К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене

На основе метода функций Грина для продольного (кулоновского) поля в трехслойной системе сред с пространственной и частотной дисперсией рассмотрены эффекты экранировки и спектр плазменных колебаний в графене. Показано, что в моноатомном слое графена экранировка зарядов сводится к их перенормировке,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Пашицкий, Э.А., Гурин, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України 2011
Schriftenreihe:	Хімія, фізика та технологія поверхні
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29035
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене / Э.А. Пашицкий, А.А. Гурин // Хімія, фізика та технологія поверхні. — 2011. — Т. 2, № 1. — С. 3-10. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-29035
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-290352011-11-30T12:04:22Z К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене Пашицкий, Э.А. Гурин, А.А. На основе метода функций Грина для продольного (кулоновского) поля в трехслойной системе сред с пространственной и частотной дисперсией рассмотрены эффекты экранировки и спектр плазменных колебаний в графене. Показано, что в моноатомном слое графена экранировка зарядов сводится к их перенормировке, так что асимптотика экранированного потенциала имеет вид R-1, тогда как в бислое графена экранировка характеризуется степенной асимптотикой вида R-3. Плазменный спектр в моно- и бислое графена содержит симметричную моду с акустическим законом дисперсии и антисимметричную моду с корневым законом дисперсии. Використовуючи метод функцій Гріна для поздовжнього (кулонівського) поля в тришаровій системі середовищ з просторовою та частотною дисперсією, розглянуто ефекти екранування та спектр плазмових коливань в графені. Показано, що в моноатомному шарі графену екранування зарядів зводиться до їх перенормування, визначаючи асимптотику екранованого потенціалу у вигляді R-1, тоді як у бішарі графену екранування характеризується степеневою асимптотикою виду R-3. Плазмовий спектр в моно- та бішарі графену має симетричну моду з акустичним законом дисперсії й антисиметричну моду з кореневим законом дисперсії. Basing on the method of Green functions for longitudinal (Coulomb) field in three-layer system of media with spatial and frequency dispersion, the screening effects and spectrum of plasma oscillations in graphene are considered. In graphene monolayer the screening of charges comes to their renormalization, so that asymptotic of the screening potential is R-1 whereas the screening in graphene bilayers is characterized by R-3 power asymptotics. The plasma spectrum in graphene mono- and bilayer has a symmetric mode with acoustic dispersion law and an antisymmetric one with root dispersion law. 2011 Article К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене / Э.А. Пашицкий, А.А. Гурин // Хімія, фізика та технологія поверхні. — 2011. — Т. 2, № 1. — С. 3-10. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 2079-1704 PACS: 73.22.-f http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29035 ru Хімія, фізика та технологія поверхні Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе метода функций Грина для продольного (кулоновского) поля в трехслойной системе сред с пространственной и частотной дисперсией рассмотрены эффекты экранировки и спектр плазменных колебаний в графене. Показано, что в моноатомном слое графена экранировка зарядов сводится к их перенормировке, так что асимптотика экранированного потенциала имеет вид R-1, тогда как в бислое графена экранировка характеризуется степенной асимптотикой вида R-3. Плазменный спектр в моно- и бислое графена содержит симметричную моду с акустическим законом дисперсии и антисимметричную моду с корневым законом дисперсии.
format	Article
author	Пашицкий, Э.А. Гурин, А.А.
spellingShingle	Пашицкий, Э.А. Гурин, А.А. К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене Хімія, фізика та технологія поверхні
author_facet	Пашицкий, Э.А. Гурин, А.А.
author_sort	Пашицкий, Э.А.
title	К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене
title_short	К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене
title_full	К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене
title_fullStr	К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене
title_full_unstemmed	К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене
title_sort	к вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене
publisher	Інститут хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29035
citation_txt	К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене / Э.А. Пашицкий, А.А. Гурин // Хімія, фізика та технологія поверхні. — 2011. — Т. 2, № 1. — С. 3-10. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Хімія, фізика та технологія поверхні
work_keys_str_mv	AT pašickijéa kvoprosuobéffektahékranirovkiiospektreplazmonovvgrafene AT gurinaa kvoprosuobéffektahékranirovkiiospektreplazmonovvgrafene
first_indexed	2025-07-03T09:13:25Z
last_indexed	2025-07-03T09:13:25Z
_version_	1836616522347315200
fulltext	Хімія, фізика та технологія поверхні. 2011. Т. 2. № 1. С. 3–10 _____________________________________________________________________________________________ * контактный автор pashitsk@iop.kiev.ua ХФТП 2011. Т. 2. № 1 3 PACS 73.22.-f К ВОПРОСУ ОБ ЭФФЕКТАХ ЭКРАНИРОВКИ И О СПЕКТРЕ ПЛАЗМОНОВ В ГРАФЕНЕ Э.А. Пашицкий, А.А. Гурин Институт физики Национальной академии наук Украины проспект Науки 46, Киев 03680, Украина На основе метода функций Грина для продольного (кулоновского) поля в трехслойной системе сред с пространственной и частотной дисперсией рассмотрены эффекты экранировки и спектр плазменных колебаний в графене. Показано, что в моноатомном слое графена экранировка заря- дов сводится к их перенормировке, так что асимптотика экранированного потенциала имеет вид R-1, тогда как в бислое графена экранировка характеризуется степенной асимптотикой вида R-3. Плазменный спектр в моно- и бислое графена содержит симметричную моду с акустическим за- коном дисперсии и антисимметричную моду с корневым законом дисперсии. ВВЕДЕНИЕ Наиболее актуальными в физике твердого тела и в физике поверхности в настоящее вре- мя являются исследования свойств и структу- ры двумерного (2D) кристалла углерода – гра- фена [1, 2], за получение которого А. Гейму и К. Новоселову была присуждена Нобелевская премия в 2010 году. Графен представляет со- бой монослой атомов углерода с гексагональ- ной кристаллической решеткой и с предска- занным более 60-ти лет назад в работе [3] ли- нейным (дираковским) спектром электронов при малых импульсах в двух эквивалентных долинах в 2D зоне Бриллюэна. С точки зрения химии, графен – это гигантская плоская мак- ромолекула, состоящая из атомов углерода, соединенных ковалентными связями, тогда как с точки зрения физики поверхности сво- бодный моноатомный слой графена можно рассматривать как двустороннюю поверх- ность. В реальных условиях графен может быть помещен на поверхность какого-либо твердого тела или жидкости, и тогда он пред- ставляет собой идеальное моноатомное по- крытие. Большой интерес привлекает в по- следнее время также изучение двойного слоя (бислоя) графена с ван-дер-ваальсовским взаи- модействием между монослоями [4]. В десятках тысяч экспериментальных и теоретических работ, посвященных графену, которые были опубликованы за последние пять лет, приведено колоссальное количество результатов по исследованию транспортных, оптических, структурных и других свойств монослоев и бислоев графена, включая изуче- ние баллистического и туннельного транспор- та носителей тока, омической и высокочас- тотной проводимости, магнетосопротивления, квантового эффекта Холла и др. [5, 6]. Однако все еще остается неудовлетвори- тельным описание эффектов экранировки ку- лоновского взаимодействия и коллективных плазменных колебаний в графене с высокой концентрацией свободных носителей заряда и с металлическим характером проводимости. Обычно в теоретических исследованиях этих вопросов используются либо простейшие оценки в приближении Томаса-Ферми для квазидвумерных (слоистых) кристаллов и 2D систем [6], либо формализм 2+1 релятивист- ской квантовой электродинамики для безмас- совых заряженных фермионов двух сортов, которые принадлежат двум разным долинам с линейным "дираковским" 2D спектром [7–10]. При этом скорость света формально заменяет- ся на соответствующую такому спектру "фер- миевскую" скорость, а экранировка зарядов описывается методом суммирования простых петлевых диаграмм, когда в качестве петли используется поляризационный оператор не- взаимодействующих безмассовых фермионов. В целом такие подходы, в которых описа- ние эффектов экранирования сводиться к деле- нию кулоновского матричного элемента на продольную диэлектрическую проницаемость 2D электронного газа, нельзя считать удовле- творительными, поскольку экранировка заря- Э.А. Пашицкий, А.А. Гурин _____________________________________________________________________________________________ 4 ХФТП 2011. Т. 2. № 1 дов в монослое или в бислое существенно отли- чается от их экранировки в изотропном металле или в слоистом кристалле с бесконечным чис- лом периодически расположенных 2D металли- ческих слоев. В случае моно- и бислоя графена необходимо учитывать проникновение электри- ческих полей зарядов в третье измерение, т.е. в окружающее пространство с характерными для него диэлектрическими свойствами. Такая задача может быть решена на осно- ве метода, развитого ранее в работах [11–15], в которых было получено строгое выражение для функции Грина уравнения Пуассона для потенциала продольного (кулоновского) поля в трехслойной системе, состоящей из трех сред с разными диэлектрическими проницае- мостями при учете частотной и пространст- венной дисперсии сред. При этом учитыва- лись граничные условия непрерывности по- тенциала и нормальной составляющей вектора электростатической индукции на бесконечно тонких границах раздела сред и предполага- лось, что электроны не проникают через эти границы и зеркально отражаются от них. В настоящей работе данный метод используется для описания эффектов статической экрани- ровки и для расчета спектра плазменных ко- лебаний как в монослое, так и в бислое графе- на с учетом проникновения электрических полей во внешнюю среду. ЭКРАНИРОВАННОЕ КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ В ТРЕХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ Как известно, в слоистых кристаллах, со- стоящих из периодически расположенных (вдоль оси Z) проводящих металлических или полупроводниковых 2D слоев, матричный эле- мент неэкранированного кулоновского взаимо- действия при условии отсутствия туннелирова- ния электронов между слоями имеет вид [16] 22 sh ( , ) ch ch C z z e qc V q q q qc q c π ε = − , (1) где ε – диэлектрическая проницаемость кри- сталла, c – расстояние между слоями, q – про- дольный, а qz – поперечный по отношению к плоскости слоев переданные импульсы. Для описания эффектов экранировки в таком кри- сталле применима обычная процедура сумми- рования "петлевых" диаграмм, в которых роль "петли" играет поляризационный оператор 2D электронного газа в слоях ∏e(q; ω), зависящий от продольного волнового вектора q и от час- тоты ω. В результате такого суммирования описание эффекта экранировки, как и в изо- тропном 3D кристалле, сводится к делению матричного элемента (1) на продольную ди- электрическую проницаемость 2D электронов ( , , ) 1 ( , )П ( , ).е z C z eq q V q q qε ω ω= + (2) Однако, для одиночного 2D слоя, которо- му соответствует предельный переход c → ∞ когда выражение (1) принимает вид 22 ( ) ,C e V q q π ε = (3) такой метод неприменим, поскольку необхо- димо последовательно учитывать "провиса- ние" кулоновского поля в окружающую среду с другими диэлектрическими свойствами. В частности, в данном случае неприменимо длинноволновое приближение для экраниро- ванного кулоновского потенциала [6] 22 ( ) . ( )C TF e V q q q π ε = + ɶ (4) Здесь qTF – обратный радиус экранирова- ния в приближении Томаса-Ферми, который равен gme2 / εħ2 для полупроводниковых гете- роструктур и бислоев графена либо (4πge2n / εħυF)1/2 для монослоя графена, где g – фактор вырождения по спину и долинам, m и n – эффективная масса и концентрация 2D электронов, а υF – характерная "фермиевская" скорость, определяющая наклон линейного (безмассового) спектра квазичастиц в моно- слое графена (υF ≈ 108 см/с). Для корректного описания экранировки ку- лоновского взаимодействия в графене рассмот- рим трехслойную систему, состоящую из сред с разными диэлектрическими проницаемостями: ε1(k, ω) в области x < 0, ε2(k, ω) в области 0 < x < L и ε3(k, ω) в области x > L. Как было показано в [14], функция Грина уравнения Пуассона, опи- сывающая экранированное кулоновское взаи- модействие между зарядами, находящимися внутри слоя толщиной L с диэлектрической проницаемостью ε2(k, ω), при учете условий непрерывности электрического потенциала φ(r, t) и нормальной составляющей вектора электростатической индукции D(r, t) на беско- нечно тонких границах раздела сред имеет вид К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене _____________________________________________________________________________________________ ХФТП 2011. Т. 2. № 1 5 D22(q; x, x')= ={ aS(x)[(aS(x')+aA(x')) (aA(0)+a3(L))+ +(aS(x')–aA(x')) (aA(0)+a1(0))]+ +aA(x)[(aS(x')+aA(x')) (aS(0)+a3(L))– (5) – (aS(x')–aA(x')) (aS(0)+a1(0))]}/ B(q)– –1/2[bS(x, x')–bA(x, x')]; (0<x, x',<L). Здесь введены следующие обозначения: [ ] [ ] [ ] [ ] 1 3 3 1 ( , ) (0) (0) (0) ( ) (0) ( ) (0) (0) ; S A S A B q a a a a L a a L a a ω = + + + + + + (6) , , , 1 ( , ') ( ') ( ') , 2S A S A S Ab x x a x x a x x = + + −  (7) 1 1 2 2 1 1 ( ) ( , ; ) , ( ) ( , , ) ik xdk e a x a q x k q k q ω π ε ω ⊥∞ ⊥ ⊥ ⊥−∞ ≡ = +∫ (8) ( ) 3 3 2 2 3 1 ( ) ( , ; ) , ( ) ( , , ) ik x Ldk e a x a q x k q k q ω π ε ω ⊥∞ − ⊥ ⊥ ⊥−∞ ≡ = +∫ (9) , , , 2 2 2 2 ( ) ( , ; ) , ( ) ( , , )S A ik x S A S A k e a x a q x L k q k q ω ε ω ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ≡ = +∑ (10) где Sk⊥ = 2nπ / L – четные и Ak⊥ = (2n + 1) π / L – нечетные дискретные поперечные импульсы коллективных электронных колебаний с уче- том их зеркального отражения на границах раздела сред при x = 0 и x = L (n = 0, ±1, ±2,…). В диэлектрических проницаемостях сред уч- тены эффекты пространственной дисперсии (зависимость от продольного q и поперечного ⊥k волновых векторов) и временного запаз- дывания (зависимость от частоты ω). Спектр собственных коллективных коле- баний электронной плотности (плазмонов) в такой трехслойной системе определяется по- люсами функции Грина, т.е. нулями функции B(q, ω). Энергия взаимодействия электронов, находящихся внутри центрального слоя в точ- ках x и x' на расстоянии R в плоскости слоев, с учетом экранировки кулоновского взаимодей- ствия определяется выражением 2 22 0 22 0 ( ; , ') 2 ( ) ( ; , ').W R x x e qdqJ qR D q x x ∞ = − ∫ (11) В дальнейшем будем рассматривать сим- метричную трехслойную систему, для которой ε1(k, ω) = ε3(k, ω) ≡ ε0(k, ω). В этом случае со- отношения (5) и (6) приводятся к виду [ ] [ ] 22 0 0 ( , ; , ') ( ) ( ') ( ) ( ') 2 (0) (0) 2 (0) (0) 1 ( ') ( ') 4 ( ') ( ') , S S A A S A S S A A D q x x a x a x a x a x a a a a a x x a x x a x x a x x ω = = + − + + − [ + + − + + + + − ] (12) [ ] [ ]0 0( , ) 2 (0) (0) (0) (0) ,S AB q a a a aω = + + (13) где a0(0) = a1(0) = a3(L). В частном случае, когда слой окружен с двух сторон диэлектрической средой с ε0 = const, согласно (8) при x = 0 и (9) при x = L получаем a0(0) = 1 / qε0. Если электронный спектр в слое является двумерным, то диэлектрическая проницае- мость ε2 не зависит от ⊥k . При этом из соот- ношений (10) в результате суммирования по четным и нечетным значениям ⊥k получаем 2 1 (0) ctg ; ( , ) 2S qL a q qε ω = 2 1 (0) tg . ( , ) 2A qL a q qε ω = (14) Вследствие расходимости aS(0) при L → 0 данное рассмотрение справедливо только для слоев конечной толщины. Если заряд находится в центре слоя в точ- ке x = L/2, то выражения (10) принимают вид 2 1 ( / 2) ; ( / 2) 0. ( , )sh( / 2)S Aa L a L q q qLε ω = = (15) С другой стороны, из (10) следуют такие правила симметрии ( ) (0); ( ) (0),S S A Aa L a a L a= = − (16) что соответствует симметричным (четным) и антисимметричным (нечетным) модам кол- лективных колебаний электронной плотности в слое. При этом частоты таких симметричных и антисимметричных плазменных мод, со- гласно (13) и (14), определяются двумя дис- персионными соотношениями Э.А. Пашицкий, А.А. Гурин _____________________________________________________________________________________________ 6 ХФТП 2011. Т. 2. № 1 2 0 2 0 ( , ) ctg( / 2) 0; ( , ) tg( / 2) 0. q qL q qL ε ω ε ε ω ε + = + = (17) Заметим, что в слоистых кристаллах с двумя проводящими слоями в элементарной ячейке также существуют две плазменные ветви, соответствующие синфазным и анти- фазным колебаниям электронной плотности в соседних слоях [17]. МОНОСЛОЙ ГРАФЕНА В случае идеально плоского моноатомно- го 2D слоя графена роль толщины слоя L иг- рает размер атома углерода, т.е. удвоенный квантово-механический радиус электронной оболочки атома r0 = 0,091 нм, который при уровне допирования n ~ (109 ÷ 5·1012) см-2 мал по сравнению со средним расстоянием между свободными носителями заряда r = (πn)-1/2 ≈ (2,5 ÷ 180) нм. Это соответствует фермиевским импульсам kF = (4πn/g)1/2 ≈ (5,6·104÷3,9·106) см-1 при g = 4 в единицах постоянной Планка ħ. При этом для характерных передаваемых им- пульсов выполняется условие qL<<1. Если взаимодействующие заряды распо- ложены в центральной плоскости слоя, когда x = x' = L/2, то aA(L/2) = 0, и функция Грина (12) с учетом первого соотношения (16) принимает вид [ ] 22 2 2 0 0 ( ; / 2, / 2) ( / 2) (0) (0) (0) . 2 (0) (0) S S S S D q L L a L a a a a a = − −= + (18) При условии qL << 1 с точностью до малых квадратичных членов порядка (qL)2, согласно первым выражениям в соотношениях (14) и (15), получаем aS(0) ≈ aS(L/2) ≈ 2/q2Lε2(q, ω), так что выражение (18) сводится к виду [ ]22 2 0 1 ( , ) . ( , ) 2 D q q qL q ω ε ω ε ≈ − + (19) В длинноволновом приближении для ста- тического предела (ω/q → 0 при q → 0), когда поляризуемость 2D электронного газа равна плотности состояний на уров- не Ферми, продольная диэлектрическая проницаемость монослоя графена в при- ближении Томаса-Ферми равна 2( ,0) (1 / )TFq q qε ε= + , (20) где qTF ~ n благодаря линейному (безмассо- вому) спектру электронов в монослое графена. В указанном выше интервале концентраций допированных свободных носителей заряда обратная длина экранирования равна qTF ~ (9·104÷6,4·106) см-1. Энергия экранированного кулоновского взаимодействия (21), согласно (19) и (20), оп- ределяется выражением 2 0 2 00 2 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ,0) 2 2 2 ( ) ( ,TF TF dqJ qR W R e qL q e R q N R q L L L ε ε ε επ ε ε ε ∞ = = +     = + − +          ∫ H (21) где H 0(x) и N0(x) – функции Струве и Ней- мана. Заметим, что в отсутствие экранировки зарядов свободными носителями, когда qTF = 0, этот результат с точностью до знака совпадает с полученным в работе [18] выра- жением для энергии кулоновского взаимодей- ствия электрона и дырки в тонкой полупро- водниковой пленке, окруженной диэлектриче- ской средой. На больших расстояниях асимптотическое выражение (21) с точностью до главных чле- нов имеет вид 2 0 2 2 2 0 2 ( ) ( 2 / ) 1 . ( 2 / ) TF TF e W R R q L L R q L ε ε ε ε ε ≈ × +   × − +  (22) При условии qTFL << 2ε0/ε, которое выполняет- ся для монослоя графена при всех уровнях допирования, выражение (22) фактически сво- дится к неэкранированному кулоновскому взаимодействию двух зарядов, находящихся в среде с диэлектрической проницаемостью ε0 (см. [18]) 2 0 ( ) . e W R Rε ≈ (23) К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене _____________________________________________________________________________________________ ХФТП 2011. Т. 2. № 1 7 Таким образом, в данном случае экранировка практически отсутствует и сводится к пере- нормировке заряда, так что потенциал при- ближается к кулоновскому ~ R-1 при R → ∞ . На рис. 1 показана зависимость W(R) от расстоя- ния между зарядами R для разных уровней допирования. Рис. 1. Радиальная зависимость безразмерного эк- ранированного кулоновского потенциала зарядов в монослое графена W1 = WεL/πe2 от безразмерного расстояния между заря- дами R1 = R(qTF + 2ε0/εL) при разных уров- нях допирования (величина qTF возрастает для кривых 1, 2, 3) Следует заметить, что непосредственное вычисление экранированного кулоновского потенциала на основе матричного элемента (4) приводит к следующему результату [ ] 2 0 0 2 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) . 2 C TF TF TF TF q dqJ qRe V R q q qe q R N q R R ε π ε ∞ = = +  = − −    ∫ɶ H (24) На больших расстояниях, когда qTFR >> 1, с точностью до первого неисчезающего члена получаем следующее асимптотическое выра- жение 2 2 3 ( ) ,C TF e V R q Rε ≈ɶ (25) которое радикально отличается от полученно- го выше потенциала "кулоновского" типа (22) и применимо только для слоистых кристаллов на расстоянии R, малом по сравнению с рас- стоянием между слоями, тогда как при R >> c экранировка становится экспоненциальной, как в изотропном 3D металле. Для высокочастотного предела (q/ω → 0 при q → 0), когда электронный поляризацион- ный оператор ∏ e(q; ω) ~ q2/ω2, продольная ди- электрическая проницаемость графена равна 2 2 2 1/2 2 2 ( ) (0, ) 1 ; 2 . pl F pl q e q n ω ε ω ε ω υ πω ε   = −       =    ℏ (26) Корневая зависимость плазменной частоты ωpl от q в (26) обусловлена обратно пропор- циональной зависимостью от q кулоновского матричного элемента 2D слоя (3), в отличие от изотропных 3D кристаллов, в которых VC(q) = 4πe2/q2, так что плазменная частота не зависит от q при q → 0. Как следует из выражений (17) и (26), симметричная и антисимметричная мо- ды плазменных колебаний в монослое графена определяются соотношениями 0 1/2 2 0 ( ) ( ) 2 / 2 ; (2 ) S pl F qL q q qL e L n q qL ω ω ε ε υ π ε ε = = +   =  + ℏ (27) 1/2 2 00 ( ) 4 ( ) . (2 )1 / 2 pl F A q e q n q qLqL ω υ πω ε εε ε   = =  ++  ℏ (28) Как видим, для симметричной моды ха- рактерна линейная зависимость от q при qL << 2ε0/ε, тогда как антисимметричная мода сохраняет корневую зависимость от q при qL << 2ε/ε0. БИСЛОЙ ГРАФЕНА В рамках данного метода бислой графена можно представить как слой диэлектрической среды с ε2 = const в области 0 ≤ x ≤ L, где L рав- но расстоянию между монослоями графена d ~ 0,3 нм. В этом случае взаимодействующие заряды (электроны, дырки) сосредоточены в монослоях графена, т.е. на границах бислоя при x = 0 и x = L. В связи с этим кулоновская функция Грина принимает вид Э.А. Пашицкий, А.А. Гурин _____________________________________________________________________________________________ 8 ХФТП 2011. Т. 2. № 1 22 22 22 22 ( , ) ( , ;0,0) ( , ;0, ) ( , ; ,0) ( , ; , ), D q D q D q L D q L D q L L ω ω ω ω ω = + + + + ɶ (29) где с учетом эквивалентности 2D слоев графе- на, согласно (12) и (13), получаем [ ] [ ] [ ] 22 22 2 2 0 0 ( , ;0,0) ( , ; , ) (0) (0) 2 (0) (0) 2 (0) (0) 1 (0) (0) ; 2 S A S A S A D q D q L L a a a a a a a a ω ω= = = + − + + − + (30) [ ] [ ] [ ] 22 22 2 2 0 0 ( , ;0, ) ( , ; ,0) (0) (0) 2 (0) (0) 2 (0) (0) 1 (0) (0) . 2 S A S A S A D q L D q L a a a a a a a a ω ω= = = − − + + − − (31) Здесь использованы свойства симметрии aS(2L) = aS(0) и aA(2L) =aA(0). Таким образом, с учетом (30) и (31) получаем 0 22 0 2 (0) (0) ( , ) 4 ( , ) . (0) (0) S S a a D q D q a a ω ω= = − + ɶ (32) При этом экранированный кулоновский потенциал в статическом пределе выражается формулой 2 0 0 00 2 0 0 20 (0) (0) ( ) 4 ( ) (0) (0) ( ) 4 . ( ,0)th( / 2) S S a a W R e q dqJ qR a a J qR e dq q qLε ε ∞ ∞ = = + = + ∫ ∫ ɶ (33) Здесь ε2(q, 0) – определяется выражением (20) с независящим от концентрации n допирован- ных носителей импульсом Томаса-Ферми qTF = 4me2/εħ2, где m* – эффективная масса квазичастиц в бислое графена (m≈ 0,05me – массы электрона). В частности, для больших импульсов, когда qL >> 1 и th (qL/2) ≈ 1, полу- чаем выражение (ср. с (24)) 2 0 0 0 0 0 0 4 ( ) ( ) 1 . 2( ) TF TF TF e W R R q R q R q R N ε ε πε ε ε ε ε ε ε ε ε = × +       × − −     + + +       ɶ H (34) На малых расстояниях, когда выполняется условие qTFR << (ε+ε0)/ε, но R > L, потенциал (34) ведет себя аналогично экранированному потенциалу в 3D металле 2 0 ( ) exp .TFq Re W R R ε ε ε   ≈ − +  ɶ (35) Однако, на больших расстояниях, когда qTFR >> (ε+ε0)/ε, экранированный кулоновский потенциал (34) характеризуется степенной асимптотикой R-3 (ср. с (25)) 2 0 2 2 3 4 ( ) ( ) . TF e W R q R ε ε ε +≈ɶ (36) На рис. 2 показаны радиальные зависимости потенциала (34) для разных соотношений меж- ду диэлектрическими проницаемостями ε и ε0. Рис. 2. Радиальная зависимость безразмерного эк- ранированного потенциала взаимодействия двух зарядов в бислое графена W2 = Wɶ (ε0+ε)/4e2qTFε от безразмерного расстоя- ния между зарядами R2 = εqTF R/(ε0+ε) для разных соотношений между диэлектриче- скими проницаемостями ε и ε0 (величина ε0/ ε убывает для кривых 1, 2, 3) В длинноволновом приближении qL << 1 для L = d >> r0 с точностью до малых квадра- тичных членов порядка (qL)2 остаются спра- ведливыми все предыдущие результаты по экранировке и плазменным колебаниям (21)–(28), но для плазменной частоты вида 1/222 ( ) . pl ne q q m πω ε   =     ɶ (37) Однако в области импульсов qL ≥ 1 дис- персия плазмонов является более сложной К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене _____________________________________________________________________________________________ ХФТП 2011. Т. 2. № 1 9 0 0 ( ) ( ) ; 1 / cth( / 2) ( ) ( ) . 1 / th( / 2) pl S pl A q q qL q q qL ω ω ε ε ω ω ε ε = + ⋅ = + ⋅ ɶ ɶ (38) На рис. 3 показаны законы дисперсии симмет- ричной и антисимметричной плазменных ветвей. Рис. 3. Законы дисперсии симметричной (1) и ан- тисимметричной (2) мод плазменных коле- баний в моно- и бислое графена (Ω = ωS,A/ωpl, Q = qL) ВЫВОДЫ Таким образом, полученные в настоя- щей работе результаты показывают, что эк- ранировка зарядов и плазменные колебания в монослоях и бислоях графена могут су- щественно отличаться от соответствующих эффектов как в изотропных, так и в слои- стых макроскопических кристаллах. В ча- стности, на больших расстояниях экрани- рованный кулоновский потенциал в моно- слое графена убывает как R-1, а в бислое – по степенному закону R-3. Спектр симмет- ричной (четной) моды плазменных колеба- ний в графене имеет акустический закон дисперсии, а спектр антисимметричной (нечетной) плазменной моды характеризу- ется корневым законом дисперсии, по ана- логии с 2D системами. В заключение авторы выражают благо- дарность В.П. Гусынину, И.В. Криве, С.М. Рябченко, А.В. Семенову и С.Г. Шарапову за полезное обсуждение вопросов, затрону- тых в данной работе. ЛИТЕРАТУРА 1. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V. et al. Reports electric field effect in atomi- cally thin carbon films // Science. – 2004. – V. 306. P. 666–669. 2. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V. et al. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene. // Nature. – 2005. – V. 438. – P. 197–200. 3. Wallace P.R. The band theory of graph- ite. // Phys. Rev. – 1947. – V. 71, N 9. – P. 622–634. 4. Morozov S.V., Novoselov K.S., Katsnel- sonet M.I. et al. Giant intrinsic carrier mobili- ties in graphene and its bilayer // Phys. Rev. Lett. – 2008. – V. 100, N 1. – id 016602. 5. Abergel D.S.L., Apalkov V., Berashevich J. Prop- erties of graphene: A theoretical perspective // Adv. Phys. –2010. – V. 59, N 4. – P. 261–482. 6. Das Sarma S., Shaffique A., Hwang E.H., E. Rossi Electronic transport in two dimen- sional graphene. – 2010. – arXiv: 1003.4731v2 [cond-mat.mes-hall]. 7. Gusynin V.P., Sharapov S.G. Unconventional integer quantum hall effect in graphene // Phys. Rev. Lett. – 2005. – V. 95, N 14. – P. 146801 (1–4). 8. Gusynin V.P. Sharapov S.G. Transport of Dirac quasiparticles in graphene: Hall and op- tical conductivities // Phys. Rev. B. – 2006. – V. 73, N 24. – P. 245411(1–18). 9. Gusynin V.P., Miransky V.A., Shara- pov S.G., Shovkovy I.A. Excitonic gap, phase transition, and quantum Hall effect in graphene // Phys. Rev. B. – 2006. – V. 74, N 19. –P. 195429(1–10). 10. Gusynin V.P., Sharapov S.G., Carbotte J.P. On the universal AC optical background in graphene // New J. Phys. – 2009. – V. 11, N 9. – doi:10.1088/1367-2630/11/9/095013. 11. Романов Ю.А. К теории характеристиче- ских потерь в тонких пленках // ЖЭТФ. – 1964. – Т. 47, № 6. – С. 2119–2133. 12. Пашицкий Э.А., Романов Ю.А. Плазмен- ные волны и сверхпроводимость в кван- тующих полупроводниковых (полуметал- лических) пленках и слоистых структу- рах // Укр. Физ. Журн. – 1970. – Т. 15, № 10. – С. 1594–1606. 13. Габович А.М., Ильченко Л.Г., Пашиц- кий Э.А., Романов Ю.А. Экранирование Э.А. Пашицкий, А.А. Гурин _____________________________________________________________________________________________ 10 ХФТП 2011. Т. 2. № 1 заряда и фриделевские осцилляции в ме- таллах с различной формой поверхности Ферми // ЖЭТФ. – 1978. – Т. 75, № 1. – С. 249–264. 14. Ильченко Л.Г., Пашицкий Э.А., Рома- нов Ю.А. Электростатический потенциал зарядов в слоистых системах с простран- ственной дисперсией // ФТТ. – 1980. – Т. 22, № 9. – С. 2700–2710. 15. Ильченко Л.Г., Пашицкий Э.А. Взаимодей- ствие зарядов в слоистых системах // ФТТ. – Т. 22, №11. – С. 3395–3401. 16. Fetter A.L. Electrodynamics of a layred elec- tron gas. II. Periodic array // Ann. Phys. – 1974. –– V. 88. – P. 1–25. 17. Griffin A., Pindor A.J. Plasmon dispersion relations and the induced electron interaction in oxide superconductors: Numerical re- sults // Phys. Rev. B. – 1989. – V. 39, N 16 – P. 11503–11514. 18. Келдыш Л.В. Кулоновское взаимодействие в тонких пленках полупроводников и по- луметаллов // Письма ЖЭТФ. – 1979. – Т. 29, № 11. – С. 716–719. Поступила 30.01.2011, принята 09.02.2011 Про ефект екранування та спектр плазмонів у графені Е.А. Пашицький, О.О. Гурін Інститут фізики Національної академії наук України пр. Науки 46, Київ 03680, Україна, pashitsk@iop.kiev.ua Використовуючи метод функцій Гріна для поздовжнього (кулонівського) поля в тришаровій системі середовищ з просторовою та частотною дисперсією, розглянуто ефекти екранування та спектр плаз- мових коливань в графені. Показано, що в моноатомному шарі графену екранування зарядів зводиться до їх перенормування, визначаючи асимптотику екранованого потенціалу у вигляді R-1, тоді як у бі- шарі графену екранування характеризується степеневою асимптотикою виду R-3. Плазмовий спектр в моно- та бішарі графену має симетричну моду з акустичним законом дисперсії й антисиметричну моду з кореневим законом дисперсії. On the Screening Effects and Plasmon Spectrum in Graphene E.А. Pashitskii, А.А. Gurin Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Ukraine 46 Nauky Avenue, Kyiv 03028, Ukraine, pashitsk@iop.kiev.ua Basing on the method of Green functions for longitudinal (Coulomb) field in three-layer system of media with spatial and frequency dispersion, the screening effects and spectrum of plasma oscillations in graphene are considered. In graphene monolayer the screening of charges comes to their renormalization, so that asymptotic of the screening potential is R-1 whereas the screening in graphene bilayers is characterized by R-3 power asymptotics. The plasma spectrum in graphene mono- and bilayer has a symmetric mode with acoustic dispersion law and an antisymmetric one with root dispersion law.

К вопросу об эффектах экранировки и о спектре плазмонов в графене

Institution

Ähnliche Einträge