Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка
Рассмотрены задачи управления и стабилизации линейных динамических систем, управляемых лишь с помощью импульсов первого порядка. Показано, что при таких управляющих воздействиях сохраняется ранговое условие управляемости Калмана для линейных систем. Для двумерных систем построено импульсное управлен...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28057 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка / В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 200-209. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28057 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280572011-10-27T12:14:10Z Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка Неспирный, В.Н. Рассмотрены задачи управления и стабилизации линейных динамических систем, управляемых лишь с помощью импульсов первого порядка. Показано, что при таких управляющих воздействиях сохраняется ранговое условие управляемости Калмана для линейных систем. Для двумерных систем построено импульсное управление с обратной связью, которое обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия. Доказано, что такое управление является оптимальным по количеству скачков траектории. В роботi розглядаються задачi керування та стабiлiзацiї лiнiйних динамiчних систем, що керуються лише iмпульсами першого порядку. Показано, що рангова умова керованостi Калмана для лiнiйних систем зберiгається при обмеженнi класу припустимих керувань за рахунок виключення неперервних керувань. Для двовимiрних систем побудовано iмпульсне керування зi зворотним зв’язком, що забезпечує асимптотичну стiйкiсть стану рiвноваги. Доведено, що таке керування є оптимальним за кiлькiстю стрибкiв траєкторiї. In the paper, control and stabilization problems are considered for linear systems controlled by first-order impulses only. It is shown that the Kalman rank condition for linear systems remains to be true when the class of admissible controls is reduced by excluding continuous controls. For two-dimensional systems, the impulsive feedback control ensuring asymptotic stability of the equilibrium is constructed. It is proved that this control is optimal with respect to the number of trajectory jumps. 2010 Article Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка / В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 200-209. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28057 62-50 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрены задачи управления и стабилизации линейных динамических систем, управляемых лишь с помощью импульсов первого порядка. Показано, что при таких управляющих воздействиях сохраняется ранговое условие управляемости Калмана для линейных систем. Для двумерных систем построено импульсное управление с обратной связью, которое обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия. Доказано, что такое управление является оптимальным по количеству скачков траектории. |
| format |
Article |
| author |
Неспирный, В.Н. |
| spellingShingle |
Неспирный, В.Н. Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка Механика твердого тела |
| author_facet |
Неспирный, В.Н. |
| author_sort |
Неспирный, В.Н. |
| title |
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка |
| title_short |
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка |
| title_full |
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка |
| title_fullStr |
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка |
| title_full_unstemmed |
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка |
| title_sort |
стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28057 |
| citation_txt |
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка / В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 200-209. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT nespirnyjvn stabilizaciâupravlâemyhlinejnyhsistemimpulʹsamipervogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-03T08:06:36Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:06:36Z |
| _version_ |
1836612318243323904 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 62-50
c©2010. В.Н. Неспирный
СТАБИЛИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ИМПУЛЬСАМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрены задачи управления и стабилизации линейных динамических систем, управ-
ляемых лишь с помощью импульсов первого порядка. Показано, что при таких управля-
ющих воздействиях сохраняется ранговое условие управляемости Калмана для линейных
систем. Для двумерных систем построено импульсное управление с обратной связью, ко-
торое обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия. Доказано, что
такое управление является оптимальным по количеству скачков траектории.
Ключевые слова: линейная система, импульсное управление, стабилизация.
Введение. Как известно, необходимым и достаточным условием управ-
ляемости линейных систем
ẋ = Ax+Bu, (1)
где x ∈ Rn – фазовый вектор, u ∈ Rm – вектор управления, A и B – посто-
янные матрицы размера n × n и n × m соответственно, является критерий
Калмана [1]:
rank [B AB . . . An−1B] = n. (2)
Система (1) является стабилизируемой тогда и только тогда, когда суще-
ствует матрица F размера m×n такая, что все собственные значения матри-
цы A + BF имеют отрицательную действительную часть. Это означает, что
в случае, когда существует непрерывное управление, которое делает нулевое
решение системы (1) асимптотически устойчивым, его можно искать в виде
u = Fx. Известно, что система имеет стабилизирующее управление, если она
управляема.
Можно было бы ожидать, что введение импульсных управлений в каче-
стве допустимых расширит класс управляемых или стабилизируемых систем.
Для нелинейных систем, как показано в работах [2, 3], иногда удается най-
ти импульсное управление, стабилизирующее систему, для которой не суще-
ствовало непрерывного стабилизирующего управления. Реакцией линейной
системы (1) на импульсное управление величины ∆U является скачок траек-
тории [4]
∆x = B∆U. (3)
Поскольку такие скачки не выводят траекторию из инвариантного под-
пространства x0+span{b(j), Ab(j), . . . An−1b(j)}mj=1, критерий Калмана сохра-
няется для импульсных управлений. По той же причине не расширяется и
Работа поддержана грантом НАН Украины для молодых ученых, проект
№0110U003429.
200
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка
класс стабилизируемых систем. Это утверждение остается верным и при им-
пульсных управлениях высокого порядка, которые приводят к скачкам вида
g
(
x,∆U (i)
∣
∣
i=0,k−1
)
= B∆U (k−1)+AB∆U (k−2)+ . . .+Ak−2B∆U (1)+Ak−1B∆U.
(4)
Из формулы (4) и критерия Калмана следует, что для стабилизации
управляемой системы можно использовать всего одно импульсное воздей-
ствие [5] порядка не выше n, которое мгновенно переведет систему в по-
ложение x = 0. Таким образом, при использовании импульсов высоких по-
рядков можно привести систему в состояние равновесия, не пользуясь ни
непрерывными управляющими воздействиями u, ни собственной динами-
кой системы. Это означает, что управляемой является дискретная система
∆x = g(x,∆U (i)), где g(x,∆U (i)) задается формулой (4).
Система, задаваемая только уравнением (3), не обладает таким свойством.
Если разрешить использовать обычное управление, т.е. рассматривать систе-
му (1), (3), то, как было отмечено выше, система будет обладать теми же
свойствами, что и исходная система (1). Поэтому актуально исследование во-
просов управляемости и стабилизируемости, когда в системе (1) управление
u полагается равным нулю. Тогда соответствующий объект будет двигаться
на определенных интервалах времени без управления, а в некоторые момен-
ты времени будет подвергаться импульсным воздействиям первого порядка
(3).
Таким образом, будем изучать системы вида
{
ẋ = Ax при (t, x) /∈ S,
∆x = B∆U при (t, x) ∈ S.
(5)
Для решения соответствующих задач нужно определить гиперповерхность
S в расширенном фазовом пространстве R+ × Rn и функцию управления
∆U(t, x). В задаче стабилизации, т.е. при построении управления с обратной
связью, множество S и функция ∆U должны быть независимыми от време-
ни t.
1. Явный вид решения. Пусть импульсное управление ∆U(t) действу-
ет на систему в моменты времени t1 = T , t2 = 2T , . . ., tk = kT , . . . . Для
упрощения выкладок считаем, что t0 = 0. Тогда система (5) примет вид
{
ẋ = Ax при t ∈ (ti−1, ti) (i = 1, 2, . . .),
∆x = B∆U при t = ti.
(6)
Найдем решение системы (6) при начальных условиях x(t0) = x0. На
интервале времени (t0, t1) решение имеет вид x = eA(t−t0)x0. Таким образом,
x(t1 − 0) = eA(t1−t0)x0. Из (3) получаем, что ∆x(t1) = B∆U(t1). Поэтому
x(t1 + 0) = eA(t1−t0)x0 +B∆U(t1).
201
В.Н. Неспирный
Аналогично происходит движение и на интервале времени (t1, t2)
x(t) = eA(t−t1)(eA(t1−t0)x0 +B∆U(t1)) = eA(t−t0)x0 + eA(t−t1)B∆U(t1).
Слева от точки t2 положение системы находится по формуле
x(t2 − 0) = eA(t2−t0)x0 + eA(t2−t1)B∆U(t1),
справа –
x(t2 + 0) = eA(t2−t0)x0 + eA(t2−t1)B∆U(t1) +B∆U(t2).
Продолжая вычисления, получим
x(tk + 0) = eA(tk−t0)x0 +
k
∑
i=1
eA(tk−ti)B∆U(ti),
или, учитывая, что ti = iT , и обозначая eAT = AT , приходим к формуле
x(tk + 0) = Ak
Tx0 +
k
∑
i=1
Ak−i
T B∆U(ti).
Благодаря управлениям ∆U(ti), из векторов b(j), AT b
(j), . . ., An−1
T b(j) мо-
жем составить произвольную линейную комбинацию. Система будет управ-
ляемой, если матрица, составленная из этих векторов, будет иметь полный
ранг.
2. Условия управляемости. Поскольку матрица eAT , как и ее степени,
является линейной комбинацией матриц Ak, то ранг матрицы, составленной
из векторов bj , AT bj, . . ., An−1
T bj, будет не выше ранга матрицы Калмана.
Поэтому следует ожидать, что критерий Калмана (2) будет по крайней мере
необходимым условием управляемости системы (5). Оказывается, это условие
будет также и достаточным, что доказывает следующая теорема.
Теорема 1. Система (5) управляема тогда и только тогда, когда управ-
ляема система (1).
Доказательство. Рассмотрим систему (1). Она является управляемой, ес-
ли, согласно критерию Калмана, выполнено условие (2). Приведем матрицу A
к нормальной жордановой форме с помощью невырожденного преобразова-
ния x = Cy, где C – некоторая матрица (detC 6= 0). Такое же преобразование
применим к системе с импульсным управлением (5).
Для упрощения выкладок рассмотрим случай n = 2, m = 1. Для матрицы
A возможны 4 нормальные формы:
1. A =
(
λ1 0
0 λ2
)
, λ1 > λ2; 2. A =
(
λ 1
0 λ
)
;
3. A =
(
λ µ
−µ λ
)
, µ > 0; 4. A =
(
λ 0
0 λ
)
.
202
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка
Рассмотрим каждый случай отдельно и найдем условия управляемости
явно в терминах коэффициентов системы.
Случай 1. Проверим, при каких условиях будет управляемой система (1),
когда матрица A имеет два различных действительных собственных значе-
ния.
Система управляема, если rank[B AB] = 2. Это означает, что
det[B AB] =
∣
∣
∣
∣
b1 λ1b1
b2 λ2b2
∣
∣
∣
∣
= b1b2(λ1 − λ2) 6= 0.
Определитель матрицы не равен нулю, если b1 6= 0 и b2 6= 0.
Проверим, что при этих условиях управляема и система (5) с импульс-
ным воздействием. Для этого вычислим определитель det[B ATB]. Матрица
AT = eAT =
(
eλ1T 0
0 eλ2T
)
. Поэтому det[B ATB] = b1b2(e
λ1T − eλ2T ). По-
скольку T 6= 0 и λ1 > λ2, при условиях b1 6= 0, b2 6= 0 этот определитель будет
отличен от нуля, а потому и система (5) будет управляемой.
Случай 2. Матрица системы имеет два одинаковых собственных значения
и в нормальной форме представляется жордановой клеткой размера 2.
Найдем необходимые и достаточные условия управляемости системы (1).
Для этого вычислим определитель матрицы Калмана:
det[B AB] =
∣
∣
∣
∣
b1 λb1 + b2
b2 λb2
∣
∣
∣
∣
= −b22.
Таким образом, система (1) является управляемой тогда и только тогда, ко-
гда b2 6= 0.
Рассмотрим теперь систему (5). Матрица AT будет иметь вид
(
eλT TeλT
0 eλT
)
.
Определитель матрицы [B ATB] будет равен −b22Te
λT . Поскольку
T 6= 0, то условием управляемости системы (5) будет b2 6= 0, что совпада-
ет с условием управляемости для непрерывной системы (1).
Случай 3. Рассмотрим случай, когда собственные значения являются ком-
плексными, т.е. λ1,2 = λ ± iµ. Тогда матрицу системы с помощью невырож-
денного преобразования можно привести к форме
(
λ µ
−µ λ
)
.
Для проверки управляемости непрерывной системы (1) снова вычисляем
определитель матрицы [B AB]:
det[B AB] =
∣
∣
∣
∣
b1 λb1 + µb2
b2 −µb1 + λb2
∣
∣
∣
∣
= −µ(b21 + b22).
Поскольку µ > 0, система (1) является управляемой тогда и только тогда,
когда хотя бы один из коэффициентов b1 и b2 отличен от нуля, т.е. вектор B
ненулевой.
203
В.Н. Неспирный
Переходим к системе с импульсным управлением (5). Матрицу AT для
этого случая можно найти, если перейти к комплексной нормальной фор-
ме, вычислить ее экспоненту, а потом выполнить обратное преобразование.
В результате получим AT = eλT
(
cosµT sinµT
− sinµT cosµT
)
. Находим теперь опре-
делитель матрицы [B ATB]:
det[B ATB] =
∣
∣
∣
∣
b1 eλT (b1 cosµT + b2 sinµT )
b2 eλT (−b1 sinµT + b2 cosµT )
∣
∣
∣
∣
= −eλT sinµT (b21 + b22).
Поскольку µ и T – положительные числа, условием управляемости, как и для
системы (1), будет b21 + b22 6= 0.
Случай 4. Когда матрица A имеет одно собственное значение, которому
соответствуют два различных собственных вектора, она может быть приве-
дена к нормальной форме
(
λ 0
0 λ
)
. Этот случай сводится к предыдущему
при µ = 0. Поэтому все вычисления и утверждения, которые не предполагали
µ > 0, могут быть использованы и в случае 4. Подставим значение µ = 0 в
выражения для определителей матриц [B AB] и [B ATB]. Оказывается, что
при µ = 0 и любых векторах B эти определители равны нулю. Следовательно,
в этом случае матрицы [B AB] и [B ATB] всегда являются вырожденными,
и поэтому системы (1) и (5) не являются управляемыми.
Таким образом, во всех случаях для n = 2, m = 1 условия на коэффициен-
ты для систем (1) и (5) совпадают, значит утверждение теоремы справедливо.
Аналогично рассматриваются и случаи большей размерности. Систему
(1) необходимо предварительно привести к канонической форме Бруновско-
го. Тогда она распадется на подсистемы с одним управлением, для каждой
из которых получаются одинаковые условия управляемости как при непре-
рывном, так и при импульсном управлении.
3. Условия стабилизируемости. Как было отмечено выше, для ли-
нейных непрерывных систем управляемость является достаточным условием
стабилизируемости. Покажем, что это условие сохраняется и для систем вида
(5). Это утверждение будет доказано здесь для n = 2, m = 1. Такое ограни-
чение позволит сделать доказательство конструктивным – соответствующее
стабилизирующее управление будет явно построено.
Теорема 2. Если двумерная система (5) управляема, то она является и
стабилизируемой.
Доказательство. В теореме 1 мы нашли явные условия на коэффициен-
ты системы, при которых система с импульсным воздействием (5) является
управляемой. Из управляемости следует, что для каждого начального значе-
ния можно построить управление, зависящее от времени, которое приводит
систему в начало координат (на самом деле выбираем лишь момент времени
T скачка и его величину ∆U). Однако стабилизирующее управление должно
быть с обратной связью, потому зависеть только от фазового вектора си-
204
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка
стемы и задаваться не в фиксированные моменты времени, а на некотором
подмножестве S фазового пространства.
Доказательство проведем для каждой из нормальных форм матрицы A
отдельно. В каждом случае будем искать соответствующее стабилизирующее
управление.
Случай 1. Матрица системы A имеет два различных собственных значе-
ния, ее нормальная форма –
(
λ1 0
0 λ2
)
. Из теоремы1 следует, что система
является управляемой тогда и только тогда, когда координаты вектора B не
равны нулю: b1 6= 0 и b2 6= 0. Общее решение системы без управления таково:
x1 = x01e
λ1t, x2 = x02e
λ2t.
Построим прямую l1, которая проходит через начало координат парал-
лельно вектору B. Ее уравнение будет иметь вид B × x = b1x2 − b2x1 = 0.
Прямая l1 делит все фазовое пространство (плоскость) на две полуплоскости
X+ : {B × x > 0} и X− : {B × x < 0}. В направлении вектора B можно с
помощью управления перемещаться на любое расстояние. Поэтому, если ре-
шение системы достигает в некоторый момент времени прямой l1, то одним
скачком можно перевести систему в начало координат.
В зависимости от знаков собственных значений матрицы A возможны три
подслучая:
1a) Если собственные значения матрицы A отрицательны (0 > λ1 > λ2),
то нулевое решение системы без управления является асимптотически устой-
чивым. Стабилизация при возмущении может происходить и без управления,
поэтому в качестве S можем взять пустое множество.
1b) Пусть собственные значения матрицы A имеют разные знаки (λ1 ≥ 0 >
> λ2). Тогда координата x2 стремится к нулю, а x1 либо остается неизменной,
либо уходит на бесконечность. Первый вариант имеет место либо в случае,
когда значение λ1 равно нулю, либо когда начальная точка лежит на оcи Ox2.
Если система в некоторый момент времени достигает оси Ox2, то траектория
в дальнейшем будет стремиться к началу координат. Следовательно, для ре-
шения задачи стабилизации достаточно обеспечить, чтобы из любой точки
R2 система попадала на эту ось. Этого можно добиться, если задать на всей
фазовой плоскости, за исключением самой оси Ox2, импульсное управление
∆U(x) = −
x1
b1
, x ∈ R2 \ {x1 6= 0}.
Поскольку условие управляемости предполагает, что b1 6= 0, то предложенное
управление определено корректно.
1c) Наконец, остается рассмотреть случай, когда оба собственных значе-
ния неотрицательны (λ1 > λ2 ≥ 0). При таких значениях λ траектория систе-
мы со временем уходит все дальше от начала координат, если не использовать
управление. Построим прямую l1, определяемую уравнением B × x = 0. Как
было отмечено выше, всегда можно одним скачком перевести систему с этой
205
В.Н. Неспирный
прямой в начало координат. Для этого воспользуемся управлением
∆U(x) = −
x1
b1
, x ∈ l1.
Для оставшейся части фазового пространства построим управление таким об-
разом, чтобы за конечный промежуток времени система оказалась на прямой
l1. Рассмотрим полуплоскость X+, где величина B×x является положитель-
ным числом и определяет расстояние от точки x до прямой l1. Вычислим
производную B × x в силу непрерывной части системы:
d
dt
(B × x) = B ×Ax =
∣
∣
∣
∣
b1 λ1x1
b2 λ2x2
∣
∣
∣
∣
= λ2b1x2 − λ1b2x1.
Там, где эта величина отрицательна, вектор скорости системы направлен
к прямой l1. Если начальное положение принадлежит области B × x > 0,
B × Ax ≤ 0, то траектория системы приближается к прямой l1 и достигает
ее, как будет показано ниже, за конечное время. Остается найти управление
∆U , которое обеспечит для части фазового пространства, которая задается
неравенствами B × x > 0, B × Ax > 0, скачок в точку, принадлежащую об-
ласти B × x > 0, B × Ax ≤ 0, например, на прямую B × Ax = 0, которую
обозначим l2. Пусть фазовый вектор системы в некоторый момент времени
равен x. Из условия B ×A(x+B∆U) = 0 находим значение управления
∆U =
λ2b1x2 − λ1b2x1
b1b2(λ1 − λ2)
.
Поскольку b1 6= 0, b2 6= 0, λ1 > λ2, управление корректно определено.
Остается доказать, что система за конечное время достигает прямой l1.
Действительно, если в начальный момент времени система находилась в точ-
ке x0 в области B × x > 0, B ×Ax ≤ 0, то в момент времени T она достигнет
точки (x01e
λ1T , x02e
λ2T ). Значением T , при котором эта точка будет принадле-
жать прямой l1, является
T = (λ1 − λ2)
−1 ln
b1x
0
2
b2x
0
1
.
Из неравенств b1x
0
2−b2x
0
1 > 0, λ2b1x
0
2−λ1b2x
0
1 ≤ 0 следует, что 1 <
b1x
0
2
b2x01
≤
λ1
λ2
.
Отсюда получаем оценку 0 < T ≤
lnλ1 − lnλ2
λ1 − λ2
. Таким образом, значение T
конечно, если только λ2 6= 0. При λ2 = 0 необходимо немного сузить область,
отступив от прямой l2, т.е. для системы (5) воспользоваться таким управле-
нием, которое имело бы место для λ2 = ε. В качестве ε можно брать любое
положительное число, меньшее λ1. Более универсальный способ – в качестве
прямой l̃2, которая отделит область, где действует управление, от области с
206
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка
движением по инерции, взять вместо B ×Ax = 0 прямую B × (A+ E)x = 0,
которая проходит между l1 и l2. При B×x > 0 на прямой l̃2 значение B×Ax
будет отрицательным.
Аналогично рассматривается и полуплоскость X−. Итак, окончательно
получаем стабилизирующее управление:
∆U(x) =
−
x1
b1
при B × x = 0,
(λ2 + 1)b1x2 − (λ1 + 1)b2x1
b1b2(λ1 − λ2)
при (B × x)(B × (A+ E)x) > 0.
Случай 2. Матрица A имеет только одно собственное значение, которому
соответствует один собственный вектор, ее нормальная форма –
(
λ 1
0 λ
)
.
Система (5) управляема тогда и только тогда, когда b2 6= 0. Общее решение
системы без управления таково: x1 = x01e
λt + tx02e
λt, x2 = x02e
λt.
Для такой формы матрицы A возможны два подслучая:
2a) Если собственное значение отрицательно (λ < 0), то система (5) не тре-
бует управления, ее нулевое решение является асимптотически устойчивым и
все траектории стремятся к нулю. В качестве S выбираем пустое множество.
2b) Если собственное значение матрицы A является положительным или
нулевым (λ ≤ 0), без применения управления система со временем неогра-
ниченно удаляется от начала координат. Как и для подслучая 1c), строим
прямую l1 = {x | B × x = 0}. Если точка уже лежит на l1, то с помощью
импульса величины ∆U = −x2/b2 она мгновенно переместится в нулевое по-
ложение.
Так же строим прямую l2 = {x | B×Ax = 0}. Рассмотрим полуплоскость
X+. В той ее части, где B × Ax ≤ 0, траектория системы будет двигаться
в направлении прямой l1. В части B × Ax > 0 необходимо применить такое
импульсное управление, чтобы после скачка система оказалась на прямой l2.
Таким будет управление
∆U =
b1λx2 − b2(λx1 + x2)
b22
.
Поскольку b2 6= 0, управление корректно определено.
Покажем, что из области B×Ax ≤ 0, B×x > 0 за конечный промежуток
времени система достигнет прямой l1. Пусть в начальный момент времени
система находится в точке x0. Значение T , при котором точка x(T ) будет
принадлежать прямой l1:
T =
b1x
0
2 − b2x
0
1
b2x
0
2
.
Как и в подслучае 1c), имеем T неограниченно, когда x02 = 0. Это возможно
лишь при λ = 0. Чтобы избежать такой ситуации, снова сдвинем прямую l2.
Управление для X− строится аналогично.
207
В.Н. Неспирный
Итак, стабилизирующее управление на всем фазовом пространстве пред-
ставимо в виде
∆U(x) =
−x2/b2 при B × x = 0,
(λ+ 1)(b1x2 − b2x1)− b2x2
b22
при (B × x)(B × (A+ E)x) > 0.
Случай 3. Собственные значения матрицы A являются комплексно со-
пряженными, ее можно привести к форме
(
λ µ
−µ λ
)
. Система (5) с такой
матрицей будет управлямой тогда и только тогда, когда хотя бы одна из коор-
динат b1 или b2 отлична от нуля. Общий вид решения системы без управления
имеет вид
x1 = eλt(x01 cosµt+ x02 sinµt), x2 = eλt(−x01 sinµt+ x02 cosµt).
В этом случае траектория системы при любых начальных условиях за конеч-
ный промежуток времени достигает прямой l1. Моментом времени, когда это
произойдет, является
T = µ−1 arctg
b1x
0
2 − b2x
0
1
b1x01 + b2x02
.
Значения функции arctg здесь берутся из промежутка [0, π). При неограни-
ченном аргументе arctg считается равным π/2. Поскольку µ > 0, а arctg –
ограниченная функция, то T является конечной величиной.
Таким образом, достаточно задать управление только на прямой l1 в виде
∆U(x) = −
√
(x21 + x22)/(b
2
1 + b22),
чтобы система при любых начальных условиях за конечное время переводи-
лась в нулевое положение равновесия.
Случай 4. Случай, когда матрица A имеет одно собственное значение, ко-
торому соответствуют два различных собственных вектора, здесь не рассмат-
риваем, поскольку тогда система не будет управляемой. Отметим только, что
при λ < 0 нулевое решение будет асимптотически устойчивым без использо-
вания управления, при λ = 0 – устойчивым, при λ > 0 – неустойчивым, и его
нельзя стабилизировать никаким управлением.
Теорема полностью доказана.
Из способа построения управления следует, что построенные обратные
связи будут оптимальными по количеству скачков траектории. Действитель-
но, изначально выделялось множество P0, из которого траектории ведут в
начало координат без управления. Если это множество не охватывало все
фазовое пространство, то находилось такое подмножество S1, из которого
одним скачком можно попасть в P0. Далее, строилось подмножество P1, из
которого движение по инерции приводит за конечное время в S1 и т.д. Такое
построение гарантирует, что из подмножеств Si и Pi, используя управление с
обратной связью ∆U(x), невозможно попасть в начало координат менее, чем
за i скачков.
208
Стабилизация управляемых линейных систем импульсами первого порядка
Заключение. В явном виде записано решение линейной системы (5)
с импульсным управлением первого порядка. Найден критерий управляемо-
сти такой системы, который представлен в виде рангового условия. Доказа-
но, что это условие эквивалентно критерию Калмана для соответствующей
непрерывной системы (1). Несмотря на то, что системы (1) и (5) имеют су-
щественно разные траектории, условия управляемости и стабилизируемости
оказываются одинаковыми. Поскольку теорема о стабилизируемости управ-
ляемых систем доказана конструктивно, построенные управления могут быть
использованы для стабилизации систем, управляемых по линейному прибли-
жению.
1. Калман Р.Е. Об общей теории систем управления // Тр. I конгресса ИФАК. – 2. –
М.: Изд-во АН СССР, 1961. – С. 521–547.
2. Ковалев А.М., Неспирный В.Н. Импульсно-разрывная стабилизация интегратора
Брокетта // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2005. – № 5. – С. 5–15.
3. Nespirnyy V.N. Impulsive stabilization of mechanical systems // Proc. of 49 Intern.
Wissenschaftliches Kolloquium “Synergies between Information and Automation”. –
Ilmenau, Germany: Shaker Verlag, 2004. – 1. – P. 387–392.
4. Красовский Н.Н. Теория управления движением. – М.: Наука, 1968. – 476 c.
5. Ковалев А.М., Кравченко Н.В., Неспирный В.Н. Стабилизация по всем и по части
переменных динамических систем с импульсным управлением // Матер. 11-й Меж-
дунар. научн. конф. “Математические модели физических процессов”. – Таганрог:
изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2005. – 1. – С. 184–190.
V.N.Nespirnyy
Stabilization of controllable linear systems by the first-order impulses
In the paper, control and stabilization problems are considered for linear systems controlled by
first-order impulses only. It is shown that the Kalman rank condition for linear systems remains
to be true when the class of admissible controls is reduced by excluding continuous controls. For
two-dimensional systems, the impulsive feedback control ensuring asymptotic stability of the
equilibrium is constructed. It is proved that this control is optimal with respect to the number
of trajectory jumps.
Keywords: linear system, impulsive control, stabilization.
В.М. Неспiрний
Стабiлiзацiя керованих лiнiйних систем iмпульсами першого порядку
В роботi розглядаються задачi керування та стабiлiзацiї лiнiйних динамiчних систем, що
керуються лише iмпульсами першого порядку. Показано, що рангова умова керованостi
Калмана для лiнiйних систем зберiгається при обмеженнi класу припустимих керувань за
рахунок виключення неперервних керувань. Для двовимiрних систем побудовано iмпульсне
керування зi зворотним зв’язком, що забезпечує асимптотичну стiйкiсть стану рiвноваги.
Доведено, що таке керування є оптимальним за кiлькiстю стрибкiв траєкторiї.
Ключовi слова: лiнiйна система, iмпульсне керування, стабiлiзацiя.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
vetal n@mail.ru
Получено 30.04.10
209
|