Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики
Дослiджується застосування групового аналiзу до прямих i обернених задач ядерної геофiзики. Знайдено групу Лi симетрiї рiвняння сповiльнення нейтронiв i побудовано анзаци, якi редукують рiвняння сповiльнення в тривимiрному просторi до звичайного диференцiального рiвняння. Отримано розв’язок цього рi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29845 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики / I.М. Цифра // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 113-117. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-29845 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-298452012-01-07T12:15:42Z Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики Цифра, І.М. Науки про Землю Дослiджується застосування групового аналiзу до прямих i обернених задач ядерної геофiзики. Знайдено групу Лi симетрiї рiвняння сповiльнення нейтронiв i побудовано анзаци, якi редукують рiвняння сповiльнення в тривимiрному просторi до звичайного диференцiального рiвняння. Отримано розв’язок цього рiвняння для випадку, коли асимптотична довжина релаксацiї не стала величина, а є певною функцiєю вiд енергетичної змiнної. The application of group analysis to direct and inverse nuclear geophysics problems is considered. The symmetry group of the equation of neutron slowing down and the ansatze reducing the slowing down equation in the three-dimensional case to the ordinary differential equation are found. The solution of this equation in the case where the asymptotic relaxation length is not constant but depends on the energy variable has been constructed. 2010 Article Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики / I.М. Цифра // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 113-117. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29845 519.46;550.832;517.9 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Науки про Землю Науки про Землю |
| spellingShingle |
Науки про Землю Науки про Землю Цифра, І.М. Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики Доповіді НАН України |
| description |
Дослiджується застосування групового аналiзу до прямих i обернених задач ядерної геофiзики. Знайдено групу Лi симетрiї рiвняння сповiльнення нейтронiв i побудовано анзаци, якi редукують рiвняння сповiльнення в тривимiрному просторi до звичайного диференцiального рiвняння. Отримано розв’язок цього рiвняння для випадку, коли асимптотична довжина релаксацiї не стала величина, а є певною функцiєю вiд енергетичної змiнної. |
| format |
Article |
| author |
Цифра, І.М. |
| author_facet |
Цифра, І.М. |
| author_sort |
Цифра, І.М. |
| title |
Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики |
| title_short |
Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики |
| title_full |
Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики |
| title_fullStr |
Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики |
| title_full_unstemmed |
Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики |
| title_sort |
застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29845 |
| citation_txt |
Застосування теоретико-групового аналізу до рівнянь ядерної геофізики / I.М. Цифра // Доп. НАН України. — 2010. — № 6. — С. 113-117. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT cifraím zastosuvannâteoretikogrupovogoanalízudorívnânʹâdernoígeofíziki |
| first_indexed |
2025-07-03T10:06:50Z |
| last_indexed |
2025-07-03T10:06:50Z |
| _version_ |
1836619882302537728 |
| fulltext |
УДК 519.46;550.832;517.9
© 2010
I.М. Цифра
Застосування теоретико-групового аналiзу до рiвнянь
ядерної геофiзики
(Представлено академiком НАН України В. I. Старостенком)
Дослiджується застосування групового аналiзу до прямих i обернених задач ядерної гео-
фiзики. Знайдено групу Лi симетрiї рiвняння сповiльнення нейтронiв i побудовано ан-
заци, якi редукують рiвняння сповiльнення в тривимiрному просторi до звичайного ди-
ференцiального рiвняння. Отримано розв’язок цього рiвняння для випадку, коли асимп-
тотична довжина релаксацiї не стала величина, а є певною функцiєю вiд енергетичної
змiнної.
Теоретико-груповий метод є ефективним методом дослiдження загальних властивостей за-
дач математичної фiзики. Останнi десятирiччя вiн успiшно використовується для побудови
наближених i точних розв’язкiв (у тому числi фундаментальних) багатьох задач гiдро- i га-
зодинамiки, теорiї пружностi, електродинамiки тощо [1, 2]. Зокрема, дозволяє зводити рiв-
няння в частинних похiдних до звичайного диференцiального рiвняння (або системи рiв-
нянь) в рамках класичної або умовної симетрiї. Iнтегруючи редуковане рiвняння, можна
отримати точнi розв’язки в явному виглядi, такi як одно- й багатосолiтоннi. Крiм того, за
допомогою симетрiй Лi–Беклунда можна побудувати закони збереження для розглядува-
них диференцiальних рiвнянь. У даному повiдомленi дослiджуємо застосування групового
аналiзу до рiвнянь перенесення нейтронiв, зокрема, знаходимо групу симетрiї рiвняння спо-
вiльнення нейтронiв для побудови iнварiантного розв’язку.
За допомогою нескiнченної групи Лi в статтi [3] побудовано групове розшарування, яке
використовується для зведення оберненої коефiцiєнтної задачi для хвильового рiвняння
до прямої задачi, а нами побудовано групове розшарування для нестацiонарного рiвняння
дифузiї теплових нейтронiв за допомогою однопараметричної групи перетворень еквiва-
лентностi.
Групи симетрiї в задачах сповiльнення i дифузiї нейтронiв. Перспективнiсть
застосування теоретико-групового аналiзу проiлюструємо на прикладi отриманого в стат-
тi [4] рiвняння сповiльнення нейтронiв:
Lnq ≡ ∂q
∂τ
− Λas
4
∂2q
∂τ2
−△nq = 0, (1)
де q — густина сповiльнення нейтронiв; τ — енергетична змiнна типу вiку; Λas — асимпто-
тична довжина релаксацiї; △n — оператор Лапласа в n-вимiрному просторi. Початковим
пунктом теоретичного аналiзу симетрiї рiвняння (1) є встановлення групи iнварiантностi iн-
фiнiтезимальним методом Лi [1, 5]. Алгебра Лi групи iнварiантностi рiвняння (1) задається
базисними операторами
P0 =
∂
∂τ
, Pk =
∂
∂xk
, I = q∂q, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 113
Jkm = xkPm − xmPk, k,m = 1, n, (3)
J0k =
2
Λas
τPk −
Λas
2
xkPτ −
xk
Λas
q∂q. (4)
Цей результат отримується iнфiнiтезимальним методом Лi, сучасну версiю якого описано
в монографiї [5]. Введемо позначення α ≡ Λ2
as/4, τ ≡ x0, ∂q/∂xµ ≡ qµ, ∂2q/∂x2µ ≡ qµµ,
µ = 0, n. Тодi рiвняння (1) запишеться у виглядi
q0 − α2q00 − qµµ = 0. (5)
Тут i надалi за iндексами, що повторюються, йде пiдсумовування. Вiдомо [1, 5], що необхiд-
ною i достатньою умовою iнварiантностi рiвняння (1) вiдносно групи перетворень з iнфiнi-
тезимальним оператором X = ξµ∂/∂xµ + η∂/∂q є рiвнiсть
X(2)(q0 − α2q00 − qµµ)|q0=α2q00−qµµ = 0, (6)
де X(2) — друге продовження оператора X:
X(2) = ζ0∂q0 + σµν∂qµν . (7)
Коефiцiєнти ζ0, σµν знаходяться за допомогою добре вiдомих формул продовження [1, 5].
Умова iнварiантностi (6) приводить до такої системи визначальних рiвнянь:
α2ξk0 + ξ0k = 0, α2ξk00 + ξkmm = 2ηk,q + ξk0 , ξk0 = ξ0k,
α2ξ000 + ξ0mm = 2α2η0,q − ξ00 , η0 − α2η00 − ηmm = 0,
де ην,q ≡ ∂2η/∂xν∂q; ξ
ρ
µ ≡ ∂ξρ/∂xµ; ξρµν ≡ ∂2ξρ/∂xµ∂xν .
Загальний розв’язок цiєї системи можна записати як
ξk = θkmxm +
θk0
α
x0 + γk, ξ0 = αθ0mxm + γ0,
η = −θm0
2α
xmq + βq + ϕ(x0, . . . , xn),
(8)
де θµν , β, γµ — довiльнi дiйснi сталi; θµν = −θνµ; ϕ — довiльний розв’язок рiвняння (1),
який вибираємо рiвним нулю. Пiдставляючи отриманi значення для ξµ, η у формулу для
оператора X, приходимо до алгебри iнварiантностi (2)–(4). Пiдалгебра, породжена опера-
торами (3), (4), — iзоморфна алгебрi Лi групи O(n + 1) поворотiв у (n + 1)-вимiрному
просторi, базиснi елементи якої
Jµν = xµPν − xνPµ, µ, ν = 0, n. (9)
Iзоморфiзм встановлюється таким вiдображенням:
τ ′ =
2τ
Λas
, q′ = qe−2τ/Λ2
as , x′1 = x1, . . . , x
′
n = xn. (10)
За допомогою замiни змiнних (10) рiвняння (1) зводиться до простiшого вигляду
∂2q′
∂τ ′2
+△nq
′ − q′
Λ2
as
= 0. (11)
114 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6
Знайдена симетрiя рiвняння (1) дозволяє iстотно спростити процедуру побудови його роз-
в’язкiв. Проiлюструємо це на прикладi розв’язкiв, iнварiантних вiдносно групи Лi, яка iзо-
морфна групi O(n+1). Згiдно з теорiєю iнварiантних розв’язкiв, розв’язок рiвняння (1) для
неоднорiдного нескiнченного середовища треба шукати у виглядi
q = e2τ/Λ
2
asfn(R). (12)
Пiдставимо цей вираз у рiвняння (1) та отримаємо звичайне диференцiальне рiвняння для
fn(R):
f ′′
n + (n− 1)
f ′
n
R
− fn
Λ2
as
. (13)
Розв’язок цього рiвняння є добре вiдомим розв’язком, отриманим в статтi [4], який вира-
жається через спецiальнi функцiї Макдональдса.
Далi розглянемо рiвняння (1), якщо q залежить тiльки вiд двох змiнних τ , x, тодi
∂q
∂τ
− Λ2
as
4
· ∂
2q
∂τ2
− ∂2q
∂x2
= 0, (14)
де Λas — не стала величина, а є функцiєю вiд τ спецiального вигляду
Λas =
√
a+ bτ (15)
(тут a, b — довiльнi дiйснi сталi, b 6= 0).
У цьому випадку рiвняння (14) iнварiантне вiдносно однопараметричної групи Лi з ге-
нератором
D = 2
(
τ +
a
b
)
∂τ + x∂x− q∂q. (16)
Фундаментальними iнварiантами цiєї групи є
ω =
x2
a+ bτ
, ω1 = q
√
a+ bτ .
Отже, ми повиннi шукати розв’язок системи (14), (15) у формi
q = (a+ bτ)−1/2ϕ(ω). (17)
Анзац (17) редукує систему (14), (15) до звичайного диференцiального рiвняння
ω
(
b2
4
ω + 4
)
d2ϕ
dω2
+
(
3
4
b2ω + bω + 2
)
dϕ
dω
+
(
3
16
b+
1
2
)
bϕ = 0. (18)
Впровадивши нову незалежну змiнну z = −b2/16, пiсля кiлькох алгебраїчних перетворень
отримаємо рiвняння
ϕ′′z(z − 1) + ϕ′
[
z
(
3 +
4
b
)
+
1
2
]
+ ϕ
(
2
b
+
3
4
)
= 0, (19)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 115
яке можна записати таким чином:
ϕ′′z(z − 1) + ϕ′
[
z(α + β + 1) +
1
2
]
+ ϕαβ = 0, (20)
де α = 3/2 + 4/b; β = 1/2 або α = 1; β = 2/b + 3/4. Спiввiдношення (20) є рiвнянням для
гiпергеометричних функцiй i його розв’язок можна подати у виглядi
ϕ = F
(
α, β,
1
2
,− b2
16
ω
)
, (21)
де F — гiпергеометрична функцiя. Тодi розв’язок системи (14), (15) є таким:
ϕ = (a+ bτ)−1/2F
(
α, β,
1
2
,− b2
16
x2
a+ bτ
)
. (22)
Отже, нами показано, що знання оператора симетрiї дозволяє звести задачу побудо-
ви розв’язкiв рiвняння в частинних похiдних до iнтегрування звичайних диференцiальних
рiвнянь i таким чином знайти iнварiантнi розв’язки рiвняння сповiльнення нейтронiв. Вi-
домо, що скiнченнi груповi перетворення вiдображають довiльний розв’язок рiвняння в iн-
ший розв’язок. Ця властивiсть використовується для побудови формул генерування нових
розв’язкiв з вiдомих. У [6] показано, що скiнченнi груповi перетворення можуть бути також
використанi для побудови асимптотичного розв’язку рiвняння сповiльнення нейтронiв (1).
Ще одна можливiсть застосування групового аналiзу, на яку слiд звернути увагу са-
ме в контекстi аналiзу i розв’язання обернених задач геофiзики, — це побудова групового
розшарування диференцiальних рiвнянь. Розглянемо нестацiонарне рiвняння дифузiї теп-
лових нейтронiв:
Φt
v
−DrΦr −D
(
Φrr +
Φr
r
)
+ΣΦ = 0, (23)
де D — коефiцiєнт дифузiї; Σ — макроскопiчний перерiз поглинання нейтронiв. За допо-
могою критерiю (6) легко переконатися, що рiвняння (23) є iнварiантним вiдносно групи
Лi з генератором
D = t∂t + r∂r +D∂D − Σ∂Σ. (24)
Вводяться новi змiннi через диференцiальнi iнварiанти першого порядку:
t
r + t
= ω1, Φ = ω2, rΦr = h1, (r + t)Φt = h2,
D
r + t
= h3,
Σ
r + t
= h4.
(25)
Вважаємо, що ω1, ω2 — незалежнi змiннi, а h1, h2, h3, h4 — залежнi змiннi. Тодi рiвняння (23)
й умови сумiсностi зводяться до системи рiвнянь
h1 + h11(ω1 − 1)− h12h
2 + h2 + h11ω1 − h12H
1 = 0,
1/vh2+h3h1ω1+h32(h
1)2−(h3)2h1−h11(h
3)2ω1+h12h
1(h3)2+
h1(h3)2
1− ω1
− h4ω2 = 0,
h3 + h31(1− ω1) + h32h
2 = 0, h4 + h41(ω1 − 1)− h42h
2 = 0
(26)
(тут hkl ≡ ∂hk/∂ωl, k = 1, 4, l = 1, 2).
116 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №6
Система рiвнянь (25), (26) задає групове розшарування (23) вiдносно групи перетворень
еквiвалентностi з генератором (24) i є рiвносильною рiвнянню (23). У статтi [3] на прикладi
хвильового рiвняння показано як групове розшарування використовується для зведення
оберненої коефiцiєнтної задачi до прямої задачi для системи квазiлiнiйних диференцiальних
рiвнянь першого порядку типу (26). Очевидно, що цей метод може бути застосований не
тiльки до рiвнянь хвильового типу або рiвнянь типу (23), а й до ширшого класу рiвнянь,
що допускають нетривiальну симетрiю (групу еквiвалентностi).
Таким чином, показано ефективнiсть застосування групового аналiзу в прямих i обер-
нених задачах ядерної геофiзики. Для рiвняння сповiльнення нейтронiв знайдена група
симетрiї Лi i побудованi анзаци, якi редукують це рiвняння до звичайного диференцiаль-
ного рiвняння. Повна група симетрiї мiстить пiдгрупу, що є iзоморфною групi поворотiв
в (n + 1)-вимiрному просторi. Для випадку, де Λas — не стала величина, а є функцiєю вiд
енергетичної змiнної τ такого вигляду Λas =
√
a+ bτ , отримано розв’язок, виражений че-
рез гiпергеометричнi функцiї. В роботi [3] побудоване групове розшарування хвильового
рiвняння, яке використовується для зведення оберненої задачi до прямої, при цьому iстот-
ним моментом є iснування нескiнченної симетрiї хвильового рiвняння. Нами побудовано
групове розшарування нестацiонарного рiвняння дифузiї теплових нейтронiв на пiдставi
однопараметричної групи.
1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Москва: Наука, 1978. – 400 с.
2. Фущич В.И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений Максвелла. – Киев: Наук. думка, 1983. – 200 с.
3. Меграбов А. Г. Об одном подходе к обратным задачам, основанном на групповом расслоении // Докл.
АН СССР. – 1984. – 275. – С. 583–586.
4. Козачок И.А. Постановка и решение предельной задачи стационарного замедления нейтронов на
основе P − 2 приближения // Геофиз. журн. – 1981. – 3, № 4. – С. 3–17.
5. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Москва: Мир, 1989. – 639 с.
6. Козачок И.А., Цифра И.М. Применение теоретико-группового анализа в задачах замедления нейт-
ронов // Деп. в ВИНИТИ 23.11.88, № 8458. – Киев, 1988. – 8 с.
Надiйшло до редакцiї 30.09.2009Iнститут геофiзики iм. С. I. Субботiна
НАН України, Київ
Iнститут математики Унiверситету
в Бiлостоцi, Польща
I.M. Tsyfra
Application of group-theoretic analysis to the equations of nuclear
geophysics
The application of group analysis to direct and inverse nuclear geophysics problems is considered.
The symmetry group of the equation of neutron slowing down and the ansatze reducing the slowing
down equation in the three-dimensional case to the ordinary differential equation are found. The
solution of this equation in the case where the asymptotic relaxation length is not constant but
depends on the energy variable has been constructed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №6 117
|