Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України

Запропоновано метод послідовного аналізу варіантів для розв’язання задач оптимізації розвитку технічного оснащення залізничного транспорту. ----------

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Шумейко, О.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут економіки промисловості НАН України 2006
Schlagworte:	НТП та організація виробництва
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/2941
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України / О.А. Шумейко // Економіка пром-сті. — 2006. — № 3. — С. 91-96. — Бібліогр.: 3 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-2941
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-29412009-05-25T12:01:20Z Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України Шумейко, О.А. НТП та організація виробництва Запропоновано метод послідовного аналізу варіантів для розв’язання задач оптимізації розвитку технічного оснащення залізничного транспорту. ---------- Предложен метод последовательного анализа вариантов для решении задач оптимизации развития технического оснащения железнодорожного транспорта. ----------- The methods of consistent analysis of variations is offered to solve optimization tasks for development of railway transport technical equipment. ---------- 2006 Article Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України / О.А. Шумейко // Економіка пром-сті. — 2006. — № 3. — С. 91-96. — Бібліогр.: 3 назв. — укp. 1562-109Х http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/2941 uk Інститут економіки промисловості НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	НТП та організація виробництва НТП та організація виробництва
spellingShingle	НТП та організація виробництва НТП та організація виробництва Шумейко, О.А. Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України
description	Запропоновано метод послідовного аналізу варіантів для розв’язання задач оптимізації розвитку технічного оснащення залізничного транспорту. ----------
format	Article
author	Шумейко, О.А.
author_facet	Шумейко, О.А.
author_sort	Шумейко, О.А.
title	Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України
title_short	Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України
title_full	Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України
title_fullStr	Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України
title_full_unstemmed	Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України
title_sort	економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту україни
publisher	Інститут економіки промисловості НАН України
publishDate	2006
topic_facet	НТП та організація виробництва
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/2941
citation_txt	Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України / О.А. Шумейко // Економіка пром-сті. — 2006. — № 3. — С. 91-96. — Бібліогр.: 3 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT šumejkooa ekonomíkomatematičnemodelûvannârozvitkuzalízničnogotransportuukraíni
first_indexed	2025-07-02T06:11:23Z
last_indexed	2025-07-02T06:11:23Z
_version_	1836514471676215296
fulltext	О.А. Шумейко ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РОЗВИТКУ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ УКРАЇНИ Постановка задачі. За останні роки матеріально-технічне оснащення залізничного транспорту зазнало значного розвитку, що обумовило необхідність аналізу варіантів розвитку та показників, які визначають економічну ефективність цього розвитку. Використання новітніх економіко- математичних методів і моделей у сис- темному підході до реалізації варіантів розвитку залізничного транспорту дозволить прийняти таке рішення, яке при реалізації вимагало б мінімуму матеріальних і фінансових витрат при найвищій ефективності його використання. Це особливо важливо, враховуючи еконо- мічні негаразди в державі, а також той факт, що оснащення залізничного транс- порту здебільшого багатовитратне і сягає десятків мільйонів доларів США. Тому наукове обґрунтування витрат і жорстка економія має першочергове значення для підвищення економічної ефективності як ступенем вигідності витрат. Математичні методи, що використовуються для оптимізації складних економічних систем. Залізничний транспорт – це техніко- економічна система, що складається зі складних підсистем, таких як шляхове господарство, рухомий склад, інформаційне забезпечення, технічні засоби та обладнання, кадрове забезпечення тощо. Стан цієї системи – це комплекс технічних параметрів та елементів технічного оснащення при їх визначених техніко-економічних значеннях. У кожний момент часу система перебуває в одному з можливих станів. Зміна хоча б одного з елементів комплексу переводить систему в новий стан. Перехід від одного стану до іншого відбувається згідно з правилами розвитку параметрів, що характеризують стан системи, і досліджуються в певному інтервалі часу (рік, квартал, місяць). Розвиток системи можна уявити як динамічний процес послідовної зміни станів із дискретним часом. У кожному стані система може функціонувати, доки вона спроможна виконувати свої функції у повному обсязі, потім система має перейти в інший стан згідно з планами розвитку. Такий перехід є технічно необхідним. Перехід у технічно досконалий стан відбувається стрибком. Він має відбутись у економічно раціональні терміни, які настають раніше технічно необхідних. Методи оптимізації планових рішень, які відповідають дискретним, динамічним, детермінованим процесам функціонування систем, що досліджуються, базуються на спрямованому пошуку оптимального рішення, що забезпечує одержання позитивного результату при мінімальній необхідній кількості спроб. Вимоги до економіко-математичних моделей і методів оптимізації розвитку техніко-економічних систем залізничного транспорту можливо реалізувати шляхом: визначення економічно найбільш доцільної послідовності станів і термінів їх здійснення; ISSN 1562-109X визначення комплексу технічних станів, найбільш доцільних за даних конкретних умов; оцінки варіантів, близьких до оптимального зазначенням критерію. На сьогодні сформований спеціалізований математичний апарат, що призначається для оптимізації різних складних систем, у тому числі економічних. Широке коло задач може бути досліджено за допомогою методів математичного програмування або методами класичного математичного аналізу. Ці методи є результативними у випадках, коли в процесі розв’язання задачі є можливість виразу цільової функції в явному вигляді через параметри системи, в іншому разі реалізація цих методів стає дуже складною або взагалі неможливою. Розглянемо докладніше ті труднощі, які виникають при спробі використати для вирішення поставленої проблеми методи математичного аналізу. Для використання класичних методів необхідно, щоб функція-критерій явно була залежною від параметрів системи. При незначній кількості параметрів можливо визначити декілька схем розвитку системи. У цьому випадку задача планування багатоетапних процесів у принципі дозволяє отримати безпосереднє рішення. У випадку ж, коли цільова функція має багато аргументів, а саме такий випадок характерний для реальних техніко-економічних систем, виникає ряд труднощів. Завдання розв’язання такої системи рівнянь може бути успішно вирішено тільки в простих випадках. У деяких випадках розв’язання системи може бути взагалі неможливим. Функції-критерії складної природи дають більші набори можливостей, тобто в результаті розв’язання системи рівнянь маємо декілька коренів. Для знаходження абсолютного мінімуму необхідно випробувати всі комбінації значень, які були отримані, що обумовлює значну перешкоду для чисельного розв’язання. Навіть у тих рідких випадках, коли системи рівнянь можливо розв’язати, знаходження абсолютного екстремуму потребує цілої низки перевірок, складність яких пропорційна кількості аргументів функції. У задачах оптимізації з багатьма змінними кількість усіх можливостей, що включають точки екстремуму, настільки значна, що сама ідея перебору стає нереальною. У задачах оптимізації, які зводяться до комбінаторних задач, загальна кількість випадків зростає експоненціально зі зростанням кількості змін, що призводить до значних витрат часу на проведення розрахунків навіть в умовах використання сучасної комп’ютерної техніки. Використання апарату класичного аналізу розв’язання задач оптимізації потребує безперервної зміни незалежних змінних. У деяких випадках є сенс використовувати безперервну зміну незалежних змінних як наближення до реальної дійсності, однак таке згладжування серйозно вплине на точність результатів. Класичний аналіз базується на безперервній зміні незалежних змінних. Це означає, що результати, отримані класичним шляхом, будуть дуже чутливими до локальних змін. Усе вищезгадане зводиться до визнання класичних методів аналізу та варіаційного обчислювання неефективними при розв’язанні більшості задач планування та оптимізації. Із наведеного аналізу методів оптимізації складних систем можна зробити висновок про необхідність уведення нових математичних методів чисельного розв’язання багатоваріантної задачі оптимізації. Сформульованим вимогам відповідає теорія динамічного програмування. Ідея методу динамічного програмування полягає у тому, що пошук екстремуму функції багатьох змінних замінюється багаторазовим пошуком екстремуму функції одного чи невеликої кількості змінних. Динамічне програмування є методом, що приводить до глобального оптимуму незалежно від кількості локальних екстремумів. Історія динамічного програмування тісно пов’язана з іменем Р. Беллмана, що зробив значний внесок у розвиток цього методу [1]. Подальшого розвитку ідеї динамічного програмування набули у роботах В.С. Міхалєвіча та Н.З. Шора [2,3]. Розроблений ними чисельний метод розв’язання багатоваріантних задач – метод послідовного аналізу варіантів – набув широкого використання при розв’язанні задач оптимізації складних економічних систем. Метод послідовного аналізу варіантів. Розглянемо використання методу послідовного аналізу варіантів для чисельного розв’язання задачі оптимізації. В основі методу послідовного аналізу варіантів покладена ідея представлення процесу розв’язання у вигляді багатокрокової структури подібної до структури складного випробування. Кожний крок пов’язаний з перевіркою наявності тих чи інших властивостей у множині або у окремих варіантів, результатом реалізації кроку має стати або скорочення початкової множини варіантів, або підготовка такого скорочення в майбутньому. Характерною рисою методу послідовного аналізу варіантів є той факт, що у процесі його реалізації відбувається скорочення не тільки множини можливих варіантів, але й множини випробувань, які необхідно провести для продовження результату пошуку. При розв’язанні варіаційних задач використання методу послідовного аналі- зу варіантів базується на „принципі оптимальності”, що був сформульований Р. Беллманом як основа задач динамічного програмування. Принцип оптимальності Р.Беллмана є особливим випадком методу послідовного аналізу варіантів, сформульований для монотонно-рекурсивних функціоналів. Сформулюємо загальну схему реалізації послідовного пошуку рішення. Існує множина індивідуальних об’єктів }{ , множина випробувань }{  та множина остаточних рішень }{zZ  . Кожне випробування  характеризується множиною }{  X своїх можливих рішень x . Задаємо сукупність послідовних обмежень  на можливість реалізації випробувань:  1 – множина припустимих випробувань першої стадії;  2 – множина випробувань другої стадії, припустимих після реалізації 1 випробування  11  і т.д. ),...,( 11 kk    – множина випробувань 1k стадії, припустимої після реалізації ланцюга k  ,..., 1 ,...)2,1( k . Правило пошуку визначаємо як послідовність R функцій, що були визначені на множині припустимих ланцюжків результатів випробувань відповідної довжини. )}.,...,(),,...,( );...;(),(,,{ 11 11 1 2110 kk kkz zzR       Функція ),...,( 11 kk    показує, яке випробування ( 1k )-ої стадії необхідно реалізовувати згідно з прави- лом R , якщо результати попередніх випробувань були k  ,..., 1 . Функція ),...,( 1 kkz   показує, яке остаточне рішення приймається, якщо після результатів k  ,..., 1 випробування припиняються. Для порівняння різних послідовних правил вважається, що зв’язок між  і  існує у вигляді родини умовних імовірнісних мір. , ,..., 1 1          k k d P      (1) де k  ,..., 1 – є  -придатний ланцюжок результатів випробувань. Ця умова включає і важливий особливий випадок, коли (1) приймає тільки значення 1 та 0 (схема з детермінованими результатами випробувань). При цьому як індивідуальний об’єкт  розглядається пара ( GT , ), де T – конкретне представлення функціоналу, G – конкретне представлення обмежень, а як випробування  розглядається перевірка певної властивості варіантів, що випливає зі структури функціоналів і структури обмежень множини )},{(}{ GT  (наприклад, перевірка необхідної умови оптимальності). Саме такий особливий випадок із детермінованими результатами був названий схемою послідовного аналізу варіантів. Таким чином, процеси оптимізації за наведеним методом полягають у послідовності операцій, у яких результат попередніх операцій можна використовувати для управління ходом майбутньої операції. Усі процеси, що розглядаються, містять послідовність виборів, яку назвемо поведінкою чи стратегією системи. Оптимальною стратегією системи вважається найбільш бажана з точки зору критерію, що заданий. Виходячи із загальної схеми сформулюємо схему послідовного аналізу варіантів. Нехай }{ – множина індивідуальних об’єктів, а }{W – множина об’єктів, які будемо називати варіантами. Зв’язок між  та W визначений за допомогою заданої сукупності випробувань }{  системою обмежень Г, а саме: для кожного  і кожного випробування   однозначно визначений результат випробування )(  , де результату  кожного випробування  відповідає підмножина ][WW     , це розповсюджується на будь-яку підмножину Wv : vWv   ][ . Необхідно побудувати алгоритм пошуку, який дозволяє знайти при кожному  інваріантну відносно сукупності випробувань  підмножину варіантів ].)[(* WW       Схема послідовного аналізу варіантів для пошуку * W будується як послідовне правило R . Як множина остаточних рішень Z розглядається деяка множина підмножин з w, побудована за сукупністю }{  W . Таким чином, пошук * W відбувається шляхом послідовних виключень підмножин варіантів. Ця схема особливо зручна у випадках, коли пошук * W проводиться шляхом перевірки заданого списку необхідних властивостей, які задовольняють варіанти. Для побудови достатньо простих обчислювальних процедур може бути використана властивість монотонної рекурсивності функції-критерію. Послідовність векторів ,,( 10 bbB  ..., bT) будемо вважати траєкторією. Нехай задана множина припустимих траєкторій u , задача полягає у тому, щоб у цій множині визначити траєкторію, на якій функція )(BT приймає мінімальне значення. Припустимо, що така траєкторія існує, тоді для чисельного розв’язання задачі оптимізації можна використати важливий особливий випадок методу послідовного аналізу варіантів – схему для монотонно- рекурсивних функціоналів, особливості яких будуть ураховані у процедурі пошуку оптимального варіанта. Припустимо, є два відрізки траєкторій )...,,,( )1( 1 )1( 0 )1()1( KK bbbB  і ,( 0 )2()2( bBK    Kbb 2 1 )2( ...,, , і нехай KK bb )2()1(  (2) )]...}(,,[{..., ,,{)]...}( ,,[{...,,,{ 0 )2(0 1 )2( 0 )2(11 )3( 1 )2( 0 )1(0 1 )1( 0 )1(11)1( 1 )1( bfbbff bbfbf bbffbbf K KK K K KK K      (3) ],,...,,/,...,[ ],...,,/,...,[ )2( 1 )2( 0 )2( 1 )1( 1 )1( 0 )1( 1 KTK KTK bbbbb bbbbb     (4) тоді всі траєкторії, що є продовжен- ням відрізку траєкторії варіанта Kbbb )2( 1 )2( 0 )2( ,...,, , не можуть вести до мінімуму функцію-критерій і тому можуть бути виключені з розгляду. У (4) визначено, що множина всіх траєкторій UB , у яких першими ( 1K ) координатами є відповідно Kbbb )1( 1 )1( 0 )1( ,...,, , накриває множину всіх припустимих траєкторій, у яких перши- ми ( 1K ) координатами є відповідно Kbbb )2( 1 )2( 0 )2( ,...,, . Якщо припустити, що будь-яке продовження відрізка KB )2( призвело до оптимального варіанта по мінімуму критерію, а продовження є відрізком TK bb * 1 * ,..., , то виходячи з умови (4), траєкторія TKK bbbb *)1( 0 )1( ,...,,,..., теж є припустимою, а з умов (2) і (3) і монотонної рекурсивності функціоналу  випливає, що ).,...,,,...,( ),...,,,...,( 1 )2( 0 )2( 1 )1( 0 )1( TKK T TKK T bbbb bbbb     А це не відповідає тому, що TKK bbbbb 1 *)2( 1 )2( 0 )2( ,...,,,...,,  – оптимальна траєкторія. Таким чином, для випадку монотонно-рекурсивної функції алгоритм методу оптимізації можна визначити так: послідовно збільшуємо K та обчислюємо функцію Kf до співпадіння умов (2), (3), (4), відрізок Kbbb )2( 1 )2( 0 )2( ,...,, із подальшого аналізу виключаємо, відповідно виключається множина невигідних траєкторій ],...,/,...,[ )2( 0 )2( 1 KTK bbbb  . Зміст підходу схеми послідовного аналізу варіантів до задач динамічного програмування полягає у можливості заміни розв’язання Т-крокової задачі розв’язанням послідовності задач: починаючи з однокрокової, потім двокрокову, (розмірність може зростати з кроком, рівним одиниці) і до Т-крокової. Згідно з принципом оптимальності Беллмана для розв’язання задач такого типу методом послідовного аналізу варіантів справедливо: колишня поведінка системи не повинна мати значення при визначенні майбутніх дій. Якщо в процесі розв’язання з’ясується, що майбутній розвиток системи залежить від минулого, то слід додати до поняття стану системи параметри, від яких залежить розвиток системи. Наприклад, початковий стан, що змінився, але продовжує впливати на систему в процесі її розвитку, має бути внесений у визначення стану системи як додатковий параметр. Передумови та особливості використання методу послідовного аналізу варіантів для оптимізації розвитку залізничного транспорту. Як уже було зазначено, залізничний транспорт є складною техніко- економічною системою. Розвиток такої системи можна розглядати як поступовий її перехід з одного рівня на інший, більш високий технічний рівень. Капітальні вкладення є ресурсом, що ініціює такий перехід. У свою чергу більш високий технічний рівень системи обумовлює або має обумовлювати більш економний режим функціонування системи, тобто мінімізувати витрати функціонування системи та максимізувати її надходження у матеріальній формі. Виходячи з цього розвиток такої техніко-економічної системи, як залізничний транспорт, має відповідати таким вимогам: перевести систему на найбільш високий можливий технічний рівень, використавши для цього мінімальний інвестиційний ресурс. Обмеження інвестиційного бюджету розглядаємо як одне з обмежень системи. Доведемо, що поставлена задача оптимізації складної системи, якою є залізничний транспорт, може бути вирішена методом послідовного аналізу варіантів. Задача оптимізації розвитку залізничного транспорту може бути представлена як Т-кроковий процес прийняття рішень, де кожне рішення, що приймається на К-му кроці (К = 1,2,...Т), полягає у виборі одного чи декількох значень керуючих змінних. При розгляді задачі, яка складається з К-кроків, може бути задана певна множина параметрів, що характеризує стан системи, тобто параметрів, які впливають на значення керуючих змінних. Ця множина може бути задана таким чином, що вона буде характеризувати стан системи незалежно від кількості кроків. Таким чином, вибір керуючої змінної на К-му кроці не буде залежати від попередніх кроків. Наведені вище умови виконані, тому задача може бути вирішена методом послідовного аналізу варіантів. Розглянемо переваги використання методу послідовного аналізу варіантів при дослідженні розвитку залізничного транспорту. При дослідженні подібних систем важливим є визначення структури поведінки системи. У більшості випадків крім оптимального значення критеріальної функції для нас важливі значення, близькі до оптимуму. Для отримання таких значень ми дозволяємо параметрам коливатися у певному припустимому проміжку та досліджуємо чутливість оптимуму до подібних коливань. Метод послідовного аналізу варіантів дозволяє провести такий аналіз та отримати таку інформацію, яка не може бути отримана іншими методами. Наближені до оптимуму поведінки, які незначно відрізняються від оптимуму, можуть бути важливими не менше за точ- не рішення. Вони можуть бути навіть важливішими за точне рішення у випадку, наприклад, необхідності мати прості наближення у складній ситуації. Отримання таких оптимумів також притаманно методу послідовного аналізу варіантів. Використання методу послідовного аналізу варіантів значно зменшує час розрахунків і вимоги до потужності комп’ютерних систем, що здійснюють обчислення. Для розв’язання задачі, що складається з 10 кроків, має бути розглянуто 1010 варіантів траєкторій, у разі 20 кроків – вже 1020 варіантів і т.д., очевидно, що експоненціальне зростання числа варіантів по мірі зростання розмірності процесу робить перебір усіх випадків неможливим. Використання методу послідовного аналізу варіантів є більш ефективним шляхом, ніж просте дослідження всіх випадків. Висновок. Метод послідовного аналізу варіантів, що використовується для розв’язання задач оптимізації розвитку технічного оснащення залізничного транспорту, може бути використаний для вирішення широкого кола багатоваріантних досліджень за допомогою сучасної комп’ютерної техніки з метою аналізу впливу багатьох факторів на вибір оптимальної траєкторії розвитку системи. Метод добре пристосований для врахування особливостей конкретних процесів. Метод має особливості, які роблять його використання найбільш придатним для вирішення поставленої задачі. Література 1. Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: Иностранная литература, 1960. – 400 с. 2. Михалевич В.С., Шор Н.З. Численное решение многовариантных задач по методу последовательного анализа вариантов. – М.: ЛЭММ АН СССР, 1962. 3. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение // Кибернетика. – 1965. – №1. – С. 45-56; №2. – C. 85-88.

Економіко-математичне моделювання розвитку залізничного транспорту України

Institution

Ähnliche Einträge