Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил
Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Для класса прецессионных движений гиростата указана редукция шести уравнений Кирхгофа–Пуассона к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям. В качестве примера...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28046 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 91-102. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28046 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280462011-10-27T12:11:36Z Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил Мазнев, А.В. Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Для класса прецессионных движений гиростата указана редукция шести уравнений Кирхгофа–Пуассона к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям. В качестве примера исследованы условия маятниковых движений гиростата. Розглянуто задачу про рух гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у випадку змiнного гiростатичного моменту. Для класу прецесiйних рухiв гiростата указано редукцiю шести рiвнянь Кiрхгофа–Пуассона до трьох звичайних диференцiальних рiвнянь. Як приклад дослiджено маятниковi рухи гiростата. The problem of gyrostat motion under the potential and gyroscopic forces is considered for the case of variable gyrostatic momentum. For the class of precessional motions, a reduction of the six Kirchhoff–Poisson equations to the system of three ordinary differential equations is presented. The pendulum motions are investigated as an example. 2010 Article Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 91-102. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28046 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Для класса прецессионных движений гиростата указана редукция шести уравнений Кирхгофа–Пуассона к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям. В качестве примера исследованы условия маятниковых движений гиростата. |
| format |
Article |
| author |
Мазнев, А.В. |
| spellingShingle |
Мазнев, А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил Механика твердого тела |
| author_facet |
Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Мазнев, А.В. |
| title |
Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_short |
Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full |
Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr |
Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed |
Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort |
прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28046 |
| citation_txt |
Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 91-102. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT maznevav precessionnyedviženiâgirostatasperemennymgirostatičeskimmomentompoddejstviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil |
| first_indexed |
2025-07-03T08:05:45Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:05:45Z |
| _version_ |
1836612264154628096 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.38
c©2010. А.В. Мазнев
ПРЕЦЕССИОННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА
С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ
И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопи-
ческих сил в случае переменного гиростатического момента. Для класса прецессионных
движений гиростата указана редукция шести уравнений Кирхгофа–Пуассона к трем обык-
новенным дифференциальным уравнениям. В качестве примера исследованы условия ма-
ятниковых движений гиростата.
Ключевые слова: гиростат, прецессия, гиростатический момент, маятниковые движения,
потенциальные и гироскопические силы.
При изучении задач динамики твердого тела большое место отводилось
исследованию равномерных, маятниковых и прецессионных движений твер-
дого тела и гиростата. Равномерные движения тяжелого твердого тела с непо-
движной точкой изучал О. Штауде [1], маятниковые движения – Б.К. Млод-
зеевский [2]. Множество осей равномерных вращений тяжелого твердого тела
можно описать конусом О. Штауде [1]. Свойства маятниковых вращений, ко-
торые установил Б.К. Млодзеевский [2], характеризуются условиями горизон-
тальности оси вращения и принадлежности центра масс главной плоскости
эллипсоида инерции.
П.В. Харламов [3] рассмотрел равномерные движения гиростата относи-
тельно вертикали. Он получил уравнение, описывающее множество осей рав-
номерных вращений гиростата, и значение угловой скорости равномерного
вращения. А.М. Ковалев [4] изучил направляющую линию осей равномер-
ных движений в данной задаче.
Обзор результатов по исследованию прецессионных движений (движений,
при которых постоянен угол между осями, одна из которых фиксирована в
гиростате, а другая – в неподвижном пространстве) дан в монографии [5].
Как показано в [6, 7], осуществить равномерное движение тяжелого ги-
ростата можно с помощью маховиков, которые обеспечивают переменность
гиростатического момента по величине. В [8] для случая переменного гироста-
тического момента сохраняется определение “гиростат”. В дальнейшем, как
и в [9, 10], будем использовать этот термин.
Данная статья посвящена исследованию условий существования прецес-
сионных движений гиростата [5] с переменным гиростатическим моментом [8]
в случае, когда на гиростат действуют специальные потенциальные и гиро-
скопические силы [11]. Указан метод исследования прецессионных движений
гиростата с переменным гиростатическим моментом, который является обоб-
щением метода [5].
91
А.В. Мазнев
1. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему – гиростат
с переменным гиростатическим моментом [8]. Уравнения движения такого
гиростата в силовом поле, являющемся суперпозицией магнитного, электри-
ческого и центрального ньютоновского полей, можно записать в виде [8, 11]
Aω̇ = Aω × ω − λ̇(t)α+ ω × (Bν − λ(t)α) + ν × (Cν − s), (1)
ν̇ = ν ×ω. (2)
Здесь ω = (ω1, ω2, ω3) – угловая скорость гиростата; ν = (ν1, ν2, ν3) – еди-
ничный вектор, указывающий направление магнитного поля; λ(t) – вели-
чина гиростатического момента; A = (Aij) – тензор инерции гиростата;
α = (α1, α2, α3) – единичный вектор, неизменно связанный с гиростатом;
s = (s1, s2, s3) — вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра
масс гиростата; B = (Bij), C = (Cij) – постоянные матрицы третьего поряд-
ка; точка обозначает относительную производную по времени.
Уравнения (1), (2) допускают два первых интеграла
ν · ν = 1, (Aω + λ(t)α) · ν −
1
2
(Bν · ν) = k, (3)
где k – произвольная постоянная.
Система уравнений (1), (2) не замкнута, так как не определена функция
λ(t). Воспользуемся методом решения обратных задач динамики твердого
тела: задав решение ω = ω∗(t), ν = ν∗(t), найти функцию λ(t). Функции
ω∗(t), ν∗(t) должны удовлетворять определенным требованиям, а именно,
описывать заданные режимы движения гиростата, например, [6, 7, 9, 10]. По-
лученные таким способом результаты можно использовать в теории управ-
ления.
В данной статье для уравнений (1), (2) рассмотрим класс прецессион-
ных движений гиростата относительно вертикали. Пусть в процессе движе-
ния угол между единичным вектором a, неизменно связанным с гиростатом,
и вектором ν постоянен и равен θ0. Тогда имеет место инвариантное соотно-
шение
a · ν = a0 (a0 = cos θ0). (4)
В [5] получены следующие равенства:
ω = ϕ̇a+ ψ̇ν, ν = (a′0 sinϕ, a
′
0 cosϕ, a0), a = (0, 0, 1), (5)
где a′
0
= sin θ0, ϕ и ψ – новые переменные. Подстановка значений (5) в урав-
нение (2) дает тождество. Таким образом, необходимо рассмотреть уравнение
(1) при наличии равенств (5). Внесем выражение ω из (5) в уравнение (1):
λ̇(t)α+ ϕ̈Aa+ ψ̈Aν + ϕ̇ψ̇[Sp(A)(ν × a)− 2(Aν × a)]−
−λ(t)[ϕ̇(α× a) + ψ̇(α× ν)] − ϕ̇2(Aa × a)− ψ̇2(Aν × ν)−
−ϕ̇(a×Bν)− ψ̇(ν ×Bν)− ν × (Cν − s) = 0.
(6)
Здесь Sp(A) — след матрицы A.
92
Прецессионные движения гиростата
Будем считать, что векторы a, ν, a× ν составляют базис. Спроектируем
уравнение (6) на оси этого базиса:
λ̇(t)(α · a) + ϕ̈(Aa · a) + ψ̈(Aa · ν)− λ(t)ψ̇[a · (α× ν)]−
−ψ̇2[a · (Aν × ν)]− ψ̇[a · (ν ×Bν)]− [a · (s× ν)] − a · (ν × Cν) = 0,
(7)
λ̇(t)(α · ν) + ϕ̈(Aa · ν) + ψ̈(Aν · ν) + 2ϕ̇ψ̇[Aν · (ν × a)]+
+λ(t)ϕ̇[α · (ν × a)]− ϕ̇[Bν · (ν × a)] + ϕ̇2[Aa · (ν × a)] = 0,
(8)
λ̇(t)[α · (ν × a)] + ϕ̈[Aa · (ν × a)] + ψ̈[Aν · (ν × a)]+
+λ(t){ϕ̇[a0(α · a)− (α · ν)] + ψ̇[(α · a)− a0(α · ν)]}+
+ψ̇ϕ̇[a′2
0
Sp(A)− 2(Aν · ν) + 2a0(Aa · ν)]−
−ϕ̇2[(Aa · ν)− a0(Aa · a)]− ψ̇2[a0(Aν · ν)− (Aa · ν)]+
+ϕ̇[(Bν · ν)− a0(Ba · ν)] + ψ̇[a0(Bν · ν)− (Ba · ν)]+
+(a · s)− a0(s · ν) + a0(Cν · ν) − (Cν · a) = 0.
(9)
Система дифференциальных уравнений (7)–(9), в отличие от системы (1),
(2), является замкнутой системой относительно функций ϕ(t), ψ(t), λ(t). В
общем случае система (1), (2) имеет сложный вид. Поэтому ее применение
целесообразно для заданных классов прецессий гиростата.
2. Скалярная форма уравнений (7)–(9). Для получения скалярных
уравнений, вытекающих из системы (7)–(9), ведем следующие обозначения:
β0 = a0A33, β1 = a′0A23, β′1 = a′0A13,
γ0 = a0B33, γ1 = a′0B23, γ′1 = a′0B13,
ε0 = a0C33, ε1 = a′0C23, ε′1 = a′0C13,
κ0 = a20 − a′20 , κ1 = a′0s2 − a0ε1, κ
′
1 = a′0s1 − a0ε
′
1,
δ1 = (2a2
0
− 1)ε1 − a0a
′
0
s2, δ′
1
= (2a2
0
− 1)ε′
1
− a0a
′
0
s1,
A2 =
a′2
0
2
(A22 −A11), A′
2 = a′20 A12, A0 =
1
2
[a′20 (A11 +A22) + 2a20A33],
B2 =
a′2
0
2
(B22 −B11), B′
2 = a′20 B12, B0 =
1
2
[a′20 (B11 +B22) + 2a20B33],
C2 =
a′2
0
2
(C22 − C11), C ′
2 = a′20 C12, C0 =
1
2
[a′20 (C11 +C22) + 2a20C33],
D0 =
a′2
0
2
(A11 +A22 − 2A33), E0 =
a′2
0
2
(B11 +B22 − 2B33),
(10)
F0 =
a′2
0
2
(C11 +C22 − 2C33), G0 =
a′2
0
2
[2s3 + a0(C11 + C22 − 2C33)],
A∗
0
= −
1
2
a′2
0
(A11 +A22), B∗
0
= −
1
2
a′2
0
(B11 +B22), C∗
0
= −
1
2
a′2
0
(C11 + C22)
93
А.В. Мазнев
и воспользуемся последними двумя векторными равенствами из (5). Тогда с
учетом (5), (10) из уравнений (7)–(9) получаем
α3λ̇(t)− a′0(α1 cosϕ− α2 sinϕ)ψ̇λ(t) +A33ϕ̈+ (β1 cosϕ+ β′1 sinϕ+ β0)ψ̈+
+ (A2 sin 2ϕ−A′
2
cos 2ϕ+ a0β1 sinϕ− a0β
′
1
cosϕ)ψ̇2+ (11)
+ (B′
2 cos 2ϕ−B2 sin 2ϕ+ a0γ
′
1 cosϕ− a0γ1 sinϕ)ψ̇+
+ (C ′
2 cos 2ϕ− C2 sin 2ϕ− κ
′
1 cosϕ+ κ1 sinϕ) = 0,
(α1a
′
0 sinϕ+ α2a
′
0 cosϕ+ a0α3)λ̇(t) + a′0(α1 cosϕ− α2 sinϕ)λ(t)ϕ̇+
+ (β1 cosϕ+ β′1 sinϕ+ β0)ϕ̈+ (β′1 cosϕ− β1 sinϕ)ϕ̇
2+
+ (A2 cos 2ϕ+A′
2 sin 2ϕ+ 2a0β1 cosϕ+ 2a0β
′
1 sinϕ+A0)ψ̈+ (12)
+ 2(A′
2
cos 2ϕ−A2 sin 2ϕ+ a0β
′
1
cosϕ− a0β1 sinϕ)ϕ̇ψ̇−
− (B′
2 cos 2ϕ−B2 sin 2ϕ+ a0γ
′
1 cosϕ− a0γ1 sinϕ)ϕ̇ = 0,
a′
0
(α1 cosϕ− α2 sinϕ)λ̇(t) + a′
0
[(α3a
′
0
− α1a0 sinϕ− α2a0 cosϕ)ψ̇−
− (α1 sinϕ+ α2 cosϕ)ϕ̇]λ(t) + (β′1 cosϕ− β1 sinϕ)ϕ̈+
+ (A′
2 cos 2ϕ−A2 sin 2ϕ + a0β
′
1 cosϕ− a0β1 sinϕ)ψ̈−
− (2A2 cos 2ϕ+ 2A′
2
sin 2ϕ+ 2a0β1 cosϕ+ 2a0β
′
1
sinϕ− a′2
0
A33)ψ̇ϕ̇− (13)
− (β1 cosϕ+ β′
1
sinϕ)ϕ̇2 − (a0A2 cos 2ϕ+ a0A
′
2
sin 2ϕ+ κ0β1 cosϕ+
+ κ0β
′
1 sinϕ+ a0D0)ψ̇
2 + (B2 cos 2ϕ+B′
2 sin 2ϕ+ a0γ1 cosϕ+
+ a0γ
′
1 sinϕ−B∗
0)ϕ̇+ (a0B2 cos 2ϕ + a0B
′
2 sin 2ϕ+ κ0γ1 cosϕ+ κ0γ
′
1 sinϕ+
+ a0E0)ψ̇ + (a0C2 cos 2ϕ+ a0C
′
2
sin 2ϕ+ δ1 cosϕ+ δ′
1
sinϕ+G0) = 0.
Уравнения (11)–(13) допускают интеграл
λ(t)(α1a
′
0 sinϕ+ α2a
′
0 cosϕ+ α3a0) + (β1 cosϕ+ β′1 sinϕ+ β0)ϕ̇+
+(A2 cos 2ϕ+A′
2
sin 2ϕ+ 2a0β1 cosϕ+ 2a0β
′
1
sinϕ+A0)ψ̇−
−
1
2
(B2 cos 2ϕ+B′
2 sin 2ϕ+ 2a0γ1 cosϕ+ 2a0γ
′
1 sinϕ+B0) = k,
(14)
который является следствием второго интеграла из (3) на инвариантных со-
отношениях (5).
Метод исследования прецессий гиростата с переменным гиростатическим
моментом состоит в том, что с помощью равенства (14) в общем случае мож-
но определить λ(t) и, подставив полученное значение в уравнения (11), (13),
получить два дифференциальных уравнения, содержащих величины ϕ̇ и ψ̇.
Это позволяет найти только одно уравнение на функцию ϕ(t). Оно очевидно
будет иметь нелинейный характер и содержать ϕ̇ и ϕ̈. Условия существования
решения ϕ(t) данного уравнения и будут служить условиями существования
94
Прецессионные движения гиростата
прецессий гиростата с переменным гиростатическим моментом. Особый слу-
чай выражается условиями α1 = α2 = 0, θ0 =
π
2
. Он требует применения
другого метода.
3. Маятниковые движения гиростата. Пусть вектор угловой скоро-
сти гиростата (см. (5)) имеет вид
ω = ϕ̇a. (15)
Поскольку ȧ = 0 и вектор a сонаправлен с угловой скоростью, то
da
dt
=
= 0, т.е. вектор a неподвижен в пространстве. Движение гиростата с угловой
скоростью (15) при ϕ̇ 6= const называется маятниковым движением [2, 5, 10].
Положим ψ̇ = 0 в уравнениях (11)–(14). Тогда, выбирая подвижную систему
координат так, чтобы α = (α1, 0, α3), получим из (11)–(14):
α3λ̇(t) +A33ϕ̈ = C2 sin 2ϕ− C ′
2 cos 2ϕ+ κ
′
1 cosϕ− κ1 sinϕ, (16)
(α1a
′
0 sinϕ+ a0α3)λ̇(t) + a′0α1 cosϕϕ̇λ(t)+
+(β1 cosϕ+ β′1 sinϕ+ β0)ϕ̈+ (β′1 cosϕ− β1 sinϕ)ϕ̇
2+
+(B2 sin 2ϕ−B′
2 cos 2ϕ− a0γ
′
1 cosϕ+ a0γ1 sinϕ)ϕ̇ = 0,
(17)
a′0α1 cosϕλ̇(t)− a′0α1 sinϕ ϕ̇λ(t)+
+(β′1 cosϕ− β1 sinϕ)ϕ̈ − (β1 cosϕ+ β′1 sinϕ)ϕ̇
2+
+(B2 cos 2ϕ+B′
2 sin 2ϕ+ a0γ1 cosϕ+ a0γ
′
1 sinϕ−B∗
0)ϕ̇+
+(a0C2 cos 2ϕ+ a0C
′
2 sin 2ϕ+ δ1 cosϕ+ δ′1 sinϕ+G0) = 0,
(18)
λ(t) =
1
α1a
′
0
sinϕ+ α3a0
[1
2
B2 cos 2ϕ+
1
2
B′
2 sin 2ϕ+ a0γ1 cosϕ+
+a0γ
′
1
sinϕ+
(
k +
1
2
B0
)
− (β1 cosϕ+ β′
1
sinϕ+ β0)ϕ̇
]
.
(19)
В формуле (19) предполагаем (α1a
′
0
)2 + (α3a0)
2 6= 0.
Рассмотрим случай α3 = 0 . Тогда α1 = 1 и из уравнения (16) следует
ϕ̇2 =
1
A33
(−C2 cos 2ϕ− C ′
2
sin 2ϕ+ 2κ′
1
sinϕ+ 2κ1 cosϕ+ c∗), (20)
где c∗ — произвольная постоянная.
Поскольку уравнение (19) является следствием уравнения (17), то подста-
вим λ(t) из (19) в уравнение (18)
(β0 cosϕ+ β1) sinϕϕ̈ − (β1 cosϕ+ β0)ϕ̇
2−
−
[1
2
B∗
0
cos 2ϕ+ a0γ1 cosϕ−
1
2
(2k +B2 +B0 +B∗
0
)
]
ϕ̇−
−(a0C2 cos 2ϕ + a0C
′
2
sin 2ϕ+ δ1 cosϕ+ δ′
1
sinϕ+G0) sin
2 ϕ = 0.
(21)
95
А.В. Мазнев
Уравнение (21) с учетом (20), (10) запишется так:
p3 cos 3ϕ+ p′
3
sin 3ϕ+ p2 cos 2ϕ+ p′
2
sin 2ϕ + p1 cosϕ+ p′
1
sinϕ+
+p0 = A33
[1
2
B∗
0
cos 2ϕ+ a0γ1 cosϕ−
1
2
(2k +B2 +B0 +B∗
0
)
]
ϕ̇.
(22)
Здесь введены обозначения
p3 =
a′3
0
A33C23
4
, p′
3
=
a′3
0
A33C13
4
,
p2 =
a′2
0
2
[A23(s2 − a0C23)− a0A33(C22 − C33)− s3A33],
p′2 =
a′2
0
2
[A23(s1 − a0C13)− a0A33C12], (23)
p1 =
a′
0
4
{
8a0s2A33 − (1 + 7a20)A33C23 + 4A23
[
c∗ −
1
2
a′20 (C22 −C11)
]}
,
p′1 =
a′
0
4
[4a0s1A33 − (a20 + 3)A33C13 − 4a′20 A23C12],
p0 =
1
2
[3a′2
0
A23(s2 − a0C23) + a0a
′2
0
A33(C11 − C33) + a′2
0
s3A33 + 2a0A33c∗].
Потребуем, чтобы правая часть уравнения (22) обращалась в нуль для
любых значений ϕ̇. Тогда в силу (22), (23) должны выполняться условия
B22 = −B11, a0B23 = 0, k =
1
2
(a′2
0
B11 − a2
0
B33),
C23 = C13 = 0, s1A23 − a0A33C12 = 0,
s2A23 − s3A33 − a0A33(C22 − C33) = 0, a0s1A33 − a′2
0
A23C12 = 0,
3s2a
′2
0 A23 + a0a
′2
0 A33(C11 − C33) + a′20 s3A33 + 2a0A33c∗ = 0,
2a0s2A33 + c∗A23 −
1
2
a′20 A23(C22 − C11) = 0.
(24)
Запишем условия (24) для классического случая: Bij = 0, Cij = 0
(i, j = 1, 3). Общий вариант маятниковых движений рассмотрен в [10].
Если A23 6= 0, то имеем
k = 0, s1 = 0, s2A23 − s3A33 = 0, ctg2 θ0 =
A2
23
A2
33
. (25)
Из формул (19), (20) получим зависимости λ(t), ϕ̇:
ϕ̇2 =
2s2
A23A33
(A23a
′
0 cosϕ− a0A33), (26)
96
Прецессионные движения гиростата
λ(t) = −
(A23a
′
0
cosϕ+A13a
′
0
sinϕ+A33a0)ϕ̇
a′
0
sinϕ
. (27)
Когда a0 = 0, т. е. θ0 =
π
2
, тогда A23 = 0, s3 = 0. Это означает, что
выполняется условие s ⊥ a. Кроме этого α ⊥ a. Из системы (24) следует, что
c∗ — произвольная постоянная. Из формулы (20) находим
ϕ̇2 =
1
A33
(2s1 sinϕ+ 2s2 cosϕ+ c∗), (28)
а из (27) –
λ(t) = −A13ϕ̇.
Решение системы (24) разобьем на три случая. В первом случае
a0 = 0, A23 = 0, B22 = −B11, k =
1
2
B11, C13 = C23 = 0, s3 = 0 и
ϕ̇2 =
1
A33
(
−
1
2
(C22 − C11) cos 2ϕ− C12 sin 2ϕ+ 2s1 sinϕ+ 2s2 cosϕ
)
,
λ(t) =
1
sinϕ
(1
2
B12 sin 2ϕ−B11 cos 2ϕ+
1
2
B11 − ϕ̇A13 sinϕ
)
.
(29)
Во втором случае –
a0 = 0, A23 6= 0, s3 = s2 = s1 = 0, Cij = 0 (i 6= j),
B22 = −B11, k =
1
2
B11
(30)
и из (19), (20) находим
λ(t) =
1
sinϕ
[
−B11 cos 2ϕ+
1
2
B12 sin 2ϕ+
1
2
B11 − (A23 cosϕ+A13 sinϕ)ϕ̇
]
,
(31)
ϕ̇ =
√
C22 − C11
A33
sinϕ.
Для третьего случая условия (24) перепишем в виде
B22 = −B11, B23 = 0, k =
1
2
(a′20 B11 − a20B33),
C23 = C13 = 0, C12 =
s1A23
a0A33
,
s1(a
2
0
A2
33
− a′2
0
A2
23
) = 0, s2A23 − s3A33 − a0A33(C22 − C33) = 0,
c∗ =
1
A23
[1
2
a′2
0
A23(C22 − C11)− 2a0s2A33
]
,
2s2(a
′2
0
A2
23
− a2
0
A2
33
) + a0a
′2
0
A33(C22 − C33) = 0.
(32)
97
А.В. Мазнев
При выполнении равенства ctg2 θ0 =
A2
23
A2
33
можно считать s1 6= 0, тогда
часть условий из (32) упрощается; запишем их отдельно от системы (31):
s2A23 − s3A33 = 0, C22 = C33.
Если же ctg2 θ0 6=
A2
23
A2
33
, то необходимо полагать s1 = 0. В обоих случаях можно
пользоваться формулами (19), (20), с учетом полученных условий. Основное
свойство зависимости ϕ(t) вытекает из дифференциального уравнения (20).
Очевидно ϕ(t) является эллиптической функцией времени. В случае (26) эта
функция также является эллиптической функцией времени.
Таким образом, в случае α3 = 0, т. е. при выполнении условия α · a = 0,
возможны три класса движений, которые включают варианты: a0 = 0 (ось
маятникового движения горизонтальна); s = 0 (центр масс неподвижен);
вариант (32), для которого в общем случае s · a 6= 0, a0 6= 0. Послед-
ний вариант интересен тем, что при s1 6= 0 маятниковое движение проис-
ходит относительно оси, которая составляет с вектором вертикали угол θ0:
ctg2 θ0 =
A2
23
A2
33
, зависящий от компонент тензора инерции.
При рассмотрении случая α3 = 0 возможен и вариант, когда правая часть
(22) не обращается в нуль для всех значений ϕ̇. Для его исследования под-
ставим в уравнение (22) выражение (20):
A33(p3 cos 3ϕ+ p′
3
sin 3ϕ + p2 cos 2ϕ+ p′
2
sin 2ϕ+ p1 cosϕ+
+p′
1
sinϕ+ p0)
2 − (C2 cos 2ϕ+ C ′
2
sin 2ϕ− 2κ′
1
sinϕ−
−2κ1 cosϕ− c∗)
[1
2
B∗
0
cos 2ϕ+ a0γ1 cosϕ+
(
k +
1
2
B0
)]
2
= 0.
(33)
Требование того, чтобы уравнение (33) было тождеством по ϕ, приводит к
условиям существования маятниковых движений гиростата. Здесь эти усло-
вия выписывать не будем в силу их громоздкости.
Случай α3 6= 0. Поскольку выражение (19) получено из первого интеграла
моментов (3), то, предполагая α1 6= 0 из уравнений (16)–(19), рассмотрим
уравнение, полученное подстановкой (19) в (16), и комбинацию уравнений
(17) и (18):
a′
0
(A13α3 −A33α1)ϕ̈− a′
0
α3A23ϕ̇
2+
+α3(B
′
2
sinϕ+ a′2
0
B22 cosϕ+ a0a
′
0
B23)ϕ̇−
−a′0
(
α1C
′
2 +
1
2
a′0α3ε1
)
cos 2ϕ+ a′0
(
α1C2 −
1
2
a′0α3ε
′
1
)
sin 2ϕ+
+[a′0α1κ
′
1 + α3(a0C2 +G0)] cosϕ− (a′0α1κ1 − α3a0C
′
2) sinϕ+
+
α3
2
[(3a2
0
− 1)ε1 − 2a0a
′
0
s2] = 0,
(34)
98
Прецессионные движения гиростата
a′
0
(α1a
′
0
sinϕ+ α3a0)[(α1A33 − α3A13) sinϕ− α3A23 cosϕ]ϕ̈+
+a′
0
α3[(α1A33 − α3A13) cosϕ+ a0α3A23 sinϕ+ a′
0
α1A23]ϕ̇
2+
+α3
[1
4
a′
0
α1B2 cos 3ϕ+
1
4
a′
0
α1B
′
2
sin 3ϕ− a0α3B
′
2
cos 2ϕ−
−a0α3B2 sin 2ϕ+
(
a20α3γ
′
1 − a′0α1
(
k +
3
4
B2 +
1
2
B0
))
cosϕ−
−(a20α3γ1 +
3
4
a′0α1B
′
2) sinϕ− a0a
′
0α1γ1
]
ϕ̇− (α1a
′
0 sinϕ+ α3a0)
2×
×(C2 sin 2ϕ+ C ′
2 cos 2ϕ+ κ
′
1 cosϕ− κ1 sinϕ) = 0.
(35)
Условия существования решений системы дифференциальных уравнений
(34), (35) в общем случае можно найти следующим образом. Необходимо из
уравнений (34), (35), исключив ϕ̈, определить функцию ϕ̇ = Φ(ϕ). Подста-
новка этой функции в одно из уравнений (34), (35) и требование того, чтобы
полученное уравнение было тождеством по ϕ, приводит к условиям существо-
вания решения системы (34), (35). В данной статье рассмотрим два особых
случая.
Потребуем, чтобы уравнение (34) было тождеством. Тогда получим сле-
дующие условия:
A23 = 0, A13α3 −A33α1 = 0, B22 = 0, B12 = 0, B23a0 = 0,
2α1C12 + α3C23 = 0, α1(C22 − C11)− α3C13 = 0,
α3(α1s1 + α3s3) + a0[α
2
1
C11 + (α2
3
− α2
1
)C22 − α2
3
C33] = 0,
2α2
1
s2 + a0C23(α
2
3
− 2α2
1
) = 0, (3a2
0
− 1)C23 − 2a0s2 = 0.
(36)
Пусть в системе (36) a0 = 0, т.е. θ0 =
π
2
. Тогда из (36) имеем
A23 = 0, A13α3 −A33α1 = 0, B22 = B12 = 0, C12 = C23 = 0,
α1(C22 − C11)− α3C13 = 0, α1s1 + α3s3 = 0, s2 = 0.
(37)
При выполнении условий (37) из (19) и (35) находим
λ(t) =
1
α1 sinϕ
[
−
1
4
B11 cos 2ϕ+
(
k +
1
4
B11
)
−A13 sinϕ · ϕ̇
]
,
α3
[(
k −
B11
8
)
cosϕ+
1
8
B11 cos 3ϕ
]
ϕ̇ =
= α1 sin
2 ϕ
[1
2
(C11 − C22) sin 2ϕ− s1 cosϕ
]
.
(38)
Случай (37), (38) распространяется и на классический вариант: Bij = 0,
Cij = 0 (i, j = 1, 3). Тогда выполняются равенства
A23 = 0, A13α3 −A33α1 = 0, α1s1 + α3s3 = 0, s2 = 0. (39)
99
А.В. Мазнев
Из последних двух условий (39) следует α · s = 0. Выражения для λ(t) и ϕ̇
из (38) упрощаются:
λ(t) =
1
α1 sinϕ
(k −A13ϕ̇ sinϕ), ϕ̇2 = −
α1s1 sin
2 ϕ
α3k
. (40)
Второе уравнение позволяет установить, что ϕ(t) — элементарная функция
времени.
Если в (36) положить C23 = 0, a0 6= 0, то s2 = 0, B23 = 0. Остальные
условия (36) остаются без изменений.
В случае C23 6= 0 из последних двух равенств системы (36) вытекает
α1 = cos θ0, α3 = sin θ0. (41)
Из (41) заключаем, что в рассматриваемом случае углы между a и α, a и ν
совпадают, а из (19) и (35) находим
λ(t) =
1
α1a
′
0
sinϕ+ α3a0
[
−
1
4
a′2
0
B11 cos 2ϕ+ a0a
′
0
B13 sinϕ+
+
(
k +
1
4
a′20 B11 + a20B33
)
− (a′0A13 sinϕ+ a0A33)ϕ̇
]
,
(42)
α3ϕ̇
[
−
1
8
a′2
0
α1B11 cos 3ϕ +
1
2
a0a
′
0
B11 sin 2ϕ+
+
(
a2
0
α3B13 − α1
(
k −
1
8
B11 + a2
0
B33
))
cosϕ
]
=
= (α1a
′
0 sinϕ+ α3a0)
2
[1
2
a′0(C22 −C11) sin 2ϕ + a′0C12 cos 2ϕ+
+(s1 − a0C13) cosϕ− (s2 − a0C23) sinϕ
]
.
(43)
Функция ϕ(t) в данном случае – элементарная функция времени.
Отметим, что в классическом варианте при a0 6= 0 из (36) следуют усло-
вия (39). Формулы (42), (43) принимают вид
λ(t) =
1
α1a
′
0
sinϕ+ α3a0
[k − (a′
0
A13 sinϕ+ a0A33)ϕ̇],
ϕ̇ = −
s1
α1α3k
(α1a
′
0 sinϕ+ α3a0)
2.
(44)
В случае (44) так же, как и в случае (39), α · s = 0, a ·α 6= 0.
Рассмотрим теперь случай, когда уравнение (35) становится тождеством.
Тогда
A13α3 −A33α1 = 0, A23 = 0, B11 = B22, B12 = 0, B23 = 0,
C11 = C22, C12 = 0, s1 = a0C13, s2 = a0C23,
k =
1
α1
[
a20α3B13 −
1
2
α1(a
′2
0 B11 + a20B33)
]
.
(45)
100
Прецессионные движения гиростата
При наличии ограничений (45) уравнение (34) приводится к виду
ϕ̇ =
1
B22
[a′
0
C23 cosϕ+ a′
0
C13 sinϕ− (s3 + a0(C11 − C33))], (46)
а из уравнения (19) имеем
λ(t) =
1
α1
(a0B13 −A13ϕ̇). (47)
Интерес формулы (47) заключается в ее линейной относительно ϕ̇ зависимо-
сти.
Классический вариант в силу (46), (47) приводится к случаю s = 0. В
этом случае ϕ(t) — произвольная функция времени, а λ(t) = −
A13
α1
ϕ̇. Угол
θ0 является произвольным. Следовательно, когда гиростат имеет неподвиж-
ный центр масс, маятниковое движение может происходить с произвольной
угловой скоростью и при произвольном значении угла между осью вращения
(вектором a) и вектором ν, если вектор λ(t) = λ(t)α специальным образом
выбран в гиростате
(
α3
α1
=
A33
A13
)
.
Итак, в данной статье предложен метод исследования прецессий гиро-
стата с переменным гиростатическим моментом; получены три уравнения на
неизвестные функции λ(t), ϕ(t), ψ(t); приведены примеры маятниковых дви-
жений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил, ко-
торые описываются уравнениями Кирхгофа–Пуассона.
1. Staude O. Über permanente Ratetionsaxen bei der Bewegung eines schweren Körpers um
einen festen Punkt // J. reina und angew. Math. – 1894. — 113, №4. – P. 318–334.
2. Млодзеевский Б.К. О перманентных осях в движении тяжелого твердого тела около
неподвижной точки // Тр. отд. физ. наук. о-ва любителей естествознания. — 1894. —
7, вып. 1. – С. 46–48.
3. Харламов П.В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку //
Прикл. математика и механика. — 1965. — 29, вып. 2. – С. 373–375.
4. Ковалев А.М. О стационарных решениях дифференциальных уравнений движения
тела, имеющего неподвижную точку // Мат. физика. — 1968. — Вып. 5. – С. 87–102.
5. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твер-
дого тела и в динамике систем связанных твердых тел. — Донецк: ДонНУ, 2009. —
222 с.
6. Дружинин Э.К. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиро-
стата // Прикл. математика и механика. — 1999. – 63, вып. 5. – С. 825–826.
7. Ковалева Л.М., Позднякович А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оси
твердого тела с одним маховиком // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. –
С. 100–105.
8. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Там же. — 1972. —
Вып. 4. – С. 52–73.
9. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего
маховик // Там же. — 2008. — Вып. 38. — С. 80–86.
10. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом // Там же. — 2009. — Вып. 39. – С. 42–49.
101
А.В. Мазнев
11. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon potential and gyroscopic forces. I:
The equations of motion and their transformations // J. Mecan Theor. Appl. — 1986. —
5, N 5. — P. 747–754.
O.V.Maznyev
Precessional motions of a gyrostat with variable gyrostatic momentum under
the potential and gyroscopic forces
The problem of gyrostat motion under the potential and gyroscopic forces is considered for
the case of variable gyrostatic momentum. For the class of precessional motions, a reduction
of the six Kirchhoff–Poisson equations to the system of three ordinary differential equations is
presented. The pendulum motions are investigated as an example.
Keywords: gyrostat, precession, gyrostatic momentum, pendulum motions, potential and gy-
roscopic forces.
О.V.Мазнєв
Прецесiйнi рухи гiростата зi змiнним гiростатичним моментом пiд дiєю
потенцiальних i гiроскопiчних сил
Розглянуто задачу про рух гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у випадку
змiнного гiростатичного моменту. Для класу прецесiйних рухiв гiростата указано реду-
кцiю шести рiвнянь Кiрхгофа–Пуассона до трьох звичайних диференцiальних рiвнянь. Як
приклад дослiджено маятниковi рухи гiростата.
Ключовi слова: гiростат, прецесiя, гiростатичний момент, маятниковi рухи, потенцiальнi
i гiроскопiчнi сили.
Национальный ун-т, Донецк
maznev_av@rambler.ru
Получено 07.12.10
102
|