Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси
Рассмотрена задача об устойчивости вращения вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с демпфером пассивного типа. Изучен вопрос об оптимальном выборе параметров стабилизирующего устройства (СУ), обеспечивающих наибольшую скорость стремления возмущенных движений к невозмущенному. Предложен новый подход в...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28054 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 172-180. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28054 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280542011-10-27T12:08:29Z Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. Рассмотрена задача об устойчивости вращения вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с демпфером пассивного типа. Изучен вопрос об оптимальном выборе параметров стабилизирующего устройства (СУ), обеспечивающих наибольшую скорость стремления возмущенных движений к невозмущенному. Предложен новый подход в оценке величин характеристических показателей для уравнения высокой (шестой) степени. Получены соответствующие асимптотические приближения. Розглянуто задачу про стiйкiсть обертань навкруги вертикалi гiроскопа Лагранжа з демпфером пасивного типу. Дослiджено питання оптимального вибору параметрiв стабiлiзуючого пристрою (СП), що забезпечують найбiльшу швидкiсть прямування збурених рухiв до незбуреного. Запропоновано новий пiдхiд для оцiнювання величин характеристичних показникiв для рiвняння високої (шостої) степенi. Отримано вiдповiднi асимптотичнi наближення. In the paper a stability problem of the Lagrange’s gyroscope rotation, with attached passive-type damper, around the vertical axis is investigated. The question of optimum parameters choice of stabilizing device, which guarantee the maximal damping degree of perturbed motions, is studied. The novel approach to estimate the Lyapunov’s exponents for characteristic equation of six’s order is suggested. Some asymtotical formulas are given. 2010 Article Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 172-180. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28054 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача об устойчивости вращения вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с демпфером пассивного типа. Изучен вопрос об оптимальном выборе параметров стабилизирующего устройства (СУ), обеспечивающих наибольшую скорость стремления возмущенных движений к невозмущенному. Предложен новый подход в оценке величин характеристических показателей для уравнения высокой (шестой) степени. Получены соответствующие асимптотические приближения. |
| format |
Article |
| author |
Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| spellingShingle |
Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси Механика твердого тела |
| author_facet |
Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| author_sort |
Позднякович, А.Е. |
| title |
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси |
| title_short |
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси |
| title_full |
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси |
| title_fullStr |
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси |
| title_full_unstemmed |
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси |
| title_sort |
пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28054 |
| citation_txt |
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 172-180. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT pozdnâkovičae passivnaâstabilizaciâravnomernyhvraŝenijtverdogotelavokrugglavnojosi AT puzyrevve passivnaâstabilizaciâravnomernyhvraŝenijtverdogotelavokrugglavnojosi |
| first_indexed |
2025-07-03T08:06:23Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:06:23Z |
| _version_ |
1836612304524804096 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.36
c©2010. А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
ПАССИВНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ РАВНОМЕРНЫХ
ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ГЛАВНОЙ ОСИ
Рассмотрена задача об устойчивости вращения вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с
демпфером пассивного типа. Изучен вопрос об оптимальном выборе параметров стаби-
лизирующего устройства (СУ), обеспечивающих наибольшую скорость стремления возму-
щенных движений к невозмущенному. Предложен новый подход в оценке величин харак-
теристических показателей для уравнения высокой (шестой) степени. Получены соответ-
ствующие асимптотические приближения.
Ключевые слова: демпфер пассивного типа, характеристический показатель, малый па-
раметр.
1. Постановка задачи. Исходные соотношения. Рассмотрим тяже-
лое твердое тело, имеющее неподвижную точку O, и введем в рассмотрение
две системы координат: неподвижную Oxyz и связанную с телом Ox1y1z1.
Предполагается, что тело является динамически симметричным, а центр масс
O1 тела принадлежит оси Oz1; |OO1| = l1. В качестве обобщенных коор-
динат, определяющих положение связанной системы координат относительно
неподвижной, выберем корабельные углы (углы Крылова) θ, ϕ, ψ, которые
вводятся обычным образом [1]. Параллельно плоскости Ox1y1 в теле жест-
ко закреплена направляющая прямая LN , пересекающая ось симметрии в
точке O2, |OO2| = l2. Вдоль направляющей может двигаться материаль-
ная точка N, на которую действуют линейная упругая сила, приложенная
в точке O2, и сила вязкого трения. Все связи предполагаются идеальны-
ми. Поскольку тело является динамически симметричным, то можно счи-
тать что LN коллинеарна главной оси инерции тела (например, первой).
Радиус-вектор точки N в системе координат, связанной с телом, запишем
как rN = l2(ξex1
+ ez1). Обобщенная координата ξ равняется отношению
алгебраической проекции вектора O2N на ось Ox1 к расстоянию l2 . Учи-
тывая, что vN = lξ̇ex1
+ω×rN , а проекции вектора угловой скорости на оси
связанной системы координат определяются формулами [1]
ω1 = ψ̇ cos θ sinϕ+ θ̇ cosϕ, ω2 = ψ̇ cos θ cosϕ− θ̇ sinϕ, ω3 = −ψ̇ sin θ + ϕ̇,
для кинетической и потенциальной энергий твердого тела и материальной
точки N получаем:
KS =
1
2
[I1(ω
2
1 + ω2
2) + I3ω
2
3 ], ΠS =Mgl1 cosψ cos θ,
KN =
1
2
ml22[ξ̇
2 + ω2
1 + ω2
2 + ξ2(ω2
2 + ω2
3) + 2ξ̇ω2 − 2ξω1ω3],
172
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела
ΠN = mgl2[ξ(− cosϕ sinψ + sin θ sinϕ cosψ) + cosψ cos θ] +
1
2
κ(ξ − ξ0)2,
где I1, I3 – экваториальный и осевой моменты инерции тела относительно
неподвижной точки, m1, m2 – массы тела и материальной точки соответ-
ственно, g – ускорение силы тяжести. Тогда выражение для кинетической
энергии рассматриваемой системы принимает вид
K = KS +KN =
1
2
(I1+m2l
2
2)(ψ̇
2 cos2 θ+ θ̇2)+m2l
2
2ξ
2[ψ̇2(cos2 θ cos2 ϕ+sin2 θ)+
+θ̇2 sin2 ϕ+ ϕ̇2 − 2ψ̇θ̇ cos θ sinϕ cosϕ− 2ψ̇ϕ̇ sin θ] + I3(ψ̇ sin θ − ϕ̇)2+
+m2l
2
2[ξ̇
2 + 2ξ̇(ψ̇ cos θ cosϕ− θ̇ sinϕ) + 2ξ(ψ̇2 sin θ cos θ sinϕ−
−ψ̇θ̇ sin θ cosϕ− ψ̇ϕ̇ cos θ sinϕ+ θ̇ϕ̇ cosϕ)].
Уравнения движения механической системы запишем в форме Лагранжа
второго рода:
d
dt
∂L
∂q̇j
−
∂L
∂qj
= Qj (q̇s, qs) (j = 1, 4), Q = col(0, 0, 0,−~ξ̇). (1)
Они допускают решение
θ = ψ = 0, ϕ = ωt, ξ = 0, θ̇ = ψ̇ = 0, ϕ̇ = ω, ξ̇ = 0, (2)
которому соответствуют равномерные вращения тела вокруг оси динамиче-
ской симметрии, материальная точка N находится на этой оси. Перейдем к
возмущениям по переменным θ, ψ, ξ и введем безразмерные параметры и
время по формулам
a = I1/I3 − 1, ε = m2l
2
2/I3, µ = m1l1g/I3ω
2, ν = I3/m1l1l2,
(3)
h = ~/m2l
2
2ω, κ = κ/m2l
2
2ω
2 − 1, τ = ωt.
Уравнения в вариациях (с точностью до положительного множителя) запи-
шем так:
(1 + ε)θ′′v − εξ′′v sin τ + (a+ 1)ψ′
v − 2εξ′v cos τ + εξv sin τ − µ(1 + εν)θv = 0,
(1 + ε)ψ′′
v + εξ′′v cos τ − (a+ 1)θ′v − 2εξ′v sin τ − εξv cos τ − µ(1 + εν)ψv = 0, (4)
−θ′′v sin τ + ψ′′
v cos τ + ξ′′v + hξ′v + µεν(θv sin τ − ψ cos τ) + κξv = 0.
Система (4) – система с периодическими коэффициентами, но с помощью
невырожденного линейного преобразования
θv = x cos τ − y sin τ, ψv = x sin τ + y cos τ, ξv = z
173
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
сводится к автономной системе
(1 + ε)x′′ − (1− a)y′ − 2εz′ + [a− µ− ε(1 + µν)]x = 0,
(1 + ε)y′′ + εz′′ + (1− a)x′ + [a− µ− ε(1 + µν)]y − εz = 0, (5)
y′′ + z′′ + 2x′ + hz′ − y + κz = 0.
Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости изу-
чаемого движения (по отношению к позиционным координатам и скоростям)
приведены в [2] (тело при этом предполагалось несимметричным, а уравнения
движения были записаны в углах Эйлера). Эти условия для характеристиче-
ского многочлена
c6λ
6 + c5λ
5 + c4λ
4 + c3λ
3 + c2λ
2 + c2λ+ c0 = 0 (6)
нетрудно получить на основе критерия Рауса–Гурвица [3]:
c6 > 0 , c3 > 0 , c1 > 0 , c0 > 0 ,
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
c5 c3 c1
c6 c4 c2
0 c5 c3
∣∣∣∣∣∣
> 0, ∆5 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c5 c3 c1 0 0
c6 c4 c2 c0 0
0 c5 c3 c1 0
0 c6 c4 c2 c0
0 0 c5 c3 c1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
> 0 . (7)
Здесь c6 = 1+ ε, c5 = h(1+ ε)2, c4 = k+ a2 +1− 2µ+ ε[2κ+5a−µ(1+ 2ν)]+
+ε2(κ+ 5− µν), c3 = h[(a2 + 1− 2µ)− 2(1− a+ µν + µ)− 2ε2(1 + µν), (8)
c2 = k(a2 + 1− 2µ) + (a− µ)2 − ε[2κ(1− a+ µν + µ)− 3 + 2aµν + 4µ− 2µ2ν]−
−2ε2[2κ(1+µν)+6+4µν−µ2ν2], c1 = h[(a−µ)2−2ε(a−µ)(1+µν)]+ε2(1+µν)2],
c0 = k(a− µ)2 − ε(a− µ)[1 + 2κ(1 + µν)] + ε2(1 + µν)[1 + κ(1 + µν)].
Условия (7) сводятся к двум неравенствам
a− µ− ε(1 + µν) > 0, κ[a− µ− ε(1 + µν)]− ε > 0. (9)
Другими словами, для любого набора параметров κ, h, ν, ε, характери-
зующих демпфер, выполнение неравенств (9)1, теоретически, обеспечивает
асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (5). Однако, при
попытке численно построить фазовые траектории, обнаружился любопыт-
ный факт: для любых “выбранных наугад” допустимых значений параметров
из области (9) и как угодно малых начальных возмущений не наблюдалось
1В дальнейшем набор параметров κ, h, ν, ε, удовлетворяющих (9), будем называть до-
пустимым.
174
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела
стремления решений к нулю за сколь-нибудь разумный, с практической точ-
ки зрения, промежуток времени (например, за 105 τ -секунд). Причина этого
стала понятна после нахождения (численного, при заданных значениях пара-
метров из (3)) характеристических показателей – все они были отрицатель-
ны, но наибольший из них, “ответственный” за скорость стремления возму-
щенных решений к нулю, имел порядок в пределах 10−10 − 10−6. Поэтому
и возник вопрос об определении параметров СУ, обеспечивающих “приемле-
мую” скорость затухания.
Таким образом, задача заключается в выборе таких параметров СУ, при
которых скорость затухания возмущенных движений будет наибольшей. При-
менительно к λ-матрице, соответствующей дифференциальному оператору
уравнений (5), это означает, что нужно: а) получить выражение (дать соот-
ветствующую оценку) для p – модуля максимальной вещественной части
собственных значений этого оператора, как функции переменных κ, h, ν, ε,
при заданных (но неизвестных) параметрах a, µ; б) определить условия,
при которых величина p будет наибольшей.
Характеристический многочлен в (6) имеет шестую степень и не может
быть представлен в виде произведения многочленов меньшей степени с ра-
циональными коэффициентами (за исключением немногочисленных частных
случаев, о которых здесь говорить не будем). По этой причине записать точ-
ное выражение для p не представляется возможным. Рассмотрим вопрос о
получении эффективной оценки для этого выражения, с этой целью восполь-
зуемся методами теории возмущений [4].
Поскольку масса и размеры СУ для реальных объектов малы по сравне-
нию с соответствующими характеристиками носителя, то величину ε будем
считать малым параметром. Сделаем замену λ = λ̃−σ и обозначим коэффи-
циенты полученного многочлена f(λ̃) через c̃j (j = 0; 6). Они выражаются
через коэффициенты (8) по формулам
c̃6 = c
(0)
6 , c̃5 = c5 − 6σc6, c̃4 = c4 − 5σc5 + 15σ2c6, c̃3 = c3 − 4σc4 + 10σ2c5−
−20σ3c6, c̃2 = c2−3σc3+6σ2c4−10σ3c5+15σ4c6, c̃1 = c1−2σc2+3σ2c3− (10)
−4σ3c4 + 5σ4c5 − 6σ5c6, c̃0 = c0 − σc1 + σ2c2 − σ3c3 + σ4c4 − σ5c5 + σ6c6.
Определители, соответствующие критерию Рауса–Гурвица для f(λ̃) ,
можно представить следующим образом:
∆̃3 = f1(σ) + σ2Q
(4)
1 (σ), ∆̃5 = f2(σ) + σ3Q
(12)
2 (σ), (11)
где
f1(σ) = ∆3 − δ0σ, f2(σ) = ∆5 − 2δ1σ + δ2σ
2, (12)
а Q1, Q2 – многочлены переменной σ четвертой и двенадцатой степени
соответственно. Здесь
δ0 = −2h{2κ2 − 2κ(a2 + 1− 2µ) + a4 + 1− 4µ(a2 − a+ 1) + 2µ2 + h2(a− 1)2+
175
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
+ε[2κ(3a2 + 6a+ 7− 4µ) + a4 + 9a3 + 7a2 − a− 8 + µ(−a2 − 16a+ 17)− 3µ2]+
+ε2[8νµκ+3a3+23a2+37a+25+2νµ(3a2 +5a−2)−µ(25−a2)−µ2(2ν−3)]+
+νµε3[2(a2 + 7a+ 14) + µ(5ν − 6)] + 3ν2µ2ε4}, δ1 = 4c35c1c0 − c25(c0c
2
3+
+4c4c
2
1 − 4c4c2c0 + 9c6c
2
0 + c32) + c5(6c4c6c1c0 + c4c3c
2
2 − 4c3c0c
2
4 − 2c6c
2
2c1+
+c4c
2
3c1 + 3c6c2c0c3 + 4c6c3c
2
1)− c6c
2
3c
2
2 + c6c4c3c2c1 + 3c26c2c1
2 − c6c
3
3c1−
−9c26c3c1c0 + 3c6c4c0c
2
3 − c6c
2
4c
2
1, δ2 = 4[c35(7c2c0 − 4c21)− c25(c3c
2
2 − 21c6c1c0+
+3c4c2c1 + 9c4c3c0 + c23c1) + c5(3c6c0c
2
3 − 4c6c
3
2 − 9c4c6c
2
1 − 27c26c
2
0 + 18c4c6c2c0+
+2c4c2c
2
3 − 4c34c0 + c3c
2
4c1 + c24c
2
2 + 3c6c3c2c1) + 6c26c3c
2
1 − 2c6c2c
3
3]. (13)
Задача отыскания минимального характеристичного числа (МХЧ) ре-
шений уравнений (5) равносильна задаче нахождения наибольшего (веще-
ственного) числа p такого, что для любого σ ∈ [0, p] система алгебраи-
ческих неравенств, которая получается из (7) путем формального дописы-
вания в левых частях символа ˜ и заменой знаков > на ≥, совместна.
Нетрудно видеть, что p = min{pj} , где pj − последовательность, со-
ставленная из меньших, положительных, простых корней полиномов c̃s(σ)
(s = 0; 5); ∆̃3(σ), ∆̃5(σ), при этом 1 ≤ j ≤ 42 ( 42 – сумма степеней этих
многочленов).
Основную трудность представляет анализ выражения ∆̃5(σ) – вопрос о
числе вещественных корней многочлена пятнадцатой степени. Предваритель-
но докажем следующее вспомогательное утверждение.
Утверждение 1. Существует такое положительное число ε0 (зависящее
от параметров a, µ, µ0, κ, h), что для любых значений ε ∈ [0, ε0] при выпол-
нении неравенств
µ < a, σ <
h
6
, κ > σ(h− σ) (14)
уравнение ∆̃5(σ) = 0 имеет в точности три вещественных корня.
Доказательство. Приведем выражение для ∆̃5 при ε = 0 :
∆̃0
5 = σ2(h− 2σ)[4σ2 + (a− 1)2][4σ2 + (a+ 1)2 − 4µ]Q3(σ),
где Q3 = 4k4 − 8k3(4hσ + a2 + 1− 2µ+ 8σ2) + 4k2[h2(a2 + 1− 2µ + 24σ2)−
−4hσ(a2+1−2µ−24σ2)+a4+4a2+1−4µ(a2+a+1)−8σ2(a2+1−2µ)+96σ4)−
−16k{h3σ(a2+1−2µ+8σ2)+h2[(a−µ)2−4σ2(a2+1−2µ)−48σ4]+hσ[a4−4a2+1−
−4µ(a2−3a+1)−2µ2+8σ2(a2+1−2µ)+96σ4]+a2(a2+1)−2aµ(a2+a+1)+
+µ2(a2 + 4a+ 1)− 2µ3 − 4σ2[a4 − 4a2 + 1− 4µ(a2 − 3a+ 1)− 2µ2]− 16σ4(a2+
+1− 2µ)− 128σ6}+ 4h4[(a− µ)2 + 4σ2(a2 + 1− 2µ) + 16σ4]− 32h3σ[(a− µ)2+
176
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела
+4σ2(a2 +1− 2µ)+ 16σ4] + 4h2{a2(a2 +1)− 2aµ(a2 + a+1)+µ2(a2 +4a+1)−
−2µ3+4σ2[a4+8a2+1−4µ(a2+3a+1)+10µ2]+112σ4(a2+1−2µ)+384σ6}−
−16hσ{a2(a2 + 1)− 2aµ(a2 + a+ 1) + µ2(a2 + 4a+ 1)− 2µ3 + 4σ2[a4 + 4a2+
+1− 4µ(a2 + a+ 1) + 6µ2] + 48σ4(a2 + 1− 2µ) + 128σ6}+ 4(a− µ)4+
+32σ2[a2(a2 +1)− 2aµ(a2 + a+1)+µ2(a2 +4a+1)− 2µ3] + 64σ4[a4 +4a2 +1−
−4µ(a2 + a+ 1) + 6µ2] + 512σ6(a2 + 1− 2µ) + 1024σ8.
Выражение Q3 – многочлен четвертой степени относительно переменных k
и h. Можно показать, используя соответствующий критерий знакоопреде-
ленности, что Q3 > 0 в области D, определяемой неравенствами (14). Од-
нако этот путь достаточно громоздкий, поэтому воспользуемся более про-
стой схемой доказательства. Предположим, что существует такая точка
M(a1, µ1, k1, h1, σ1) области D, что Q3(M) ≤ 0. Рассмотрим функцию
двух переменных F (a, µ) = Q3(a, µ, k1, h1, σ1) и найдем ее наименьшее
значение в замкнутой области D1 = { 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ µ ≤ a}. Покажем, что
внутри этой области не содержится точек экстремума. Вычисляя соответ-
ствующие частные производные и приравнивая их нулю, с помощью системы
аналитических вычислений получаем координаты пяти точек, три из которых
принадлежат границе (a = 1 для двух точек и µ = a для третьей). Коорди-
наты остальных двух суть {a = 1 −
√
4k1 − h21, µ = k1 − 2h1σ1 + 4σ21 + a};
{a = 1± ı(h1 − 4σ1), µ = −k1 + 2h1σ1 − 4σ21 + a}.
Первое решение является вещественным при k1 ≥ h21/4, но тогда
µ = (k1 −
1
4
h21) +
1
4
(h1 − 4σ1)
2 + a ≥ a,
т.е. не принадлежит внутренности области. Второе решение также не под-
ходит, поскольку является вещественным только при условии h1 = 4σ1, но
тогда a = 1. Таким образом, функция F не имеет стационарных точек и, как
следствие, точек экстремума и принимает наименьшее значение на границе
области. Последовательно вычисляем
F (a, 0) = 4[(ρ− 1)2 + (h1 − 4σ1)
2][(ρ− a2)2 + a2(h1 − 4σ1)
2] ≥ 0,
F (a, a) = 4ρ2[(ρ− a2+2a− 1)2+(a− 1)2(h1 − 4σ1)
2] ≥ 0, ρ = k1 − 2h1σ1+4σ21,
F (1, µ) = 4[(k21 − 2(1 + 2h1σ1 − 4σ21 − µ)k1 + 1− 4h1σ1 − 8σ21 − 2µ+
+4h21σ
2
1 − 16h1σ
3
1 + 4h1σ1µ+ 16σ41 − 8σ21µ+ µ2 + 16σ21 + h21 − µh21]
2 ≥ 0.
Следовательно, при 0 < a < 1, 0 < µ < a функция F (a, µ) строго положи-
тельна, и исходное предположение о существовании точки M неверно.
На рисунке представлен типичный вид поверхности ∆̃5 = 0 при
a = 0.5, µ = 0.2, ν = 1, ε = 0.05.
177
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
Рис. 1. Вид поверхностей, соответствующих вещественным
решениям уравнения ∆̃5 = 0.
Для определения корней многочлена f2(σ) запишем его коэффициенты
(с точностью до положительного множителя)
k2 = 4(a2+2a+1−4µ){h4(a−µ)2+h2[κ2(a2+1−2µ)−4κ(a−µ)2+(a−µ)2(a2+1−
−2µ)]+[κ2−κ(a2+1−2µ)+(a−µ)2 ]2}+O(ε), k1 = ε(a2+2a+1−4µ){(a−µ)(a3+
+a2(3−µ)−4µa+µ2−3µ+1)h2+κ2[a4+3a3+3a2(1−µ)+a(1−4µ)+µ2−µ]−
−2κ[a4 + a3(3− 2µ) + a2(3− 7µ+ µ2) + a(1− 6µ+5µ2)− µ(1− 3µ+ µ2)] + a4+
+a3(3−4µ)+a2(3−11µ+6µ2)+a(1−8µ+14µ2−4µ3)−µ(1−5µ+6µ2−µ3}+O(ε2),
k0 = ε2h2µ4(a− µ) +O(ε3).
Если параметры κ, h выбраны произвольно или же заданы с некоторой
погрешностью, то в качестве приближения p следует брать меньший корень
σ1 многочлена f2(σ) (при этом σ1 и σ2 сильно разнятся по величине).
Все остальные условия выполняются автоматически, как более слабые огра-
ничения на σ. Если же параметры СУ можно настроить достаточно точно,
то значения, обеспечивающие максимальный эффект – наибольшую скорость
затухания, можно рассчитать следующим образом.
Наибольшее значение для p получится при σ1 = σ2, т.е. когда
4k2k0 − k21 = 0. Разрешая последнее равенство относительно безразмерно-
го коэффициента демпфирования, находим
h2 = −{κ20[a(a+ 1)4 − µ(5a+ 1)(a+ 1)2 + µ2(5a+ 3)]− 2κ0[a(a+ 1)4−
−µ(a+ 1)2(2a2 + 7a+ 1) + µ2(a3 + 10a2 + 16a+ 5)− µ3(3a+ 5)]+
(21)
+a(a+ 1)4 − µ(a+ 1)2(4a2 + 9a+ 1) + µ2(6a3 + 28a2 + 31a+ 7)−
178
Пассивная стабилизация равномерных вращений твердого тела
−2µ3(2a2+11a+7)+µ4(a+7)}{(a−µ)[(a+1)4−µ(a+1)2(a+5)+µ2(3a+5)]}−1.
Легко убедиться в том, что выражение во вторых фигурных скобках поло-
жительно. Выражение в первых фигурных скобках представляет собой квад-
ратный трехчлен относительно κ0 и имеет два положительных корня κ⋆ , κ
⋆
(которые зависят от a, µ, т.е. динамических характеристик тела-носителя).
Очевидно, что для существования значения h, удовлетворяющего (21), необ-
ходимо и достаточно, чтобы
κ⋆ < κ0 < κ⋆. (22)
Подставляя (21) в f2, находим
p0 = hU(a, µ){(1 − a)(a2 + 2a+ 1− 4µ)[κ20 − (a− µ)2]}−1. (23)
Здесь U совпадает с выражением в квадратных скобках при κ0 в равен-
стве (21). Найдем наибольшее значение функции p0(κ0) в интервале (22).
Вычисляя ее производную, получаем для нахождения стационарных точек
следующее уравнение третьего порядка:
f(κ0) = κ30[a(a+1)4−µ(a+1)2(5a+1)+µ2(5a+3]−3κ20[a(a+1)4−µ(a+1)2(2a2+
+11a+7)+µ2(a3+10a2+16a+5)−µ3(3a+5)]+κ0 [a(a+1)4(a2+2)−µ(a+1)2(2a4+
+9a3+11a2+18a+2)+µ2(a5+14a4+45a3+77a2+65a+14)−µ3(5a3+29a2+57a+
+29)+µ4(7a+17)]− [a3(a+1)4−µa2(a+1)2+µ2a(6a4+36a3+56a2+27a+3)−
−µ3(4a4 + 34a3 + 54a2 + 19a+ 1)− µ4(a3 + 16a2 + 26a + 5) + µ5(3a+ 5)] = 0.
Можно, вычислив дискриминант многочлена f(κ0), доказать его поло-
жительность в области (14), т.е. существование трех действительных (поло-
жительных) корней. Однако, поскольку нас интересуют корни, принадлежа-
щие интервалу (22), проще поступить иначе. Вычислим (с помощью САВ)
выражение f(κ⋆) и убедимся, что его наименьшее значение в области (14)
положительно. Следовательно f(κ⋆) > 0, и, поскольку f(0) < 0, первый
из корней f лежит в промежутке (0, κ⋆). Аналогично можно показать, что
f(κ⋆) < 0, значит второй корень f лежит в промежутке (κ⋆, κ
⋆). Наконец,
третий корень принадлежит промежутку (κ⋆,+∞). 2 Таким образом, сред-
ний корень многочлена f(κ0) соответствует точке максимума и является
искомым оптимальным приближением для жесткости СУ. Точное выраже-
ние для κopt0 можно получить согласно формуле Кардано, однако учитывая,
что коэффициенты уравнения зависят от двух параметров, это выражение
является неудобным для практических целей и его целесообразно заменить
асимптотическим приближением.
2Другими словами, многочлены f(ξ), h2(ξ) суть полиномы с перемежающимися кор-
нями, и этот факт можно установить так же, используя один из критериев работы [5].
179
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
Заключение. По идейной направленности проведенные здесь исследо-
вания продолжают тематику исследований, выполненных в [6 – 9]. Вместе с
тем, предложенный подход позволяет давать не только качественную оценку
поведения возмущенных решений (притягиваются или нет к невозмущенно-
му), но и оценивать скорость притяжения и, как следствие, устанавливать
степень эффективности СУ конкретного типа.
1. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
2. Лосева Н.Н. Устойчивость движений твердого тела с подвижной точечной массой при
наличии частичной диссипации. – Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. – Донецк,
1989. – 13 с.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 576 с.
4. Найфе А. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984. – 535 с.
5. Чеботарев Н.Г., Мейман Н.Н. Проблема Рауса–Гурвица для полиномов и целых функ-
ций. – Тр. мат. ин-та им.В.А. Стеклова. – М.:Изд-во АН СССР, 1949. – XXVI – 331 с.
6. Peiffer K., Savchenko A.Ya. On passive stabilization in critical cases // J. of Math. Analysis
and Applications. – 2000. – 244. – P. 106–119.
7. Позднякович А.Е., Савченко А.Я. Пассивная стабилизация малых колебаний физи-
ческого маятника относительно наклонной оси // Механика твердого тела. – 2003. –
Вып. 33. – С. 97–100.
8. Савченко А.Я., Кравченко В.В. О скорости затухания малых колебаний физического
маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации
// Там же. – 2004. – Вып. 34. – С. 106–111.
9. Савченко А.Я., Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Пассивная стабилизация положения
равновесия двузвенного маятника с упругими связями // Там же. – 2006. – Вып. 36. –
С. 104–113.
A.E.Pozdnyakovih, V.E.Puzirev
A passive stabilization of permanent rotations of the rigid body around the
principal axis
In the paper a stability problem of the Lagrange’s gyroscope rotation, with attached passive-type
damper, around the vertical axis is investigated. The question of optimum parameters choice
of stabilizing device, which guarantee the maximal damping degree of perturbed motions, is
studied. The novel approach to estimate the Lyapunov’s exponents for characteristic equation
of six’s order is suggested. Some asymtotical formulas are given.
Keywords: passive damper, characteristical exponent, small parameter.
О.Є.Позднякович, В.Є.Пузирьов
Пасивна стабiлiзацiя рiвномiрних обертань твердого тiла навкруги голов-
ної осi
Розглянуто задачу про стiйкiсть обертань навкруги вертикалi гiроскопа Лагранжа з дем-
пфером пасивного типу. Дослiджено питання оптимального вибору параметрiв стабiлiзу-
ючого пристрою (СП), що забезпечують найбiльшу швидкiсть прямування збурених рухiв
до незбуреного. Запропоновано новий пiдхiд для оцiнювання величин характеристичних
показникiв для рiвняння високої (шостої) степенi. Отримано вiдповiднi асимптотичнi на-
ближення.
Ключовi слова: демпфер пасивного типу, характеристичний показник, малий параметр.
Донбасcкая национальная акад. строительства и архитектуры,
Макеевка;
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
vpsr@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 15.07.10
180
|