Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку
Одержано критерiй для визначення характеристичного показника розв’язку детермiнованого диференцiально-функцiонального рiвняння нейтрального типу.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29836 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 37-41. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-29836 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-298362012-01-07T12:08:45Z Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку Малик, І.В. Інформатика та кібернетика Одержано критерiй для визначення характеристичного показника розв’язку детермiнованого диференцiально-функцiонального рiвняння нейтрального типу. A criterion for the determination of the characteristic exponent of a solution of the deterministic functional differential equation of the neutral type is obtained. 2010 Article Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 37-41. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29836 519.217,519.718 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Малик, І.В. Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку Доповіді НАН України |
| description |
Одержано критерiй для визначення характеристичного показника розв’язку детермiнованого диференцiально-функцiонального рiвняння нейтрального типу. |
| format |
Article |
| author |
Малик, І.В. |
| author_facet |
Малик, І.В. |
| author_sort |
Малик, І.В. |
| title |
Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_short |
Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_full |
Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_fullStr |
Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_full_unstemmed |
Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_sort |
характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29836 |
| citation_txt |
Характеристичний показник розв'язку детермінованого диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 37-41. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT malikív harakterističnijpokaznikrozvâzkudetermínovanogodiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnânejtralʹnogotipuvskalârnomuvipadku |
| first_indexed |
2025-07-03T10:06:21Z |
| last_indexed |
2025-07-03T10:06:21Z |
| _version_ |
1836619851474403328 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
6 • 2010
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.217,519.718
© 2010
I. В. Малик
Характеристичний показник розв’язку детермiнованого
диференцiально-функцiонального рiвняння
нейтрального типу в скалярному випадку
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Одержано критерiй для визначення характеристичного показника розв’язку детермiно-
ваного диференцiально-функцiонального рiвняння нейтрального типу.
Розглянемо функцiю, що задовольняє детермiноване диференцiально-функцiональне рiв-
няння нейтрального типу (НДДФР) [1]
dDyt = Lytdt (1)
та початкову умову
y0 = ϕ, (2)
де для ∀ψ ∈ C([−h, 0]) визначенi функцiонали
Dψ ≡
0
∫
−h
dr1(s)ψ(s); Lψ ≡
0
∫
−h
dr2(s)ψ(s). (3)
Тут ϕ ∈ C([−h, 0]), ri, i = 1, 2, — функцiї обмеженої варiацiї на вiдрiзку [−h, 0], причому
r1(0) − r1(0−) = 1, Var[−h,0)r1 < 1.
Поряд з рiвнянням (1) на ймовiрнiсному базисi [2] (Ω, F, P,ℑ), де ℑ ≡ {Ft := σ(w(s), s 6
6 t), t > 0} — натуральна фiльтрацiя, F : = lim
t→∞
Ft, задано випадковий процес x(t),
який задовольняє стохастичне диференцiально-функцiональне рiвняння нейтрального ти-
пу (НCДФР)
dDxt = Lxtdt+ εx(t)dw(t) (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 37
та початкову умову
x0 = ϕ. (5)
Тут випадковий процес x(t) = x(t, ω) : R+×Ω −→ R1; xt ≡ {x(t+s),−h 6 s 6 0 ∈ C([−h, 0]);
ϕ ∈ C([−h, 0]); w(t) = w(t, ω) — одновимiрний випадковий вiнеровий процес, що узгоджений
з ℑ.
Для задач (1), (2) та (4), (5) мають мiсце теореми iснування та єдиностi з точнiстю до
стохастичної еквiвалентностi (задача (4), (5)) сильних розв’язкiв y ∈ R1, x ∈ R1.
Розглянемо функцiю Кошi X(t) [2] як розв’язок (1), що задовольняє початкову умову
X(t) ≡ 1(t) =
{
0, −h 6 t < 0,
1, t = 0.
(6)
Зауважимо, що вiрне твердження щодо зображення функцiї Кошi X(t) за допомогою
характеристичного квазiполiнома.
Лема 1 [1]. Функцiя Кошi X(t) має вигляд
X(t) =
1
2πi
∫
Re z=µ
eztV −1(z) dz, (7)
де µ > −ρ, V (z) — характеристичний квазiполiном рiвняння (1), який задається спiввiд-
ношенням
V (z) := z
{ ε
∫
−h
dr1(s)e
zs
}
−
ε
∫
−h
dr2(s)e
zs. (8)
Лема 2 [3]. Розв’язок НДДФР (1), (2) задовольняє стохастичне iнтегральне рiвняння
y(t) = x(t)− ε
t
∫
0
X(t− s)x(s) dw(s), (9)
де x(t) — розв’язок задачi (4), (5).
Задача даної роботи полягає у знаходженнi характеристичного показника Ляпунова [4]
для рiвняння (1), який визначається таким чином:
k(0) = lim
t→∞
ln |y(t)|2
t
. (10)
Визначимо характеристичний показник рiвняння (4)
k(ε) = lim
t→∞
lnE|x(t)|2
t
. (11)
Теорема 1 [3]. Характеристичний показник k(ε) задачi (4), (5) визначається з умови
Bk(ε) = 1,
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6
де
Bk(ε) =
ε2
π
∞
∫
0
|Vk(ε)(is)|
−2ds,
Vk(ε)(z) ≡ z
ǫ
∫
−h
dr1(s)e
−s(z+k(ε)) −
ǫ
∫
−h
d(r1(s)− k(ε)r1(s))e
−s(z+k(ε)).
(12)
Теорема 2. Характеристичний показник k(0) рiвняння (1) визначається з умови
r(0) = lim
ε→0
r(ε). (13)
Доведення. Обчислимо r(ε):
r(ε) = lim
t→∞
lnE|x(t)|2
t
= lim
t→∞
ln
(
y2(t) + ε2
t
∫
0
X2(t− s)Ex2(s) ds
)
t
.
Припустимо, що розв’язки X(t) та x(t) експоненцiйно стiйкi (для x(t) мається на увазi
стiйкiсть в l.i.m.). Тодi
r(0) 6 r(ε) 6 lim
t→∞
ln(y2(t) + ε2K)
t
,
де 0 < K < ∞. За припущенням вираз y2(t) + ε2K рiвномiрно обмежений за t, тому спра-
ведливе твердження теореми 2.
Нехай X(t) або x(t) нестiйкi. Утворимо функцiю y(p)(t) та випадковий процес x(p)(t),
якi визначаються рiвностями
y(t) := epty(p)(t);
x(t) := eptx(p)(t),
де p > 0 — досить велике число.
Неважко переконатися [3], що y(p)(t) буде задовольняти НДДФР
dDpy
(p)
t = Lpy
(p)
t dt, (14)
а випадковий процес x(p)(t) — НСДФР
dDpx
(p)
t = Lpx
(p)
t dt+ εx(p)(t)dw(t), (15)
де функцiонали Dp, Lp задаються рiвностями
Dpψ :=
ε
∫
−h
ψ(s)epsdr1(s);
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 39
Lpψ :=
ε
∫
−h
ψ(s)epsd(r2(s)− pr1(s)).
Знайдемо таке p > 0, що k(p)(0) < 0 та k(p)(ε) < 0. Тодi матиме мiсце рiвнiсть
r(p)(0) = lim
ε→0
r(p)(ε),
де r(p)(0) — характеристичний показник функцiї y(p)(t); r(p)(ε) — характеристичний показ-
ник випадкового процесу x(p)(t):
k(p)(0) = lim
t→∞
ln |y(p)(t)|2
t
, (16)
k(p)(ε) = lim
t→∞
lnE|x(p)(t)|2
t
. (17)
Але
k(0) = lim
t→∞
ln |y(t)|2
t
= lim
t→∞
ln |epty(p)(t)|2
t
= 2p + lim
t→∞
ln |y(p)(t)|2
t
= 2p + k(p)(0),
k(ε) = lim
t→∞
lnE|x(t)|2
t
= lim
t→∞
lnE|eptx(p)(t)|2
t
= 2p + lim
t→∞
lnE|x(p)(t)|2
t
= 2p+ k(p)(ε).
На основi двох останнiх рiвностей отримуємо твердження теореми.
Теорема 2 доведена.
У данiй роботi здiйснено перехiд вiд пошуку характеристичного показника рiвняння (1)
при використаннi характеристичного квазiполiнома
V (z) := z
{ ε
∫
−h
dr1(s)e
zs
}
−
ε
∫
−h
dr2(s)e
zs
на комплекснiй площинi C до вiдшукання характеристичного показника рiвняння (4) на
прямiй R з наперед заданою точнiстю ε. Це значно полегшує вiдшукання даного показника.
Зауваження 1. Як збурене рiвняння (4) можна було використати таке:
d{Dxt} = {Lxt}dt+ x(t)dw(εt). (18)
Дане рiвняння дає бiльш зрозумiлий ймовiрнiсний змiст розв’язкiв (1), (2) та (18), (5),
хоча нiякого полегшення для доведення теореми 2 ця замiна не приносить.
Автор висловлює щиру вдячнiсть за увагу до даної роботи та цiннi поради акад. АН ВШ
В.К. Ясинському та акад. НАН України В.С. Королюку.
1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – Москва: Мир, 1984. – 420 с.
2. Жакод Ж., Ширяєв А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов: В 2-х т. – Москва: Физ-
матлит, 1994. – Т. 2. – 473 с.
3. Малик I.В., Ясинський В.К. Асимптотична поведiнка в середньому квадратичному розв’язкiв систем
стохастичних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу // Доп. НАН України. –
2009. – № 10. – С. 22–27.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6
4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – Москва: Наука, 1967. – 472 с.
Надiйшло до редакцiї 13.10.2009Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
I. V. Malyk
Characteristic exponent of a solution of the deterministic functional
differential equation of the neutral type in the scalar case
A criterion for the determination of the characteristic exponent of a solution of the deterministic
functional differential equation of the neutral type is obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 41
|