Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу
Розглядаються лінійні диференціальні рівняння першого порядку із запізненнями, випередженнями та віддзеркаленнями аргументу щодо функцій зі значеннями в банаховому просторі. Знайдено необхідну і достатню умову існування та єдиності обмеженого на всій осі розв'язку....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30001 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу / А.В. Чайковський // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 30-35. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-30001 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-300012012-01-18T12:13:23Z Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу Чайковський, А.В. Математика Розглядаються лінійні диференціальні рівняння першого порядку із запізненнями, випередженнями та віддзеркаленнями аргументу щодо функцій зі значеннями в банаховому просторі. Знайдено необхідну і достатню умову існування та єдиності обмеженого на всій осі розв'язку. Linear differential equations of the first order with delays, outstrippings, and reflections of arguments relative to functions with values in a Banach space are considered. Necessary and sufficient conditions of existence and uniqueness of the solution which is bounded on the axis are found. 2010 Article Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу / А.В. Чайковський // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 30-35. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30001 517.98 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Чайковський, А.В. Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу Доповіді НАН України |
| description |
Розглядаються лінійні диференціальні рівняння першого порядку із запізненнями, випередженнями та віддзеркаленнями аргументу щодо функцій зі значеннями в банаховому просторі. Знайдено необхідну і достатню умову існування та єдиності обмеженого на всій осі розв'язку. |
| format |
Article |
| author |
Чайковський, А.В. |
| author_facet |
Чайковський, А.В. |
| author_sort |
Чайковський, А.В. |
| title |
Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу |
| title_short |
Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу |
| title_full |
Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу |
| title_fullStr |
Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу |
| title_full_unstemmed |
Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу |
| title_sort |
про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30001 |
| citation_txt |
Про диференціальні рівняння зі зсувами та віддзеркаленнями аргументу / А.В. Чайковський // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 30-35. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT čajkovsʹkijav prodiferencíalʹnírívnânnâzízsuvamitavíddzerkalennâmiargumentu |
| first_indexed |
2025-07-03T10:17:55Z |
| last_indexed |
2025-07-03T10:17:55Z |
| _version_ |
1836620579931684864 |
| fulltext |
УДК 517.98
© 2010
А.В. Чайковський
Про диференцiальнi рiвняння зi зсувами
та вiддзеркаленнями аргументу
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Розглядаються лiнiйнi диференцiальнi рiвняння першого порядку iз запiзненнями, випе-
редженнями та вiддзеркаленнями аргументу щодо функцiй зi значеннями в банаховому
просторi. Знайдено необхiдну i достатню умову iснування та єдиностi обмеженого на
всiй осi розв’язку.
Нехай (B, ‖ · ‖) — комплексний банахiв простiр, L(B) — простiр усiх лiнiйних неперервних
операторiв у B, N — натуральне, {Ak, Ck : − N 6 k 6 N} ⊂ L(B). Розглянемо диферен-
цiальне рiвняння
x′(t) =
N
∑
k=−N
(Akx(t− k) + Ckx(k − t)) + y(t), t ∈ R, (1)
де y ∈ C(R, B) — вiдома обмежена за нормою на всiй осi функцiя, x ∈ C1(R, B) — невiдома
обмежена функцiя. Дане рiвняння є узагальненням рiвняння з вiдхиленнями аргументу
x′(t) =
N
∑
k=−N
Akx(t− k) + y(t), t ∈ R, (2)
для якого iснування i єдинiсть обмеженого розв’язку дослiдженi в [1]. Рiвняння (1) додат-
ково мiстить доданки з вiддзеркаленнями аргументу. Диференцiальнi рiвняння з вiддзер-
каленнями дослiджувалися в роботi [2], де наведенi умови розв’язку деякої крайової задачi.
У цiй роботi доведено необхiдну i достатню умову iснування та єдиностi обмеженого на всiй
осi розв’язку рiвняння (1).
Допомiжнi твердження.
Лема 1. Якщо (X, ‖ · ‖X) — комплексний банахiв простiр, F1, F2, G1, G2 ∈ L(X) —
попарно комутуючi оператори, то система рiвнянь
{
F1v1 + F2v2 = u1,
G1v1 +G2v2 = u2
має для будь-якої пари елементiв u1, u2 ∈ X єдиний обмежений розв’язок (v1, v2) тодi
i лише тодi, коли оператор △ := F1G2 − G1F2 має неперервний обернений. При цьому
розв’язок має вигляд
{
v1 = △−1(G2u1 − F2u2),
v2 = △−1(−G1u1 + F1u2).
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
Доведення леми 1 елементарне i тут не наводиться.
Лема 2. Нехай α ∈ R, y1, y2 ∈ B — фiксованi i при y(t) = y1e
iαt + y2e
−iαt, t ∈ R,
рiвняння (1) має єдиний обмежений розв’язок x ∈ C1(R, B). Тодi цей розв’язок має вигляд
x(t) = x1e
iαt + x2e
−iαt, t ∈ R,
де x1, x2 ∈ B — деякi сталi.
Доведення. Для всiх s ∈ Ωα := {u ∈ R | cos(αu) 6= 0} i всiх t ∈ R покладемо
z(t, s) =
x(t+ s) + x(t− s)
2 cos(αs)
.
Тодi, враховуючи, що x — розв’язок рiвняння (1), маємо
z′t(t, s)=
1
2 cos(αs)
(
N
∑
k=−N
(Akx(t+s−k)+Akx(t−s−k)+Ckx(k−t−s)+Ckx(k−t+s))
)
+
+
y(t+ s) + y(t− s)
2 cos(αs)
=
N
∑
k=−N
(Akz(t− k, s) + Ckz(k − t, s)) + y(t), t ∈ R.
З єдиностi обмеженого розв’язку випливає, що x(τ) = z(τ, s), τ ∈ R, s ∈ Ωα, тобто
x(τ + s) + x(τ − s) = 2 cos(αs)x(τ), τ ∈ R, (3)
для всiх s ∈ Ωα, а внаслiдок неперервностi x, i для всiх s ∈ R.
Нехай F — деяка первiсна функцiї x на R. Тодi, iнтегруючи рiвнiсть (3) за τ вiд 0 до t,
отримуємо
F (t+ s) + F (t− s) = 2 cos(αs)(F (t) − F (0)) + F (s) + F (−s), t, s ∈ R.
Тому
F (t+ s) + F (t− s)− 2F (t)
s2
= (F (t)− F (0))
2 cos(αs)− 2
s2
+
F (s) + F (−s)− 2F (0)
s2
,
t ∈ R, s 6= 0.
Враховуючи, що F ∈ C2(R, B), перейдемо до границi при s → 0:
F ′′(t) = −α2F (t) + F ′′(0) + α2F (0), t ∈ R.
Це рiвняння другого порядку має при α 6= 0 лише розв’язки вигляду
F (t) = L1e
iαt + L2e
−iαt + L3, t ∈ R,
де L1, L2, L3 ∈ B — сталi. Диференцiюючи цю рiвнiсть, отримуємо твердження леми.
При α = 0 функцiя F — квадратний тричлен, диференцiюючи його i враховуючи обме-
женiсть x, отримуємо, що x — стала.
Надалi використовується
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 31
Припущення 1. Усi оператори з набору {Ak, Ck : − N 6 k 6 N} ⊂ L(B) попарно
комутують.
Позначимо
Φ(z) :=
N
∑
k=−N
Ake
zk + z, Ψ(z) :=
N
∑
k=−N
Cke
zk, z ∈ C.
Лема 3. Нехай виконується умова
∀α ∈ R ∃ (Φ(iα)Φ(−iα) −Ψ(iα)Ψ(−iα))−1 ∈ L(B). (4)
Тодi однорiдне рiвняння
x′(t) =
N
∑
k=−N
(Akx(t− k) + Ckx(k − t)), t ∈ R, (5)
що вiдповiдає рiвнянню (1), не має нетривiальних обмежених розв’язкiв.
Доведення. Позначимо Θ :=
N
∑
k=−N
(‖Ak‖+ ‖Ck‖), ‖u‖∞ := sup
t∈R
‖u(t)‖, де u ∈ C(R, B) —
обмежена функцiя. Введемо простiр
XΘ :=
{
u ∈ C∞(R, B) | ‖u‖Θ := sup
n>0
‖u(n)‖∞
Θn
< +∞
}
.
Тодi (XΘ, ‖ · ‖Θ) — комплексний банахiв простiр (див. [1]). Розглянемо в цьому просторi
оператор диференцiювання
(Du)(t) := u′(t), t ∈ R.
Цей оператор дiє з XΘ в XΘ i обмежений. Дiйсно,
∀u ∈ XΘ : ‖Du‖Θ = sup
n>0
‖u(n+1)‖∞
Θn
6 sup
n>−1
‖u(n+1)‖∞
Θn
= Θ‖u‖Θ.
Група операторiв {eDs | s ∈ R} в L(XΘ) збiгається з групою операторiв зсуву {Ms | s ∈
∈ R}, де
(Msu)(t) = u(t+ s), t, s ∈ R.
Це випливає з теореми про розклад функцiї в ряд Тейлора. Оператор M−1 надалi позна-
чатимемо просто M .
Припустимо, що x — обмежений розв’язок рiвняння (5). Тодi функцiї x i w(t) := x(−t),
t ∈ R, належать простору XΘ. Дiйсно, за iндукцiєю встановлюється, що x ∈ C∞(R, B).
Скiнченнiсть норми випливає з нерiвностi
‖x(n)‖∞ 6 Θ‖x(n−1)‖∞, n ∈ N,
яка отримується з рiвняння (5), продиференцiйованого n − 1 раз.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
Враховуючи, що
x(t− k) = (Mkx)(t), t ∈ R, k ∈ Z,
x(k − t) = (Mkw)(t), t ∈ R, k ∈ Z,
рiвняння (5) перепишемо у виглядi рiвняння в просторi XΘ:
Dx =
N
∑
k=−N
(AkM
kx+ CkM
kw).
Крiм того, пiдставивши в рiвняння (5) (−t) замiсть t, отримаємо рiвняння
x′(−t) =
N
∑
k=−N
(Akx(−t− k) + Ckx(k + t)), t ∈ R,
яке можна записати у виглядi
−Dw =
N
∑
k=−N
(AkM
−kw + CkM
−kx).
Враховуючи, що Mk = e−Dk, k ∈ Z, отримуємо, що розв’язок x i вiдповiдна функцiя w
задовольняють систему
(
−D +
N
∑
k=−N
Ake
−Dk
)
x+
N
∑
k=−N
Cke
−Dkw = 0;
N
∑
k=−N
Cke
Dkx+
(
D +
N
∑
k=−N
Ake
Dk
)
w = 0,
або, що те саме,
{
Φ(−D)x+Ψ(−D)w = 0;
Ψ(D)x+Φ(D)w = 0.
З умови (4), рiвностi σ(D) = [−iΘ, iΘ] i леми про достатнi умови обертовностi функцiї
вiд кiлькох операторiв [1] випливає, що оператор Φ(D)Φ(−D)−Ψ(D)Ψ(−D) має обернений.
Внаслiдок леми 1 система має лише тривiальний розв’язок.
Основний результат.
Теорема 1. Нехай виконується припущення 1. Рiвняння (1) має для довiльної обмеже-
ної функцiї y ∈ C(R, B) єдиний обмежений на всiй осi розв’язок x ∈ C1(R, B) тодi i лише
тодi, коли справджується умова (4).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай α ∈ R, y1, y2 ∈ B — фiксованi. Для функцiї y(t) =
= y1e
iαt + y2e
−iαt, t ∈ R, рiвняння (1) за умовою має єдиний обмежений розв’язок x ∈
∈ C1(R, B), який за лемою 2 має вигляд
x(t) = x1e
iαt + x2e
−iαt, t ∈ R,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 33
де x1, x2 ∈ B — деякi сталi. Пiдставимо цей розв’язок у рiвняння. Маємо
iαx1e
iαt− iαx2e
−iαt=
N
∑
k=−N
(
Ak(x1e
iα(t−k)+x2e
−iα(t−k))+Ck(x1e
iα(k−t)+x2e
−iα(k−t))
)
+
+ y1e
iαt + y2e
−iαt, t ∈ R.
Прирiвнюючи коефiцiєнти при eiαt i e−iαt, отримуємо еквiвалентну систему:
{
Φ(−iα)x1 +Ψ(−iα)x2 = −y1,
Ψ(iα)x1 +Φ(iα)x2 = −y2.
За лемою 1 ця система для кожного α ∈ R i довiльної пари y1, y2 елементiв банахового
простору B має єдиний розв’язок тодi i лише тодi, коли виконується умова (4).
Достатнiсть. Нехай виконується умова (4). Розглянемо диференцiальне рiвняння дру-
гого порядку
−w′′(t) +
N
∑
k=−N
Ak(w
′(t− k)− w′(t+ k)) +
N
∑
k=−N
N
∑
m=−N
AkAmw(t+m− k)−
−
N
∑
k=−N
N
∑
m=−N
CkCmw(t+m− k) = y(t), t ∈ R, (6)
де обмежена разом з першою та другою похiдною функцiя w ∈ C2(R, B) — шукана. Крiм
того,
α2 +
N
∑
k=−N
Ak(iαe
−iαk − iαeiαk) +
N
∑
k=−N
N
∑
m=−N
AkAmeiα(m−k) −
N
∑
k=−N
N
∑
m=−N
CkCmeiα(m−k) =
= Φ(iα)Φ(−iα) −Ψ(iα)Ψ(−iα), α ∈ R.
Враховуючи (4), аналогiчно [1] можна показати, що рiвняння (6) має для кожної обмеженої
функцiї y єдиний обмежений разом з першою та другою похiдною розв’язок.
Покажемо, що функцiя
x(t) = −w′(t)−
N
∑
k=−N
Akw(t+ k) +
N
∑
k=−N
Ckw(k − t), t ∈ R,
є розв’язком рiвняння (1). Дiйсно, пiдставимо її в (1) i скористаємось рiвнiстю (6):
x′(t)−
N
∑
k=−N
(Akx(t− k) + Ckx(k − t)) =
= −w′′(t)−
N
∑
k=−N
Akw
′(t+ k)−
N
∑
k=−N
Ckw
′(k − t) +
N
∑
k=−N
(Akw
′(t− k) + Ckw
′(k − t)) +
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
+
N
∑
k=−N
(
Ak
(
N
∑
m=−N
Amw(t− k +m)
)
+ Ck
(
N
∑
m=−N
Amw(k − t+m)
))
−
−
N
∑
k=−N
(
Ak
(
N
∑
m=−N
Cmw(−t+ k +m)
)
+ Ck
(
N
∑
m=−N
Cmw(t− k +m)
))
=
= y(t), t ∈ R.
Єдинiсть розв’язку випливає з леми 3.
Зауваження. У випадку вiдсутностi доданкiв з вiддзеркаленням аргументу умова (4)
набуває вигляду
∀α ∈ R ∃ (Φ(iα)Φ(−iα))−1 ∈ L(B).
Оскiльки добуток двох обмежених комутуючих операторiв має обернений тодi i лише
тодi, коли обернений має кожен множник, ця умова еквiвалентна бiльш простiй
∀α ∈ R ∃ (Φ(iα))−1 ∈ L(B),
яка збiгається з отриманою в [1].
Таким чином, у роботi дослiдженi лiнiйнi диференцiальнi рiвняння першого порядку
iз запiзненнями, випередженнями та вiддзеркаленнями аргументу щодо функцiй зi значе-
ннями в банаховому просторi. Знайденi необхiднi i достатнi умови iснування та єдиностi
обмеженого на всiй осi розв’язку.
1. Чайковський А.В. Про iснування та єдинiсть обмеженого розв’язку лiнiйного диференцiального рiв-
няння зi зсувами аргументу в банаховому просторi // Доп. НАН України. – 2000. – № 8. – С. 33–37.
2. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функцио-
нально-дифференциального уравнения с оператором отражения // Дифференц. уравнения. – 2008. –
4, № 2. – С. 196–204.
Надiйшло до редакцiї 21.12.2009Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
A.V. Chaikovskiy
On differential equations with shifts and reflections of an argument
Linear differential equations of the first order with delays, outstrippings, and reflections of argu-
ments relative to functions with values in a Banach space are considered. Necessary and sufficient
conditions of existence and uniqueness of the solution which is bounded on the axis are found.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 35
|