Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків
За певних обмежень на канонiчну дiагональну форму блочно-трикутної матрицi встановлено взаємозв’язок мiж iнварiантними множниками її дiагональних блокiв.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29823 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків / В.П. Щедрик // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 34-36. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-29823 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-298232012-01-07T12:30:12Z Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків Щедрик, В.П. Математика За певних обмежень на канонiчну дiагональну форму блочно-трикутної матрицi встановлено взаємозв’язок мiж iнварiантними множниками її дiагональних блокiв. Under some restrictions on the canonical diagonal form of a block-triangular matrix, the relation between invariant factors of its diagonal blocks has been established. 2010 Article Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків / В.П. Щедрик // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 34-36. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29823 512.64 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Щедрик, В.П. Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків Доповіді НАН України |
| description |
За певних обмежень на канонiчну дiагональну форму блочно-трикутної матрицi встановлено взаємозв’язок мiж iнварiантними множниками її дiагональних блокiв. |
| format |
Article |
| author |
Щедрик, В.П. |
| author_facet |
Щедрик, В.П. |
| author_sort |
Щедрик, В.П. |
| title |
Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків |
| title_short |
Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків |
| title_full |
Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків |
| title_fullStr |
Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків |
| title_full_unstemmed |
Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків |
| title_sort |
про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29823 |
| citation_txt |
Про інваріантні множники блочно-трикутних матриць та їх діагональних блоків / В.П. Щедрик // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 34-36. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT ŝedrikvp proínvaríantnímnožnikibločnotrikutnihmatricʹtaíhdíagonalʹnihblokív |
| first_indexed |
2025-07-03T10:05:36Z |
| last_indexed |
2025-07-03T10:05:36Z |
| _version_ |
1836619805294067712 |
| fulltext |
УДК 512.64
© 2010
В.П. Щедрик
Про iнварiантнi множники блочно-трикутних матриць
та їх дiагональних блокiв
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
За певних обмежень на канонiчну дiагональну форму блочно-трикутної матрицi вста-
новлено взаємозв’язок мiж iнварiантними множниками її дiагональних блокiв.
У 1952 р. була опублiкована стаття У. Рота [1], яка вирiзнялась серед iнших не лише тим, що
в нiй була повнiстю розв’язана поставлена задача — вражала елегантнiсть формулювання
основного результату. А саме: було показано, що матричне рiвняння над полем
AX + Y B = C (1)
(AX +XB = C) має розв’язок тодi i тiльки тодi, коли матрицi
∥
∥
∥
∥
A 0
C B
∥
∥
∥
∥
та
∥
∥
∥
∥
A 0
0 B
∥
∥
∥
∥
еквiва-
лентнi (подiбнi) мiж собою. Є зрозумiлим бажання iнших дослiдникiв узагальнити цей ре-
зультат. Серед багатьох робiт, присвячених цiй тематицi видiлимо лише декiлька. Так, у [2]
показано, що результат Рота, який стосується розв’язностi рiвняння (1) (надалi властивiсть
Рота), залишається правильним у випадку комутативних областей головних iдеалiв. В [3]
цей результат було узагальнено на випадок довiльних комутативних кiлець. У роботi [4]
було пiдкреслено важливiсть отриманих результатiв i введено поняття кiлець з властивi-
стю Рота, як таких кiлець, над якими є правильною властивiсть Рота. Зокрема, прикладом
таких кiлець є комутативнi областi елементарних дiльникiв [5]. Над такими кiльцями еквi-
валентнiсть матриць рiвносильна рiвностi (з точнiстю до асоцiйовностi) вiдповiдних iнва-
рiантних множникiв цих матриць. Тобто в цьому випадку задача розв’язностi матричного
рiвняння (1) зводиться до встановлення взаємозв’язку мiж iнварiантними множниками бло-
чно-трикутної матрицi з її дiагональними блоками. Перший результат у цьому напрямку
був отриманий М. Ньюменом [6]. Вiн показав, що над комутативними областями голов-
них iдеалiв у випадку, коли (detA,detB) = 1, множина елементарних дiльникiв матрицi
∥
∥
∥
∥
A 0
C B
∥
∥
∥
∥
є об’єднанням елементарних дiльникiв матриць A i B. Дана робота присвячена
дослiдженню взаємозв’язку мiж iнварiантними множниками матриць
∥
∥
∥
∥
A 0
C B
∥
∥
∥
∥
, A, B.
Нехай R — комутативна область елементарних дiльникiв i A — m × n матриця над R.
Викреслимо i-й рядок та j-й стовпець матрицi A. Н. с. д. мiнорiв максимального порядку
отриманої матрицi позначимо через bij. Позначимо також через A∗ — матрицю ‖bij‖, через
〈A〉 — н. с. д. мiнорiв максимального порядку матрицi A.
Лема. Нехай A = ‖aij‖ — m× n матриця. Тодi н. с. д. елементiв кожної t× k, t+ k >
> min(m,n), пiдматрицi матрицi A∗ є дiльником 〈A〉.
Наслiдок 1. Нехай A — n×n матриця. Тодi н. с. д. елементiв кожної t× k, t+ k > n,
пiдматрицi матрицi A∗ є дiльником detA.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6
Наслiдок 2. Якщо A — оборотна n×n матриця, то н. с. д. елементiв кожної з t× k,
t + k > n, пiдматрицi матриць A∗, A−1 дорiвнює одиницi.
Теорема. Нехай
D =
∥
∥
∥
∥
D1 0
D2 D3
∥
∥
∥
∥
∼ diag(
p+q
︷ ︸︸ ︷
1, . . . , 1, ϕ, . . . , ϕ
︸ ︷︷ ︸
s
), ϕ 6= 0,
де D1 та D3 — квадратнi матрицi з канонiчними дiагональними формами
∆1 = diag(α1, α2, . . . , αq), ∆3 = diag(β1, β2, . . . , βp)
вiдповiдно. Тодi iнварiантнi множники αi та βj можна пiдiбрати так, що матимемо
I) у випадку p 6 s 6 q
α1 = α2 = · · · = αq−s = 1,
αq−s+1βp = αq−s+2βp−1 = · · · = αq−s+pβ1 = ϕ,
αq−s+p+1 = αq−s+p+2 = · · · = αq = ϕ;
II) у випадку p, q > s
α1 = α2 = · · · = αq−s = 1,
β1 = β2 = · · · = βp−s = 1,
αq−s+1βp = αq−s+2βp−1 = · · · = αqβp−s+1 = ϕ;
III) у випадку p, q 6 s
α1βq+p−s = α2βq+p−s−1 = · · · = αq+p−sβ1 = ϕ,
αq+p−s+1 = αq+p−s+2 = · · · = αq = βq+p−s+1 = βq+p−s+2 = · · · = βp = ϕ.
Зауваження. Випадок q 6 s 6 p є симетричним випадку p 6 s 6 q i тому не розгля-
дається.
Якщо R — комутативна область головних iдеалiв, то отриманi результати можна ви-
користати для встановлення взаємозв’язку мiж iнварiантними множниками неособливої
блочно-трикутної матрицi
D =
∥
∥
∥
∥
D1 0
D2 D3
∥
∥
∥
∥
∼ Φ = diag(ϕ1, . . . , ϕn),
з її дiагональними блоками, у випадку, коли ϕ2/ϕ1, ϕ3/ϕ2, . . . , ϕn/ϕn−1 є попарно взаєм-
но простими. Для цього застосуємо локально-глобальний метод, який був запропонований
Л. Герстейном у [7].
Нехай p — нерозкладний елемент кiльця R. Через R(p) позначимо локалiзацiю кiльця R
по простому iдеалу (p). Тобто R(p) — кiльце, яке складається з елементiв вигляду x = pνa/b,
де a, b — елементи кiльця R, взаємно простi з p, ν ∈ N
⋃
{0}. Оскiльки
Φ = Eϕ1 diag
(
1,
ϕ2
ϕ1
, . . . ,
ϕ2
ϕ1
)
diag
(
1, 1,
ϕ3
ϕ2
, . . . ,
ϕ3
ϕ2
)
. . . diag
(
1, . . . , 1,
ϕn
ϕn−1
)
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 35
то матрицю Φ можна записати як добуток матриць вигляду diag(1, . . . , 1, pµ, . . . , pµ). На
пiдставi теореми 1 з [7] матриця D в кiльцi R(p) буде мати канонiчну дiагональну форму
diag(1, . . . , 1, pµ, . . . , pµ). Отже, iнварiантнi множники матриць D1 i D3 у кiльцi R(p) пов’я-
занi мiж собою рiвностями, якi були виписанi в нашiй теоремi. Тодi для того щоб знайти
канонiчнi дiагональнi форми матриць D1 i D3 у кiльцi R, потрiбно знайти канонiчнi дiа-
гональнi форми матриць D1 i D3 у всiх локалiзацiях кiльця R по нерозкладних дiльниках
елемента ϕn та перемножити вiдповiднi iнварiантнi множники цих матриць.
1. Roth W.E. The equation AX + Y B = C and AX + XB = C in matrices // Proc. Amer. Math. Soc. –
1952. – 3, No 3. – P. 392–396.
2. Feinberg R.B. Equivalence of partitioned matrices // J. Res. Nat. Bur. Stand. – 1976. – B80, No 1. –
P. 89–97.
3. Gustafson W.H. Roth’s theorem over commutative rings // Linear Algebra and its Appl. – 1979. – 23. –
P. 245–251.
4. Hartwig R., Patricio P. On Roth’s pseudo equivalence over rings // Electron. J. Linear Algebra. – 2007. –
16. – P. 111–124.
5. Kaplansky I. Elementary divisor ring and modules // Trans. Amer. Math. Soc. – 1949. – 66. – P. 464–491.
6. Newman M. The Smith normal form of a partitioned matrix // J. Res. Nat. Bur. Stand. – 1976. – B75,
No 1. – P. 3–6.
7. Gerstein L. A local approach to matrix equivalence // Linear Algebra and its Appl. – 1977. – 16. –
P. 221–232.
Надiйшло до редакцiї 27.10.2009Iнститут прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
V.P. Shchedryk
On invariant factors of block-triangular matrices and their diagonal
blocks
Under some restrictions on the canonical diagonal form of a block-triangular matrix, the relation
between invariant factors of its diagonal blocks has been established.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6
|