Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений
Рассматривается задача идентификации механических свойств материала по результатам измерений параметров остаточного деформирования. Предлагается определять неизвестные характеристики материала из решения обратной коэффициентной задачей теории оболочек в условиях динамического упруго-пластического де...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28060 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений / Н.А. Гук, Н.И. Ободан // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 233-243. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28060 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280602011-10-27T12:11:05Z Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений Гук, Н.А. Ободан, Н.И. Рассматривается задача идентификации механических свойств материала по результатам измерений параметров остаточного деформирования. Предлагается определять неизвестные характеристики материала из решения обратной коэффициентной задачей теории оболочек в условиях динамического упруго-пластического деформирования. Процедура декомпозиция вектора параметров осуществляет регуляризацию задачи и позволяет выделить доминирующие компоненты вектора параметров при его идентификации. Розглядається задача iдентифiкацiї механiчних властивостей матерiалу за результатами вимiрювань параметрiв залишкової деформацiї. Пропонується визначати невiдомi характеристики матерiалу з розв’язання оберненої коефiцiєнтної задачi теорiї оболонок в умовах динамiчного пружнопластичного деформування. Процедура декомпозицiї вектора параметрiв здiйснює регулярiзацию задачi та дозволяє видiлити домiнуючi компоненти вектора параметрiв при його iдентифiкацiї. The problem of identification of mechanical properties of material on results measuring of parameters of remaining deformation is considered. Unknown properties of material from the decision of inverse coefficient problem theory of shells are determinated. Procedure the decoupling of vector of parameters is executed in order to regularize problem. The dominant components of a vector of parameters during identification are selected. 2010 Article Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений / Н.А. Гук, Н.И. Ободан // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 233-243. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28060 539.3 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается задача идентификации механических свойств материала по результатам измерений параметров остаточного деформирования. Предлагается определять неизвестные характеристики материала из решения обратной коэффициентной задачей теории оболочек в условиях динамического упруго-пластического деформирования. Процедура декомпозиция вектора параметров осуществляет регуляризацию задачи и позволяет выделить доминирующие компоненты вектора параметров при его идентификации. |
| format |
Article |
| author |
Гук, Н.А. Ободан, Н.И. |
| spellingShingle |
Гук, Н.А. Ободан, Н.И. Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений Механика твердого тела |
| author_facet |
Гук, Н.А. Ободан, Н.И. |
| author_sort |
Гук, Н.А. |
| title |
Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений |
| title_short |
Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений |
| title_full |
Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений |
| title_fullStr |
Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений |
| title_full_unstemmed |
Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений |
| title_sort |
идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28060 |
| citation_txt |
Идентификация механических свойств материала по результатам косвенных измерений / Н.А. Гук, Н.И. Ободан // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 233-243. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT gukna identifikaciâmehaničeskihsvojstvmaterialaporezulʹtatamkosvennyhizmerenij AT obodanni identifikaciâmehaničeskihsvojstvmaterialaporezulʹtatamkosvennyhizmerenij |
| first_indexed |
2025-07-03T08:06:49Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:06:49Z |
| _version_ |
1836612331565481984 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 539.3
c©2010. Н.А. Гук, Н.И. Ободан
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
МАТЕРИАЛА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Рассматривается задача идентификации механических свойств материала по результатам
измерений параметров остаточного деформирования. Предлагается определять неизвест-
ные характеристики материала из решения обратной коэффициентной задачей теории обо-
лочек в условиях динамического упруго-пластического деформирования. Процедура де-
композиция вектора параметров осуществляет регуляризацию задачи и позволяет выде-
лить доминирующие компоненты вектора параметров при его идентификации.
Ключевые слова: критерий идентификации, механические свойства материала, обратная
коэффициентная задача.
Введение. Надежность работы тонкостенных элементов конструкций
существенно зависит от качества применяемых при их изготовлении матери-
алов. Для контроля основных характеристик металлов могут быть использо-
ваны как экспериментальные, основанные на различных физических эффек-
тах, возникающих при взаимодействии внешних полей с материалом [1, 2], так
и теоретические методы, использующие аппарат обратных задач и позволяю-
щие в автоматическом режиме выполнять процедуру идентификации свойств
материала реальной тонкостенной системы по измеренным в эксперименте
величинам. Имеющиеся в литературе постановки задач дают возможность
определять отдельные характеристики материала, например модуль упру-
гости, на основе данных об измерениях полей смещений или ускорений на
границе тела в установившемся режиме колебаний [3]. Однако наибольший
интерес представляет идентификация параметров, позволяющая построить
обобщенную кривую деформирования и описать свойства материала во всем
диапазоне испытываемых нагрузок, вызывающих как упругое, так и пласти-
ческое деформирование. Одним из наиболее распространенных методов кос-
венного определения механических характеристик металла является иссле-
дование параметров остаточного деформирования при внедрении индентора
в массив материала с использованием эмпирических зависимостей для опи-
сания механических свойств. Для определения параметров деформирования
материала при внедрении индентора могут быть применены оптоэлектрон-
ные методы в сочетании с обработкой результатов измерений на ЭВМ [4].
Основные проблемы, возникающие при исследовании задач такого типа, за-
ключаются в формулировке операторной связи между неизвестными механи-
ческими свойствами материала и измеряемыми в эксперименте величинами,
а также в выборе параметров, подлежащих измерению. Настоящее иссле-
дование посвящено формулировке коэффициентной обратной задачи теории
оболочек и разработке метода и алгоритма ее решения.
233
Н.А. Гук, Н.И. Ободан
1. Постановка задачи. Определение механических свойств тонкостен-
ных систем ударным методом является обратной коэффициентной задачей
теории оболочек в условиях динамического упруго-пластического деформи-
рования. Для решения такой задачи необходимо сформулировать:
1. математическую модель и метод решения прямой задачи;
2. качественную определенность параметров, подлежащих измерениям;
3. вариационную формулировку задачи о равенстве измеренных в экспе-
рименте и вычисленных, с использованием математической модели пря-
мой задачи, параметров.
В качестве модели прямой задачи с учетом характера деформирования вы-
брана модель упруго-пластического массива и внедряющегося в него инден-
тора. Необходимо отметить, что метрика, используемая в данной задаче, от-
лична от регуляризующей метрики для обратных задач теории оболочек [5],
она определяется возможностями оптоэлектронных измерений [6]. Указан-
ный способ измерений обеспечивает возможность получить следующие па-
раметры процесса соударения: wmax – максимальное углубление индентора;
ẅmax – максимальное ускорение индентора; tsoud – полное время соударения
от начала контакта до момента отскока индентора; wост – остаточный макси-
мальный прогиб; amax – величина отпечатка; k – коэффициент восстановле-
ния скорости, где k =
Vотск
V0
, Vотск – скорость отскока индентора, V0 – скорость
индентора в момент подлета. Значения этих величин, измеренные в экспери-
менте, позволяют сформировать вектор параметров процесса соударения
W ∗ = {W ∗
n} = {wmax, ẅmax, tсоуд, wост, k, amax}.
Модель упруго-пластического материала описывается двухзвенной аппрок-
симацией диаграммы σi = f(εi), где σi – интенсивность напряжений; εi –
интенсивность деформаций. При значениях σi 6 σT принимается линейная
зависимость σi(εi), а при σi > σT – участок с линейным упрочнением. Линия
упрочнения проходит через точки (σT , εT ) и (σb, εb). Тогда вектор неизвест-
ных параметров задачи, характеризующий механические свойства материа-
ла, может быть представлен в виде:
ψ = {ψi} = {σT , σb, E, µ, εT , δ},
где σT – предел текучести материала; σb – предел прочности материала; E –
модуль Юнга; µ – коэффициент Пуассона; εT – относительная деформация
при σ = σT ; δ – максимальная деформация в момент разрушения. Введенный
вектор параметров полностью описывает диаграмму σi = f(εi). В качестве
минимизируемого функционала выберем метрику в Банаховом пространстве
L2:
ρ2L2
= ‖W (ψ)−W ∗‖2, (1)
234
Идентификация механических свойств материала по результатам измерений
где W (ψ) – вектор параметров процесса соударения, вычисленный в резуль-
тате решения прямой задачи при заданном векторе ψ; W ∗ – вектор тех же па-
раметров измеренных в эксперименте. Тогда решение обратной задачи можно
определить как
ψ = argmin
ψ∈ψ̄
ρ2L2
(W (ψ),W ∗), W ∗ ∈ W̄ , (2)
где ψ̄ – область определения решений; W̄ – множество возможных состояний
объекта исследования; ρL2
– метрика в пространстве L2.
2. Математическая модель. В качестве математической модели пря-
мой задачи, описывающей процесс соударения индентора с упругопластиче-
ским материалом, выбрана дискретная модель сплошной среды. Эффектив-
ным средством анализа такой задачи является вычислительная технология с
использованием метода конечных элементов (МКЭ). Разрешающая система
уравнений МКЭ, описывающая упругопластическое деформирование масси-
ва под действием удара со стороны индентора, имеет вид [7]:
Mü(t) + Cu̇(t) +K(t)u(t) = R(t), (3)
где M , C, K(t) – матрицы масс, демпфирования и жесткости, вычисленные
в момент времени t, соответственно; u(t) – вектор перемещений узловых то-
чек; u̇(t) – вектор узловых скоростей; ü(t) – вектор узловых ускорений; R(t)
– вектор внешней нагрузки, приложенный в момент времени t. Дифферен-
циальное уравнение движения индентора при соответствующих начальных
условиях имеет вид:
ẅ(t) = g +
P (t)
m
; w(0) = 0; ẇ(0) = v0, (4)
где P (t) = 2π
∫ a(t)
0 σZ(r, t)rdr – равнодействующая контактных напряжений
σZ(r, t) в момент времени t; a(t) – радиус круговой области контакта в момент
времени t; w(t) – осадка индентора в момент времени t; v0 – скорость подлета
индентора; g – ускорение свободного падения. Очевидно, что величина P (t)
может быть определена лишь после решения системы дифференциальных
уравнений движения упруго-пластического массива. Для решения системы
уравнений (3) используется Θ-метод Вилсона [7]. Поскольку одновременное
решение системы уравнений (3) и (4) невозможно, организуется итерацион-
ный процесс по следующей схеме [8]:
1. задаются начальные значения перемещения, скорости и ускорения ин-
дентора в момент времени t+∆ t;
2. определяется область контакта в момент времени t+∆, t, исходя из ее
значения в момент времени t; при t = 0 область контакта вырождается
в точку (0, 0, 0);
235
Н.А. Гук, Н.И. Ободан
3. решается система уравнений (3) для момента времени t+Θ∆, t в предпо-
ложении, что в области контакта перемещения в направлении z равны
соответствующим смещениям точек границы сферического индентора,
для массива определяются векторы узловых перемещений u(t), скоро-
стей u̇(t) и ускорений ü(t) в момент времени t+∆, t согласно Θ-методу
Вилсона;
4. уточняются размеры области контакта по полученным значениям пере-
мещений;
5. вычисляются контактные напряжения σZ(r, t+∆t) и равнодействующая
P (i)(t) путем интегрирования функции напряжений по области контак-
та;
6. из решения дифференциального уравнения (4) определяется ускорение
индентора ẅ(i+1)(t+∆t);
7. выполняется проверка условия сходимости:
если |ẅ(i+1)(t+∆ t)−ẅ(i)(t+∆ t)| 6 ε|ẅ(i+1)(t+∆ t)|, i ∈ N , то прейти к
следующему временному шагу и выполнить шаги 1 – 6 алгоритма, иначе
повторить шаги 2 – 6.
Движение по времени осуществляется до тех пор, пока не произойдет отрыв
индентора от упруго-пластического массива. Изложенный алгоритм обес-
печивает совпадение перемещений, скоростей и ускорений точек упруго-
пластического массива и шарового индентора, находящихся в контакте, по-
скольку для интегрирования по времени как уравнения (4), так и системы
(3) используется один и тот же метод. В результате выполнения описан-
ной схемы вычислений получаем вектор параметров процесса соударения
W ∗ = {W ∗
n} = {wmax, ẅmax, tсоуд, wост, k, amax}, который совместно с вектором
W ∗, полученным в результате измерения этих же параметров в эксперимен-
те, позволяет сформировать вектор невязок, необходимый для вычисления
функционала-невязки (1), в виде:
ε(ψ) = {εn(ψ)} = {Wn(ψ)−W
∗
n}.
Для выполнения численной минимизации функционала (1) будем использо-
вать метод Ньютона–Раффсона, согласно которому, итерационный процесс
отыскания вектора параметров будет иметь вид:
ψk+1 = ψk − hk(J
′′(ψk))−1J ′(ψk), (5)
где k – номер шага итерационного процесса; J ′′(ψk) – гессиан функционала
(1) в точке ψk ; J ′(ψk) – градиент функционала (1) в точке ψk ; hk – вели-
чина шага, которую можно регулировать. Компоненты градиента и гессиана
функционала можно представить следующим образом:
J ′(ψk) =
∂J ′(ψk)
∂ψi
= 2
N
∑
n=1
{
∂εn(ψ
k)
∂ψi
}
εn(ψ
k);
236
Идентификация механических свойств материала по результатам измерений
J ′′(ψk) = 2
N
∑
n=1
{
∂εn(ψ
k)
∂ψi
}T{∂εn(ψ
k)
∂ψj
}
− 2
N
∑
n=1
{
∂2εn(ψ
k)
∂ψi∂ψj
}
εn(ψ
k),
где εn(ψ
k) – компоненты вектора невязок ε(ψk); ψi, ψj – компоненты векто-
ра параметров ψk. Замена в гессиане функции εn(ψ
k) на линеаризованную
в окрестности текущего значения вектора параметров ψk приводит к тому,
что второе слагаемое можно положить равным 0. Вводя матричные обозначе-
ния, получим разрешающее уравнение для определения вектора неизвестных
параметров ψk:
R(ψk)∆ψk = −G(ψk)ε(ψk), (6)
где ∆ψk – вектор приращений неизвестных параметров;
R(ψk) =
{
∂εn(ψ
k)
∂ψi
}T{∂εn(ψ
k)
∂ψj
}
; G(ψk) =
{
∂εn(ψ
k)
∂ψj
}T
, n = 1, N ,
i, j = 1,M ; N , M – количество компонент векторов ε(ψ), ψ соответствен-
но. Матрица
{
∂εn(ψ
k)
∂ψi
}
строится численно. Индекс k, характеризующий но-
мер шага итерационного процесса (5), в дальнейшем будет опущен. Неиз-
вестный вектор приращений параметров ∆ψ, аналогично [9], представляется
в виде двух независимых векторов ∆ψ1 и ∆ψ2 размерностей M1 и M2 соот-
ветственно M = M1 +M2, при этом вводится предположение, что в вектор
∆ψ1 помещаются наиболее информативные компоненты вектора ∆ψ, такие,
что выполняется условие:
‖∆ψ −∆ψ1‖∆ψ1∈∆ψ → min . (7)
Для описания векторов ∆ψ1 и ∆ψ2 вводятся функции udj (j = 1,M ,
d = 1, 2), которые характеризуют принадлежность компонент вектора ∆ψ
векторам ∆ψ1 и ∆ψ2:
u1r1 = δ(X −Xr1); r1 ∈ I
1, I1 = {rp1 , . . . , rpM1
};
u2r2 = δ(X −Xr2); r2 ∈ I
2, I2 = {rk1 , . . . , rkM2
},
I1 ∩ I2 = ⊘,
где δ(X − Xrp) – функция Дирака; M1 и M2 – заданное число ненулевых
компонент векторов ∆ψ1 и ∆ψ2 соответственно. Предлагается определять
векторы ∆ψ1 и ∆ψ2 в параллельных итерационных процессах:
∆ψ1 = Q1ε(ψ);
∆ψ2 = Q2ε(ψ),
(8)
237
Н.А. Гук, Н.И. Ободан
где Qi, i = 1, 2 – матрицы неизвестных коэффициентов. На каждом шаге
итерационного процесса функционал для условия (7) будет иметь вид:
J1(Q1, Q2) =
([
Q1
Q2
]
ε(ψ) −
[
Q1
0
]
ε1(ψ)
)T
×
×
([
Q1
Q2
]
ε(ψ) −
[
Q1
0
]
ε1(ψ)
)
→min, (9)
ε1(ψ) – невязка, вычисленная при ψ = ψ1. Требуется найти вид оптималь-
ных матриц Q1, Q2, обеспечивающих минимизацию функционала (9), при
этом необходимо выполнить условия несмещенности и инвариантности оце-
нивания. Эти условия присоединяются к функционалу (9) с использованием
множителей Лагранжа:
J2(Q1, Q2, ξ̄, η̄) = J1(Q1, Q2) +
∑
s
ξ̄sgs +
∑
s
η̄sfs, (10)
где ξ̄ = {ξ̄s}, η̄ = {η̄s} – векторы множителей Лагранжа; gs = QsRt – усло-
вие инвариантности оценивания; fs = Es − QsRs – условие несмещенности;
s ←→ t; s, t = 1, 2; Rs – матрица с ненулевыми элементами, образованная из
матрицы
{
∂εn(ψ
k)
∂ψi
}
с учетом принадлежности компонент вектора ∆ψ век-
торам ∆ψs . Учитывая матричную запись функционала (9) и ограничений,
представим (10) в виде:
J2(Qi, ξ̄i, η̄i) =
([
Q1
Q2
]
ε−
[
Q1
0
]
ε1
)T ([
Q1
Q2
]
ε−
[
Q1
0
]
ε1
)
+
+ ξT1mR
T
2Q1m + ξT2mR
T
1Q2m + [ET1m −Q
T
1mR1] η1m+
+ [ET2m −Q
T
2mR2] η2m →min, (11)
где ξim = {ξimn}
T , ηim = {ηimn}
T , n = 1, N – соответствующие вектор-
ные множители Лагранжа; Eim – вектор-столбец размерности Mi × 1, у
которого на m-й позиции находится элемент 1, а на остальных позициях
– 0; Qim = {qimn}
T – вектор-столбец искомых коэффициентов матрицы;
m = 1,Mi; i = 1, 2. Так как функции принадлежности uimкомпонент вектора
∆ψ векторам ∆ψi, i = 1, 2, ограничены 0 6 uim 6 1, m = 1,Mi и множество U
представляется в виде U = {uim} = {(u
i
1, . . . , u
i
Mi
) : 0 6 uim 6 1,m = 1,Mi}, то
функция L(u) =
Mi
∑
m=1
J ′
2um
(u)uim достигает своей нижней грани на U в точке
238
Идентификация механических свойств материала по результатам измерений
ui = {ui1, . . . , u
i
Mi
}, где
uim =
{
1, (ξTjmR
T
i Qjm −Q
T
jmRjηjm) < 0,
0, (ξTjmR
T
i Qjm −Q
T
jmRjηjm) > 0.
(12)
Необходимые условия оптимальности для определения матриц Q1, Q2 полу-
чим, дифференцируя (11) по аргументам Qim, ξim, ηim в виде:
∂J2m
∂Qim
= 2PQim +Rjξim −Riηim = [0]N×1,
∂J2m
∂ηim
= Eim −R
T
i Qim = [0]Mi×1,
∂J2m
∂ξim
= RTj Qim = [0]Mj×1,
(13)
где матрица P имеет размерность N × N и содержит в верхнем левом углу
матрицу M1×M1, состоящую из элементов вида (εi− ε
1
i )
T (εi− ε
1
i ), i = 1,M1,
справа от нее в столбцах с M1 + 1 по N расположены элементы вида εiε
1
j ,
i = 1,M1, j = M1 + 1, N , начиная с M1 + 1 строки – элементы вида εiε
1
j ,
i =M1 + 1, N , j = 1, N . Для сокращения записи дальнейших преобразований
введем следующие обозначения: Zs = P−1Rs; Zt = P−1Rt;Φss = RTs P
−1Rs;
Φtt = RTt P
−1Rt ; Φst = RTs P
−1Rt ; Φts = RTt P
−1Rs, тогда из первого уравне-
ния системы (13) находим:
Qsk = 2−1(Zsηsk − Ztξsk). (14)
Умножая левую и правую части формулы (14) слева на матрицу RTt и учи-
тывая условие инвариантности оценивания, получаем:
ξsk = Φ−1
tt Φtsηsk. (15)
Аналогично, умножая (14) слева на матрицу и учитывая условие несмещен-
ности оценивания, получим:
ηsk = 2Φ−1
ss (Esk + 2−1Φstξsk). (16)
Разрешая уравнения (15) и (16) относительно ξsk, ηsk, получим выражения
для определения множителей Лагранжа в явном виде, что дает возможность
произвести проверку выполнения условий (12). В случае, когда эти условия
не выполняются, необходимо сформировать новый вектор функций принад-
лежности компонент вектора ∆ψ векторам ∆ψs, s = 1, 2. Для искомых опти-
мальных матриц Qs имеем
Qs = [ΦttZs(R
T
s ΦttZs)
−1]Ms×N ; s 6= t; s, t = 1, 2. (17)
239
Н.А. Гук, Н.И. Ободан
Окончательные выражения для вычисления компонент вектора приращений
параметров ∆ψs, s = 1, 2 будут иметь вид:
[∆ψs]Ks×1 =
[
ΦttZs(R
T
s ΦttZs)
−1
]
Ms×N
[ε]N×1. (18)
Решение (18) позволяет выделить доминирующие компоненты вектора пара-
метров ψ = {σT , σb, E, µ, εT , δ} при его идентификации.
3. Результаты вычислительного эксперимента. Предложенный
подход был применен для идентификации механических свойств металличе-
ских образцов. Для подтверждения адекватности построенной математиче-
ской модели реальному процессу соударения упруго-пластического массива
и индентора был проведен вычислительный эксперимент. Для эталонного об-
разца, имеющего геометрические размеры 100 × 50 × 10 мм, изготовленного
из стали 3КП с известными механическими свойствами (σT = 20.5кГ/мм2;
σb = 38.5кГ/мм2; E = 2 · 104 кГ/мм2; µ = 0.3; εT = 0.2; δ = 27) и соударяе-
мого с индентором, было получено решение прямой задачи с использованием
алгоритма.
Значения параметров W ∗ = {wmax, ẅmax, tсоуд, wост, k, amax}, полученные
из расчета, и результаты измерения этих же параметров на оптоэлектронной
установке для разных характеристик индентора (масса и радиус индентора
m = 0.25кг, r = 0.005м, начальная скорость v0 = 3м/с; масса и радиус ин-
дентора m = 0.5кг, r = 0.005м, начальная скорость v0 = 5м/с ) приведены
в таблице 1. Из полученных данных видно, что относительная погрешность
определения параметров задачи с использованием математической модели не
превышает 8 процентов для разных характеристик процесса соударения, что
подтверждает эффективность разработанной вычислительной схемы расче-
та.
Для эталонного образца выполнена итерационная процедура определения
механических свойств с использованием декомпозиции вектора параметров.
Таблица 1. Сравнение результатов расчета и эксперимента.
Параметры процесса соударения Параметры
индентора
wmax ẅmax tсоуд wост k amax m V0
результат решения
прямой задачи 0.1297 1.10 · 10
5
102.8 0.0672 0.616 1.6071
0.25 3результат измерений
из эксперимента 0.131 1.17 · 10
5
105 0.064 0.620 1.594
погрешность, % 0.9 5.98 2.09 5 0.64 0.82
результат решения
прямой задачи 0.2384 1.004 · 10
5
128 0.1098 0.5986 1.9971
0.5 5результат измерений
из эксперимента 0.251 0.974 · 10
5
125 0.117 0.606 2.150
погрешность, % 5.01 3.09 2.4 6.15 1.22 7.11
240
Идентификация механических свойств материала по результатам измерений
На первом шаге итерационного процесса декомпозиция была выполнена
произвольно, вектор параметров ψ = {σT , σb, E, εT , δ} (параметр µ = 0.3) был
разделен на два вектора ψ1 и ψ2 так, что M1 = 3, M2 = 2. Далее векторы
функций принадлежности ui = {uij}, i = 1, 2,uij ∈ {0, 1} формировались с
учетом выполнения условия (12). Результирующий вектор функций принад-
лежности определяет вариант декомпозиции вектора параметров. В таблице
2 представлен результат выполнения итерационной процедуры декомпозиции
вектора параметров. Для восстановленных векторов ψ1, ψ2 введены обозна-
чения ψ̃1, ψ̃2 соответственно.
Таблица 2. Результат идентификации механических свойств
эталонного образца.
Результат выполнения
процедуры декомпозиции
Результат процедуры идентификации
Результат
1 итерации
Результат
2 итерации
Для вектора ψ1 Для вектора ψ2
ψ1 u1 ψ2 u2 ψ1 u1 ψ2 u2 ψ1 u1 ψ1 ψ̃1 ψ2 u2 ψ2 ψ̃2
σT 1 εT 1 σT 1 εT 0 σT 1 20.5 20.76 εT 1 0.2 0.2
σb 0 δ 0 δ 1 σb 0 σb 1 38.5 39.021 E 1 2.0 · 10
4
2.083 · 10
4
E 0 – – – – E 1 δ 1 27 26.1372 – – – –
Далее с учетом выполненной декомпозиции проводилась идентификация
векторов параметров ψ1 и ψ2, результат идентификации также представлен
в таблице 2. Анализируя полученные результаты, видим, что в вектор ψ2
помещены параметры E и εT , значения которых обычно достаточно стабиль-
ны для конкретного материала. Полученные результаты показывают, что от-
носительная погрешность приближения полученных значений параметров к
действительным значениям механических свойств эталонного образца состав-
ляет не более 5 процентов.
Необходимо отметить, что при проведении вычислительного эксперимен-
та для различных базовых значений параметров диаграммы σi(εi) были выяв-
лены измеряемые параметры процесса соударения, которые оказывают наи-
большее влияние при выполнении идентификации механических свойств. Так
для идентификации параметра упругости E удачными измеряемыми пара-
метрами являются максимальное ускорение индентора и время отскока, для
параметров σT , σb, δ – максимальное углубление индентора, коэффициент
восстановления скорости, остаточный максимальный прогиб.
В таблице 3 приведены результаты восстановления механических свойств
образцов, выбранных из различных партий материала. Использовались 3
комплекта образцов, изготовленных из листа стали марки 3 КП, диапазон
значений механических свойств которой взят из ГОСТ (σT = 20−23.5кГ/мм2;
σb = 36 − 46кГ/мм2; E = 1.86 · 104 − 2.28 · 104кГ/мм2; µ = 0.3; εT = 0.2;
δ = 27− 32).
Для каждого образца в таблице приведены вектор измерений параметров
процесса соударения W ∗ = {wmax, ẅmax, tсоуд, wост, k, amax} и вектор механи-
241
Н.А. Гук, Н.И. Ободан
Таблица 3. Идентификация механических свойств образцов.
образец I образец II образец III
WI ψI WII ψII WIII ψIII
0.205 20.96 0.217 22.88 0.191 20.07
0.83 · 10
5
41.32 0.72 · 10
5
44.08 0.94 · 10
5
37.47
0.636 2.03 · 10
4
0.630 2.19 · 10
4
0.641 1.98 · 10
4
0.075 0.2 0.078 0.2 0.072 0.2
1.73 29.17 1.69 31.89 1.76 26.79
105 110 102
ческих свойств ψ = {σT , σb, E, εT , δ}, полученный в результате выполнения
процедуры идентификации. Из анализа полученных результатов идентифи-
кации видно, что для всех образцов восстановленные значения параметров
принадлежат диапазону, указанному в ГОСТ. Разброс значений механиче-
ских свойств рассматриваемых образцов находится в пределах 15 процентов
при разбросе значений параметров измерения, не превосходящем 12 процен-
тов. Это является достаточным для определения качества одной марки стали
в потоке.
Выводы. Задача идентификации механических свойств материала
формулируется как обратная коэффициентная задача; вектор ψ =
= {σT , σb, E, εT , δ}, характеризующий механические свойства материала мо-
жет быть восстановлен с использованием декомпозиционного подхода; приме-
нение процедуры декомпозиции осуществляет регуляризацию задачи и позво-
ляет выделить доминирующие компоненты вектора параметров при его иден-
тификации; результаты вычислительного эксперимента подтверждает эф-
фективность разработанной процедуры идентификации; относительная по-
грешность восстановления механических свойств эталонного образца по ре-
зультатам косвенных измерений составляет не более 5 процентов.
1. Ермолов И.Н. Методы и средства неразрушающего контроля качества. – М.: Выс. шк.,
1988. – 368 с.
2. Борисов В.Г., Бугай Н.В., Измаилов Ф.И., Марковец М.П. Контроль металла в энер-
гетике. – Киев: Техника, 1980. – 134 с.
3. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. – М.:
Физматлит, 2007. – 222 с.
4. Марковец М. П. Определение механических свойств металлов по твердости. – М.: Ма-
шиностроение, 1979. – 191 с.
5. Гук Н.А., Ободан Н.А., Гавеля Г.М. Выбор критерия идентификации в обратных за-
дачах теории оболочек // Проблеми обчислювальної механiки i мiцностi конструкцiй.
– Днiпропетровськ: Наука i освiта, 2010. – Вип. 14. – С. 123–133
6. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологи-
ческих процессов и метод обратных задач в машиностроении – М.: Машиностроение,
1990. – 263 с.
7. Bathe K., Wilson E.L. Numerical method in finite element analysis. – M.: Наука, 1985. –
648 с.
242
Идентификация механических свойств материала по результатам измерений
8. Адлуцкий В. Я., Ободан И. В. Математическая модель и численный анализ дефор-
мирования массивных тел при ударных испытаниях // Математические модели и вы-
числительные методы в прикладных задачах. – Днепропетровск: изд-е ДГУ, 1996. –
С. 49–53.
9. Ободан Н.И., Гук Н.А. Декомпозиционный подход к решению обратных задач дефор-
мирования тонкостенных оболочек и пластин// Вiсн. ДНУ, сер. “Механiка”. – Днепро-
петровск: изд-е ДНУ, 2009. – 17. – № 5. – С. 43–53.
N.A. Guk, N.I. Obodan
Identification of mechanical properties of material on results of indirect mea-
surings
The problem of identification of mechanical properties of material on results measuring of param-
eters of remaining deformation is considered. Unknown properties of material from the decision
of inverse coefficient problem theory of shells are determinated. Procedure the decoupling of
vector of parameters is executed in order to regularize problem. The dominant components of a
vector of parameters during identification are selected.
Keywords: identification criterion, mechanical properties of material, inverse coefficient prob-
lem.
Н.А. Гук, Н.I. Ободан
Iдентифiкацiя механiчних властивостей матерiалу за результатами непря-
мих вимiрювань
Розглядається задача iдентифiкацiї механiчних властивостей матерiалу за результатами
вимiрювань параметрiв залишкової деформацiї. Пропонується визначати невiдомi характе-
ристики матерiалу з розв’язання оберненої коефiцiєнтної задачi теорiї оболонок в умовах
динамiчного пружнопластичного деформування. Процедура декомпозицiї вектора параме-
трiв здiйснює регулярiзацию задачi та дозволяє видiлити домiнуючi компоненти вектора
параметрiв при його iдентифiкацiї.
Ключовi слова: критерiй iдентифiкацiї, механiчнi властивостi матерiалу, обернена кое-
фiцiєнтна задача.
Национальный ун-т им. О. Гончара, Днепропетровск
nguk@farlep.dp.ua
Получено 19.07.10
243
|