Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением
Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободного твердого тела. Предполагается, что тело содержит сферическую полость, заполненную жидкостью большой вязкости. Кроме того, тело содержит вязкоупругий элемент, моделируемый подвижной точечной массой, соединенной демпфер...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28052 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением / Я.С. Зинкевич, Т.А. Козаченко, А.Л. Рачинская, Д.Д. Лещенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 152-161. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28052 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280522011-10-27T12:13:40Z Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением Зинкевич, Я.С. Козаченко, Т.А. Рачинская, А.Л. Лещенко, Д.Д. Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободного твердого тела. Предполагается, что тело содержит сферическую полость, заполненную жидкостью большой вязкости. Кроме того, тело содержит вязкоупругий элемент, моделируемый подвижной точечной массой, соединенной демпфером с корпусом. На твердое тело также действует малый тормозящий момент линейного сопротивления среды. Считается, что в недеформированном состоянии тело динамически симметрично, а точечная масса лежит на оси симметрии. Определены оптимальный закон управления для торможения вращений несущего твердого тела в форме синтеза, время быстродействия и фазовые траектории. Дослiджено задачу про оптимальне за швидкодiєю гальмування обертань вiльного твердого тiла. Передбачається, що тiло мiстить сферичну порожнину, заповнену рiдиною великої в’язкостi. Крiм того тiло мiстить в’язкопружний елемент, модельований рухомою точковою масою, з’єднаною демпфером з корпусом. На тверде тiло також дiє малий гальмуючий момент лiнiйного опору середовища. Вважається, що в недеформованому станi тiло динамiчно симетричне, а маса лежить на осi симетрiї. Визначено оптимальний закон керування для гальмування обертань несучого твердого тiла у формi синтезу, час швидкодiї i фазовi траєкторiї. The problem of time-optimal deceleration of rotation of a free solid body is studied. It is assumed that the body contains a spherical cavity filled with highly viscous liquid. Solid body carries a moving point mass connected to the body by an elastic coupling with viscous friction. Low decelerating moment of linear friction forces acts on the solid body. It is assumed that the body is dynamically symmetric. The optimal control law for deceleration of rotation of the carrier solid body in the form of synthesis, the operation time, and the phase trajectories are determined. 2010 Article Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением / Я.С. Зинкевич, Т.А. Козаченко, А.Л. Рачинская, Д.Д. Лещенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 152-161. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28052 62.50 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободного твердого тела. Предполагается, что тело содержит сферическую полость, заполненную жидкостью большой вязкости. Кроме того, тело содержит вязкоупругий элемент, моделируемый подвижной точечной массой, соединенной демпфером с корпусом. На твердое тело также действует малый тормозящий момент линейного сопротивления среды. Считается, что в недеформированном состоянии тело динамически симметрично, а точечная масса лежит на оси симметрии. Определены оптимальный закон управления для торможения вращений несущего твердого тела в форме синтеза, время быстродействия и фазовые траектории. |
| format |
Article |
| author |
Зинкевич, Я.С. Козаченко, Т.А. Рачинская, А.Л. Лещенко, Д.Д. |
| spellingShingle |
Зинкевич, Я.С. Козаченко, Т.А. Рачинская, А.Л. Лещенко, Д.Д. Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением Механика твердого тела |
| author_facet |
Зинкевич, Я.С. Козаченко, Т.А. Рачинская, А.Л. Лещенко, Д.Д. |
| author_sort |
Зинкевич, Я.С. |
| title |
Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением |
| title_short |
Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением |
| title_full |
Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением |
| title_fullStr |
Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением |
| title_full_unstemmed |
Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением |
| title_sort |
оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28052 |
| citation_txt |
Оптимальное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в среде с сопротивлением / Я.С. Зинкевич, Т.А. Козаченко, А.Л. Рачинская, Д.Д. Лещенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 152-161. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT zinkevičâs optimalʹnoetormoženievraŝenijsimmetričnogogirostataspodvižnojmassojvsredessoprotivleniem AT kozačenkota optimalʹnoetormoženievraŝenijsimmetričnogogirostataspodvižnojmassojvsredessoprotivleniem AT račinskaâal optimalʹnoetormoženievraŝenijsimmetričnogogirostataspodvižnojmassojvsredessoprotivleniem AT leŝenkodd optimalʹnoetormoženievraŝenijsimmetričnogogirostataspodvižnojmassojvsredessoprotivleniem |
| first_indexed |
2025-07-03T08:06:12Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:06:12Z |
| _version_ |
1836612292960059392 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 62.50
c©2010. Я.С.Зинкевич, Т.А.Козаченко, А.Л.Рачинская,Д.Д.Лещенко
ОПТИМАЛЬНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ
СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА С ПОДВИЖНОЙ МАССОЙ
В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободно-
го твердого тела. Предполагается, что тело содержит сферическую полость, заполненную
жидкостью большой вязкости. Кроме того, тело содержит вязкоупругий элемент, моде-
лируемый подвижной точечной массой, соединенной демпфером с корпусом. На твердое
тело также действует малый тормозящий момент линейного сопротивления среды. Счи-
тается, что в недеформированном состоянии тело динамически симметрично, а точечная
масса лежит на оси симметрии. Определены оптимальный закон управления для торможе-
ния вращений несущего твердого тела в форме синтеза, время быстродействия и фазовые
траектории.
Ключевые слова: оптимальное торможение, вращение, твердое тело.
Введение. Анализ гибридных систем, т.е. объектов, содержащих эле-
менты с распределенными и сосредоточенными параметрами, представляет
интерес в теоретическом и прикладном аспектах. Разработаны подходы и по-
лучены значительные результаты для систем, содержащих “квазитвердые”
тела. Модели последних предполагают, что в определенном смысле их дви-
жения близки движению абсолютно твердых тел. Влияние неидеальностей
может быть выявлено на основе асимптотических методов нелинейной меха-
ники (сингулярных возмущений, усреднения и др.) Оно сводится к наличию
дополнительных слагаемых в уравнениях движения Эйлера некоторого фик-
тивного тела.
Анализу пассивных движений твердого тела с полостью, заполненной вяз-
кой жидкостью, или содержащего вязкоупругий элемент, моделируемый то-
чечной массой, соединенной демпфером с корпусом, а также в сопротивля-
ющейся среде уделялось значительное внимание [1–4]. Проблеме управления
вращениями “квазитвердых” тел посредством сосредоточенных моментов сил,
имеющей значение для приложений, уделялось недостаточное внимание. Уда-
лось выделить класс систем, приводящих к гладким управляющим воздей-
ствиям и дающих возможность применения методов сингулярных возмуще-
ний без накопления погрешностей типа “временных погранслоев” [5–8].
Ниже исследуется задача оптимального по быстродействию торможения
вращений динамически симметричного твердого тела со сферической поло-
стью, заполненной жидкостью большой вязкости (при малых числах Рей-
нольдса). Кроме того, тело содержит вязкоупругий элемент, который моде-
лируется точечной массой, прикрепленной демпфером к точке на оси сим-
метрии. На твердое тело действует малый тормозящий момент сил линейно-
го сопротивления среды. Управление вращениями производится с помощью
152
Оптимальное торможение вращений
момента сил, ограниченного по модулю. Рассматриваемая модель обобщает
исследованные ранее в работах [5–8].
1. Постановка задачи оптимального управления. На основе под-
хода [1, 2, 6] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси связанной
с фиксированным твердым телом системы координат (уравнения Эйлера) мо-
гут быть представлены в виде [1, 2, 4, 6]
Aṗ+ (C −A) qr = Mp + Lpr2 + FG2qr +Dr4p− λAp,
Aq̇ + (A− C) pr = Mq + Lqr2 − FG2pr +Dr4q − λAq, (1)
Cṙ = Mr +H(p2 + q2)r −AC−1Dr3(p2 + q2)− λCr.
Здесь p, q, r – проекции вектора абсолютной угловой скорости ω на связан-
ные оси; J = diag(A,A,C) – тензор инерции невозмущенного тела; Mp,q,r –
проекции вектора управляющего момента сил M
u; G = Jω – кинетический
момент твердого тела.
Для упрощения задачи в систему (1) внесено структурное ограничение.
Считается, что диагональный тензор момента сил внешнего сопротивления
среды пропорционален тензору момента сил инерции, т.е. момент сил дисси-
пации пропорционален кинетическому моменту.
M
r = −λJω, (2)
где λ – некоторый постоянный коэффициент пропорциональности, зависящий
от свойств среды. Сопротивление, действующее на тело, представлено парой
приложенных сил. При этом проекции момента этой пары на главные оси
инерции тела являются величинами λAp, λAq, λCr [4]. Такое предположение
не является противоречивым.
Предполагается, что допустимые значения момента управляющих сил
ограничены сферой [6]
M
u = bu, |u| ≤ 1; b = b(t, G), 0 < b∗ ≤ b < b∗ < ∞, (3)
где b – скалярная функция, ограниченная в рассматриваемой области измене-
ния аргументов t, G согласно условиям (3). Эта область определяется апри-
ори или может быть оценена через начальные данные для G, G(t0) = G
0.
Введенные в (1) обозначения F , D, L, H выражаются через параметры
системы следующим образом
F = mρ2Ω−2CA−3, D = mρ2χΩ−4C3A−4(A−C),
L = βPν−1A−2C(A− C), H = βPν−1A−1(C −A).
(4)
Коэффициенты F и D в (4) характеризуют возмущающие моменты сил, обу-
словленные наличием вязкоупругого элемента, m – масса подвижной точки,
ρ – расстояние от центра масс недеформированной системы до точки крепле-
ния, которая находится, по предположению, на оси динамической симметрии
153
Я.С.Зинкевич, Т.А.Козаченко, А.Л.Рачинская,Д.Д.Лещенко
этого тела. Постоянные Ω2 =
c
m
, χ =
δ
m
определяют частоту колебаний и
скорость их затухания соответственно; c – жесткость (коэффициент упруго-
сти), δ – коэффициент вязкости демпфера. Рассматривается случай сильного
демпфера, когда коэффициенты связи велики в смысле [2]:
Ω2 ≫ χω ≫ ω2. (5)
Сильные неравенства (5) позволяют ввести малый параметр в (4) и счи-
тать указанные возмущающие моменты малыми. Кроме того, условия (5)
позволяют пренебречь погранслойными участками свободных колебательных
движений массы, обусловленных начальными отклонениями вследствие их
быстрого затухания, и учесть вынужденные квазистационарные движения,
вызванные вращением тела. Заметим, что величина точечной массы m мо-
жет быть значительной, сравнимой с массой тела.
Коэффициенты L, H в (4) характеризуют момент сил, обусловленный
движениями сильно вязкой жидкости в полости, β – объемная плотность, ν
– кинематический коэффициент вязкости, P – коэффициент, определяемый
формой полости; для сферической полости радиуса a0 он равен P =
8πa70
525
[1].
Основное допущение – предположение о малости числа Рейнольдса Re:
Re = ℓV ν−1 ∼ a20T
−1
∗
ν−1 ∼ a20ων
−1 ≪ 1. (6)
Здесь l – характерный линейный размер полости (ℓ ∼ a0); V – характер-
ная скорость; T∗ – некоторый временной масштаб (T∗ ∼ ω−1). Если взять за
единицу длины и времени l и T∗ соответственно, то, согласно (6), кинемати-
ческий коэффициент вязкости является большим параметром [1]. Заметим
также, что масса жидкости может быть значительной, сравнимой с массой
системы.
Итак, в квазистатическом приближении возмущающие моменты сил, обу-
словленные упругостью и вязкостью демпфера, а также момент со стороны
вязкой жидкости в полости определяются мономами компонент вектора тре-
тьей, четвертой и пятой степеней соответственно. Малый тормозящий момент
сопротивления среды является линейным относительно угловой скорости воз-
мущением. Математическая модель управляемых вращений квазитвердого
тела построена в виде уравнений Эйлера (1).
Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений
ω(t0) = ω
0, ω(T ) = 0, T → minu, |u| ≤ 1. (7)
Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u(t,ω),
соответствующую ему траекторию ω (t, t0,ω
0) и время быстродействия T =
= T (t0, ω
0), а также функцию Беллмана задачи W = T (t,ω).
154
Оптимальное торможение вращений
2. Решение задачи оптимального торможения. Отметим, что мо-
менты сил, обусловленный вязкой жидкостью в полости, а также движением
вязкоупругого элемента, являются внутренними для фиктивного тела, а мо-
мент сил линейного сопротивления среды – внешним.
На основе динамического программирования и неравенства Шварца син-
тез оптимального по быстродействию управления имеет вид [6]
Mp = −b
Ap
G
, Mq = −b
Aq
G
, Mr = −b
Cr
G
, b = b (t,G) . (8)
Здесь b = b(t), 0 < b1 ≤ b ≤ b2 < ∞.
Умножим первое уравнение (1) на Ap, второе – на Aq, третье – на Cr
и сложим. Получим скалярное уравнение, подлежащее интегрированию, и
уравнение для T
Ġ = −b (t,G)− λG, G (t0) = G0, G
(
T, t0, G
0
)
= 0,
T = T
(
t0, G
0
)
, W (t,G) = T (t,G) .
В предположении b = b (t) получим решение и условие для T
G (t) = G0e−λ(t−t0) −
t
∫
t0
b (τ) e−λ(t−τ)dτ,
G0 = e−λt0
T
∫
t0
b (τ) eλτdτ, T = T
(
t0, G
0
)
.
(9)
Здесь t – текущее время процесса торможения, T – время быстродействия.
При b = const решение уравнения и краевой задачи (9) записывается сле-
дующим образом
G =
1
λ
[
(b+ λG0) exp(−λt)− b
]
, T =
1
λ
ln
(
G0λ
b
+ 1
)
, t0 = 0. (10)
Далее детально анализируется случай (10).
3. Анализ осевого вращения для управляемого движения тела.
Подстановка известного выражения для G из (10) в третье уравнение (1)
приводит к элементарному нелинейному уравнению относительно r
ṙ = −r
[
bG−1 + λ− C−1A−1(G2 − C2r2)(HA−1 −DC−1r2)
]
. (11)
Заменой осевой составляющей вектора угловой скорости r = GR, где R
– неизвестная функция, уравнение (11) приводится к виду, допускающему
разделение переменных и интегрирование
Ṙ = A−1C−1RG2(1−C2R2)
[
HA−1 −DC−1G2R2
]
. (12)
155
Я.С.Зинкевич, Т.А.Козаченко, А.Л.Рачинская,Д.Д.Лещенко
Вектор кинетического момента G при проектировании на главные цен-
тральные оси инерции тела приводит к выражению Cr = G cos θ, где θ –
сферический угол. В результате для неизвестной R получается соотношение
CR = cos θ. Уравнение (12) после перехода к неизвестной θ может быть пред-
ставлено в виде
θ̇ = A−1C−1λ−2 sin θ cos θ
[(
G0λ+ b
)
exp (−λt)− b
]2
×
×
{
−A−1H + C−3Dλ−2 cos θ
[(
G0λ+ b
)
exp (−λt)− b
]2
}
, θ (0) = θ0.
(13)
Без нарушения общности можно принять, что начальное значение
θ (0) = θ0 принадлежит первой четверти
(
0 ≤ θ0 <
π
2
)
. Если θ0 принимает
значения из указанного промежутка, то угол θ в процессе эволюции враще-
ний также не выйдет за его пределы, поскольку θ0 = 0, π�2 – стационарные
точки уравнения (13) независимо от изменения G.
Исследуем поведение сферического угла в малой полуокрестности стаци-
онарной точки θ0 = 0 уравнения (13): θ = δθ > 0.
Уравнение (13) примет вид
d (δθ)
dt
= A−1C−1λ−2
[(
G0λ+ b
)
exp (−λt)− b
]2
×
×
{
−A−1H + C−3Dλ−2
[(
G0λ+ b
)
exp (−λt)− b
]2
}
δθ,
(14)
|δθ| =
∣
∣δθ0
∣
∣ exp (K (t)) , (15)
K (t) = A−1C−1λ−3
[
1
4
C−3D
(
G0λ+ b
)4
(1− exp (−4λt))−
−
4
3
bC−3D
(
G0λ+ b
)3
(1− exp (−3λt))+
+
(
3b2C−3D −
1
2
A−1H
)
(
G0λ+ b
)2
(1− exp (−2λt))−
− 2
(
2b2C−3D −A−1H
)
b
(
G0λ+ b
)
(1− exp (−λt))+
+
(
b2C−3Dλ−1 −A−1Hλ
)
b2t
]
.
Из (15) следует, что при C > A (сплюснутое тело) вариация δθ монотонно
убывает (так как −H < 0, D < 0), а при C > A (вытянутое тело) – монотонно
возрастает (так как −H > 0, D > 0).
Рассмотрим второй случай: θ =
π
2
+ δθ, δθ < 0
(
θ∗ =
π
2
)
. Аналогично
(15) имеем
d (δθ)
dt
= A−2C−1Hλ−2
[(
G0λ+ b
)
exp (−λt)− b
]2
δθ. (16)
156
Оптимальное торможение вращений
|δθ (t)| =
∣
∣δθ0
∣
∣ exp
{
A−2C−1Hλ−2 ×
[
−0, 5
(
G0λ+ b
)
λ−1 (exp (−2λt)− 1)+
+2b
(
G0λ+ b
)
λ−1 (exp (−λt)− 1) + b2t
]}
.
Из (16) следует, что при A > C величина δθ монотонно убывает, а при
A < C монотонно возрастает.
Отметим, что в уравнение (16) не входят слагаемые, обусловленные вли-
янием подвижной массы.
При A ≈ C, а также
∣
∣δθ0
∣
∣ в окрестности стационарных точек могут быть
применены методы возмущений, которые в данном случае приводят к элемен-
тарным выражениям. Например, после первой итерации имеем выражение
для θ:
θ (t) = θ0 + S (t) , (17)
S (t) = (AC)−1λ−3 sin θ0 cos θ0
[
1
4
C−3Dλ−2cos2θ0
(
G0λ+ b
)4
(1− exp (−4λt))−
−
4
3
bC−3Dλ−2cos2θ0
(
G0λ+ b
)3
(1− exp (−3λt))+
+
(
3b2C−3Dλ−2cos2θ0 −
1
2
A−1H
)
×
×
(
G0λ+ b
)2
(1− exp (−2λt))− 2b
(
2b2C−3Dλ−2cos2θ0 −A−1H
)
×
×
(
G0λ+ b
)
(1− exp (−λt))− λ
(
−A−1H + b2C−3Dλ−2cos2θ0
)
b2t
]
.
4. Анализ вращений тела в экваториальной плоскости. Рассмот-
рим теперь изменение экваториальных составляющих переменных p, q, со-
гласно первым двум уравнениям (1) с учетом (8) и известных выражений
G(t), r(t) = C−1G(t) cos θ(t); коэффициент b будет также известной функци-
ей t : b = b(t,G(t)). Зависимость от параметров системы не указывается ради
сокращения записи. Введем переменную N = A
(
p2 + q2
)1�2 , имеющую смысл
модуля указанных составляющих, характеризующую эти вращения.
Умножая первое уравнение (1) на ApN−1, а второе – на AqN−1 и скла-
дывая, получим
Ṅ = −µ (t)N, µ (t) =
b (t)
G (t)
−A−1r2(t)
[
Dr2 (t) + L
]
+ λ, µ (t) > 0. (18)
После интегрирования имеем
N (t) = N0 exp
−
t
∫
0
µ (τ) dτ
, N0 ≡ A
(
(
p0
)2
+
(
q0
)2
)1�2
. (19)
С другой стороны, квадрат величины кинетического момента тела может
быть представлен в виде G2 = N2+C2r2. Отсюда легко получить выражение
для N : N =
(
G2 −C2r2
)1�2 или, учитывая соотношение Cr = G cos θ,
N = G| sin θ|. (20)
157
Я.С.Зинкевич, Т.А.Козаченко, А.Л.Рачинская,Д.Д.Лещенко
При b = const с учетом (10) имеем
N =
1
λ
[(
G0λ+ b
)
exp (−λt)− b
]
| sin θ|. (21)
Численный анализ изменения угла θ приведен в п. 5.
Используя известные выражения G (t) и r (t), приведем первые два урав-
нения системы (1) к виду линейных уравнений с переменными коэффициен-
тами и определенной симметрией. Эти уравнения содержит только “гироско-
пические” и “диссипативные” члены с коэффициентами g(t) и µ(t) соответ-
ственно
Ṅ = −µ (t)N+ g (t) IN, N = (Ap,Aq)T ,
g (t) = A−1r (t)
(
A− C + FG2 (t)
)
.
(22)
Здесь I – симплектическая матрица, а коэффициент d (t) определен в (18). Ги-
роскопический коэффициент g (t) совпадает с аналогичной величиной, опре-
деленной при движении тела со сферической полостью, заполненной несжи-
маемой жидкостью большой вязкости, и с вязкоупругим элементом [7].
Уравнение (20) для N интегрируется в явном виде. Полагая N = Nn, где
n = n (t) – орт вектора N, получим для неизвестной n уравнение ṅ = g (t) I n.
Начальное значение n (0) = n
0,
∣
∣n
0
∣
∣ = 1 определяется условием N
0 = N0
n
0.
Отметим, что |n (t)| ≡ 1 для всех t ∈ [0, T0]. Введем аргумент σ так, чтобы
n
′ = In; имеем
n (t) = Π (σ)n0, σ =
t
∫
0
g (t) dτ, Π(σ) =
(
cos σ sinσ
− sinσ cos σ
)
, (23)
где Π(σ) – матрица поворота (начального вектора n0) на угол σ.
Таким образом, прецессионные вращения квазитвердого тела (относи-
тельно оси в экваториальной плоскости) полностью определены уравнениями
(19), (23).
5. Численный анализ и выводы. Обратимся вновь при b = const
к задаче определения сферического угла θ(t) из уравнения (13). Запишем
уравнение (13) в следующем виде:
dθ
dτ
= −Γ1 sin θ cos θf
2(τ) + Γ2 sin θcos
3θf4(τ), (24)
где f(τ) = (1 + k∗) exp(−τ)− k∗, k∗ =
b
λG0
, τ = λt.
Коэффициенты Γ1 и Γ2 равны
Γ1 = A−2C−1Hλ−1, Γ2 = A−1C−4Dλ−1.
158
Оптимальное торможение вращений
Уравнение (24) было численно проинтегрировано для произвольных раз-
личных значений Γ1, Γ2, k
∗ и начального угла θ0 =
π
4
рад. Графики измене-
ния угла θ представлены на рис. 1–4.
Рис. 1 соответствует значениям безразмерных коэффициентов Γ1 = 1 и
Γ2 = 1. Кривые 1, 2 и 3 численно построены при различных значениях величи-
ны k∗ = 1, 0.5, 0.1 соответственно. Во всех расчетных случаях сферический
угол θ убывает до некоторого предельного значения. Видно, что характер
изменения функции существенно зависит от значения величины k∗. Необхо-
димо отметить, что наибольшее убывание угла θ наблюдается при значении
безразмерного коэффициента k∗ = 0.8. Это позволяет сделать вывод, что
отношение момента управляющих сил к величине кинетического момента в
начальный момент времени имеет некоторое критическое значение, которое
определяет переход от одного характера убывания функции θ(τ) к другому.
Рис. 1 Рис. 2
Кроме того, характер поведения функции θ(τ) определяется порядком
величины k∗. Если рассмотреть значения больше 1, что соответствует суще-
ственному влиянию момента управления при небольшой величине кинетиче-
ского момента в начальный момент времени, то сферический угол будет уве-
личиваться, достигая своего предельного значения, которое зависит от значе-
ния величины k∗. На рис. 2 представлены кривые для значений коэффициен-
та k∗ = 1, 0.5, 5. Согласно численному расчету, тело сначала поворачивается
в сторону уменьшения угла θ, а затем вращение меняет свое направление, и
сферический угол достигает своего предельного значения.
Однако во всех приведенных случаях за расчетный промежуток времени
тело успевает затормозиться.
Численное исследование влияния сил вязкой жидкости в полости и мо-
мента сил, обусловленного наличием вязкоупругого элемента, показало, что
характер поведения функции θ(τ) зависит от соотношения величин безраз-
мерных коэффициентов Γ1 и Γ2. При существенном влияния момента сил
вязкой жидкости происходит торможение твердого тела с предельным значе-
нием угла θ – нуль (рис. 3).
159
Я.С.Зинкевич, Т.А.Козаченко, А.Л.Рачинская,Д.Д.Лещенко
Рис. 3 Рис. 4
На рис. 3 представлены три кривые при значениях безразмерного коэф-
фициента Γ1 = 1, 5, 10 соответственно. Расчет проводился при начальном
значении сферического угла θ0 =
π
4
рад, при значении коэффициента Γ2 = 1
и для величины k∗ = 0.5. Видно, что характер изменения угла θ для разных
значений Γ1 = 1, 5, 10 одинаков, только само торможение тела происходит за
разные промежутки времени.
Влияние момента сил, обусловленного наличием вязкоупругого элемента,
приводит к росту угла θ до предельного значения, которое определяется са-
мими безразмерными коэффициентами. При существенном влиянии момента
сил, зависящего от вязкоупругого элемента, тело тормозит, отклоняясь на
угол θ0 =
π
2
.
На рис. 4 представлены кривые 1, 2, 3 при значениях безразмерного ко-
эффициента Γ2 = 1, 10, 100 соответственно. Расчет проводился при началь-
ном значении сферического угла θ0 =
π
4
рад, при значении коэффициента
Γ1 = 0.001 и для величины k∗ = 1. Согласно полученным результатам видно,
что угол θ увеличивается со временем до предельного значения, при этом
происходит торможение самого тела.
Заключение. Аналитически и численно исследована задача синтеза оп-
тимального по быстродействию торможения вращений динамически симмет-
ричного “квазитвердого” тела в сопротивляющейся среде. В рамках асимпто-
тического подхода определены управление, время быстродействия (функция
Беллмана) и сферический угол θ, установлены качественные свойства опти-
мального движения.
Авторы благодарят Л.Д.Акуленко за ценные советы и полезные обсуж-
дения.
1. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполнеными вязкой жидко-
стью, при малых числах Рейнольдса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1965. – 5,
вып. 6. – С. 1049–1070.
160
Оптимальное торможение вращений
2. Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела с подвижными внутренними массами //
Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1973. – № 4. – С. 33–44.
3. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Быстрое вращение вокруг неподвиж-
ной точки тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде // Там же. – 1982. – №
3. – С. 5–13.
4. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов: Ана-
литические методы. – М.: Наука, 1985. – 288 c.
5. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д. Некоторые задачи движения твердого тела с подвижной
массой // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1978. – № 5. – С. 29–34.
6. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1987.
– 368 c.
7. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д. Оптимальное торможение вращений твердого тела с
внутренними степенями свободы // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 1995.
– № 2. – С. 115–122.
8. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Оптимальное торможение вращений
динамически симметричного тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, в со-
противляющейся среде // Там же. – 2010. – № 2. – С. 56–60.
Ya.S. Zinkevich, T.A.Kozachenko, A.L. Rachinskaya, D.D. Leshchenko
Optimal deceleration of rotation of a symmetric gyrostat with a moving mass
in a resistive medium
The problem of time-optimal deceleration of rotation of a free solid body is studied. It is assumed
that the body contains a spherical cavity filled with highly viscous liquid. Solid body carries
a moving point mass connected to the body by an elastic coupling with viscous friction. Low
decelerating moment of linear friction forces acts on the solid body. It is assumed that the body
is dynamically symmetric. The optimal control law for deceleration of rotation of the carrier solid
body in the form of synthesis, the operation time, and the phase trajectories are determined.
Keywords: optimal deceleration, rotation, solid body.
Я.С.Зiнкевич, Т.А. Козаченко, А.Л.Рачинська, Д.Д.Лещенко
Оптимальне гальмування обертань симетричного гiростата з рухомою ма-
сою у середовищi з опором
Дослiджено задачу про оптимальне за швидкодiєю гальмування обертань вiльного твердого
тiла. Передбачається, що тiло мiстить сферичну порожнину, заповнену рiдиною великої
в’язкостi. Крiм того тiло мiстить в’язкопружний елемент, модельований рухомою точко-
вою масою, з’єднаною демпфером з корпусом. На тверде тiло також дiє малий гальмуючий
момент лiнiйного опору середовища. Вважається, що в недеформованому станi тiло дина-
мiчно симетричне, а маса лежить на осi симетрiї. Визначено оптимальний закон керування
для гальмування обертань несучого твердого тiла у формi синтезу, час швидкодiї i фазовi
траєкторiї.
Ключовi слова: оптимальне гальмування, обертання, тверде тiло.
Гос. академия строительства и архитектуры, Одесса;
Национальный ун-т им.И.И.Мечникова, Одесса
yaninaz@mail.ru, leshchenko_d@ukr.net, rachinskaya@onu.edu.ua
Получено 01.08.10
161
|