2
√
2); 2) 1/(2
√
2) < λ2 < 1; 3) λ2 > 1.
Проверка условий предложения 4 показывает, что движения невозможны в
области, ограниченной двумя бесконечными отрезками кривых δ2 и δ0 до точ-
ки пересечения A7 в первом случае и до точки касания A6 при остальных λ .
Как отмечалось, это свойство впервые доказано (в иных терминах и пара-
метрах) в работе [16]. Обсуждаемая недопустимая область на рис. 2 указана
звездочкой со стрелками.
d
2
A
2
A
8
A
6
A
4
A
7
d
2
d
0
g
3
d
2
g
3
g
3
d
0d
0
A
2
A
2
A
8
A
8
A
4
A
4
A
6
A
6
A
7
s
h hh
ss
A
10
A
10
A
10
A
5
A
5
*
*
*
*
*
*
Рис. 2. Допустимая область для M3.
Замечание 3. Строго говоря, пересечение кривой δ0 не всегда сопровож-
дается топологическими бифуркациями решений, но заведомо меняется их
аналитическое представление (6). Как следует из результатов [20], эта кривая
также отвечает за вырождение индуцированной симплектической структуры
на соответствующем четырехмерном критическом подмногообразии фазового
пространства TSO(3) нередуцированной системы.
d
2
A
2
h
s
A
4
A
12
g
3
A
12
A
11
A
10
d
2
g
3
A
5
h
s
a b
A
2
*
*
* *
Рис. 3. Эволюция особых точек в окрестности λ
2 = 2.
Приведенными тремя случаями видоизменения (s, h)-диаграммы на M3
86
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях
не исчерпываются. Точка возврата A4 кривой δ2 существует лишь при λ2 < 2.
При λ2 = 2 она сливается с A2 и после этого исчезает. При r < 0 имеем
ϕ+(r)− hmin(θ+(r))
θ+(r)
= − λr
(r − λ)2
[λ(r − λ) +D]2 > 0,
поэтому другие возможные общие точки γ3 и δ2 оказываются точками каса-
ния и подчинены уравнению
(λ− r)3(λ+ r)− 4 = 0. (19)
Оно имеет вещественные корни лишь при λ2 > 8/(3
√
3). В случае строгого
неравенства таких корней два, нижний всегда отрицателен, а верхний отри-
цателен лишь при λ2 < 2. Поэтому если 8/(3
√
3) < λ2 < 2, то между точками
A6, A4 кривая δ2 имеет еще две точки касания A11, A12 с кривой γ3. Соответ-
ствующие значения s в предложении 7 обозначены через s∗, s
∗. При λ2 = 2
точка A12 сливается с A4 и A2 и при λ2 > 2 уходит из допустимой области
вместе с точкой возврата (см. рис. 3). При g = 0 между точками A8 и A2
имеем ρ2 = 1 − 2λ2s < 0, поэтому совместность уравнений (6) равносильна
существованию решений системы неравенств
X2
> 1, Q(X) = 2λ2s3(X2 − 1) + 2sX + 1 6 0.
Между точками A11 и A12 дискриминант Q(X) отрицателен, а при λ2 > 2
между точками A11 и A2 оба корня Q(X) по модулю меньше 1. Поэтому
на этих интервалах кривой γ3 вещественных решений не существует. Следо-
вательно, при λ2 > 8/(3
√
3) нижней границей допустимой области является
соответствующий участок кривой δ2 (от A11 до A12 при λ2 6 2 и от A11 до A2
при λ2 > 2). Неявную зависимость h и λ для A11,12 можно параметризовать,
используя для уравнения (19) замену (13).
В разделяющее множество на плоскости (h, λ) для атласа диаграмм Σh(λ),
в дополнение к найденным ранее кривым (8), (14), (15), необходимо включить
кривые, отвечающие зависимостям между h и λ в новых особых точках:
A6 : h6 =
3
2
√
1 + λ4 − λ2, λ > 0;
A7 : h7 = −λ
2
2
+ λ2/3 +
1
2λ2/3
, 0 < λ 6 1;
A8 : h8 =
1 + λ4
2λ2
, λ > 0;
A9 : h9 =
√
2− λ2/2, 0 6 λ 6
√
1/(2
√
2);
A10 : h10 =
1
2
(3λ2/3 − λ2), 0 6 λ 6
√
8/(3
√
3);
A11,12 : h11,12 =
1
8
x2 +
2
x2
− 2
x6
, λ =
1
2
x+
2
x3
, x ∈ [
√
2,+∞).
(20)
87
М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов
Для явного указания интервалов изменения s в зависимости от λ, h обо-
значим через ζ− < ζ+ решения уравнения h = htan(s) при h > h9
ζ±(h, λ) =
1
2
h+
λ2
2
±
√
(
h+
λ2
2
)2
− 2
и напомним, что положительные решения уравнения h = hmin(s) при h > h10
обозначаются ξ−
3
< ξ+
3
. Здесь и далее hj определены в соответствии с (20).
При λ2 6 1/(2
√
2) на участке кривой δ2 при h > h7, а при остальных
λ – на участке h > h6 имеем однозначную зависимость s = η23(h, λ). При
λ2 > 8/(3
√
3) на монотонно убывающем бесконечном участке кривой δ2 до
пересечения с точкой A11 имеем решение s = η−
23
(h, λ), а от точки A12 до
точки A2 – решение s = η+
23
(h, λ). Получаем следующее утверждение.
Утверждение 8. Допустимая область на поверхности Π3 такова:
при 0 < λ2 6 1/(2
√
2)
h ∈ (−∞, h10) ⇒ s ∈ ∅,
h ∈ [h10, h9] ⇒ s ∈ [ξ−
3
, ξ+
3
],
h ∈ (h9, h7) ⇒ s ∈ [ξ−
3
, ζ−] ∪ [ζ+, ξ+
3
],
h ∈ (h7,+∞) ⇒ s ∈ [ξ−
3
, ζ−] ∪ [η23, ξ
+
3
];
при 1/(2
√
2) 6 λ2 6 8/(3
√
3)
h ∈ (−∞, h10) ⇒ s ∈ ∅,
h ∈ [h10, h6] ⇒ s ∈ [ξ−
3
, ξ+
3
],
h ∈ (h6,+∞) ⇒ s ∈ [ξ−
3
, ζ−] ∪ [η23, ξ
+
3
];
при 8/(3
√
3) 6 λ2 6 2
h ∈ (−∞, h5) ⇒ s ∈ ∅,
h ∈ [h5, h12] ⇒ s ∈ [η−
23
, η+
23
],
h ∈ [h12, h11] ⇒ s ∈ [η−
23
, ξ+
3
],
h ∈ [h11, h6] ⇒ s ∈ [ξ−
3
, ξ+
3
],
h ∈ (h6,+∞) ⇒ s ∈ [ξ−
3
, ζ−] ∪ [η23, ξ
+
3
];
при λ2 > 2
h ∈ (−∞, h5) ⇒ s ∈ ∅,
h ∈ [h5, h2] ⇒ s ∈ [η−
23
, η+
23
],
h ∈ [h2, h11] ⇒ s ∈ [η−
23
, ξ+
3
],
h ∈ [h11, h6] ⇒ s ∈ [ξ−
3
, ξ+
3
],
h ∈ (h6,+∞) ⇒ s ∈ [ξ−
3
, ζ−] ∪ [η23, ξ
+
3
].
88
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях
Для пороговых значений λ, естественно, можно пользоваться любым из
двух подходящих представлений.
Таким образом, представлена вся информация по классификации бифур-
кационных диаграмм на изоэнергетических уровнях гиростата Ковалевской–
Яхья. Разделяющее множество C на плоскости (h, λ) задано уравнениями
(8), (14), (15), (20). Отметим, что пересечение C с осью λ = 0 дает значения
h = −1, 0, 1,
√
2,
3
2
,
√
3, 2, классифицирующие изоэнергетические диаграм-
мы классического волчка Ковалевской (см., например, предельный случай
в [19]).
Программы символьных вычислений позволяют вывести на экран ком-
пьютера множество C и, выбирая интерактивно точку в какой-либо из об-
ластей, получить при необходимости детализацию окрестности этой точки.
Позиционируя окончательное значение пары параметров (h, λ) в более мел-
ком масштабе, согласно предложениям 3, 6, 8 строим диаграмму Σh(λ) по
формулам (4), (3) с уже вполне определенными промежутками изменения
параметра s. В результате получаем компьютерную систему, реализующую
построение искомого электронного атласа.
1. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Изд-во НГУ. – 1965. – 221 с.
2. Харламов П.В. Один случай интегрируемости уравнений движения твердого тела, име-
ющего неподвижную точку // Механика твердого тела. – 1971. – № 3. – С. 57-64.
3. Yehia H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Commun. –
1986. – 13, 3. – P. 169-172.
4. Гашененко И.Н. Новый класс движений тяжелого гиростата // Докл. АН СССР. –
1991. – 318, 1. – С. 66-68.
5. Рябов П.Е. Некоторые случаи вырождения переменных в одной задаче о движении
твердого тела вокруг неподвижной точки // Деп. в ВИНИТИ. – 1991. – № 3660-В91. –
9 с.
6. Гашененко И.Н. Один случай интегрируемости уравнений движения гиростата // Ме-
ханика твердого тела. – 1992. – № 24. – С. 1-4.
7. Гашененко И.Н. Бифуркационное множество задачи о движении гиростата, подчинен-
ного условиям Ковалевской // Там же. – 1995. – № 27. – С. 31-35.
8. Рябов П.Е. О вычислении бифуркационного множества в случае Ковалевской–Яхьи //
Механика твердого тела. – 1995. – № 27. – С. 36-40.
9. Рябов П.Е. Перестройки бифуркационного множества в обобщенной задаче С.В. Кова-
левской // Деп. в ВИНИТИ. – 1996. – № 884-В96. – 7 с.
10. Рябов П.Е. Об одном свойстве бифуркационных кривых // Деп. в ВИНИТИ. – 1996.
– № 1954-В96. – 16 с.
11. Рябов П.Е. Бифуркационные множества в задаче о движении твердого тела вокруг
неподвижной точки // Вестн. ВолГУ. – 1996. – № 1. – С. 41-49.
12. Гашененко И.Н. Бифуркационное множество в задаче о движении тяжелого гиростата
при Ковалевской // Докл. НАН Украины. – 1997. – № 2. – С. 60-62.
13. Рябов П.Е., Харламов М.П. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской–
Яхьи // Регулярная и хаотическая динамика. – 1997. – 2, 2. – С. 25-40.
14. Гашененко И.Н. Интегральные многообразия и топологические инварианты одного
случая движения гиростата // Механика твердого тела. – 1997. – № 29. – С. 1-7.
15. Гашененко И.Н. Инвариантные многообразия и множества допустимых скоростей в
динамике твердого тела // Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. – Донецк, ИПММ НАНУ. –
2008. – 300 с.
89
М.П. Харламов, И.И. Харламова, Е.Г. Шведов
16. Рябов П.Е. Бифуркационное множество задачи о движении твердого тела вокруг непо-
движной точки в случае Ковалевской-Яхьи // Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. – Москва,
МГУ. – 1997. – 143 с.
17. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Лаксово представление со спектральным
параметром для волчка Ковалевской и его обобщений // Функц. анализ и его прило-
жения. – 1988. – 22, № 2. – С. 87-88.
18. Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о дви-
жении волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2004. – № 34.
– С. 47-58.
19. Харламов М.П., Шведов Е.Г. Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических
уровнях волчка Ковалевской в двойном поле // Там же. – С. 59-65.
20. Харламов М.П. Критические подсистемы гиростата Ковалевской в двух постоянных
полях // Нелинейная динамика. – 2007. – 3, 3. – С. 331-348.
21. Харламов М.П. Области существования критических движений обобщенного волчка
Ковалевской и бифуркационные диаграммы // Механика твердого тела. – 2006. – № 36.
– С. 13-22.
M.P.Kharlamov, I.I.Kharlamova, E.G. Shvedov
Bifurcation diagrams on iso-energetic levels of the Kowalevski–Yehia gyrostat
We consider the problem of motion of the heavy gyrostat in the case of Kowalevski–Yehia. To
classify the bifurcation diagrams on iso-energetic levels we establish the existence of motion
conditions in terms of parameters on the bifurcation surfaces. Obtaining these conditions in the
form of explicit inequalities we build the separating set in the “energy-gyrostatic momentum”
plane. Thus the electronic atlas of iso-energetic diagrams is created.
Keywords: Kowalevski gyrostat,Yehia case, iso-energetic bifurcation diagrams.
М.П.Харламов, I.I. Харламова, Є.Г.Шведов
Бiфуркацiйнi дiаграми на iзоенергетичних рiвнях гiростата Ковалевської–
Яхья
Запропоновано новий погляд на класифiкацiю бiфуркацiйних дiаграм i умови iснування
критичних рухiв iнтегровної задачi про рух важкого гiростата при умовах типу Кова-
левської (випадок iнтегровностi Х.М.Яхья). Побудовано подiляючу множину на площинi
“енергiя – гiростатичний момент”, що класифiкує дiаграми на iзоенергетичних рiвнях. Ви-
писано умови, якi перевiряються конструктивно, iснування критичних рухiв у термiнах
параметрiв на поверхнях, що несуть листи бiфуркацiйних дiаграм.
Ключовi слова: гiростат Ковалевської, випадок Яхья, бiфуркацiйнi дiаграми, iзоенерге-
тичнi рiвнi.
Волгоградская академия гос. службы,
Волгоградский техн. ун-т, Россия
mharlamov@vags.ru
Получено 01.07.2010
90
|