Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень
В роботі процеси дифузії домішкової речовини досліджуємо в півпросторі неоднорідного матеріалу з урахуванням випадкового розташування підшарів. Контактна задача з допомогою теорії узагальнених функцій зведена до задачі масопереносу в усій області тіла. Сформульовано еквівалентне інтегро-диференціаль...
Збережено в:
Дата: | 2011 |
---|---|
Автори: | , , , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Ukrainian |
Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2011
|
Назва видання: | Моделювання та інформаційні технології |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29731 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, В.Є. Гончарук, Ю.І. Білущак // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2011. — Вип. 59. — С. 140-152. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-29731 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-297312011-12-28T12:35:20Z Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Гончарук, В.Є. Білущак, Ю.І. В роботі процеси дифузії домішкової речовини досліджуємо в півпросторі неоднорідного матеріалу з урахуванням випадкового розташування підшарів. Контактна задача з допомогою теорії узагальнених функцій зведена до задачі масопереносу в усій області тіла. Сформульовано еквівалентне інтегро-диференціальне рівняння, розв'язок якого побудований у вигляді інтегрального ряду Неймана. Усереднення отриманого розв'язку проведено за ансамблем конфігурацій фаз з експоненціальною функцією розподілу включень. Визначено вплив характеристик матеріалу па поведінку і величину усередненого поля концентрації домішкових частинок. Diffusion processes are investigated admixture in a half-space of nonhomogeneous material allowing for random disposion of a sublayers. A contact initial-boundary value problem is reduced to an initial-boundary value problem of mass transfer in the whole body by the theory of generalized functions. The equivalent integrodifferential equation is formulated. Its solution is obtained in the form of integral Neumann series. Averaging the obtained solution is carried out over the ensemble of phase configurations with the gamma-distribution function. The material characteristics influence on behaviour and values of the averaged field of admixture particle concentration is determined. 2011 Article Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, В.Є. Гончарук, Ю.І. Білущак // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2011. — Вип. 59. — С. 140-152. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. XXXX-0068 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29731 517.958:536.72 uk Моделювання та інформаційні технології Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
description |
В роботі процеси дифузії домішкової речовини досліджуємо в півпросторі неоднорідного матеріалу з урахуванням випадкового розташування підшарів. Контактна задача з допомогою теорії узагальнених функцій зведена до задачі масопереносу в усій області тіла. Сформульовано еквівалентне інтегро-диференціальне рівняння, розв'язок якого побудований у вигляді інтегрального ряду Неймана. Усереднення отриманого розв'язку проведено за ансамблем конфігурацій фаз з експоненціальною функцією розподілу включень. Визначено вплив характеристик матеріалу па поведінку і величину усередненого поля концентрації домішкових частинок. |
format |
Article |
author |
Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Гончарук, В.Є. Білущак, Ю.І. |
spellingShingle |
Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Гончарук, В.Є. Білущак, Ю.І. Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень Моделювання та інформаційні технології |
author_facet |
Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Гончарук, В.Є. Білущак, Ю.І. |
author_sort |
Чапля, Є.Я. |
title |
Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень |
title_short |
Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень |
title_full |
Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень |
title_fullStr |
Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень |
title_full_unstemmed |
Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень |
title_sort |
моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень |
publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
publishDate |
2011 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29731 |
citation_txt |
Моделювання процесів дифузії домішкових частинок у півпросторі з експонеціальним розподілом включень / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, В.Є. Гончарук, Ю.І. Білущак // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2011. — Вип. 59. — С. 140-152. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
series |
Моделювання та інформаційні технології |
work_keys_str_mv |
AT čaplâêâ modelûvannâprocesívdifuzíídomíškovihčastinokupívprostorízeksponecíalʹnimrozpodílomvklûčenʹ AT černuhaoû modelûvannâprocesívdifuzíídomíškovihčastinokupívprostorízeksponecíalʹnimrozpodílomvklûčenʹ AT gončarukvê modelûvannâprocesívdifuzíídomíškovihčastinokupívprostorízeksponecíalʹnimrozpodílomvklûčenʹ AT bíluŝakûí modelûvannâprocesívdifuzíídomíškovihčastinokupívprostorízeksponecíalʹnimrozpodílomvklûčenʹ |
first_indexed |
2025-07-03T09:56:43Z |
last_indexed |
2025-07-03T09:56:43Z |
_version_ |
1836619246430322688 |
fulltext |
140 © �.�.�����, .
.���
���, �.�.��
�����,
.�.�������
��� 517.958:536.72
�.�.�����, �.�.-�.
.; .
.���
���, �.�.
.; �.�.��
�����, �.�.-�.
.;
.�.�������, !�
�� �������"�
�#� �����$%�
� I&&'' ()(�,
(�*��
��+
"/ �
�%��<"��� “=+%�%<+�� �������
���”, �.=+%�%, �
�%��<"���
��>"���� ���"��#� % �"�#���, &��+��
�������
� �
������ ������� ���������� � ���
��
� ����
����
� � �����
��� ��
��
���������
������
�
Abstract. Diffusion processes are investigated admixture in a half-space of
nonhomogeneous material allowing for random disposion of a sublayers. A contact
initial-boundary value problem is reduced to an initial-boundary value problem of
mass transfer in the whole body by the theory of generalized functions. The equivalent
integrodifferential equation is formulated. Its solution is obtained in the form of
integral Neumann series. Averaging the obtained solution is carried out over the
ensemble of phase configurations with the gamma-distribution function. The material
characteristics influence on behaviour and values of the averaged field of admixture
particle concentration is determined.
Key-words: diffusion, admixture, randomly nonhomogeneous stratified
structure, exponential distribution, software.
������� . � ��?��� ���*�<" �"��>�@ ����B��%�@ ����%"
" ��<���C�E�� %
��%���<����
���
����
�#� ��������� > �����%�
�� %"�����%�#� ��>��B�%�
�
���B���%. ��
����
� >����� > ������#�$ �����@ �>�#��+
�
"� ��
�*�/ >%���
� ��
>����� ��<�����
�<� % �<�/ �?��<�� ����. F������+�%�
� ��%�%���
�
� �
��#��-
�"����
*���+
� ��%
�
�, ��>%’�>�� ���#� ��?���%�
"/ � %"#���� �
��#���+
�#�
���� (�/��
�. �<����
�
� ���"��
�#� ��>%’�>�� ���%���
� >� �
<��?���
��
��#���*�/ ��> > ��<��
�
*���+
�$ ��
�*�E$ ��>������ %��$��
+. �">
���
�
%��"% ��������"<�"� ���������
� ��%���
�� � %��"�"
� �<����
�
�#� ����
��
*�
���*�@ ����B��%"� ��<�"
��.
��
��� �����: �"��>��, ����B��%� ����%"
�, %"�����%�
���
����
�
B���%��� <��������, ��<��
�
*���+
"/ ��>�����, ���#���
� >�?�>����
�.
�����. &��*�< �"��>�@ E �<
�%�$ ?�#��+�� ���
���#��
"� �����*�/,
>������, <����
� ����B��%, ������-������
�@ �?��?�" ������% (�>���%�
� �
*���
��%�
� <����/), #���#�
�>�*�@ <���%�%, ������>�*�@ �� >%��$%�
�
���������%. J��+ ������
�#� %"%��
� ���*�<�% �"��>�@ >
��
� >��<�� �>
<�%���
�� ���������% �> >���
"�" %��<�"%�<���".
&�"���
� �� B���
� ��������", ��� B"���� %"���"<��%�$�+ % �
C�
��
�/
�����"*� ��$�+ <����
�, >������ ?�#�����>
�, <��������. K�
E >�<��<�%�
�
%"��#�E �*�
�" ��>������% ����������
"� �� �"��>�/
"� ����% �� @�
��%���
�" � >���C
�<�� %�� ���% %
����B
+�#� ��C��>
�#� ��
�����,
141
>�%
�B
�� ��/ �� ��C�"%"� ���<����%"� �����>�*�/ <�������" [1]. &�" *+���
��� ���"� <�����%"�, �� ���%"��, E
�%����"�" ��
� ��� ��
����
�
���<����%� ��>��B�%�
� �����"� ��>, ����� ��<���
+� �
�����*�@ ��� @�
�/
���+�%"/ %��<� �� �<
�%
� ��>"��-�����
� %��<�"%�<�� [2, 3].
� ��
�/ ��?��� ��>%’�>�
� ��
����
�-���/�%� >����� �"��>�@ �
�%���>
��� %"�����%�
���
����
��� ?�#���B���%��� ��%���<����. &�"
*+��� ��%
�
� �"��>�@ % ��
�����$�"� �?��<��� <������+�%�
� > %"���"-
<��
�� ��
��"�
"� �����*�E
��% ����
�<�, �� ��" >%���
� >����� �� ��%�%�-
��
�
�#� �
��#���"����
*���+#�#� ��%
�
� ��">%��"�+ �� %����%�
�
�����
�@ >� ��<�� % /�#� ���������.
�!’"#� $%�&'$()**+. �%��,*%-#, /,$,0'. (���/ ����B��%� ��<�"
�"
��#��$�+ � ��%���<����, ��"/ <�����E�+<� > ���B���% �%�� �"��% (��>). &�"
*+��� ��
����
� ��>��B�%�
� *"� ���B���% E
�%����"�. �
�� %����"/
/��%��
�<
"/ ��>����� ��> % �?��<�� ����, � <���, %��$��
� ��>��B�%�$�+<�
>� ��<��
�
*���+
"� ��>������� [4] (�"<. 1). �%�C�E��, �� �"��>�/
� %��<�"-
%�<�� ��>, > ��"� <�����
� ����, ��C��+ <���E%� %����>
��"<�.
J"<. 1. '�C�"%� �����>�*�� <�������" ?�#���B���%�#� ���� > ��<��
�
*���+
"�
��>������� %��$��
+, % ����� �"��
��$�+ ��<�"
�"
��
*�
���*�� ����B��%"� ��<�"
�� ),( tzcj % �?��<�� j� %">
���E�+<� >
��%
�
� �"��>�@
2
2 ),(),(
z
tzc
d
t
tzc j
j
j
j
�
�
�
�
�
� , �
jn
i
ijjz
1�
���� , � � ,0�t
��
, 1,0�j , (1)
�� j� – #�<�"
�, jd , – ��
��"�
"/ �����*�E
� ����
�<� % �?��<�� j� , jn –
���+��<�+ ���B���% ��>" j , ij� – i -�� ��
�>%’�>
� �?��<�+ ��>" j , jni ,1� ,
1,0�j .
&�"/��E��, ��
� #��
"*� ���� 0�z �����"��E�+<� ��<��/
� >
���
�
��
*�
���*�@ ����B��%�@ ����%"
" *c , � ��" ��z ��
*�
���*�� ����%
$E
��$, ��?��
constctzc z ��
�
*
00 ),( , 0),(0 �
��ztzc . (2)
M���C
������
�
��+�%� �������%� ���%�:
0),(),( 0100 ��
�� tt tzctzc . (3)
142
(� #��
"*�� ������ �?��<��/ lzz � � 1ll hzz �� (�� 1lh – ��%�"
�
%��$��
� 1l� , l –
���� ���B���, 1,1 nl � , 1n – ���+��<�+ %��$��
+)
%"��
�$�+<� ���%" ��%
�<�� �����
"� ����
*����% �� �"��>�/
"� ������%
��<�"
�� ����B��%�@ ����%"
". ���� ��"/
��" ��
�/
� >���C
�<�+ �����
�#�
����
*���� %�� ��
*�
���*�@, �� ���"��E�� ���%"
������+
�#� ��
����� ���
��
�*�@ ��
*�
���*�@ � %"#���� [5]
011000 ),(),(
����
�
ii zzzz tzcktzck ,
0
1
11
0
0
00
���� �
�
�
�
�
ll zzzz z
cd
z
cd �� ; (4)
000011
11 ������
�
llll hzzhzz ckck ,
0
0
00
0
1
11
11 ������ �
�
�
�
�
llll hzzhzz z
cd
z
cd �� , (5)
�� jk – �����*�E
� ��
*�
���*�/
�@ >���C
�<�� �����
�#� ����
*���� � ��>�
j [6], lz – %"�����%� �����"
��� “%���
+�@” ��C� ��>��B�%�
� �?��<�� 1l� .
O�>
��"��, �� ��" ����/ ��<��
�%*� >����� %"�����%"�" %��"�"
��" E
#��
"*� ��
����� lzz � �� 1ll hzz �� , ��?�� ��C� �?��<��/ 0� �� 1� , ��� E
%
����B
��" ��� ����. !�, % <%�$ ���#�, ��">%��"�+ �� <����<�"�
�<�� ����
��
*�
���*�@ ����B��%�@ ����%"
", ��� ��#��E % ����.
'-*+**+ 1,�%�)2)*)�)**+ $&+ ��3%4% �'&,. J�>%’�>�� <������+�%�
�@
��
����
�-���/�%�@ >����� (1)–(5) ?����� B����" � %"#���� �
��#���+
�#�
���� (�/��
� [5], �<���+�" ���� ����
� %"�����%"� ����% E >���
"� ���
���%���
� ���*����" �<����
�
� >� �
<��?��� ��
��#���*�/ ��>. ���
*+�#� %%����� � ��>#��� %"�����%� ��
�*�$ ���<����%�@ �����"
��" ),( tzc ,
��� ��"<�E ���� ��
*�
���*�@ % �<+��� ����:
�
�
�
�
�
��
�
���
�
.),5(���%"��
����
�
;),4(���%"��
����
�
;),1(��%
�
��>����>%'),(
),(
1ll
l
jj
hzz
zz
ztzc
tzc (6)
O
�/���� �����
� ��
�*�@ (6), ��"/��$�" �� �%�#", �� ��
�*�� ),( tzc %
�?��<�� ���� ��E ��>�"%" �-#� ���� (���B� %"��>" % ���%�� (4), (5)).
�����%�$�" ������" �"����
*�$%�
� ��>�"%
"� ��
�*�/ [7] ��� ��
�#�
%"����� ��E��
� �
� � �
��
�
�
���
��
�����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 1
1
1
1)(),(),(
n
l
llhzzlzz
z
hzztzczztzc
z
c
z
c
lll
ij
�� , (7)
�� � �
ijz ��� – �?��<��
������%
�<�� ��
�*�@, ij� – i -�� ��
�>%’�>
� �?��<�+
��>" j , jn – ���+��<�+ ��
�>%’�>
"� �?��<��/ � ��>�.
lzz�][� – <��"?�"
��
�*�@ ���B�#� ���� % ���*� lzz � , )(z� – ���+��-��
�*�� ������.
���#� �����
� >� >��
�$ z %�� ��
�*�@ ),( tzc >
����"�� �
���#��
� ��
143
(8), %����%�$�", �� zc �� ��C ��E ��>�"%" �-#� ���� (���#� %"��>" % ���%��
(4), (5)).
�����*�E
�" )(z� � )(zd �>
���
� � %����"�"� �?��<��� 0� � 1� :
� � � ���
�
��
�
�� ��
1
1
1
0
1
1
1
0)(
n
i
z
n
i
z ii
z ��� , � � � ���
�
��
�
�� ��
1
1
1
0
1
1
1
0)(
n
i
z
n
i
z ii
ddzd .
&�" *+���
� #��
"*�� ��
����� lzz � � 1ll hzz �� %��?�%�E�+<�
<��"?�� *"� �����*�E
��% � � � � 011
)()( ���� ���� ��� lll hzzzz zz , � � �� lzzzd )(
� � 011
)( ddzd
ll hzz ���� �� , 1,1 nl � .
M��� > �����%�
�� %"��>� ��� ���#�@ �����
�@ >� >��
�$ z , ��%
�
�
�"��>�@ ��� ���� % *����� >��"B��� � %"#����:
� � �
�
�
�
�
!
"
�#��$%
&
'(
)
�
�
'
'
(
)
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
1
1
2
2
)(),()()()(
n
l
lzzl
zz
zztzczz
z
c
z
czd
t
cz
l
l
���
� � �
�
$
$
%
&
�
�
�
�
!
"
��#���$%
&
'(
)
�
�
��
�
��
��
1
1
11
11 )(),()(
n
l
llhzzll
hzz
hzztzchzz
z
c
ll
ll
�� . (8)
�� )(z� # – �����
� %�� ���+��-��
�*�@ ������.
O��%�C"��, �� ��
�*�@ )(z� � )(zd E %"�����%"�" ��
�*���"
���<����%�@ �����"
��".
�*�)42%$56)2)*7',&3*) 2'-*+**+, )#-'-,&)*�*) -59'$*': #2,:%-':
/,$,0'. �%����� % ��>#��� %"�����%� ��
�*�$ ���<����%�@ �����"
��"
(«��
�*�$ ����"») [8]
��
�
�
�
�*
��
�
,,0
;,1
)(
ij
ij
ij z
z
z+ � �
ij
ij z
,
1)(+ , (9)
��?�� %"��
�E�+<� ���%� <�*��+
�<�� ����. � %"�����, ��"/ ��>#����E�+<�
(��
�%"���
"/ >� ���<����%�$ �����"
���$, ��?�� B���%��� ����), ��
�*�$
����" (9) ��C
� �����" �� ��>
"*$ �%�� %"�����%"� ��
�*�/ Q�%�<�/�� [9].
�����*�E
�" ��%
�
� (8) >��"B��� ����> ��
�*�$ (9)
���
j i
ijj zz )()( +�� , ���
j i
ijj zdzd )()( + (10)
� ���<��%"�� ���� ����
� (10) % ��%
�
� (8). M��� > %"���"<��
�� ���#�@
���%" (9) ��E��
�
'
'
(
)
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ����
� �� �
2
21
0 1
1
0 1
)())(
z
czd
t
cz
j
n
i
ijj
j
n
i
ijj
jj
++�
144
�
�
�
�
�
!
"
�#��$%
&
'(
)
�
�
��
�
�
�
1
1
)()],([)(
n
l
lzzl
zz
zztzczz
z
c
l
l
��
�
�
�
�
$
$
%
&
�
�
�
�
!
"
��#���$%
&
'(
)
�
�
��
�
��
��
1
1
11
11 )],([)n
l
llhzzll
hzz
hzztzchzz
z
c
ll
ll
�� . (11)
���� ��>
��"�" �������� ��%
�
� (11) ����> ),( tzL , ��?��
��
'
'
(
)
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ij
ijj
ij
ijj z
zd
t
ztzL
,
2
2
,
)()(),( ++�
�
�
�
�
�
!
"
�#��$%
&
'(
)
�
�
��
�
�
�
1
1
)(][)(
n
l
lzzl
zz
zzzz
z l
l
��
�
�
�
�
$
$
%
&
�
�
�
�
!
"
��#���$%
&
'(
)
�
�
��
�
��
��
1
1
11
11 ][
n
l
llhzzll
hzz
hzzhzz
z ll
ll
�� , (12)
���� ��%
�
� (12) ��C
� �����" � %"#����
0),(),( �tzctzL . (13)
� ��%
�
� (13) ������ � %��
����� �������
�%�
"/ �������� �"��>�@
22
000 ),( zdttzL ������ � , �����*�E
�" ���#� E ��������"<�"���" ���������
��>" 0� . M��� ��E��
),(),(),(),(0 tzctzLtzctzL s� , ),(),(),( 0 tzLtzLtzLs �� . (14)
O %"���"<��
�� ���%" <�*��+
�<�� ���� (9) �������� ),( tzLs ��C
� �����"
���
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�� ��
11
2
2
110110 )()()()(),(
n
i
i
n
i
is z
zdd
t
ztzL ++��
�
'
'
(
)
�#��$%
&
'(
)
�
�
��� �
�
�
�
1
0
1 1
)(][)()(
j
n
i
n
l
lzzl
zz
ijj zzzz
z
zd
l
l
��+
$
$
%
&
��#���$%
&
'(
)
�
�
�� ��
��
1
1
1
))((][))(( 11
n
l
llhzzll
hzz
hzzhzz
z ll
ll
�� . (15)
�%�C�E�� ���%� ��<�"
� ��%
�
� (14) �C������, ��?��
���
����
�<�+
<�����%"�� ��>#����E�� �� %
����B
� �C�����. M��� ��>%’�>�� ���/�%�@
>����� (14), (2), (3) ��C
� �����" � %"#���� <��" ��>%’�>�� ��
����
�@
���/�%�@ >����� � >#����" ��
�*�@ ���
� > �C������:
tdzdtzctzLttzzGtzctzc
t
s ########�� , ,
�
),(),(),,,(),(),(
0 0
0 , (16)
145
�� ),(0 tzc – ��>%’�>�� ��
����
�#� ��%
�
� �"��>�@ > �����*�E
���", ��� E
��������"<�"���" ��>" 0� >� ���/�%"� ���% (2), (3), ��?�� [10]
� �tdzerfcctzc 00*0 4),( �� ; (17)
��
�ttzzG ## ,,, – ��
�*�� ���
� >����� (14), (3), (4). R�
�*�� ���
� E ��>%’�>���
%����%��
�@ ���/�%�@ >����� > �����%"� �C������ �
��+�%"�" ���/�%"�"
���%��":
)()(),,,(),,,(
2
2
00 zztt
z
ttzzGd
t
ttzzG #�#��
�
##�
�
�
##�
��� ; (18)
�
� 0,,,,,, 0 �##�##
��� zz ttzzGttzzG ,
� 0,,, 0 �##
�tttzzG . (19)
J�>%’�>��� ���/�%�@ >����� (18), (19) E ��
�*�� [6]
�
� ��
�
�
�
!
"
�
�
�
�
!
"
#�
#�
���
�
�
�
!
"
#�
#�
�
#�
#�
�##
ttd
zz
ttd
zz
ttd
ttttzzG
0
0
2
0
0
2
00 4
exp
4
exp
)(2
)(),,,(
��
-�
. . (20)
M��"� �"
�� �" ��?���%��" �
��#���"����
*���+
� ��%
�
� (16),
��%�%���
�
� %"���
�/ ��
����
�-���/�%�/ >�����. J�%
�
� (16) > %"�����%"�
����� E ��%
�
�� ���+����� ��-#� ���� >� ��<�%�$ >��
�$ � ������B��/
�
>� ���<����%�$.
+$
):1,*,. J�>%’�>�� �
��#���"����
*���+
�#� ��%
�
� (16)
B���E�� � %"#���� �
��#���+
�#� ���� (�/��
� [5, 8]. !�/ ��� ?���E��
B����� �����%�
� �
��#���+
�#� ��%
�
� (16). S�? ���"���" ���B�
�����*�$, >��"B��� >
���
� ���� ��
*�
���*�@ % ���*� ),( tz ## . <���+�"
��%
�
� (16) <���%���"%� ��� %<�� ����� �?��<�� � �);0[],;0[ ��� zt , �� %�
�
<���%�C�E�+<� � ��� zz #� , tt #� . �C� ��E��
tdzdtzctzLttzzGtzctzc
t
s ##################�##�## , ,
# �
),(),(),,,(),(),( 0
0 0
0 .
&��<��%"�� *�/ %"��> � ���%� ��<�"
� (16), ���"��E��
�########�� , ,
�
tdzdtzctzLttzzGtzctzc
t
s ),(),(),,,(),(),( 0
0 0
0
, ,, ,
# ��
########################�
t
s
t
s tdzdtdzdtzctzLttzzGtzLttzzG
0 00 0
),(),(),,,(),(),,,( . (21)
O��"B��� >
���
� ���� ��
*�
���*�@ ),( tzc � ���*� ),( tz #### �
���<��%"�� /�#� � ���%� ��<�"
� (21), ���� ����C"�� ���#� �����*�$.
&�%���$$�" ���� �����*�$
�<��
��
� ���+��<�+ ��>�%, ���"��E��
�
��#���+
"/ ��� (�/��
�, � <���
146
�########�� , ,
�
tdzdtzctzLttzzGtzctzc
t
s ),(),(),,,(),(),( 0
0 0
0
, ,, ,
# ��
�########################�
t
s
t
s tdzdtdzdtzctzLttzzGtzLttzzG
0
0
00 0
),(),(),,,(),(),,,(
/##############################� , ,, ,, ,
## �# ��
),(),,,(),(),,,(),(),,,(
0 00 00 0
t
s
t
s
t
s tzLttzzGtzLttzzGtzLttzzG
��##################/ tdzdtdzdtdzdtzc ),(0 . (22)
��)2)$*)**+ �%&+ #%*7)*�2,7'; /, ,*�,1!&)1 #%*6'4�2,7': 6,/. ���
>
����C�
� <����
+�#� ���� ��
*�
���*�@ ����B��%�@ ����%"
"
�?��C"��<� ���B"�" �%��� ���
��" ���� (22):
, , �
�
�
'(
) �
#�
##�
�##�0
t n
i t
tzcttzzGtzctzc
0 0 1
0
100
1 ),()(),,,(),(),( ��
tdzdz
z
tzcdd i ###
$
$
%
&
#�
##�
�� )(),()( 12
0
2
10 + . (23)
�<����
$E�� %"��> (23) >� �
<��?��� ��
��#���*�/ ��> >
��<��
�
*���+
�$ ��
�*�E$ ��>������ %��$��
+ [4] � ����
��
�
�
�
1
�
�
,0,0
;0,)(
z
zezf
z22
�� 2 – ��<B��?
"/ ��������.
<���+�" ),(0 tzc E
�%"�����%�$ ��
�*�E$, ��
),(),( 00 tzctzc conf �
�<����
$E�� ���#"/ ����
�� %"��>� (26). �����E��, ��
� �
� �
� �
� � )(
;0,0
;0,1
;,0
;,1
)( 11
1
1
11
11
1 ii
i
i
ii
ii
i zz
hzz
hzz
hzzz
hzzz
z �#�
�
�
�
*�#
��#
�
�
�
�
�*#
��#
�# ++ ( 2,1�i )(24)
� % ����
��#���+
��� %"��>� <��%%��
�B�
� (23) %�� %"�����%"� %��"�"
(�����"
�� #��
"*+ ��
����� 1iz , 2,1�i ) >���C"�+ ���+�" ��
�*�� )(1 zi #+ , �
����C
���E �
B"� ���
�% > �
���<�� i , ���� %<� �
�C
"�" �� >
�� <��"
��C��� %"
�<�" >� >
�� <����
+�#�
1
1
0
0 1
0 0
2
0
0 1 1 12
1 ( )
( , )
( , , , ) ( )
( , )
( ) ( ) .i
t
conf
n
z
i i
i V
c z t
I G z z t t
t
c z t
d d z e dz dz dt
z
2
� �
+ 2
�
�
�
# #�)# #� � �' #�(
&# #�
# # #� � $
#� $%
, ,
� ,
(25)
147
O�>
��"��, �� �" ��"/
��" hhi �1 , 1,1 ni �3 , h – ��������
� (<����
�)
��%�"
� ���B����%.
�����%�$�" %��<�"%�<�� ��
�*�@ )(1 zi #+ (24) � %"���"<��%�$�" %
�
��#���� >���
� >��
"� xzz i ��# , ��C��� >��"<��"
��#�# �,� ,
�
�
�
�
�
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
)(
1 )()(
n
i
i
z
ii
n
i
i
z
V
i dzezzdzez ii 22 +2+2
�,� ,
�
�#��
#
�
�#��
#
��#
�#��#�
11
1
)(1
0
1
1
)(1
1 ))(())((
n
i
xz
z
i
n
i
xz
z
z
i dxexzxdxexzx 2424 +2+2 (26)
�<���+�"
� �
� ��
�
�
*
�
�
hx
hx
xi ;0,0
;0,1
)(1+ . O��%�C"��, �� >��
� >�%
�B
+�#� �
��#��%�
-
� z# ��"/��E >
���
� %�� 0 �� � , ���� ��C�"%� �%� %"����":
1. hz
# , � �
��#��� (26)
�?�%�E >
���
�
),1())(( )(1
0
1 zdxexzx xz
z
i #��# �#��
#
, 25+ 24 ;
2. hz 1# , ���� ���"��E��
))(,1())(,1())(( )(1
0
1 hzzdxexzx xz
h
i �#�#��# �#��, 2525+ 24 ,
�� ,
#
���#
z
t dttez
2
4245
0
1),( –
���%
� #���-��
�*�� [9].
�C� ��E��
� ��
�
�
1#�#�#
##
�� ,
�
�#�
#
.,))(,1())(,1(
,),,1(
)(
1
1
1
)(
0
1
1
hzhzzn
hzzn
dxex
n
i
xz
z
i 25252
252
+2 2
M���
�##
$
$
%
&
#�
##�
��
'
'
(
)
'(
)
#�
##�
�##� , , zdnz
z
tzcdd
t
tzcttzzGI
t h
conf 12
0
2
10
0 0
0
10 ),1(),()(),()(),,,( 225��
tdzdnhz
z
tzcdd
t
tzcttzzG
h
#
$
$
%
&
#�#
$
$
%
&
#�
##�
��'(
)
#�
##�
�##� ,
�
12
0
2
10
0
10 ))(,1(),()(),()(),,,( 225��
� ��
�<����� ��<�� �<����
�
� %"��>� (25) ��� ���� ��
*�
���*�@
����B��%"� ��<�"
�� ���"��E��
�#�
$
$
%
&
#�
�
��
'
'
(
)
'(
)
#�
�
��� #�, , zdne
z
cdd
t
cGtzctzc z
t h
conf 12
0
2
10
0 0
0
100 )1()()(),(),( 2��
148
� tdzdnee
z
cdd
t
cG zhz
h
#
$
$
%
&
#�
$
$
%
&
#�
�
��'(
)
#�
�
�� #��#�
�
, 1
)(
2
0
2
10
0
10 )()( 22�� . (27)
M��"� �"
�� �" ���"���" ������� ��� >
����C�
� �<����
�
�#� >�
�
<��?��� ��
��#���*�/ ��> ���� ��
*�
���*�@ ����B��%�@ ����%"
" �
%"�����%�
���
����
�/ ��"B���%�/ <��>� >� ��%
����
�#� ��>������ ��> �
����. &��<��%��$�" � <��%%��
�B�
� (27) %"��>" ��� ��
*�
���*�@
����B��%�@ ����%"
" % ��
����
��� B��� (17) �� ��
�*�@ ���
� (20),
���"��E�� ��>����
��%� ������� ��� �<����
�
�#� ���� ��
*�
���*�@:
�
�
�
�� /��� ��
� ),(),(22),( 0
4
1*
22
tzaerftzaerfteQntzderfcctzc tzd �-�
�
�
�
� ��
�
�
!
" ����/ ����� 2- �222
�
2 281 )1(),(),( 22 tdzztzutzuh eeedeee
�
�
�
�
�
!
"
�##�#� , ��
�
t
tdttAerfttAerfzdt
0
1 ,,�
�
�
�
�
�
�
�, �##�#�##� ��
#
�
�
t
httb tdttBttKerfettBerfettM
0
),( ,,,, 2
�
�
�
�
�
�
�
$
$
%
&
�
�
�
�
##�#�##� , ��
#
�
�
t
httb tdttBttKerfettBerfettM
0
),( ,,,, 2 , (28)
�� 1001 �� �� ddQ ; tzddttza 22),( 1
��2 6� �
6 ; 00
2 dd �� � ;
� tzdtdtzu 0
22
0 4),( �2 �6�6 ;
� ttzttttdttb #6#�#�# �
6 22�
22),( ;
� 2, 1 tthdttK t #�# � ;
�
� 2,, 1 ttzdttKttA t #6#�# �
6 ; 00 )( �ttddt #�� ;
�
�2
00 24, tdzdttM 2� 6�#6 ;
�
� ttdzdttB tt #6�# �
6 22, 1 .
O�>
��"��, ��
���
����
� ��<�"
� ��>%’�>�� (28) ������*�/
�
���+��<�� %��$��
+ 1n .
�5�&%-5: ,*,&'/ ��)2)$*)*%4% �%&+ #%*7)*�2,7';. �"<��%�
��>����
�" ���%��"�"<+ % ?�>��>���
"� >��
"� [10] 00 ztd� , 0zz�7 ,
�0z 1�. (� �"<. 2, 3, 5 �����$<���%�
� ��������
� ��>�����" �<����
�
�#� >�
�
<��?��� ��
��#���*�/ ��> ���� ��
*�
���*�@ ����B��%�@ ����%"
" >�
��<��
�
*���+
�#� ��>������ ��> ��� ��>
"� >
���
+ ���������% >����� � %
��>
� ����
�" ��<�. &�" *+��� >� ?�>�%� ��"/���"<+
�<���
� >
���
�
�����*�E
��%: �01 dd 10; ��� 01 1,1; �1n 50; �� 0zhh 0,1; � 2; �2 2.
��"%� � (B��"��%� ��
�@) ��>
���$�+ ��
*�
���*�$ ����B�" % ��
����
���
��%���<���� > ��������"<�"���" ����"*�. (� �"<. 2
�%���
� ��>�����" �<���-
�
�
�@ ��
*�
���*�@ % ��>
� ����
�" ?�>��>���
�#� ��<� � 0,3; 0,5; 1; 2; 10;
149
(��"%� 1–5) ��� �01 dd 10 (�"<. �) � � 0,01; 0,3; 0,5; 2; 10; (��"%� 1–5) ���
�01 dd 0,1 (�"<. b). (� �"<. 3 ����>�
"/ %��"%
� �<����
�
� ��
*�
���*�$
��������
�@ ��%�"
" ���B����% ��� ���"� ( � 0,5, �"<. �) � %��"�"� ( � 0,5,
�"<. b) ��<�% ��" �h 0,01; 0,05; 0,1; 0,2; 0,3 (��"%� 1-5) ���" �01 dd 10. (�
�"<. 4 ����>�
"/ %��"% ��<B��?
�#� ��������� ��
�*�@ ��<��
�
*���+
�#�
��>������
� ��>��B�%�
� B���%��"� %��$��
+ % ��%���<����. (� �"<. 5
����>�
� %��"% ��<B��?
�#� ���������, ��?�� <����
� %��+
�<�� ��
�*�@
��<��
�
*���+
�#� ��>������ �2 0,1; 0,75; 1; 5; 10 (��"%� 1-5) ��� ���"�
( � 0,5, �"<. �) � %��"�"� ( � 0,5, �"<. b) ��<�%.
0
0,5
1
1,5
2
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
1a 2a 3a
4a
5
5a
7
*),( cc 7 a
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
1
2 3
4
1a 2a 3a
4a
5, 5a
7
*),( cc 7 b
J"<. 2. J�>�����" �<����
�
�@ ��
*�
���*�@ % ��>
� ����
�" ?�>��>���
�#� ��<� ���
�01 dd 10 (�"<. a) �� �01 dd 0,1 (�"<. b)
O�>
��"��, �� ��� ���"� ��<�% ��������
� ���%� ��"��%��
�%�#�
���<"���� �<����
�
�@ ��
*�
���*�@. &�"���� ��� %"����� 801 dd 1 ���"/
���<"��� % ��>" ?��+B"/
�C ���
01 dd 1. O ��<�� *�/ ���<"��� >��
-
B�E�+<�, ><�%�E�+<� % #�"? � ����� �������E, ��"���� <����
� ��"%�@ <��E
?��+B ����#"�.
150
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
7
*),( cc 7 a
0
0,4
0,8
1,2
1,6
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
7
*),( cc 7 b
J"<. 3. J�>�����" �<����
�
�@ ��
*�
���*�@ ��" ��>
"� >
���
�� ��������
�@ ��%�"-
" ���B����% ��� ���"� (�"<.a) � %��"�"� (�"<.b) ��<�% ��" �01 dd 10
O��%�C"��, �� �"� ?��+B� ��������
� ��%�"
� ���B����%, �"� ?��+B�
��
*�
���*�� ����B��%"� ��<�"
�� % B���%����� ��%���<���� (�"<. 3�). ���
%"�����
01 dd 1 ��%�"
� ���B����% >
��
� ��
B� %��"%�E
� ��
�*�$
��
*�
���*�$. &�" *+��� ��� %��"�"� ��<�% >��
� ��%�"
" %��$��
+ ��/C�
� %��"%�E
� ��%���
�� � >
���
� ��
*�
���*�@ ����B�".
~2 0,5 ~2 1 ~2 2
J"<. 4. '�C�"%� �����>�*�@ <������� ?�#���B���%�#� ���� ��" ��>
"� >
���
��
��<B��?
�#� ��������� ��
�*�@ ��<��
�
*���+
�#� ��>������ %��$��
+
151
0
0,5
1
1,5
2
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
a
5
7
*),( cc 7 a
0
0,3
0,6
0,9
1,2
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
a
7
*),( cc 7 b
J"<. 5. J�>�����" �<����
�
�@ ��
*�
���*�@ ��" ��>
"� >
���
�� ��<B��?
�#�
��������� ��� ���"� (�"<.a) � %��"�"�(�"<.b) ��<�%
O� >?��+B�
�� ��<B��?
�#� ��������� 2 � ��" ��%���
�%�/ �?��<�� ����
%��$��
� ����+
$$�+<� (�"<. 4). ) ���� �����C�� ��C %��$��
��"
>?��+B�E�+<�, ��?�� >��
B�E�+<� /��%��
�<�+ >
����C�
� ���B�����. &�"
*+��� >� >?��+B�
�� 2 �<����
�
� ��
*�
���*�� <������� >��<��E (��"%� 1,
2, 3, 4), � ����� ����+
�
� ���B����% % ��"��%���
�%�/ �?��<�� ��">%��"�+
�� >��
B�
� ��
*�
���*�@ ����B�". ��� %��"�"� ��<�% <��<����#�E�+<� ����
<��� >���
����
�<�+ (�"<.5b). &���� ��<�#
�
� ���<"���+
�#� >
���
� %��
��
*�
���*�@ %��?�%�E�+<� ��" ��
B"� >
���
�� >
���
�� 2 (��"%� 1,2 3).
��� ?�>��>���
�#� ��<� 0,5 ���<"���+
�#� >
���
� ��
*�
���*�@ ��<�#�E
��"?�">
� ��" 2 =1. M��� �� ��� � 2 ���<"���+
� >
���
� ��
*�
���*�@
<��<����#�E�+<� ��" 2 =0, 75.
O�>
��"��, �� >?��+B�
� ���+��<�� ���B����% � ?�#���B���%���
��%���<���� ��">%��"�+ �� >��<��
� ��
*�
���*�@ ����B�" % �<�/ �?��<��.
&�" ����/ ���+��<�� ���B����% �<����
�
� ��
*�
���*�� ��/C�
�
152
%����>
�E�+<� %�� ��
*�
���*�@ � ��
����
��� ����.
M���C >��%�C"��, �"� ?��+B� %��
�B�
� �����*�E
��% ����
�<�, ��?��,
�"� ?��+B"/ ��
��"�
"/ �����*�E
� ����
�<� % ���B����� ��� <��
*�
�-
��%�
� ?��� ��%���
� ��%���<����, �"� ?��+B�#� ���<"���� ��<�#�E �<���-
�
�
� ��
*�
���*�� % ��" ��%���
�%�/ �?��<��. &�"���� >��
� %��
�B�
�
�����*�E
��% ����
�<� % �
���%��� %�� 0 �� 1 ��/C�
� %��"%�E
� ��>�����"
��
*�
���*�@ % ?�#���B���%��� ��%���<���� .
�5�*%-#5. M��"� �"
�� ��� ��>%’�>�
� ��
����
�-���/�%�@ >�����
�"��>�@ ����B��%�@ ����%"
" � %"�����%�
���
����
��� �%���>
���
B���%����� ���� >� ������#�$ ������� �����@ �>�#��+
�
"� ��
�*�/ ��
����
�
>����� �"��>�@ % ?�#���B���%��� ��%���<���� >%���
� �� ��%
�
�
��<�����
�<� % �<�/ �?��<�� ����. &�"���� �������� ���"��
�#� ��%
�
� %
�%
��� %"#���� ��<�"�+ <��"?�" ���� ��
*�
���*�@ �� /�#� �����
"�
�
#��
"*�� ��
�����. ���C�
�/ ���/�%�/ >����� ��<��%��
� � %����%��
�<�+
��%�%���
�
� �
��#���"����
*���+
� ��%
�
�, ��>%’�>�� ���#� ��?���%�
"/
�����%�
�� � %"#���� ���� (�/��
�. �<����
�
� ���� ��
*�
���*�@
���%���
� >� �
<��?��� ��
��#���*�/ ��> > ��<��
�
*���+
�$ ��
�*�E$
��>������ %��$��
+. �"%��
� %��"% ��������"<�"� <�����%"��
�
>���
����
�<�� ��>������% �<����
�
�@ ��
*�
���*�@. O������, %<��
�%��
�, ��
� %����
� %�� ��%
����
�#� ��>������ ��> % �?��<�� ����, >� ��<��
�
*���+
�#�
��>������ %��$��
+ ��
*�
���*�� ��#��$��@ ����%"
" >�%C�" E ?��+B�$
�C %
��
����
��� ��%���<����.
O�>
��"��, �� ���"��
� ������" ��C��+ >�<��<�%�%��"<� ��� %"%��
�
���*�<�% ��������%��
�<�� � %"�����%�
���
����
"� ?�#���B���%"� �����,
��>#����$�" ���%" �����+
�#� ��
����� �� ��<���%"/ %"�����
�%���
"� �
��?���.
1. Mikdam A., Makardi A., Ahzi S., Garmestani H, Li D.S., Remond Y. Effective
conductivity in isotropic heterogeneous media using a strong-contrast statistical continuum
theory // J. Mech. and Phys. of Solids. – 2009. – 57. – P. 76–86.
2. Keller J.B. Flow in random porous media // Transport in Porous Media. – 2001. – 43. –
P. 395–406.
3. Zhu Y., Fox P.J. Smoothed particle hydrodynamics model for diffusion through porous
media // Transport in Porous Media. – 2001. – 43. – P. 441–471.
4.
������ �.�., �������� �.�., �������� �.�., ������ �.�. F���%��
"� �� ����""
%�����
�<�" " �������"��<��/ <���"<�"��. – '.: (����, 1985. – 640 <.
5.
������ �.!. _
��#���+
`� ���%
�
"�. – '.: (����, 1975. – 300 <.
6. "�#� $.%., "������ &.'. '������"�
� �����$%�
� �"��>�/
"� ���*�<�% �
%"�����%"� � ��#����
"� <���������. – �"@%: (����%� �����, 2009. – 302 <.
7. �����(���� �.�. ���%
�
"� �������"��<��/ �">"�". – '.: (����, 1976. – 527 <.
8. )*��� �.�.,
������ '.�., ��������+ �.�. �%���
"� % <���"<�"��<��$
���"��">"��. �. �� F����/
`� ����. – '.: (����, 1978. – 436 <.
9. F���%��
"� �� <��*"��+
`� ��
�*"�� / &�� ���. '. ����(����� � �. ���/��. –
'.: '"�, 1979. – 830 <.
10. !*��� �.�. M���"� ��������%��
�<�". – '.: �`<B�� B����, 1978. – 463 <.
�����#��� 7.02.2011�.
|