Про нові узагальнені інтегральні перетворення
Робота присвячена теорiї нових iнтегральних перетворень, що узагальнюють класичнi iнтегральнi перетворення Лапласа, Стiльтьєса i Вiддера в теорiї потенцiалу. Ядрами цих iнтегральних перетворень використано (τ, β)-узагальненi конфлюентнi гiпергеометричнi функцiї. Доведено формули обернення для нових...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29695 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про нові узагальнені інтегральні перетворення / Н.О. Вiрченко, С.М. Заїкiна // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 11-17. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-29695 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-296952011-12-28T12:39:24Z Про нові узагальнені інтегральні перетворення Вірченко, Н.О. Заїкіна, С.М. Математика Робота присвячена теорiї нових iнтегральних перетворень, що узагальнюють класичнi iнтегральнi перетворення Лапласа, Стiльтьєса i Вiддера в теорiї потенцiалу. Ядрами цих iнтегральних перетворень використано (τ, β)-узагальненi конфлюентнi гiпергеометричнi функцiї. Доведено формули обернення для нових iнтегральних перетворень, встановлено рiвностi типу Парсеваля–Гольдштейна. Подано деякi приклади застосувань нових iнтегральних перетворень. We present new integral transforms, generalizing the classical Laplace, Stieltjes, and Widder integral transforms in the potential theory. The (τ, β)-generalized confluent hypergeometric functions are the kernels of these integral transforms. Inverse formulae for new integral transforms are proved. Relations of the Parseval–Goldstein type are established. Some examples of applications of the new integral transforms are given. 2010 Article Про нові узагальнені інтегральні перетворення / Н.О. Вiрченко, С.М. Заїкiна // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 11-17. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29695 517.581 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Вірченко, Н.О. Заїкіна, С.М. Про нові узагальнені інтегральні перетворення Доповіді НАН України |
| description |
Робота присвячена теорiї нових iнтегральних перетворень, що узагальнюють класичнi iнтегральнi перетворення Лапласа, Стiльтьєса i Вiддера в теорiї потенцiалу. Ядрами цих iнтегральних перетворень використано (τ, β)-узагальненi конфлюентнi гiпергеометричнi функцiї. Доведено формули обернення для нових iнтегральних перетворень, встановлено рiвностi типу Парсеваля–Гольдштейна. Подано деякi приклади застосувань нових iнтегральних перетворень. |
| format |
Article |
| author |
Вірченко, Н.О. Заїкіна, С.М. |
| author_facet |
Вірченко, Н.О. Заїкіна, С.М. |
| author_sort |
Вірченко, Н.О. |
| title |
Про нові узагальнені інтегральні перетворення |
| title_short |
Про нові узагальнені інтегральні перетворення |
| title_full |
Про нові узагальнені інтегральні перетворення |
| title_fullStr |
Про нові узагальнені інтегральні перетворення |
| title_full_unstemmed |
Про нові узагальнені інтегральні перетворення |
| title_sort |
про нові узагальнені інтегральні перетворення |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29695 |
| citation_txt |
Про нові узагальнені інтегральні перетворення / Н.О. Вiрченко, С.М. Заїкiна // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 11-17. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT vírčenkono pronovíuzagalʹnenííntegralʹníperetvorennâ AT zaíkínasm pronovíuzagalʹnenííntegralʹníperetvorennâ |
| first_indexed |
2025-07-03T09:54:43Z |
| last_indexed |
2025-07-03T09:54:43Z |
| _version_ |
1836619120058040320 |
| fulltext |
УДК 517.581
© 2010
Н.О. Вiрченко, С. М. Заїкiна
Про новi узагальненi iнтегральнi перетворення
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Робота присвячена теорiї нових iнтегральних перетворень, що узагальнюють класи-
чнi iнтегральнi перетворення Лапласа, Стiльтьєса i Вiддера в теорiї потенцiалу. Ядра-
ми цих iнтегральних перетворень використано (τ, β)-узагальненi конфлюентнi гiпергео-
метричнi функцiї. Доведено формули обернення для нових iнтегральних перетворень,
встановлено рiвностi типу Парсеваля–Гольдштейна. Подано деякi приклади застосу-
вань нових iнтегральних перетворень.
Метод iнтегральних перетворень є одним з ефективних сучасних аналiтичних методiв роз-
в’язання крайових задач математичної фiзики, астрофiзики, термодинамiки, бiотехнiки,
багатьох проблем прикладного аналiзу, iнженерних задач та iн. Рiзноманiтнi застосуван-
ня методу iнтегральних перетворень поданi в науковiй лiтературi (див., наприклад, [1–7]).
Однак потрiбно зазначити, що iснує велика низка складнiших задач, якi не можуть бути
розв’язаними за допомогою класичних iнтегральних перетворень, а їх можна розв’язати,
використавши iнтегральнi перетворення зi спецiальними функцiями в ядрах.
Пiдкреслимо, що серед iнтегральних перетворень зi спецiальними функцiями саме iнте-
гральнi перетворення з функцiями гiпергеометричного типу часто зустрiчаються при роз-
глядi практичних задач. Посилений iнтерес до iнтегральних перетворень зi спецiальними
функцiями також можна обгрунтувати широким застосуванням методу iнтегральних пе-
ретворень до розв’язання та дослiдження складнiших iнтегральних рiвнянь, до парних,
потрiйних, N -арних iнтегральних рiвнянь тощо.
Новi узагальнення спецiальних функцiй гiпергеометричного типу дають можливiсть ви-
користовувати цi функцiї в теорiї та практицi нових узагальнень класичних iнтегральних
перетворень.
Дана робота й присвячена питанням теорiї нових iнтегральних перетворень з узагальне-
ними гiпергеометричними функцiями. Доведено формули обернення для нових iнтеграль-
них перетворень, подано рiвностi типу Парсеваля–Гольдштейна, розглянуто кiлька iлю-
стративних прикладiв.
1. Запровадимо новi узагальнення клaсичних iнтегральних перетворень Лапласа, Стiль-
тьєса, Вiддера в теорiї потенцiалу за допомогою (τ, β)-узагальненої конфлюентної гiпергео-
метричної функцiї 1Φ
τ,β
1 (a; c; z), доведемо формули обернення.
Розглянемо такi узагальненi iнтегральнi перетворення.
а) Узагальненi iнтегральнi рiвняння Лапласа:
L̃m{f(x); y} =
∞∫
0
xm−1e−xmym
1Φ
τ,β
1 (a; c;−b(xmym)γ)f(x) dx, (1)
L̃γ1,γ2,γ{f(x); y} =
∞∫
0
xγ2e−(xy)γ1
1Φ
τ,β
1 (a; c;−b(xy)γγ1)f(x) dx, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 11
де x > 0, γ ∈ C, γ1 > 0, γ2 > 0, b > 0, f(x) ≡ 0 при x < 0; xγ2f(x) < Mes0x
γ1
; M , s0 — сталi;
1Φ
τ,β
1 (a; c; z) — (τ, β)-узагальнена конфлюентна гiпергеометрична функцiя [8]:
1Φ
τ,β
1 (a; c; z) =
1
B(a, c− a)
1∫
0
ta−1(1− t)c−a−1
1Ψ1
[
(c, τ)
(c, β)
∣∣∣∣∣ zt
τ
]
dt, (3)
де Re c > Re a > 0; {τ, β} ⊂ R, τ > 0, β > 0; τ−β < 1; B(a, c−a) — класична бета-функцiя [9],
1Ψ1 — гiпергеометрична функцiя Райта [1]:
pΨq(z) ≡ pΨq
[
(ai;αi)1,p
(bj ;βj)1,q
∣∣∣∣∣ z
]
=
∞∑
n=0
p∏
i=1
Γ(ai + nαi)
q∏
j=1
Γ(bj + nβj)
· z
n
n!
(4)
z ∈ C; ai, bj ∈ C; αi, βj ∈ R = (−∞,+∞); αi, βj 6= 0; i = 1, 2, . . . , p; j = 1, 2, . . . , q.
Зауважимо, що якщо в (1) покласти m = 1, b = 0, а в (2) b = 0, γ2 = 0, γ1 = 1, то
одержимо класичне iнтегральне перетворення Лапласа [3]:
L{f(x); y} =
∞∫
0
e−xyf(x) dx.
б) Узагальнене iнтегральне перетворення Стiльтьєса:
G̃p{f(x); y} =
Γ(c)
Γ(a)Γ(p)
∞∫
0
f(x)
(x+ y)p
2Ψ1
[
(a, τ); (p, γ)
(c, β)
∣∣∣∣∣ − b
(
x
x+ y
)γ
]
dx, (5)
де Re a > 0, Re c > 0, p > 0; b > 0; γ > 0; 2Ψ1 — функцiя вигляду (4). Очевидно, що при
b = 0 з (5) одержимо iнтегральне перетворення Стiльтьєса [3].
в) Узагальненi iнтегральнi перетворення потенцiалу:
P̃m,1{f(x); y} =
Γ(c)
Γ(a)
∞∫
0
xm−1f(x)
xm + ym
2Ψ1
[
(a, τ); (1, γ)
(c, β)
∣∣∣∣∣ − b
(
xm
xm + ym
)γ
]
dx, (6)
P
γ1,γ2,γ3,γ4
1 {f(u);x} = P̃1{f(u);x} ≡
≡ Γ(c)
Γ(a1)Γ(a2)
∞∫
0
uγ2f(u)
(xγ1 + uγ1)γ3
2Ψ1
[
(a1, τ); (a2, γ)
(c, β)
∣∣∣∣∣ − b
(
uγ1
xγ1 + uγ1
)γ4
]
du, (7)
P
γ1,γ2,γ3,γ4
2 {f(u);x} = P̃2{f(u);x} ≡
≡ Γ(c)
Γ(a1)Γ(a2)
∞∫
0
uγ2f(u)
(xγ1 + uγ1)γ3
2Ψ1
[
(a1, τ); (a2, γ)
(c, β)
∣∣∣∣∣ − b
(
xγ1
xγ1 + uγ1
)γ4
]
du, (8)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
де Re a1 > 0, Re a2 > 0, Re c > 0; γi > 0, i = 1, 4; {τ, β} ⊂ R, τ > 0, β > 0, τ − β < 1;
b > 0, 2Ψ1 — функцiя вигляду (4). При b = 0, γ1 = 1, γ2 = 0, γ3 = p в (7), (8) матимемо
iнтегральне перетворення Стiльтьєса [3].
Якщо ж γ1 = 2, γ2 = 1, γ3 = 1, a2 = 1 в (7), (8), то одержимо вiдповiднi iнтегральнi
перетворення, розглянутi в [10] (формули (13), (14)).
Теорема 1 (формула обернення для (2)). За умов iснування iнтегрального перетво-
рення L̃γ1 , γ2, γ{f(x);x} справедлива формула
f(u) =
γ1Γ(a)
Γ(c)
u−γ2
∞∫
0
(ux)−1g(x)K(ux) dx, (9)
де
K(x) =
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
xs
ξ(s)
ds,
g(y) = L̃γ1,γ2,γ{f(x); y}, ξ(s) = 2Ψ1
(a, τ);
(
s
γ1
, γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
.
Доведення. Застосуємо iнтегральне перетворення Меллiна до обох частин (2); враху-
вавши, що ряд для 1Φ
τ,β
1 (a; c; z) абсолютно збiгається для всiх z ∈ C, виконаємо перетво-
рення
M{g(x); s} =
1
γ1
M
{
e−ν
1Φ
τ,β
1 (a; c;−bνγ);
s
γ1
}
M{f(u); γ2 − s+ 1};
M
{
e−ν
1Φ
τ,β
1 (a; c;−bνγ);
s
γ1
}
=
∞∫
0
ν
s
γ1
−1
e−ν
1Φ
τ,β
1 (a; c;−bνγ)dν =
=
Γ(c)
Γ(a)
∞∑
n=0
Γ(a+τn)
Γ(c+βn)
(−b)n
n!
( ∞∫
0
ν
s
γ1
−1+γn
e−νdν
)
=
Γ(c)
Γ(a)
2Ψ1
(a, τ);
(
s
γ1
, γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
;
M{f(u); γ2 + 1− s} =
γ1Γ(c)
Γ(a)
2Ψ1
(a, τ);
(
s
γ1
, γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
−1
M{g(x); s}.
Застосувавши до останнього формулу обернення iнтегрального перетворення Меллiна,
одержимо (9).
Аналогiчно доводимо теорему про формулу обернення для узагальненого iнтегрального
перетворення L̃m{f(x); y}.
Теорема 2. За умов iснування iнтегрального перетворення
L̃{f(x); y} =
∞∫
0
e−(xy)
1Φ
τ,β
1 (a; c;−b(xy)γ)f(x) dx (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 13
справедлива формула
f(x) =
Γ(a)
Γ(c)
∞∫
0
(tx)−1g(t)θ(tx) dt, (11)
де
θ(x) =
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
xs
ζ(s)
ds, ζ(s) = 2Ψ1
[
(a, τ); (s, γ)
(c, β)
∣∣∣∣∣b
]
.
Виконавши в (1) замiну xm = z, одержимо
L̃m{f(x); y} =
1
m
L̃{f( m
√
z); ym},
а пiсля застосування формули обернення для L̃{f(x); y} (11) матимемо формулу обернення
для узагальненого iнтегрального перетворення L̃m{f(x); y}.
Формули обернення для узагальнених iнтегральних перетворень G̃p, P
γ1,γ2,γ3,γ4
1 , вiдпо-
вiдно, мають вигляд
f(y) = Γ(p)L̃−1{x1−pL−1{h(z);x}; y}, h(z) = G̃p{f(y), z}; (12)
f(y) = L̃−1
γ1,γ2,γ
{
L̃−1
γ1,γ2,a2−1
{
Γ(a2)
γ1
g1(z);x
}
; y
}
, g1(z) = P
γ1,γ2,γ3,γ4
1 {f(u);x}. (13)
2. Розглянемо властивостi вищезапроваджених нових iнтегральних перетворень.
Властивiсть лiнiйностi виконується для усiх розглянутих iнтегральних перетворень, на-
приклад, для узагальненого iнтегрального перетворення Лапласа має вигляд
L̃γ1,γ2,γ
{
n∑
i=1
cifi(x); y
}
=
n∑
i=1
ciL̃γ1,γ2,γ{fi(x); y}, ci = const, i = 1, n. (14)
а властивiсть подiбностi подамо в такiй формi:
L̃γ1,γ2,γ{f(ax); y} =
1
aγ2+1
L̃γ1,γ2,γ
{
f(x);
y
a
}
. (15)
Теорема 3. Якщо функцiї f(x) ∈ L(0;+∞), g(x) ∈ L(0;+∞), то справедлива рiвнiсть
типу Парсеваля–Гольдштейна
∞∫
0
uγ2L̃γ1,γ2,γ{f(t);u}g(u) du =
∞∫
0
tγ2L̃γ1,γ2,γ{g(u); t}f(t) dt (16)
за умови абсолютної збiжностi iнтегралiв.
Доведення легко здiйснюється, якщо, згiдно з умовою теореми, виконати замiну порядку
iнтегрування та врахувати означення (2).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Аналiтично для iнтегральних перетворень (7), (8) за умови абсолютної збiжностi iнте-
гралiв матимемо
∞∫
0
xγ2P̃1{f(t);x}g(x) dx =
∞∫
0
xγ2P̃2{g(t);x}f(x) dx. (17)
Теорема 4. При iснуваннi iнтегралiв та їх абсолютнiй збiжностi справедлива рiв-
нiсть
∞∫
0
L̃m{f(x); y} dy =
1
m
Γ(c)
Γ(a)
2Ψ1
(a, τ);
(
1
m
,γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
∞∫
0
xm−2f(x) dx. (18)
Доведення. Проiнтегруємо обидвi частини (1) за змiнною y в промiжку вiд 0 до ∞:
∞∫
0
L̃m{f(x); y}dy =
∞∫
0
[ ∞∫
0
xm−1e−xmymf(x)1Φ
τ,β
1 (a; c;−b(xmym)γ)dx
]
dy =
=
∞∫
0
xm−1f(x)
[ ∞∫
0
e−xmym
1Φ
τ,β
1 (a; c;−b(xmym)γ)dy
]
dx =
=
1
m
Γ(c)
Γ(a)
2Ψ1
(a, τ);
(
1
m
,γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
∞∫
0
xm−2f(x) dx.
Наслiдок. Якщо в (18) покласти m = 1, f(x) = e−xyg(x), то одержимо
∞∫
0
L̃{e−xug(x); y} dy =
Γ(c)
Γ(a)
1Ψ1
[
(a, τ); (1, γ)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
]
L
{
g(x)
x
;u
}
, (19)
де L — класичне iнтегральне перетворення Лапласа [3].
Застосовуючи (19) та вiдому таблицю перетворень Лапласа [3], можна знаходити значе-
ння iнтегралiв вигляду лiвої частини (19) для рiзних функцiй g(x).
Зауважимо, що якщо в (2) покласти γ2 = m− 1, γ1 = m, то пiсля обчислень отримаємо
∞∫
0
xµ−1L̃m,m−1,γ{f(t);x}dx =
1
m
Γ(c)
Γ(a)
1Ψ1
(a, τ);
(
µ
m
; γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
∞∫
0
tm−µ−1f(t) dt, (20)
а з останньої формули при f(t) = e−tug(t) матимемо зручну формулу для обчислення iн-
тегралiв вигляду
∞∫
0
xµ−1L̃m,m−1,γ{e−tug(t);x}dx =
=
1
m
Γ(c)
Γ(a)
2Ψ1
(a, τ);
(
µ
m
; γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
L{tm−1−µg(t);u}, (21)
тут L — класичне iнтегральне перетворення Лапласа [3].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 15
За допомогою формул (19), (21) або виконавши безпосереднi обчислення з використан-
ням означення узагальнених iнтегральних перетворень, подамо деякi приклади:
1) L̃γ1,γ2,γ{η(x); y} =
1
γ1
Γ(c)
Γ(a)
1
yγ2+1 2Ψ1
(a, τ);
(
γ2 + 1
γ1
; γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
,
де η(x) =
{
1, x > 0,
0, x < 0.
2) L̃γ1,γ2,γ{xk; y} =
1
γ1
Γ(c)
Γ(a)
1
yk+γ2+1 2Ψ1
(a, τ);
(
γ2 + k + 1
γ1
; γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
.
3) L̃γ1,γ2,γ{e−kxγ1
; y} =
1
γ1
Γ(c)
Γ(a)
1
(yγ1 + k)
γ2+1
γ1
2Ψ1
(a, τ);
(
γ2 + 1
γ1
; γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b(
yγ1
yγ1+k
)γ
.
4)
∞∫
0
xµ−1L̃m,m−1,γ{tµ+ν−m+1e−tu(t+ α)−1;x} dx =
=
1
m
Γ(c)
Γ(a)
2Ψ1
(a, τ);
(
µ
m
; γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
Γ(ν + 1)ανeαuΓ(−ν;αu).
Тут було враховано формулу з [3]
L{tν(t+ α)−1;u} = Γ(ν + 1)ανeαuΓ(−ν;αu); Reu > 0.
5) Аналогiчно, врахувавши з [3] формулу
L{cosαt;u} = u(u2 + α2)−1; Re u > | Imα|,
матимемо з (21)
∞∫
0
xµ−1L̃m,m−1,γ{tµ−m+1e−tu cosαt;x}dx =
=
1
m
Γ(c)
Γ(a)
2Ψ1
(a, τ);
(
µ
m
; γ
)
(c, β)
∣∣∣∣∣− b
u(u2 + α2)−1.
1. Kilbas A.A., Saigo M. H-Transforms. – London: Chapman and Hall, 2004. – 390 p.
2. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – Москва:
Физматгиз, 1961. – 524 с.
3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. – Москва: Наука, 1968. – Т. 1. –
344 с.
4. Вiрченко Н. Парнi (N-арнi) iнтегральнi рiвняння. – Київ: Задруга, 2009. – 476 с.
5. Sneddon I. The use of integral transforms. – New York: McGraw-Hill, 1972. – 539 p.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
6. Debnath L. Integral Transforms and their applications. – Boca Raton: CRC Press, 1995. – 456 p.
7. Srivastava H.M., Yürekli O. A theorem on Stieltjes-type integral transforms and its applications //
Complex Var. Theory Appl. – 1995. – 28. – P. 159–168.
8. Virchenko N. On the generalized confluent hypergeometric function and its applications // J. Fract.
Calculus and Appl. Anal. – 2006. – 9, No 2. – P. 101–108.
9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – Москва: Наука, 1965. – Т. 1. – 296 с.
10. Вiрченко Н.О., Заїкiна С.М. Узагальненi iнтегральнi перетворення i їх застосування // Наук. вiстi
НТУУ “КПI”. – 2008. – № 6 (62). – С. 133–137.
Надiйшло до редакцiї 25.12.2009НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
Волгоградський державний унiверситет
N.O. Virchenko, S.M. Zaikina
On new generalized integral transforms
We present new integral transforms, generalizing the classical Laplace, Stieltjes, and Widder integral
transforms in the potential theory. The (τ, β)-generalized confluent hypergeometric functions are
the kernels of these integral transforms. Inverse formulae for new integral transforms are proved.
Relations of the Parseval–Goldstein type are established. Some examples of applications of the new
integral transforms are given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 17
|