Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора)
Вивчається рiст узагальнених алгебр Темперлi–Лiба, зв’язаних з графами Кокстера, породжених чотирма проекторами. Отримана повна класифiкацiя узагальнених алгебр Темперлi–Лiба, зв’язаних з графами Кокстера, породжених чотирма проекторами, за зростанням. Описано клас скiнченновимiрних алгебр Темперлi–...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29907 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) / М.В. Заводовский // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 12-15. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-29907 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-299072012-01-12T12:16:26Z Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) Заводовский, М.В. Математика Вивчається рiст узагальнених алгебр Темперлi–Лiба, зв’язаних з графами Кокстера, породжених чотирма проекторами. Отримана повна класифiкацiя узагальнених алгебр Темперлi–Лiба, зв’язаних з графами Кокстера, породжених чотирма проекторами, за зростанням. Описано клас скiнченновимiрних алгебр Темперлi–Лiба, алгебр полiномiального росту та алгебр експоненцiального росту. We get the complete classification by growth of the Temperley–Lieb generalized algebras associated with Coxeter graphs generated by four projectors. We describe the classes of finite-dimensional algebras of Temperley–Lieb, algebras with polynomial growth, and algebras with exponential growth. 2010 Article Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) / М.В. Заводовский // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 12-15. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29907 517.98 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Заводовский, М.В. Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) Доповіді НАН України |
| description |
Вивчається рiст узагальнених алгебр Темперлi–Лiба, зв’язаних з графами Кокстера, породжених чотирма проекторами. Отримана повна класифiкацiя узагальнених алгебр Темперлi–Лiба, зв’язаних з графами Кокстера, породжених чотирма проекторами, за зростанням. Описано клас скiнченновимiрних алгебр Темперлi–Лiба, алгебр полiномiального росту та алгебр експоненцiального росту. |
| format |
Article |
| author |
Заводовский, М.В. |
| author_facet |
Заводовский, М.В. |
| author_sort |
Заводовский, М.В. |
| title |
Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) |
| title_short |
Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) |
| title_full |
Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) |
| title_fullStr |
Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) |
| title_full_unstemmed |
Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) |
| title_sort |
рост обобщенных алгебр темперли–либа, связанных с графами кокстера (четыре проектора) |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29907 |
| citation_txt |
Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (четыре проектора) / М.В. Заводовский // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 12-15. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT zavodovskijmv rostobobŝennyhalgebrtemperlilibasvâzannyhsgrafamikoksteračetyreproektora |
| first_indexed |
2025-07-03T10:10:22Z |
| last_indexed |
2025-07-03T10:10:22Z |
| _version_ |
1836620104803024896 |
| fulltext |
УДК 517.98
© 2010
М. В. Заводовский
Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных
с графами Кокстера (четыре проектора)
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.С. Самойленко)
Вивчається рiст узагальнених алгебр Темперлi–Лiба, зв’язаних з графами Кокстера,
породжених чотирма проекторами. Отримана повна класифiкацiя узагальнених алгебр
Темперлi–Лiба, зв’язаних з графами Кокстера, породжених чотирма проекторами, за
зростанням. Описано клас скiнченновимiрних алгебр Темперлi–Лiба, алгебр полiномiаль-
ного росту та алгебр експоненцiального росту.
Алгебры Темперли–Либа и их ∗-представления в гильбертовом пространстве изучались
в ряде работ [1–5], в связи с моделями статистической физики. В [6] были введены обоб-
щенные алгебры Темперли–Либа и среди них выделены конечномерные алгебры, связан-
ные с графами Кокстера: An, Bn, Dn, En, Fn, Hn и In. Этот список графов отличается
от списка графов в [7], для которых конечны группы Кокстера, связанные с этими графа-
ми. В работе [8] изучен рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с простыми
графами, а в работе [9] — рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графа-
ми Кокстера, порожденных тремя проекторами. Отметим, что групповая алгебра группы
Кокстера, связанная с графом C̃2, бесконечномерна и имеет экспоненциальный рост [7],
а обобщенная алгебра Темперли–Либа, связанная с графом C̃2, имеет линейный рост [9].
Таким образом, и рост бесконечномерной обобщенной алгебры Темперли–Либа, связанной
с графом Γ, вообще говоря, не совпадает с ростом групповой алгебры группы Кокстера,
связанной с Γ.
В данной работе изучается размерность и рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, свя-
занных с графами Кокстера Γ (см. п. 1), порожденных четырьмя проекторами. Доказано,
что если Γ — связный граф Кокстера и |V Γ| = 4, то соответствующая алгебра конечно-
мерна тогда и только тогда, когда граф Γ совпадает с одним из графов A4, B4, D4, F4
и H4; алгебра имеет линейный рост тогда и только тогда, когда граф Γ совпадает с одним
из графов Ã3, B̃3 и C̃3; алгебра имеет экспоненциальный рост тогда и только тогда, когда
граф Γ не совпадает ни с одним из графов A4, B4, D4, F4, H4, Ã3, B̃3 и C̃3.
1. Класс алгебр TLΓ,~τ . 1. Графом Кокстера Γ называется пара (Γ, f), где Γ — не-
ориентированный граф, а f — отображение множества ребер EΓ графа Γ во множество
{3, 4, 5, . . .}
⋃
{∞}. Граф Кокстера Γ = (Γ, f) можно представлять как граф, в котором ка-
ждому ребру (i, j) ∈ EΓ соответствует метка fij. Все метки имеют значения больше 3. Если
некоторому ребру соответствует тройка, то принято не ставить такую метку.
Пусть Γ — связный граф Кокстера и |V Γ| = 4. Зададим для каждого ребра (i, j) ∈ EΓ
набор чисел ~τij = (τ
(1)
ij , . . . , τ
(mij )
ij ), где mij =
[
fij
2
]
, если fij — нечетное и mij =
fij
2
−1, если
fij — четное. В дальнейшем будем предполагать, что 0 < τ
(k)
ij < 1 для всех i, j, k. Положим
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
~τ =
⋃
(i,j)∈EΓ
~τij. Рассмотрим обобщенную алгебру Темперли–Либа TLΓ,~τ , ассоциированную
с графом Γ:
TLΓ,~τ = C〈p1, p2, p3 | p
2
k = p∗k = pk, Fij(~τ) = 0, F ∗
ij(~τ) = 0, (i, j) ∈ EΓ,
pipj = pjpi, (i, j) 6∈ EΓ〉,
где
Fij(~τ) =
[
fij
2
]
∏
s=1
(pipjpi − τ
(s)
ij pi) при fij = 2k − 1,
fij
2
−1∏
s=1
(pipjpi − τ
(s)
ij pi)pj при fij = 2k.
2. Так как алгебры TLΓ,~τ конечнозаданы, то в зависимости от Γ и, вообще говоря, от ~τ
они либо конечномерны, либо имеют полиномиальный рост, либо экспоненциальный рост
(см., например, [10]).
Предложение 1. Пусть Γ — граф Кокстера (|V Γ| = 4), TLΓ,~τ — алгебра Темперли–
Либа, связанная с Γ. Тогда размерность или рост TLΓ,~τ не зависят от ~τ .
3. Пусть Γ1 = (V Γ1, EΓ1) — граф Кокстера. Построим новый граф Кокстера Γ2 сле-
дующим образом. Множества вершин графов совпадают: V Γ1 = V Γ2. Множества ребер
также совпадают, только отличаются на каком-то фиксированном ребре меткой: зафикси-
руем ребро (i, j) ∈ EΓ1, которому соответствует метка m
(1)
ij в графе Γ1, а в графе Γ2 этому
ребру соответствует метка m
(2)
ij > m
(1)
ij . Будем говорить, что граф Γ2 получен из графа Γ1
увеличением значения метки на ребре (i, j).
Лемма 1. Пусть Γ1 и Γ2 — графы Кокстера, TLΓ1,~τ1 и TLΓ2,~τ2 — связанные с ни-
ми обобщенные алгебры Темперли–Либа. Пусть граф Γ2 получен из графа Γ1 увеличением
метки на некотором ребре. Тогда размерность или рост алгебры TLΓ1,~τ1 не больше ра-
змерности или роста алгебры TLΓ2,~τ2 .
2. Конечномерные алгебры TLΓ,~τ . Непосредственно проверяется, что обобщенные
алгебры Темперли–Либа, связанные с графами A4, B4, D4, F4 и H4, конечномерны и под-
считываются их размерности (см. также [3]).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 13
3. Алгебры TLΓ,~τ полиномиального роста. Вычисление роста алгебры сводится
к вычислению роста соответствующего ориентированного графа (см. [10]). Вершинами гра-
фа роста алгебры являются все нормальные слова длины, меньшей на единицу, чем макси-
мальная длина старшего слова элементов в базисе Гребнера. Ребро от слова u к слову v
существует, если и только если для некоторых образующих xi и xj (возможно совпадающих)
слова uxi и xjv равны и являются нормальными.
Обобщенные алгебры Темперли–Либа, связанные с графами Ã3, B̃3 и C̃3
бесконечномерны и имеют линейный рост, так как в их графах роста нет двух циклов,
соединенных путем.
4. Алгебры TLΓ,~τ экспоненциального роста. Соответствующие алгебры TLΓ,τ име-
ют экспоненциальный рост, так как содержат свободные подалгебры, порожденные двумя
образующими q1 и q2 (во всевозможных комбинациях элементов q1 и q2 не содержится ни
одного старшего подслова элементов базиса Гребнера алгебры TLΓ,τ ).
5. Основная теорема. На основании леммы 1 доказывается теорема о росте обобщен-
ных алгебр Темперли–Либа, ассоциированных с графами Кокстера Γ, когда |V Γ| = 4.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
Теорема. Пусть Γ — связный граф Кокстера, |V Γ| = 4.
1. Алгебра TLΓ,~τ конечномерна тогда и только тогда, когда граф Γ совпадает с одним
из графов A4, B4, D4, F4 и H4.
2. Алгебра TLΓ,~τ имеет линейный рост тогда и только тогда, когда граф Γ совпадает
с одним из графов Ã3, B̃3 и C̃3.
3. Алгебра TLΓ,~τ имеет экспоненциальный рост тогда и только тогда, когда граф Γ
не совпадает ни с одним из графов A4, B4, D4, F4, H4, Ã3, B̃3 и C̃3.
1. Temperley H.N.V., Lieb E.H. Relations between ‘percolations’ and ‘colouring’ problems and other
graph theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolati-
on problem // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. – 1971. – 322. – P. 251–280.
2. Jones V. F. Index for subfactor // Invent. Math. – 1983. – 72. – P. 1–15.
3. Fan C.K. Structure of a Hecke algebra quotient // J. Amer. Math. Soc. – 1997. – 10, No 1. – P. 139–167.
4. Green R.M. Cellular algebras arising from Hecke algebras of type Hn // Math. Z. – 1998. – 229. –
P. 365–383.
5. Green R.M. Generalized Temperley-Lieb algebras and decorated tangles // J. Knot Theory and its Rami-
ficat. – 1998. – 7. – P. 155–171.
6. Graham J. J. Modular representations of Hecke algebras and related algebras // Ph. D. thesis. University
of Sydney, 1995. – 123 p.
7. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Ч. 2. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные
отражениями. Системы корней. – Москва: Мир, 1972. – 334 p.
8. Заводовский М.В., Самойленко Ю.С. Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с прос-
тыми графами // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1579–1584.
9. Заводовский М.В. Рост обобщенных алгебр Темперли–Либа, связанных с графами Кокстера (три
проектора) // Динамические системы. – 2009. – Вып. 27. – С. 31–40.
10. Уфнаровский В.А. Комбинаторные и ассимптотические методы в алгебре // Соврем. проблемы ма-
тематики. Фундам. направления. – 1990. – 57. – С. 5–177.
Поступило в редакцию 25.11.2009Институт математики НАН Украины, Киев
M.V. Zavodovsky
The growth of generalized Temperley–Lieb algebras associated with
Coxeter graphs (four projectors)
We get the complete classification by growth of the Temperley–Lieb generalized algebras associated
with Coxeter graphs generated by four projectors. We describe the classes of finite-dimensional
algebras of Temperley–Lieb, algebras with polynomial growth, and algebras with exponential growth.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 15
|