Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения
В работе продолжены начатые в [1] исследования свойств решений уравнений Кирхгофа–Пуассона при условиях существования одного линейного инвариантного соотношения. Рассмотрен случай, когда характерный параметр μ0 равен нулю, а многочлен, определяющий зависимость угла нутации от времени, имеет кратные...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Series: | Механика твердого тела |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28061 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения / Е.А. Игнатова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 244-254. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28061 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280612011-10-27T12:15:43Z Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения Игнатова, Е.А. В работе продолжены начатые в [1] исследования свойств решений уравнений Кирхгофа–Пуассона при условиях существования одного линейного инвариантного соотношения. Рассмотрен случай, когда характерный параметр μ0 равен нулю, а многочлен, определяющий зависимость угла нутации от времени, имеет кратные корни. Указана явная зависимость основных переменных задачи от времени. У роботi продовжено розпочатi в [1] дослiдження властивостей розв’язкiв рiвнянь Кiрхгофа–Пуассона за умов iснування у них одного лiнiйного iнварiантного спiввiдношення. Розглянуто випадок, коли характерний параметр μ0 дорiвнює нулю, а многочлен, що визначає залежнiсть кута нутацiї вiд часу, має кратнi коренi. Вказано явну залежнiсть основних змiнних вiд часу. The paper continues studying properties of solutions of Kirchhoff–Poisson’s equations when they have one linear invariant relation, started in [1]. To be considered the case when typical parameter μ0 is equal to zero and polynomial defining dependence on time of the angle of nutation has multiple roots. It is pointed out an explicit dependence of time of basic variables. 2010 Article Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения / Е.А. Игнатова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 244-254. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28061 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе продолжены начатые в [1] исследования свойств решений уравнений Кирхгофа–Пуассона при условиях существования одного линейного инвариантного соотношения. Рассмотрен случай, когда характерный параметр μ0 равен нулю, а многочлен, определяющий зависимость угла нутации от времени, имеет кратные корни. Указана явная зависимость основных переменных задачи от времени. |
| format |
Article |
| author |
Игнатова, Е.А. |
| spellingShingle |
Игнатова, Е.А. Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения Механика твердого тела |
| author_facet |
Игнатова, Е.А. |
| author_sort |
Игнатова, Е.А. |
| title |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_short |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_full |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_fullStr |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_full_unstemmed |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_sort |
интегрирование уравнений кирхгофа–пуассона в случае линейного инвариантного соотношения |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28061 |
| citation_txt |
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае линейного инвариантного соотношения / Е.А. Игнатова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 244-254. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT ignatovaea integrirovanieuravnenijkirhgofapuassonavslučaelinejnogoinvariantnogosootnošeniâ |
| first_indexed |
2025-07-03T08:06:53Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:06:53Z |
| _version_ |
1836612335793340416 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.38
c©2010. Е.А. Игнатова
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА–ПУАССОНА
В СЛУЧАЕ ЛИНЕЙНОГО
ИНВАРИАНТНОГО СООТНОШЕНИЯ
В работе продолжены начатые в [1] исследования свойств решений уравнений Кирхгофа–
Пуассона при условиях существования одного линейного инвариантного соотношения. Рас-
смотрен случай, когда характерный параметр µ0 равен нулю, а многочлен, определяющий
зависимость угла нутации от времени, имеет кратные корни. Указана явная зависимость
основных переменных задачи от времени.
Ключевые слова: уравнения Кирхгофа–Пуассона; движение гиростата; первый интеграл;
метод инвариантных соотношений.
Постановка задачи. Запишем уравнения движения гиростата под дей-
ствием потенциальных и гироскопических сил, используя обозначения рабо-
ты [1]:
ẋ = (x+ λ)× ax+ ax×Bν + s× ν + ν ×Cν, (1)
ν̇ = ν × ax, (2)
где x = (x1, x2, x3) — переменная составляющая момента количества движе-
ния гиростата; ν = (ν1, ν2, ν3) — единичный вектор оси симметрии силовых
полей; λ = (λ1, λ2, λ3) — гиростатический момент, характеризующий дви-
жение носимых тел; s = (s1, s2, s3) – вектор, сонаправленный с вектором
обобщенного центра масс гиростата; a = (aij) — гирационный тензор, постро-
енный в неподвижной точке; B = (Bij) — постоянная симметричная матрица
третьего порядка, определяющая гироскопические силы; C = (Cij) — посто-
янная симметричная матрица третьего порядка, характеризующая потенци-
альные силы. Точка над переменными означает производную по времени t.
Уравнения (1), (2) имеют первые интегралы:
x · ax− 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E, ν · ν = 1, (x+ λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k. (3)
Здесь E и k — произвольные постоянные.
Следуя работам [1–3], поставим задачу об интегрировании уравнений (1),
(2) при условии существования у этих уравнений одного линейного инвари-
антного соотношения
x1 − (g0 + g1ν1 + g2ν2 + g3ν3) = 0, (4)
где gi
(
i = 0, 3
)
— постоянные, подлежащие определению. Для уравнений дви-
жения тела в жидкости [3] в полной мере решена только первая часть задачи
интегрирования уравнений (1), (2), а именно, определены условия существо-
вания соотношения (4). Решение второй части данной задачи указано при
244
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
λ = 0, s = 0 С.А.Чаплыгиным [2], при λ = 0, s 6= 0, П.В.Харламовым [3] и
при λ 6= 0, s 6= 0 в [1] при µ0 > 0 (µ0 — некоторый характерный параметр,
значение которого будет указано ниже).
На основе метода инвариантных соотношений [4] условия существования
инвариантного соотношения (4) у уравнений (1), (2) с интегралами (3) запи-
саны в [1] формулами (6)∗ 1 в предположении, что a13 6= 0.
Для интегрирования системы (1), (2) при наличии инвариантного соот-
ношения (4) из интегралов (3) можно определить x2 и x3 в зависимости от
ν1, ν2, ν3:
x2 =
1
a22
(
1− ν21
)
[
a22ν2q (ν1) + ν3
√
∆(ν1)
]
,
x3 =
1
a22
(
1− ν21
) × (5)
×
[
a22ν3q (ν1)− a13(1− ν21) (g0 + g1ν1 + g2ν2 + g3ν3)− ν2
√
∆(ν1)
]
,
где
q (ν1) = k +
1
2
B22 − (λ1 + g0) ν1 +
1
2
(B11 +B33) ν
2
1 ,
∆(ν1) = d0 + d1ν1 + d2ν
2
1 + d3ν
3
1 + d4ν
4
1 ,
(6)
di, (i = 0, 4) определены формулами (10)∗.
В работе [1] уравнения, вытекающие из (2), с помощью переменных θ, ϕ,
введенных вместо νi по формулам
ν1 = cos θ, ν2 = sin θ cosϕ, ν3 = sin θ sinϕ, (7)
сведены к системе двух уравнений:
dθ
dt
=
√
∆(cos θ)
sin θ
, (8)
a22
√
∆(cos θ) sin θdϕ+ [ε0sin
3θ cosϕ+
(
β0 + β1 cos θ + β2cos
2θ
)
sin θ sinϕ+
+ γ0 + γ1 cos θ + γ2cos
2θ + γ3cos
3θ − a13
√
∆(cos θ) sin θ cosϕ] dθ = 0, (9)
где ε0, βi, γj , (i = 0, 2 , j = (0, 3 ) – некоторые параметры, выраженные
через первоначальные параметры задачи в [1].
В [1] показано, что система (8), (9) допускает интегрирующий множитель
M (ϕ, θ) =
1
√
∆(cos θ) (f1 (θ) sinϕ+ f2 (θ) cosϕ+ f3 (θ))
, (10)
где f1(θ) = P0 + P1 cos θ + P2cos
2θ,
f2 (θ) =
√
∆(cos θ), f3 (θ) = (Q0 +Q1 cos θ) sin θ,
1 Знак * над номером формулы обозначает нумерацию формул из работы [1].
245
Е.А. Игнатова
а P0, P1, P2, Q0, Q1 определены в [1] формулами (28)*–(30)*. При этом необ-
ходимо выполнение следующих условий на параметры:
a12 = a23 = 0, a22 = a33, s2 = 0, C12 = 0, C23 = 0, ε0 = 0, B12 = 0, B23 = 0,
λ2 = 0, g0 =
a22λ3
a13
, g1 = −1
2
(B22 +B33) , g2 = 0, g3 =
a22
2a13
(B22 −B33) ,
B13 =
1
2a13a22
[
B22
(
a213 + a222
)
+B33
(
a213 − a222
)]
,
s3 =
λ3a22
2a213
(B22 −B33)
(
a11a22 − a213
)
, C13 =
1
4a13
(
B2
22 −B2
33
) (
a11a22 − a213
)
,
C22 − C33 =
a11a22 − a213
4a213
[
a22(B22 −B33)
2
]
, (11)
C22 − C11 =
a11a22 − a213
4a213
(
a213 + a222
) [a11a
2
13(B22 +B33)
2 + a11a
2
22(B22 −B33)
2−
−4a213a22B11B22],
s1 =
a22
(
a11a22 − a213
)
2a313
(
a213 + a222
)
{
a13λ1
(
a213 + a222
)
(B22 −B33) + λ3[2a
2
13a22B11 +
+ (a22 − a11)
(
a213 + a222
)
B22 −
(
a213 (a11 + a22) + a222 (a22 − a11)
)
B33]
}
.
Отметим, что условия a12 = a23 = 0, a33 = a22 означают, что координат-
ная ось, относительно которой задано инвариантное соотношение (4), ортого-
нальна круговому сечению гирационного эллипсоида. Заметим, что в случае
Гесса–Сретенского [5] этой оси принадлежит центр масс гиростата.
Так как (10) – интегрирующий множитель для (9), то уравнение (9) может
быть записано в виде:
∂V (ϕ, θ)
∂ϕ
dϕ+
∂V (ϕ, θ)
∂θ
dθ = 0, (12)
где
∂V (ϕ, θ)
∂ϕ
= a22(f1 (θ) sinϕ+ f2 (θ) cosϕ+ f3 (θ))
−1 sin θ, (13)
∂V (ϕ, θ)
∂θ
= [
(
β0 + β1 cos θ + β2cos
2θ
)
sin θ sinϕ+
+γ0 + γ1 cos θ + γ2cos
2θ + γ3cos
3θ − a13
√
∆(cos θ) sin θ cosϕ]× (14)
×(f1 (θ) sinϕ+ f2 (θ) cosϕ+ f3 (θ))
−1(∆ (cos θ))−
1
2 .
246
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
Из уравнения (13) имеем
V (θ, ϕ) = a22
∫
sin θdϕ
f1 (θ) sinϕ+ f2 (θ) cosϕ+ f3 (θ)
+ F (θ). (15)
Введем обозначение
α (θ) = arcsin
f1(θ)
f3(θ)
(16)
и далее будем рассматривать случай, когда
f2
1 (θ) + f2
2 (θ) = f2
3 (θ). (17)
Равенство (17) выполняется, если
d0 = Q2
0 − P 2
0 , (18)
а это соответствует случаю µ0 = 0 работы [1]. Отметим, что в [1] проведено
исследование случая µ0 > 0.
Заметим, что уравнение (8) интегрируется независимо от уравнения (9).
Решением уравнения (12) является и V (ϕ, θ) = const. Если такое решение
удастся получить из (15), то можно будет полностью решить задачу интегри-
рования системы (8), (9), а вместе с этим, в силу (4), (5), (7), проинтегриро-
вать и исходные уравнения (1), (2).
Исследование случая f2
1
(θ) + f2
2
(θ) = f2
3
(θ). Из соотношения (18)
и обозначений (11), (10)* можно найти зависимость постоянной интеграла
энергии E от постоянной интеграла площадей k и параметров задачи:
E = − 1
2a22
[
2a222
a213 + a222
(
a222B11 +
(
a213 + a222 − a11a22
)
B33
)
k +R
]
, (19)
где
R =
a222
(
a213 + a222
)2B
2
33
(
a213 + a222 − a11a22
)2
+
a622
(
a213 + a222
)2B
2
11 − a22C22+
+
a422
a213 + a222
B11B22 +
a222
(
a213 + a222 − a11a22
)
(
a213 + a222
)2 B33
(
2a222B11 +
(
a213 + a222
)
B22
)
−
−2a322
a313
λ1λ3
(
a213 + a222 − a11a22
)
− a422
a213
λ2
1 −
a322
a413
λ2
3×
×
(
a22(a22 − a11)
2 + a213 (2a22 − a11)
)
.
247
Е.А. Игнатова
Таким образом, в рассматриваемом случае из двух постоянных первых
интегралов (3) произвольной остается одна, к примеру, k. Кроме того, так
как выполняется равенство (17), то из (15) с учетом (16) имеем
V (θ, ϕ) =
a22
Q0 +Q1 cos θ
tg
ϕ− α (θ)
2
+ f (cos θ) , (20)
а f(cos θ) находится подстановкой (20) в (14):
f (cos θ) ≡ f (ν1) =
∫
(
δ0 + δ1ν1 + δ2ν
2
1
)
dν1
√
∆(ν1)(Q0 +Q1ν1)
2 , (21)
где
δ0 = a13Q
2
0 − a22P0Q1, δ1 = Q1 (2a13Q0 − a22P1) , δ2 = Q1 (a13Q1 − a22P2) .
Полагая V (ϕ, θ) = C = const, из (20) приходим к равенству
a22
Q0 +Q1 cos θ
tg
ϕ− α (θ)
2
+ f (cos θ) = C. (22)
Тогда из соотношения (22) определим
ϕ (θ) = 2arctg
(
1
a22
Φ(θ)
)
+ α (θ) , (23)
где
Φ (θ) = (Q0 +Q1 cos θ) (C − f (cos θ)) . (24)
В формулах (20), (22)–(24) предполагается, что зависимость θ = θ(t) опре-
делена из интеграла (8).
Покажем действительность решения θ = θ(t) уравнения (8). Для этого
рассмотрим выражение d0 из формулы (18). Потребуем выполнения неравен-
ства d0 > 0. Тогда из (18) вытекает, что величина k изменяется в промежутке
(
k(1), k(2)
)
, где k(1) = min
{
k(3), k(4)
}
, k(2) = max
{
k(3), k(4)
}
. Здесь введены
обозначения
k(3) = −Q0
a22
− 1
2
(
a213 + a222
)×
×
[
2a222B11 +
(
a213 + a222
)
B22 + 2
(
a213 + a222 − a11a22
)
B33
]
,
k(4) =
Q0
a22
− 1
2
(
a213 + a222
)×
×
[
2a222B11 +
(
a213 + a222
)
B22 + 2
(
a213 + a222 − a11a22
)
B33
]
.
(25)
Поскольку в формулах (25) от величин λ1, λ3 зависит только Q0, то вы-
бором значений этих параметров можно добиться выполнения неравенства
248
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
d0 > 0. Это значит, что ∆(0), где ∆(ν1) выражается формулой из (6), при-
нимает положительное значение и обращение интеграла
ν1
∫
ν
(0)
1
dν1
√
∆(ν1)
= −(t− t0) (26)
приводит к действительной функции ν1 = ν1(t).
Исходя из соотношений (7), принимая во внимание формулы (23), (24),
выпишем ν1, ν2, ν3:
ν1 = cos θ,
ν2 =
(
a222 − Φ2 (θ)
)
√
∆(cos θ)− 2a22Φ (θ)
(
P0 + P1 cos θ + P2cos
2θ
)
(Q0 +Q1 cos θ)
(
a222 + Φ2 (θ)
) , (27)
ν3 =
2a22Φ (θ)
√
∆(cos θ) +
(
a222 − Φ2 (θ)
) (
P0 + P1 cos θ + P2cos
2θ
)
(Q0 +Q1 cos θ)
(
a222 + Φ2 (θ)
) .
Используя формулы (27), компоненты момента количества движения ги-
ростата можно определить из (4), (5).
Случай кратных корней уравнения ∆(ν1) = 0. Рассмотрим слу-
чай, когда уравнение ∆(ν1) = 0 имеет кратные корни. Запишем выражения
для ∆(ν1) из (6) в виде
∆(ν1) = d4
(
ν1 +
A
2
)3 (
ν1 − ν
(1)
1
)
, (28)
Равенство (28) в силу (6) выполняется при условиях
d0 = −A3
8
ν
(1)
1 d4, d1 =
A2d4
8
(A− 2ν
(1)
1 ),
d2 =
3
4
A(A− 2ν
(1)
1 )d4, d3 = d4
(3
2
A− ν
(1)
1
)
.
(29)
Приведем примеры выполнения равенств (29). В первом примере будем
считать, что A = 0, ν
(1)
1 = −d3�d4. Эти условия реализуются при следующих
ограничениях на параметры задачи:
k = k(3) ,
B11 =
1
2a213a
2
22
[±2(a213 + a222)(a13λ1 + a22λ3)a22 + (a11a22 − a213)×
×(a213 + a222)B22 + (a11a22(a
2
13 − a222)− a213(a
2
13 + a222))B33],
249
Е.А. Игнатова
B22 =
a213 + a222
a222 − a213
B33±
± 2a22
(
a213 − a222
) (
a213 − a11a22
) (
a13a22λ1 +
(
a213 + a222 − a11a22
)
λ3
)×
×
[
a22a
2
13λ
2
1 − a222λ
2
3
(
a11
(
a213 + a222 − a11a22
)
− 2a22a
2
13
)
−
−a13λ1λ3
((
a213 − a11a22
) (
a213 + a222
)
+ 2a213a
2
22
)]
.
Ниже будут приведены другие примеры выполнения условий (29). Введем
вместо переменной ν1 переменную y:
ν1 =
1
y
− A
2
. (30)
Тогда из формулы (26) имеем:
y
∫
y0
dy
√
y(A2 + ν
(1)
1 )− 1
=
√
−d4(t− t0). (31)
Запишем результат интегрирования (31), выполнив при этом обратную
замену переменной от y к ν1:
ν1 = −A
2
+
4C1
4− d4C2
1(t− t0)2
, (32)
где C1 =
A
2
+ ν
(1)
1 .
Для того, чтобы выписать решение исходной задачи, необходимо найти
зависимость f (cos θ) из (21). Выполним в интеграле (21) сначала замену (30),
а затем перейдем от переменной y к переменной z следующим образом:
z2 = C1y − 1. (33)
Тогда интеграл (21) примет вид:
f(z) = − 2√
−d4C1
∫
m0z
4 +m1z
2 +m2
(m3 +m4z2)2
dz, (34)
где
m0 = δ0 − δ1
A
2
+ δ2
A2
4
, m1 = 2δ0 + δ1
(
ν
(1)
1 − A
2
)
− δ2Aν
(1)
1 ,
m2 = δ0 + δ1ν
(1)
1 + δ2(ν
(1)
1 )2, m3 = Q0 +Q1ν
(1)
1 , m4 = Q0 −
A
2
Q1.
250
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
Значение f(z) из (34) зависит от коэффициентов mi подынтегрального вы-
ражения. Возможны различные случаи. Выпишем решение исходной задачи
(1), (2) для некоторых из этих случаев.
Случай A = 2Q0/Q1. Тогда из (29) находим
ν
(1)
1 =
3Q0
Q1
− d3
d4
, (35)
а из (32) –
ν1 (t) = −Q0
Q1
+
Q0Q
2
1 + 2Q0P
2
2 −Q1P1P2
8
(
Q0Q
2
1 + 2Q0P
2
2 −Q1P1P2
)2
(t− t0)
2 + 2Q2
1
(
Q2
1 + P 2
2
)
. (36)
Зависимость остальных двух компонент вектора ν от времени получаем
подстановкой в (27) выражения (36):
ν2 =
(
a222 − Φ2 (t)
)
√
∆(t)− 2a22Φ (t)R1(t)
W (t)
,
ν3 =
2a22Φ (t)
√
∆(t) +
(
a222 − Φ2 (t)
)
R1(t)
W (t)
,
(37)
где R1(t) = P0+P1ν1 (t)+P2(ν1 (t))
2, W (t) = (Q0 +Q1ν1 (t))
(
a222 + Φ2 (t)
)
,
√
∆(t) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
8C1(d3Q1 − 4d4Q0)
2 (t− t0)
d4Q2
1
(
d4C2
1 (t− t0)
2 − 4
)2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
. (38)
Из (34) находим f (z), затем переходим от переменной z к переменной y, а от
y к t соответственно, тогда
f(t) = − 1
m2
3
(m2(t− t0) +m5(t− t0)
3 +m6(t− t0)
5) + const, (39)
где m5 = −m1d4C
2
1/ 12; m6 = m0d
2
4C
4
1/ 80.
Компоненты x1, x2, x3 вектора момента количества движения гиростата
можно получить подстановкой ν1, ν2 и ν3 из соотношений (36), (37) в формулы
(4) и (5):
x1 = g0 + g1ν1(t) +
g3(2a22Φ (t)
√
∆(t) +
(
a222 − Φ2 (t)
)
R1(t))
W (t)
,
x2 =
(
a222 − Φ2 (t)
)
√
∆(t)ξ + 2a22Φ (t)P (t)
a22W (t)
, (40)
x3 =
2a22Φ (t)
√
∆(t)(ξ − a13g3)−
(
a222 − Φ2 (t)
)
(P (t) + a13g3R1(t))
a22W (t)
−
−a13
a22
(g0 + g1ν1(t)),
251
Е.А. Игнатова
где ξ = − a22
a213 + a222
(a222B11 + (a213 + a222 − a11a22)B33),
P (t) = (Q0 +Q1ν1 (t))
2 − ξR(t),
а значения
√
∆(t), Φ(t) и f (t) указаны в (38), (24) и (39).
Данное решение существует, если при a13 6= 0 выполняются условия (11),
(19) и
d0 =
Q2
0
Q3
1
(4d3Q0 −Q1d2) , d1 =
Q0
Q2
1
(
7d3Q0 −
4
3
Q1d2
)
,
d4 =
Q1
3Q3
0
(Q1d2 − 3d3Q0) .
Примером выполнения этих условий может служить следующий:
A = −1
2
, ν
(1)
1 = −49
76
,
k =
4
√
15a13a22 − 15
(
a213 − a222
)
480
(
a213 + a222
) B11, a11 =
1
2a22
(
a213 + a222 +
4
√
15
15
a13a22
)
,
B33 = −B11, λ1 =
√
15a13a22
30
(
a213 + a222
)B11, λ3 = −
√
15a213B11
30
(
a213 + a222
) ,
B22 =
15
(
a213 − a222
)
− 4
√
15a13a22
15
(
a213 + a222
) B11.
Случай m3m4 > 0. В этом случае
ν
(1)
1 =
3
2
A− d3
d4
, (41)
причем параметры задачи зависят от A следующим образом:
d0 = −3d4
16
A4 +
A3
8
d3, d1 = A2
(
−d4A+
3
4
d3
)
, d2 =
3
2
A (−Ad4 + d3) ,
(42)
(2Q0 −Q1A)
(
Q0 +Q1
(
3
2
A− d3
d4
))
> 0.
При этих условиях из интеграла (34) с учетом (33), (31) находим
f (t) = −m0
m2
4
(t− t0)+
+
m9 (t− t0)
4m3 − d4C
2
1m4(t− t0)
2 +m7 arctg (m8 (t− t0)) + const,
(43)
252
Интегрирование уравнений Кирхгофа–Пуассона
где m7 = −m2m
2
4 +m1m3m4 − 3m0m
2
3√
−d4C1m2
4m3
√
m3m4
, m8 =
√
−d4C1
2
√
m4
m3
,
m9 = −2
m2m
2
4 +m0m
2
3 −m1m3m4
m3m2
4
.
Учитывая выполнение равенства (41), из (32) получаем
ν1 (t) = −A
2
+
4 (2Ad4 − d3)
(
4d4 − (2Ad4 − d3)
2(t− t0)
2
) , (44)
зависимость остальных двух компонент вектора ν(t) от времени находим под-
становкой (37), (44) в соотношения (43). При этом
√
∆(t) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
8d24(2Ad4 − d3)
3 (t− t0)
(
4d24 − d4(t− t0)
2(2Ad4 − d3)
2
)2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
. (45)
Компоненты x1, x2, x3 вектора момента количества движения гиростата
задаются формулами (40) при подстановке в них (43)–(45).
Данное решение существует при a13 6= 0 и выполнении условий (11), (19),
(42). Например, при
ν
(1)
1 = −49
76
, A = −1
2
,
B33 = −B11, B22 =
2
(
a213 − a11a22
)
a213 + a222
B11, λ1 = −a22
a13
λ3,
λ3 = − 64
√
15a213
135
(
a213 + a222
)B11, a11 =
1
2a22
(
a213 + a222 +
2
√
15
135
a13a22
)
,
k =
−11
(
135
(
a213 − a222
)
− 2
√
15a13a22
)
1620
(
a213 + a222
) B11.
Итак, в дополнение к [1] установлена возможность интегрирования в эле-
ментарных функциях уравнений Кирхгофа–Пуассона (1), (2) в случае одного
линейного инвариантного соотношения и при µ0 = 0.
1. Узбек Е.К., Данилейко Е.А. Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае ли-
нейного инвариантного соотношения // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. –
С. 87–94.
2. Чаплыгин С.А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости // Собр. соч. Т. 1.:
Теор. механика. Математика. – М.;Л.: Гостехиздат, 1948. – С. 312–336.
3. Харламов П.В. О линейном интеграле уравнений движения тяжелого твердого тела в
жидкости // Тр. Донецк. индустриального ин-та. – 1957. – 20, вып. 1 – С. 51–67.
253
Е.А. Игнатова
4. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравне-
ний // Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
5. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиро-
стата // Докл. АН СССР. – 1963. – 149, № 2. – С. 292–294.
К.А. Ignatova
Integration of Kirchhoff-Poisson’s equations in case of linear invariant relation
The paper continues studying properties of solutions of Kirchhoff–Poisson’s equations when
they have one linear invariant relation, started in [1]. To be considered the case when typical
parameter µ0 is equal to zero and polynomial defining dependence on time of the angle of
nutation has multiple roots. It is pointed out an explicit dependence of time of basic variables.
Keywords: Kirchhoff–Poisson’s equations; moving of the gyrostat; the first integral, the method
of invariant relation.
К.А. Iгнатова
Iнтегрування рiвнянь Кiрхгофа–Пуассона у випадку лiнiйного iнварiан-
тного спiввiдношення
У роботi продовжено розпочатi в [1] дослiдження властивостей розв’язкiв рiвнянь
Кiрхгофа–Пуассона за умов iснування у них одного лiнiйного iнварiантного спiввiдноше-
ння. Розглянуто випадок, коли характерний параметр µ0 дорiвнює нулю, а многочлен, що
визначає залежнiсть кута нутацiї вiд часу, має кратнi коренi. Вказано явну залежнiсть
основних змiнних вiд часу.
Ключовi слова: рiвняння Кiрхгофа–Пуассона; рух гiростату; перший iнтеграл; метод iн-
варiантних спiввiдношень.
Национальный ун-т экономики и торговли
им. М. Туган-Барановского, Донецк
katerina-ignat@rambler.ru
Получено 10.07.10
254
|