Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями
В рамках підходів лінеаризованої теорії пружності досліджено неосесиметричну задачу про взаємодію двох паралельних співвісних тріщин нормального відриву в нескінченному тілі з початковими напруженнями, що діють вздовж площин розташування тріщин. З використанням зображень загальних розв'язків лі...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30009 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 49-59. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-30009 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-300092012-01-18T12:05:30Z Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями Богданов, В.Л. Механіка В рамках підходів лінеаризованої теорії пружності досліджено неосесиметричну задачу про взаємодію двох паралельних співвісних тріщин нормального відриву в нескінченному тілі з початковими напруженнями, що діють вздовж площин розташування тріщин. З використанням зображень загальних розв'язків лінеаризованих рівнянь рівноваги через гармонічні потенціальні функції та інтегральних перетворень Фур'є–Ганкеля задачу зведено окремо для кожної гармоніки за кутовою координатою до розв'язуючих систем інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Отримано вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень в околах контурів тріщин. Виявлено нові механічні ефекти, пов'язані з впливом початкових напружень та взаємодією тріщин між собою. A non-axisymmetric problem on the interaction of two parallel coaxial cracks of normal rupture in an infinite solid with initial stresses acting along cracks is investigated in the framework of the linearized theory of elasticity. The problem is reduced to systems of Fredholm's integral equations of the second kind by the use of representations of general solutions of the linearized equilibrium equations in terms of harmonic potential functions and the Fourier–Hankel integral transforms. The representations of stress intensity factors at the cracks' edges are obtained. New mechanical effects related to the influence of initial stresses and to the cracks' interaction are analyzed. 2010 Article Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 49-59. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30009 539.375 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Богданов, В.Л. Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями Доповіді НАН України |
| description |
В рамках підходів лінеаризованої теорії пружності досліджено неосесиметричну задачу про взаємодію двох паралельних співвісних тріщин нормального відриву в нескінченному тілі з початковими напруженнями, що діють вздовж площин розташування тріщин. З використанням зображень загальних розв'язків лінеаризованих рівнянь рівноваги через гармонічні потенціальні функції та інтегральних перетворень Фур'є–Ганкеля задачу зведено окремо для кожної гармоніки за кутовою координатою до розв'язуючих систем інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Отримано вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень в околах контурів тріщин. Виявлено нові механічні ефекти, пов'язані з впливом початкових напружень та взаємодією тріщин між собою. |
| format |
Article |
| author |
Богданов, В.Л. |
| author_facet |
Богданов, В.Л. |
| author_sort |
Богданов, В.Л. |
| title |
Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями |
| title_short |
Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями |
| title_full |
Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями |
| title_fullStr |
Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями |
| title_full_unstemmed |
Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями |
| title_sort |
неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30009 |
| citation_txt |
Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2010. — № 8. — С. 49-59. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanovvl neosesimetričnazadačaprodvíparalelʹníspívvísnítríŝininormalʹnogovídrivuvmateríalízpočatkoviminapružennâmi |
| first_indexed |
2025-07-03T10:18:26Z |
| last_indexed |
2025-07-03T10:18:26Z |
| _version_ |
1836620611832512512 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2010
МЕХАНIКА
УДК 539.375
© 2010
В.Л. Богданов
Неосесиметрична задача про двi паралельнi спiввiснi
трiщини нормального вiдриву в матерiалi
з початковими напруженнями
(Представлено академiком НАН України О.М. Гузем)
В рамках пiдходiв лiнеаризованої теорiї пружностi дослiджено неосесиметричну задачу
про взаємодiю двох паралельних спiввiсних трiщин нормального вiдриву в нескiнченному
тiлi з початковими напруженнями, що дiють вздовж площин розташування трiщин.
З використанням зображень загальних розв’язкiв лiнеаризованих рiвнянь рiвноваги че-
рез гармонiчнi потенцiальнi функцiї та iнтегральних перетворень Фур’є–Ганкеля задачу
зведено окремо для кожної гармонiки за кутовою координатою до розв’язуючих систем
iнтегральних рiвнянь Фредгольма другого роду. Отримано вирази для коефiцiєнтiв iн-
тенсивностi напружень в околах контурiв трiщин. Виявлено новi механiчнi ефекти,
пов’язанi з впливом початкових напружень та взаємодiєю трiщин мiж собою.
За термiнологiєю, запропонованою в [1, 2], розглянута в роботi задача вiдноситься до не-
класичних проблем механiки руйнування, оскiльки в рамках класичної механiки крихкого
руйнування неможливо врахувати вплив складових зусиль, що дiють вздовж трiщин, на
параметри руйнування, зокрема, на коефiцiєнти iнтенсивностi напружень та величини роз-
криття трiщин.
Для дослiдження закономiрностей впливу на напружено-деформований стан матерiалiв
з трiщинами початкових (або залишкових) напружень, якi дiють вздовж трiщин, в робо-
тах [1, 3, 4] було запропоновано пiдхiд в рамках лiнеаризованої теорiї пружностi та сфор-
мульовано вiдповiднi критерiї руйнування матерiалiв з початковими напруженнями. Iз ви-
користанням зазначеного пiдходу були отриманi розв’язки окремих класiв статичних та
динамiчних задач, переважно для iзольованих трiщин в нескiнченних тiлах з початкови-
ми напруженнями (стислий огляд зазначених робiт наведено в [1, 5]). В [5–11] дослiджено
окремi задачi про взаємодiючi трiщини нормального вiдриву, радiального зсуву та кручення
в попередньо напружених iзотропних матерiалах та композитах.
Задачу розв’язано в загальному виглядi для стисливих i нестисливих пружних тiл шля-
хом її зведення з використанням iнтегральних перетворень Фур’є–Ганкеля окремо для кож-
ної гармонiки за кутовою координатою спочатку до парних iнтегральних рiвнянь, а потiм
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 49
Рис. 1
до систем неоднорiдних iнтегральних рiвнянь Фредгольма другого роду. Отримано вира-
зи для коефiцiєнтiв iнтенсивностi напружень в околi контурiв трiщин, проаналiзовано їх
залежнiсть вiд початкових напружень та виявлено пов’язанi з цим новi механiчнi ефекти.
1. Постановка задачi. Розглядається необмежене пружне тiло, що мiстить двi спiв-
вiснi трiщини однакового радiусу a, якi розташованi в паралельних площинах y3 = 0 та
y3 = −2h з центрами на осi Oy3 (рис. 1). Тут застосовуються лагранжевi координати по-
чаткового напружено-деформованого стану, якi пов’язанi з координатами недеформованого
стану такими спiввiдношеннями:
yj = λjxj; λj = const (j = 1, 2, 3),
де λj — зумовленi дiєю початкових напружень коефiцiєнти подовження (скорочення) вздовж
координатних осей, якi визначають перемiщення в початковому станi.
Вздовж координатних осей Oy1, Oy2 дiють однаковi початковi напруження, якi реалi-
зують однорiдний початковий напружено-деформований стан вигляду
S0
33 = 0, S0
11 = S0
22 = const 6= 0, λj = const, λ1 = λ2 6= λ3, (1)
де S0
ij — компоненти симетричного тензора напружень, вiднесенi до одиницi площi тiла
в недеформованому станi. В подальшому будемо також використовувати такi позначення:
Q′
ij — компоненти несиметричного тензора напружень, вiднесенi до одиницi площi тiла
в початковому (зумовленому дiєю початкових напружень S0
ij) станi; uj — компоненти вiд-
повiдного їм вектора перемiщень.
Поверхнi трiщин завантаженi додатковими (вiдносно початкових напружень S0
11 = S0
22)
взаємнозрiвноваженими нормальними розтягуючими зусиллями однакової iнтенсивностi
σ(r, θ). Граничнi умови на берегах трiщин у цьому випадку мають вигляд
Q′
33 = −σ(r, θ), Q′
3r = 0, Q′
3θ = 0 (y3 = (0)±, 0 6 θ < 2π, 0 6 r < a),
Q′
33 = −σ(r, θ), Q′
3r = 0, Q′
3θ = 0 (y3 = (−2h)±, 0 6 θ < 2π, 0 6 r < a),
(2)
де нижнi iндекси “+” та “−“ позначають вiдповiднi береги трiщин.
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
Враховуючи очевидну симетрiю силової та геометричної схем задачi (2), переформулю-
ємо її для пiвпростору y3 > −h з однiєю верхньою трiщиною з такими граничними умовами
на берегах трiщини та границi пiвпростору:
Q′
33 = −σ(r, θ), Q′
3r = 0, Q′
3θ = 0 (y3 = (0)±, 0 6 θ < 2π, 0 6 r < a),
u3 = 0, Q′
3r = 0, Q′
3θ = 0 (y3 = −h, 0 6 θ < 2π, 0 6 r <∞).
(3)
При цьому продовження розв’язку на область y3 6 −h забезпечується умовами симетрiї
зi збереженням граничних умов при y3 = (−2h)±, 0 6 θ < 2π, 0 6 r < a (другий рядок
в (2)). Граничнi умови (3) необхiдно також доповнити умовами регулярностi (затухання)
напружень та перемiщень при вiддаленнi вiд трiщини, коли y3 → ∞.
Умовно розiб’ємо пiвпростiр y3 > −h на двi областi: пiвпростiр y3 > 0 та шар −h 6 y3 6
6 0, позначивши вiдповiднi величини iндексами 1 та 2. На межi вказаних областей поза
трiщиною виконуються умови неперервностi перемiщень та напружень (тут i в подальшому
0 6 θ < 2π)
u
(1)
3 = u
(2)
3 , u(1)r = u(2)r , u
(1)
θ = u
(2)
θ (y3 = 0, a < r <∞),
Q′(1)
33 = Q′(2)
33 , Q
′(1)
3r = Q′(2)
3r , Q′(1)
3θ = Q′(2)
3θ (y3 = 0, a < r <∞).
(4)
Розглядаючи спiльно граничнi умови (3) та умови неперервностi (4), можемо перефор-
мулювати постановку задачi у виглядi
u
(2)
3 = 0, Q′(2)
3r = 0, Q′(2)
3θ = 0 (y3 = −h, 0 6 r <∞), (5)
u
(1)
3 = u
(2)
3 , u(1)r = u(2)r , u
(1)
θ = u
(2)
θ (y3 = 0, a < r <∞), (6)
Q′(1)
33 = Q′(2)
33 , Q′(1)
3r = Q′(2)
3r , Q′(1)
3θ = Q′(2)
3θ (y3 = 0, 0 6 r <∞), (7)
Q′(2)
33 = −σ(r, θ); Q′(2)
3r = 0; Q′(2)
3θ = 0 (y3 = 0, 0 6 r 6 a). (8)
В [1] побудовано зображення загальних розв’язкiв лiнеаризованих рiвнянь рiвноваги
через гармонiчнi потенцiальнi функцiї, вигляд яких залежить вiд спiввiдношення коренiв
характеристичного рiвняння. Так, для випадку нерiвних коренiв характеристичного рiв-
няння, яким в подальшому для спрощення викладок обмежимось, зазначенi зображення
мають вигляд:
ur =
∂(ϕ1 + ϕ2)
∂r
− 1
r
∂ϕ3
∂θ
, uθ =
1
r
∂(ϕ1 + ϕ2)
∂θ
+
∂ϕ3
∂r
, u3 =
m1√
n1
∂ϕ1
∂z1
+
m2√
n2
∂ϕ2
∂z2
,
Q′
3r = C44
{
d1n
−1/2
1
∂2
∂r∂z1
ϕ1 + d2n
−1/2
2
∂2
∂r∂z2
ϕ2 − n
−1/2
3
1
r
∂2
∂θ∂z3
ϕ3
}
,
Q′
3θ = C44
{
d1n
−1/2
1
1
r
∂2
∂θ∂z1
ϕ1 + d2n
−1/2
2
1
r
∂2
∂θ∂z2
ϕ2 + n
−1/2
3
∂2
∂r∂z3
ϕ3
}
,
Q′
33 = C44
[
d1l1
∂2
∂z21
ϕ1 + d2l2
∂2
∂z22
ϕ2
]
,
(9)
де zi ≡ n
−1/2
i yi, а параметри C44, di, li, mi, ni залежать вiд механiчних характеристик
матерiалу та вiд початкових напружень [1].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 51
Використовуючи (9), в кожнiй з областей 1 та 2 на основi умов (5)–(8) формулюємо
вiдповiдну граничну задачу для потенцiальних функцiй ϕ(i) (i = 1, 3) (за браком мiсця
зазначенi формулювання для потенцiальних функцiй не наводяться).
2. Парнi iнтегральнi рiвняння. Подамо функцiю iнтенсивностi зовнiшнiх наванта-
жень на берегах трiщини у виглядi ряду Фур’є за окружною координатою θ, припускаючи
для спрощення викладок, що σ(r, θ) є парною функцiєю за θ (у випадку, коли σ(r, θ) є не-
парною функцiєю за θ, тут i в подальшому косинуси слiд замiнити синусами i навпаки; а
в загальному випадку треба використовувати суперпозицiю розв’язкiв)
σ(r, θ) =
∞∑
n=0
σ(n)(r) cos nθ,
де
σ(0)(r) =
1
π
π∫
0
σ(r, θ) dθ, σ(n)(r) =
2
π
π∫
0
σ(r, θ) cos nθ dθ. (10)
Наведемо також потенцiальнi гармонiчнi функцiї, що використовуються в зображеннях
загальних розв’язкiв (9) у кожнiй з областей 1 та 2 у виглядi рядiв Фур’є за кутовою
координатою θ з коефiцiєнтами у виглядi iнтегральних розкладiв Ганкеля за координатою r
вiдповiдного гармонiцi за θ порядку:
ϕ
(1)
1 (r, θ, z1) =
∞∑
n=0
cosnθ
∞∫
0
An(λ)e
−λz1Jn(λr)
dλ
λ
,
ϕ
(1)
2 (r, θ, z2) =
∞∑
n=0
cosnθ
∞∫
0
Bn(λ)e
−λz2Jn(λr)
dλ
λ
,
ϕ
(1)
3 (r, θ, z3) =
∞∑
n=0
sinnθ
∞∫
0
Cn(λ)e
−λz3Jn(λr)
dλ
λ
,
ϕ
(2)
1 (r, θ, z1) =
∞∑
n=0
cosnθ
∞∫
0
[A(1)
n (λ)chλ(z1+h1)+A
(2)
n (λ)shλ(z1+h1)]Jn(λr)
∂λ
λshλh1
,
ϕ
(2)
2 (r, θ, z2) =
∞∑
n=0
cosnθ
∞∫
0
[B(1)
n (λ)chλ(z2+h2)+B
(2)
n (λ)shλ(z2+h2)]Jn(λr)
∂λ
λshλh2
,
ϕ
(2)
3 (r, θ, z3) =
∞∑
n=0
sinnθ
∞∫
0
[C(1)
n (λ)chλ(z3+h3)+C
(2)
n (λ)shλ(z3+h3)]Jn(λr)
∂λ
λshλh3
,
(11)
де hi = hn
−1/2
i , i = 1, 3; а A(j)
n (λ), B(j)
n (λ), C(j)
n (λ), j = 1, 2, — новi невiдомi функцiї. Зазна-
чимо, що зображення (11) забезпечують задоволення умов регулярностi для перемiщень та
напружень при y3 → ∞.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
Пiдставивши (11) в граничнi умови (5) та (7), що заданi на всiй областi y3 = const,
отримуємо шiсть спiввiдношень, якi пов’язують дев’ять невiдомих функцiй:
An =
1
k
(k2 + k1 cthµ1)A
(1)
n +
d2l2
d1l1
k1
k
(1 + cthµ2)B
(1)
n ,
Bn = −d1l1
d2l2
k2
k
(1 + cthµ1)A
(1)
n − 1
k
(k1 + k2 cthµ1)B
(1)
n ,
Cn = −C(1)
n , A(2)
n = 0, B(2)
n = 0, C(2)
n = 0,
(12)
де µi = λhi, i = 1, 2; k1 = l1n
−1/2
2 ; k2 = l2n
−1/2
1 ; k = k1 − k2.
Граничнi умови (6) та (8), що залишились, дозволяють звести задачу окремо для кожної
гармонiки за координатою θ до системи парних iнтегральних рiвнянь виду
∞∫
0
[
n
−1/2
1 d1A
(1)
n (λ) + n
−1/2
2 d2B
(1)
n (λ) + n
−1/2
3 C(1)
n (λ)
]
λJn+1(λr) dλ = 0, r < a,
∞∫
0
[
n
−1/2
1 d1A
(1)
n (λ) + n
−1/2
2 d2B
(1)
n (λ)− n
−1/2
3 C(1)
n (λ)
]
λJn−1(λr) dλ = 0, r < a,
∞∫
0
[
d1l1cthµ1A
(1)
n (λ) + d2l2 cthµ2B
(1)
n (λ)
]
λJn(λr) dλ = − 1
C44
σ(n)(r), r < a,
∞∫
0
X1Jn+1(λr) dλ = 0, r > a,
∞∫
0
X2Jn−1(λr) dλ = 0, r > a,
∞∫
0
X3Jn(λr) dλ = 0, r > a,
(13)
де введено такi позначення:
X1 =
(
1− d1l1
d2l2
)
k2
k
(1 + cth µ1)A
(1)
n (λ)−
(
1− d2l2
d1l1
)
k1
k
(1 + cthµ2)B
(1)
n (λ)−
− (1 + cthµ3)C
(1)
n (λ),
X2 =
(
1− d1l1
d2l2
)
k2
k
(1 + cth µ1)A
(1)
n (λ)−
(
1− d2l2
d1l1
)
k1
k
(1 + cthµ2)B
(1)
n (λ) +
+ (1 + cthµ3)C
(1)
n (λ),
X3 = d1l1(1 + cth µ1)A
(1)
n (λ) + d2l2(1 + cthµ2)B
(1)
n (λ) (n = 1, 2, 3, . . .).
(14)
Слiд вiдзначити, що випадок осесиметричної задачi (n = 0) особливий, оскiльки для
нього кiлькiсть парних iнтегральних рiвнянь є меншою, нiж для неосесиметричного ви-
падку. Випадок осесиметричної задачi було детально дослiджено в [8] i в цiй роботi вiн не
розглядається.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 53
3. Розв’язуючi iнтегральнi рiвняння Фредгольма другого роду. Для розв’язання
системи парних iнтегральних рiвнянь (13) будемо використовувати метод пiдстановки [12],
згiдно з яким виберемо розв’язок парних рiвнянь у виглядi, який дозволяє тотожно задо-
вольнити три останнi рiвняння в (13) для областi r > a, а саме:
X1 =
(
π
2
)1/2
λ3/2
a∫
0
t1/2ϕ(t)Jn+1/2(λt) dt =
= −
(
π
2
)1/2
λ1/2
a∫
0
ϕ̃(t)
[
a−n+1/2Jn−1/2(λa)− t−n+1/2Jn−1/2(λt)
]
dt,
X2 =
(
π
2
)1/2
λ1/2
a∫
0
t1/2ψ(t)Jn−1/2(λt) dt =
(π
2
)1/2
λ1/2
a∫
0
t1/2ψ(t)Jn−1/2(λt) dt,
X3 =
(
π
2
)1/2
λ1/2
a∫
0
t1/2ω(t)Jn+1/2(λt) dt =
= −
(π
2
)1/2
λ−1/2
a∫
0
ω̃(t)
[
a−n+1/2Jn−1/2(λa)− t−n+1/2Jn−1/2(λt)
]
dt,
(15)
де ϕ(t), ψ(t), ω(t) — новi невiдомi функцiї, неперервнi разом зi своїми першими похiдними
на вiдрiзку [0, a], а також введено позначення
ϕ̃(t) =
d
dt
[tnϕ(t)], ω̃(t) =
d
dt
[tnω(t)]. (16)
Пiдставивши (15) в першi три рiвняння (13), пiсля досить громiздких перетворень, анало-
гiчних виконаним, наприклад, в [6], отримуємо неоднорiдну систему iнтегральних рiвнянь
Фредгольма другого роду (окремо для кожної гармонiки за координатою θ)
1
2
(
s
k
k1
+ q
)
f̃1(x) +
1
2
(
s
k
k1
− q
)
f̃2(x) +
2
π
a∫
0
f̃1(t)K̃11(x, t) dt+
+
2
π
a∫
0
f̃2(t)K̃12(x, t) dt +
2
π
a∫
0
f̃3(t)K̃13(x, t) dt = 0,
1
2
(
s
k
k1
− q
)
f̃1(x) +
1
2
(
s
k
k1
+ q
)
f̃2(x) +
2
π
a∫
0
f̃1(t)K̃21(x, t) dt+
+
2
π
a∫
0
f̃2(t)K̃22(x, t) dt+
2
π
a∫
0
f̃3(t)K̃23(x, t) dt = 0,
(17)
1
2
s
k
k2
f̃3(x) +
2
π
a∫
0
f̃1(t)K̃31(x, t) dt+
2
π
a∫
0
f̃2(t)K̃32(x, t) dt +
2
π
a∫
0
f̃3(t)K̃33(x, t) dt =
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
=
4
π
x
π/2∫
0
ũ′(x sin θ) dθ,
де
ũ(r) =
k1
C44k2
rnσ(n)(r); s = n
−1/2
2 d2
(
1− d2l2
d1l1
)−1
; q = n
−1/2
3 ;
f̃1(x) ≡ ϕ̃(x) ≡ d
dx
[xnϕ(x)]; f̃2(x) ≡ xnψ(x); f̃3(x) ≡ ω̃(x) ≡ d
dx
[xnω(x)],
(18)
а ядра мають вигляд
K̃11(x, t) = −πxn+1/2
∞∫
0
L(λ)λ
[
a−n+1/2Jn−1/2(λa)− t−n+1/2Jn−1/2(λt)
]
×
×
[
Jn−1/2(λx)−
1
Γ(n+ 1/2)
(
λx
2
)n−1/2]
dλ i т. д.,
де
L(λ) =
1
4
[
s
k2
k1
e−2µ1 − se−2µ2 − qe−2µ3
]
.
Проведемо знерозмiрювання системи iнтегральних рiвнянь Фредгольма другого роду (17),
увiвши такi безрозмiрнi змiннi та функцiї:
ξ = xa−1, η = ta−1, β = ha−1, f1(ξ) ≡ a−n−1f̃1(aξ) = a−n−1 d
dx
[xnϕ(x)],
f2(ξ) ≡ a−n−1f2(aξ) = a−n−1xnψ(x), f3(ξ) ≡ a−nf̃3(aξ) = a−n d
dx
[xnω(x)].
(19)
Зробивши вiдповiднi перетворення, отримуємо систему iнтегральних рiвнянь Фредгольма
другого роду у безрозмiрному виглядi
1
2
(
s
k
k1
+ q
)
f1(ξ) +
1
2
(
s
k
k1
− q
)
f2(ξ) +
2
π
1∫
0
f1(η)K11(ξ, η) dη +
+
2
π
1∫
0
f2(η)K12(ξ, η) dη +
2
π
1∫
0
f3(η)K13(ξ, η) dη = 0,
1
2
(
s
k
k1
− q
)
f1(ξ) +
1
2
(
s
k
k1
+ q
)
f2(ξ) +
2
π
1∫
0
f1(η)K21(ξ, η) dη +
+
2
π
1∫
0
f2(η)K22(ξ, η) dη +
2
π
1∫
0
f3(η)K23(ξ, η) dη = 0,
(20)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 55
1
2
s
k
k2
f3(ξ) +
2
π
1∫
0
f1(η)K31(ξ, η) dη +
2
π
1∫
0
f2(η)K32(ξ, η) dη +
+
2
π
1∫
0
f3(η)K33(ξ, η) dη =
4
π
ξ
π/2∫
0
u′(ξ sin θ) dθ,
де
u(ξ) =
k1
C44k2
ξnσ(n)(aξ).
Ядра iнтегральних рiвнянь (20) мають вигляд
K11(ξ, η) = nξn−1
{
−2s
k2
k1
β1[η
−n−1Sn(z11)− Sn(z21)] +
+ 2sβ2[η
−n−1Sn(z12)− Sn(z22)] + 2qβ3[η
−n−1Sn(z13)− Sn(z23)]
}
+
+
√
π
Γ(n+ 1)
Γ(n+1/2)
ξ2n
{
−sk2
k1
[Rn(2β1, η)−Rn(2β1, 1)]+s[Rn(2β2, η)−Rn(2β2, 1)] +
+ q[Rn(2β3, η) −Rn(β3, 1)]
}
i. т. д., (21)
де
z11 =
(2β1)
2 + η2 + ξ2
2ηξ
; z12 =
(2β2)
2 + η2 + ξ2
2ηξ
; z13 =
(2β3)
2 + η2 + ξ2
2ηξ
;
z21 =
(2β1)
2 + 1 + ξ2
2ξ
; z22 =
(2β2)
2 + 1 + ξ2
2ξ
; z23 =
(2β3)
2 + 1 + ξ2
2ξ
;
Sn(z) =
1
4
(z2 − 1)−1[Qn(z)− zQn(z)]; Rn(b, t) =
1
2
b(b2 + t2)−n−1;
Qn(z) — функцiя Лежандра другого роду.
4. Коефiцiєнти iнтенсивностi напружень. Як i в класичнiй механiцi руйнування
матерiалiв без початкових напружень [13], коефiцiєнти iнтенсивностi напружень в околi
контура трiщини визначаємо як коефiцiєнти при сингулярностях в розподiлi вiдповiдних
компонентiв тензора напружень при наближеннi до контура трiщини, тобто
KI = lim
r→a
[2π(r − a)]1/2Q′
33(r, 0),
KII = lim
r→a
[2π(r − a)]1/2Q′
3r(r, 0),
KIII = lim
r→a
[2π(r − a)]1/2Q′
3θ(r, 0).
(22)
З розв’язку системи iнтегральних рiвнянь Фредгольма другого роду (20) з урахуванням
виразiв (19), (18), (15), (14), (12), (11) та подання розв’язкiв лiнеаризованих рiвнянь рiв-
новаги через потенцiальнi функцiї (9) можна отримати розподiл напружень та перемiщень
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
в матерiалi. Розглянемо значення компонент тензора напружень Q′
33, Q
′
3r, Q
′
3θ в областi
(y3 = 0, r > a) (тобто в площинi розташування трiщини, в областi 2). З (9) маємо
Q′(2)
33 (r, θ, 0) =
1
4
C44
k
k1
s
∞∑
n=0
cosnθ
a∫
0
ω̃(t) dt
rn
√
r2 − a2
+O(1),
Q′(2)
3r (r, θ, 0) =
1
4
C44
k
k1
s
∞∑
n=0
cosnθ
[
ϕ̃(a)
a
+ an−1ψ(a)
]
1
rn−1
√
r2 − a2
+O(1),
Q′(2)
3θ (r, θ, 0) =
1
4
C44q
∞∑
n=0
sinnθ
[
ϕ̃(a)
a
− an−1ψ(a)
]
1
rn−1
√
r2 − a2
+O(1),
(23)
де через O(1) позначено вирази, якi не мають особливостей при r → a.
Використовуючи визначення коефiцiєнтiв iнтенсивностi напружень (22), з (23) отри-
муємо для коефiцiєнтiв iнтенсивностi напружень такi вирази:
KI =
1
4
C44s
k
k1
√
πa
∞∑
n=0
cosnθ
[
a−n
a∫
0
ω̃(t) dt
]
,
KII =
1
4
C44s
k
k1
√
π
a
∞∑
n=0
cosnθ
[
a−n+1
(
ϕ̃(a)
a
+ an−1ψ(a)
)]
,
KIII =
1
4
C44q
√
π
a
∞∑
n=0
sinnθ
[
a−n+1
(
ϕ̃(a)
a
− an−1ψ(a)
)]
,
(24)
або у безрозмiрному виглядi
KI =
1
4
C44s
k
k1
√
πa
∞∑
n=0
cosnθ
1∫
0
f3(η) dη,
KII =
1
4
C44s
k
k1
√
πa
∞∑
n=0
cosnθ[f1(1) + f2(1)],
KIII =
1
4
C44q
√
πa
∞∑
n=0
sinnθ[f1(1)− f2(1)],
(25)
де функцiї f1(η), f2(η), f3(η) визначаються з розв’язку системи iнтегральних рiвнянь Фред-
гольма другого роду (20).
Як видно з виразiв для коефiцiєнтiв iнтенсивностi напружень (24), (25), взаємний вплив
двох трiщин в нескiнченному тiлi призводить до якiсних змiн у асимптотичному розподiлi
напружень бiля контура трiщин, а саме — до ненульових значень коефiцiєнтiв iнтенсивностi
напружень KII та KIII у випадку завантаження берегiв трiщини нормальними зусиллями
(для iзольованої трiщини нормального вiдриву в необмеженому тiлi мали [1, 13] KI 6= 0,
KII = 0, KIII = 0). Крiм того, з виразiв (25) бачимо, що всi три коефiцiєнти iнтенсивностi
напружень залежать вiд початкових напружень, оскiльки параметри C44, s, q, k, ki, li, ni,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 57
i = 1, 2, а також функцiї f1, f2, f3 залежать вiд параметра початкового подовження (або)
скорочення λ1, зумовленого дiєю початкових напружень S0
11 = S0
22.
Розглянемо випадок, коли вiдстань мiж трiщинами прямує до нескiнченностi h → ∞
(β → ∞). Аналiзуючи вирази для ядер (21), приходимо до висновку, що lim
β→∞
Kij(ξ, η) = 0.
Тодi з (20) отримуємо таку систему рiвнянь:
1
2
(
s
k
k1
+ q
)
f∞1 (ξ) +
1
2
(
s
k
k1
− q
)
f∞2 (ξ) = 0,
1
2
(
s
k
k1
− q
)
f∞1 (ξ) +
1
2
(
s
k
k1
+ q
)
f∞2 (ξ) = 0,
1
2
s
k
k2
f∞3 (ξ) =
4
π
ξ
π/2∫
0
u′(ξ sin θ) dθ,
(26)
де
f∞i (ξ) ≡ lim
β→∞
fi(ξ).
Тодi маємо
f∞1 (ξ) = 0, f∞2 (ξ) = 0,
f∞3 (ξ) =
8
π
k2
sk
ξ
∞∫
0
u′(ξ sin θ) dθ =
8
π
1
C44
k1
sk
d
dξ
ξ∫
0
ηn+1σ(n)(aη)√
ξ2 − η2
dη,
i з (24), (25) одержуємо
K∞
I ≡ lim
β→∞
KI = 2
√
a
π
∞∑
n=0
cosnθ
1∫
0
ηn+1σ(n)(aη)√
1− η2
dη
2√
πa
∞∑
n=0
cosnθ
an
a∫
0
tn+1σ(n)(t)√
a2 − t2
dt,
K∞
II = 0, K∞
III = 0.
(27)
Вирази (27) повнiстю збiгаються зi значеннями, отриманими в неосесиметричнiй задачi про
трiщину нормального вiдриву в нескiнченному матерiалi без початкових напружень [13, 14].
Таким чином, в роботi вперше в рамках лiнеаризованої постановки дослiджено загальну
неосесиметричну задачу про напружено-деформований стан попередньо напруженого тiла
з двома паралельними спiввiсними круговими трiщинами нормального вiдриву.
Отримано вирази для коефiцiєнтiв iнтенсивностi напружень та показано, що взаємний
вплив двох трiщин в тiлi з початковими напруженнями призводить до змiн якiсного та
кiлькiсного характеру в асимптотичному розподiлi напружень в околi контурiв трiщин по-
рiвняно з випадком однiєї iзольованої трiщини в необмеженому попередньо напруженому
тiлi. Також показано, що початковi напруження, що дiють вздовж площин розташування
трiщин, впливають на значення коефiцiєнтiв iнтенсивностi напружень в околах контурiв
трiщин.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №8
1. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. – Киев: Наук. думка,
1991. – 288 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти кн. / Под общ.
ред. А.Н. Гузя. Т. 2).
2. Guz A.N. On non-classical problems of fracture mechanics taking into account the stresses along cracks //
Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, No 8. – P. 138–144.
3. Guz A.N. Fundamentals of the three-dimensional theory of stability of deformable bodies. – Berlin: Sprin-
ger, 1999. – 555 p.
4. Гузь А.Н. К линеаризированной теории разрушения хрупких тел с начальными напряжениями //
Докл. АН СССР. – 1980. – 252, № 5. – С. 1085–1088.
5. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V. L. Fracture under initial stresses acting along cracks: Approach,
concept and results // Theor. and Appl. Fracture Mech. – 2007. – 48. – P. 285–303.
6. Богданов В.Л. Напряженное состояние тела с периодической системой соосных круговых трещин
при действии направленных вдоль них усилий // Прикл. проблеми механiки i математики. – 2007. –
Вип. 5. – С. 1–16.
7. Богданов В.Л. О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при
действии направленных вдоль них начальных напряжений // Доп. НАН України. – 2008. – № 9. –
С. 53–59.
8. Богданов В.Л. Напряженное состояние упругого тела с двумя соосными круговыми трещинами нор-
мального отрыва при действии начальных напряжений // Там само. – № 10. – С. 52–60.
9. Богданов В.Л. О кручении предварительно напряженного материала с двумя параллельными соо-
сными трещинами // Там само. – № 11. – С. 59–66.
10. Bogdanov V. L. Effect of residual stresses on fracture of semi-infinite composites with cracks // Mech. Adv.
Mater. Struct. – 2008. – 15, No 6. – P. 453–460.
11. Богданов В.Л., Гузь А.Н., Назаренко В.М. Осесимметричная задача о разрушении тела с периодиче-
ской системой соосных трещин под действием направленных вдоль них усилий // Прикл. механика. –
2009. – 45, № 2. – С. 3–18.
12. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. – Ленинград: Наука,
1977. – 220 с.
13. Kassir M.K., Sih G.C. Mechanics of fracture. Three-dimensional crack problems. – Leyden: Noordhoff,
1975. – Vol. 2. – 452 p.
14. Саврук М.П. Механика разрушения и прочность материалов: Справочное пос. В 8 т. / Под общ. ред.
В.В. Панасюка. – Киев: Наук. думка, 1988. – 2005. – Т. 2. Коэффициенты интенсивности напряжений
в телах с трещинами. – 1988. – 620 с.
Надiйшло до редакцiї 17.12.2009Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
V.L. Bogdanov
A non-axisymmetric problem on two parallel coaxial mode I cracks in
a material with initial stresses
A non-axisymmetric problem on the interaction of two parallel coaxial cracks of normal rupture
in an infinite solid with initial stresses acting along cracks is investigated in the framework of the
linearized theory of elasticity. The problem is reduced to systems of Fredholm’s integral equations
of the second kind by the use of representations of general solutions of the linearized equilibrium
equations in terms of harmonic potential functions and the Fourier–Hankel integral transforms.
The representations of stress intensity factors at the cracks’ edges are obtained. New mechanical
effects related to the influence of initial stresses and to the cracks’ interaction are analyzed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №8 59
|