Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу
Описано новий сценарiй переходу до детермiнованого хаосу, який узагальнює вiдомий сценарiй Помо–Манневiлля.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29702 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу / О.Ю. Швець // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 31-35. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-29702 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-297022011-12-28T12:41:26Z Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу Швець, О.Ю. Математика Описано новий сценарiй переходу до детермiнованого хаосу, який узагальнює вiдомий сценарiй Помо–Манневiлля. A new scenario of the transition to a deterministic chaos, which generalizes the known scenario of Pomeau–Manneville, is revealed and described. 2010 Article Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу / О.Ю. Швець // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 31-35. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29702 517.938:534.1 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Швець, О.Ю. Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу Доповіді НАН України |
| description |
Описано новий сценарiй переходу до детермiнованого хаосу, який узагальнює вiдомий сценарiй Помо–Манневiлля. |
| format |
Article |
| author |
Швець, О.Ю. |
| author_facet |
Швець, О.Ю. |
| author_sort |
Швець, О.Ю. |
| title |
Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу |
| title_short |
Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу |
| title_full |
Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу |
| title_fullStr |
Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу |
| title_full_unstemmed |
Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу |
| title_sort |
узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29702 |
| citation_txt |
Узагальнення сценарію переміжності при переході до детермінованого хаосу / О.Ю. Швець // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 31-35. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT švecʹoû uzagalʹnennâscenaríûperemížnostípriperehodídodetermínovanogohaosu |
| first_indexed |
2025-07-03T09:55:07Z |
| last_indexed |
2025-07-03T09:55:07Z |
| _version_ |
1836619145065529344 |
| fulltext |
УДК 517.938:534.1
© 2010
О.Ю. Швець
Узагальнення сценарiю перемiжностi при переходi
до детермiнованого хаосу
(Представлено академiком НАН України А.А. Мартинюком)
Описано новий сценарiй переходу до детермiнованого хаосу, який узагальнює вiдомий
сценарiй Помо–Манневiлля.
При вивченнi детермiнованого хаосу важливе значення має встановлення сценарiю переходу
динамiчної системи до усталеного хаотичного руху. Незважаючи на безмежне рiзномаїття
реальних динамiчних систем, на даний час описано всього три основних типи сценарiїв пе-
реходу до детермiнованого хаосу. Це — сценарiй Фейгенбаума [1, 2], перехiд до хаосу через
перемiжнiсть за Помо–Манневiллем [3, 4] i перехiд до хаосу через руйнування квазiперiо-
дичних атракторiв [5]. Тому опис нових типiв сценарiїв таких переходiв є актуальною та
цiкавою науковою задачею.
Розглянемо детермiновану динамiчну систему, математична модель якої має вигляд
dp1
dτ
= αp1 −
[
β +
A
2
(p21 + q21 + p22 + q22)
]
q1 +B(p1q2 − p2q1)p2;
dq1
dτ
= αq1 +
[
β +
A
2
(p2
1
+ q2
1
+ p2
2
+ q2
2
)
]
p1 +B(p1q2 − p2q1)q2 + 1;
dβ
dτ
= N3 +N1β − µ1q1;
dp2
dτ
= αp2 −
[
β +
A
2
(p2
1
+ q2
1
+ p2
2
+ q2
2
)
]
q2 −B(p1q2 − p2q1)p1;
dq2
dτ
= αq2 +
[
β +
A
2
(p21 + q21 + p22 + q22)
]
p2 −B(p1q2 − p2q1)q1.
(1)
Ця система була отримана в роботах [6–8] при вивченнi резонансних коливань вiльної по-
верхнi рiдини в цилiндричному бацi, платформа якого збуджується електродвигуном обме-
женої потужностi. Вона є неiдеальною динамiчною системою за Зоммерфельдом–Кононен-
ком [9]. Система (1) є нелiнiйною системою диференцiальних рiвнянь п’ятого порядку. Фа-
зовi змiннi p1, q1 та p2, q2 — амплiтуди домiнантних мод вiльної поверхнi рiдини. Фазова
змiнна β пропорцiйна швидкостi обертання вала електродвигуна. В систему (1) входить
шiсть параметрiв A, B, α, N1, N3, µ1, якi визначаються через фiзичнi та геометричнi ха-
рактеристики бака з рiдиною й електродвигуна. Детальний опис цих параметрiв наведений
у роботах [6–8].
У роботах [6–8] було доведено iснування детермiнованого хаосу в системi (1), класифiко-
вано декiлька типiв хаотичних атракторiв та показано, що хаотичнi атрактори є типовими
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 31
атракторами цiєї системи. Зауважимо, що детальне та всебiчне вивчення хаотичної дина-
мiки системи (1) можливо тiльки за допомогою поєднання кiлькох чисельних методiв та
алгоритмiв. Методика проведення таких дослiджень описана в роботах [7, 8].
Розглянемо деякi сценарiї переходу до хаосу, якi мають мiсце в системi (1). Припустимо,
що параметри системи дорiвнюють:
A = 1,12, B = −1,531,
α = −0,1, N1 = −1, µ1 = 0,5.
(2)
Параметр N3 розглядався як бiфуркацiйний i був змiнним при проведеннi чисельних роз-
рахункiв. Вивчимо деякi особливостi переходу до хаосу при змiнi значення N3. Так, при
N3 = −0,38 атрактором системи є стiйкий граничний цикл. При зменшеннi значень N3 по-
чинається нескiнченний каскад бiфуркацiй подвоєння перiоду граничних циклiв, який закiн-
чується виникненням хаотичного атрактора при N3 ≈ −0,3944. Перехiд до хаосу вiдбуває-
ться за сценарiєм Фейгенбаума [1, 2]. Всi граничнi цикли каскаду мають нульовий старший
ляпуновський характеристичний показник. Виникнення детермiнованого хаосу визначає-
ться появою додатного ляпуновського характеристичного показника. Виниклий хаотичний
атрактор iснує на дуже малому iнтервалi змiни N3 i вже при N3 = −0,39504 змiнюється
хаотичним атрактором iншого типу.
На рис. 1, а наведено частину фазопараметричної характеристики (бiфуркацiйного де-
рева) системи (1), побудовану за допомогою метода Ено [5, 7], на рис. 1, б — збiльше-
ний фрагмент цiєї характеристики. У правiй частинi рисункiв можемо спостерiгати окре-
мi “гiлки” цього бiфуркацiйного дерева, яким вiдповiдають перiодичнi атрактори систе-
ми (1). У центрi та справа на цих рисунках розташованi густо-чорнi областi фазопа-
раметричної характеристики, що вiдповiдають хаотичним атракторам. На рис. 1, б чi-
тко спостерiгаються розщеплення “гiлок” бiфуркацiйного дерева, що вiдповiдають бiфур-
кацiям подвоєння перiоду. Це є наочним пiдтвердженням того, що перехiд вiд регуляр-
них режимiв до хаотичних при зменшеннi параметра N3 вiдбувається за сценарiєм Фей-
генбаума.
В околi точки N3 = −0,39504 на рис. 1, а в лiвiй частинi помiтно значне зростан-
ня площi густо-чорної областi. При проходженнi даної точки спостерiгається бiфуркацiя
типу “хаос–хаос”, у результатi якої в системi (1) виникає хаотичний атрактор нового ти-
пу. Такi атрактори характеризуються iстотним зростанням об’єму областi їх локалiзацiї
у фазовому просторi. Опишемо сценарiй виникнення таких атракторiв. На рис. 1, в, г
зображенi проекцiї фазових портретiв хаотичних атракторiв, побудованих при N3 = −
−0,39503 та N3 = −0,39504. Хаотичний атрактор, наведений на рис. 1, г, вiдрiзняється
вiд хаотичного атрактора, наведеного на рис. 1, в, помiтним збiльшенням амплiтуд часо-
вих реалiзацiй фазових змiнних. Звернемо увагу, що бiльш темна середня частина атра-
ктора, зображеного на рис. 1, г, якiсно подiбна до хаотичного атрактора з рис. 1, в.
Цi рисунки проясняють механiзм перемiжностi при виникненнi одного атрактора з iн-
шого. У точцi бiфуркацiї хаотичний атрактор з рис. 1, в зникає й у системi (1) ви-
никає атрактор нового типу, рух траєкторiй по якому складається з двох фаз. “Ламi-
нарну” фазу представляють хаотичнi блукання траєкторiй виниклого атрактора в око-
лi траєкторiй зниклого атрактора. У непередбачений момент часу траєкторiї “зриваю-
ться” i йдуть у вiддаленi областi фазового простору. Це “турбулентна” фаза рухiв тра-
єкторiй. Потiм траєкторiї знову повертаються в область зниклого атрактора. Цей про-
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Рис. 1. Фазопараметрична характеристика системи (1) (а, б ); проекцiї фазових портретiв хаотичних атра-
кторiв при N3 = −0,39503 (в) i при N3 = −0,39504 (г)
цес повторюється нескiнченне число разiв. На вiдмiну вiд вiдомого сценарiю перемiжно-
стi за Помо–Манневiллем [3, 4] у “ламiнарнiй” фазi вiдбувається рух не в околi зника-
ючого в точцi бiфуркацiї граничного циклу, а в околi зникаючого хаотичного атракто-
ра. За аналогiєю, прийнятою в статистичнiй механiцi [10], називатимемо цю фазу “гру-
боламiнарною”.
На рис. 2, а, б наведенi проекцiї розподiлу iнварiантної мiри по фазових портретах хао-
тичних атракторiв при N3 = −0,39503 (а) i при N3 = −0,39504 (б ), побудованi за допомогою
комп’ютерної технiки кодування вiдтiнками, що описана в [5, 7]. На рис. 2, б густозатемненi
дiлянки вiдповiдають “груболамiнарнiй” фазi перемiжностi, а бiльш свiтлi — турбулентним
сплескам. З цього рисунка чiтко видно, що тривалiсть “груболамiнарних” фаз значно пе-
ревищує тривалiсть “турбулентних” фаз. Розподiл iнварiантної мiри по фазовому портрету
хаотичного атрактора на рис. 2, а є досить рiвномiрним, що характерно для хаотичних
атракторiв, що виникли за сценарiєм Фейгенбаума. Тут також добре видно якiсну подi-
бнiсть рис. 2, а й рис. 2, б, яка вказує на те, що зникаючий хаотичний атрактор служить
“основою” “груболамiнарної” фази виникаючого атрактора.
На рис. 2, в, г наведенi перерiзи Пуанкаре, площиною β = −0,5, цих атракторiв. Обидва
перерiзи Пуанкаре є точковими хаотичними множинами. Один з них (рис. 2, г) як фрагмент
мiстить множину, якiсно подiбну до iншого перерiзу (рис. 2, в), що зайвий раз пiдтверджує
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 33
Рис. 2. Проекцiї розподiлу iнварiантної мiри (а, б ) i перерiзiв Пуанкаре (в, г) хаотичних атракторiв при N3 =
= −0,39503 (а, в) та при N3 = −0,39504 (б, г)
наявнiсть у системi перемiжностi типу “хаос–хаос”. Таким чином, маємо реалiзацiю перемi-
жностi, вiдмiнної вiд вiдомих сценарiїв Помо–Манневiлля.
1. Feigenbaum M. J. Quantative universality for a class of nonlinear transformations // J. Statist. Phys. –
1978. – 19, No 1. – P. 25–52.
2. Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations // Ibid. – 1979. – 21, No 6. –
P. 669–706.
3. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems //
Communs. Math. Phys. – 1980. – 74, No 2. – P. 189–197.
4. Manneville P., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems // Physica D:
Nonlinear Phenomena. – 1980. – 1, No 2. – P. 219–226.
5. Кузнецов С.П. Динамический хаос. – Москва: Физматлит, 2006. – 356 с.
6. Krasnopolskaya T. S., Shvets A.Yu. Chaotic surface waves in limited power-supply cylindrical tank vibrati-
ons // J. Fluids and Struct. – 1994. – 8, No 1. – P. 1–18.
7. Краснопольская Т.С., Швец А.Ю. Регулярная и хаотическая динамика систем с ограниченным во-
збуждением. – Москва; Ижевск: R&CD, 2008. – 280 с.
8. Krasnopolskaya T. S., Shvets A.Yu. Dynamical chaos for a limited power supply oscillations in cylindrical
tanks // J. Sound and Vibr. – 2009. – 322. – P. 532–553.
9. Kononenko V.O. Vibrating system with a limited power-supply. – London, Iliffe, 1969. – 236 p.
10. Gibbs J.W. Elementary Principles in Statistical Mechanics. – NewHaven: Scribner, 1902. – 584 p.
Надiйшло до редакцiї 06.07.2009НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
A.Yu. Shvets
Generalization of the scenario of intermittency at a transition to
determistic chaos
A new scenario of the transition to a deterministic chaos, which generalizes the known scenario
of Pomeau–Manneville, is revealed and described.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 35
|