Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою
Одержано критерiй для визначення характеристичного показника Ляпунова розв’язку стохастичного диференцiально-функцiонального рiвняння нейтрального типу з iнтегралом за пуассоновою мiрою....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29914 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 38-43. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-29914 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-299142012-01-12T12:20:03Z Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою Малик, І.В. Інформатика та кібернетика Одержано критерiй для визначення характеристичного показника Ляпунова розв’язку стохастичного диференцiально-функцiонального рiвняння нейтрального типу з iнтегралом за пуассоновою мiрою. The criterion for the determination of the characteristic Lyapunov’s exponent of a solution of the stochastic functional differential equation of the neutral type with an integral on Poisson’s measure is obtained. 2010 Article Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 38-43. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29914 519.217,519.718 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Малик, І.В. Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою Доповіді НАН України |
| description |
Одержано критерiй для визначення характеристичного показника Ляпунова розв’язку стохастичного диференцiально-функцiонального рiвняння нейтрального типу з iнтегралом за пуассоновою мiрою. |
| format |
Article |
| author |
Малик, І.В. |
| author_facet |
Малик, І.В. |
| author_sort |
Малик, І.В. |
| title |
Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою |
| title_short |
Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою |
| title_full |
Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою |
| title_fullStr |
Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою |
| title_full_unstemmed |
Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою |
| title_sort |
характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29914 |
| citation_txt |
Характеристичний показник для розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з інтегралом за пуассоновою мірою / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 38-43. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT malikív harakterističnijpokaznikdlârozvâzkustohastičnogodiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnânejtralʹnogotipuzíntegralomzapuassonovoûmíroû |
| first_indexed |
2025-07-03T10:10:46Z |
| last_indexed |
2025-07-03T10:10:46Z |
| _version_ |
1836620129592410112 |
| fulltext |
УДК 519.217,519.718
© 2010
I. В. Малик
Характеристичний показник для розв’язку
стохастичного диференцiально-функцiонального
рiвняння нейтрального типу з iнтегралом
за пуассоновою мiрою
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Одержано критерiй для визначення характеристичного показника Ляпунова розв’язку
стохастичного диференцiально-функцiонального рiвняння нейтрального типу з iнте-
гралом за пуассоновою мiрою.
Нехай на ймовiрнiсному базисi [1] (Ω, F, P,ℑ), де ℑ ≡ {Ft, t > 0} — фiльтрацiя, задано
випадковий процес, який задовольняє лiнiйне стохастичне диференцiально-функцiональне
рiвняння нейтрального типу з iнтегралом за пуассоновою мiрою (НCДФРП)
dDxt = Lxtdt+Gxtdw(t) +
∫
Z
U(z)xtṽ(dz, dt) (1)
та початкову умову
x0 = ϕ. (2)
Тут випадковий процес x(t) = x(t, ω) : R+ × Ω −→ R1; xt ≡ {x(t + s),−h 6 s 6 0; ϕ ∈
∈ C([−h, 0]); w(t) = w(t, ω) — одновимiрний випадковий вiнеровий процес, що узгоджений
з ℑ; ṽ(dz, dt) := v(dz, dt) − Ev(dz, dt) — центрована пуассонова мiра, причому w i ṽ —
незалежнi випадковi процеси; D, L, G, U(z) — функцiонали, заданi на просторi функцiй
Скорохода ψ ∈ S[−h,0] спiввiдношеннями [2, 3]
Dψ :=
ε∫
−h
dr1(s)ψ(s); Lψ :=
ε∫
−h
dr2(s)ψ(s);
Gψ :=
ε∫
−h
dr3(s)ψ(s); U(z)ψ :=
ε∫
−h
dsr4(s, z)ψ(s),
де ri, i = 1, 2, 3, 4, — функцiї обмеженої варiацiї на вiдрiзку [−h, ε] рiвномiрно по z (для r4),
для яких виконується умова ri(t) = ci при t ∈ [0, ε]; ε > 0, причому
r1(0) − r1(0−) = 1, Var[−h,0)r1 < 1.
Для задачi (1), (2) має мiсце теорема iснування та єдиностi з точнiстю до стохастичної
еквiвалентностi сильного розв’язку x(t) ∈ R1, для якого iснує Ex2(t) < ∞ [4].
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
Поряд з рiвнянням (1) розглянемо вiдповiдне детермiноване диференцiально-функцiо-
нальне рiвняння нейтрального типу(НДДФР) [3]
dDyt = Lytdt (3)
та початкову умову
y0 = ϕ. (4)
Нагадаємо [3], що розв’язок задачi (3), (4) є експоненцiально стiйкiсий тодi i тiльки тодi,
коли всi коренi характеристичного квазiполiнома
V (λ) := λ
{ ε∫
−h
dr1(s)e
λs
}
−
ε∫
−h
dr2(s)e
λs (5)
лежать в лiвiй пiвплощинi комплексної площини C, а точнiше
∃ ρ > 0, ∀λ ∈ C : V (λ) = 0 ⇒ Reλ < −ρ. (6)
Розглянемо функцiю Кошi X(t) [3] як розв’язок (3), що задовольняє початкову умову
X(t) := 1(t) =
{
0, −h 6 t < 0,
1, t = 0.
(7)
Вiрне твердження [3] щодо зображення функцiї Кошi X(t) за допомогою характеристи-
чного квазiполiнома:
X(t) =
1
2πi
∫
Reλ=µ
eλtV −1(λ) dλ, (8)
де µ > −ρ.
Лема 1 [5]. Розв’язок задачi (1), (2) задовольняє стохастичне iнтегральне рiвняння
x(t) = y(t) +
t∫
0
X(t− s)Gxsdw(s) +
∫
Z
t∫
0
X(t− s)U(z)xsṽ(dz, dt), (9)
де y(t) — розв’язок задачi (3), (4).
Означення 1. Тривiальний розв’язок задачi (1), (2) назвемо експоненцiально стiйким
в середньому квадратичному, якщо iснують сталi M > 0 i c > 0 такi, що ∀ t > 0 i ∀ϕ ∈
∈ C([−h, 0])
Ex2(t) 6Me−ct‖ϕ‖2. (10)
Тут ‖ϕ‖ := sup
−h6t60
|ϕ(t)|, E{·} — операцiя математичного сподiвання.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 39
Теорема 1 [5]. Нехай тривiальний розв’язок задачi (3), (4) асимптотично стiйкий.
Тодi необхiдною i достатньою умовою експоненцiальної стiйкостi в середньому ква-
дратичному розв’язку (1), (2) є виконання нерiвностi
B :=
∞∫
0
RXtdt < 1, (11)
де
Rψt := (Gψt)
2 +
∫
Z
(U(z)ψt)
2Π(dz).
Задача даної роботи полягає у знаходженнi числа
k : = lim
t→∞
lnE|x(t)|2
t
, (12)
яке називають характеристичним показником Ляпунова для НСДФРП [6].
Теорема 2. Характеристичний показник k задачi (1), (2) визначається з умови
Bk =
∞∫
0
R(k)X
(k)
t dt,
де
R(k)ψt := (Gkψt)
2 +
∫
Z
(Uk(z)ψt)
2Π(dz),
Gkψ :=
ε∫
−h
ψ(s)eksdr3(s); Uk(z)ψ :=
ε∫
−h
dsr4(s, z)e
ksψ(s),
(13)
X(p)(t) задовольняє НДДФР
dDkX
(k)
t = LkX
(k)
t dt (14)
та початкову умову (4), де
Dkψ :=
ε∫
−h
ψ(s)eksdr1(s); Lkψ :=
ε∫
−h
ψ(s)eksd(r2(s)− kr1(s)).
Доведення. Розглянемо допомiжну задачу для випадкового процесу u(t) := u(t; p),
який визначається з рiвностi
x(t) = eptu(t; p), p ∈ R1.
Тодi
dx(t) = d(eptu(t; p)) = px(t)dt+ eptdu(t) = ept(pu(t)dt+ du(t)).
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
Пiдставимо x(t) в рiвняння (1) i отримаємо НСДФРП вiдносно u(t), так зване збурене
НСДФРП
dDput = Lputdt+Gputdw(t) +
∫
Z
Up(z)xtṽ(dz, dt). (15)
Для стiйкостi розв’язку задачi (15), (2) необхiдно та достатньо виконання умов теоре-
ми 1.
Лема 2. Мають мiсце такi спiввiдношення:
lim
p→0
Dpψ = D0ψ : = Dψ, lim
p→0
Lpψ = L0ψ : = Lψ,
lim
p→0
Gpψ = G0ψ : = Gψ, lim
p→0
Up(z)ψ = U0(z)ψ : = U(z)ψ,
lim
p→0
Vp(z) = V0(λ) := V (λ)
для ∀ψ ∈ C([−h, 0]), λ ∈ C.
Доведення. Доведемо даний факт, наприклад, для функцiонала L:
‖Lψ − Lpψ‖ =
∥∥∥∥∥
ε∫
−h
ψ(s)dr2(s)−
ε∫
−h
ψ(s)epsd(r2(s)− pr1(s))
∥∥∥∥∥ 6
6 sup
−h6s60
|ψ(s)|
( ε∫
−h
|1− eps|dr2(s) + p
ε∫
−h
dpr1(s)
)
p→0−→ 0.
Iншi твердження даної леми доводяться аналогiчно.
Лема 3. При ρ < p:
1) Bp — неперервна функцiя;
2) Bp → 0 при p → ∞.
Доведення.
1. Використовуючи подання (8), отримаємо
‖X(p0) −X(p)‖ =
1
2π
∥∥∥∥∥
∫
Reλ=µ
eλtV −1
p0
(λ)dλ−
∫
Reλ=µ
eλtV −1
p (λ)dλ
∥∥∥∥∥ =
=
1
2π
∥∥∥∥∥
∫
Reλ=µ
(eλtV −1
p0
(λ)− eλtV −1
p (λ))dλ
∥∥∥∥∥ 6
6
1
2π
∫
Reλ=µ
|eλtV −1
p0
(λ)− eλtV −1
p (λ)|dλ p→p0−→ 0.
Враховуючи неперервнiсть та обмеженiсть функцiоналiв Gp та Up(z), отримаємо
‖Bp −Bp0‖ 6 K1‖X(p0) −X(p)‖+K2‖G(p0) −G(p)‖+K3‖U(p0)(z)− U(p)(z)‖,
де K1, K2, K3 — обмеженi константи.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 41
Другий i третiй доданки останньої нерiвностi прямують до 0 за лемою 2. Неперервнiсть
доведена.
2. Для доведення п. 2 леми скористаємося таким представленням Bp:
Bp =
1
π
∞∫
0
|Gep(is)|2
|Vp(is)|2
ds+
1
π
∞∫
0
|Uep(is)|2
|Vp(is)|2
ds,
де
Gep(λ) :=
ǫ∫
−h
dr3(s)e
(λ+p)s, Uep(λ) :=
∫
Z
ǫ∫
−h
dsr4(s, z)e
(λ+p)sΠ(dz),
i =
√
−1 — уявна одиниця. Даний факт є наслiдком тереми Планшереля–Парсеваля.
Врахувавши те, що |Gp(is)|2 + |Uep(is)|2 = O(const) i |Vp(is)|2 = O(p2) при p → ∞, де
O(p) — функцiя, яка задовольняє спiввiдношення
lim
p→∞
O(p)
p
= C ≡ const,
приходимо до висновку, що
Bp → 0 при p→ ∞.
Лема 3 доведена.
Для остаточного доведення теореми 2 зауважимо, що при Bp > 1 розв’язок НСД-
ФРП (15) є нестiйким в l.i.m., при Bp < 1 — експоненцiйно стiйким в l. i.m. [5]. При Bp = 1
виконується умова теореми 2. В цьому випадку розв’язок u(t; p) поводить себе на ∞ не
бiльше, нiж Ktn, n ∈ N , тобто
lim
t→∞
Eu2(t; p)
Ktn
= 0.
А це в свою чергу означає, що
k = lim
t→∞
lnEu2(t; p)
t
6 lim
t→∞
2n ln(t)
t
= 0,
що, з урахуванням означення випадкового процесу u(t; p) i доводить теорему 2.
Автор висловлює щиру вдячнiсть акад. АН ВШ В.К. Ясинському та акад. НАН України
В.С. Королюку за увагу до даної роботи та цiннi поради.
1. Жакод Ж., Ширяєв А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. В 2-х т. – Москва: Физ-
матизд, 1994. – Т. 2. – 473 с.
2. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. – Москва: Мир, 1967. – 545 с.
3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – Москва: Мир, 1984. – 420 с.
4. Гихман И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1982. – 612 с.
5. Царков Є.Ф., Малик I.В. Поведiнка в середньому квадратичному розв’язку лiнiйних стохастичних
диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту: Зб. наук.
праць. Вип. 374. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2008. – 156 с.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7
6. Xuerong Mao, Yi Shen, Chenggui Yuan. Almost surely asymptotic of neutral stochastic differential delay
equations with Markovian switching // Stochastic Processes and their Applications. – 2008. – 118. –
P. 1385–1406.
Надiйшло до редакцiї 13.10.2009Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
I. V. Malyk
Characteristic exponent of a solution of the stochastic functional
differential equation of the neutral type with an integral on Poisson’s
measure
The criterion for the determination of the characteristic Lyapunov’s exponent of a solution of the
stochastic functional differential equation of the neutral type with an integral on Poisson’s measure
is obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 43
|